电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
《电磁场与电磁波》课后习题解答(全)
又知
在直角坐标系中
（1）方程 可写出一个标量方程：
（2）方程 可写出一个标量方程：
（3）方程 可写出三个标量方程：
（4）方程 可写出三个标量方程：
第三章习题解答
【习题3.1】
解：设导线沿 方向，电流密度均匀分布
则
导线内的电场
位移电流密度
【习题3.2】
解：由欧姆定理 得
所以
【习题3.3】
解：（1）
理想磁介质内部有 ，故其表面得边界条件为
即
此外，当引入磁流概念时， 的旋度方程为
其对应的边界条件为
因为 ， 则 ， 所以
即理想磁介质中也不存在电场，故有
，所求的边界条件为
【习题3.17】
解：在完纯导体中， ，则 ，否则 为无穷大；
由 ,可知
如图，在分界面上取一矩形闭合路径abcd，该路径的两个Δl边与分界面平行，且分别在两个分界面两侧，另外，两个边h为无限小量。
由题意可知：
左=
=
= + ]
=
= +
=
即证
【习题1.26解】
（1）解： =－ sin xsin y ＝－ sin xsin y
= sin xsin y
＋ ＝ ；
＋ ＋ ＝－（ ＋ － ）sin xsin y ＝0；
满足拉普拉斯方程。
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场
有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.
解穿过导体回路abcda的磁通为
故感应电流为
一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为
故介质棒内的极化强度为
极化电荷体密度为
极化电荷面密度为
则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为
平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为
式中
故
则
有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为
而环形线圈的电感为L，故电压方程为
当U=U0时，电流i也为直流，。故
此时导线内的切向电场为
当U=U（t）时，，故
即
求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即
故电容器两极板间的位移电流密度为
则
式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为
电磁场与电磁波课后习题及答案
电磁场与电磁波课后习题及答案
习题解答如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。解根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为y?)?a(y,?) 0①?(0,) 0②?(x,0?
③?(x,b)?U0 根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为y ?(x,y)??Ansinh(n?1?n?yn?x)sin()aa b o U0 条件③，有 a 题图U0??Ansinh(? ax n?1n?bn?x)sin()aa sin(两边同乘以n?x)a，并从0到a对x积分，得到a2U0n?xAn?sin()dx?asinh(n?ba)?a0
4U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba)2U0?(1?cosn?) ??n?2,4,6,n?sinh(n?ba)?0，?(x,y)?故得到槽内的电位分布4U01?,sinh?n?1,3,5nn?(ban?ysinh()a?nx)s
in(a ) 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。y U0解应用叠加原理，设板间的电位为?(x,y)??1(x,y)??2(x,y) 其中，boxydxy oxy 题图?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间的电位，即?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：
电磁场与电磁波第六章答案
6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为
)cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A /
求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。
解：)cos()(0x wt H a a H z y π-+=
m A /
(1) 波沿+x 方向传播
(2) 由题意得：k=π rad/m ， 波长m k 22==πλ ， 频率Hz c f 8105.1⨯==λ （3）)cos(120
)(0x wt H a a a H E z y x ππη--=⨯= m v / （4）)(cos 24020x wt H a H E S x ππ-=⨯= 2
/m w 6.3无耗媒质的相对介电常数4=r ε，相对磁导率1=r μ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其电场强度的表
达式为)106cos(80z t E a E y β-⨯=
求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和β；（3）磁场强度的瞬时表达式；（4）平均坡印廷矢量。 解：
（1）s m c
v r r p /105.11
8⨯===εμμε
（2）)(6000Ω===πεεμμεμηr
r ， m r a d c w w r r /4===εμμεβ （3）)4106cos(60180z t E a E a H x z -⨯-=⨯=π
η m A / （4）π120]Re[2120*E a H E S z av =⨯= 2/m w
6.4一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。在x=0处，电场强度为m v t a E y /)10cos(1007π =，若海水的80=r ε，1=r μ，m s /4=γ。
电磁场与电磁波_章六习题答案
第6章 平面电磁波
点评：
1、6-8题坡印廷矢量单位，
2W m ，这里原答案有误！
2、6-13题第四问应为右旋圆极化波。
3、6-19题第三问和第四问，原答案错误。这里在介质一中，z<0。
4、矢量书写一定引起重视，和标量书写要分清，结果若是确切的数值则单位一定要标清楚。
5、马上期末考试,那些对参考答案借鉴过多的同学务必抓紧时间把每道题目弄懂！本章是考试重点，大家务必弄懂每道题。
6-1、已知正弦电磁场的电场瞬时值为
()()88,0.03sin 100.04cos 10 3x x z t t kz t kz V m πππ⎛
⎫=-+-- ⎪⎝
⎭E e e
试求：⑴ 电场的复矢量；⑵ 磁场的复矢量和瞬时值。
解：（１）()8
,0.03cos 102x z t t kz ππ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
E e +80.04cos 103
x t kz ππ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
e
所以电场的复矢量为
32()0.030.04 j j jkz x z e e e V m ππ
---⎡
⎤=+⎢⎥⎣⎦
E e
(2) 由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量
32
000
5432
1
()0.030.04 7.610 1.0110j j jkz x y y
j j jkz y E j k
z e e e j z k e e e A m
ππ
π
π
ωμωμωμ--------⎡⎤∂=-∇⨯==+⎢⎥∂⎣⎦
⎡⎤=⨯+⨯⎢⎥⎣⎦
H E e e e
磁场的瞬时值则为
(
)5
8
48(,)7.610sin 10
1.0110cos 103
y z t k t kz t kz πππ--⎡⎤⎛
电磁场与电磁波部分课后答案_郭辉萍版1-6章
(1)
(2)
w/m2
(3)
5.9将下列复数形式的场矢量变换成瞬时表达式，或作用反的变换
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
5.12对于线性，均匀和各向同性导电媒质，设媒质的介电常数为，磁导率为电导率为，试证明无源区域中时谐电磁场所满足的波动方程为 式中
解:
5.15设电场强度和磁场强度分别为 求其平均坡印廷矢量。
解：（1）
（2） 电磁波垂直入射到理想导体上
（3）空气中合成波的电场
磁场
（4） 空气中离导体表面最近的第一个波腹点的位置为
6.8自由空间中一均匀平面电场波垂直入射到半无限大无耗介质平面上，已知自由空间与介质分界面上的反射系数为0.5，且分界面为电场波腹点，介质内透射波的波长是自由空间波长的 ，求介质的相对磁导率和相对介电常数。
⑴球内电荷分布；
⑵球的外表面的电荷分布；
⑶球壳的电位；
⑷球心的电位。
解：⑴由 ，得
⑵
⑶由高斯定理 = =q
当r a时，q=2Q，Q=
⑷
=2-2a
2.17一个有两层介质（ ， ）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为 和 ，电容器极板的面积为S。当外加压力为U时，求：
⑴电容器的电场强度；
两种介质分界面上表面的自由电荷密度；
3.6
两无限大接地平行板电极，距离为 ，电位分别为0和 ，板间充满电荷密度为 的电荷，如题3.6图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。
电磁场原理习题与解答(第6章)
第六章习题答案
6-1 在空气中，均匀平面电磁波的电场强度为 y e x t E
)800cos(βω-= 波长为0.61m ，求： （1）电磁波的频率； （2）相位常数；
（3）磁场强度的振幅和方向。 解：（1）由题意知电磁波在空气中传播，所以传播速度和波阻抗分别为
m/s v 8103⨯=，Ω=377Z 0
故频率 Hz ..λv f 88
1092461
0103⨯=⨯=
= （2）相位常数
s /3rad .1061.02==
π
β （3）由图知 0
Z E
e H x
⨯=
，磁场为z 方向，其振幅为
m /12A .2377
800Z E H 0===
6-2自由空间中传播的电磁波的电场强度E 的复数形式为 m /V e e
E y x j20 π-•= （1） 求频率f 及H ,E
的瞬时表达式；
（2） 当0.025m x =时，场在何时达到最大值和零值？
（3） 若在00x x ,t t ==处场强达到最大值，现从这点向前走100m ，问在该处要过多长时间，
场强才达到最大值。
解：（1）由电场强度y e )x t (800cos E
βω-=可知，电磁波是沿x 方向传播的均匀平面电磁波，
其相位常数s /rad 20πβ=，因为是自由空间，所以
s /m 103v 8⨯=，Ω==377120Z 0π
得 98
1032103202v 2f ⨯=⨯⨯===
π
ππβπω m /V e )x 20t (cos 2)t ,x (E y
πω-=
m /A e )x 20t (cos 377
2)t ,x (H z
πω-=
其中s /rad 106010320v 8
电磁场与电磁波课后习题及答案
电磁场与电磁波课后习题解答
1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e
4y z =-+B e e
52x z =-C e e
求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；
（7）()⨯A B
C 和()⨯A B
C ；（8
）()⨯⨯A
B C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z
+-=
==-e e e A a e
e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (
4)y z -+=e e －11
（4）由 cos AB θ
=14-==⨯A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=11
17
=-A B B （6）⨯=A C 1
235
02x y z
-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 04
1502x y
z
-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041
x
y
z
-=-e e e 1014x y z ---e e e
所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e
电磁场与电磁波课后习题解答全
第一章习题解答
【习题1.1解】
222
22
222
22
2
2
2
22
222
2
2
2
222222
2
22
222
222
cos cos cos cos cos cos 1x
x x y z y
x y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++
【习题1.2解】
924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)191
24331514x y z x y z x y z x y z
e e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+
【习题1.3解】
已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =
所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c += 即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。 （2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从
电磁场与电磁波习题参考答案
电磁场与电磁波习题参考答案(总
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《电磁场与电磁波》知识点及参考答案
第1章 矢量分析
1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F
∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所
产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源
所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：
散度（高斯）定理：S V
FdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰
和
斯托克斯定理：
s
C
F dS F dl
∇⨯⋅=⋅⎰⎰
。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ）
5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ）
6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ）
7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ）
8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ）
9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律
（电场部分）
1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：
V V s
D dS dV Q ρ⋅==⎰
⎰和
0l
E dl
⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E
电磁场与电磁波(杨儒贵_版)课后思考题答案
电磁场与波课后思考题
1-1 什么是标量与矢量?举例说明.
仅具有大小特征的量称为标量.如:长度,面积,体积,温度,气压,密度,质量,能量及电位移等.
不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量.如:力,位移,速度,加速度,电场强度及磁场
强度.
1-2 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么?
矢量加减运算表示空间位移.
矢量与标量的乘法运算表示矢量的伸缩.
1-3 矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么? 矢量的标积: ,A 矢量的模与矢量B 在矢量A 方向上的投影大小的乘积.
矢积: 矢积的方向与矢量A,B 都垂直,且
由矢量A 旋转到B,并与矢积构成右 旋关系,大小为
1-4 什么是单位矢量?写出单位矢量在直角坐标中的表达式. 模为1的矢量称为单位矢量.
1-5 梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的表示式.
标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方向为该点具有最大方向导数的方向.
梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向
在直角坐标中的表示式: 1-6 什么是矢量场的通量?通量值为正,负或零时分别代表什么意义?
矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲面S 的通量,以标量表示，即 通量为零时表示该闭合面中没有矢量穿过. 通量为正时表示闭合面中有源;通量为负时表示闭合面中有洞.
1-7 给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式. 散度：当闭合面S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的通量 与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度。 直角坐标形式： 1-8 试述散度的物理概念,散度值为正,负或零时分别表示什么意义?
电磁场与电磁波第6章习题答案
第6章习题答案
6-1 在1=r μ、4=r ε、0=σ的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是
)3
sin(),(π
ω+
-=kz t E t z E m
若已知MHz 150=f ，波在任意点的平均功率流密度为2μw/m 265.0，试求：
（1）该电磁波的波数?=k 相速?=p v 波长?=λ波阻抗?=η （2）0=t ，0=z 的电场?)0,0(=E
（3）时间经过μs 1.0之后电场)0,0(E 值在什么地方？
（4）时间在0=t 时刻之前μs 1.0，电场)0,0(E 值在什么地方？ 解：（1）)rad/m (22πεπμεω==
=r c
f
k )m/s (105.1/8⨯==r p c v ε
)m (12==
k
π
λ )Ω(60120πεμπη=r
r
＝
（2）∵ 62002
10265.02
121-⨯===
m r
m av E E S εεμη
∴ (V/m)1000.12
-⨯=m E
)V/m (1066.83
sin
)0,0(3-⨯==π
m E E
（3） 往右移m 15=∆=∆t v z p
（4） 在O 点左边m 15处
6-8微波炉利用磁控管输出的2.45GHz 频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数)j 3.01(40~-=r
ε。求： （1）微波传入牛排的穿透深度δ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分之几？
（2）微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数=r ε~ )103.0j 1(03.14-⨯-。说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。
解：（1）20.8mm m 0208.01121
电磁场与电磁波第六章答案
第六章习题解答
1.已知正弦电磁场 E (t ) Em cos t v / m ， 1000 弧度/秒。求下列各种媒质中的传 导电流密度和位移电流密度幅值之比。 1）铜： 5.8 10
j ( kz 0 )
，其中
0 为常数， k 2 2 0 0 。①求两个波的坡印廷矢量的平均值 S av1 和 S av2 ；②证明空间
中总的 Sav Sav1 Sav2 。 11 解答：1）由 E j 0 H ，得
H1
2）证明略。
S EH
0 2 ( E xm E 2 ym )a z cos 2 (t kz) 0
1 1 0 2 S av Re E H ( E xm E 2 ym )a z 2 2 0
8.试由麦克斯韦方程的复数形式推导均匀、线性、各向同性媒质中 E 、 H 满足的亥姆霍 兹方程。 9.在真空中，已知电场强度的表达式为 E ( Em ax jEm a y )e ② E 、 H 的瞬时表达式；③坡印廷矢量的平均值 S av 。
电磁场与电磁波第六章作业题解答
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电磁场与电磁波第六章作业题解答
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第六章无界空间平面电磁波的传播习题解答
6-1．已知自由空间的电磁波的电场强度E的瞬时值为
试回答下列问题：（1）该电磁波是否属于均匀平面波？沿何方向传播？（2）该电磁波的频率、波长、相位常数和相速度各为多少？（3）该电磁波的磁场强度的瞬时表达式。
解（1）均匀平面波等振幅面与等相位面重合，在垂直于传播方向上E、H的方向和大小都不变的电磁波。由题给电磁波电场强度的表达式，可知电磁波沿-Z方向传播，电场强度在垂直于传播方向+Y方向，且振幅为常数，所以电磁波属于均匀平面波。
（2）与沿-Z方向传播，且电场强度矢量沿方向的均匀平面波的一般表达式
相比较，可知
因此，有
频率
波长
相速度
显然，自由空间电磁波的相速度等于光速。
（3）磁场强度H的瞬时表达式为
而
代入，得到
6-2．理想介质（介质参数为μ=μ0，ε=εr ε0，σ=0）中有一均匀平面电磁波沿X方向传播，已知其电场瞬时表达式为
试求：（1）该理想介质的相对介电常数；（2）该平面电磁波的磁场瞬时表达式；（3）该平面电磁波的平均功率密度。
解（1）根据
有
（2）磁场的瞬时表达式
而理想介质中的波阻抗为
所以，有
（3）平均坡印廷矢量
由电场强度E和磁场强度H的瞬时表达式可知，电场和磁场的复振幅矢量为
南邮电磁场第6章习题解答
第6章习题解答
6.1 已知空气中存在电磁波的电场强度为 ()
80cos 6π102πy E e E t z =⨯+V /m
试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H 。 解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强
度瞬时式可以写成复矢量j 0e
kz
y E e E -=。该式的电场幅度为0E ，相位和方向均不变，且0z E e ⋅=⇒z E e ⊥，
此波为均匀平面波。传播方向为沿着z -方向。 由时间相位8
6π10t t ω=⨯ ⇒ 8
6π10ω=⨯ 波的频率Hz 1038⨯=f 波数2πk = 波长2π 1 m k λ=
= 相速p 310 m/s v k
ω
==⨯ 由于是均匀平面波，因此磁场为
j 0w w
1
() e kz z x E H e E e Z Z -=
-⨯= 6.2 有一频率为600MHz 的均匀平面波在无界理想介质(r r 4,1εμ==)中沿x +方向传播。已知电场只有y 分
量，初相位为零，且010t t ==s 时，1x =m 处的电场强度值为800kV/m 。试写出E 和H 的瞬时表达式。 解：根据题意，角频率8
12π10ω=⨯，r r 0028πk c
ω
ωεμεμεμ===
=，因此 80cos(12π108π)y E e E t x =⨯-
由s 10=t ，m 1=x 处的电场强度值为kV /m 800，可以得到kV/m 8000=E
8800cos(12π108π) kV/m y E e t x =⨯-
电磁场与电磁波(第四版)课后答案 第六章习题
v − j ( β z +90o ) ˆ ˆ E ( z ) = x100e + y 200e− jβ z V / m v v 由，∇× E = − jωµ0H得
∴α1 = 0
β1 = ω µ0ε 0 = 0.33rad / m
（2） ∴
σ2 =2 ωε 2
o
µ2 µ2 = = 334e j 31.7 η2 c = σ2 ε 2c ε2 − j ω η2c −η1 Γ= = 0.29e j103 η2c + η1 v Erx = Γ Eim cos (108 t + β1 z + φΓ ) = 29cos (108 t + 0.33z + 103o )V / m （3）
第六章 习题
6.1有一频率为100MHz、沿y方向极化的均匀平面波从空气（x<0区域 中垂直入射到位于x＝0的理想导体板上，设入射波电场Ei的振幅为 10V/m， 试求（1）入射波电场Ei和磁场Hi的复矢量 （2）反射波电场Er和磁场Hr的复矢量 （3）合成波电场E1和磁场H1的复矢量 （4）距离导体平面最近的合成波电场E1为零的位置 （5）距离导体平面最近的合成波电场H1为零的位置 解：（1）ω = 2π f = 2π ×108
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第六章 时变电磁场
6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场
5cos mT
z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨
道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.
解 穿过导体回路abcda 的磁通为
5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰B S e e
故感应电流为
11
0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA
in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ
=
=-=-+-+E
6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B
=B e 中与z 轴平行。设棒以角
速度ω绕轴作等速旋转，求介质的极化强度、体积和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒距轴线距离为r 处的感应电场为
00
z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e
故介质棒的极化强度为
00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X
极化电荷体密度为
200
00
11()()2()P rP r B r r r r
B ρεεωεεω∂∂
=-∇⋅=-
=--∂∂=--P
极化电荷面密度为
0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==⋅=-⋅=-P n B e
则介质体积和表面上同单位长度的极化电荷分别为
220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-
6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =
、0.1m b c d ===、7
1.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向的。故回路中的感应电动势为
d d d d d d in dS B S B S t t
⎡
⎤=-
⋅=-+⎣⎦⎰⎰⎰左右B E 式中
00,22()i i
B B r b c d r μμππ=
=++-左右
故
0000d d ln()
22d d ln()2()2b c
b s
c d d s i ai b c
B S a r r b i ai b c
B S a r b c d r b μμππμμππ+++==+==++-⎰⎰
⎰⎰左右
则
0707777d 2
ln()d 2d ln()[1.0cos(210d 4100.2ln 2sin(210)2103.484sin(210)in ai b c t b a b c t b t t V
t V
μπμππππππ
π-+⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
+=-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯E
6.4 有一个环形线圈，导线的长度为l ，分别通过以直流电源供应电压U 0和时变电源
供应电压U （t ）。讨论这两种情况下导线的电场强度E 。
解 设导线材料的电导率为γ，横截面积为S ，则导线的电阻为
l R S γ=
而环形线圈的电感为L ，故电压方程为
d d i U Ri L
t =+
当U=U 0时，电流i 也为直流，d 0d i t =。故
0l l
U Ri JS J lE
S γγ====
此时导线的切向电场为
0U E l =
当U=U （t ）时，d ()
d i t t ≠，故
d ()d
()()()(())
d d d ()()d i t U t Ri t L R E t S L E t S t t
l E t E t S L S S t γγγγγ=+=+=+
即
d ()()()
d E t lE t U t t L S L S γγ+=
求解此微分方程就可得到()t E 。
6.5 一圆柱形电容器，导体半径为a ，外导体半径为b ，长为l 。设外加电压为0sin U t
ω，
试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即
0sin ln ()r
U t
r b a ω=E e
故电容器两极板间的位移电流密度为
0cos ln ()d r U t t r b a ωεω∂=
=∂D
J e
则
200
cos d d d ln ()
l d d r r s
U t
i r z
r b a πεωωφ=⋅=⋅⎰⎰
⎰
J S e e
002cos cos ln ()l
U t C U t
b a πεωωωω=
=
式中，
2ln ()l
C b a πε=
是长为l 的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为
0d cos d c U
i C
C U t t ωω==
可见
d c i i =
6.6 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解 点电荷q 产生的电场满足麦克斯韦方程
0∇⨯=E 和ρ∇⋅=D
由ρ∇⋅=D 得
d d ττ
τρτ
∇⋅=⎰⎰D
据散度定理，上式即为
d s
q
⋅=⎰D S
利用球对称性，得
24r
q
r π=D e 故得点电荷的电场表示式
24r
q
r πε=E e
由于0∇⨯=E ，可取ϕ=-∇E ，则得
2εεϕεϕρ∇⨯=∇⋅=-∇⋅∇=-∇=D E
即得泊松方程