第三章 状态方程的解
合集下载
第三章-4-状态方程的解
0 1 0 A 0 0 1 0 1 0
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]
n 1
k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]
n 1
k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
【武汉大学】线性系统状态空间表达式的解【现代控制理论】
• 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。
– 引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移 矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,
– 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描 述,更好地刻划系统状态运动变化的规律。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.2.1状态转移矩阵基本定义
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.2拉氏变换法
– 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 – 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。
• 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。
• 对标量函数,我们有
(s a)1 1 a a2 ... ak1 ...
• 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 – 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t) q0 q1t q2t 2 qkt k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.1级数展开法
– 将所设解代入该微分方程,可得
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[(sI A)1]
L1
s
2
1 2
s
1
2 2
s 1 s 2
1 1 s 1 s 2 1 2
s 1 s 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
3.1.1 线性定常齐次状态方程的解
工程热力学 第三章 理想气体的性质
11
比热容的概念
比热容是单位物量的物质升高1K或1℃所需 的热量。 根据物质的数量和经历的过程不同，可分为：
（1）比热容（质量热容） ： 1kg物质的热容，c ，J/(kg·K)。 c q q dT dt
12
比热容的概念
（2）摩尔热容
1 mol物质的热容，Cm，J/(kmol· K)。 Cm Mc
s isi
❖1kg混合气体的比熵变为
d s
c i p,i
dT T
R i g,i
dip pi
❖1mol混合气体的熵变为
dmpp
49
课后思考题
❖理想气体的热力学能和焓是温度的单值函 数，理想气体的熵也是温度的单值函数吗？
❖气体的比热容cp、cv究竟是过程量还是状态 量
pp1p2 pK pi i1
41
道尔顿分压力定律
pi p
ni n
xi
pi xi p
即分压力与总压力之比等于摩尔分数（即气 体组分的摩尔数与总摩尔数之比）
42
亚美格分体积定律
❖混合气体中第 i 种组元处于与混合气体压力 和温度时所单独占据的体积称为该组元的 分体积，用 Vi 表示。
❖亚美格分体积定律：理想混合气体的总体 积等于各组元的分体积之和（仅适用于理 想气体）
的关系式
17
cv和cp的关系式
比热容比： c p cV
得 cp 1 Rg
联立式 cp cV Rg
cV
1
1
Rg
18
比热容和温度的关系
❖理想气体的 u 和 h 是温度的单值函数，所 以理想气体的 cV 和 cp 也是温度的单值函 数。
c ft a b t d t2 e t3
比热容的概念
比热容是单位物量的物质升高1K或1℃所需 的热量。 根据物质的数量和经历的过程不同，可分为：
（1）比热容（质量热容） ： 1kg物质的热容，c ，J/(kg·K)。 c q q dT dt
12
比热容的概念
（2）摩尔热容
1 mol物质的热容，Cm，J/(kmol· K)。 Cm Mc
s isi
❖1kg混合气体的比熵变为
d s
c i p,i
dT T
R i g,i
dip pi
❖1mol混合气体的熵变为
dmpp
49
课后思考题
❖理想气体的热力学能和焓是温度的单值函 数，理想气体的熵也是温度的单值函数吗？
❖气体的比热容cp、cv究竟是过程量还是状态 量
pp1p2 pK pi i1
41
道尔顿分压力定律
pi p
ni n
xi
pi xi p
即分压力与总压力之比等于摩尔分数（即气 体组分的摩尔数与总摩尔数之比）
42
亚美格分体积定律
❖混合气体中第 i 种组元处于与混合气体压力 和温度时所单独占据的体积称为该组元的 分体积，用 Vi 表示。
❖亚美格分体积定律：理想混合气体的总体 积等于各组元的分体积之和（仅适用于理 想气体）
的关系式
17
cv和cp的关系式
比热容比： c p cV
得 cp 1 Rg
联立式 cp cV Rg
cV
1
1
Rg
18
比热容和温度的关系
❖理想气体的 u 和 h 是温度的单值函数，所 以理想气体的 cV 和 cp 也是温度的单值函 数。
c ft a b t d t2 e t3
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
第三章线性系统状态方程的解
第三章 线性系统的运动分析§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x =２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中Ate 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=kk t b t b t b b t x 2210)(式中 ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，则+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=kk t b t b t b b A故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K2且有0)0(b x =。
故+++++=kk t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21 )0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义：∑∞==+++++=022!1!1!21K k k k k Att A k t A k t A At I e则)0()(x e t x At ⋅=。
（２）拉氏变换解法将Ax x= 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ⋅-=-拉氏反变换，有)0(])[()(11x A sI L t x ⋅-=-- 则])[()(11---==A sI L e t At φ【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。
自动控制原理第三章-2-时间常数-系统动态
(2) 对于 =1, 系统具有相等实根
nt nt xb (t )t A e A te 1 2
m1 m2 n n
2 (3) 对于 0< <1, 系统具有共轭复根 m1,2 n jn 1 , 并且 系统暂态具有阻尼正弦函数形式 Ae t sin(d t )
在零初始条件假设下，
如果 r(t) 已知，则可以得到系统的时间响应 c(t)
20
系统的暂态（动态）
一阶系统动态
1. 如果 r 为单位阶跃函数：r(t)=1
一阶系统的阶跃响应为
C ( s) 1 K K K s Ts 1 s s 1 T
c(t ) L1[C ( s)] K (1 e
参考点
xa f(t) K xb
求解
xb (t ) xb (t )ss xb (t )t
t, D2xb=Dxb=0
M
B
xb (t )ss xa 1
关键点在于求解暂 态解.
???
(a) 简单的质量-弹簧-阻尼机械系统
图 2.11
9
例：二阶系统响应
二阶系统：机械
例：系统结构如图 2.11 所示 --- 经典方法 系统特征方程为：
系统传递函数
MD xb BDxb Kxb Kxa
LT
特征函数
(Ms2 Bs K ) X b (s) [Msxb (0) Mxb (0) Bxb (0)] KX a (s)
X b ( s) Msxb (0) Bxb (0) Mxb (0) K X ( s ) a Ms 2 Bs K Ms 2 Bs K
7
例：二阶系统
第三章__理想气体热力性质及过程
容积成分： i
Vi V
， i
1
摩尔成分： xi
ni n
， xi
1
换算关系：
i xi
i
xi M i xi M i
xi M i M eq
xi Rg,eq Rg ,i
，
xi
i Rg,i
Rg ,e q
分压力的确定：
由
piV=ni RT PVi=ni RT
ppi V Vi i ,
2
u 1 cVdT
如果取定值比热或平均比热，又可简化为
二、焓
ucVT
也可由热Ⅰ导得 d h(cVRg)dT cpdT
同理，有
2
h 1 cpdT
hcpT
结论：理想气体的u、h 均是温度的单值函数。
三、 熵变的计算
由可逆过程
ds du pd
T
ds du
cp
Rg 1
三、 真实比热容、平均比热容和定值比热容
1. 真实比热容（精确，但计算繁琐）
cpa0a 1 Ta2T2a3 T3
c V (a 0 R g) a 1 T a 2 T 2 a 3 T 3
qp
2 1
cpdt
2
q 1 cdt
2. 平均比热容（精确、简便）
cV
ln
T2 T1
Rg
ln
2 1
s
c
p
ln
T2 T1
Rg
ln
p2 p1
s
c
p
ln
2 1
cV
ln
p2 p1
[东北大学][现代控制理论][03][状态方程的解]PPT课件
![[东北大学][现代控制理论][03][状态方程的解]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/74f1d74d6edb6f1afe001f27.png)
A t n
n!
x
t0
A
n0
At
n!
n
x
t
0
Axt;
级数
n0
At n
n!
x
t0
绝对一致收敛
矩阵级数 eAt At n 称为矩阵指数
n0 n!
3
2005-11-5
第三章 状态方程的解
例3．1．1 已知 A 解：
0 1 , 求 e At. 10
e A t 1 01 0 0 t 0 t 2 1 ! 0 t2 0 t2 3 1 ! t0 3 0 t3
2005-11-5
第三章 状态方程的解
则有：
eAt
L1
21 s1 s2
11 s1 s2
s21s22 s11s22
2et e2t
et
15
2005-11-5
第三章 状态方程的解 (3) 标准型法：
a . 设 A 具有n 个互异的特征值 1,2,
n, 则有
e1t
e2t
eAt P
0
0 P1
ent
其中 P 满足 P1APdiag[,, ,n].
16
2005-11-5
第三章 状态方程的解
例3.2.2 已知矩阵
0 1 1
A
6
-11
6
-6 -11 5
试计算矩阵指数 e A t .
解: 1) 特征值
1 1
IA6 -11 61230
eAt IAt1A2t2 2!
1
=
1
0
0 1
2
1
12
1 2!
22
0
0
t2
3.3 线性时变连续系统状态方程的解
Ch.3 线性系统的时域分析
目录(1/1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目 录
� � � � � � � � 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
状态转移矩阵的性质 (4/8)
4) 对角线矩阵的状态转移矩阵。 如果时变的系统矩阵A(t) 如下表示的对角线矩阵。 A(t)=diag{a11(t) a22(t) … ann(t)} 式中,aii(t)(i=1,2,…,n)为标量函数,则A(t)的状态转移矩阵Φ (t,t0)为如下对角线矩阵。 Φ(t,t0)=diag{ϕ11(t,t0) ϕ22(t,t0) … ϕnn(t,t0)} 式中 , ϕii(t,t0)(i=1,2,…,n) 为满足如下标量微分方程的状态转 移函数
Φ (t , t0 ) = I + ∫ A(τ1 )Φ (τ1 , t0 )dτ1
t0 t
状态转移矩阵的求解(2/7)
Φ(t , t0 ) = I + ∫ A(τ 1 ) Φ(τ 1 , t 0 )dτ 1
t0 t
� 如果将上式中积分号内的Φ(τ1,t0)再按上式展开,则有
Φ(τ1 , t0 ) = I + ∫ A(τ 2 )Φ(τ 2 , t0 )dτ 2
̇ ( t , t ) = A ( t ) Φ (t , t ) ⎧Φ i 0 i i 0 ⎨ ⎩ Φ i (t 0 , t 0 ) = I
i = 1, 2,..., l
—例 3-9 6/8)— 状态转移矩阵的性质(6/8)
9 求如下时变系统的状态转移矩阵Φ(t,t0)。 � 例33-9
目录(1/1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目 录
� � � � � � � � 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
状态转移矩阵的性质 (4/8)
4) 对角线矩阵的状态转移矩阵。 如果时变的系统矩阵A(t) 如下表示的对角线矩阵。 A(t)=diag{a11(t) a22(t) … ann(t)} 式中,aii(t)(i=1,2,…,n)为标量函数,则A(t)的状态转移矩阵Φ (t,t0)为如下对角线矩阵。 Φ(t,t0)=diag{ϕ11(t,t0) ϕ22(t,t0) … ϕnn(t,t0)} 式中 , ϕii(t,t0)(i=1,2,…,n) 为满足如下标量微分方程的状态转 移函数
Φ (t , t0 ) = I + ∫ A(τ1 )Φ (τ1 , t0 )dτ1
t0 t
状态转移矩阵的求解(2/7)
Φ(t , t0 ) = I + ∫ A(τ 1 ) Φ(τ 1 , t 0 )dτ 1
t0 t
� 如果将上式中积分号内的Φ(τ1,t0)再按上式展开,则有
Φ(τ1 , t0 ) = I + ∫ A(τ 2 )Φ(τ 2 , t0 )dτ 2
̇ ( t , t ) = A ( t ) Φ (t , t ) ⎧Φ i 0 i i 0 ⎨ ⎩ Φ i (t 0 , t 0 ) = I
i = 1, 2,..., l
—例 3-9 6/8)— 状态转移矩阵的性质(6/8)
9 求如下时变系统的状态转移矩阵Φ(t,t0)。 � 例33-9
第三章系统分析-状态方程的解
返回主页
1.非齐次方程解的通式
已知系统状态空间表达式为： • 直接法积分求解
Ax Bu x y Cx Du
x(t ) (t t 0 ) x(t 0 ) (t )Bu( )d
t0
t
t0 0
x(t ) (t ) x(0) (t )Bu( )d
k j 0 k 1
得系统状态的迭代计算式为：
x(k ) G x(0) G k j 1Hu( j )
k j 0
k 1
注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) zx( z ) zx(0) Gx( z ) Hu( z ) ( zI G) x( z ) zx(0) Hu( z ) x( z ) [( zI G) z ]x(0) ( zI G) Hu( z ) x(k ) Z 1[( zI G) 1 z ]x(0) Z 1[( zI G) 1 Hu( z )]
书上p58~60页
0 （4）T-1AT= 0 0
1
0 0
0 1
0
0 1 t t 0 At 为约旦阵，则 (t ) e e T 0 1 1 0 0 0 0
At
1 2 t 2! t 1 0
1 3 t 3! 1 2 1 t T 2! t 1
返回
(8) 若 Ann Bnn Bnn Ann ，则有
注：上述性质由定义导出。
1 2 2 1 i i x(t ) ( I At A t A t ) x(0) e At x(0) 2! i!
1.非齐次方程解的通式
已知系统状态空间表达式为： • 直接法积分求解
Ax Bu x y Cx Du
x(t ) (t t 0 ) x(t 0 ) (t )Bu( )d
t0
t
t0 0
x(t ) (t ) x(0) (t )Bu( )d
k j 0 k 1
得系统状态的迭代计算式为：
x(k ) G x(0) G k j 1Hu( j )
k j 0
k 1
注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) zx( z ) zx(0) Gx( z ) Hu( z ) ( zI G) x( z ) zx(0) Hu( z ) x( z ) [( zI G) z ]x(0) ( zI G) Hu( z ) x(k ) Z 1[( zI G) 1 z ]x(0) Z 1[( zI G) 1 Hu( z )]
书上p58~60页
0 （4）T-1AT= 0 0
1
0 0
0 1
0
0 1 t t 0 At 为约旦阵，则 (t ) e e T 0 1 1 0 0 0 0
At
1 2 t 2! t 1 0
1 3 t 3! 1 2 1 t T 2! t 1
返回
(8) 若 Ann Bnn Bnn Ann ，则有
注：上述性质由定义导出。
1 2 2 1 i i x(t ) ( I At A t A t ) x(0) e At x(0) 2! i!
线性系统理论第三章
为约旦标准型
J1 0
A
P 1AP
0
J2
0 A PAP 1
0
0
0
J
n
i 1
Ji
0
i
0
0
0
1
i nini
, eJit
如何计算矩阵指数函数 eAt ？
§3.2 矩阵指数函数的计算
Linear system theory
1. 拉普拉斯变换方法：
eAt I
At
1
A2t 2
2!
两边取拉普拉斯变换，有
1 Ak t k
k0 k !
L
e At
L
I
At
1 2!
A2t
2
1 s
I
1 s2
A
1 s3
A2
另外一方面，有
exp[(M 1AM )t] M 1eAt M = exp[(M 1AM )t]
(M 1AM )k t k
M 1 Ak M t k
M 1(
Ak t k )M = M 1eAt M
k 0
k ! k0
k!
k0 k !
§3.1 状态方程的解
Linear system theory
3. 强迫运动： 当 u(t) 0，给定
t2 )
A2
(
t12 2!
t1t2
t22 ) 2!
A3 (t13 3!
t12t2 2!
t1t22 2!
t23 ) 3!
Ak ( t1k
t1k 1t2
t1k
t2 2 2
k ! (k 1)! (k 2)!
t12t2k2 t1t2k2 t2k ) = e A(t1t2 ) 2!(k 2)! (k 1)! k !
3.5线性时变系统状态方程的解
x( k +1 T =I +T ( kT) x( kT) +T ( kT) u( kT) , B ) A
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中： 其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章 状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： 考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为： 其状态方程的解为：
第三章 状态方程的解 第一项是由初始状态引起的响应； 第一项是由初始状态引起的响应； 第二项是由控制输入引起的响应。 第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化 考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章 状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中： 其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章 状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： 考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为： 其状态方程的解为：
第三章 状态方程的解 第一项是由初始状态引起的响应； 第一项是由初始状态引起的响应； 第二项是由控制输入引起的响应。 第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化 考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章 状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,
第三章状态方程的解课堂课资
e2t 1 3t et
2e2t
2
3t
et
4e2t 5 3t et
0 1 0
A
0
0
1
6 11 6
1 1 1 P 1 2 3
1 4 9
6 5 1
P 1
1 2
6
8
2
2 3 1
1 0 0
A
P1 AP
0
2
0
0 0 3
et 0 0
e At PeAt P1 P 0 e2t
0
e
nt
eT 1ATt I T 1 ATt 1 T 1 A2Tt 2 1 T 1 A3Tt 3
2!
3!
T 1 I At 1 A2t 2 1 A3t 3 T
2!
3!
T 1e AtT et
e At TetT 1
12
例 已知矩阵
0 1 1
A 6
-11
6
试计算矩阵指数 eAt .
a n1 n1 1
e1t
a n1 n1 2
e2t
a0 a1n
a0
1
an1 1
a n1 n1 n
ent
n1 1
1
e1t
.
n1 n
ent
17
2)有 n个重特征值 1 n
et a0 t a1 t an1 t n1
两端对求1至n 阶1 导数得：
t 是满足 t At,0 I 的 n n 的矩阵。 t 定义为转移矩阵。
对于线性定常方程 t e At 。
t e At 表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 e A(tt0 ) 表示 x(t0 ) 到 x(t) 的转移矩阵。
第三章 实际气体状态方程及热力性质
范德华引力
①静电力：当极性分子相互接近时，它们的固有偶极将同极相 斥而异极相吸，定向排列，产生分子间的作用力，叫做静电 力。偶极矩越大，取向力越大。
②诱导力:当极性分子与非极性分子相互接近时，非极性分子 在极性分子的固有偶极的作用下，发生极化，产生诱导偶极， 然后诱导偶极与固有偶极相互吸引而产生分子间的作用力， 叫做诱导力。当然极性分子之间也存在诱导力。
• 自我测验：试将范德瓦尔方程展开成维里形式 ？
3.4 二常数方程
目的：为了预测和计算高密度及液相区的体积
性质，提出了数百个状态方程。其中较常用
的有：
一、范德瓦尔方程
p RT a V b V2
1873年，范德瓦尔提出了第一个有意义的实际气体
P：绝对压力Pa ；v：比容
m3/kg； T：热力学温度K
V：质量为mkg气体所占的
容积；
工程热力学的两大类工质
1、理想气体（ ideal gas）
可用简单的式子描述 如汽车发动机和航空发动机以空气为 主的燃气、空调中的湿空气等
2、实际气体（ real gas）
不能用简单的式子描述，真实工质 火力发电的水和水蒸气、制冷空调中 制冷工质等
③色散力：非极性分子之间，由于组成分子的正、负微粒不断 运动，产生瞬间正、负电荷重心不重合，而出现瞬时偶极。 这种瞬时偶极之间的相互作用力，叫做色散力。分子量越大， 色散力越大。当然在极性分子与非极性分子之间或极性分子 之间也存在着色散力。
氢键
• 以HF为例说明氢键的形成。在HF分子中，由 于F的电负性（4.0）很大，共用电子对强烈偏 向F原子一边，而H原子核外只有一个电子，其 电子云向F原子偏移的结果，使得它几乎要呈 质子状态。这个半径很小、无内层电子的带部 分正电荷的氢原子，使附近另一个HF分子中含 有孤电子对并带部分负电荷的F原子有可能充 分靠近它，从而产生静电吸引作用。这个静电 吸引作用力就是所谓氢键。即F-H...F。
第3章-状态方程的求解
2.2 非齐次状态方程的解
例题:
即
X (t) e At X 0
t e A(t ) B u( )d
0
中第一项已求得。
第二项根据公式计算得:
t e A(t ) B u( )d
0
t 2e(t ) e2(t )
0
2e (t
)
2e 2(t
)
e(t ) e(t )
e2(t ) 2e2(t
s s
1 2
2 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
2.2 非齐次状态方程的解
1.非齐次状态方程的概念
或写成:
X AX Bu
X AX Bu
（1）u为时间t的函数, 假设为已知的； （2）X(t0)=X0为系统的初始条件。
2.2 非齐次状态方程的解
u~ u~1(t) u~2 (t) T
x1
x1(t1)
2.3 几点说明
6.现代控制理论的一个核心思想
经典控制理论是保持u不变，通过调节参数来使得输出y满足要求。 现代控制理论是保持参数不变，通过调节u来使得输出y满足要求。
具体实现方法是:
对y的要求
对X的要求
对u的要求
对于状态方程而言，其齐次方程的形式为:
X AX 初始条件为: X (t0 ) X0
2.1 齐次状态方程的解
2.齐次状态方程解的形式
已知: X AX
初始条件为: X (t0 ) X0
解方程可得:
X (t) e A(tt0 ) X 0
矩阵指数
说明: （1）求出矩阵指数即可求出方程的解。 （2）矩阵指数计算出来是一个和A同型的矩阵，矩阵的
3.4 线性定常离散系统状态方程的解
因此, 离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G x(0) G
k j 0 k 1 k j 1
Hu( j )
该表达式与前面递推法求解结果一致 例3-9 已知某系统的状态方程和初始状态分别为
0 x(k 1) 0.16 1 1 x( k ) u ( k ) 1 1 1 x(0) 1
(k mi )
1 ik C k ik 1 1 1 k Gi , 1 k 1 C k i k i
其中 : Ck
m
k! m!(k m)!
(k mi )
递推法(10/10)
(4) 对系统矩阵G, 当存在线性变换矩阵P, 使得
试求系统状态在输入u(k) 1时的响应
Z变换法(4/7)
解 1. 用递推法求解 分别令k 1, 2, 3, …, 则由状态方程有
1 1 1 0 0 x(1) 1 1 1.84 0.16 1 1 0 1 2.84 0 x(2) 1.84 1 0.84 0.16 1 1 2.84 1 0.16 0 x(3) 0.84 1 1.386 0.16 1
j 0
k 1
递推法(3/10)
若初始时刻k0不为0, 则上述状态方程的解可表达为:
x( k ) G
k k0
x( k 0 )
G
j k0
k 1
k j 1
Hu( j )
或
x( k ) G
k k0 k k 0 1
x( k 0 )
G Hu(k j 1)
高等化工热力学-第三章-EOS方程
2 B 2N A f12 r12dr12 0
2 8N A r12 r13 C f12 f13 f 23r12r13r23dr12dr13dr23 3 0 0 r12 r13
式中，
f ij exp(uij / kT ) 1
Uij: 分子间位能， rij: 分子间距离，NA: Avogadro 常数，k: Boltzmann 常数。
3.2.2 立方型状态方程
Virial EOS 只能计算气体的PVT 关系。如果一个状态方 程要同时描述汽体 (vapor) 和液体 (liquid) 的PVT 行为，该方 程必须具有很宽的温度和压力的适用范围。立方型状态方程 (Cubic EOS)是目前最简单的一种能同时描述气体和液体的 PVT 行为的状态方程。
Conclusion: 如果有高精度的PVT 数据，就可以根据上述 公式，用图解法得到流体的B 和 C。
Virial 系数也可以通过关联其它状态方程得到。 R-K EOS
RT a P 0.5 V b T V (V b) V a 1 a Z 1.5 V b RT (V b) 1 b RT 1.5 (1 b)
PV B C Z 1 2 RT V V
维里方程的扩展形式
Virial EOS 的 扩 展 形 式 可 以 用 Benedict/Webb/Rubin (BWR) 方程表达（1940）
RT B0 RT A0 C 0 / T 2 bRT a a P 6 2 3 V V V V c 3 2 1 2 exp 2 V T V V This equation and its modifications, despite their complexity, are used in the petroleum and nature-gas industries for light hydrocarbons and a few other commonly encountered gases.
2 8N A r12 r13 C f12 f13 f 23r12r13r23dr12dr13dr23 3 0 0 r12 r13
式中，
f ij exp(uij / kT ) 1
Uij: 分子间位能， rij: 分子间距离，NA: Avogadro 常数，k: Boltzmann 常数。
3.2.2 立方型状态方程
Virial EOS 只能计算气体的PVT 关系。如果一个状态方 程要同时描述汽体 (vapor) 和液体 (liquid) 的PVT 行为，该方 程必须具有很宽的温度和压力的适用范围。立方型状态方程 (Cubic EOS)是目前最简单的一种能同时描述气体和液体的 PVT 行为的状态方程。
Conclusion: 如果有高精度的PVT 数据，就可以根据上述 公式，用图解法得到流体的B 和 C。
Virial 系数也可以通过关联其它状态方程得到。 R-K EOS
RT a P 0.5 V b T V (V b) V a 1 a Z 1.5 V b RT (V b) 1 b RT 1.5 (1 b)
PV B C Z 1 2 RT V V
维里方程的扩展形式
Virial EOS 的 扩 展 形 式 可 以 用 Benedict/Webb/Rubin (BWR) 方程表达（1940）
RT B0 RT A0 C 0 / T 2 bRT a a P 6 2 3 V V V V c 3 2 1 2 exp 2 V T V V This equation and its modifications, despite their complexity, are used in the petroleum and nature-gas industries for light hydrocarbons and a few other commonly encountered gases.
第三章系统分析-状态方程的解
2!
i!
(2) 利用Laplace变换计算 eAt L1 (sI A)1
推导
(3) 化A阵为对角型或约旦标准型计算 （利用状态转移矩阵的性质计算）
• 求特征值和特征向量
• 由变换阵P化A为对角阵或约旦标准型
• 求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵
• 求原矩阵A的状态转移矩阵。
返回
Laplace变换法
L1[(sI A)1 x(0)] L1[(sI A)1 BU (s)]
系统的状态与输出的形式取决与系统结构 初始条件和输入信号的形式，所以在系统为 典型输入信号作用时的状态解和输出解的形 式可以依据上述通式导出。
返回
2． 典型输入下非齐次方程的解
（1） 脉冲 u(t) K (t) 输入下的解为：
2et
2et 2et
2et
2et
e2t
（2）
et
0
0
0
(1 2t)et
4te 2t
0
tet
(1
2t)e2t
0
0
为约旦阵，则
1
1 (t) e At e t 0 0
t
1 0
1 t2 2!
t 1
1
3! 1
t t
3 2
2!
t
0 0 0 1
书上p58~60页
（4）T-1AT=
0
0
0
1 0 0
0 0
1 t
1
0
为约旦阵，则 (t )
e At
e tT 0
1
1
0
0 0 0 0
1 t2 2!
[举例2]： 若
1 1 0
A
0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不断地进行下去，可以看出：
An 、 An1 、 An2、 都是 An1 、An2 、 、A 、I 的线性组合
(t) eAt 1 At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
a0 (t)I a1(t) A a2 (t) A2 an1(t) An1
其中，ai (t)，i 0，1，,(n 1)为待定系数。 ai (t) 的计算方法为：
得：P
3
7
22 49
1 ,
2
P1
7
6 2 28 1
5
- 46
2
4 11 2
7 49
2)计算矩阵指数： eAt Pe P P1APt 1
1
3 7
5
1 22
49 46
2
et
1
0
0
2
tet et 0
0 2
0
7
e2t 4
6 5 28 1 11 1
7 49
9et 7tet 3e2t
齐次状态方程：xt Axt ，控制输入为零。
(1)若A为标量有：xt axt 初始时刻 t0=0, 则
xt eat xt0
n0
at n
n!
x
t0
.
(2)若A为方阵，
x t
n1
At n
n!
x t0
A
n0
At n
n!
x
t0
Axt ;
证明略
3.2 状态转移矩阵 将 xt Axt 的解写成 xt e At x0 tx0 ，
et
0
t n-1 et
n -1 !
t n-2
n-2
!
et
P 1
tet
et
0 6 5
例 已知矩阵 A 1 0
2
试计算矩阵指数
e At .
3 2 4
解: 1)计算特征向量和广义特征向量。
1
p1
3 7
,
5
7
1
p2
22
49
,
46
49
2 p3 1
2
1 1 2
t 是满足 t At,0 I 的 n n 的矩阵。 t 定义为转移矩阵。
对于线性定常方程 t e At 。
t e At 表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 e A(tt0 ) 表示 x(t0 ) 到 x(t) 的转移矩阵。
意义：说明齐次方程的解 仅是初始状态的转移。
2
2
1
6) (t t ) (t t ) (t t )
2
0
2
1
1
0
证明：由 x(t ) (t t )x(t ) 和 x(t ) (t t )x(t )
2
2
0
0
1
1
0
0
得到
x(t ) 2
(t 2
t )x(t ) (t
1
1
1
t ) 0
(t 2
t ) 1
x(t ) 0
(t 2
t ) 0
4) －1(t) (t), －1(t) (t)
证明:由性质3）有 (t t) (t)(t) (t)(t) (0) I
根据(t)的这一性质，
对于线性定常系统，显然有 x(t) (t)x(0), x(0) 1(t)x(t) (t)x(t)
5) x(t ) (t t )x(t )
第二章 控制系统的状态空间描述(复习)
2.1 状态空间分析法 2.2 由系统框图导出状态空间描述 2.3 由系统机理导出状态空间描述 2.4 由输入输出描述导出状态空间描述及其几种标准形式 2.5 离散时间线性系统的状态空间描述 2.6 线性定常系统的特征结构 2.7 由状态空间描述求传递函数 2.8 状态矢量的线性变换 2.9 组合系统的状态空间描述
1) (0) I
2) (t) A(t) (t) A 表明 A(t)与 (t)A 可交换，且 (0) A
3) (t(1t1tt22) (t1 )(t2 ) (t2 )(t1 ) 在式 3）中，令 t t1 t2便可证明；表明 (t1 t2 )可分解为 (t1 )与(t2 )
的乘积，且 (t1 )与(t2 ) 是可交换的。
x(t) Ax(t) 的解可以表示为：
x(t) (t)x(0) 或 x(t) (t t0 )x(t0 )
称e A为t 矩阵指数函数，简称矩阵指数 ,又称为状态转
移矩阵，记为 ：
(t) eAt
求解齐次状态方程的问题，核心就是计算状态转移
矩阵的问题 。
状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵 (t)具有如下运算性质：
0 1
et 4e2t
t 0
2
3
几个特殊矩阵指数
(1)若A为对角矩阵
1
A
2
n
则有：e At
e1t
0
e2t
0
ent
证: 由e At定义知 eAt I At 1 A2t2
2!
1
=
1
0 1
2
12
t
1 2!
22
0
t2
0
1
n
0
n2
n0
1 n!
1nt
n
0
2
1 0 0 1 3 0
试用化有限的方法
求矩阵 A的矩阵指数 eAt .
解：矩阵 A的特征方程为： 12 2 0，特征值 1, 1, 2。
对于3 有2 e2t a0 t 2a1 t 4a2 t
对于1，2 有-1 e-t a0 t a1 t a2 t
因为-1是重根，故需补充方程：te-t a1 t 2a2 t
2
s
11 s 1 s 2
s
1 1
s
2
2
s
1
s
2
s
1s
2
2et e2t
2et
2e2t
et e2t
et
2e2t
(3) 标准型法：
当 A 可以转化成对角阵时，即 T 1 AT , 则
e 1t 0 0
e At
(t
)
T
0
e 2t
0
T 1
0
0
e
nt
eT 1ATt I T 1 ATt 1 T 1 A2Tt 2 1 T 1 A3Tt 3
第三章 线性系统的运动分析
3.1 状态方程的齐次解 3.2 状态转移矩阵 3.3 线性系统的运动分析 3.4 连续系统的时间离散化 3.5 线性离散系统的运动分析
概述
• 建立了系统的数学描述之后 ，接着而来的是对系统作定量和定性的分 析。
• 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题，也就是 对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。
两端对 求 1至 n阶导1数得：
tet t 2et
a1 t 2a2 t 2a2 t 6a3 t
t e n-1 t n 1 !an1 t
n 1
a n2 n1
n 1 n - 2 an1 n3
解方程组可求得 ai t i 1, 2 n -1.
例 已知系统
0 A 0
2
2
1
1
证明 ：由于 x(t ) (t )x(0), x(0) 1(t )x(t ) (t )x(t )
1
1
1
1
1
1
则
x(t ) (t )x(0) (t )(t )x(t ) (t t )x(t )
2
2
2
1
1
2
1
1
即由 x(t ) 转移至 x(t ) 的状态转移矩阵为 (t t )
1
4et
3tet
4e2t
-8et 5tet 8e2t
22et 28tet 22e2t 10et 12tet 11e2t 22et 20tet 22e2t
2et 7tet 2e2t
et 3tet 2e2t
3et 5tet 2e2t
(4) 化有限项法 Δ根( λ据) ：det[λI A] λn an1λn1 a2 λ2 a1λ a0 0
n0
1 n!
2nt
n
0
e1t
e2t
n0
1 n!
nnt
n
ent
(2) 若 A为 m m 约当矩阵
1
A
则有：
1
t
1t 2
e At
et
0
1
t
0
1
mm
m
1
1!
t
m1
m
1
2
!
t
m2
t
1
mm
(3) 若 A为具有约当块的矩阵
A
A1
其中： A1, A2 ,
Aj 为约当块
则有：
e A1t
e At
e A2t
0
Aj
0
eAjt
矩阵指数(状态转移矩阵)的计算
(1)定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现
e At I At A2t 2 A3t 3 1 Ak t k
2! 3!
k0 k!
(2)拉氏变换法：
例 用Laplace 变换法计算矩阵指数：
2!
3!
T 1 I At 1 A2t 2 1 A3t 3 T
2!
3!
T 1e AtT et
e At TetT 1
0 1 1
例
已知矩阵
A 6 -11
6
试计算矩阵指数 e At .
-6 -11 5