2.2.1椭圆的标准方程

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课件9：2.2.1 椭圆及其标准方程

❖ 1.已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， ❖ (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是
________ ____．
❖ (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是 _______．
❖ [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆线段 F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
m≠n)．
②确定未知量：根据已知条件列出关于 a、b、c 的方程组，
解方程组，可得 a、b 的值，然后代入所设方程即可．
根据下列条件，写出椭圆的标准方程． (1)经过两点 A(0,2)，B12， 3的椭圆标准方程为________； (2)经过点(2，－3)且与椭圆 9x2＋4y2＝36 有共同的焦点的椭圆标准方程为________． [答案] (1)x2＋y42＝1 (2)1x02 ＋1y52 ＝1
第二章
2.1.1 椭圆及其标准方程
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
❖ 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程．
❖ 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程.
椭圆的定义
❖ 1.我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为 _连__结__这__两__点__的__线__段__的__垂__直__平__分__线___．也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？

2.2.1 椭圆及其标准方程

椭圆

2．2．1椭圆及其标准方程

预习课本P38～42，思考并完成以下问题

1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？

2．椭圆的标准方程是什么？

[新知初探]

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

[点睛]定义中的条件2a>|F

F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边

得出来的．否则：

①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；

②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )

(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆( )

(3)方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >0，b >0)表示的曲线是椭圆( )

答案：(1)× (2)√ (3)×

2．若椭圆x 25＋y 2

m ＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．6

答案：C

3．椭圆x 225＋y 2

169＝1的焦点坐标是________．

答案：(0，±12)

[典例] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．

20-21版：2.2.1　椭圆及其标准方程（步步高）

§2.2椭圆

2．2.1椭圆及其标准方程

学习目标 1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程．

知识点一椭圆的定义

1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

2．焦点：两个定点F1，F2.

3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.

4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.

知识点二椭圆的标准方程

焦点在x轴上焦点在y轴上

标准方程x2

a2＋

b2＝1(a>b>0)

a2＋

b2＝1(a>b>0)

图形

焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)

a，b，c的关系b2＝a2－c2

思考能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？

答案能．根据x2与y2的分母的大小来判定，谁的分母大，焦点就在谁轴上．

1．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×) 2．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(×)

3．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆．( √ )

4．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( × )

一、求椭圆的标准方程

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；

2.2.1椭圆的参数方程

椭圆的参数方程:
x2 y2 1
a2 b2
x y
a b
cos sin
(是参数)
椭圆的参数方程中参数的几何意义:
是∠AOX= ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x y
r cos r sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
B O
Aφ
M
Nx
y P
θ
O
A x
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解：设点P(3cos, 2sin ) (0 )
2
SAOB面积一定, 需求SAPB最大即可
即求点P到线AB的距离最大值
O
线AB的方程为 x y 1 2x 3y 6 0
32
d | 6 cos 6sin 6 | 6 | 2 sin( ) 1|
设∠XOA=θ
B O
A
M
Nx
第二章参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为 M，求当半径OA绕点O旋转时点M轨迹的参数方程.
解：设∠XOA=θ, M(x, y), 则
补充、设椭圆
x2 a2
y2 b2

课件14：2.2.1 椭圆及其标准方程

5
32
2

－2 ＋－＝2 10，
2
2

∴a＝ 10.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10 6
x2 y2
法二：设标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．
25
9
a2＝10，
2＋ 2＝1，
依题意得4a 4b
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(
其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合
P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a<c时，集
合P为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题
由椭圆的定义知，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
x2 y2
∴所求轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1.
讲一讲
x2 y2
4．如图所示，P 是椭圆 4 ＋ 3 ＝1 上的一点，F1，F2
为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2
的面积．
解：由已知 a＝2，b＝ 3，
得 c＝ a2－b2＝ 4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2.

2.2.1椭圆的标准方程

2、步骤：①定焦点,设方程； “先定位，再定量” ②代入求a,b；(a2=b2+c2, a>b>0) ③写方程.
3、注意：当焦点位置不确定时，需分类讨论.
练一练：
已知ABC的顶点A、B在椭圆 x2 y2 1上，顶点C是 95
椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在AB边上，
C 则ABC的周长是( )
椭圆定义：
平面内与两个定点F1, F2 的距离的和等于常数 2a
(2a大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1 , F2叫做椭圆的焦点;
|F1F2|叫做椭圆的焦距，记作2c .
M
F1
F2
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c)
问题4：求曲线方程的一般步骤是什么？
（1）建系设点; （2）找出条件；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）检验证明.
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
( y c)2 x2 ( y c)2 x2 2a
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0) y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
椭圆及其标准方程
定义平面内与两个定点F1, F2 的距离的和等于常数2a(2a大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆.
A．6 B．2 5
C．12

高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程

第二章圆锥曲线与方程
第1页
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第二章圆锥曲线与方程
§2 .2 椭圆
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第二章圆锥曲线与方程
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
2．2.1 椭圆及其标准方程
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
自学导引
(学生用书P33)
1. 掌握椭圆的定义及其标准方程． 2．掌握求椭圆标准方程的基本方法.
规律技巧在求椭圆的标准方程时，可以根据焦点的位置设出椭圆的标准方程，然后用待定系数法确定a，b的值，但有时在椭圆的焦点不确定时，用椭圆方程的一般式，会使求解过程更加简捷.
第34页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
变式训练3 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和B(－2 3，1)两点的椭圆的标准方程．
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
(3)两种椭圆的相同点是：它们的大小形状都相同，都有 a＞b＞0，a2＝b2＋c2.不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标不同．
(4)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大．椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．

2.2.1椭圆及其标准方程

第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
注意挖掘隐含条件 △ABC 的三边 a，b，c(a>b>c)成等差数列，A、
C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点 B 的轨迹． [错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，
[解析] 设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过点 B，∴|PB|＝r，又∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 即点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[解析] 如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M 内切于圆 C1， ∴|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8， ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8， b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求椭圆方程为6x42 ＋4y82 ＝1.

2.2.1 椭圆及其标准方程

解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上， x2 y2 所以设它的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b 因为 2a＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c＝6，所以 a＝5，c＝3，所以 b2＝a2－c2＝52－32＝16. x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 25 16
当堂检测
课堂讲义
2.2.1 椭圆及其标准方程
由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10；但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得 b2＝a2－c2＝25－16＝9. x2 y2 所以点 A 的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 25 9 规律方法利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．特别注意点A不在x轴上，因此y≠0.
预习导学
课堂讲义
当堂检测
课堂讲义
2.2.1 椭圆及其标准方程
规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点
三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把 |PF1|· |PF2|看作一个整体来处理．

2.2.1椭圆及其标准方程

1
• (3)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的左焦点到直线l：
x－y－2＝0的距离为 2 2 ，求椭圆方程。
• x2/8＋y2/4＝1
例2、在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作x轴
的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
y
P
Dx o
相关点法(转移法):即利用中间变量求曲线方程.
三、①椭圆方程的几何意义：
y
y
F1 o F2 x
B2 A1 b a A2
F1 O c F2 x
B1
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
②椭圆的第二种形式：
如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？
y
F2
M
o
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
四、两类标准方程的对照表：
∴|AB|+|AC|=12>|BC|,
∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆 (除去与x轴的交点).
且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得
a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方程是
(y≠0).
x2 y2 1 36 20
定义法
练习：已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、 AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是___x_2/_4_+y_2_/3_=_1___.

2.2.1椭圆的标准方程

F1
aห้องสมุดไป่ตู้
x y 1 a > b > 0 2 2
2
2
b
思考：椭圆方程中a，b，c之间的关系是什么？
三、概念形成
概念2.椭圆的标准方程的推导 y y
P ( x,

y)
F2

P ( x, y )
F1
O
F2

x
O
F1
x
x2 y 2 a > b > 0 1 2 2 a b
M
F1
F2
轨迹是一条线段轨迹不存在
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 y y y F1
O O O
y
y F2
M xx x
O
M
OF2
x F1
x 方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
三、概念形成
概念2.椭圆的标准方程的推导
建化系简列点式设
椭圆上的点满足︱PF1︱+︱PF2︱为定值，设为2a，则2a>2c y
则： x + c + y + x - c 2 + y 2 = 2a
2 2
P( x , y )

§2.2.1 椭圆及其标准方程

X
§2.2.1 椭圆及其标准方程
生活中的椭圆
数学实验
[1]取一条细绳， [2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2 [3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形观察做图过程：
M F1 F2
[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。 [2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。
2 2 2 2 2 2
2
a 2 cx a ( x c ) 2 y 2
两边再平方，得
a4 2a 2cx c2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a2c2 a2 y 2
整理得
(a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点 ∴ ( ) ( ) 1
5 2 2 2 3 2 2 2
y2 x2 设它的标准方程为 2 2 1 (a b 0) a b
3 5 ， 2 2
y
P
F2
……②
x
F1
联立①②可求得：a 2 10, b 2 6 y2 x2 1 ∴椭圆的标准方程为 10 6
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
3)两类标准方程的对照表
定义 MF1+MF2=2a (2a>2c>0)

2.2.1椭圆及其标准方程

y
2
2
M (x,y)
F1(-c,0) O
F2(c,0) x
当椭圆的焦点F1、F2在y轴上时，椭圆的方程是什么？
y 2 x2 （2） 2 2 1 (a b 0) a b
它表示： (1)椭圆的焦点在y轴 (2)焦点是F1(0，-c)、F2(0，c) (3)c2= a2 - b2
y
F2
2
2
x y 1） 2 2 1 (a b 0) 椭圆的标准方程: （ a b 它表示：
(1)椭圆的焦点在x轴 (2)焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）
2
2
（ 3）b a c
2 2
2
y
M (x,y)
F1(-c,0) O
F2(c,0) x
6
b的几何意义
y M
a
F1
b
O
a
c
b
x y 1 表示椭圆，则m,n满足（3）若 m n m>0,n>0 且 m ≠n ________________
2 2
练习：
x2 y2 (1)方程 1 表示椭圆，求k的取值范围. 5 4k
k>0 且 k≠5/4 x2 y2 (2)方程 1 表示焦点在x轴上的椭圆，
5 4k
O
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2.2.1椭圆的标准方程

课件9：2.2.1 椭圆及其标准方程

2.2.1 椭圆及其标准方程

20-21版：2.2.1 椭圆及其标准方程（步步高）

2.2.1椭圆的参数方程

课件14：2.2.1 椭圆及其标准方程

2.2.1椭圆的标准方程

高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程

2.2.1椭圆及其标准方程

2.2.1 椭圆及其标准方程

2.2.1椭圆及其标准方程

2.2.1椭圆的标准方程

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20-21版：2.2.1　椭圆及其标准方程（步步高）