最新17.1勾股定理PPT课件
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《勾股定理》PPT(第1课时)
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
17.1 勾股定理PPT课件01
不是直角三角形？如果是那么哪一个角是
直角？
(1) a=25 b=20 c=15是 ∠__A_=_900
_(_2_)__a=;13 b=14
_(3_)_a_=_1;b=2 c= 3
c=不15是 ____
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
(4) a:b: c=3:4:5
是 ∠ C=900
_____ _____ ;
bc2a2(ca)(ca) a
精品课件
例题分析
勾股定理----理解
八年级下册
例1 在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
∵ Rt△ABC中, ∠C是直角
∴ AC2+BC2=AB2
B
∴ A B A2 C B2 C 22 4 7 26 2 25 5
24 如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？
b B
A 图乙 a
Bb
c C
图甲
SA+SB=SC
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 2.观察图乙，小方格
49
的边长为1.
4 16
⑵正方形A、B、C的
8 25 精品课件 面积有什么关系？
SA+SB=SC C
Aa c b
图甲 B
图乙 a
bc C
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
精品课件
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
精品课件
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
精品课件
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
17.1.1 勾股定理 (共24张PPT)
A
B
探
C
索
勾
股 A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC 定 理
（1）观察图1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 18 个单位面积。
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
图1-1 图1-2
C
C
B
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
走 进 数 学 史
勾股定理的证明方法
证 法 一
走
证
进
法 二
数
学
证 法
史
三
（邹元治证明）
（赵爽证明） 赵爽:我国古代数学家
应用勾股定理
a
c
确定斜边 c2= a2+b2
？
b
a
b
确定斜边 b2= a2+c2
？
c
b
a
确定斜边 a2= b2+c2
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
பைடு நூலகம்
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我
国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百 牛定理”．）
人教版八年级下册 课件 17.1 勾股定理(共46张PPT)
b c b c b cb c
a
a
a
a
勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积 证法。
勾股定理的证法（一）
∵( a+b)2=c2+4 ab a2+b2=c2
勾股定理的证法（二）
∵4× ab= c2－(b－a)2 a2+b2=c2
• 学习目标： 1．能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实 际问题； 2．在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能 从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长．
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形， 把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成 图（右）的样子。你能做到吗？试试看。
b
a
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
练习2 求下列直角三角形中未知边的长度．
C
A
4
x
5
A
10
C
6
B
x
B
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
通过解方程可得．
B
C
A
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
利用勾股定理解决实际问题 的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的 正确理解；
（2）建立对应的数学模型， 运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运 用．
B
C
A
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计 算树折断前的高度吗？
勾股定理ppt课件
弦
勾
股
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
推进新课
知识点 1 勾股定理的发现
毕达哥拉斯在朋友家里做客 时，从砖铺成的地面中发现了直 角三角形三边的数量关系．
观察
你从图片中发现了什么？
思考 三个正方形的面积有什么关系？
发现
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
课堂小结
勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a ，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
课后作业
1.课后练习1、2； 2.完成练习册本课时的习题。
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标 1.了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用 拼图验证勾股定理的方法. 2.知道勾股定理的内容. 教学重点：掌握勾股定理并运用勾股定理解决 简单的实际问题。 教学难点：勾股定理的证明。
新课导入
提问 你知道在古代，人们
如何称呼直角三角形的三 边吗？
拓展延伸
如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长. 解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E, ∴C′E=AD-ED=8-ED.又在△EC′D中，
ED2 CE2 CD2 . ED2 8 ED2 42，解得ED 5.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
证明
c
a
b
bbc
a S=a2+b2
a
小正方形的面b积= (b-a)a2 =c2-4×1 ab
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
17.1勾股定理课件(共18张PPT)
小方格，即A的面积是
9 个单位面积．
正方形B的面积是
9 个单位面积．
正方形C的面积是
18 个单位面积．
C A
B
图1-1
你是怎样得到上面的 结果的？与同伴交流
交流．
活动2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
你有什么发 现？
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．到目前为 止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们 就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
活动3
c
b a
c
b
中中黄黄实实 ((bb--aa))22
a
c
b a
b a
看左边的图案，这个图案 是公元 3 世纪我国汉代的赵 爽在注解《周髀算经》时给 出的，人们称它为“赵爽弦 图”．赵爽根据此图指出：
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明 勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图的地面，看看
有什么发现？
A
B
C
1．观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 9 个
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
议一议
3．三个正方形A，B，C
面积之间有什么关系？
A
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形 面积之和等于斜边上的正方 形的面积．
正方形的面积怎样 A a c
b 图1-1 B
9 个单位面积．
正方形B的面积是
9 个单位面积．
正方形C的面积是
18 个单位面积．
C A
B
图1-1
你是怎样得到上面的 结果的？与同伴交流
交流．
活动2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
你有什么发 现？
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．到目前为 止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们 就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
活动3
c
b a
c
b
中中黄黄实实 ((bb--aa))22
a
c
b a
b a
看左边的图案，这个图案 是公元 3 世纪我国汉代的赵 爽在注解《周髀算经》时给 出的，人们称它为“赵爽弦 图”．赵爽根据此图指出：
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明 勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图的地面，看看
有什么发现？
A
B
C
1．观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 9 个
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
议一议
3．三个正方形A，B，C
面积之间有什么关系？
A
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形 面积之和等于斜边上的正方 形的面积．
正方形的面积怎样 A a c
b 图1-1 B
17.1.1勾股定理课件(45张)
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
c a
b
c a
b
也可以表示为
c2
+4•
ab 2
∵ (a+b)2
c2
+4•
ab 2
= a2+2ab+b2 = c2 +2ab
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
美国总统的证明
伽菲尔德经过反复 的思考与演算，终于弄 清楚了其中的道理，并 给出了简洁的证明方 法．1876年4月1日，伽 菲尔德在《新英格兰教 育日志》上发表了他对 勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任 美国第二十任总统后， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就称这一 证法称为“总统”证法。
章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选 它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会 徽？
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理， 并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加 深对直角三角形的认识。
读一读 勾 股 世 界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高 定理” 。图1-1称为“弦图”，最早是由公元前3世纪我 国汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》注解时给出的. 赵 爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载 了勾股定理的一般形式。
C A C的面积怎么求呢？
S正方形c
=
72
-4×
1 2
×4×3
25 （面积单位）
B
C
勾股定理ppt课件
人教版八年级（下册）
17.1 勾股定理
创设情景 引入新课
说一说：它是由哪些基本几何图形组成？
师生互动 探究规律
毕达哥拉斯
假设每个小等腰直角三角形的面积为1.
三个正方形A, B,C面积SA , SB , SC分别是多少?
SA=2, SB=2, SC=4.
SA , SB , SC之间有什么等量关系呢?
勾 股
弦 勾
股
观察欣赏 感知文化
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个 定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它 的证明，新的证法不断出现,现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.
a b
c
b
ac
b
ac
b
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
b ca
S小正方形= S大正方形－ 4S直角三角形.
(a-b)2 = c2 －
.
a2－2ab+ b2 = c2 － 2ab .
∴ a2+ b2 = c2 .
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
归纳总结 畅谈收获 本节课中你还有其他的收获吗？
美丽的勾股树
课后作业 深化新知
作业：
（1）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法； （2）教材中的练习； （3）通过上网等方式查找勾股定理的相关资料．
例1. 求出下列直角三角形中未知的边:
D
A
10
17.1 勾股定理
创设情景 引入新课
说一说：它是由哪些基本几何图形组成？
师生互动 探究规律
毕达哥拉斯
假设每个小等腰直角三角形的面积为1.
三个正方形A, B,C面积SA , SB , SC分别是多少?
SA=2, SB=2, SC=4.
SA , SB , SC之间有什么等量关系呢?
勾 股
弦 勾
股
观察欣赏 感知文化
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个 定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它 的证明，新的证法不断出现,现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.
a b
c
b
ac
b
ac
b
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
b ca
S小正方形= S大正方形－ 4S直角三角形.
(a-b)2 = c2 －
.
a2－2ab+ b2 = c2 － 2ab .
∴ a2+ b2 = c2 .
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
归纳总结 畅谈收获 本节课中你还有其他的收获吗？
美丽的勾股树
课后作业 深化新知
作业：
（1）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法； （2）教材中的练习； （3）通过上网等方式查找勾股定理的相关资料．
例1. 求出下列直角三角形中未知的边:
D
A
10
八年级数学17.1 勾股定理 (共19张PPT)优秀课件
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统〞证法。
拼图证明
bc
a
拼图证明
求以下直角三角形中未知边的长:
5
17 8
x
x
16
20
x 12
x＝１５
x＝１２ x＝１３
方法小结: ①可用勾股定理建立方程.
大话勾股定理
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
这是用“割〞的方法
A
R
P
C
B
Q
观察的探究一所得到的数据，你有什么发现？
P Ca B
Qb c
R A
SP+SQ=SR
a2+b2=c2
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
A
a2+b2=c2
b
c
Ca
B
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半局 部称为"勾"，下半局部称为"股"。我国古代学者 把直角三角形较短的直角边称为“勾〞，较长的 直角边称为“股〞，斜边称为“弦〞.
Hale Waihona Puke 勾股定理邮票赏 析这是1955年希腊曾经发行的 一枚纪念邮票。 观察这枚邮票图案小方格的个 数，你有什么发现？
人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)
探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2
S3
1 2
a 2
2
1 2
b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1
1 2
c 2
2
1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题
《勾股定理》PPT优质课件(第3课时)
A•
2 3 C4
也可以使OA=2， AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
方法点拨 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边 的点表示是正无理数.
解：S△ABC
33
1 1 2 2
1 23 2
1 13 2
7. 2
课堂检测
拓广探索题
若△ABC三边的长分别为 5a,2 2a, 17a (a＞0)，请利用图中的正
方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求
出它的面积．
A
解：如图, AB a2 2a2 5a,
B
BC 2a2 2a2 2 2a,
得x2+ 42=(8－x)2， 解得 x=3. 即EC的长为3cm.
D E FC
链接中考
如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3）， 以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C， 则点C坐标为__(-_1_，__0_)__．
课堂检测
基础巩固题
1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴
巩固练习
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边 长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10 . 解：如图所示. A C
B
探究新知
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折 叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3， 求AM的长.
巩固练习
《勾股定理》PPT
综合题：3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求 △ABC的周长．
小贴士
为什么叫勾股定理这个名称呢？ 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称 为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三 角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直 角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2 国外又叫毕达哥拉斯定理
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
当堂练习
1.下列说法中,正确的是
（ C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
新知应用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
c
A
b
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
b c2 a2 22 12 3.
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2
小贴士
为什么叫勾股定理这个名称呢？ 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称 为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三 角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直 角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2 国外又叫毕达哥拉斯定理
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
当堂练习
1.下列说法中,正确的是
（ C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
新知应用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
c
A
b
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
b c2 a2 22 12 3.
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2
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1+2=3
1+5=6 1+6+2=9 1+2+2+1=6
看看等号右 边的数，你 有什么发现？
4+8+9+3+0=24
总结：能被3整除的数，其各个位的数字之和 能被3整除。
练习
下面那些数能被2整除，哪些能被5整除？哪些 能被5整除？哪些数能同时被2，5，3整除？这 些数有事没特征？
60
75
105 150 521
… …
1
×3 3
2
6
3
9
4
12
5
15
6
18
右圈里的数都能被 3整除吗？
这些数有什么特征？
想一 想被3整除的数到底有什么特征 呢？呢发现了吗？
是它们的个位数上有明显的 特征吗？
答案是否定的。
这些数各个位上的数字和有 什么规律呢？
你知道了吗？
看看下面这些能被3整除的数：
12，15，162，1221，48930
能被2、5、3整除的数
教学目标
• 通过练习，使学生熟练掌握2 、5 、3 的倍 数的特征。
• 能熟练应用2 、5 、3 的倍数的特征进行判 断。
• 培养学生的归纳整理能力。
…
…
×
1 2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2 4 6 8 10 12 14 16 个位上是0、2、4、
18 6、8 都能被2 整除。
20
（ ）（ ） （ ） （ ） （ ）
你发现了吗？
能同时被2、5整除的数其 个位数字是零。
能同时被2、3、5整除的 数，其个位数是零并且各 个位的数字相加能被3整 除。
你还能总结出别的规律吗？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
a2+b2=c2
弦
c
股
b
变式
┏
勾a
做一做 1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
赵爽弦图的证法
S大正方形 S小正方形 4S直角三角形 c2 (b a)2 4 ab 2
化简得： c2 =a2+ b2．
朱实
中黄实 c b (b-a)2
a
看一看
朱实 朱实 黄实 朱实
朱实
它们的面积和 : a2 b2
c ba
b a
a
经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股命定题1理如: 果如直果角直三角角三形角的形两的直两角边直长角分边长分 别为别a为, ba,,斜b, 斜边边长长为为c,c那, 那么么aa22 b2 cc22..
Sa+Sb=Sc
Bb c
C
a2+b2=c2
b
证
明a
二
c
c b
a
a
c
b
(a+b)2 =
c2 4 1 ab 2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
a 可得: a2 + b2 = c2
b
想一想: 大正方形的面积该怎样表示?
朱实
中黄实 c b (b-a)2
a
活动 3
看左边的图案，这个图案是 公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”．赵爽根据 此图指出：四个全等的直角三角 形（红色）可以如图围成一个大 正方形，中间的部分是一个小正 方形 （黄色）．
长度) 长度) 长度)
C
图2-1
9
9 18
A B
图2-1
C A
B 图2-2
图2-2
A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
44
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
8
（图中每个小方格代表一个单位面积）
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
A a
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C
图1
A
图2
B C
图2-1
A
B 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
9
9 18
8
4
4
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
ห้องสมุดไป่ตู้
4 1 3 3 18 2
AC=__1_5_______
6 2
x
X=__4___2_______
x 62 22 32 4 2
做一做 2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算 得
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
快
！ 3、若a:b=3:5,b=5,则a=( ) ,c=(
）
人教新课标五年级数学下册
练一练
下面哪些数能被2整除？ 36 48 51 65 3能7( ) 能( ) ( ) ( ) 78 104 153 280 7能9( )能( ) ( ) 能( )
下面哪些数是奇数，哪些是偶数？把它们分 别填入下面适当的圈里。
52 77 124 501 3170 4286 6003
偶数
奇数
52 124 3170 4286
17.1勾股定理
祝 同 学 们 学 习 快 乐
漂亮的勾股树
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
77 501 6003
1
×5 5
2
10
3
15
右圈里的数都能被 5整除吗？
这些数有什么特征？
4
20
5
25
个 个位位上上是是00或或者者55的的数数，，
6
30
都 都能 能被 被55整整除除。。
… …
做一做
下面那些数能被2整除，哪些能被5整除？
60
75
106 130 521
（ 2 5 ）（ 5 ） （2 ） （ 2 5 ） （ ）
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
B
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
1 62 2
18（单位面积）
A的面 B的面 C的面
积(单位 积(单位 积(单位