15第十五讲：第二章 岩体力学的基本物理性质(5)
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π 6 θσ π 6
π平面
Mises (1913)
– Mises指出Tresca试验结果在π平面上得到六个 点，六个点之间的连线是直线？曲线？还是圆？ Mises采用了圆形，并为金属材料试验所证实。
Drucker and Prager (1952)
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] C 6
p
1 1 2 3 8 3 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 8 q 2 2 该式又可表示为
q ptg c
3 sin tg 3 cos sin sin
裂。因此，格里菲斯准则认为：脆性破坏是拉伸破坏，而
不是剪切破坏。
平面压缩的Griffith裂纹模型
裂隙末端的应力集中→ 裂隙扩展→ 裂隙相互联结→ 形成宏观破裂
带椭圆孔薄 板的孔边应 力集中问题
两个关键点： 1.最容易破坏的裂 隙方向； 2.最大应力集中点 （危险点）。
最有利破裂的方向角
在压应力条 件下裂隙开 裂及扩展方 向
2
1 3 tan 2 c
将 和 用主应力 1 ， 2 和 3 表示，这里 1 ＞ 3 ，则
1 1 ( 1 3 ) ( 1 3 ) cos 2 2 2 1 ( 1 3 ) sin 2 2
（2-28） （2-29）
t tan 2 1 t t
2 2
1 tan 1 2
c 3 t
优点
①同时考虑了拉剪和压剪应力状态；可判断 破坏面的方向。 ②强度曲线向压区开放，说明 与岩 t c 石力学性质符合。 ③强度曲线倾斜向上说明抗剪强度与压应力 成正比。 ④受拉区闭合，说明受三向等拉应力时岩石 破坏；受压区开放，说明三向等压应力不破 坏。
Coulumb (1773) – 把土及岩石看成摩擦材料。 f c n tan
Tresca (1864) – 作了一系列的挤压实验，发现金属材料在屈 服时，可以看到有很细的痕纹；而这些痕纹 的方向接近于最大剪应力方向。 1 3 max
2 J 2 cos 0,
z
+zx
r
1
2
z
x
O
-xz
3 x
1
xz
R
圆心： R 大主应力： 1 R r σz按顺时针方向旋转α 小主应力: 3 R r σx按顺时针方向旋转α
x z
2
x z 2
2 2 xz
半径： r
莫尔圆：代表一个单元的应力状态；圆周 上一点代表一个面上的两个应力与
缺点 忽略了中间主应力的影响（中间主应力对强 度影响在15%左右）。
或
1 1 F p sin (cos sin sin )q c cos 0 3 3 3 sin 3c cos q p 3 cos sin sin 3 cos sin sin
ZS《Rock Mass Mechanics》
岩石破坏有两种基本类型： 1. 脆性破坏(格里菲斯强度理论 )，它的特点是岩 石达到破坏时不产生明显的变形，岩石的脆性 破坏是由于应力条件下岩石中裂隙的产生和发 展的结果；
2. 塑性破坏(莫尔—库仑强度理论)，破坏时会产
生明显的塑性变形而不呈现明显的破坏面。塑
上盒
A
S 下盒 T
σ = 300KPa σ = 200KPa
c O
σ = 100KPa ε
库仑公式：
f c tan
c 粘聚力 内摩擦角
f ：
抗剪强度
tg：
摩擦强度-正比于压力 c：
粘聚强度-与所受压力无关
摩擦强度 tg
滑动摩擦
N
T= N
T
滑动摩擦
ZS《Rock Mass Mechanics》
ZS《Rock Mass Mechanics》
2014-11-25
2
ZS《Rock Mass Mechanics》
2014-11-25
3
目前，人们根据岩石的不同破坏机理
，已经建立了多种强度判据。强度理论是
指人们认为在某种应力或组合应力的作用
下，岩石就会破坏，从而建立了相应的判
– Drucker和Prager首先把不考虑σ2影响的Coulomb屈服准
则与不考虑静水压力p影响的Mises屈服准则联系 在一起，提出了广义的Mises模型，后被称为D-P模 型。
Drucker(1957年) – 指出岩土材料在静水压力下可以屈服，历史 上的屈服面在主应力空间是开口的，不符合 岩土材料特性，应加帽子，俗称“帽子模 型”。 Rscoe(1958-1963年) – 针对剑桥软土进行三轴及压缩试验，在e-p-q 空间中获得临界状态线，在p-q平面上得出子 弹形屈服曲线，获得了“帽子模型”的实验 证实及函数表达。
1 、 3 ，格里菲斯强度理论的破裂准则如下： 对于二维情况中的主应力
当 1 3 3 ≥0 时， ( 1 3 ) 8 Rt ( 1 3 ) 0
2
（2-37）
当 1 3 3 <0 时， 3 Rt
微破裂，这些微破裂是张拉破坏而不是剪切破坏。
• 莫尔—库仑准则适用于低围压的情况。
莫尔包络线的表达式
（1）二次抛物线型
2 n t
1 3
（2）双曲线型
2
2n 1 3 4n t n2
n c 2 t 2 t c t
如上式 再
Tresca条件
时， 0
J2 C 0
当 时， 常数
Mises条件
I 1 J 2 k 0
1 2
广义Mises条件
ZS《Rock Mass Mechanics》
I 1 J 2 k 0
当 时，受拉破坏：
6
1 2
1 1 I1 sin (cos sin sin ) J 2 c cos 0 3 3
凝聚强度 c
粘聚强度机理
静电引力（库仑力） 范德华力
颗粒间胶结
假粘聚力（毛细力等）
-
-
+
-
-
ZS《Rock Mass Mechanics》
库仑公式
f c tan
P
c 粘聚力 内摩擦角
f ：
抗剪强度
A
tg：
摩擦强度-正比于压力 S T c： 粘聚强度-与所受压力无关
Mises & Tresca这两种屈服条件都主要适用
于金属材料，对于岩土类介质材料一般不能很 好适用，因为岩土类材料的屈服与体积变形或 静水应力状态有关。
ZS《Rock Mass Mechanics》
1. 莫尔－库仑准则
库仑（C.A. Coulomb）1773年提出内摩擦准则，常称为库仑 强度理论。 破坏机理：（基本思想）材料属压剪破坏，剪切破坏力的 一部分用来克服与正应力无关的粘聚力，使材料颗粒间脱 离联系；另一部分剪切破坏力用来克服与正应力成正比的 摩擦力，使面内错动而最终破坏。 P
,k
3C cos 3 sin 2
ZS《Rock Mass Mechanics》
Drucker-Prager
条件
2.
格里菲斯准则
格里菲斯（A.A.Griffith）假定材料中存在着许多随机分布 的微小裂隙，材料在荷载作用下，裂隙尖端产生高度的应 力集中。当方向最有利的裂隙尖端附近的最大应力达到材 料的特征值时，会导致裂隙不稳定扩展而使材料脆性破
据。
一点的应力表示方法
三维应力状态
z
二维应力状态
zx
y yz
zx
z x
xy
x
xz
x xz ij = zx z
x xy xz Fra Baidu bibliotekj = yx y yz zx zy z
求导得到：
莫尔应力圆的表达式：
+ zx
3c cos c 3 cos sin sin
ZS《Rock Mass Mechanics》
1 1 I1 sin (cos sin sin ) J 2 c cos 0 3 3
当 时， 0
J 2 cos C J 2 cos 0
f c
1 sin 2c cos 1 3 1 sin 1 sin
sin
BM AM
1 3
2 c cot
1 3
2
3 0
4
c
2c cos 1 sin
1 sin cot 2 tan 2 1 sin 4 2 4 2
固定滑裂面 一般应力状态如何判断是否破坏？ 借助于莫尔圆
极限平衡应力状态： 有一对面上的应力状态达到 = f 强度包线：
所有达到极限平衡状态的莫尔园的公切线。
f
ZS《Rock Mass Mechanics》
f
•强度包线以内：任何一个面
上的一对应力与 都没有达 到破坏包线，不破坏； •与破坏包线相切：有一个面 上的应力达到破坏；
性破坏通常是在塑性流动状态下发生的，这是
由于组成物质颗粒间相互滑移所致。
应力理论 应变理论 能量理论
ZS《Rock Mass Mechanics》
最大正应力理论
2 1
2 R2 2 R 2 32 R 2 0
最大正应变理论
max
max
≤
u
此式在－平面上是一条曲线，它可以由试验确定， 即在不同应力状态下达到破坏时的应力圆的包络 线。这个准则也没有考虑对破坏的影响，这是它 存在的一个问题。
• •
库仑准则是建立在实验基础上的破坏判据，未 库仑准则和莫尔准则都是以剪切破坏作为其物
从破裂机制上作出解释。 理机理，但是岩石试验证明：岩石破坏存在着大量的
2 sin 6C cos ,k 3 (3 sin ) 3 (3 sin )
2 sin 6C cos ,k 3 (3 sin ) 3 (3 sin )
微分，并使之为零，此时 F取极小
当 时，受压破坏：
6
当顶式对
sin 3 3 sin 2
ZS《Rock Mass Mechanics》
摩擦强度 tg
咬合摩擦引起的剪胀
滑动摩擦
咬合摩擦引起的剪胀
ZS《Rock Mass Mechanics》
摩擦强度 tg
T
N
颗粒的破碎与重排列
颗粒破碎与重排列 滑动摩擦
咬合摩擦引起的剪胀
ZS《Rock Mass Mechanics》
•与破坏包线相交：有一些平 面上的应力超过强度；不可能 发生。
ZS《Rock Mass Mechanics》
破裂面的位置
45°＋/2
1f
与大主应力面夹角： θ=45 + /2
3
破裂面
f c tan
2
2
c
2θ
O
3
2θ
1f
ZS《Rock Mass Mechanics》
式中， ——剪切面与最小主应力 3 之间的夹角，即剪切面的法线方向与最大主应力 1 的 夹角。
莫尔（Mohr）1900年提出材料的强度是应力的 函数，在极限时滑动面上的剪应力达到最大值 （即抗剪强度），并取决于法向压力和材料的特 性。这一破坏准则可表示为如下的函数关系，即：
f f ( )
R E
最大剪应力理论
≤
u
[( 1 3 ) 2 R 2 ] [( 3 2 ) 2 R 2 ] [( 2 1 ) 2 R 2 ] 0
八面体剪应力理论
oct
oct
1 3
≤
S
最大应变能理论
1 2 2 2 3 2 3 1 2
π平面
Mises (1913)
– Mises指出Tresca试验结果在π平面上得到六个 点，六个点之间的连线是直线？曲线？还是圆？ Mises采用了圆形，并为金属材料试验所证实。
Drucker and Prager (1952)
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] C 6
p
1 1 2 3 8 3 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 8 q 2 2 该式又可表示为
q ptg c
3 sin tg 3 cos sin sin
裂。因此，格里菲斯准则认为：脆性破坏是拉伸破坏，而
不是剪切破坏。
平面压缩的Griffith裂纹模型
裂隙末端的应力集中→ 裂隙扩展→ 裂隙相互联结→ 形成宏观破裂
带椭圆孔薄 板的孔边应 力集中问题
两个关键点： 1.最容易破坏的裂 隙方向； 2.最大应力集中点 （危险点）。
最有利破裂的方向角
在压应力条 件下裂隙开 裂及扩展方 向
2
1 3 tan 2 c
将 和 用主应力 1 ， 2 和 3 表示，这里 1 ＞ 3 ，则
1 1 ( 1 3 ) ( 1 3 ) cos 2 2 2 1 ( 1 3 ) sin 2 2
（2-28） （2-29）
t tan 2 1 t t
2 2
1 tan 1 2
c 3 t
优点
①同时考虑了拉剪和压剪应力状态；可判断 破坏面的方向。 ②强度曲线向压区开放，说明 与岩 t c 石力学性质符合。 ③强度曲线倾斜向上说明抗剪强度与压应力 成正比。 ④受拉区闭合，说明受三向等拉应力时岩石 破坏；受压区开放，说明三向等压应力不破 坏。
Coulumb (1773) – 把土及岩石看成摩擦材料。 f c n tan
Tresca (1864) – 作了一系列的挤压实验，发现金属材料在屈 服时，可以看到有很细的痕纹；而这些痕纹 的方向接近于最大剪应力方向。 1 3 max
2 J 2 cos 0,
z
+zx
r
1
2
z
x
O
-xz
3 x
1
xz
R
圆心： R 大主应力： 1 R r σz按顺时针方向旋转α 小主应力: 3 R r σx按顺时针方向旋转α
x z
2
x z 2
2 2 xz
半径： r
莫尔圆：代表一个单元的应力状态；圆周 上一点代表一个面上的两个应力与
缺点 忽略了中间主应力的影响（中间主应力对强 度影响在15%左右）。
或
1 1 F p sin (cos sin sin )q c cos 0 3 3 3 sin 3c cos q p 3 cos sin sin 3 cos sin sin
ZS《Rock Mass Mechanics》
岩石破坏有两种基本类型： 1. 脆性破坏(格里菲斯强度理论 )，它的特点是岩 石达到破坏时不产生明显的变形，岩石的脆性 破坏是由于应力条件下岩石中裂隙的产生和发 展的结果；
2. 塑性破坏(莫尔—库仑强度理论)，破坏时会产
生明显的塑性变形而不呈现明显的破坏面。塑
上盒
A
S 下盒 T
σ = 300KPa σ = 200KPa
c O
σ = 100KPa ε
库仑公式：
f c tan
c 粘聚力 内摩擦角
f ：
抗剪强度
tg：
摩擦强度-正比于压力 c：
粘聚强度-与所受压力无关
摩擦强度 tg
滑动摩擦
N
T= N
T
滑动摩擦
ZS《Rock Mass Mechanics》
ZS《Rock Mass Mechanics》
2014-11-25
2
ZS《Rock Mass Mechanics》
2014-11-25
3
目前，人们根据岩石的不同破坏机理
，已经建立了多种强度判据。强度理论是
指人们认为在某种应力或组合应力的作用
下，岩石就会破坏，从而建立了相应的判
– Drucker和Prager首先把不考虑σ2影响的Coulomb屈服准
则与不考虑静水压力p影响的Mises屈服准则联系 在一起，提出了广义的Mises模型，后被称为D-P模 型。
Drucker(1957年) – 指出岩土材料在静水压力下可以屈服，历史 上的屈服面在主应力空间是开口的，不符合 岩土材料特性，应加帽子，俗称“帽子模 型”。 Rscoe(1958-1963年) – 针对剑桥软土进行三轴及压缩试验，在e-p-q 空间中获得临界状态线，在p-q平面上得出子 弹形屈服曲线，获得了“帽子模型”的实验 证实及函数表达。
1 、 3 ，格里菲斯强度理论的破裂准则如下： 对于二维情况中的主应力
当 1 3 3 ≥0 时， ( 1 3 ) 8 Rt ( 1 3 ) 0
2
（2-37）
当 1 3 3 <0 时， 3 Rt
微破裂，这些微破裂是张拉破坏而不是剪切破坏。
• 莫尔—库仑准则适用于低围压的情况。
莫尔包络线的表达式
（1）二次抛物线型
2 n t
1 3
（2）双曲线型
2
2n 1 3 4n t n2
n c 2 t 2 t c t
如上式 再
Tresca条件
时， 0
J2 C 0
当 时， 常数
Mises条件
I 1 J 2 k 0
1 2
广义Mises条件
ZS《Rock Mass Mechanics》
I 1 J 2 k 0
当 时，受拉破坏：
6
1 2
1 1 I1 sin (cos sin sin ) J 2 c cos 0 3 3
凝聚强度 c
粘聚强度机理
静电引力（库仑力） 范德华力
颗粒间胶结
假粘聚力（毛细力等）
-
-
+
-
-
ZS《Rock Mass Mechanics》
库仑公式
f c tan
P
c 粘聚力 内摩擦角
f ：
抗剪强度
A
tg：
摩擦强度-正比于压力 S T c： 粘聚强度-与所受压力无关
Mises & Tresca这两种屈服条件都主要适用
于金属材料，对于岩土类介质材料一般不能很 好适用，因为岩土类材料的屈服与体积变形或 静水应力状态有关。
ZS《Rock Mass Mechanics》
1. 莫尔－库仑准则
库仑（C.A. Coulomb）1773年提出内摩擦准则，常称为库仑 强度理论。 破坏机理：（基本思想）材料属压剪破坏，剪切破坏力的 一部分用来克服与正应力无关的粘聚力，使材料颗粒间脱 离联系；另一部分剪切破坏力用来克服与正应力成正比的 摩擦力，使面内错动而最终破坏。 P
,k
3C cos 3 sin 2
ZS《Rock Mass Mechanics》
Drucker-Prager
条件
2.
格里菲斯准则
格里菲斯（A.A.Griffith）假定材料中存在着许多随机分布 的微小裂隙，材料在荷载作用下，裂隙尖端产生高度的应 力集中。当方向最有利的裂隙尖端附近的最大应力达到材 料的特征值时，会导致裂隙不稳定扩展而使材料脆性破
据。
一点的应力表示方法
三维应力状态
z
二维应力状态
zx
y yz
zx
z x
xy
x
xz
x xz ij = zx z
x xy xz Fra Baidu bibliotekj = yx y yz zx zy z
求导得到：
莫尔应力圆的表达式：
+ zx
3c cos c 3 cos sin sin
ZS《Rock Mass Mechanics》
1 1 I1 sin (cos sin sin ) J 2 c cos 0 3 3
当 时， 0
J 2 cos C J 2 cos 0
f c
1 sin 2c cos 1 3 1 sin 1 sin
sin
BM AM
1 3
2 c cot
1 3
2
3 0
4
c
2c cos 1 sin
1 sin cot 2 tan 2 1 sin 4 2 4 2
固定滑裂面 一般应力状态如何判断是否破坏？ 借助于莫尔圆
极限平衡应力状态： 有一对面上的应力状态达到 = f 强度包线：
所有达到极限平衡状态的莫尔园的公切线。
f
ZS《Rock Mass Mechanics》
f
•强度包线以内：任何一个面
上的一对应力与 都没有达 到破坏包线，不破坏； •与破坏包线相切：有一个面 上的应力达到破坏；
性破坏通常是在塑性流动状态下发生的，这是
由于组成物质颗粒间相互滑移所致。
应力理论 应变理论 能量理论
ZS《Rock Mass Mechanics》
最大正应力理论
2 1
2 R2 2 R 2 32 R 2 0
最大正应变理论
max
max
≤
u
此式在－平面上是一条曲线，它可以由试验确定， 即在不同应力状态下达到破坏时的应力圆的包络 线。这个准则也没有考虑对破坏的影响，这是它 存在的一个问题。
• •
库仑准则是建立在实验基础上的破坏判据，未 库仑准则和莫尔准则都是以剪切破坏作为其物
从破裂机制上作出解释。 理机理，但是岩石试验证明：岩石破坏存在着大量的
2 sin 6C cos ,k 3 (3 sin ) 3 (3 sin )
2 sin 6C cos ,k 3 (3 sin ) 3 (3 sin )
微分，并使之为零，此时 F取极小
当 时，受压破坏：
6
当顶式对
sin 3 3 sin 2
ZS《Rock Mass Mechanics》
摩擦强度 tg
咬合摩擦引起的剪胀
滑动摩擦
咬合摩擦引起的剪胀
ZS《Rock Mass Mechanics》
摩擦强度 tg
T
N
颗粒的破碎与重排列
颗粒破碎与重排列 滑动摩擦
咬合摩擦引起的剪胀
ZS《Rock Mass Mechanics》
•与破坏包线相交：有一些平 面上的应力超过强度；不可能 发生。
ZS《Rock Mass Mechanics》
破裂面的位置
45°＋/2
1f
与大主应力面夹角： θ=45 + /2
3
破裂面
f c tan
2
2
c
2θ
O
3
2θ
1f
ZS《Rock Mass Mechanics》
式中， ——剪切面与最小主应力 3 之间的夹角，即剪切面的法线方向与最大主应力 1 的 夹角。
莫尔（Mohr）1900年提出材料的强度是应力的 函数，在极限时滑动面上的剪应力达到最大值 （即抗剪强度），并取决于法向压力和材料的特 性。这一破坏准则可表示为如下的函数关系，即：
f f ( )
R E
最大剪应力理论
≤
u
[( 1 3 ) 2 R 2 ] [( 3 2 ) 2 R 2 ] [( 2 1 ) 2 R 2 ] 0
八面体剪应力理论
oct
oct
1 3
≤
S
最大应变能理论
1 2 2 2 3 2 3 1 2