与三角形四心相关的向量结论
向量与三角形的四心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321yy y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图 OC OB OA ++2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔ 同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴b ACc AB+平分BAC ∠,(λ=∴AO b c +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bc ++=（b ACc AB+) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA aB CDB CD（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心中点. 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的2=+ ∴λ2+=+=AD AP λ2=∴ AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +⋅+B CDC+=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．34 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC→| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
利用向量研究三角形的“四心”
一
蔚 ＝
ｆ ｃ ｅ ｌ ＋ Ａ
。 一 ３ ）
＋ 死 一 ＋ 。
： ０ ．
＋ ：
ＤＣ＝２ ０ Ｍ， ’ ． ’ ＡⅣ ＝２ ０ Ｍ， ＤＣ＝Ａ日。
’ ．
中图分类号： Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 文献标识码： Ａ 文章编号￣ Ｉ ９ ９ ２ － ７ ７ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ １ ２ １
一
在 Ｒ ｔ ＡＢ Ｃ Ｄ 中 ， Ｃ ２ ＋ Ｃ Ｉ Ｔ＝ Ｂ Ｉ Ｔ， ．
曰日 ＋ 以Ｃ ｚ ＿ ＝ ４ Ｒ ， Ｃ Ｈ ＋ Ａ Ｂ ＝ ４ Ｒ 。
、
“ 四心” 的定 义 以及 相 关 性 质
１ ． 三角形的“ 外心”
（ ３ ） 如 图 ３所 示 ， 设 日是 ＡＡＢ Ｃ所
（ １ ） 定义 ： 三角形三边 的中垂 线的交点 ， 该点是三 角形的外接 在 平面 内的一 点 ， 则： 日是 ＡＡ Ｂ Ｃ垂心 圆的圆心 ， 简称外心 。
＝
・（ ＋ Nhomakorabea・
＝０ 。
．
．
同理可得商 ．
④若 ０是 ＡＡ Ｂ Ｃ的外心 ， ｒ 是三角形外 接圆的半径 ，
・ ． ．
商 上 ， 上 詹 ， 上 商 ， 即日是Ａ Ａ Ｂ Ｃ的垂心。
则 ＝ ， ＝ 柚 ， 尉＝ 一；
⑤ 若 ０是 ＡＡ Ｂ Ｃ的外 心 ， ｒ是 三 角 形 外 接 圆 的 半 径 ， 则
＋ ＋ ：０。
Ｃ 日
的充要条件是 ： 至
叶 Ｄ 十Ｃ
、
② Ｇ是 ＡＡ Ｂ Ｃ重心 的充要 条件是
３ ： ＋ 蔚 ＋ 。
图 １
三角形四心与向量的关系
三角形四心与向量的关系三角形是几何学中的基本图形之一，它有许多重要的性质和特点。
在三角形中，有四个特殊的点，它们被称为三角形的四心，分别是重心、外心、垂心和内心。
本文将探讨这四个特殊点与向量之间的关系。
我们来介绍一下三角形的四心。
重心是三角形三条中线交于一点的点，它被定义为三角形三个顶点的坐标的平均值。
外心是三角形外接圆的圆心，它被定义为三角形三个顶点和三个外接圆弧的交点之一。
垂心是三角形三个高线交于一点的点，它被定义为三角形三个顶点和三个高线的交点之一。
内心是三角形的内切圆的圆心，它被定义为三角形三条边的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来研究这些四心与向量之间的关系。
首先，我们来看重心。
重心可以表示为三个顶点向量的平均值。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则重心G可以表示为G=(a+b+c)/3。
这个公式说明了重心与向量之间的关系，即重心是三个顶点向量的平均值。
然后，我们来看外心。
外心可以表示为三个顶点向量的线性组合。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则外心O可以表示为O=(a+b+c)/2。
这个公式说明了外心与向量之间的关系，即外心是三个顶点向量的线性组合。
接下来，我们来看垂心。
垂心可以表示为三个顶点向量的和的负数。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则垂心H可以表示为H=-(a+b+c)。
这个公式说明了垂心与向量之间的关系，即垂心是三个顶点向量的和的负数。
我们来看内心。
内心可以表示为三条边的单位法向量的线性组合。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的边向量为AB、BC、CA，单位法向量为n1、n2、n3，则内心I可以表示为I=(n1+n2+n3)/(|n1|+|n2|+|n3|)。
这个公式说明了内心与向量之间的关系，即内心是三条边的单位法向量的线性组合。
我们可以得出结论：三角形的四心与向量之间有着紧密的关系。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)(可编辑修改word版)
AB AC e 1e 2+ += ⇔ 三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是ABC 的重心OAOBOC 0 ;若 O 是ABC 的重心，则 S BO C S AOC S AOB1 S 3 ABC 故OA OBOC0 ;1PG = 3 (PA + PB + PC ) ⇔ G 为∆ABC 的重心.2）O 是ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA ; 若 O 是ABC (非直角三角形)的垂心，则S BOC：SAOC：SAOBtan A ：tan B ：tan C故tan AOAtan BOBtan COC 0 3）O 是ABC 的外心| OA || OB || OC | (或OA2OB2OC 2)若 O 是ABC 的外心 则SBOC：SAOC：SAOBsinBOC ：sin AOC ：sin AOB sin 2A : sin 2B : sin 2C故sin 2AOA sin 2BOB sin 2COC 04）O 是内心ABC 的充要条件是OA (AC ) OB ( A CBA | BA |OC (CA | CA |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记 AB, BC, CA 的单位向量为e 1 , e 2 , e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成： OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) 0O 是ABC 内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0若 O 是ABC 的内心，则S BOC ：S AOC ：S AOB a ：b ：cA故 aOA bOB cOC 0或sin AOA sin BOB sin COC 0 ; | AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ∆ABC 的内心; 向量(A B + A C )(≠ 0) 所在直线过∆ABC 的内心(是∠BAC 的角平分 | AB | | AC |C线所在直线)； B二． 范例P(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP = OA + ( AB + AC) ，∈[0,+∞)则 P 点的轨迹一定通过∆ABC 的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心HABBC2 2 2 2解析：因为AB 是向量 的单位向量设 与方向上的单位向量分别为 e 和 e ，又AB AB AC 1 2OP - OA = AP ，则原式可化为 AP = (e 1 + e 2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分∠BAC ，那么在∆ABC中，AP 平分∠BAC ，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。
向量与三角形四心结合(纯干货)
三角形的“四心”与向量的完美结合知识概述：三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结1）O 是ABC ∆的重心=++⇔; 若O 是ABC ∆的重心，则,31ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆===故;,=++ 1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⇔; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则,tan :tan :tan ::C B A S S S AOB AOC BOC =∆∆∆故tan tan tan =⋅+⋅+⋅C B A3）O 是ABC ∆的外心)222OC OB OA ====⇔或 若O 是ABC ∆的外心,则C B A AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::=∠∠∠=∆∆∆ 故02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是0=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321,,e e e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)()()(322131=+⋅=+⋅=+⋅e e OC e e OB e e OAO 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0=++OC c OB b OA a若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故sin sin sin =++=++C B A c b a 或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查【例 1】:O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心【解答】：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.练习：在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =，则OC =_________________.【解答】：点C 在∠AOB 的平线上，则存在(0,)λ∈+∞使()||||OA OBOC OA OB λ=+=34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-,而||2OC=，可得3λ=，∴()55OC =-.【例2】：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+=(||BA OB BA ⋅+||CB CB ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心解：||||AB CA AB CA +表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量，由()||||AB CAOA AB CA ⋅+= 0知OA 垂直∠A 的外角平分线，因而OA 是∠A 的平分线，同理，OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线，故选C .【例3】：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= ，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：∵OB OA AB =+，OC OA AC=+，则()a b c OA bAB cAC++++= 0，得()||||bc AB ACAO a b c AB AC =+++. 因为||AB AB 与||AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，设||||AB ACAP AB AC =+，则AP 平分∠BAC. 又AO 、AP 共线，知AO 平分∠BAC.同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，所以O 点是△ABC 的内心.【方法总结】：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
运用平面向量判断三角形的四心公式
运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。
三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。
下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。
首先，我们需要了解什么是三角形的四心。
在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。
在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来推导三角形的四心公式。
设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。
那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。
该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形“四心”问题与向量的关系
＂ ｘ
．
／
＾
＝
，
）
／１
ｊ
；
，
■
？
二
？
，
；
［
，
）
，
）
＿
的 中 线 仙 上 的 任意 向 量 其所 在直线 必 过重 心
，
？
，
ＨＡ ＾Ａ Ｂ
，
，
，
，
＿
＿
，
，
＾ ＨＡ
；
，
－
＿ ＿
ＨＢ
＞
＿
－
Ｈ Ｂ
，
？
例
１
已知
＝
＜
９
是 △ 从Ｃ 所 在 平 面 内 的
０
一
点 若
ｎｎ
外 心 是 三 角 形 三 条 边 的 中 垂 线 的 交 点 也 是 三 Ｄ
，
图
？ ？
角 形 外接 圆 的 圆 心 它 到 三 角 形 三个 顶 点 的 距 离 相
，
等 在向 量 表达 形 式 中 若 点
．
，
０
是 Ｍ ＢＣ 的 外 心 则
，
＇
（
ｏａ
＋
Ｗ
－
）
ｉ ｆ
＝
Ａ
（
＋ ４Ｂ
｜
ｌ
＝
）
Ａ
．
在
向
量表 达形 式 中
｜
，
若点
．
０
是Ａ
／１
ＢＣ
＝
的 内 心
；
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
平面向量中三角形“四心”与应用
平面向量种三角形“四心”与应用一．重要结论1.重心：三角形三条中线的交点，重心为O →→→→=++⇔0OC OB OA 证明：G 是ABC ∆所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明:作图如右，图中GEGC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））重心性质1．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB P A PG ++=.证明：CG PC BG PB AG P A PG +=+=+=⇒)()(3PC PB P A CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB P A PG ++=3，由此可得)(31PC PB P A PG ++=.（反之亦然（证略））重心性质2.如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N两点，且AM xAB = ，AN y AC = ，则113x y+=.证明：点G 是ABC ∆的重心，知GA GB GC ++=O ，得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ，有1()3AG AB AC =+ .又M ，N ，G 三点共线（A不在直线MN 上），于是存在,λμ，使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且，有AG xAB y AC λμ=+ =1()3AB AC +，得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩，于是得113x y +=2．外心：三角形三条中垂线的交点.外心O →→→==⇔OC OB OA 222OCOB OA ==⇔→→→→→→→→→=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔0CA OA OC BC OC OB AB OB OA 外心性质：如图，O 为ABC ∆的外心，证明：1.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.2.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.3.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.附：如图，直角三角形ABC 中，2||→→→=⋅AB AC AB .3．内心.三角形三条角平分线的交点.内心为O 0=⋅+⋅+⋅⇔→→→→→→OC AB OB CA OA BC 内心性质.O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心解：ABAB AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.4．垂心：三角形三条高线的交点.垂心为O →→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OAOC OC OB OB OA 垂心性质.点H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心.（反之亦然（证略））二．典例分析1．若O 在△ABC 所在的平面内，a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足以下条件0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 是△ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解析：,OB OA AB OC OA AC =+=+ 且0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，()0a b c OA b AB c AC ∴++⋅+⋅+⋅=，化简得bc AB AC AO a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭，设AB AC AP AB AC =+ ，又AB AB与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，AP ∴平分BAC ∠，又,AO AP共线，故AO 平分BAC ∠，同理可得BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，故O 是△ABC 的内心.故选：C.2．在ABC 中，向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且2||||BA BC BA BC ⋅=，则ABC为（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，∴BAC ∠的角平分线垂直于BC ，根据等腰三角形三线合一定理得到ABC为等腰三角形，又∵2||||BA BC BA BC ⋅= ，∴=45ABC ∠︒，则ABC 为等腰直角三角形，故选：D.3．已知D 是ABC 内部（不含边界）一点，若::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，AD xAB y AC =+，则x y +=（）A ．23B ．34C ．712D ．1解析：如图，连接AD 并延长交BC 与点M,设点B 到直线AD 的距离为B d ,点C 到直线AD 的距离为C d ,因为::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，所以设5,4,3ABD BCD CAD S k S k S k ===△△△，因为AM 与向量AD 共线，设AM AD xAB y AC ==+ λλλ,BM BC = μ,AM AB BM ∴=+AB BC =+ μ()(1),AB AC AB AB AC =+-=-+ μμμ所以1x y λμλμ=-⎧⎨=⎩，即11x y μμλλλ-+=+=，AM AD DM AD AD +==λ()()()B C B C AD DM d d AD d d +⨯+=⨯+111()53432221153222B B c B C C AD d AD d d d k k k k k AD d AD d ⨯+⨯+⨯+++===+⨯+⨯,所以123x y +==λ故选：A4．已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD = ，则||BC 的最小值为（）AB ．2C．D．解析：AB AB 表示与AB 共线的单位向量，AC AC表示与AC共线的单位向量，所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，在ABD △中，3BAD π∠=，||1AD = ，利用正弦定理知：2sin sin 3sin AD BD B Bπ=⨯=同理，在ACD △中，2sin sin 3sin AD CD C Cπ=⨯=，1122sin sin 2sin sin BC BD CD B C B C ⎫=+==+⎝⎭，其中3B C π+=，分析可知当6B C π==时，BC取得最小值，即min 12sin 6BC π=⨯=5．已知点O 是锐角ABC 的外心，8AB =，12AC =，3A π=，若AO x AB y AC =+ ，则69x y +=（）A ．6B ．5C ．4D ．3解析：如图所示，过点O 分别作⊥OD AB ，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E ；则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴221183222AO AB AB ⋅==⨯= ，2211127222AO AC AC ⋅==⨯= ；又3A π=，∴812cos 483AB AC π⋅=⨯⨯= ，∵AO x AB y AC =+ ，∴2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，2AO AC xAC AB y AC ⋅=⋅+ ，化为326448x y =+①，7248144x y =+②，联立①②解得16x =，49y =；∴695x y +=．故选：B6．已知ABC 外接圆圆心为O ，G 为ABC 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若AB AC += 52AO，则sin BOG ∠=（）A ．12B ．14C．4D解析：取BC 的中点D ，连接AD ，由0GA GB GC ++=，知G 为ABC 的重心，则G 在AD 上，所以12()33AG AB AC AD =+= ，而24()55AO AB AC AD =+=，所以A ，G ，O ，D 四点共线，所以AB AC =，即AD BC ⊥，不妨令5AD =，则4AO BO ==，1OD =．所以sin sin 4BD BOG BOD BO ∠=∠==．故选：C ．7．设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ABC ∠=______.解析：H 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan BHC CHA AHB S S S A B C∆∆∆=⇔tan tan tan 0A HAB HBC HC∙∙∙++=由题设得tan tan tan345A B Cλ===.再由tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，得λ=，tan 5B =.故cos 21ABC ∠=.故答案为:218．已知点O 为三角形ABC 所在平面内的一点，且满足1OA OB OC ===，3450OA OB OC ++=，则AB AC ⋅= ___．解析：∵1OA OB OC === ，3450OA OB OC ++= ，∴345OA OB OC +=-，两边同时平方可得，9162425OA OB ++⋅= ，∴0OA OB ⋅=，∵3455OC OA OB =--，则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- ()8455OB OA OA OB ⎛⎫=-⋅-- ⎪⎝⎭2284845555OB OA OB OA OB OA =-⋅-++⋅ 48400555=-++=，故答案为45．。
三角形四心向量公式总结
三角形四心向量公式总结三角形四心向量公式是一种重要的数学理论，它可以用来计算三角形形状的几何特征，以及三角形的内部关系。
这种理论在很多方面都有着重要的应用，它可以用来解答一些几何问题，比如求解三角形面积，求解三角形内切圆半径，以及求解三角形外接圆半径等。
三角形四心向量公式基本上是由十六世纪意大利数学家拉罗什欧几里得提出的。
他利用这个公式求解了三角形几何特性。
根据这个公式，可以计算出三角形内心、外心、重心和旋心的坐标。
三角形四心向量公式的主要思想是将一个三角形内部的三个点都映射到一个三维向量空间中。
这个向量空间的x、y、z坐标的值分别是点PA、PB、PC的x、y、z坐标的值。
然后将三维空间中的三个点投影到二维空间中，这样就可以求得三角形的三个内心、外心、重心和旋心的坐标。
一个三角形的内心是三角形内部的垂心，也就是三条边的共线中点；而外心是三角形外部的垂心，也就是外接圆的圆心；重心是三角形内部的重心，也就是三条边的重心；而旋心是三角形外部的旋转中心，也就是外接圆的圆心。
三角形四心向量公式的优点非常明显，它可以求解三角形的内心、外心、重心和旋心的坐标，并且这一求解过程非常简单，只需计算三个点的三维坐标，然后将它们投影到二维空间中即可。
此外，三角形四心向量公式还可以用于计算多边形的几何特性。
它可以用来计算多边形的质心、最大质点、最小质点、外接圆等。
对于给定的多边形，可以利用这一公式求解出多边形的重心、内切圆、外接圆等。
三角形四心向量公式也有一些不足之处。
例如，它只能用于计算几何点的三维坐标，因此不能直接用于计算三角形的面积或求解三角形外接圆的半径。
这意味着需要对计算结果进行一定的转换才能得到更多有用的信息。
总之，三角形四心向量公式是一种重要的数学理论，它可以用来求解三角形的内心、外心、重心和旋心坐标，以及多边形的质心、最大质点、最小质点、外接圆等。
它的优点就在于求解过程非常简单，只需计算三个点的三维坐标，然后将它们投影到二维空间中即可。
三角形四心定义及向量结论
三角形四心定义及向量结论好，咱们今天聊聊三角形四心的定义和向量的一些结论。
我知道你可能一开始会想，这不就是些几何公式和枯燥的定理吗？别急，等我把这个话题拉开来，或许你会发现，原来这事儿也没那么复杂，甚至有点有趣。
先说个小插曲，前段时间我和朋友一起去登山。
你知道，爬山其实就是不断地调整自己的姿势，走得不累。
然后有个小路段，我和朋友就站在一块大石头上，忽然觉得很有意思。
那块石头正好是个三角形的形状，我们就讨论起，山顶的那个点是不是它的“心”。
开始谁都没想太多，但想一想，三角形的“心”真有点意思。
所以，就开始查它的四个“心”到底是怎么来的。
三角形的四心，简单点说，就是指三角形的某些特别点，这些点通过特定的方式与三角形的边和角相联系。
它们分别是：重心、外心、内心和垂心。
每个心都有它自己独特的角色。
首先，重心是三角形的一个平衡点。
可以想象一下，如果你拿一块纸做的三角形，想把它平放在桌子上，不会滑动的那个点，就是重心。
简单来说，就是三角形三个顶点的“合力中心”，而这个点通常是三角形的三个中线交点。
记得当时我们在讨论山顶点的时候，大家都觉得重心应该是最稳的那一个，因为它是所有重力的中心。
哈哈，可能是我爬得太累了，总想找个“稳定”的地方。
然后是外心，说起来外心就有点像外面的派对明星，它是三角形外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在这个圆的周围。
想象一下，你站在三角形的外面，想要找个地方，保证你离三个顶点的距离都差不多，这个点就是外心。
再加点戏剧性，外心就像是在“三角形”外围的一个VIP人物，所有角度都围绕着它。
内心呢？内心就像是三角形的“安全守护者”，它是三角形的内切圆的圆心。
三角形的三条角平分线交点，就是这个点。
所以，内心的存在让这个三角形在几何上显得特别和谐。
你可以想象它就像一个三角形的“心脏”，总在其中默默地维持着平衡。
再讲到垂心，这个点有点像“消防员”——你得想，三角形的每一条边都会有一个垂直的高度。
然后，这些高度线的交点就是垂心。
与三角形四心相关的向量结论
与三角形四心相关的向量结论.doc
下面是一些与三角形的四个特殊点（重心、外心、内心和垂心）相关的向量结论：
1. 重心：三角形的重心是三条中线的交点，表示为G，并且满足以下向量等式：
AG + BG + CG = 0
2. 外心：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，表示为O，并且满足以下向量等式：
AO = BO = CO = R（半径）
3. 内心：三角形的内心是三角形内切圆的圆心，表示为I，并
且满足以下向量等式：
AI = BI = CI = r（半径）
4. 垂心：三角形的垂心是三条高线（从顶点到对边垂直的线段）的交点，表示为H，并且满足以下向量等式：
AH + BH + CH = 0。
新整理三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一.知识点总结1） O 是 ABC 的重心二 OA OB OC = 0 ；1若 O 是 ABC 的重心，则S BO^S AOCeA OB=3S ABC故 OA OB 6^.0； PG = ［（PA PB PC ）二 G 为-ABC 的重心.32） O 是 ABC 的垂心 u OA OB = OB OC = OC OA ；若0是AABC （非直角三角形）的垂心，贝U S 售OC : S^OC : S 小OB = tan A: tanBitanC*故 tan AOA tanBOB tanCOC =02 ------------ -- 2 ---------- -- 23） 0 是 ABC 的外心二 |OA|=|OB|=|OC| （或 OA = OB = OC ） 若0是ABC 的外心则 S BOC： S AOC : S AOB 二sin/BOC ：sin/AOC ：sin/AOB =sin2A :sin2B :sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC = 0 4） 0是内心 ABC 的充要条件是 OA （旦- AC ） “B （空-匹厂OC （总-更）=0 | AB | AC | BA | |BC | |CA | |CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记 AB,BC,CA 的单位向量为e i ，e 2，e 3，则刚才eaH 00是 ABC 内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC = 0 若 0 是=ABC 的内心，贝U S.BOC : S.AOC : S.AOB 二 a ： b : c故 aOA bOB cOC = 0或 sinAOA sinBOB sinCOC = 0 ； |AB|PC |BC| PA |CA|PB =0= P ABC 的内心； 向量.^ABAC_）（. =o ）所在直线过 ABC 的内心（是.BAC 的角平分|AB| |AC|线所在直线）；范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. 0是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 PAB AC 满足0P = 0A 中九（ 十I^|），（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心ABC 内心的充要条件可以写成：O A （e i e a^ O B （e^ e ?） = O C «2 ACAC--0,=贝U P 点的轨迹一定通过 ABC 的（变式：若H 为厶ABC 所在平面内一点，且 $ +BC = HB +CA啊2碍则点H 是厶ABC 的垂心 证明:■■- |HA ^|HB ^CA ^|BC.(HA HB)・BA =(CA CB) * BA 得(HA HB —CA —CB)・BA =0 即(HC HC)・BA =0 AB _ HC同理 AC _ HB , BC _ HA 故H 是厶ABC 勺垂心（三）将平面向量与三角形重心结合考查 例4. G 是厶ABC 所在平面内一点， 心. 证明作图如右，图中GB ，GC=GE连结BE 和CE ,贝U CE=GB , BE=GC= BGCE 为平行四边形=D 是BC 的中 点，AD 为BC 边上的中线.“重心定理” GA GB GC =^ 点G 是厶ABC 的重A r~） — — — — — — — N是向量AB 的单位向量设 AB 与AC 方向上的单位向量分别为 e 和e ＞，又 ABOP — OA = AP ，则原式可化为 AP = Ye e 2），由菱形的基本性质知 AP 平分.BAC ，那么在 =ABC 中，AP 平分.BAC ，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB 是什么？没见过！想想，一个非零I A BI向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下:一． 知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++３)Ｏ是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==（或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++４)O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二． 范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A ，B,C 是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ )（Ａ）外心(B)内心(C)重心（D ）垂心 解析:因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么?没见过!想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形四心向量公式
三角形四心向量公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形的四心向量公式就像是隐藏在数学城堡中的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。
先来说说什么是三角形的四心吧。
这四心分别是重心、垂心、内心和外心。
它们在三角形中有着独特的地位和重要的性质。
咱们先聊聊重心。
重心可是三角形三条中线的交点哦。
那重心的向量公式是什么呢？设三角形三个顶点的坐标分别为 A(x₁, y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃, y₃)，那么重心 G 的坐标就是((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂+ y₃)/3)。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼一脸茫然地问我：“老师，这重心到底有啥用啊？”我笑着回答他：“你想想啊，如果我们要做一个三角形的跷跷板，那重心的位置是不是就特别重要啦？它得在正中间，不然跷跷板可就不平衡咯！”同学们听了都哈哈大笑，一下子就记住了重心的重要性。
再来说说垂心。
垂心是三角形三条高的交点。
对于垂心的向量公式，那可有点复杂啦，不过别担心，咱们慢慢理解。
内心呢，是三角形三条内角平分线的交点。
它到三角形三边的距离相等。
内心的向量公式理解起来也需要花点心思。
最后是外心，外心是三角形三边中垂线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。
在解决与三角形四心相关的问题时，这些向量公式可真是我们的得力助手。
比如，在一些几何证明题中，巧妙地运用这些公式，就能让复杂的问题变得简单明了。
记得有一次考试，有一道关于三角形重心的题目，很多同学都没有做对。
我在讲解的时候，一步一步地引导他们运用重心的向量公式，看着他们恍然大悟的表情，我心里别提多有成就感了。
学习三角形四心向量公式，就像是在数学的海洋中驾驭一艘小船，虽然有时会遇到风浪，但只要我们掌握好方向，就能顺利前行。
希望同学们在面对这些公式的时候，不要害怕，多做练习，多思考，相信大家一定能够熟练掌握，在数学的世界里畅游无阻！。
三角形中“四心”的向量式
三角形中“四心”的向量式作者：梁小金王秀泽来源：《中学教学参考·理科版》2011年第08期一、内心的向量式1．若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足｜｜｜｜)(其中λ∈［0,+∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心2．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的内心（其中a,b,c是△ABC的对应边）二、重心的向量式1．若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足）(其中λ∈［0,+∞))，则点P的轨迹过△ABC的重心2．若点G为△ABC所在的平面内一点，满足＝0 ，则点G为△ABC的重心3. 若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心4.若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足｜｜｜｜其中λ∈［0，+∞)，则点P的轨迹过△ABC的重心三、垂心的向量式1. 若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心2.若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC 的垂心3．若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足｜｜｜｜)(其中λ∈［0，+∞)），则点P的轨迹过△ABC的垂心四、外心的向量式1.若点O为△ABC所在的平面内一点，满足（）＝（）＝（），则点O为△ABC的外心.（充要条件：｜｜＝｜｜＝｜｜）2.若点O和点P为△ABC所在的平面内一点，＝｜｜｜｜其中λ∈R），P的轨迹过△ABC的外心五、四心的向量式的高考运用1．已知G是△ABC所在平面上的一点，若, 则点G是△ABC的外心B. 内心 C. 重心D. 垂心2．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，G为△ABC的重心，且, 则△ABC为等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形等边三角形3．若点O为△ABC所在的平面内一点，满足｜｜｜｜)＝＝｜｜｜｜）＝0，则点O是△ABC的垂心 B. 重心 C. 内心外心4．已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则点O是△ABC的外心B. 内心C. 重心垂心5.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的外心B. 内心C. 重心垂心6．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=（）7.已知O、N、P在△ABC所在平面内，且｜｜｜｜｜｜，且，则点O、N、P依次是△ABC的重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心外心重心内心以上几个结论及例子不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例在向量教学时，与三角形的“四心”有关的向量问题是一类具有相当深度和难度的重要题型，三角形“四心”向量性质及其应用，由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，要从思想方法上研究新内容的内涵实质，用向量的观点研究以往教材的知识结构体系，培养学生运用向量解决问题的意识责任编辑金铃）“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
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与三角形“四心”相关的向量结论
濮阳市华龙区高中 张杰
随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。
平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。
本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。
希望在得出结论的同时，能引起一些启示。
问题：设点O 在ABC ∆内部，且有03=++OC OB OA ，则BOC ∆与AOC ∆的面积的比值是____. 分析：∵03=++OC OB OA 设OD OB =3，则0=++OC OD OA ，
则点O 为ADC ∆的重心.∴ACD AOD COA DOC S S S S ∆∆∆∆=
==31. 而 AOC COD BOC S S S ∆∆∆==3131， ∴3
1:=∆∆COA BOC S S . 探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。
结论： 设O 点在ABC ∆内部，若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆
证明： 已知O 点在ABC ∆内部，且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0
设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心，
又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mn
S ∆∆=1， ∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆
说明: 此结论说明当点O 在ABC ∆内部时，点O 把ABC ∆所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。
应用举例：设点O 在ABC ∆内部，且40OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与OBC ∆的面积之比是：
A ．2：1
B ．3：1
C ．4：3
D ．3：2
分析：由上述结论易得：1:1:4::=∆∆AOB COA BOC S S S ，所以2:34:6:==∆OBC ABC S S ，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。
引申：设O 点在ABC ∆内部，且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,
结论1：若O 为ABC ∆重心，则0=++OC OB OA
分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC ∆的面积三等分.
结论2 ：O 为ABC ∆内心，则0=++OC c OB b OA a
分析：内心在三角形的内部，且易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =c b a ::
结论3： O 为ABC ∆的外心，则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A
分析： 易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =sin2A ：sin2B ：sin2C.
⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=⋅⋅+=⋅22BC t BC AB s BC AO AB BC t AB s AB AO 由结论3及结论：O 为ABC ∆的外心，H 为ABC ∆的垂心，则OC OB OA OH ++=可得结论4。
结论4：若H 为ABC ∆垂心，则
()+-+HA A C B 2sin 2sin 2sin ()+-+HB B C A 2sin 2sin 2sin ()02sin 2sin 2sin =-+HC C B A 即0cos cos sin cos cos sin cos cos sin =++HC B A C HB C A B HA C B A
证明：∵对任意ABC ∆有OC OB OA OH ++=，其中O 为外心，H 为垂心，
∴()OC OB HA +-=，()OC OA HB +-=()
OA OB HC +-=
则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数z y x ,,，使得0=++HC z HB y HA x ， 即()()()0=+++++OC y x OB x z OA z y ，由结论3得：02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 所以有：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+C y x B x z A z y 2sin 2sin 2sin ，⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-+=-+=∴C B A z B A C y A C B x 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin
所以可得：()+-+HA A C B 2sin 2sin 2sin ()+-+HB B C A 2sin 2sin 2sin ()02sin 2sin 2sin =-+HC C B A 化简后可得：0cos cos sin cos cos sin cos cos sin =++HC B A C HB C A B HA C B A
应用举例：
例1：已知O 为ABC ∆的内心，且0432=++OC OB OA ，则角A 的余弦值为 。
分析：由结论2可得4:3:2::=c b a ，所以由余弦定理可得：874324916cos =⨯⨯-+=
A 例2：已知ABC ∆的三边长为2,6,1==
=CA BC AB ，设ABC ∆的外心为O ，若BC t AB s AO +=， 求实数t s ,的值。
分析：()()OC BO t OB AO s AO +++= ，整理后即得：OC s t OB s t s OA 1
1-+--=. 由结论3可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--A C
s t A B s t s 2sin 2sin 1
2sin 2sin 1，又易得161532sin ,4152sin ,8152sin ==-=C B A ， ∴.5
3,57==t s 点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组：
解方程组可得结果。
例3：设H 是ABC ∆的垂心，当6,5===BC AC AB 时，BC n AB m AH +=，求实数n m +的值.
分析： 由结论4可得： 0cos cos sin cos cos sin cos cos sin =++HC B A C HB C A B HA C B A . 而C B =，整理后得：()0cos cos cos 1=++-HC A HB A HA A
由
BC n AB m AH +=，可得()()01=+-+-HC n HB n m HA m ， ∴A A m n m n m cos 1cos 11--=--=---. 而25
7552362525cos =⨯⨯=+=A ， 解得327,3214==n m ， ∴32
21=+n m . 点评：此题的通用解法应该是仿例2的点评，构造与基底相关的方程组。
通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生能力的要求。
所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极大地提高学生的数学素质及思维能力。