利用相似三角形证明线段相等

G F

E

C

D B A

G

N M

F

E

D

C B

A 利用相似三角形证明线段相等

【例7】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。求证：EG GF =。

证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b

=，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a =

过C 点作MN ∥EF ，我们先来证明MC=CN ，利用△BEF 和△DEF 形成的A 字型平行线比例关系得：

MC BM DN CN

EF BE DF EF

===

，由此得MC=CN ， 再利用△A EG 和△A GFF 形成的A 字型平行线比例关系得：

MC AM AN CN

EG AE AF GF

===

，故EG GF =得证 关键词：A 字型平行线比例关系 构造比例

关系证线段相等

预备知识：在做下一题之前，先证明一条角平分线定理：

在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，则DB AB

DC AC

=

【例8】在ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的平行线交BC 于F 。求证：BF EC =。

分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得：

EC AC

EB AB

=

和 DH AH DC AC =，而根据射影定理有2AC AH AB =，即AH AC

AC AB =

故EC DH EB DC =利用合比定理得：EC DH CB CH

= 另一方面，根据平行线比例关系得：

BF DH

CB CH

=；故BF EC = 关键词：角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等

习题

如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，分别以AB AC 、为边向形外作正方形ABDE ACFG 、，

设CD 交AB 于N ，BF 交AC 于M ，求证：AM AN =。

17. （本题10分）

如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。过点D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于点P,求证： （1）CD 是⊙O 的切线；（2）点P 平分线段DE

H

F

E D

C

B

A