利用相似三角形证明线段相等
证明线段相等的知识点总结
证明线段相等的知识点总结一、线段的定义1. 线段是两个端点之间的部分，用两个字毕端点表示。
2. 线段的长度是指两端点之间的距离。
二、线段相等的定义如果两条线段的长度相等，那么它们就是相等的。
三、线段相等的性质1. 反身性质：任何线段都与自身相等，即AB=AB。
2. 对称性质：如果AB=CD，那么CD=AB。
3. 传递性质：如果AB=CD，CD=EF，则AB=EF。
四、线段相等的证明方法1. 利用勾股定理证明线段相等勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。
例如，若有两个直角三角形ABC和DEF，若AB=DE, BC=EF, AC=DF，则可以利用勾股定理证明线段相等。
2. 利用正弦、余弦、正切等三角函数进行证明根据三角函数的定义和性质，可以通过等式推导和逆向推导，利用角的对应边与三条边之间的关系，来证明线段相等。
3. 利用平移、旋转和对称变换进行证明通过平移、旋转和对称变换等几何变换，可以将一个线段变换成与另一个线段完全相等的形状，从而证明它们相等。
4. 利用相似三角形进行证明如果两个三角形中对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，可以通过等比例关系来证明线段相等。
5. 利用向量进行证明利用向量的性质和运算规律，可以通过向量相等来证明线段相等。
六、线段相等的应用1. 在三角形的证明中常常会用到线段相等的知识，例如利用线段相等证明三角形的全等和相似。
2. 在几何图形的构造和证明中，线段相等是一个常用的条件和结论。
3. 在数学建模和实际问题中，线段相等的知识可以用来求解实际问题，并且有重要的应用价值。
七、线段相等的相关定理1. 线段构造定理：已知一段线段和一个角，可以用尺规作图来构造与这段线段相等的另一段线段。
2. 线段加减定理：如果AB=CD, BC=EF，则AC=ED。
3. 线段分点定理：一条线段的中点恰好在两端点的中垂线上。
八、线段相等的错题分析1. 在证明线段相等时，要注意对应的角是否等于，不能直接认为两个边相等就是两个线段相等。
相似三角形判定定理证明
如何证明相似三角形判定定理预备知识：图1中，平行线等分线段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，则DE =EF 由已知条件构造三角形全等，可证得平行线间距离相等，然后以此结论做条件可构造线段DE ，EF 所在三角形全等，结论获证. 图2中，平行线分线段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，则DEEFBC AB =，命题可通过添加平行线转化成平行线等分线段定理.由比例性质还可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF EDAC CB = 相似三角形判定定理证明图3，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC析：欲证两三角形相似，则需证三对角对应相等，三对边的比 相等，本题目三对角相等，则证三边比相等即可. 由DE//BC 得AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EACB BF =，依题意知四边形DEFB 是平行四边形，DE=BF . 则CBDEAC AE AB AD ==，命题获证. 图4，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可证△AD E ≌△AGH 此问题同图3图5，在△ABC 与△A`B`C`中，``````C A ACC B BC B A AB == 求证：△ABC ∽△A`B`C`在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴````````C A EA CB DE B A D A == ∵``````C A ACC B BC B A AB ==，AB=A`D ∴DE=BC ，A`E=AC∴△A`D E ≌△A`B`C`3l3图3B图4B图5图6B∴△ABC ∽△A`B`C` 图6，````C A ACB A AB =，∠A =∠A`，求证：△ABC ∽△A`B`C` 在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴``````C A EA B A D A =∵````C A ACB A AB =，A`D=AB ∴A`E=AC ∵∠A =∠A`∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`图7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求证：△ABC ∽△A`B`C`在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B ∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`图8，Rt △ACB 与Rt △A`C`B`中，∠C=∠C`=90°，````C A ACB A AB = 求证：△ABC ∽△A`B`C`设````C A ACB A AB ==k ，则AB=kA`B`,AC=kA`C`则 k ````k ````k ``k ````222222==-=-=C B C B C B C A B A C B AC AB C B BC则三边成比例，∴△ABC ∽△A`B`C`图7B图8B。
中考数学：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
完整版)相似三角形题型归纳
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
初中线段相等、比例关系的证明方法
平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。
恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理(添加辅助线)，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。
求证：AE=BD。
注:如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
注：添加辅助线，构造全等三角形二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。
求证：AF=EF。
注：辅助线是中线倍长法［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA 的延长线交于D，求证：AD=AE。
三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。
［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边在△ABC 的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。
（辅助线是过E作EG⊥AB，连接DG）注：构造平行四边形［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。
求证：HG=BE。
注：构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化证明：延长AD到A′，使D A′=AD，又∵BD=CD∴四边形BACA′是平行四边形∴BA=A′C由题设可知HFGA也是平行四边形∴HF=AG∵HF//AC，∴又∵，HF=AG，BA=A′C∴BH=EG∴四边形BEGH是平行四边形四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。
相似三角形的性质(第1课时 相似三角形对应线段的性质)
探究相似三角形对应中线的比
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比为K，A
1 、D 1 分别为三角形的中线，它们的对应中线的比
是多少？
D
A
B
1
C
E
1
F
如图，∵△ABC∽△DEF，
A
∴∠B =∠E,
又∵ A 1 ,D 1 分别是△ABC和△DEF的中线，
2 BM1 AB
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ S
(3)求正方形PQRS的边长.
A
E
R
B P D Q
C
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高，
A
∴ ∠ADC=90°，
∵四边形PQRS是正方形，
S
E
R
∴SR∥BC，
∴∠AER=∠ADC=90°，
∴ AE是ΔASR的高.
_________,对应角的角平分线的比为______.
2∶3
2．两个相似三角形的相似比为1:4, 则对应高的
比为______,对应角的角平分线的比为______.
1:4
1:4
3．两个相似三角形对应中线的比为 ，
1
1
则相似比为______,对应高的比为______
.
4
4
1
4
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF
BM1 AB
. 且∠B =∠E，
.
EN1 DE
2 EN1 DE
B
1
D
C
∴△ A 1 B∽△ D 1 E(两边对应成比例
如何证明线段相等或成倍数关系
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
相似三角形的六大证明技巧大全
相似三角形的六大证明技巧大全比例式的证明方法比例式是数学中常见的重要概念，其证明方法也是需要掌握的基本技能。
下面介绍几种比例式的证明方法。
1.相似三角形法若两个三角形相似，则它们对应边的比例相等。
因此，可以通过相似三角形的证明来得到比例式。
2.射影定理法射影定理指：在直角三角形中，直角边上的高的平方等于直角边与这个高的两个部分的乘积。
因此，可以通过射影定理来证明比例式。
3.平行线法若两条直线平行，则它们所截线段的比例相等。
因此，可以通过平行线的证明来得到比例式。
4.等角定理法等角定理指：在同一圆周角或同位角中，对应弧所对应的角相等。
因此，可以通过等角定理来证明比例式。
5.数学归纳法数学归纳法是数学中常见的证明方法，适用于证明一般情况下的比例式。
其基本思路是：证明当n=1时比例式成立，假设当n=k时比例式成立，证明当n=k+1时比例式也成立。
比例式的证明方法多种多样，需要根据具体情况选择合适的方法。
熟练掌握这些方法，可以更加轻松地解决各种数学问题。
通过前面的研究，我们知道，比例线段的证明离不开“平行线模型”（A型、X型、线束型），也离不开上述的6种“相似模型”。
但是，XXX认为，“模型”只是工具，怎样选择工具、怎样使用工具、怎样用好工具，取决于我们如何思考问题。
合理的思维方法能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将研究比例式的证明中经常用到的思维技巧，包括三点定型法、等线段代换、等比代换、等积代换、证等量先证等比、几何计算。
技巧一：三点定型法例1】在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：$\frac{DC}{CF}=\frac{AE}{AD}$。
例2】在直角三角形△ABC中，$\angle BAC=90^\circ$，M为BC的中点，DM垂直于BC交CA的延长线于D，交AB 于E。
求证：$AM^2=MD\cdot ME$。
例3】在直角三角形△ABC中，AD是斜边BC上的高，$\angle ABC$的平分线BE交AC于E，交AD于F。
证线段相等的方法
证线段相等的方法线段相等是指在长度上完全相等的两条线段。
接下来我们将介绍线段相等的方法。
1. 利用尺规作图：这是最常见的方法之一。
我们可以利用尺规作图来画出两条长度相等的线段。
首先我们需要一根公共边，然后利用尺规作图的原理，分别以这根公共边为起点，画出相等的两条线段。
2. 利用直尺测量：在实际生活中，我们可以使用直尺来测量两条线段的长度，如果测得的长度完全相等，那么这两条线段就是相等的。
3. 利用复合图形：有时候我们需要通过构造复合图形来判断线段是否相等。
我们可以在两条线段的末端分别作出垂线，然后连接垂足构成一个复合图形，通过计算这个复合图形的各边长来判断两条线段是否相等。
4. 利用坐标表示：在平面直角坐标系中，我们可以利用坐标表示来判断两条线段的长度是否相等。
通过计算两条线段的坐标差，可以得到它们的长度差，如果长度差为0，则说明两条线段相等。
5. 利用相似三角形：在几何学中，我们知道相似三角形的对应边成比例。
因此，如果我们可以构造出两个相似三角形，并且它们的对应边都相等，那么我们就可以得出这两条线段也是相等的。
除了上述方法，还有许多其他方法可以用来判断线段是否相等。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常不会用一种方法来回答这个问题，而是会结合多种方法来进行判断，以确保结果的准确性。
对于初学者来说，多多练习，不断积累经验和技巧，才能够熟练地判断线段是否相等。
在日常生活中，我们经常需要判断线段是否相等，比如在木工、建筑、绘画等领域。
掌握线段相等的方法对于这些领域的工作是至关重要的。
同时，在数学的教学和学习中，线段相等也是一个基础概念，多了解这方面的知识对于学术研究也大有裨益。
总之，线段相等是一个基本的几何概念，判断线段是否相等是我们经常需要做的事情。
通过本文介绍的方法以及实际应用的练习，相信大家可以更加熟练地判断线段的相等性。
相似三角形判定定理的证明
03 弦切角定理
定义与性质
定义
弦切角是指与圆相切的直线与圆弧所夹的角 。
性质
弦切角等于所夹弧所对的圆周角。
定理证明方法
要点一
证明方法一
利用三角形内角和定理和圆周角定理的推论进行证明 。
要点二
证明方法二
通过圆心与弦切角顶点的连线平分弦切角，利用平行 线的性质进行证明。
应用实例
在相似三角形判定定理的证明中，弦切角定理可以用 来证明两个三角形相似，通过比较两个三角形中的弦 切角大小来证明它们的对应角相等。
应用二
在物理学中，射影定理可以用于求解光线反 射和折射等问题。例如，在求解一个光线反 射的问题时，可以利用射影定理得到反射光 线与入射光线在法线上的投影的比例中项的 关系式，进而求出反射角的大小。
08 三角形五心定律
Байду номын сангаас
定义与性质
定义
三角形五心定律是指一个三角形中，五个特殊点的集 合，这五个点分别对应于三角形的重心、垂心、外心 、内心和旁心。
。
2. 作AD为BC边的中线 ，并延长AD至E，使
DE=AD。
定理证明方法
3. 连接CE并延长至F，使CF=CE。 4. 连接AF、BF，证明AF平行于BC。 5. 根据平行线性质，AF=BC/2。
定理证明方法
6. 由于AD=DE=AF，所以AD=BC/2。
方法二：利用勾股定理证明
1. 在一个直角三角形ABC中， ∠ACB=90°。
证明相似三角形
利用三角形五心定律，可以通过 证明两个三角形的对应心的连线 相互平行，从而证明两个三角形
相似。
简化几何问题
利用三角形五心定律，可以简化 一些复杂的几何问题，例如，利 用重心将一个复杂图形分解为几 个简单的部分，然后分别解决每
利用相似三角形证明线段相等
G FECDBAG NM FEDC BA利用相似三角形证明线段相等【例7】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。
求证：EG GF =。
证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x ya b=，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a =过C 点作MN ∥EF ，我们先来证明MC=CN ，利用△BEF 和△DEF 形成的A字型平行线比例关系得：MC BM DN CNEF BE DF EF ===，由此得MC=CN ， 再利用△A EG 和△A GFF 形成的A 字型平行线比例关系得：MC AM AN CNEG AE AF GF===，故EG GF =得证 关键词：A 字型平行线比例关系 构造比例关系证线段相等预备知识：在做下一题之前，先证明一条角平分线定理： 在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，则DB ABDC AC=【例8】在ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的平行线交BC 于F 。
求证：BF EC =。
分析：本题的基本思路与上题相同。
由角平分线定理得：EC ACEB AB =和 DH AH DC AC =，而根据射影定理有2AC AH AB =，即AH ACAC AB=故EC DH EB DC =利用合比定理得：EC DHCB CH=另一方面，根据平行线比例关系得：BF DHCB CH=；故BF EC = 关键词：角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题HFE DCB A如图，在ABC、，设CD交AB、为边向形外作正方形ABDE ACFGA∆中，90∠=︒，分别以AB AC于N，BF交AC于M，求证：AM AN=。
17. （本题10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD。
相似三角形判定定理
探讨相似三角形判定定理的逆命题
9字
两三角形如果对应边成比例， 那么这两个三角形是否一定 相似？
9字
两三角形如果面积比等于相 似比的平方，那么这两个三 角形是否一定相似？
9字
回答是肯定的。如果两个三 角形的对应边成比例，那么 它们的对应角必然相等，因 此这两个三角形一定相似。
9字
回答也是肯定的。如果两个 三角形的面积比等于相似比 的平方，那么它们的对应边 必然成比例，因此这两个三 角形一定相似。
该定理是相似三角形判定的基础，也是 应用最广泛的判定方法之一。
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等，则这两个三角形相似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知两边和夹 角的情况。
判定定理三：三边对应成比例
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相 似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知三边长度的情况。
以上三个判定定理是相似三角形判定的主要方法，它们在实际应用中具有广泛的适 用性和实用性。同时，这些定理也是学习相似三角形知识的基础和关键。
03
相似三角形证明方法
综合法证明
综合运用相似三角形的性质
01
通过已知条件，结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例
飞机的位置。
建筑设计中的应用
比例缩放
在建筑设计中，相似三角形可以帮助 设计师按比例缩放模型，使得不同大 小的建筑保持相同的比例和美感。
透视绘图
在绘制建筑透视图时，相似三角形原 理可以帮助准确表现物体的远近关系 和立体感。
结构分析
在建筑结构分析中，相似三角形可以 帮助工程师理解和计算结构的稳定性 和承重能力。
初中阶段求证线段相等的几种证法
线段相等的几种证法在数学教学过程中，证明线段相等是经常遇到的问题，选用恰当的方法，可取得事半功倍的效果．现依据教学经验，总结出几种证明线段相等的基本方法，以供参考．一、利用全等三角形的性质证明线段相等当所要证明的线段分属两个三角形时，应首先分析这两个三角形是否有等量关系，要证其全等尚缺少什么条件．然后通过证明其他三角形全等或运用其他方法，补足所缺条件．若无现成的三角形，需添加辅助线构成全等三角形．例1、已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，过O作直线交AB于E，交CD于F．求证：AE＝CF．分析：要证AE＝CF，需证在这两个三角形中有一对对顶角，又根据平行四边形的性质知道，对边平行，对角线互相平分．此题得证．例2、正方形ABCD，G为AB上任一点，EF⊥DG，交DA、CB分别于E、F．求证：EF＝DG．分析：（如图1）此题EF不在三角形中，可过E作EH⊥BC于H，构成Rt△EHF再利用全等三角形的性质证明线段相等．二、用中介线段证明线段相等当所要证明的两条线段中有一条或两条都不属于三角形的边，且不在一条直线上时，一般要寻求与两线段相等的第三条线段作媒介．例3、已知：△ABC中，∠B的平分线交AC于D，过D作DE∥BC，交AB于E，过E 作EF∥AC，交BC于F．求证：BE＝CF．分析：所要证的BE与CF两条线段不是同一三角形的边．由题设可知四边形EFCD为平行四边形，得CF＝DE，所以需证BE＝DE，由角平分线及等腰三角形的判定可证．本题中是以DE作为媒介．三、利用等腰三角形的判定或平行四边形的性质证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法．例4、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F．求证：AF＝EF．分析：延长AD到G，使DG＝AD，连结BG．得到△ADC≌△GDB，可知AC＝GB，∠FAE ＝∠BGE．再由BE＝AC推出BE＝BG．利用对顶角相等和等角对等边可得出结论．四、利用三角形（或梯形）的中位线证明线段相等若两条线段在同一直线上，且图中有关线段中点，常证明两线段是过三角形一边的中点且平行于另一边的直线所分第三边的两部分；或利用平行四边形的性质来证对角线相互平分．应用这种方法证题，若图形不完整，可适当添加辅助线将图形补充完整．例5、四边形ABCD中，对角线BD与AC相等且相交于E，M、N分别为AD、BC的中点，线段MN与AC、BD分别相交于F、G．求证：EF＝EG分析：要证EF＝EG，需证∠EFG＝∠EGF．此题中出现了两个中点，但这两点的连线不是中位线，所以应增加AB的中点P，连结MP、NP，利用三角形中位线性质，可证MP＝NP、NP∥AC和MP∥BD．再利用平行线性质和等腰三角形的判定可证结论．五、利用线段中垂线和角平分线的性质证明线段相等当题目中出现线段垂直平分线或角平分线时，常利用线段中垂线的性质和角平分线的性质证明线段相等．例6、已知：ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I．求证：（1）OA＝OB＝OC；（2）I到BC、CA、AB的距离相等．分析：由于ABC是等腰三角形，AD为底边上的中线，同时也是底边上的高，所以O点既在BC边的垂直平分线上，又在AB的垂直平分线上．利用线段垂直平分线的性质易证得⑴，利用角平分线的性质易证得⑵．六、利用相似三角形或比例线段证明线段相等若题目中出现比例线段，四条比例线段所在的两个三角形不相似或不能构成两个三角形．此时需要添加辅助线，作平行线转移比例，构造出相似三角形，然后利用相似三角形的性质来证．例7、直线EFD与△ABC的边AB、AC分别交于F、D，交CB边的延长线于E，且＝求证：BE＝AD分析：（如图2）由四条线段成比例，但这四条线段又不能构成两个三角形，可利用作平行线构造相似三角形．过D作DG∥BC，交AB于G，可得出△GDF∽△BEF、△ADG∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝通过转移比例得出：＝，证得两线段相等．上述几种证明线段相等的方法，有一定的规律可循．但在遇到此类问题是仍要具体问题具体分析，灵活运用解题方法．在教学中，通过归类总结，使学生掌握解答问题的技巧，可以提高解题效率，锻炼学生的思维能力，从而提高学生素质．如果在教学中能够引导学生灵活地使用这些方法，则可使学生在解题中拓展思路，培养其分析问题解决问题的能力，提高其数学思维品质。
相似三角形知识点及典型例题
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法〔1〕定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
〔2〕平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
〔3〕判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
〔4〕判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
〔5〕判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
〔6〕判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，那么有射影定理如下：〔1〕〔AD〕2=BD·DC，〔2〕〔AB〕2=BD·BC ，〔3〕〔AC〕2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即〔AB〕2+〔AC〕2=〔BC〕2。
典型例题：例1 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF∴EC 2＝EG· EF，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】此题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的根本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的根本图形中是证明此题的关键。
第13讲 相似三角形判定定理的证明
第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。
知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
初中相似三角形解题技巧集锦
运用角平分线
1. 角平分线的基本概念和性质：角平分线是指将一个角平分成两个相等的 角的线段，具有对称性和比例性质。 2. 利用角平分线求相似三角形的边长比例：在一些相似三角形的题目中， 可以通过利用角平分线的比例性质，以及已知三角形中某个角的度数或边 长比例，求解出其他角的度数或相应边的比例。 3. 利用角平分线证明两条线段平行：当两条平行线段中夹角被角平分线平 分时，这两条线段与角平分线所形成的两个小三角形必定相似，因此它们 之间的对应边也成比例关系，从而可以通过此法证明两条线段平行。
利用比例求两直线平行
1. 利用角的对应性质确定直线之间的关系：当两直线上的对应角相等时，这两直线平行。 2. 利用对应线段成比例的性质求解：在相似三角形中，两直线与三角形相对的边成比例，因此可以利用已知边长求解未知边长，从而判断两直线是否 平行。
04
知识点巩固题型
Knowledge point consolidation question type
VIEW MORE
05
实例分析解题
Example analysis and problem-solving
实例分析解题
图形比较 关键词 关键词 关键词 关键词 关键词 关键词
边长比较 比较边长的大小关系
内角相等 边长比例
比例计算 比例的性质 求解未知量
实际应用
06
解题技巧总结
Summary of problem-solving techniques
02
角度相等法解题
Solving problems using the method of equal angles
相等角作边比
1. 什么情况下可以使用相等角作边比法？ 2.需要强调的是，只有在两个三角形中存在对应的相等角才能使用相等角作边比法进行解题。如果没有找到相等角，就不能使用这个解题方法。 3. 如何判断哪些边是对应边？ 4.可以观察两个三角形的图形，找出它们的相等角，然后根据对应角对应边的关系，就可以判断出两个三角形的对应边。
利用相似三角形求解线段比例
利用相似三角形求解线段比例线段比例是相似三角形的应用之一。
相似三角形具有对应角相等的特点，根据三角形的性质可以推导出线段比例关系。
在几何学中，利用相似三角形求解线段比例是一种常见的解题方法。
本文将介绍相似三角形的基本概念，并以实际题目为例，详细解答如何利用相似三角形求解线段比例。
相似三角形是指具有对应角相等的两个三角形。
两个相似三角形的对应边之间存在比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，记作∆ABC∼∆DEF。
根据相似三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
利用相似三角形求解线段比例的基本思路是通过观察已知条件和待求比例之间的关系，建立相似三角形，并应用上述比例关系求解。
接下来，我们通过实际题目来演示相似三角形求解线段比例的具体过程。
【示例题目】在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的内部点，且满足AD/DB = 2, AE/EC = 3。
若线段DE与BC平行，求线段DE与BC 的比例。
解析：根据题目已知条件可以得出AD/DB = 2, AE/EC = 3，而根据线段平行的性质可知线段DE与线段BC平行。
我们可以通过构造相似三角形来求解。
首先，连接点D、E与点B、C，分别得到线段BD和CE。
根据相似三角形的性质，我们可以得出△ADE∼△ABC。
根据对应边成比例的关系，可得AD/BD = AE/EC = DE/BC。
由于已知AD/DB = 2，AE/EC = 3，我们可以将它们带入上述比例关系式中，得到2 = DE/BC= 3。
因此，线段DE与BC的比例为2:3。
通过这个例子，我们可以总结出利用相似三角形求解线段比例的一般步骤：1. 根据已知条件，确定相似三角形的构造方式。
2. 建立相似三角形的比例关系。
3. 将已知条件和待求比例带入比例关系，求解未知量。
在实际应用中，利用相似三角形求解线段比例经常出现在建筑设计、地图测量、光学模型等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
G F
E
C
D B A
G
N M
F
E
D
C B
A 利用相似三角形证明线段相等
【例7】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。
求证：EG GF =。
证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b
=，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a =
过C 点作MN ∥EF ，我们先来证明MC=CN ，利用△BEF 和△DEF 形成的A 字型平行线比例关系得：
MC BM DN CN
EF BE DF EF
===
，由此得MC=CN ， 再利用△A EG 和△A GFF 形成的A 字型平行线比例关系得：
MC AM AN CN
EG AE AF GF
===
，故EG GF =得证 关键词：A 字型平行线比例关系 构造比例
关系证线段相等
预备知识：在做下一题之前，先证明一条角平分线定理：
在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，则DB AB
DC AC
=
【例8】在ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的平行线交BC 于F 。
求证：BF EC =。
分析：本题的基本思路与上题相同。
由角平分线定理得：
EC AC
EB AB
=
和 DH AH DC AC =，而根据射影定理有2AC AH AB =，即AH AC
AC AB =
故EC DH EB DC =利用合比定理得：EC DH CB CH
= 另一方面，根据平行线比例关系得：
BF DH
CB CH
=；故BF EC = 关键词：角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等
习题
如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，分别以AB AC 、为边向形外作正方形ABDE ACFG 、，
设CD 交AB 于N ，BF 交AC 于M ，求证：AM AN =。
17. （本题10分）
如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。
过点D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于点P,求证： （1）CD 是⊙O 的切线；（2）点P 平分线段DE
H
F
E D
C
B
A。