牛顿法的误差估计

[a , b] [ a1 , b1 ] [ an , bn ] 1 (a b ) 若取 [ an , bn ] 的中点 n1 2 n n 作为 的近似根 ,
(b an ) 则误差满足 n 1 1 2 n
n ( b a ) 0 n 1 2
故取 x0 4 , 得 f ( 4) 9 x1 4 4 3.68 f (4) 28
y
o
34 x
f ( x1 ) 1.03 0.09 而 x1 11 m 故 x1 精度不够， 再求 f (3.68) 1.03 3.63 x2 3.68 3.68 f (3.68) 21.9 f ( x2 ) 0.042 x2 0.004 0.01 11 m 因此得满足精度要求的近似解 3.63
f ( xn1 ) , 从而得迭代公式:
f ( xn1 ) xn xn1 ( xn1 xn2 ) (n 2 , 3 ,) f ( xn1 ) f ( xn2 )
(双点割线法)
特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法. 说明: 若将上式中xn2 换为 x0 ,则为单点割线法, 逼近 根的速度与简化牛顿法相当.
二、牛顿切线法及其变形
f ( x) 满足 : 1) 在 [a, b] 上连续, f (a) f (b) 0
2) 在 [a, b] 上 f ( x) 及 f ( x) 不变号 方程 f ( x) 0 在 (a, b) 内有唯一的实根 .
有如下四种情况: y y y y b a a b o a x o o a o x x x b b f0 f0 f0 f0 f 0 f 0 f 0 f 0
f ( xn ) f ( ) 0 , xn f ( )
o
a

x2 x1 x b0 x
f ( xn1 ) xn xn1 f ( xn1 )
f ( xn ) 记 m min f ( x) 0 , 则得 xn [ a ,b ] m
说明: 用牛顿法时, 若过纵坐标与 f ( x) 异号的端点作
3 10 n1 n1 (1 0)
1
必需 2 n 1 1000 , 即 n log 2 1000 1 8.96
2
可见只要对分区间9次 , 即可得满足要求的实根近似值 10
(计算结果见“高等数学”(上册) P177～178)
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o
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a b x
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例如, 方程 x3 x 1 0 可转化为 x3 x 1 由图可见只有一个实根 (1, 1.5) ,
y
(1, 1.5)即为其隔根区间 .
(2) 逐步收索法 搜索, 若
y x 1 o 1 2 x
yx
3
从区间[a , b] 的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : f ( xn1 ) (n 1, 2 ,) xn xn1 f ( xn1 ) 称为牛顿迭代公式
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a

牛顿法的误差估计: 由微分中值定理得
y
f ( xn ) f ( ) f ( )( xn )
因此 [3， 4] 为一隔根区间.
由于在 [3， 4] 上
f ( x) 3x 2 4 x 4 (3x 2)( x 2) 0
f ( x) 6 x 4 2(3x 2) 0 m min f ( x) f (3) 11
[3, 4 ]
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缺点: 逼近根的速度慢一些.
b x
(n 1, 2 ,)
优点: 避免每次计算 f ( xn1 )， 因而节省计算量.
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(2) 割线法
y
为避免求导运算 , 用割线代替切线, x2 x3 f ( xn1 ) f ( xn2 ) 例如用差商 代替 o x0 x x 1 xn1 xn2
3
2
( 5.67 0) f ( x) 3x 2 2.2 x 0.9 0 f ( x) 在 (, ) 单调递增, 又 f (0) 1.4 0 , f (1) 1.6 0
故该方程只有一个实根 , [0 , 1] 为其一个隔根区间 , 欲使
切线 , 则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 [a , b]内.
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牛顿法的变形:
(1) 简化牛顿法 若用一常数代替 f ( xn1 ) , 即用平行 线代替切线, 则得简化牛顿迭代公式.
y
o
a
例如用 f ( x0 ) 代替 f ( xn1 ) , 得
f ( xn1 ) xn xn1 f ( x0 )
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牛顿切线法的基本思想: 用切线近似代替曲线弧求方
程的近似根 . 记纵坐标与 f ( x) 同号的端点为
y
( x0 , f ( x0 )) , 在此点作切线 , 其方程为 o x2 x1 x b0 x y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 ( x1 , 0) , 其中 x1 x0 f ( x0 ) 再在点( x1 , f ( x1 )) 作切线 , 可得近似根 x2 .
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第八节 方程的近似解
求方程 f ( x) 0 的实根
两种情形
本节内容:
第三章
可求精确根 (有时计算很繁) 无法求精确根 求近似根
一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形
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一、根的隔离与二分法
则称[a, b]为 若方程 f ( x) 0 在[a, b] 内只有一个根 ， 其隔根区间. f ( x) C[a, b], f (a) f (b) 0 , [a, b] 为隔根区间 且 f ( x) 在 （a, b） 内严格单调 y
1
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例1. 用二分法求方程 x 1.1x 0.9 x 1.4 0 的近似 实根时, 要使误差不超过 103 , 至少应对分区间多少次 ?
解: 设 f ( x) x 3 1.1x 2 0.9 x 1.4 ,则 f ( x) C (, )
b， 一个根 (a , b)， 取中点 1 a 2
a 1 b 若 f (1 ) 0， 则 1 即为所求根 . a1 a b b1 1 1 则根 (a , 1 ) , 令 a1 a , b1 1 ; 若 f (a) f (1 ) 0，
否则 (1 , b) ,令 a1 1 , b1 b , 对新的隔根区间[ a1 , b1 ]重复以上步骤, 反复进行,得
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例2. 用切线法求方程 x 3 2 x 2 4 x 7 0 的近似解, 使
误差不超过 0.01 . 解: 设 f ( x ) x 3 2 x 2 4 x 7 . 由草图可见方程有唯一的正实根 , 且
y
o
34 x
f (3) 10 , f (4) 9
1. 求隔根区间的一般方法 (1) 作图法
y f ( x)
由 y f ( x)的草图估计隔根区间 ; 将 f ( x) 0 转化为等价方程 ( x) ( x)
o a b x
y
y ( x) y ( x)
由 y ( x) , y ( x) 的草图估计隔根区间 .
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0 , 1,; a ( j 1)h b)
则区间 [a jh， a ( j 1)h]内必有根 .
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .
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2. 二分法
设 f ( x) C [a, b] ， f (a) f (b) 0， 且方程 f ( x) 0 只有