点线面之间的位置关系基础练习练习题复习.doc

合集下载

第二章_点线面——习题

2-4 已知点A、B的坐标为A（20，10，15），B（15，15，0）求作其三面投影图和立体图。
2-5 已知点A、B的两个投影，求作其第三投影，并比较A、B两点的相对位置。
点
在左，点
在右，
点在前，点在后，点在上，点在下，
2-6 求作A、B、C、D各点的正面投影，并标明投影重合的可见性
2-24 判别下列题中的各点是否在平面上。
2-25 求作：平面ΔABC上一点K，且K点在点A之下15mm，在点A之前10mm 。
15mm 1’ b’ c’
a’
k’ 2’
10mm a
3 2 k 4
1
b
c
2-26 试完成平面图形的水平投影和侧面投影。
已
知：等腰直角三角形ABC的斜边为AC，顶点B在直线MC上。试完成：ΔABC的两面投影。（习题2-25）
பைடு நூலகம்
2-38 过点D作直线DE平行三角形ABC且与H面成300。
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
不平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。

空间点线面位置关系复习

值为(
1 2
)
[题点发散 2] 如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱
ABCD -A1B1C1D1 中，ABA＝1＝12，A若B＝异2面，直则线异A面1B直与线AAD1B1 所与成A角D1 的所余成弦角值的为余1弦90，值试为求：AAAB1的值．
解：设AAAB1＝t，则 AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t，由题意知∠A1BC1 为所求，又 A1C1＝ 2，A1B＝ t2＋1＝BC1， ∴cos ∠A1BC1＝2×t2＋t12＋＋t12×＋1－t2＋2 1＝190， ∴t＝3，即AAAB1＝3.
[类题通法] 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
课堂达标检测
1．(人教 A 版教材习题改编)给出命题 ①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行． ②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． ③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行．
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( × )
2．判断正误（直线关系）
(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d

2023版高考数学一轮总复习8-2空间点线面的位置关系习题

8.2 空间点、线、面的位置关系

基础篇固本夯基

考点一点、线、面的位置关系

1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:

①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;

②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;

③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;

④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.

其中真命题有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案 B

2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )

A.一定同时成立

B.至多一个成立

C.至少一个成立

D.可能同时不成立

答案 C

3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

答案 C

4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )

A.6对

B.9对

C.12对

D.15对

答案 C

5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )

A.a、b与同一个平面所成角相等

B.a、b垂直于同一条直线

C.a、b平行于同一个平面

D.a、b垂直于同一个平面

答案 D

6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )

空间点线面间的位置关系综合练习

直线平面平行的判定及其性质（基础训练）

1．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列命题中正确的是（）

A ．m l ⊥⇒βα//

B ．m l //⇒⊥βα

C ．αβ⊥⇒m l //

D ．βα//⇒⊥m l

答案：A

2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）

A ．α、β都垂直于平面r.

B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.

C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.

D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.

答案：D

解析：因为l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β所以得α与β平行。

3．下列命题正确的是（）

A. 过平面外的一条直线只能作一平面与此平面垂直

B. 平面α⊥平面β于l ，α∈A ，l PA ⊥，则β⊥PA

C. 一直线与平面α的一条斜线垂直，则必与斜线的射影垂直

D. a 、b 、c 是两两互相垂直的异面直线，d 为b 、c 的公垂线，则a ∥d

答案：D

4．在空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB=CF ：FD= λ

（0＜ λ ＜1 ＝设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （）

A.大于90°

B.小于90°

C.等于90°

D.与 λ 的值有关答案：C

5．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不正确的是（）

A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α

B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n

C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β

点线面之间的位置关系练习题

一选择题

1．α,β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判断α∥β的是（）

A α,β都垂直于同一个平面

B α平面内又不共线三点到β平面距离相等

C l,m是α内的直线，且l∥β,m∥β

D l,m是两异面直线且l∥β,m∥β，l∥α,m∥α2．三棱柱ABC-A1B1C1的各个侧棱和底面都垂直，∠BAC=90°点Ｄ１Ｆ１分别为Ａ１Ｂ1，Ａ１Ｃ１中点ＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１，则ＢＤ１与ＡＦ１所称角的余弦值（）

3．如图,α⊥β, α∩β=L,A∈α,B∈β,A,B到L的距离分别是a,b；AB与α, β所成的角分别是θ,φ,在αβ内的射影分别是m,n若a＞b则( )

A θ>φ，m>n

B θ>φ，m

C θ

D θn

4． P为△ABC所在平面外一点，且PA,PB,PC两两垂直，PH垂直平面于H，则H为△ABC的( )

A重心 B垂心 C内心 D外心

5． ABCD-A1B1C1D1为正方体，那么二面角A1-BC1-D1的正切值为( )

A 1

6．△ABC,AB=9,AC=15,∠BAC=120°平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=14,

7．则P到平面ABC的距离是( ）

A 7

B 9

C 11

D 13

7．如图，正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,PA=AB则PB与AC所成的角是( ) A 90° B 60° C 45° D 30°

8三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面的射影为△ABC的中心,则AB1与底面 ABC所成的角的正弦值等于( )

A 1

9．如图，三棱锥A-BCD的棱长都相等，E为AC的中点,F在AD上,且AF

点线面关系练习题(有答案)

//a α

//a b

点线面位置关系总复习

知识梳理

一、直线与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。

（2）判定定理：

（3）其他方法：//a αββ

⊂ 2.1.（1（2（32.（1

（2① ② ③ 推论:

//a a b α⊥b α⊥ （3）性质

①a b αα⊥⊂a b ⊥②a b αα⊥⊥ //a α

四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理a a αβ

⊂⊥αβ⊥ （3）性质

①性质定理l a a l

αβ

αβα

⊥⋂=⊂⊥αβ⊥ ②P PA αα⊥⋂∈3P PA ααα

⊥⋂∈⊥● ● 1..

2.的棱上任取一点叫做二面角例1．D ，交SC 于E ●

例1：例2：在正方体ABCD －A1B1C1D1中，

①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；

②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；

③CC1与平面BC1D 所成的角的大小是___________；

④ BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；

⑤ BD1与平面BC1D 所成的角的大小是___________；

例3：已知空间内一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 两两夹角为60°，试求OA 与平面BOC 所成的角的大小．

● 求线线距离

说明：求异面直线距离的方法有：

(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，

是求异面直线距离的关键．

(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面α，则b 与α距离就是a 、b 距离．（线面转化法）．

2023年高考数学一轮复习点点练27空间点线面的位置关系含解析理

点点练27空间点、线、面的位置关系

一基础小题练透篇

1.以下命题(其中a ，b 表示直线，α表示平面)：

①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b .其中正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 2.

如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )

A ．点A

B ．点B

C ．点C 但不过点M

D ．点C 和点M

3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为A 1D 1，AB ，C 1D 1的中点，则直线A 1G ，

EF 所成角的余弦值为( )

A ．

3010B ．3015C ．3030D ．15

4．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M 、N 、F 分别是B 1C 1、

CC 1、AB 的中点，则下列说法正确的是( )

A ．MN ＝1

2EF ，且MN 与EF 平行

B ．MN ≠1

EF ，且MN 与EF 平行

C ．MN ＝1

2EF ，且MN 与EF 异面

D ．MN ≠1

EF ，且MN 与EF 异面

5．已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( )

点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系

● 知识梳理（一）.平面

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理2：不共线．．．

的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面

1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.

2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行

3.平面与平面的位置关系：平行，相交

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.

②判定定理：////a b a a b ααα⎫

⎪⊄⇒⎬

⎪⊂⎭

③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//α

βαβ=∅⇒；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：,,,//,////a b a

空间中点线面的位置关系测试题

空间中点、线、面的位置关系

一、选择题:

1．下面推理过程，错误的是（）

（A ） αα∉⇒∈A l A l ,//

（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,

（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,

（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,

2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（）

（A ） 1个或3个（B ） 1个或4个

（C ） 3个或4个（D ） 1个、3个或4个

3．以下命题正确的有（）

（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；

（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；

（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；

（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。

（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个

4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（）

（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12

5．以下命题中为真命题的个数是（）

（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；

（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；

（3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；

（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。

（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个

6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）

（A ） 1条（B ） 2条（C ） 3条（D ）1条或3条

高中数学空间中点线面的位置关系练习题

空间中点线面的位置关系练习题

1、下列有关平面的说法正确的是（）

A 一个平面长是10cm ，宽是5cm

B 一个平面厚为1厘米

C 平面是无限延展的

D 一个平面一定是平行四边形

2、已知点A 和直线a 及平面α，则：

①αα∉⇒⊄∈A a a A , ② αα∈⇒⊂∈A a a A , ③αα∉⇒⊂∉A a a A , ④αα⊂⇒⊂∈A a a A , 其中说法正确的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

3、下列图形不一定是平面图形的是（）

A 三角形

B 四边形

C 圆

D 梯形

4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（）

A.4、6、7

B.3、4、6、7

C.4、6、7、8

D.4、6、8

5、共点的三条直线可确定几个平面（）

A.1

B.2

C.3

D.1或3

6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、

AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图

形是（）

A 三角形

B 四边形

C 五边形

D 六边形 A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ∙ ∙ ∙

7、三个平面两两相交，交线的条数可能有————————————————

8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。

9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有———————————

10、空间两条互相平行的直线指的是（）

点线面位置关系(知识点加典型例题)

2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

本节主要介绍空间中点、直线、平面之间的位置关系，其中重点是空间直线和平面的位置关系，难点是三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换。

在介绍空间点、直线和平面之间的位置关系前，我们需要了解三个公理。

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条

直线在此平面内。符号表示为 A∈L，B∈L =。Lα，A∈α，

B∈α。公理1的作用是判断直线是否在平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为 A、B、C三点不共线 =。有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。公理2的作用是确定一个平面的依据。

推论有：①一条直线和其外一点可确定一个平面；②两条相交直线可确定一个平面；③两条平行直线可确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β =。α∩β=L，且P∈L。公理3的作用是判定两个平面是否相交的依据。

另外，还有等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。

在了解了这些公理后，我们可以进一步探讨空间中点、直线和平面之间的位置关系。空间中两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面。异面直线所成角θ的范围是

<θ≤90°。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

在空间中，两条直线有如下三种关系：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）、共面直线、平行直线（同一平

点线面位置关系例题及练习包括答案.doc

点、线、面的位置关系

●知识梳理

（一） .平面

公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理 2：不共线的三点确定一个平面.

．．．

推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.

公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线

（二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面

平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

异面直线所成的角：（ 1）范围：0 ,90；（2）作异面直线所成的角：平移法.

2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行

3.平面与平面的位置关系：平行，相交

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.

a //

b a //

②判定定理： a a// ③性质定理： a a // b

b I b

2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面

内射影的夹角。范围：0 ,90

3.面面平行：①定义：I // ；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：a,b , a I b O ,a // ,b // //

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述： a , a // .

点线面位置关系练习题

点线面位置关系知识点总结

【空间中的平行问题】

（1）直线与平面平行的判定及其性质

①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。（线线平行→线面平行）

②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行→线线平行）

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理：

①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）

②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行）

③垂直于同一条直线的两个平面平行

两个平面平行的性质定理：

①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

【空间中的垂直问题】

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

空间中点线面位置关系练习题

--完整版学习资料分享----

空间中点线面位置关系练习题

一、选择题

1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）

A 、A

B α⊂ B 、AB α⊄

C 、由线段AB 的长短而定

D 、以上都不对

2、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（） A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m

3、已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0

4、平面α与平面β平行的条件可以是（）

A.α内有无穷多条直线与β平行；

B.直线a//α,a//β

C.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//α

D.α内的任何直线都与β平行

5、垂直于同一条直线的两条直线一定（）

A 、平行

B 、相交

C 、异面

D 、以上都有可能

6、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）

A 、11AC AD ⊥

B 、11D

C AB ⊥ C 、1AC 与

DC 成45角 D 、11AC 与1BC 成60角 7、若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（）

高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）

高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）1．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形

，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【

详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图

所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一

个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平

面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．

因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角

的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即

可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此

高考数学《点线面位置关系的判定》基础知识与典型例题

一、基础知识

（一）直线与直线位置关系：

1、线线平行的判定

（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行

（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行

（3）面面平行性质：

2、线线垂直的判定

（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：

（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直

（二）直线与平面的位置关系

1、线面平行判定定理：

（1）若平面外的一条直线l 与平面α上的一条直线平行，则l α∥

（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行

2、线面垂直的判定：

（1）若直线l 与平面α上的两条相交直线垂直，则l α⊥

（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直

（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直

（三）平面与平面的位置关系

1、平面与平面平行的判定：

（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行

（2）平行于同一个平面的两个平面平行

2、平面与平面垂直的判定

如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直

（四）利用空间向量判断线面位置关系

1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量

平面：法向量

2、向量关系与线面关系的转化：

设直线,a b 对应的法向量为,a b ，平面,αβ对应的法向量为,m n （其中,a b 在,αβ外）