(word完整版)初三数学圆所有经典难题
初三+圆难题压轴题答案解析+
∵ PH=1 ，
∴tan∠POH= = = ．
∴OH= ．
∴点 P 的坐标为（ ，﹣ 1）．
同理可得： 当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（﹣
，1）；
当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（﹣ ，﹣ 1）； ②若圆 P 与直线 l 和 l1 都相切，如图 2 所示．
，
∴△ PBG≌△ PBF（ SAS）， ∴PG=PF．
4. 解：（ 1）∵ l 1⊥ l2，⊙ O 与 l 1， l2 都相切， ∴∠ OAD=45 °， ∵AB=4 cm ，AD=4cm ， ∴CD=4 cm ，AD=4cm ， ∴tan∠DAC= = = ， ∴∠ DAC=60 °， ∴∠ OAC 的度数为：∠ OAD+ ∠ DAC=105 °， 故答案为： 105；
综上所述：当点 P 在 y 轴上移动时，∠ APB 有最大值， 此时点 P 的坐标为（ 0， ）和（ 0，﹣ ）．
7．解答： 证明：（ 1）如图，连接 PM， PN， ∵⊙ P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N， ∴PM ⊥ MF ，PN ⊥ON 且 PM=PN ， ∴∠ PMF =∠ PNE=90°且∠ NPM =90°，∵ PE⊥ PF， ∠NPE =∠ MPF =90°﹣∠ MPE ，
同理可得：当点 P 在第一象限时，点 P 的坐标为（ ， 1）；
当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（﹣ 当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（﹣
，1）； ，﹣ 1）；
当点 P 在第四象限时，点 P 的坐标为（ ，﹣ 1）． ③若圆 P 与直线 l1 和 l 2 都相切，如图 3 所示． 同理可得：
九年级数学上册 圆 几何综合易错题(Word版 含答案)
九年级数学上册 圆 几何综合易错题（Word 版 含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．（1）求证：△ABD ≌△AFE（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24S DE π=，所以利用二次函数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°， ∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB =， ∴BF=2cos cos45AB ABF =∠=8，设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，∵BE 2=EF 2+BF 2， 82＜BE ≤413 ，∴128＜EF 2+82≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()222844S DE x x ππ⎡⎤==+-⎣⎦=()2482x ππ-+，∵2π＞0， ∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.2．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E. （1）求证：∠E=∠C ；（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）485. 【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB 的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==3．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O 与直线BC 相切； 当x ＜时，⊙O 与直线BC 相离；x ＞时，⊙O 与直线BC 相交．考点：圆的综合题．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10433与△ABC 的边相切．②点F 1136572【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===，3tan30(2)EP AP m =⋅=+⋅， 533(2)m ∴=+⋅，∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin60OB ON ==3103AO ∴=- 4312AP ∴=-43212m ∴+= 4310m ∴= 综上所述,当m =1或4或3103-时，O 与△ABC 的边相切。
(专题精选)初中数学圆的难题汇编及答案
（专题精选）初中数学圆的难题汇编及答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，对角线10AC =，O 内切于ABC ∆，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．24π-B ．242π-C ．243π-D ．244π-【答案】D【解析】【分析】 先根据勾股定理求出BC ，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设O 的半径为r ，利用面积法求出r=2，再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴影的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，∵6AB =，10AC =，∴BC=8，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设O 的半径为r ， ∵O 内切于ABC ∆，∴OH=OE=OF=r ， ∵11()22ABC SAB BC AB AC BC r =⋅=++⋅， ∴1168(6108)22r ⨯⨯=++⋅， 解得r=2，∴O 的半径为2， ∴2168-2224-4ABC O S SS ππ=-=⨯⨯⨯=阴影， 故选：D ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形内切圆的定义，阴影面积的求法，添加合适的辅助线是解题的关键．2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D【解析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．3．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．3C．6 D．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，∴∠OAB =60°，在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43，∴光盘的直径为83．故选：B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.4．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．20833π- B ．20833π+C ．20833π D ．20433π 【答案】A【解析】【分析】 如图，连接CE ．图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE ．根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝3，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．【详解】解：如图，连接CE ．∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，∴∠ACB ＝90°，OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8．又∵OE ∥AC ，∴∠ACB ＝∠COE ＝90°．∴在Rt △OEC 中，OC ＝4，CE ＝8，∴∠CEO ＝30°，∠ECB ＝60°，OE ＝43， ∴S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE＝2260811-4-44336042ππ⨯⨯⨯⨯ =20-833π 故选：A ．【点睛】 本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．5．如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点（A 、B 除外），132AOD ∠=︒，则C∠的度数是（ ）A ．68︒B ．48︒C ．34︒D ．24︒【答案】D【解析】【分析】 根据平角得出BOD ∠的度数，进而利用圆周角定理得出C ∠的度数即可．【详解】解：132AOD ∠=︒，48BOD∴∠=︒，24C∴∠=︒，故选：D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键．6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（）A．23πB．13πC．43πD．49π【答案】A【解析】【分析】连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论.【详解】解：连接OE、OC，如图，∵DE=OB=OE，∴∠D=∠EOD=20°，∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，∵OE=OC，∴∠C=∠CEO=40°，∴∠BOC=∠C+∠D=60°，∴BC的长度=260?2360π⨯=23π，故选A.【点睛】本题考查了弧长公式：l=••180n R π（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ），还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．7．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）A 3cmB ．2cmC ．23cmD ．4cm【答案】A【解析】【分析】 根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC ，OG ⊥BC ，∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG=12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30BG =2cm ， ∴2222213OB BG --=3，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．8．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是( )A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等【答案】C【解析】【分析】根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误.【详解】鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确； 点A 到BC 上任意一点的距离都是DE ，故正确;勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DEDEππ⨯=⨯ ,圆的周长=22DEDEππ⨯=⨯ ,故说法正确.故选C.【点睛】主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解．9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．10．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为31故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】B【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等，故②正确；③图2中，设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=12032180rrππ⨯=圆的周长为2rπ∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误故选B【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键. 12．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，两边分别交AB于D、E，则△IDE的周长为（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】连接AI 、BI ，根据三角形的内心的性质可得∠CAI ＝∠BAI ，再根据平移的性质得到∠CAI ＝∠AID ，AD ＝DI ，同理得到BE ＝EI ，即可解答.【详解】连接AI 、BI ，∵∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝22AC BC +＝5∵点I 为△ABC 的内心， ∴AI 平分∠CAB ，∴∠CAI ＝∠BAI ， 由平移得：AC ∥DI ，∴∠CAI ＝∠AID ，∴∠BAI ＝∠AID ，∴AD ＝DI ，同理可得：BE ＝EI ， ∴△DIE 的周长＝DE+DI+EI ＝DE+AD+BE ＝AB ＝5故选C ．【点睛】此题考查了平移的性质和三角形内心的性质，解题关键在于作出辅助线13．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=38432⨯=， ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-． 故选：C. 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则BC 的长为( )A ．3πB ．23πC 3πD ．33π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23∴3CE DE ==BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =，∴BC的长=BD的长=6022 1803ππ⨯=，故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.15．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需．．（）个这样的正五边形A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】【详解】如图，∵多边形是正五边形，∴内角是15×（5-2）×180°=108°，∴∠O=180°-（180°-108°）-（180°-108°）=36°，36°度圆心角所对的弧长为圆周长的1 10，即10个正五边形能围城这一个圆环，所以要完成这一圆环还需7个正五边形.故选B.16．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO，则图中阴影部分的面积之和为（）A．10﹣32πB．14﹣52πC．12 D．14【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，求出△ABC的内切圆的半径，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：设⊙O与△ABC的三边AC、BC、AB的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，在Rt△ABC中，AB＝22AC BC+＝10，∴△ABC的内切圆的半径＝68102+-＝2，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OAB＝12∠CAB，∠OBA＝12∠CBA，∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣12（∠CAB+∠CBA）＝135°，则图中阴影部分的面积之和＝222902113525 21021436023602πππ⨯⨯-+⨯⨯-=-，故选B．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．详解：连接OB，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选B．点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，∴DM=12CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中， OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB 的长为:2×5=10cm ． 故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．19．如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝26°，则∠COB 的度数是（ ）A ．52°B ．64°C ．48°D ．42°【答案】A【解析】【分析】 由OC ⊥AB ，利用垂径定理可得出，再结合圆周角定理及同弧对应的圆心角等于圆周角的2倍，即可求出∠COB 的度数．【详解】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠COB ＝2∠ADC ＝52°．故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理找出是解题的关键．20．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN ∥BC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME ，同理可得NC=NE ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76MN①， 同理可得CN=5-56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，∴MN=4．故选：B ．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．。
2024数学中考压轴题-圆(九大题型和解题方法)
专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。
目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，AD 、BC 为O 两条弦，AD BC ⊥于点E ，连接OE ，AE CE =．(1)如图1，连接OE ，求AEO ∠的度数；(2)如图2，连接AC ，延长EO 交AC 于点N ，点F 为AC 上一点，连接EF ，在EF 上方作等腰直角三角形EFG ，且90EGF ∠=︒，连接NG ，求证：NG BC ∥；(3)在（2）的条件下，连接AB ，CD ，当点G 落在线段AB 上时，过点O 做OL OE ⊥，交CD 于点L ，交CE于点T ，若2OE EG CL ==，求O 半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB 为O 的直径，点C 为 AB 上一点，连接AC ，点D 为 BC上一点，连接AD ，过点D 作AB 的垂线，垂足为点F ，交O 于点E ，连接CE ，分别交AD 和AB 于点H 和点K ，且90AHE =︒∠．(1)如图1，求证：CAD BAD ∠=∠；(2)如图2，连接HF ，过点H 作HF 的垂线交AB 于点T ，求证：2AB FT =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC 交AD 于点G ，延长CD 交AB 的延长线于点M ，若CM AG =，5FT =，求CG 的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点G ，连接AD ，过点C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点H ，交O 于点E ，连接DE ．(1)如图1，求证：2E C ∠=∠；(2)如图2，求证：DE CH =；(3)如图3，连接BE ，分别交AD CD 、于点M N 、，当2OH OG =，HF =EN 的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，ABC 内接于O ，作AD BC ⊥于点D ．(1)连结AO ，BO ．求证：2180AOB DAC ∠+∠=︒；(2)如图2，若点E 为弧AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，若2BAD CAD ∠∠＝，490DBF CAD ∠+∠=︒，连结OF ，求证：OF 平分AFB ∠；(3)在（2）的条件下，如图3，点G 为BC 上一点，连结EG ，2BGE C ∠=∠．若AD =3BD EG +=，求DF 的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E ．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BDDE的值；(3)在（2）的条件下，若,AC BD 交于点G ，设FGx CF=，cos BDE y ∠=．①求y 关于x 的函数表达式．②若BC BD =，求y 的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，F 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AF ， 在AF 上取一点O ， 以OA 为半径作圆， 恰好使得O 经过点B 且与CD 相切于点E ．(1)若正方形的边长为4时，求O 的半径；(2)如图2， 将AF 绕点A 逆时针旋转45︒后，其所在直线与O 交于点G ，与边CD 交于点H ，连接DG BG ，．①求ADG ∠的度数；②求证：··²AB BF AG FG BG +=．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ．(1)如图1，当点E 与点O 重合时，判断ABD △的形状，并说明理由；(2)如图2，当1OE =时，求BC 的长；(3)如图3，若点P 是线段AD 上一点，连接PC ，当PC 与半圆O 相切时，判断直线PC 与AD 的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD Y 中，∠B 是锐角，AB =10BC =，在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．(1)当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．(2)如图3，已知O 与射线BA 交于另一点F ，将BEF △沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在O 中，AB 是O 的直径，点M 是直径AB 上的一个动点，过点M 的弦CD AB ⊥，交O 于点C 、D ，连接BC ，点F 为BC 的中点，连接DF 并延长，交AB 于点E ，交O 于点G ．图1 图2 备用图(1)如图1，连接CG ，过点G 的直线交DC 的延长线于点P ．当点M 与圆心O 重合时，若PGC MDE ∠=∠，求证：PG 是O 的切线；(2)在点M 运动的过程中，DE kDF =（k 为常数），求k 的值；(3)如图2，连接BG OF MF 、、，当MOF △是等腰三角形时，求BGD ∠的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线234y x x =-++与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)与y 轴交于点C ．(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)如图(1)，P 是抛物线上异于A ，B 的一点，将点B 绕点P 顺时针旋转45︒得到点Q ，若点Q 恰好在直线AP 上，求点P 的坐标；(3)如图(2)，MN 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，直线BN 与直线CM 交于点T ，若直线MN 经过定点()1,3，求证：点T 的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q 为平面内不重合的两个点，其中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为(10)-，，点B 的坐标为(30)，．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是第一象限内该抛物线上一动点，过点D 作直线l y 轴，直线l 与ABD △的外接圆相交于点E ．①仅用无刻度直尺找出图2中ABD △外接圆的圆心P ．②连接BC 、CE ，BC 与直线DE 的交点记为Q ，如图3，设CQE △的面积为S ，在点D 运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S 的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =--∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =-，②41y x =-，③23y x =-+，④31y x =--中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数2)304(2y x x x =-++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为 ；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，,,A B C 为O 上不重合的三点，GC 为O 的切线，1902G A ∠+∠=︒．(1)求证：GB 为O 的切线；(2)若ABC 为等腰三角形，345,tan 4BAC BAC ∠<︒∠=，求BC AG的值；(3)如图2，若AB 为直径，M 为线段AC 上一点且GM GB ⊥，2223880AM OB GB GB +-+-=，02GB <<，求MGBA S 四边形的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒．点D 为ABC 内一点，且60ADB ∠=︒，E 为线段BD 的中点，连接AE ．(1)如图1，若AB AC ==，2AD =，求BE 的长；(2)如图2，连接CD ，若AB AC =，BAE ACD ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥交于F ，求证：AE =；(3)如图3，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，连接MN ，若AB =4AC =，求MN 的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 是CD 上一点，且DF DE =．(1)求证：BE EF ⊥；(2)如图2，若120A ∠=︒，FG BC ⊥于点G ，H 是BF 的中点，连接DG ，EH ，EG ，且EG 与BF 相交于点K ．①求证：DG EH =；②若2CF DF =，求KFGK的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．(1) BC的度数为 °；(2)如图2，连结PC ，取PC 中点G ，则OG 的最大值为 ；(3)如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；(4)如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA+为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，B C =，D 是BC 的中点．经过A ，B ，D 三点的O 交AC 于点E ，连接BE ．(1)求AE 和BE 的长；(2)如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接PQ ．①记AP x =，当PQC △的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接BP 并延长交O 于点F ，连接AF 、FE ．当BE 平分FBC ∠时，求sin ABF ∠的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；(2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。
初三圆经典真题及答案详解
初三圆经典真题及答案详解(总20页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆经典重难点真题一．选择题（共10小题）1．（2015•安顺）如右图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．82．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160°C．100°D．80°或100°3．（2015•兰州）如右图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80° B．90°C．100°D．无法确定4．（2015•包头）如右图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π5．（2015•黄冈中学自主招生）如右图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的正弦值为（）A．B．C． D．6．（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A．3B．8 C．D．27．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤58．（2015•衢州）如右图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C．D．9．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．810．（2015•海南）如右图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30°C．75° D．60°二．填空题（共5小题）11．（2015•黔西南州）如右图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．12．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=°．13．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．14．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=．15．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥A B于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是．三．解答题（共5小题）16．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．17．（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．18．（2015•滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．19．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．2．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠A BC的度数是（）A．80° B．160°C．100°D．80°或100°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．3．（2015•兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80° B．90°C．100°D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．4．（2015•包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．5．（2015•黄冈中学自主招生）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的正弦值为（）A．B．C． D．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义．【分析】首先连接AC，OA，由直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），可得△OAC是等边三角形，继而可求得∠OAC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠OBC的度数，则可求得答案．【解答】解：连接AC，OA，∵点C（0，5）和点O（0，0），∴OC=5，∵直径为10，∴AC=OA=5，∴AC=OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∴∠OBC=∠OAC=30°，∴∠OBC的正弦值为：sin30°=．故选A．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．6．（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A．3B．8 C．D．2【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．【专题】计算题．【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD=∠CBA，∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD=4，则AE=DE=2；∴BE=BD+DE=7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2=BE•AB=7×9=63；故BC=3．故选A．【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．7．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．【解答】解：当AB与小圆相切，∵大圆半径为5，小圆的半径为3，∴AB=2=8．∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，∴8≤AB≤10．故选：A．【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．8．（2015•衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C．D．【考点】切线的性质．【专题】压轴题．【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．【解答】解：如图1，连接OD、BD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，∴AD=CD，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC，∵CD=5，CE=4，∴DE=，∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，∴5BD=3BC，∴，∵BD2+CD2=BC2，∴，解得BC=，∵AB=BC，∴AB=，∴⊙O的半径是；．故选：D．【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．9．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．【解答】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．10．（2015•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30°C．75° D．60°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】计算题；压轴题．【分析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，而OA=OB，∴∠CBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．二．填空题（共5小题）11．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=2，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即22+（x﹣1）2=x2，解得：x=；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．12．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= 100 °．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°，然后根据圆周角定理求∠BOD．【解答】解：∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°﹣130°=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案为100．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．13．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为110°．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+⊂BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．【点评】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键．14．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=40°．【考点】圆内接四边形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．15．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O 于点C，且CD=1，则弦AB的长是 6 ．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．【解答】解：连接AO，∵半径是5，CD=1，∴OD=5﹣1=4，根据勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB的长是6．【点评】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F 是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定．【分析】（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；（3）设DE=x，则根据CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．【解答】（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE•AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．17．（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=．【解答】解：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B=，∴OP=3tan30°=，在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，∴PQ==；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，PQ==，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP=OB=，∴PQ长的最大值为=．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．18．（2015•滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC 中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．19．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【专题】证明题．【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可；（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．【解答】（1）解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D （如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE 的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．。
与圆有关的难题
１、在平面直角坐标系xoy 中,已知圆O:222211,:(4)4x y O x y +=-+=，动点Ｐ在直线0x b +-=上，过P 分别作圆O,O 1的切线，切点分别为A Ｂ,若满足PB=2PA 的点Ｐ有且只有两个,则实数b 的取值范围是２、过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点,则直线l 的方程为 ▲3、已知圆22:(2)4C x y -+=,线段E Ｆ在直线:1l y x =+上运动,点P 为线段EF 上任意一点,若圆Ｃ上存在两点Ａ、Ｂ,使得0PA PB ⋅≤,则线段ＥF 长度的最大值是 4、在平面直角坐标系xOy 中,圆1C :22(1)(6)25x y ++-=,圆2C :222(17)(30)x y r -+-=.若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ，满足2PA AB =,则半径ｒ的取值范围是 ▲ ．5、在平面直角坐标系xOy 中,设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ . ７、已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为 ▲８、在平面直角坐标系xO ｙ中，圆C 的方程为(ｘ－1)2＋ｙ2=４，Ｐ为圆C 上一点.若存在一个定圆Ｍ，过Ｐ作圆M 的两条切线ＰA ,PB ,切点分别为A ，B ，当P 在圆Ｃ上运动时,使得∠ＡＰB 恒为60︒,则圆Ｍ的方程为9已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上,若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点,且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 . 1０、已知点0,2A 位圆22:2200M x y ax ay a 外一点,圆M 上存在点T 使得45MAT，则实数a 的取值范围是 ．6、已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=,直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ,使得60BAC ∠=︒,则点Ａ的横坐标的取值范围是11在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A -，(2,6)B ，一条直线l 过点(0,)m ,且与单 位圆221x y +=恒相切． 若有且只有两个点P 满足:①4PA PB ⋅=-；②点P 到直线l 的距离为1,则实数m 的取值范围是 。
(word完整版)初中数学经典难题(含答案),推荐文档
经典几何专题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF经典几何专题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来经典几何专题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．234经典几何专题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来经典几何专题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，l＝PA＋PB＋PC，求证：3≤L＜2．23、P4∠经典难题（一）1、2、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来3、4、经典难题（二）1、2、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来3、4、经典难题（三）1、2、3、4、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来经典难题（四）1、2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC ∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC经典难题（五）1、2、3、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来3、4、。
(2021年整理)初三数学圆的难题
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1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点，点A的坐标为(3，0),∠ABO=60°。
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标。
（2）若点C的坐标为（—1,0)，试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式。
2 如图(4），正方形111OA B C的边长为1，以O为圆心、1OA为半径作扇形1111OAC AC，与1OB相交于点2B，设正方形111OA B C与扇形11OA C之间的阴影部分的面积为1S；然后以2OB为对角线作正方形222OA B C，又以O为圆心，、2OA为半径作扇形22OA C,22A C与1OB相交于点3B,设正方形222OA B C与扇形22OA C之间的阴影部分面积为2S；按此规律继续作下去，设正方形n n nOA B C与扇形n nOA C之间的阴影部分面积为nS．(1）求123S S S，，；（2)写出2008S;(3)试猜想nS(用含n的代数式表示，n为正整数）．1B2B3A1A2A3OCCC图4S2S1S3(第4题图)H EDB O A C3 (10分)如图，点I 是△ABC 的内心，线段A I 的延长线交△ ABC 的外接圆于点D ，交BC 边于点E ．（1)求证：I D =BD ;（2）设△ABC 的外接圆的半径为5，I D =6，AD x =，DE y =,当点A 在优弧上运动时,求y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．4 如图,点A ，B ，C ,D 是直径为AB 的⊙O 上四个点,C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2, EC ＝1．（1)求证:DEC △∽ADC △； （3分) （2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3)延长AB 到H ，使BH ＝OB ． 求证：CH 是⊙O 的切线． （3分)5 如图10，半圆O 为△ABC 的外接半圆,AC 为直径，D 为BC 上的一动点．(1）问添加一个什么条件后，能使得BD BEBC BD=？请说明理由；(2)若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图11,在（1）和（2)的条件下,四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．6 如图1，已知正方形ABCD的边长为M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合）,以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．(1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)？（2）求四边形CDPF的周长;(3）延长CD，FP相交于点G,如图2所示．是否存在点P，使BF＊FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．7 如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，M与x轴的正半轴交于A B，两点，A在B的左侧，且OA OB，的长是方程212270x x-+=的两根，ON是M的切线，N为切点,N在第四象限．·M·AF COPED图1·P DOGEMFBAC图2(1）求M 的直径．（2)求直线ON 的解析式． （3）在x 轴上是否存在一点T ，使OTN △是等腰三角形，若存在请在图2中标出T 点所在位置,并画出OTN △(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T 的坐标）若不存在，请说明理由．1 解：（1）连结AD 。
九年级下册圆形拔高习题（较难及难题）（含解析）（可编辑修改word版）
九年级下册圆形拔高习题（较难及难题）（含解析）（可编辑修改word版）九年级下册圆形拔高习题（中等及较难）一、选择题1、如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值为( )A .B .2C .D .2、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC=3∠AOB，若∠ACB=20°，则∠BAC 的度数是( )A .120°B .80°C .60°D .30°3、如图，AB 为⊙O的直径，点C 在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为( )A . πB . πC . πD . π4、如图所示，AB 是⊙O的直径，点 C 为⊙O外一点，CA，CD 是⊙O的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )B .30°C .60°D .75°5、如图，圆 O 是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点 C 作圆 O 的切线，交 AB 的延长线于点 D，则∠D的度数是 ( )A .25°B .40°C .50°D .65°6、如图，在⊙O中，AB 是直径，点 D 是⊙O上一点，点 C 是弧AD 的中点，弦CE⊥AB于点 E，过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CE、CB 于点 P、Q，连接 AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点 P 是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是（）A．①②④B．②③⑤C．③④D．②⑤7、一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A .21B .20C .19D .188、如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC 和∠ACB 的平分线，分别交圆 O 于点 D ，E ，且 BD=CE ，则∠A 等于（）B ．60°C ．45°D ．30°9、如图，半径为 5 的⊙O 中，弦 AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．已知AB=8，∠AOB+∠COD=180°，则弦CD 的弦心距等于（）B ．3D ．4 A ．C ．10、如图，AB 是半圆 O 的直径，AC 为弦，OD⊥AC 于 D ，过点 O 作OE∥AC 交半圆 O 于点 E ，过点 E 作EF⊥AB 于 F ，若AC=4，则 OF 的长为( )D .411、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，将长为 1 的线段 QR 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，按A→B→C→D→A 的方向滑动到A 停止，同时点R 从点B 出发，按B→C→D→A→B 的方向滑动到 B 停止，在这个过程中，线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形面积为（）A． B．4-πC ．πD ．A .1B .C .2二、填空题12、如图，点 C 在以AB 为直径的半圆上，AB=4，∠CBA=30°，点D 在AO 上运动，点 E 与点D 关于AC 对称：DF⊥DE于点D，并交 EC 的延长线于点 F，下列结论：①CE=CF；②线段EF 的最小值为；③当 AD=1 时，EF 与半圆相切；④当点D 从点A 运动到点O 时，线段EF 扫过的面积是4．其中正确的序号是．13、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为.14、已知正三角形的面积是cm，则正三角形外接圆的半径是cm．15、如图，四边形ABCD 为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB 与CD 的位置关系是．16、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，过 C 点的切线与 AB 的延长线交于 P 点，若∠P=40°，则∠D 的度数为.三、解答题17、如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2 cm．（1）求⊙O的半径 r；（2）求劣弧的长（结果保留π）．18、在△ABC 中，CE，BD 分别是边 AB，AC 上的高，F 是 BC 边上的中点．（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含 x 的代数式表达）．（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．19、如图，直线 AB 经过⊙O上的点 C，直线 AO 与⊙O交于点E 和点D，OB 与OD 交于点F，连接DF，DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线 AB 是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD 的长.20、如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠A=2∠BCD，点 E 在 AB 的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE 与⊙O相切；（2）若BF=2，DF= ，求⊙O的半径．21、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交 BC 于点D，点O 在AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D，分别交 AC，AB 于点E，F．（1）试判断直线 BC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．22、如图1，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1:2:3，⊙O 是△ABD 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O的切线（2）当BD 是⊙O的直径时（如图 2），求∠CAD的度数．23、如图，AB 为⊙O的直径，点E 在⊙O上，C 为的中点，过点C 作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC.（1）试判断直线 CD 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC= ，求AB 的长。
初三数学圆经典例题(2021年整理)
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一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r;②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2，BC =4，CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A ，B ，M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由.例2．已知，如图,CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B,且AB=OC ，求∠A 的度数.例 3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm,则这圆的半径是_________cm 。
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1.如图，四边形ABCD 内接于⊙ O， AB 是⊙ O 的直径， AC 和 BD 相交于点E，且 DC 2=CE?CA．（1）求证： BC=CD；（ 2）分别延长AB， DC 交于点 P，过点 A 作 AF⊥ CD 交 CD 的延长线于点F，若 PB=OB，CD=，求DF的长．2.如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB 于 H ，过 CD 延长线上一点 E 作⊙ O 的切线交AB 的延长线于F．切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．（1）求证： KE=GE ；（2）若=KD ·GE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；（ 3）在（ 2 ）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．3. 如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上一点， AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P ，弦 CE 平分∠ ACB ，交 AB 于点 F ，连接 BE ． (1) 求证： AC 平分∠ DAB ； (2) 求证：△ PCF 是等腰三角形；(3) 若 tan ∠ ABC=4，BE=7 2 ，求线段 PC 的长．34.5.已知：如图，在半径为 4 的⊙ O 中，AB ，CD 是两条直径， M 为 OB 的中点， CM 的延长线交⊙ O 于点 E，且 EM ＞ MC ，连结 DE， DE=。
（1 ）求证： AM ·MB=EM ·MC ；（ 2 ）求 EM 的长；（ 3）求 sin ∠EOB 的值。
6.如图， AE 切⊙ O 于点 E，AT 交⊙ O 于点 M ， N ，线段 OE 交 AT 于点 C，OB ⊥AT 于点 B，已知∠EAT=30 °，AE=3，MN=2．（1）求∠COB 的度数；（2）求⊙ O 的半径 R；（3）点 F 在⊙ O 上（是劣弧），且EF=5 ，把△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点 E，与 BN 相交于点 F．过 D 点作半圆 O 的切线 DP，切点为 P，与 BN 相交于点 Q ．（1）求证：△ABC ∽△OFB ；（2）当△ABD 与△BFO 的面枳相等时，求 BQ 的长；（3）求证：当 D 在 AM 上移动时（ A 点除外），点 Q 始终是线段 BF 的中点8.如图，在⊙O 的内接△ABC中，∠ACB=90 °AC=2BC，，过 C 作 AB 的垂线 l 交⊙O 于另一点 D，垂足为 E.设 P 是上异于A,C的一个动点，射线AP 交 l 于点 F，连接 PC 与 PD，PD 交 AB 于点 G.（1 ）求证：△PAC∽△PDF ；（2 ）若 AB=5 ，，求PD的长；（3 ）在点 P 运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）1.【解答】：（1）证明：∵ DC2=CE?CA，∴= ，△CDE ∽△ CAD ，∴∠ CDB =∠DBC ，∵四边形 ABCD 内接于⊙ O，∴BC =CD；（2）解：如图，连接OC，∵BC =CD，∴∠ DAC =∠CAB，又∵ AO=CO，∴∠ CAB=∠ ACO，∴∠ DAC =∠ACO，∴AD ∥ OC，∴= ，∵PB =OB ，CD =，∴=∴PC =4又∵ PC?PD =PB?PA∴P A=4 也就是半径 OB=4，在 RT△ACB 中，AC===2，∵AB 是直径，∴∠ ADB =∠ ACB=90°∴∠ FDA +∠ BDC =90°∠CBA +∠ CAB=90°∵∠ BDC =∠CAB∴∠ FDA =∠ CBA又∵∠ AFD =∠ ACB=90°∴△ AFD ∽△ ACB∴在 Rt△ AFP 中，设 FD =x，则∴在 RT△APF 中有，求得 DF =．AF =，，2解：（ 1）如答图 1 ，连接 OG ．∵EG 为切线，∴∠KGE+ ∠OGA=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AKH+ ∠OAG=90°，又OA=OG ，∴∠OGA= ∠OAG ，∴∠KGE= ∠AKH= ∠GKE，∴KE=GE ．（ 2 ） AC ∥EF，理由为：连接 GD ，如答图 2 所示．∵KG 2=KD GE，即=，∴= ，又∠KGE= ∠GKE，∴△GKD ∽△EGK，∴∠E= ∠AGD ，又∠C= ∠AGD ，∴∠E= ∠C，∴AC ∥EF；（ 3 ）连接 OG ，OC ，如答图3 所示．sinE=sin ∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE ，AC ∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在 Rt △AHK中，根据勾股定理得AH2+HK 2 =AK 2 ，即（ 3t ）2+t 2 =（） 2，解得t=．设⊙ O半径为r ，在Rt △OCH 中， OC=r ， OH=r ﹣ 3t ， CH=4t ，由勾股定理得： OH 2 +CH 2=OC 2，即（ r ﹣ 3t ）2 + （ 4t ）2 =r 2，解得 r=t=．∵EF 为切线，∴△OGF 为直角三角形，在 Rt △OGF 中， OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．.46.8.。
初中数学圆的难题汇编及答案解析
初中数学圆的难题汇编及答案解析一、选择题1．下列命题错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形一定有外接圆和内切圆C．等弧对等弦D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．【详解】A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题；B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题；C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大．2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( )A．1 B．32C．3D．52【答案】A【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.【详解】解：连接CE，∵E点在以CD为直径的圆上，∴∠CED=90°，∴∠AEC=180°-∠CED=90°，∴E点也在以AC为直径的圆上，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，∴OC=12AC=4，∵BC=3，∠ACB=90°，∴OB=22OC BC=5，∵OE=OC=4，∴BE=OB-OE=5-4=1.故选A.【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理.3．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP 的最值，代入求解即可．【详解】设P （x ，y ），∵PA 2＝（x +1）2+y 2，PB 2＝（x ﹣1）2+y 2，∴PA 2+PB 2＝2x 2+2y 2+2＝2（x 2+y 2）+2，∵OP 2＝x 2+y 2，∴PA 2+PB 2＝2OP 2+2，当点P 处于OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，∴OP 的最小值为CO ﹣CP ＝3﹣1＝2，∴PA 2+PB 2最小值为2×22+2＝10．故选：C ．【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值，难度较大．4．下列命题中，是假命题的是( )A ．任意多边形的外角和为360oB ．在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C VC ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析．【详解】解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.故选D ．【点睛】本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．5．如图，△ABC 的外接圆是⊙O ，半径AO=5，sinB=25，则线段AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】 首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB=25，即可求得答案． 【详解】解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ，∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=25， ∵半径AO=5，∴CD=10，∴2sin 105AC AC D CD ===， ∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.6．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作»AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A．20833π-B．20833π+C．20833π-D．20433π+【答案】A【解析】【分析】如图，连接CE．图中S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE．根据已知条件易求得OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8，∠ECB＝60°，OE＝43，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．【详解】解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°．∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝3∴S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE＝2260811-4-443 36042ππ⨯⨯⨯⨯=20-83 3π故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．7．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，45A ∠=︒，1BC =，把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）A ．1B ．2 C ．3 D ．2【答案】A【解析】【分析】 连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1.【详解】如图，连接AD ，AO ，DO∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，∴AB=DE ，90AOD ∠=︒，45CAB BDE ∠=∠=︒∴1452ABD AOD ∠=∠=︒（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 即45ABD EDB ∠=∠=︒，又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等），在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB EDDAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△EBD （ASA ）,∴AD=EB=BC=1.故答案为A.【点睛】本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.8．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AHAO，∴AO＝336sin3AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A．3B．23C．32D．233【答案】A【解析】连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC•tan30°=3，故选A10．如图，用半径为12cm，面积272cmπ的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高为（）A．12cm B．6cm C．6√2 cm D．3【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】 72π=212360n π⨯ 解得n=180°，∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm ． 围成一个圆锥后如图所示：因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm ，即OB=6cm根据勾股定理得22126=63-，故选D ．【点睛】本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）A ．13B ．12C ．34D ．1【答案】B【解析】【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．【详解】圆锥的底面周长是：π；设圆锥的底面半径是r ，则2πr=π．解得：r=12．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的AOB ∠不一定．．．是直角的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解.【详解】解：选项A 中，做出了点A 关于直线BC 的对称点，则AOB ∠是直角.选项B 中，AO 为BC 边上的高，则AOB ∠是直角.选项D 中，AOB ∠是直径AB 作对的圆周角，故AOB ∠是直角.故应选C【点睛】本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关键．13．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN ∥BC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME ，同理可得NC=NE ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76MN①， 同理可得CN=5-56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，∴MN=4．故选：B ．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．14．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．15．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax+5a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C 点．以C 点为圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（ ）A ．522(,22-B ．（4，﹣5）C ．（3，﹣5）D ．（3，﹣4）【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．【详解】∵2650y ax ax a a +-=（＞） 与x 轴交于A 、B 两点，∴A （1，0）、B （5，0），∵226534y ax ax a a x a =+=---（） ， ∴顶点34C a （，-）， 当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，∴OC ＝OP+2＝5，∴29165(0)a a +=> ，∴1a = ，∴C （3，﹣4），故选：D ．【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．16．如图，3个正方形在⊙O 直径的同侧，顶点B 、C 、G 、H 都在⊙O 的直径上，正方形ABCD 的顶点A 在⊙O 上，顶点D 在PC 上，正方形EFGH 的顶点E 在⊙O 上、顶点F 在QG 上，正方形PCGQ 的顶点P 也在⊙O 上．若BC ＝1，GH ＝2，则CG 的长为（ ）A ．125B 6C 21D ．22【答案】B【解析】【分析】【详解】解：连接AO 、PO 、EO ，设⊙O 的半径为r ，OC =x ，OG =y ，由勾股定理可知：22222222211{22r x r x x y r y =++=++=++（）①（）②（）③，②﹣③得到：x 2+（x +y ）2﹣（y +2）2﹣22=0，∴（x +y ）2﹣22=（y +2）2﹣x 2，∴（x +y +2）（x +y ﹣2）=（y +2+x ）（y +2﹣x ）．∵x +y +2≠0，∴x +y ﹣2=y +2﹣x ，∴x =2，代入①得到r 2=10，代入②得到：10=4+（x +y ）2，∴（x +y ）2=6．∵x +y ＞0，∴x +y 6，∴CG =x +y 6．故选B ．点睛：本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数列方程组解决问题，难点是解方程组，利用因式分解法巧妙求出x的值，学会把问题转化为方程组，用方程组的思想去思考问题．17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（）A．86°B．94°C．107°D．137°【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵∠BOD=86°，∴∠BAD=86°÷2=43°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-43°=137°，即∠BCD的度数是137°．故选D．【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．18．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝26°，则∠COB的度数是（）A．52°B．64°C．48°D．42°【答案】A【解析】【分析】由OC⊥AB，利用垂径定理可得出，再结合圆周角定理及同弧对应的圆心角等于圆周角的2倍，即可求出∠COB的度数．【详解】解：∵OC⊥AB，∴，∴∠COB＝2∠ADC＝52°．故选：A．【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理找出是解题的关键．19．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（）A．15°B．30°C．60°D．75°【答案】D【解析】【分析】【详解】连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC=∠ODC=90°，∵∠ACD=30°，∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，∵OB=OD，∴∠DBA=∠ODB=12∠AOD=75°．故选D．考点：切线的性质；圆周角定理．20．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．224π--B ．224π-+ C ．142π+ D ．142π- 【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长，求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1，进而得到211(21)2OB C S =-V ，再根据S △AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积． 【详解】连结DC 1，∵∠CAC 1＝∠DCA ＝∠COB 1＝∠DOC 1＝45°，∴∠AC 1B 1＝45°，∵∠ADC ＝90°，∴A ，D ，C 1在一条直线上，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 2OCB 1＝45°，∴CB 1＝OB 1∵AB 1＝1，∴CB 1＝OB 1＝AC ﹣AB 12﹣1，∴211111(21)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=， ∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯=V ， ∴图中阴影部分的面积＝2245(2)11(21)22360224ππ⨯⨯--=-+故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．。
(专题精选)初中数学圆的难题汇编附答案解析
（专题精选）初中数学圆的难题汇编附答案解析一、选择题1．下列命题中正确的个数是（ ）①过三点可以确定一个圆②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米④三角形的重心到三角形三边的距离相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】①根据圆的作法即可判断；②先利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断；③根据圆与圆的位置关系即可得出答案；④根据重心的概念即可得出答案．【详解】①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误；②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12，13= , ∴它的外接圆半径为.113652⨯=，故正确； ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，故错误； ④三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；所以正确的只有1个，故选：A ．【点睛】本题主要考查直角三角形外接圆半径，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念，掌握直角三角形外接圆半径的求法，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念是解题的关键．2．用一个直径为10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，不倒翁的顶点A 到桌面L 的最大距离是18cm .若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ）A ．260cm πB ．260013cm πC ．272013cm πD ．272cm π【答案】C【解析】【分析】 连接OB ，如图，利用切线的性质得OB AB ⊥，在Rt AOB ∆中利用勾股定理得12AB =，利用面积法求得6013BH =，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面．【详解】 解：连接OB ，作BH OA ⊥于H ，如图，Q 圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，OB AB ∴⊥，在Rt AOB ∆中，18513OA =-=，5OB =，2213512AB ∴=-=，Q 1122OA BH OB AB =g g ， 512601313BH ⨯∴==， Q 圆锥形纸帽的底面圆的半径为6013BH =，母线长为12， ∴形纸帽的表面2160720212()21313cm ππ=⨯⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算．3．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．13πB ．1324π+C ．1324π-D ．524π+【答案】C【解析】【分析】 先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解．【详解】解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯，S 扇形EAD 24036094ππ==⨯⨯，S 矩形ABCD 6424=⨯=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ）＝9π﹣（24﹣4π）＝9π﹣24+4π＝13π﹣24故选：C ．【点睛】本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键．4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB=22，则»AB 的长是（ ）A ．πB ．32πC ．2πD ．12π 【答案】A【解析】 【分析】连接OA 、OB ，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO ，根据弧长公式求出即可．【详解】连接OA 、OB ，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB=BC=DC=AD，∴»»»»AB BC CD DA===，∴∠AOB=14×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（22）2，解得：AO=2，∴»AB的长为902 180π´=π，故选A．【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．5．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．83C．6 D．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB=43，∴光盘的直径为83．故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.6．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14【答案】C【解析】【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．Q圆的直径正好是大正方形边长，∴22，∴2，222=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【点睛】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.7．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于()A ．20°B ．25°C ．30°D ．32.5°【答案】A【解析】【分析】 连接OD ，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB ＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD 的度数．【详解】解：连接OD ，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠OCE ＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ＝25°，∴∠DOC ＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠DOB ＝∠DOC ﹣∠BOC ＝130°﹣90°＝40°，∴由圆周角定理得：∠BAD ＝12∠DOB ＝20°， 故选：A ．【点睛】本题考查了圆和三角形的问题，掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键．8．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线33y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )A．3 B．2 C．3D．2【答案】D【解析】【分析】先根据题意，画出图形，令直线y= 3x+ 23与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH ⊥CD于H，作OH⊥CD于H；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C、D两点的坐标值；再在Rt△POC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出OH的值；最后连接OA，利用切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POH中，利用勾股定理，得到21PA OP=-，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可.【详解】如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，y=3D（0，3当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），∴222(23)4CD=+=，∵12OH•CD=12OC•OD，∴2233⨯=连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴2221 PA OP OA OP=-=-当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA的最小值为22(3)12-=.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC 的长为( )A ．3πB ．23πC ．3πD ．233π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==，»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23，∴3CE DE ==，»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o ， ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.11．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧弧AB 上任意一点（与点B 不重合），则∠BPC 的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．详解：连接OB，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选B．点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．12．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．50cm2B．50πcm2C．52D．5cm2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，22105＝55，圆锥底面圆半径为5，∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝12×10π×55＝255πcm2，故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．13．如图，点A、B、C、D、E、F等分⊙O，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A．π+33B．π-33C．33π+D．33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB，根据扇形面积公式计算．【详解】连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴OH=2211()2-=3， ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π⨯⨯-12×1×3）×6=π-33， 故选B ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．14．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DA DC =，50CBE ∠=︒，AOD ∠的大小为（ ）A ．130°B ．100°C ．20°D ．10°【答案】A【解析】【分析】 先求出∠ABC 的大小，根据内接四边形角度关系，得到∠ADC 的大小，从而得出∠C 的大小，最后利用圆周角与圆心角的关系得∠AOD 的大小.【详解】∵∠CBE=50°∴∠ABC=130°∵四边形ABCD 是内接四边形∴∠ADC=50°∵AD=DC∴在△ADC 中，∠C=∠DAC=65°∴∠AOD=2∠C=130°故选：A【点睛】本题考查圆的性质，主要是内接四边形对角互补和同弧对应圆心角是圆周角2倍，解题中，我们要充分利用圆的性质进行角度转换，以便得到我们需要的角度.15．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需．．（）个这样的正五边形A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】【详解】如图，∵多边形是正五边形，∴内角是15×（5-2）×180°=108°，∴∠O=180°-（180°-108°）-（180°-108°）=36°，36°度圆心角所对的弧长为圆周长的1 10，即10个正五边形能围城这一个圆环，所以要完成这一圆环还需7个正五边形.故选B.16．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．8833π-B．16833π-C．16433π-D．8433π-【答案】B 【解析】【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为4，OB=OA=OC=4，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=2，在Rt△COD中利用勾股定理可知：224223,243AC CD-===∵sin∠COD=3 CDOC=∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=1144383 22OB AC⨯=⨯⨯=∴S扇形=2 1204163603ππ⨯⨯=,则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=1683 3π-.故选B.【点睛】考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=2 360 n r π.17．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C【解析】【分析】【详解】 如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.18．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 分析：先根据多边形的内角和公式（n ﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O ，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10．∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．19．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B．3C．2D．1 2【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.20．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π- B ．33π+ C ．3338π- D ．259π 【答案】D【解析】【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．【详解】∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，∴△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，∴AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，∴S 阴影=4025360π⨯=259π， 故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.。
初三数学-有圆的经典例题(word文档良心出品).doc
有关圆的经典例题1.在半径为 1的⊙ O 中，弦 AB 、 AC 的长分别为 3和 2，求∠ BAC 的度数。
2. 如图：△ ABC 的顶点 A 、B 在⊙ O 上，⊙ O 的半径为 R ，⊙ O 与 AC 交于 D ，如果点 D 既是 AB 的中点，又是 AC 边的中点，（1）求证：△ ABC 是直角三角形；2 (2)求AD的值BC3. 如图，在⊙ O 中， AB=2CD ，那么（ ）A. AB 2CDB. AB 2CDC. AB2 CD D . AB 与 2 CD 的大小关系不确定4.如图，四边形 ABCD 内接于半径为 2的⊙ O ，已知 ABBC1AD 1， 求 CD 的4长。
5.如图， AB 、 AC 分别是⊙ O 的直径和弦， D 为劣弧 AC 上一点， DE ⊥ AB于 H ，交⊙ O 于点 E ，交 AC 于点 F ，P 为 ED 的延长线上一点。
（1）当△ PCF 满足什么条件时，PC 与⊙ O 相切，为什么？(2)当点 D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使AD 2DE· DF ，为什么？16.如图，四边形ABCD 是矩形 ( AB BC )，以 BC为直径作半圆O，过点D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为 F，若 AE ：BE=2 ： 1，求 tan∠ ADE 的值。
分析：要求 tan∠ADE ，在 Rt△AED 中，若能求出 AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。
ED=EF+FD ，而 EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和 AE 的关系，进一步可求出AE ： AD 。
解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴ BC ⊥ AB ， BC⊥ DC∴AB 、DC 切⊙ O 于点 B 和点 C，∵D E 切⊙ O 于 F，∴ DF=DC ， EF=EB ，即 DE=DC+EB ，又∵ AE ： EB=2 ：1，设 BE=x ，则 AE=2x ， DC=AB=3x ，DE=DC+EB=4x ，在 Rt△ AED 中， AE=2x ，DE=4x ，∴AD 2 3xAE 2x 3则 tan∠ADEAD2 3x 3点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
圆的重难点题型汇编(一)(十二大题型)(学生版)--九年级数学
圆的重难点题型汇编【题型01：垂径定理及应用】【题型02：点与圆的位置关系的判定】【题型03：直线与圆的位置关系的判定】【题型04：切线判定与性质综合】【题型05：圆周角定理】【题型06：圆内接四边形】【题型07：三角形的内切圆】【题型08：三角形的外接圆】【题型09：正多边形与圆的综合】【题型10：弧长和扇形的面积】【题型11：圆锥的侧面积】【题型12：不规则图形的阴影面积】【题型01：垂径定理及应用】1如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧AB(AB所在圆的圆心为O)，弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂AB的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂AB所在圆的半径为()A.2dmB.2.5dmC.3dmD.4dm2日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1)，它可以看作如图2所示的几何图形．已知AB=CD=7 cm，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，BD=14 cm，⊙O的半径r=9 cm，则圆盘离桌面BD最近的距离是()cm D.2 cmcm C.42-23如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面高度CD是8cm．那么水面宽度AB是()A.12cmB.18cmC.24cmD.26cm4如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水平面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为8米、圆O半径长为5米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是()5如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB=8,CD=2，则OD的长是()A.3B.4C.5D.66如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则⊙O的半径为()A.8.5B.7.5C.7D.87如图，圆弧形桥拱的跨度AB为24米，拱桥所在圆的半径为13米，则拱高CD为()A.2米B.4米C.8米D.10米8《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，垂足为C，CD=1寸，AB=1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．《周礼·考工记》记载：“⋯故兵车之轮六尺有六寸，田车之9如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，轮六尺有三寸⋯”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB =120cm，CD=30cm，则此车轮半径为cm．通过单位换算(在战国时期，一尺大约是23cm左右)，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．10“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为8米，净高CD为8米，求此隧道单心圆的半径OA．11如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，AB为16米，拱高CN为4米．(1)求桥拱的半径；(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为12米时，求水面涨高了多少？【题型02：点与圆的位置关系的判定】12已知⊙O的半径为4cm，若PO=5cm，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在圆外B.点P在圆上C.点P在圆内D.无法确定13在平面直角坐标系中，O是坐标原点，⊙O的半径为5，若点P的坐标为2,3，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.不能确定14在正方形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，下列说法错误的是( )．A.点D在圆上B.点C在圆外C.点B在圆上D.点A在圆上【题型03：直线与圆的位置关系的判定】15平面直角坐标系中，M点坐标为(-2，3)，以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是()A.⊙M与x轴相交，与y轴相切B.⊙M与x轴相切，与y轴相离C.⊙M与x轴相离，与y轴相交D.⊙M与x轴相离，与y轴相切16⊙O的半径是5cm，圆心O到直线a的距离为8cm，直线a与⊙O的公共点个数是()A.0B.1C.2D.1或217以点1,2为圆心画⊙P，若⊙P的半径r=1，则⊙P与x轴的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定18如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，点D为AB的中点，以2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是()A.点A在圆外B.点C在圆上C.⊙D与直线AC相切D.⊙D与直线BC相交19如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P圆心坐标是-3,0，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为()A.1B.1或5C.3D.520已知⊙O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=3，则直线l与⊙O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离或相切D.相交或相切【题型04：切线判定与性质综合】21如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连接BC，点D为⊙O 上一点，且DF=BF，连接AD．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AB=6，AC=8，求⊙O的半径的长．22如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于点E，且BC=CE，连接AC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AC=5，AF=6，求⊙O的半径．23如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=FE，连接EF．(1)求证：EF为⊙O的切线；(2)若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径．24如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于F，弦AD平分∠CAB，DE⊥AC，垂足为E．(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若⊙O的半径为3，若∠CAB=60°，求线段EF．25如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，且∠A=∠CDE．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若AD=18,CD=12，求⊙O的半径长．26如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．(1)DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；(2)若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．27如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径长为22，BF=3，求BE的长．28如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以BD为直径作⊙O，交边AB于点P，连接AD，PC．(1)求证；AD是⊙O的切线；(2)若PC是⊙O的切线，BC=4，求PC的长．【题型05：圆周角定理】29如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，连接BC．若∠B=22.5°，CD=4，则⊙O的半径的长为()A.2B.22C.4D.4230如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠DAB=48°，则∠ACD=()A.48°B.42°C.72°D.58°31如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A=35°，则∠C的度数是()A.20°B.25°C.30°D.35°32如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，连接AC，BC，OD，若∠B=52°，则∠AOD=()A.104°B.109°C.114°D.119°33如图，△BDC内接于圆O，AC为圆O的直径，连接AB，若∠ACB=40°，则∠D的度数为()A.20°B.25°C.50°D.40°34如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB=30°，AB=4，则AC的长为()A.22B.4C.3D.23【题型06：圆内接四边形】35如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°36如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC=50°，则∠ABC 的度数是()A.50°B.100°C.130°D.150°37如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE 等于()A.64°B.60°C.54°D.52°38如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=123°，则∠AOC=()A.114°B.123°C.57°D.130°【题型07：三角形的内切圆】39如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，则△ABC 内切圆的半径是()A.1B.43C.2D.340如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为M ，N ，Q ，已知∠ABC =90°，CM =2，AM =3，则⊙O 的半径为()A.12B.32C.1D.241如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，若⊙O 的半径为2，AD ⋅DB =24，则AB 的长()A.11B.10C.9D.842如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为．【题型08：三角形的外接圆】43如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为()A.2B.3C.4D.2344如图，在△ABC，AC=BC，CD⊥AB于点D．(1)求证：△ACD≌△BCD(2)作Rt△BCD的外接圆⊙O．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母)；(3)过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．45如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=BC，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA 到点E，连接CE，∠D=∠E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若CE=8，AE=5，求⊙O半径的长．46如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF 是⊙O的切线．(1)求证：∠DCF=∠CAD；(2)若CF=42，DF=4，求⊙O的半径．【题型09：正多边形与圆的综合】47半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为120°，则这个内接正多边形的边长为()A.1B.2C.3D.2348一个正六边形的边长为6，则它的边心距是()A.3B.32C.33D.1249蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为-23,3，0,-3，则点M的坐标为．50如图，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，设四边形ABCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2=．51如图所示，在圆内接正六边形ABCDEF中，AE=33，则阴影部分的面积为．52如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的内角和为．【题型10：弧长和扇形的面积】53中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则AB的长为()A.17.5πcmB.18.5πcmC.16.5πcmD.17πcm54如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB=45°，⊙O的半径的长为2，则劣弧AB的长是()A.2πB.πC.π2D.π455如图，点A,B,C在半径为3的⊙O上，∠ACB=30°，则AB的长为()A.3B.π2C.π D.3π256龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型(如图)．扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°．AB长30cm，扇面的BD边长为18cm，则扇面面积为cm2(结果保留π)．【题型11：圆锥的侧面积】57将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为10cm，则该圆锥的侧面积为( )cm2A.50πB.60πC.90πD.120π58某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽．他们制作的生日帽，母线长为30cm，底面圆的半径为8cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于．59如图，圆锥的底面半径OB为3，高AO为4，则圆锥侧面积是．60用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为cm．61综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π)62综合与实践主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l 、圆心角为n °的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．在制作好的生日帽中，AB =6cm ，l =6cm ，C 是PB 的中点，现要从点A 到点C 再到点A 之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．【题型12：不规则图形的阴影面积】63工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB 为1米，请计算出淤泥横截面的面积()A.16π-34B.16π-32C.23π-3 D.16π-1464如图，如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D 为半圆弧的三等分点，若AB =12，则阴影部分的面积为．65在等腰直角△ABC 中，已知∠ABC =90°,BC =1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转水不撩不知深浅90°后得到△AB C ．则图中阴影部分面积为．。
九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版]
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九年级数学上册圆几何综合中考真题汇编[解析版]一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB 于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；（2）如图2，设AC=x，ACOOBDSS=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．【答案】（1）2；（2）2825x x x-+（0＜x＜8）;（3）AD=145或6．【解析】【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.【详解】解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，∴OD⊥AB，AC=12AB=4，在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，∴22AO AC-，∴OD=5，∴CD=OD﹣OC=2；（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3，∵AC=x，∴CH=|x﹣4|，在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，∴22HO HC+223|x4|+-2825x x-+∴CD=OD ﹣OC=5过点DG ⊥AB 于G ，∵OH ⊥AB ，∴DG ∥OH ，∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OC DG CD=， ∴DG=OH CD OC ⋅35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣x ）×（335）=32（8﹣x ） ∴y=ACO OBD S S=()323582x x -（0＜x ＜8） （3）①当OB ∥AD 时，如图3，过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ，则OF=AE ，∴S=12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，AO=5，∴75∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴AD=2AF=145． ②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得DG=BM=245， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°， ∴AD=22AG DG +=6综上得AD=145或6．故答案为（1）2；（2）y=()2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6． 【点睛】本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.2．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E.（1）求证：∠E=∠C ；（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）485. 【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB 的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB ，∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==3．如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C 重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F．（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离．【答案】（1）CE＝2；（2）⊙O的半径为3；（3）G、E两点之间的距离为9.6【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；（2）由勾股定理求得BC，然后通过证得△OEC∽△BCA，得到OE OCBC BA=，即8610r r-=解得即可； （3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GE AB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE 切⊙O 于E ，∴∠OEC ＝90°，∵AC ＝8，⊙O 的半径为2， ∴OC ＝6，OE ＝2，∴CE ＝2242OC OE -= ；（2）设⊙O 的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴BC 22AB A C -＝6，∵AF ＝BF ，∴AF ＝CF ＝BF ，∴∠ACF ＝∠CAF ，∵CE 切⊙O 于E ，∴∠OEC ＝90°，∴∠OEC ＝∠ACB ，∴△OEC ∽△BCA ，∴OE OC BC BA =，即8610r r -= 解得r ＝3，∴⊙O 的半径为3；（3）如图②，连接BG ，OE ，设EG 交AC 于点M ，由对称性可知，CB＝CG，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠GEC，∵CE切⊙O于E，∴∠GEC+∠OEG＝90°，∵∠EGC+∠GMC＝90°，∴∠OEG＝∠GMC，∵∠GMC＝∠OME，∴∠OEG＝∠OME，∴OM＝OE，∴点M和点D重合，∴G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，又CE＝CB＝CG，∴∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，∴GB GEAB AC=，即12108GE=∴GE＝9.6，故G、E两点之间的距离为9.6．【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关4．已知：图1 图2 图3（1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC = （2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值． （3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BN PC BP =，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，∴24,4PB BN BC =⋅=，∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BP BP BC=，∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BC PBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽，∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt△GDF中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤，当点P在DG的延长线上时，12PD PC-的值最大，∴最大值为：37DG=.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．5．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，求证：AT平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，由S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，可得AQ=52h，再根据sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，∵2∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠ABC＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，∵∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，∴∠ABF＝12∠ABD，∴BT平分∠ABD，∵AE＝BE∴∠ADE＝∠BDE，∴DT平分∠ADB，∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∴TR＝TL，TR＝TH，∴TL＝TH，∴AT平分∠DAB．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．∵AE＝BE∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，∴∠TAE＝∠ATE，∴AE＝TE，∵DT＝TE，∴AE＝DT，∵∠AGE＝∠DHT＝90°，∴△EAG≌△TDH（AAS），∴AG＝DH，∵AE＝EB，EG⊥AB，∴AG＝BG，∴2DH＝AB，∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，设DH＝x，则AB＝2x，∵AD＝8，DB＝12，∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，∴DH＝5，AB＝10，设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，∵S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，∴12AQ＝（8+12+10）h，∴AQ＝52 h，∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得hm＝APAD＝AP8，sin∠AED＝sin∠ABD，可得APm＝AQAB＝AQ10＝5210h，∴AP m＝52810mAP⋅，解得m＝42或﹣42（舍弃），∴DE＝2m＝82．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．6．已知：ABC 内接于O，过点B作O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．（1）如图1，求证：DAB DBC∠=∠；（2）如图2，过点D作DM AB⊥于点M，连接AO，交BC于点N，BM AM AD=+，求证：BN CN=；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为O上一点，过点E的切线交DB的延长线于点P，连接CE，交AO的延长线于点Q，连接PQ，PQ OQ⊥，点F为AN上一点，连接CF，若90DCF CDB∠+∠=︒，tan2ECF∠=，12ONOQ=，10PQ OQ+=求CF的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF【解析】【分析】（1）延长BO交O于G，连接CG，根据切线的性质可得可证∠DBC＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G，从而证出结论；（2）在MB上截取一点H，使AM=MH，连接DH，根据垂直平分线性质可得DH=AD，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C，可得AB=AC，再根据垂直平分线的判定可得AO垂直平分BC，从而证出结论；（3）延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，证出tan∠BGE=tan∠ECF=2，然后利用AAS证出△CFN≌△BON，可设CF=BO=r，ON=FN=a，则OE=r，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE为正方形，利用r和a表示出各线段，最后根据+=，即可分别求出a和CF．610PQ OQ【详解】解：（1）延长BO交O于G，连接CG∵BD是O的切线∴∠OBD=90°∴∠DBC＋∠CBG=90°∵BG为直径∴∠BCG=90°∴∠CBG＋∠G=90°∴∠DBC=∠G∵四边形ABGC为O的内接四边形∴∠DAB=∠G∴∠DAB=∠DBC（2）在MB上截取一点H，使AM=MH，连接DH∴DM垂直平分AH∴DH=AD∴∠DHA=∠DAH∵BM AM AD =+，=+BM MH BH∴AD=BH∴DH=BH∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD由（1）知∠DAB=∠DBC∴∠DHA=∠DAB=∠DBC∴∠DBC =2∠HBD∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC∴∠DAB=2∠ABC∵∠DAB=∠ABC ＋∠C∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴点A 在BC 的垂直平分线上∵点O 也在BC 的垂直平分线上∴AO 垂直平分BC∴BN CN =（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，∵90DCF CDB ∠+∠=︒∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF ∥OB∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2由（2）知OA 垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN ≌△BON∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ∵12ON OQ = ∴OQ=2a∵CF ∥OB∴△QGO ∽△QCF ∴=OG QO CF QF 即2122==++OG a r a a a ∴OG=12r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE∴点E ′与点E 重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB 和PE 是圆O 的切线∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r∴四边形OBPE 为正方形∴∠BOE=90°，PE=OB=r∴∠BCE=12∠BOE==45° ∴△NQC 为等腰直角三角形∴NC=NQ=3a ，∴BC=2NC=6a在Rt △CFN 中，=∵PQ OQ ⊥∴PQ ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE ∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE ∽△BCG ∴=PQ PE BC BG即126=+PQ r r a r解得：PQ=4a ∵610PQ OQ +=，∴4a ＋2a=610解得：a=10∴CF=1010⨯=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．7．如图，∠ACL ＝90°，AC ＝4，动点B 在射线CL ，CH ⊥AB 于点H ，以H 为圆心，HB 为半径作圆交射线BA 于点D ，交直线CD 于点F ，交直线BC 于点E ．设BC ＝m ．（1）当∠A ＝30°时，求∠CDB 的度数；（2）当m ＝2时，求BE 的长度；（3）在点B 的整个运动过程中，①当BC ＝3CE 时，求出所有符合条件的m 的值．②连接EH ，FH ，当tan ∠FHE ＝512时，直接写出△FHD 与△EFH 面积比． 【答案】（1）60°；（2）45；（3）①m ＝2或226 【解析】【分析】（1）根据题意由HB ＝HD ，CH ⊥BD 可知：CH 是BD 的中垂线，再由∠A ＝30°得：∠CDB ＝∠ABC ＝60°；（2）由题意可知当m ＝2时，由勾股定理可得：AB ＝5cos ∠ABC 5，过点H 作HK ⊥BC 于点K ，利用垂径定理可得结论；（3））①要分两种情况：I ．当点E 在C 右侧时，II ．当点E 在C 左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；②根据题意先证明EF ∥BD ，根据平行线间距离相等可得：△FHD 与△EFH 高相等，面积比等于底之比，再由tan∠FHE＝512可求得DHEF的值即可．【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵HB＝HD，CH⊥BD，∴CH是BD的中垂线，∴CB＝CD，∴∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，当m＝2时，BC＝2，∴AB＝22AC BC＝25，∴cos∠ABC＝BCAB ＝5，∴BH＝BC•cos∠ABC＝25，∴BK＝BH•cos∠ABC＝25，∴BE＝2BK＝45；（3）①分两种情况：I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE＝m，∴CE＝13m，BE＝23m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝23，∴DE＝23AC＝83，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：2281m33⎛⎫⎛⎫⎪⎭⎝+⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝22；II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE，∴CE＝13m，BE＝32m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝32，∴DE＝32AC＝6，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：62+21m3⎛⎫⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝2；综上所述，①当BC＝3CE时，m＝2或2．②如图4，过F 作FG ⊥HE 于点G ，∵CH ⊥AB ，HB ＝HD ，∴CB ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∴DFE BEF =，即DF EF BE EF +=+，∴DF BE =，∴EF ∥BD ，∴FHDEFH S S ＝DH EF， ∵在Rt △FHG 中，FG HG ＝tan ∠FHE ＝512， 设FG ＝5k ，HG ＝12k ，则FH ＝22FG HG +＝22(5)(12)k k +＝13k ，∴DH ＝HE ＝FH ＝13k ，EG ＝HE ﹣HG ＝13k ﹣12k ＝k ，∴EF ＝22FG EG +＝22(5)k k +＝26k ，∴FHDEFH SS ＝26k ＝26． 【点睛】本题考查的是圆的几何综合题，主要考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，解直角三角形知识等；综合性较强，有一定难度，解题要求对所学知识点熟练掌握和运用数形结合思维分析．8．△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，交⊙O 于点E ，连接AE ．（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为52，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6MN【解析】【分析】（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG=52，可求得a=2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形的性质可得到HG=2x，然后依据S△BHG=12BH•HG=42，可求得x=2，故此可得到HB、GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠BAC+2∠C=180°．∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°．∴∠E+∠CAE=90°．∴2∠CAE+2∠E=180°．∵∠E=∠ACB，∴2∠CAE+2∠ACB=180°．∴∠BAC=2∠CAE．（2）连接OB、OC．∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴△ABO≌△ACO．∴∠BAO=∠CAO．∵∠BAC=2∠CAE，∴∠BAO=∠CAE．在△ABF和△ACE中，ABF ACEAB ACBAF CAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE．∴BF=CE．（3）连接HG、BM．∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，∴AG⊥BC，BG=CG．∵BH=DH，∴HG是△BCD的中位线．∴HG∥CD．∴∠GHF=∠CDE=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．∴HO=OF．∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG．∴OH=OG．∴OF=OG．∵OM=OC，∴四边形MFCG是平行四边形．又∵MC是圆O的直径，∴∠CBM=90°．∴四边形MFGB是矩形．∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°．∵MF ∥BC ，∴△MFH ∽△CBH ． ∴12HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2．∴HF=FD ． 在△ADF 和△GHF 中，AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△GHF ．∴AF=FG ．∴MB=AF ．在△MNB 和△NAF 中，90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MNB ≌△NAF ．∴MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，∴S 四边形BHOG．∴．设HF=x ，则BH=2x ．∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ，∴△GFH ∽△BFG ． ∴HF GH HG BH =，即2x HG HG x=． ∴． ∴S △BHG =12BH•HG=12， 解得：x=2．∴HB=4，．由勾股定理可知：．∴．∴．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．9．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长； （2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．【答案】（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】 【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可；（2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】 （1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ==== ∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r === ∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN∴AFN DFM ∆~∆ ∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM =O的半径长为258【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．10．在O中，AB为直径，CD与AB相较于点H，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB⊥;（2）如图2，弧BC上有一点E，若弧CD=弧CE，求证：3EBA ABD∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接,//FH FH DE，延长FO交DE于点K，若165,5FK DB BE==，求AB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）185AB=．【解析】【分析】（1）连接,OC OD,根据AC AD=得出COA DOA∠=再根据OC OD=得出OCD ODC∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD,根据AC AD=得出,BC BD BA CD=⊥，CBA ABD∠=∠，再根据CE CD=,得出CBE CBD∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE⊥⊥，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥，,5BE BP a DB a===先证CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证,CMB CNB BM BN∆≅∆=，设DM b=，得出2b a=，再算出,CM CD得出CPD∆为等腰三角形，再根据BP是角平分线利用角平分线定理得出BCPEBPS DP BDS PE BE∆==，从而算出,PE DE,再根据三角函数值算出BG,,,,AB r OG OH，再根据//FH DE得出HO OFGO OK=，从而计算AB．【详解】（1）连接OC，CD因为AC AD=，所以COA DOA∠=∠OC OD=，,OA CD CD AB∴⊥∴⊥;(2)连接BC ，,BC BD BA CD =⊥所以AB 平分CBD ∠，设ABD ABC α∠=∠=2CBD α∴∠=CD CE ∴=2CBE CBD α∴∠=∠=，3EBA α∴∠=3EBA ABD ∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEB αα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a ===作,CM DB CN BE ⊥⊥，可证：CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证：,CMB CNB BM BN ∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a ==+=-∴=在CBM ∆中勾股4CM a =在CDM ∆中勾股25CD a =得CPD ∆为等腰三角形25DP DC a ==因为BP 为角平分线，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥ 可证：5BCP EBP S DP BD S PE BE∆=== 2525,PE DE ∴==14tan ,tan 223αα== 2555,BG a AB a ∴== 557535,,4124r a OG a OH a === //FH DE97HO OF GO OK ∴== 995185,16OF KF AB ===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．。
九年级数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题及答案解析
九年级数学圆的综合的专项培优易错难题练习题及答案解析一、圆的综合1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，»»BF FA=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=23DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出EH∥DG，求出OM=12AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=23DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝12MOBM=，tanP=12COPO=,设OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵AD⊥PC，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OC=OA，∴∠PAC=∠OCA，∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，∵FG∥AD，∴∠FGD+∠D=180°，∵∠D=90°，∴∠FGD=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA=90°，∴∠BED=90°，∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，∴四边形HGDE是矩形，∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，∵»»BF AF=，∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°，∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，∴∠HEF=∠HFE，∴FH=EH，∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，∴△FHO≌△EHO，∴∠FHO=∠EHO=45°，∵四边形GHED是矩形，∴EH∥DG，∴∠OMH=∠OCP=90°，∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，∴∠HOM=∠OHM，∴HM=MO，∵OM⊥BE，∴BM=ME，∴OM=12 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=23DG，DG=3a，∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，∴四边形GHMC是矩形，∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，∵DG=HE，GC=HM，∴ME=CD=2a，BM=2a，在Rt△BOM中，tan∠MBO=122 MO aBM a==，∵EH∥DP，∴∠P=∠MBO，tanP=12 COPO=，设OC=k，则PC=2k，在Rt△POC中，，解得：在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，a=1，∴HE=3a=3，在Rt△HFE中，∠HEF=45°，∴．【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．2．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．考点：旋转的性质.4．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA是⊙O的切线；（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，∴∠ACF=∠D，∴∠ACF=∠B，而∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC，∴AC：AB=AG：AC，∴AC2=AG•AB=12，∴AC=23．5．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．（1）图1中，线段AE=；（2）如图2，在图1的基础上，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD与⊙O交于点F．①当α=30°时，请求出线段AF的长；②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；③当α=°时，DM与⊙O相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得α=∠NAD=90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D 的位置，有一定难度．6．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒ 2,AB AC ==AD BC ⊥，垂足为D ，过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ，连接,,EF DE DF ．（1）求证：ADE ∆≌CDF ∆；（2）当BC 与⊙O 相切时，求⊙O 的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】 分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°，由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径，根据∠C =45°、AC 2可得AD =1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠C =45°．又∵AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠1=12∠BAC =45°，BD =CD ，∠ADC =90°． 又∵∠BAC =90°，BD =CD ，∴AD =CD ． 又∵∠EAF =90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠EDF =90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE 和△CDF 中．∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△CDF （ASA ）．（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径．在Rt △ADC 中，∠C =45°，AC =2，∴sin ∠C =AD AC ，∴AD =AC sin ∠C =1，∴⊙O 的半径为12，∴⊙O 的面积为24π． 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧»().AB ()1用直尺和圆规作出»AB 所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法) ()2若»AB 的中点C 到弦AB 的距离为2080m AB m =，，求»AB 所在圆的半径．【答案】(1)见解析；（2）50m【解析】分析：()1连结AC 、BC ，分别作AC 和BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O ，如图1；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，根据垂径定理的推论，由C 为»AB的中点得到1OC AB AD BD AB 402⊥===，，则CD 20=，设O e 的半径为r ，在Rt OAD V 中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+，然后解方程即可．详解：()1如图1，点O 为所求；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，C Q 为»AB 的中点，OC AB ∴⊥，1402AD BD AB ∴===，设O e 的半径为r ，则20OA r OD OD CD r ==-=-，，在Rt OAD V 中，222OA OD AD =+Q ，222(20)40r r ∴=-+，解得50r =，即»AB 所在圆的半径是50m ．点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．8．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
初三培优 易错 难题圆的综合辅导专题训练及详细答案
初三培优易错难题圆的综合辅导专题训练及详细答案一、圆的综合1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．2．（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°.【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ，∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.3．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD 的边AB 为直径作⊙O ，交对角线AC 于点E ． （1）图1中，线段AE= ；（2）如图2，在图1的基础上，以点A 为端点作∠DAM=30°，交CD 于点M ，沿AM 将四边形ABCM 剪掉，使Rt △ADM 绕点A 逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD 与⊙O 交于点F ．①当α=30°时，请求出线段AF 的长；②当α=60°时，求出线段AF 的长；判断此时DM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； ③当α= °时，DM 与⊙O 相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM 与⊙O 相切【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得α=∠NAD=90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt △AOD 中，OA =1，sin D =13，∴OD =OA sinD =3，∴CD =OD ﹣OC =2． ∵AD =22OD OA -=22． 又∵△CED ∽△ACD ，∴AD CD CD DE =，∴DE =2CD AD=2， ∴AE =AD ﹣DE =22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC ∽△DCA 是解题的关键．5．如图，Rt ABC ∆内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明;(2)求证:AE BF =;(3)若3(22)OG DE =-g ，求⊙O 的面积.【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π【解析】试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可；（2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明；（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =12AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴BD DE AD DB=，即BD 2=AD •DE ，∴22622BD AD DE OG DE =⋅=⋅=-（）．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==-（）①，设AC =x ，则BC =x ，AB =2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB =2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-（）（）②，由①、②，得22222422x -=-（）（），∴x 2=12，解得：23x =或23-（舍去），∴222326AB x ==⋅=，∴⊙O 的半径长为6，∴S ⊙O =π•（6）2=6π．点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．6．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
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圆所有经典难题
一，选择题
1.下列命题中正确的有( )个
(1) 平分弦的直径垂直于弦
（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆
（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ）
A ．97°
B ．104°
C ．116°
D ．142°
3.下列说法正确的是 （ ） A 、三点确定一个圆。
B 、一个三角形只有一个外接圆。
C 、和半径垂直的直线是圆的切线。
D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。
4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A 、60º或120º B. 30º或120º C. 60º D. 120º
5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ）
Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５
6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A 、 三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。
7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（ ） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。
8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含
9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），
A B
P O
则此圆的半径为（ ）
A ．2b a +
B ．2b a -
C ．2
2b a b a -+或
D ．b a b a -+或
10.如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）
A ．16π
B ．36π
C ．52π
D ．81π
二．填空题
1.已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是
2.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为__________(结果保留π)
3.将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 _____．
4.如图AD 、AE 、CB 都是⊙O 的切线，AD=4，则ΔABC 的周长是 . E A
C
A F ·O P
B ·
O C
B
D
5.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为r 的半圆，则这个圆锥的全面积是__________．
6.圆柱的底面半径是3 cm ，母线长为4 cm ，那么圆柱的侧面积为_______．
7.在Rt △ABC 中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作圆与斜边AB 相切，则R 的值为 。
8.已知扇形的周长为20cm ，面积为16cm 2，那么扇形的半径为 。
9.扇形的弧长为20πcm ，面积为240πcm 2，则扇形的半径为 cm 。
10。
如图24—A —11，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为 cm 。
11.如图,正方形ABCD 内接于⊙O,点E 在弧AD 上,则∠BEC=_______.
三，计算题
图24—A —6
图24—A —11
1.如图，一个圆柱体的高为20 cm ，底面半径为6.7 cm ．在圆柱体下底面的A 点有一只蚂蚁，想吃到与A 点相对的上底面B 点的一颗粘住的砂糖．这只蚂蚁从A 点出发，沿着圆柱形的曲面爬到B 点，最短线路多长？（精确到0.1cm ）
2.若将一个半径为80 cm 、面积为3 2002
cm π的扇形围成一个圆锥，求圆锥的高．
3.已知圆柱的底面积为92
cm π，侧面积为182
cm π，求圆柱的高
4.如图，P A 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O 相交于D 点，已知OA =2，OP =4．
（1）求∠POA 的度数； （2）计算弦AB 的长．
5.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E .
（1）求证：AB =AC ； （2）求证：DE 为⊙O 的切线；
（3）若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长.
E O
D C
B
A
A
B
C
D 图7
·O
6.如图，⊙O 的直径AB=6cm ，D 为⊙O 上一点，∠BAD=30°，过点D 的切线
交AB 的延长线于点C 。
求：(1)∠ADC 的度数； (2)AC 的长。
7。
如图24—A —14，已知⊙O 的半径为8cm ，点A 为半径OB 的延长线上一点，
射线AC 切⊙O 于点C ，BC 的长为cm 3
8
，求线段AB 的长。
8。
如图，在平面直角坐标系中，⊙C 与y 轴相切，且C 点坐标为（1，0），直线l 过点A （—1，0），与⊙C 相切于点D ，求直线l 的解析式。
图24—A —14
9。
如图，在⊙O 中，弦AB 与DC 相交于E ，且AE ＝EC ，求证：AD ＝BC ．
10.如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
11.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧PC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．
（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？
12.AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，
连BC ．若30P ∠=o
，求B ∠的度数．
A
O
C
D
P
B
图①
A
O
C D
P
B
图②
A B
C
P
O
13.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若301cm DBC DE ∠==o
，，求BD 的长．
14。
如图10，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段
OP ，点D 是弧
上的任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，
以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切
线相交于点C.
（1）求弦AB 的长；
（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小； 否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若
342
=DE S
，求△ABC 的周长.
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D
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