概率论基础 PPT课件
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概率论的基本知识PPT课件
次
• （N ∞）]，其分布曲线都相同。
• ●由此可见，虽然各小球在与任一钉子碰撞 后向左还是向右运动都是随机的，由很多偶 然因素决定，但最终大量小球的总体在各槽 内的分布却有一定的分布规律，这种规律由 统计相关性所决定
第2页/共19页
§2.2.2 等概率性与概率的基本性质
• （一）概率的定义
• ●在一定条件下，如果某一现象或某一事件 可能发生也可能不发生，我们就称这样的事 件为随机事件。
• ●为了对连续变量的概率分布了解得更清楚，
第12页/共19页
子弹沿靶板的分布实验
图是直角坐标示靶板上 的分布 把靶平面划分出很多宽 为x的窄条 x的宽度比黑点的大小 要大得多。
●数出在x到x+Δx范围 窄条的黑点数ΔN，
把它除以靶板上总的黑
点数N
• 则其百分比就是黑点处于x 到x+Δx范围内
这一窄条的概率。 第13页/共19页
• ●在曲线中x到x+dx微小线段下的面积则表示黑点处于x到x+dx范围内的概 率,故有黑点位置处于x1到x2范围内的概率
x2 x1
f (x)dx
●上式中已把积公区域扩展为无穷大
f (x)dx 1
第15页/共19页
●类似地可把靶板沿y方向划分为若干宽为y
的窄条, 数出每一窄条中的黑点数，
求出 f ( y )=N /N y
第5页/共19页
• ●把一个骰子连续掷两次，若骰子是刚性的，掷第二次出现的概率与第一次 掷过否，第一次出现的哪一面向上都无关，
• 我们就说连续两次掷骰子是统计独立的。 • ●若骰子是刚性的，且每一面向上的概率都是(1/6)，连续掷两次出现的花
样为11，12，……65，66共36种。 • 显然这36种花样也是等概率的，故连续掷两次均出现 “1”的概率是
• （N ∞）]，其分布曲线都相同。
• ●由此可见，虽然各小球在与任一钉子碰撞 后向左还是向右运动都是随机的，由很多偶 然因素决定，但最终大量小球的总体在各槽 内的分布却有一定的分布规律，这种规律由 统计相关性所决定
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§2.2.2 等概率性与概率的基本性质
• （一）概率的定义
• ●在一定条件下，如果某一现象或某一事件 可能发生也可能不发生，我们就称这样的事 件为随机事件。
• ●为了对连续变量的概率分布了解得更清楚，
第12页/共19页
子弹沿靶板的分布实验
图是直角坐标示靶板上 的分布 把靶平面划分出很多宽 为x的窄条 x的宽度比黑点的大小 要大得多。
●数出在x到x+Δx范围 窄条的黑点数ΔN，
把它除以靶板上总的黑
点数N
• 则其百分比就是黑点处于x 到x+Δx范围内
这一窄条的概率。 第13页/共19页
• ●在曲线中x到x+dx微小线段下的面积则表示黑点处于x到x+dx范围内的概 率,故有黑点位置处于x1到x2范围内的概率
x2 x1
f (x)dx
●上式中已把积公区域扩展为无穷大
f (x)dx 1
第15页/共19页
●类似地可把靶板沿y方向划分为若干宽为y
的窄条, 数出每一窄条中的黑点数，
求出 f ( y )=N /N y
第5页/共19页
• ●把一个骰子连续掷两次，若骰子是刚性的，掷第二次出现的概率与第一次 掷过否，第一次出现的哪一面向上都无关，
• 我们就说连续两次掷骰子是统计独立的。 • ●若骰子是刚性的，且每一面向上的概率都是(1/6)，连续掷两次出现的花
样为11，12，……65，66共36种。 • 显然这36种花样也是等概率的，故连续掷两次均出现 “1”的概率是
《概率论基础》PPT课件
6
销售部经理认为，为减少决策风险，应根据对用户试用 反馈情况进行分析后再作是否投资生产该洗衣机的决定。 销售部经理还提供了过去许多企业在产品正式投产之前采 用类似试用或试销方法的用户反馈结果与产品正式生产上 市后销售状况之间的统计数据，见表1
表1 销售状况与试用结果间的统计资料
销售状况 试用结果
滞销
5
销售部经理的建议
为使对该新产品项目的投资决策更具科学性，总经理 召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人参加的 会议。会上销售部经理建议，为减小决策风险，应在决 定是否投资生产前先利用原有设备进行少量试生产（100 台），并将试生产的洗衣机免费赠送给不同地区的一些 用户进行为期3个月的试用，以取得用户的反馈信息。为 此，销售部经理还设计了用户试用后的信息反馈表，包 括功能、使用效果、方便程度、外观、可靠性五大类共 25个指标，每项指标都由用户按1～5分打分，加权平均 后的满分为100分。根据用户试用后反馈结果的总平均分， 可 将 用 户 对 该 洗 衣 机 的 评 价 分 为 ” 不 满 意 ” （ 低 于 60 分）、”尚可”（60～90分）和”满意”（高于90分） 三种可能结果。
C，… 表示。 3．样本空间——由试验E所有基本事件组成的集合，称为
E的样本空间，常用字母S表示。 4．必然事件——每次试验中必然发生的事件；样本空间S
是必然事件。 5．不可能事件——试验中不可能发生的事件；不含任何
基本事件的空集是不可能事件；记为φ。
11
【例1】掷一枚骰子，观察出现的点数.
利用概率论的知识，可以帮助决策者进行风险型决策分析， 利用所能获得的各种信息，还可以大大降低决策的风险程度， 尽可能避免重大的经济损失，并为企业带来可观的经济效益 和良好的发展机遇。
销售部经理认为，为减少决策风险，应根据对用户试用 反馈情况进行分析后再作是否投资生产该洗衣机的决定。 销售部经理还提供了过去许多企业在产品正式投产之前采 用类似试用或试销方法的用户反馈结果与产品正式生产上 市后销售状况之间的统计数据，见表1
表1 销售状况与试用结果间的统计资料
销售状况 试用结果
滞销
5
销售部经理的建议
为使对该新产品项目的投资决策更具科学性，总经理 召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人参加的 会议。会上销售部经理建议，为减小决策风险，应在决 定是否投资生产前先利用原有设备进行少量试生产（100 台），并将试生产的洗衣机免费赠送给不同地区的一些 用户进行为期3个月的试用，以取得用户的反馈信息。为 此，销售部经理还设计了用户试用后的信息反馈表，包 括功能、使用效果、方便程度、外观、可靠性五大类共 25个指标，每项指标都由用户按1～5分打分，加权平均 后的满分为100分。根据用户试用后反馈结果的总平均分， 可 将 用 户 对 该 洗 衣 机 的 评 价 分 为 ” 不 满 意 ” （ 低 于 60 分）、”尚可”（60～90分）和”满意”（高于90分） 三种可能结果。
C，… 表示。 3．样本空间——由试验E所有基本事件组成的集合，称为
E的样本空间，常用字母S表示。 4．必然事件——每次试验中必然发生的事件；样本空间S
是必然事件。 5．不可能事件——试验中不可能发生的事件；不含任何
基本事件的空集是不可能事件；记为φ。
11
【例1】掷一枚骰子，观察出现的点数.
利用概率论的知识，可以帮助决策者进行风险型决策分析， 利用所能获得的各种信息，还可以大大降低决策的风险程度， 尽可能避免重大的经济损失，并为企业带来可观的经济效益 和良好的发展机遇。
概率基础知识ppt课件
n
② pi＝1. i＝1
③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于这 个范围内每个随机变量值的概率__之__和____． 思考探究 如何求离散型随机变量的分布列？ 提示：首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一 个值对应的概率，最后列成表格．
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15
2．常见离散型随机变量的分布列
概率基础知识
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1
基
基本事件
互斥事件
加
本
法
事
事
并（和）事件的概率
公
件
目ห้องสมุดไป่ตู้事件
件
对立事件
式
空
的
间
性
质
不可能事件
乘
概
独立事件
法
率 必然事件
交（积）事件的概率
公
式
条件概率
简
全
单
古典概型
概
概
率
随
率
比例算法
公
机
模
式
事
型
几何概型
件
频
率
随机试验
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2
集合知识回顾： 1、集合之间的包含关系：
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时 为了表达简单，也用等式__P_(_X_＝__x_i_)＝___p_i，__i＝__1_,_2_，__…__，__n__表示
X的分布列．
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14
(2)离散型随机变量分布列的性质 ①____p_i≥__0_，__i_＝__1_,2_，__…__，__n_；
PA∩B
P(B|A)＝___P__A_____，P(A)>0.
《概率论基础》课件
《概率论基础》PPT课件
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
概率论的基本概念 PPT课件
练习三
从下面两式分析各表示什么包含关系。
1A B A 2A B A
解
1A B A 2A B A
, 说明A是B的子集， A B ，说明 B是A的子集， B A
。 。
返回
概率
对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件 外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。 我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。 用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这 个数P(A)就称为随机事件A的概率。 我们希望找到一个数来表示P(A)。
例2： 在E２中事件A１：“第一次出现的是H”，即 A１＝{HHH，HHT，HTH，HTT}； 事件A２：“三次出现同一面”，即 A2＝{HHH，TTT}； 在E６中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即 A3＝｛t︱0≤t＜1000}； 在E７中事件A3：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即 A7＝{(x，y) ︱y-x=10,T0≤x≤y≤T1}。 例3： 某袋中装有4只白球和2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所 可能出现的事件。若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3， 4号，2只黑球编为5，6号。如果用数对(i，j)表示第一次摸得 i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
ABC ABC ABC
A B C或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习一
化简下列格式：
1 A B A B 2 A B B C 3 A B A B A B
现在我们以abc分别记投一次四面体出现红白黑颜色的事件则由于在四面体中有两面有红色因pa12同理pbpc12容易算出pabpbcpac14所以abc两两独立但是pabc1418papbpc80思考能否由81例23若有一个均匀正八面体其第1234面染红色第1235面染白色第1678面染上黑色现在以abc分别表示投一次正八面体出现红白黑的事件则但是pab3814papb82n个事件独立性的定义及其推论一般设a是nn2个事件如果对于其中任意2个任意3个?任意n个事件的积事件的概率都等于各事件概率之积则称事件相互独由定义可以得到以下两点推论
概率论基础优秀课件
有可能出现的结果 – 试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果
• 样本空间()：一个随机试验的所有可能结 果的集合
• 样本点()：试验的每一个可能结果
例1.2 随机现象的样本空间
• 试列出例1.1中随机现象的样本空间
– 掷一颗骰子的样本空间：Ω1={ω1,ω2,…,ω6}，其 中ωi表示出现i点，i=1,2,…,6。也即掷一颗骰子 的样本空间为：Ω1={1,2,…,6}
件A，则事件A包含的样
本点数为C51C31 ，故取到 两个不同颜色球的概率为
P(A)
C51C
1 3
15
C82
28
– 将“白球”、“黑球” 替换为“正品”、“次 品”，就可以用来求解 产品质量抽样检查问题
– 向口袋中加入其他颜色 的球，可以描述具有更 多等级的产品抽样问题， 如将产品分为一等品、 二等品、三等品、等外 品的产品抽样检查问题
＋FN(B)
(2)概率的古典定义
• 古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型
– 试验具有有限个可能出现的结果 – 试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的
• 古典概型中基本事件ω的概率（假定样本空间
={ω1，ω2，…，ωn}
P(1 ) P(2
）
)
P(n
)
1 n
• 古典概型中随机事件A的概率
P(A)
概率论基础
1 概率论基础
1.1 事件与概率 1.2 概率的基本性质 1.3 条件概率与事件独立性 1.4 随机变量及其分布
1.1 事件与概率
• 自然界和人类社会生产实践中的两类现象
– 确定性现象：具有确定结果的现象 – 不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情
况下，一系列试验或观察会得到不同的结果， 并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪 种结果
• 样本空间()：一个随机试验的所有可能结 果的集合
• 样本点()：试验的每一个可能结果
例1.2 随机现象的样本空间
• 试列出例1.1中随机现象的样本空间
– 掷一颗骰子的样本空间：Ω1={ω1,ω2,…,ω6}，其 中ωi表示出现i点，i=1,2,…,6。也即掷一颗骰子 的样本空间为：Ω1={1,2,…,6}
件A，则事件A包含的样
本点数为C51C31 ，故取到 两个不同颜色球的概率为
P(A)
C51C
1 3
15
C82
28
– 将“白球”、“黑球” 替换为“正品”、“次 品”，就可以用来求解 产品质量抽样检查问题
– 向口袋中加入其他颜色 的球，可以描述具有更 多等级的产品抽样问题， 如将产品分为一等品、 二等品、三等品、等外 品的产品抽样检查问题
＋FN(B)
(2)概率的古典定义
• 古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型
– 试验具有有限个可能出现的结果 – 试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的
• 古典概型中基本事件ω的概率（假定样本空间
={ω1，ω2，…，ωn}
P(1 ) P(2
）
)
P(n
)
1 n
• 古典概型中随机事件A的概率
P(A)
概率论基础
1 概率论基础
1.1 事件与概率 1.2 概率的基本性质 1.3 条件概率与事件独立性 1.4 随机变量及其分布
1.1 事件与概率
• 自然界和人类社会生产实践中的两类现象
– 确定性现象：具有确定结果的现象 – 不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情
况下，一系列试验或观察会得到不同的结果， 并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪 种结果
147_概率论基础课件
是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是 高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念 是随机变量．
由定义可知，随机变量
X(e)是以样本空间S为定
义域的一个单值实值函数。
概率论基础知识
第一部分 概率论的基本概念
随机试验: (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且事
先可以知道试验所有可能的结果； (3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪
个结果; 满足上述特点的试验称为随机试验，一般记
为E。
随机试验的例子：
E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出
和事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，记 作A∪B
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 可列个事件A1, A2,…, An …至少有一个发生，记
作
积事件 :A与B同时发生，记作 A∩B＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 可列个事件A1, A2,…, An , …同时发生，记作
以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取 值为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率 为p， 发生的概率为1-p=q。
(X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
这里每一项表示k次试验中出现A，而另外n-k次试验中出 现 ，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。 由独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)1-k，因此
的函数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同．把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不
能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了．比如你在星期一买了—张奖券，到 星期五开奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道．
由定义可知，随机变量
X(e)是以样本空间S为定
义域的一个单值实值函数。
概率论基础知识
第一部分 概率论的基本概念
随机试验: (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且事
先可以知道试验所有可能的结果； (3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪
个结果; 满足上述特点的试验称为随机试验，一般记
为E。
随机试验的例子：
E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出
和事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，记 作A∪B
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 可列个事件A1, A2,…, An …至少有一个发生，记
作
积事件 :A与B同时发生，记作 A∩B＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 可列个事件A1, A2,…, An , …同时发生，记作
以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取 值为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率 为p， 发生的概率为1-p=q。
(X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
这里每一项表示k次试验中出现A，而另外n-k次试验中出 现 ，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。 由独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)1-k，因此
的函数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同．把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不
能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了．比如你在星期一买了—张奖券，到 星期五开奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道．
概率论ppt课件
先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
数理统计 ppt 第一章 概率论基础
=
������ ������������ ;������(������������������) 1;������ ������
=
1 ;0 2 1 1; 3
=
3 . 4
一、古典概型
例2 一盒晶体管中有8只合格品、2只不合格品。 从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合 格品的概率。 (P40 ex12)
0.5×1 0.5×1:0.5×0.25
= 0.8
一、古典概型
(2) 此时有������(������) = 0.2，������(������) = 0.8，所以由贝叶 斯公式有
������ ������ ������ =
=
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ :������ ������ ������(������|������)
解: 记事件������������ 为“第������ 次取出合格品”，������ = 1,2。 用全概率公式 ������ ������2 = ������ ������1 ������ ������2 ������1 + ������ ������1 ������ ������2 ������1 8 7 2 8 4 = × + × = . 10 9 10 9 5
证明：设小概率事件������发生的概率为������，即������(������) = ������ ， ������ > 0，则重复������次都不发生概率为������ ������ ������ = 1 − ������ ������ ，则
发生概率为������ = 1 − 1 − ������ 1，即必发生。 注：吃路边摊和乱穿马路的人们要注意了！
课件第1部分概率基础ProbabilityBase
F 1,2,…,k(X1, X2, …, Xk)
=F(x1, x2, …, xk,+∞,…,+∞)
=P (X1≤ x1, X2≤ x2,…, Xk ≤ xk , Xk+1 ≤ +∞,…, Xn ≤ + ∞ )
为k维边缘分布，这样的边缘分布有
C
k n
个。
第1章 概率基础
1.1.1 联合分布(Joint Distribution)
分布名称 二项分布 泊松分布 正态分布 伽玛分布
概率密度函数
n x
px
(1
p) x1
x e
x!1Biblioteka 1 (x)2e 2 2
2
a xa 1e x , t (a )
矩母函数
(1 p pet )n
e (et 1)
e e t 2t 2 / 2
a
t
第1章 概率基础
1.2 常见的统计分布
反变换
X1=h1(y1, y2,…, yn)，…, Xn=hn(y1, y2,…, yn) 具有连续的一阶偏导数，则Y1, Y2,…, Yn 的联合密度函数为
fy1, y2,…, yn (y1, y2,…, yn)= fX1, X2,…, Xn (x1, x2,…, xn)| Jg-1 (x1, x2,…, xn)| 其中x1=h1(y1, y2,…, yn)，…, xn=hn(y1, y2,…, yn)
x
证：
E (Y | X x )PX ( x )
x
yP Y | X ( y | x ) P X ( x )
xy
y PY | X ( y | x ) P X ( x )
y
x
yP y ( y ) E (Y )
《概率与概率》课件
03
概率极限定理
大数定律
大数定律
在独立重复试验中，随着试验次数的增 加，某事件发生的频率趋于该事件发生 的概率。
VS
举例
抛硬币试验，随着抛硬币次数增加，正面 朝上的频率趋于0.5。
中心极限定理
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分 布。
举例
人的身高、体重等很多统计量都服从正态分布，这是因为人的数量足够多，样本 均值趋近于正态分布。
强大数定律
强大数定律
设$X_n(n=1,2,ldots)$为独立同分布随机变量序列，存在常 数序列$a_n(n=1,2,ldots)$，使得$a_nX_n$有概率1收敛， 则称强大数定律成立。
举例
在股票市场中，长期来看，股票的平均收益率趋近于某个常 数，这就是强大数定律的一个应用。
04
贝叶斯定理与决策理论
生物进化研究
生物进化研究中，概率被用来解释物种的起源、演化和灭绝。
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条件概率
条件概率的定义
在事件B已经发生的条件下， 事件A发生的概率称为条件 概率，记作P(A∣B)。
条件概率的性质
条件概率满足非负性、规范 性和可列可加性。
条件概率与独立性
如果事件A和事件B是独立的 ，则P(A∣B)=P(A)。
02
随机变量及其分布
随机变量的定义
随机变量
在概率论中，随机变量是一个函数，其定义域是样本 空间，值域是实数集或其子集。
贝叶斯决策理论的应用
贝叶斯决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有着广泛的应用，它可以帮助决策者理解和预测不 确定环境下的决策结果。
贝叶斯更新
贝叶斯更新的定义
《概率论基础》PPT课件
颜色(yánsè)
红
黑
2
2
24
24
26 26
总计 4
48
52
P(A牌 或者 黑色) = P(A牌) + P(黑色) - P(A牌 黑色)
4 26 2 28
18
52 52 52 52
第十八页，共34页。
条件 概率 (tiáojiàn)
Conditional Probability
1. 一个事件发生的条件下，另一个事件发 生的概率。
必然
(bìrán)
联合事件
复合事件
.5
2. 取值在 0 和 1 之间
3. 所有事件之和为 1
0
不可能 13
第十三页，共34页。
简单 事件的概率 (jiǎndān) Probability of Simple Event
P(事件) =
X T
X = 使某结果发生 的事件数量 (fāshēng)
检查了100个
2 / 52 26 / 52
21 2 26
第二十一页，共34页。
树形图表示(biǎoshì)条件概率
条件 事件 (tiáojiàn)
:
有14支蓝笔和6支红笔，从这20
支选出两支钢笔，不可替换.
P(红|红) = 5/19 红 P(红) = 6/20 红
不独立
! (dúlì)
P(蓝|红) = 14/19 蓝
3. 互斥事件
先前的概率
新的信息(xìnxī)
应用 贝叶斯定理
修正后概率 26
第二十六页，共34页。
贝叶斯定理(dìnglǐ)公式 Bayes’ Theorem Formula
P(B i | A)
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正概率点为至多可列个
连续型 其他
任何随机变量X都是从负无穷到正无穷
离散型随机变量特点：正概率点为有限个或者可列个
0，1：正概率点 P(1)=1/2
P(0)=1/2
非离散型
连续型 其他
三.随机变量(random variable)的分布
4.1 概率的数学（公理化）定义 概率就是广义的函数
数学定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的随机事件 组成的集合（事件体）为定义域，定义一个函数P(A)（其中A为任一随机事件），
且P(A)满足以下三个公理，则称函数P(A)为事件A的概率。
公理1（非负性） 0≤P(A)≤1 公理2（规范性） P(Ω)=1 公理3（可列可加性） 若A1,A2, …,An,…两两相斥，则
第一章 概率论基础
§1.1 概率简述
1. 随机现象及其统计规律性
在一组不变的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象， 这类现象的一个共同点是： 事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。
2. 随机试验与随机事件 我们把对随机现象进行的一次观测或者一次实验统称为一个试验， 如果这个试验满足下面的三个条件： （1）在相同的条件下，试验可以重复地进行；（可重复） （2）试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果； （3）在进行试验前不能确定出现哪一个结果。（不可预测） 那么我们就称它是一个随机试验，简称试验。一般用字母E表示。
数值p为事件A在条件S下发生的概率(probability) ，记作P(A)=p。
例2：捕鱼问题
× f
n
A
n
P
A
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上1000条作记号，放回后再
捞上1000条，发现其中40条有记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，用A表示事件（任捞一条带记号）。
问下面两个数1000/n，40/1000，哪个是A的频率？哪个是A的概率？为什么？
4.2 概率的统计定义
在相同条件S下，独立地重复作n次试验，考察事件A出现的次数(频数) μ，
称fn(A)= μ/n 为A在n次试验中出现的频率(frequency)。
当试验次数n很大时，如果A的频率fn(A)稳定地在某一数值p附近摆动； 而且 一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称
A. 两个数都是概率
B. 两个数都是频率
C. 左边频率，右边概率 D.左边概率，右边频率
答案是 D
4.3概率的古典定义
古典型试验：如果一个随机试验E满足 （i）实验结果为有限个； （ii）每个结果出现的可能性是相同的。
4.4 概率的几何定义
5.条件概率与概率的乘法公式 5.1 条件概率
定义 对任意事件A和B，若 P(B) 0，则“在B事件发生的条件下A的条件
ABC=φ 称为三个事件 不能同时发生
（4） 独立，事件A发生与否对事件B的概率没有影响，反之亦然，
三个事件两两独立不能推出三个事件独立 如果事件A，B，C满足
则称事件A，B，C相互独立。
4.概率的定义与性质 概率定义：
1. 概率的数学（公理化）定义 2. 概率的统计意义下定义 3. 概率的古典定义 4. 概率的几何定义
P( A1 A2 L An ) P( A1) P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )L P( An | A1A2 L An1)
6.全概率公式与逆概（贝叶斯）公式 等概完备事件组
1） 完全性（至少有一个发生） 2） 互斥性（至多有一个发生） 3） 等概性（发生的可能相同），则为等概完备事件组 完备事件组
概率”，记作P(A | B)，定义为
P(
A
|
B)＝
P（AB） P（B）
5.2 概率的乘法公式：
一般情况下乘法公式：
若P(B) 0，则 P(AB) P(B)P(A | B)
同样有
若P(A) 0，则 P(AB) P(A)P(B | A)
独立情况下乘法公式： P(AB)=P(A)P(B) 两个事件的乘法公式还可推广到n个事件，即
§1.3 随机变量及其概率分布
一、 随机变量
在条件S下，随机试验的每一个可能的结果ω都用一个实数X=X(ω)来表示， 且实数X满足：
单值函数
（i）X是由ω唯一确定
分布函数存在
（ii）对于任意给定的实数X，事件{X≤x}都是有 概率的，则称X为一随机变量， 一般用英文大写字母X,Y,Z或希腊字母ξ,η,ζ表示。
随机事件：1.样本空间Ω的一个子集 2.所谓事件A发生，当且仅当这个子集中的一个样本点ω发生
3.事件之间的关系与运算
事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”。
如果没有特别的说明，下面问题的讨论我们都假定是在同一样本空间Ω中 进行的。 事件的并：或者A发生或者B发生或者A、B同时发生，记为A∪B或A+B 事件的交：A与B同时都发生，记为A∩B或A∙B，有时也简记为AB
事A 件的逆：事件A不发生，记为 A－B，A与B的差不是基本运算 A与B的差：我们称为A－B，记为 A B
关系： （1）包含，设A，B为两个事件，如果A中的每一个样本点都属于B， 那么称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B。 （2）如果A、B相互包含，那么称事件A与事件B等价或相等，记为A=B。 （3） 互斥，两个事件互斥是A与B不能同时发生，三个事件互斥是三个事件 两两互斥。（互不相容）
随机变量可以说是样本点的函数
我们把多个随机变量放在一起作为一个整体来考虑就叫做n维随机变量（向）量. (n-dimensional random variable)
二.随机变量(random variable)的分类
或者有限个或者可列个
离散(discrete)型：取值 至多可列个
随机变量X
非离散型
6.1 全概率公式
先验概率
6.2. 逆概公式（贝叶斯公式）
后验概率 如果把 B 看成“结果”， Ai ， i 1,2, , 看成导致这一结果的可能的“原因”. 全概率公式可以看成为“由原因推结果” 贝叶斯公式正好相反，可以看成是“由结果推原因”.
7.伯努利(Bernoulli)概型
在单次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则在n次独立重复试验中 利用上面关系式和表达式计算概率的数学模型，称为二项概型或独立试验序列概型