第三章 状态方程的解

2
2
1
1
证明 ：由于 x(t ) (t )x(0), x(0) 1(t )x(t ) (t )x(t )
1
1
1
1
1
1
则
x(t ) (t )x(0) (t )(t )x(t ) (t t )x(t )
2
2
2
1
1
2
1
1
即由 x(t ) 转移至 x(t ) 的状态转移矩阵为 (t t )
1
x(t) Ax(t) 的解可以表示为：
x(t) (t)x(0) 或 x(t) (t t0 )x(t0 )
称e A为t 矩阵指数函数，简称矩阵指数 ,又称为状态转
移矩阵，记为 ：
(t) eAt
求解齐次状态方程的问题，核心就是计算状态转移
矩阵的问题 。
状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵 (t)具有如下运算性质：
第三章 线性系统的运动分析
3.1 状态方程的齐次解 3.2 状态转移矩阵 3.3 线性系统的运动分析 3.4 连续系统的时间离散化 3.5 线性离散系统的运动分析
概述
• 建立了系统的数学描述之后 ，接着而来的是对系统作定量和定性的分 析。
• 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题，也就是 对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。
则有：
e A1t
e At
e A2t
0
Aj
0
eAjt
矩阵指数(状态转移矩阵)的计算
(1)定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现
e At I At A2t 2 A3t 3 1 Ak t k
2! 3!
k0 k!
(2)拉氏变换法：
例 用Laplace 变换法计算矩阵指数：
et
0
t n-1 et
n -1 !
t n-2
n-2
!
et
P 1
tet
et
0 6 5
例 已知矩阵 A 1 0
2
试计算矩阵指数
e At .
3 2 4
解: 1)计算特征向量和广义特征向量。
1
p1
3 7
,
5
7
1
p2
22
49
,
46
49
2 p3 1
2
1 1 2
得：P
3
7
22 49
1 ,
2
P1
7
6 2 28 1
5
- 46
2
4 11 2
7 49
2)计算矩阵指数： eAt Pe P P1APt 1
1
3 7
5
1 22
49 46
2
et
1
0
0
2
tet et 0
0 2
0
7
e2t 4
6 5 28 1 11 1
7 49
9et 7tet 3e2t
1) (0) I
2) (t) A(t) (t) A 表明 A(t)与 (t)A 可交换，且 (0) A
3) (t(1t1tt22) (t1 )(t2 ) (t2 )(t1 ) 在式 3）中，令 t t1 t2便可证明；表明 (t1 t2 )可分解为 (t1 )与(t2 )
的乘积，且 (t1 )与(t2 ) 是可交换的。
2
s
11 s 1 s 2
s
1 1
s
2
2
s
1
s
2
s
1s
2
2et e2t
2et
2e2t
et e2t
et
2e2t
(3) 标准型法：
当 A 可以转化成对角阵时，即 T 1 AT , 则
e 1t 0 0
e At
(t
)
T
0
e 2t
0
T 1
0
0Leabharlann Baidu
e
nt
eT 1ATt I T 1 ATt 1 T 1 A2Tt 2 1 T 1 A3Tt 3
n0
1 n!
2nt
n
0
e1t
e2t
n0
1 n!
nnt
n
ent
(2) 若 A为 m m 约当矩阵
1
A
则有：
1
t
1t 2
e At
et
0
1
t
0
1
mm
m
1
1!
t
m1
m
1
2
!
t
m2
t
1
mm
(3) 若 A为具有约当块的矩阵
A
A1
其中： A1, A2 ,
Aj 为约当块
1 1,2 2, 3 3
6 11 5
2) 计算特征向量：
1 1 1
p1 0 , p2 2 , p3 6
1
4
9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
1 4 9
3
P1
3
5 2 4
2
3
1
3
1
2
et 0
则有：
e At
P
0
e2t
0
3et
3e2t e3t
0
P
1
6et 6e3t
不断地进行下去，可以看出：
An 、 An1 、 An2、 都是 An1 、An2 、 、A 、I 的线性组合
(t) eAt 1 At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
a0 (t)I a1(t) A a2 (t) A2 an1(t) An1
其中，ai (t)，i 0，1，,(n 1)为待定系数。 ai (t) 的计算方法为：
1) 特征根两两互异：
a0 a11 a0 a12
a n1 n1 1
e1t
a n1 n1 2
e2t
a0 a1n
a0
1
an1 1
a n1 n1 n
ent
n1 1
1
e1t
.
n1 n
ent
2)有 n个重特征值 1 n
et a0 t a1 t an1 t n1
λn an1λn1 a2 λ2 a1λ a0 根据凯莱-哈密顿定理
Δ( A) An an1An1 a2 A2 a1A a0 I 0
An an1An1 a2 A2 a1A - a0 I
表明：An 是An1 、An2 、 、A 、I 的线性组合
An1 A An an1 An a2 A3 a1A2 - a0 A
2
1 0 0 1 3 0
试用化有限的方法
求矩阵 A的矩阵指数 eAt .
解：矩阵 A的特征方程为： 12 2 0，特征值 1, 1, 2。
对于3 有2 e2t a0 t 2a1 t 4a2 t
对于1，2 有-1 e-t a0 t a1 t a2 t
因为-1是重根，故需补充方程：te-t a1 t 2a2 t
第二章 控制系统的状态空间描述(复习)
2.1 状态空间分析法 2.2 由系统框图导出状态空间描述 2.3 由系统机理导出状态空间描述 2.4 由输入输出描述导出状态空间描述及其几种标准形式 2.5 离散时间线性系统的状态空间描述 2.6 线性定常系统的特征结构 2.7 由状态空间描述求传递函数 2.8 状态矢量的线性变换 2.9 组合系统的状态空间描述
xt Axt sxs x0 Axs
A
0 2
1 3
xs sI A 1 x0
xt
L1
sI
A 1
x0
解：
sI
A
s 2
1 s 3
有：eAt
L1
sI
A 1
sI
A 1
ss
1
3
2
s 3
2
1 s
则有：e At
L1
2 1 s 1 s 2
s
2 1
s
2
2
s3
1
s
1
s
2
s
1
s
2
e2t 1 3t et
2e2t
2
3t et
4e2t 5 3t et
0 1 0
A
0
0
1
6 11 6
1 1 1 P 1 2 3
• 定性分析主要包括研究系统的结构性质，如
• 能控性、能观性、稳定性等。
• 本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题，即状态 空间模型--状态方程和输出方程的求解问题。
• 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组，通常是 很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。
• 状态转移矩阵的引入，从而使得定常系统和时变系统的求解公式 具有一个统一的形式。
5 et 4e2t 3 e3t
2
2
8e2t 9e3t
2et 3e2t e3t
6e2t 6e3t
0 0 e3t
3et 12e2t 9e3t
5 et 16e2t 27 e3t
2et 12e2t 9e3t
2
2
b. 设 A具有 个n重特征值 则有,
e
t
tet
e At P
4et
3tet
4e2t
-8et 5tet 8e2t
22et 28tet 22e2t 10et 12tet 11e2t 22et 20tet 22e2t
2et 7tet 2e2t
et 3tet 2e2t
3et 5tet 2e2t
(4) 化有限项法 Δ根( λ据) ：det[λI A] λn an1λn1 a2 λ2 a1λ a0 0
x(t ) 0
7 ) [ (t)]k (k t)
证明： [(t)]k＝(eAt )k ekAt eA(kt) (kt)
e e e e e 8) 若 AB BA ，则 ( AB)t
At Bt
Bt At
9) 若 A P－1AP ，则 (t) eAt P－1e At P P－1(t)P
两端对 求 1至 n阶导1数得：
tet t 2et
a1 t 2a2 t 2a2 t 6a3 t
t e n-1 t n 1 !an1 t
n 1
a n2 n1
n 1 n - 2 an1 n3
解方程组可求得 ai t i 1, 2 n -1.
例 已知系统
0 A 0
例
已知状态转移矩阵为
2e e t
2 t
(t) 2et 2e2t
解：根据状态转移矩阵的运算性质有
et et
e2t 2e
2
t
，试求
1(t), A
。
1
(t)
(t)
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e 2t
A
(0)
2et 2e2t
2e t
4e2t
et 2e2t
0 1
et 4e2t
t 0
2
3
几个特殊矩阵指数
(1)若A为对角矩阵
1
A
2
n
则有：e At
e1t
0
e2t
0
ent
证: 由e At定义知 eAt I At 1 A2t2
2!
1
=
1
0 1
2
12
t
1 2!
22
0
t2
0
1
n
0
n2
n0
1 n!
1nt
n
0
齐次状态方程：xt Axt ，控制输入为零。
(1)若A为标量有：xt axt 初始时刻 t0=0, 则
xt eat xt0
n0
at n
n!
x
t0
.
(2)若A为方阵，
x t
n1
At n
n!
x t0
A
n0
At n
n!
x
t0
Axt ;
证明略
3.2 状态转移矩阵 将 xt Axt 的解写成 xt e At x0 tx0 ，
4) －1(t) (t), －1(t) (t)
证明:由性质3）有 (t t) (t)(t) (t)(t) (0) I
根据(t)的这一性质，
对于线性定常系统，显然有 x(t) (t)x(0), x(0) 1(t)x(t) (t)x(t)
5) x(t ) (t t )x(t )
2
2
1
6) (t t ) (t t ) (t t )
2
0
2
1
1
0
证明：由 x(t ) (t t )x(t ) 和 x(t ) (t t )x(t )
2
2
0
0
1
1
0
0
得到
x(t ) 2
(t 2
t )x(t ) (t
1
1
1
t ) 0
(t 2
t ) 1
x(t ) 0
(t 2
t ) 0
3.1 状态方程的齐次解
所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0) 的作用，满足方程解的齐次性。
研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的 自由(自治)运动。
所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用，状态 方程解对输入具有非齐次性。
研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫 运动。
2!
3!
T 1 I At 1 A2t 2 1 A3t 3 T
2!
3!
T 1e AtT et
e At TetT 1
0 1 1
例
已知矩阵
A 6 -11
6
试计算矩阵指数 e At .
-6 -11 5
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
a0
t
1 9
e2t 8et 6tet
从而可联立求得：a1
t
1 9
2e2t
2et
3tet
a2
t
1 9
e2t et 3tet
eAt a0 t I 1 t A a2 t A2
e2t 8 6t et
1 9
2e2t 4e2t
2 6t et 6t 4 et
e2t 2 3t et 4e2t 5 3t et 8e2t 3t 8 et
t 是满足 t At,0 I 的 n n 的矩阵。 t 定义为转移矩阵。
对于线性定常方程 t e At 。
t e At 表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 e A(tt0 ) 表示 x(t0 ) 到 x(t) 的转移矩阵。
意义：说明齐次方程的解 仅是初始状态的转移。