初等几何研究 第十四章几何题的证明

证明：∵ DE∥AC E
CE∥AF
AC=AF
C
B
∴ ACEF 为菱形
F
∴∠FAE=∠EAC=∠FEA 在△ADF 中
D
A
第 5 题图
AF²=AD²+DF²－2AD·DFcos135° AF= 2 AD=1
DF 1 ( 6 2)
∴ cos DFA
3
∠DFA=30°
2
2
∴∠DAF=45°－∠FAC=45°－∠DAF=45°－30°=15°
初等几何研究习题解
《中学数学教材教法》，主编 赵振武 副主编 章士藻 第三分
册 《初等几何研究》习题解答
第十四章 几何题的证明
习题十四
1. 圆内三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，且 PC=QE=RA,
PB=QD=RF,求证：△PQR 是正三角形.
证明：如图圆中三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，并且 PC=QE=RA，
B
D
C
第 16 题图
∴ BE BD ① AD AC
CF CD ② AC BC
①×②得 BE CF BD CD AD AC AC BC
AD·BD·CD=BE·CF·BC
即
AD3=BC·BE·CF
17. 已知 AM 是△ABC 中 BC 边上中线，任作一直线交 AB、AC、
AM 于 P、Q、N，求证： AB 、 AM 、 AC 成等差数列
tan∠CAD －tan∠B= 1 ( 5 1)﹥0 2
而
∠CAD、∠B∈（0°， 90°） ∴ ∠CAD﹥∠B
16. 在△ABC 中，已知∠A=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥
AC，求证：AD3=BC·BE·CF
证明：∵ AD²=BD·DC AD³=AD·BD·DC
A D
△BED∽△ADC ∽△DFC∽△ABC
AP AN AQ
A
证明：过 B、C 分别作 BF、CE 使
BF∥PQ∥CE ∴ △BMF≌△CEM ∴ MF=ME ∴ AE=AF+2FM
P B
Q N F
M C
∵ BF∥PN ∴ AB AF ① AP AN
∵ NQ∥CE ∴ AC AE ② AQ AN
E 第 17 题图
①+②
AB AC AE AF AE AF 2AM
=∠4+∠5
P
O₁
12 3
O₂
5
4 6 Q7
A
B
第 11 题图
∴ ∠2=∠1+∠3
∴ ∠O₁PO₂=2∠APB
(2) ∠2=∠6+∠7 ∠AQB=180°－(∠6+∠7)=180°－∠2
∴ ∠AQB=180°－½∠O₁PO₂
12. 在平行四边形 ABCD 中，BC=2AB，M 为 AD 的中点，作
CE⊥AB 于 E，求证：∠DME=3∠AEM.
根据已知 AR=CP=EQ, BP=DQ=FR
所以有
RP RQ PQ RP RQ PQ 1 RQ PQ RP RQ PQ RP
所以
RP=PQ=RQ 所以△RPQ 为正三角形.
2. 在梯形 ABCD 中, ∠A=∠B=90°,以 AB 为直径的圆切 CD 于
E,过 E 作
同理 R 为 HF 的中点. ∴ GR=EG+FR
11. 已知⊙O1 与⊙O2 交于 P、Q 两点，一外公切线切两圆于 A、 B，其中点 P 与 AB 在 O1O2 的两旁，求证：
(1) ∠O1PO2=2∠APB; (2) ∠AQB=180°－½∠O1PO2 证明：(1) ∠1=∠4，
∠3=∠5， ∠4+∠PAB+∠5+∠PBA=180° ∠2=180°－∠PAB－∠PBA
∴∠FDH=∠CFD
∴ DH=FH= ½ CF.
AG 垂直平分 DH 于 S ∴DS=EG ∴CF=4EG
10. 在△ABC 中，已知 AB=AC, AD⊥BC, 以 AD 为直径作⊙O，
由 B、C 分别作该圆的切线 BE、CF（不同于 BC），E、F 为切点，求 证 EF 在△ABC 内部一段长等于它在外部两段长之和.
E
B
D
C
第 14 题
又∵ ED=ED,BD=CD
∴ BE﹥CE 即∠ECD﹥∠EBD
（二）∵ AB﹥AC AD=AD BD=CD
在△ABD 与△ACD 中 AB﹥AC ∴∠ADB﹥∠ACD
在△EDB 与△EDC 中 BE﹥CE
在△BEC 中 ∠ECD﹥∠EBD(由于三角形两边不等，因此这两边
所夹角的角分线在中线与短线之间)
D E C
M
A
F
B
第 2 题图
3. 过 AB 为直径的半圆上任意一点 C，作 CD⊥AB 于 D，⊙H
与 CD、弧 BC 分别相切于 E、F，又与 AB 相切于 G，求证：AC=AG.
证明：∵A、E、F 三点共线（△HEF∽△AOF）
连接 BF, ∴ B、F、E、D 四点共圆
C
∴ AG2=AE·AF
PB=QD=RF.根据相交弦定理有：AR×BR=RF×RE
即 AR×(RP+BP)=RF×(RQ+QE) 整理得 AR×RP=RF×RQ 同理可得 EQ×QR=DQ×PQ
F
A
R
所以有
BP×RP=CP×PQ RP:RQ=RF:AR
C P
B
D Q
E
RQ:PQ=DQ:EQ PQ:RP=BP:CP
第 1 题图
P 点又在以 BC 为定点，分 BC 内外分点为 2:3 的内外分点为直
径的圆上.
这两圆是定圆，所以 P 是两圆的交点，即 P 为定点。所以 P 对
AB 的张角是定角.
21. ⊙O′内切⊙O 于点 A ，自⊙O 上任一点 P 作⊙O′的切线
∴∠FED=∠FDE B
∴ B、E、D、C 共圆
∴∠B=∠3
F
C
第 7 题图
∠1+∠3+∠FED=180° ∴ ∠FED=∠A
8. 在正六边形外接圆上任取一点，求证该点至各顶点的连线中，
两长者之和必等于其余四者之和.
证明：设∠GAF=α, ∠GFA=β 长： GC+GD=2Rcosα+2Rcosβ
E
证明：延长 AE 交 CB 于 M, A
连 DE，则 DE⊥AM
BE=BD
∴∠BED=∠BDE
∴∠BME+∠BDE M
=∠BEM+∠BED
=90°
EG
R H
F
B
D
C
N
第 10 题图
∴∠BME=∠BEM. ∴BM=BE ∴ BM=BD
即 B 为 DM 的中点，∵ EH∥MD. ∴ G 为 EH 的中点
证明：作 MN∥AB， 连 MC.则 MN⊥CE.设 MN 交 CE 于 G. ∵ N 为 CB 的 中点. ∴ G 为 CE 的中点.
MG⊥CE ∴ ME=MC
B E5
1
A
N
C
6
G
7
23
4
M
D
第 12 题图
∴ MN 平分∠EMC.即∠1=∠2
∴ MN=AB=MD=CD ∴∠1=∠2 ∠3=∠7 ∠4=∠4
BC，在 CB 延长线上取一点 F，使∠CDF=90°，求证:CF=4EG.
证明：∵ CD 平分∠ACB. CD⊥FF＇
∴DF=DF＇,CF=CF＇
AF
过 D 作 DH∥BC 交 AC 于 H. ∴ H 为 CF 的中点, ∵∠DF＇C=∠CFD 而∠FDH=∠DF＇C
D
SH
F＇
BE G
C
第 9 题图
AP AQ AN AN AN
AN
AB AM AC 成等差数列 AP AN AQ
18. 在⊙O 上取一点 P，作弦 PA、PB、PC，作直线平行于切线
PQ，且与 PA、PB、PC 分别交于 H、K、L，
QP
求证：PA·PH=PB·PK=PC·PL. 证
C
∴ ∠QPH=∠PHK=∠PBA
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠7 即 3∠AEM=∠EMD.
13. 在△ABC 中，已知 AB≤½ AC，求证：∠ACB＜½∠ABC.
证明：延长 CB 到 D，使
因而
BD=AB, ∠ADB=∠BAD
D B
∴∠ABC=2∠ADB 即 ½∠ABC=∠ADB
C A
第 13 题图
而在△ABD 中 AB+BD﹥AD 即 AD﹥2AB
N
M P
∴ △APC∽△ABN △BPC∽△BMA
A
C
B
第 19 题图
∴ AP:AB=AC:AN 即 AP· AN= AB·AC ①
BP:AB=BC:BM 即 BP·BM =AB·BC ②
①+② AP· AN+ BP·BM= AB·AC +AB·BC=AB²
20. 已知 P 为正方形 ABCD 内一点，且 PA：PB：PC=1：2：3, 求
15. 在△ABC 中，已知∠C=90°, ∠A 平分线交 BC 于 D,且
BC=2AC，求证： ∠CAD＞∠ABC. 证明：∵ AD 平分∠BAC BC=2AC
A
αα
tan∠CAD=tan∠ A 2
tan∠A= BC =2 AC
β
C
DM
B
第 15 题图
∴tan∠ A= 1 ( 5 1) 22
tan∠B= AC 1 BC 2
EF∥BC 交 AB 于 F, 求证：AC 平分 EF.