【专题练习】构造函数例题【腾讯企鹅教育】

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构造函数之专题训练

.. “构造函数”之专题训练一、选择题1.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A.＜＜B.＜＜C.＜＜D.＜＜2.已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A. B.＜C.＞D.f（0）＞e2f（4）3.若函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，′的最大值为（）A. B.2 C.2 D.44.己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（2，3），则（）A.f（log2a）＜f（2a）＜f（2）B.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）C.f（2a）＜f（log2a）＜f（2）D.f（2）＜f（log2a）＜f（2a）5.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有′＜0恒成立，则＞的解集为（）A.（-2，0）∪（2，+∞）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（0，2）6.已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，且f（-1）=0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（0，1）C.（0，1）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（-1，0）7.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）8.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=，b=-3f（-3），c=，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b9.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x 的解集为（）A.，B.（10，+∞）C.，D.，，∞10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式e x f（x）＞e x+1+2的解集为（）A.（-∞，0）B.（-∞，e+2）C.（-∞，0）∪（e+2，+∞）D.（0，+∞）11.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有xf′（x）＜f（x）成立，则（）A.3f（2）＞2f（3）B.3f（2）=2f（3）C.3f（2）＜2f（3）D.3f（2）与2f（3）的大小不确定．12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（）A.ef（2015）＞f（2016）B.ef（2015）＜f（2016）C.ef（2015）=f（2016）D.ef（2015）与f（2016）大小关系不确定13.设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A.（-∞，-2）∪（0，2）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-2，0）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（）A.f（0）+f（2）＜2f（1）B.f（0）+f（2）≤2f （1）C.f（0）+f（2）≥2f（1）D.f（0）+f（2）＞2f （1）15.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A.（-1，+∞）B.（-1，0）C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞）16.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f′（x）为函数f（x）的导函数，e 为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1下恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为（）A.（0，]B.（0，1]C.（0，e]D.（1，e]17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-x）的解集是（）A.（，+∞）B.（-∞，）C.（-∞，0）∪（0，）D.（0，）18.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=f（1），c=-2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.a＞c＞b19.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A.8＜＜16B.4＜＜8C.3＜＜4D.2＜＜320.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A.f（1）＞ef（0）B.f（1）＜ef（0）C.f（1）＞f（0）D.f（1）＜f（0）21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C高中数学试卷第2页，共10页.. “构造函数”之专题训练答案和解析【答案】1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C【解析】1. 解：令g（x）=，x∈（0，+∞），g′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜′，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴＜，∴＜．令h（x）=，x∈（0，+∞），h′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）=′＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴＞，∴＜．综上可得：＜＜，故选：B．分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2. 解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=，∴f（1）=，f（0）=e0=1，∴f（1）＞，故选：A．根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题．3. 解：由题意，（）′=2x，∴=x2+b，∴f（x）=（x2+b）e x，∵f（0）=1，∴b=1，∴f（x）=（x2+1）e x，f′（x）=（x+1）2e x，∴当x＞0时，′=1+≤2，当且仅当x=1时取等号，∴当x＞0时，′的最大值为2．故选：B．利用函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键．4. 解：∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），∴函数f（x）关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得（x-2）f′（x）＜0，则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．若a∈（2，3），则4＜2a＜8，1＜log2a＜2，∴2＜4-log2a＜3，∴2＜4-log2a＜2a，即f（2）＞f（4-log2a）＞f（2a），即f（2a）＜f（log2a）＜f（2），故选：C根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．5. 解：设g（x）=，f（x）是R上的奇函数，∴g（x）为偶函数；x＞0时，′′＜；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（2）=0；∴由g（x）＞0得，g（x）＞g（2）；∴g（|x|）＞g（2）；∴|x|＜2，且x≠0；∴-2＜x＜0，或0＜x＜2；∴＞的解集为（-2，0）∪（0，2）．故选：B．可设g（x）=，根据条件可以判断g（x）为偶函数，并可得到x＞0时，g′（x）高中数学试卷第4页，共10页.＜0，从而得出g（x）在（0，+∞）上单调递减，并且g（2）=0，从而由g（x）＞g （2）便可得到|x|＜2，且x≠0，这样即可得出原不等式的解集．考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数g（x）＞g（2）等价于g（|x|）＞g（2）．6. 解：设g（x）=，则g′（x）=′，∵当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）=是偶函数，即当x＜0时，g（x）为增函数．∵f（-1）=0，∴g（-1）=g（1）=0，当x＞0时，f（x）＜0等价为g（x）=＜0，即g（x）＜g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）＜0等价为g（x）=＞0，即g（x）＞g（-1），此时-1＜x＜0，综上不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故选：A根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键．7. 解：根据题意，设函数，当x＞0时，′′＜，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）=0，所以g（1）=0，故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故选：D．构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．8. 解：定义域为R的奇函数y=f（x），设F（x）=xf（x），∴F（x）为R上的偶函数，∴F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．.F（）=a=f（）=F（ln），F（-3）=b=-3f（-3）=F（3），F（ln）=c=（ln）f （ln）=F（ln3），∵ln＜ln3＜3，∴F（ln）＜F（ln3）＜F（3）．即a＜c＜b，故选：B．根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0；当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．9. 解：设g（x）=f（x）-x，则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，则不等式g（x）＜0等价为g（x）＜g（1），则不等式的解为x＞1，即f（x）＜x的解为x＞1，∵f（1g2x）＜1g2x，∴由1g2x＞1得1gx＞1或lgx＜-1，解得x＞10或0＜x＜，故不等式的解集为，，∞，故选：D构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＜x的解为x＞1，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．10. 解：设g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x+1=e x[f（x）+f′（x）-e]，∵f（x）+f′（x）＜e，∴f（x）+f′（x）-e＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵f（0）=e+2，∴g（0）=e0f（0）-e-2=e+2-e-2＞0，∴g（x）＞g（0），∴x＜0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质高中数学试卷第6页，共10页.和函数值，即可求解．本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．11. 解：设函数y=，则y′=′，∵xf′（x）＜f（x），∴y′＜0，可得y=对任意x∈R，函数y是减函数，∴＜，可得3f（2）＞2f（3）．故选：A．构造函数，利用函数的单调性判断即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，构造函数，求解导函数判断单调性是解题的关键．12. 解：令g（x）=，由题意，则g′（x）=′＜0，从而g（x）在R上单调递减，∴g（2016）＜g（2015）．即＜，∴e2015f（2016）＜e2016f（2015），即ef（2015）＜f（2016），故选：A．造函数g（x）=，通过求导判断其单调性，从而确定选项．本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型．13. 解：令g（x）=，∴g′（x）=′，∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，∴x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（2）=0，∴g（2）==0，当0＜x＜2，g（x）＜g（2）=0，即f（x）＜0，当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）＞0，∵f（x）是偶函数，∴当-2＜x＜0，f（x）＜0，故不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2），故选：B．构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）.为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）＜0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．14. 解：∵（x-1）f′（x）≥0，∴当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；故f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；故f（0）+f（2）≥2f（1），故选C．由题意，当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；从而可得f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；从而可得．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．15. 解：令g（x）=f（x）-x3-2016，g′（x）=f′（x）-3x2，∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，∴g（x）=f（x）-x3-2016在R上是减函数，且g（-1）=f（-1）+1-2016=2015+1-2016=0，故不等式f（x）＜x3+2016的解集为（-1，+∞），故选：A．令g（x）=f（x）-x3-2016，求导g′（x）=f′（x）-3x2，从而确定不等式的解集．本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．16. 解：构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），则g′（x）=f′（x）-=′＞0，∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）≤lnx，∴g（x）≤0=g（1），∴0＜x≤1，故选：B．构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），确定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，f（x）≤lnx，化为g（x）≤0=g（1），即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．17. 解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f（-x）=f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在（-∞，0）递减；由不等式g（x）＜g（1-x），∴＞＞＜或＜＜＞，高中数学试卷第8页，共10页.解得：0＜x＜，或x＜0∴不等式g（x）＜g（1-x）的解集为：{x|0＜x＜或x＜0}．故选：C．f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 解：当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∴[xf（x）]′＜0，∴令F（x）=xf（x），由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（log2）=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g（），b=f（1）=g（1），由1＜＜2，可得b＜a＜c．故选：A．由f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由导数的积的运算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g （），b=f（1）=g（1），即可得到所求大小关系．本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．19. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）-3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）=′=′，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）-2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），.h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，h（x）=，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．20. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即＞，∴f（1）＞ef（0），故选：A．令g（x）=，利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案．该题考查利用导数研究函数的单调性，由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在．21. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，令g（x）=，∴g（x）为偶函数，又当x＞0时，xf′（x）＞f（x），∴g′（x）=′＞0；∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数；又f（-1）=-1，∴f（1）=1，g（1）=1；当x＞0时，∵不等式f（x）＞x，∴＞1，即g（x）＞g（1），∴有x＞1；当x＜0时，∵不等式f（x）＞x，∴＜1，即g（x）＜g（-1），∴有-1＜x＜0；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＞x不成立；综上，不等式f（x）＞x的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．构造函数g（x）=，根据题意得出g（x）为偶函数，且x＞0时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；讨论x＞0、x＜0和x=0时，不等式f（x）＞x的解集情况，求出解集即可．本题考查了函数奇偶性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了构造函数的应用问题以及分类讨论的应用问题，是综合性题目．高中数学试卷第10页，共10页。

构造函数法解决导数问题(原卷版)--2024新高考数学导数微专题训练

专题26构造函数法解决导数问题一、多选题1．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（）A ．001x x e=B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >2．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是（）A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数B ．1x =-是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e ef e e f >3．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．(2)(1)2f f >B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+D ．(2)1(1)42f f +<5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（）A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值C ．()011f <<D ．()f x 在()0,∞+单调递增6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.7．已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则()A ．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、单选题8．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1-C D ．e9．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞10．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞11．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（）A ．()(),11,-∞-+∞UB ．()()1,00,1-UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃12．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ--D ．()(63f ππ<13．已知奇函数() f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0xf x f x '+>，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞ ，，15．若曲线21:C y x =与曲线2:(0)xe C y a a=>存在公切线，则实数a 的取值范围（）A ．(0,1)B ．21,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln xf x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞17．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12xf x e +≥的解集为（）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-18．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞19．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞20．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（）A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]23．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（）A ．()()10f ef >，()()202020200f ef ，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >24．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+¥25．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<-C ．{}2018x x >-D ．{}20200x x -<<26．已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（）A ．(-1，+∞)B ．(-1，1)C ．(-∞，-1)D ．(-∞，+∞)27．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ4（）B ．ππππ44（，，）-⋃C ．ππ0044-⋃（）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）28．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（）A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-29．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（）A ．()()2,01,2-UB ．()()2,00,1-⋃C ．()()1,2,2⋃-∞-D ．()()2,02,-+∞ 30．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭31．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（）A ．(3)2(2)2ef f e +<+B ．(3)2(2)2ef f e +>+C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+32．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞33．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞ 三、解答题34．已知函数()()ln af x x a R x=-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e +>.35．已知函数()()()ln 1,f x a x bx a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为212ln 20x y ++-=.（1）求实数a ，b 的值﹔（2）若函数()2()()12t g x f x x t =+≥，试讨论函数()g x 的零点个数.36．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.37．设函数()2ln af x x x=+，()323g x x x =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对于任意的12123x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围.38．已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.39．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1a g x x x -=++，且对任意1x ，2(0,1]x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--.（1）若命题p ⌝为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.40．已知函数()212ln 2f x x ax x =-+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，求()()212f x f x -的取值范围.41．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈= .（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+.42．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >.（1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由43．已知函数()ln 2f x x kx =++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax =-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g xf x >.44．已知函数()e xf x x =.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()0,x ∀∈+∞，()32f x x ax x >-++恒成立，求实数a 的取值范围.45．已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9xx f x f x e e+-=+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.。

2022届高中数学导数通关练习专题14 构造函数法解决导数问题(解析版)

f ln x x 的解集为（）
A．
1 e2021
,
B． 0, e2021
C． e2021,
D．
0,
1 e2021
【解析】令 g(x)
f (x) ex
，则
g ' ( x)
ex
f
'(x) ex
f
2
(x)ex
f '(x) ex
f (x) ，
因为
f x
f
x 0 ，所以 g ' (x) 0 ，所以 g(x)
又
g
1 2
f
1 2
2
1 4
1
1 1 1 0， 22
所以 g x f x 2x2 1 0 的解为 x 1
2
，则不等式
f
(x)
1
2
x
2
的解集
1 2
,
，故答案为：A
5．已知定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，且满足 f x f x 0 ， f 2021 e2021 ，则不等式
（2）若 x 0 时， g(x) f (x) 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）求 f (x) 的最小值.
21．已知函数 f x x a ln x ， g x 1 a a 0 .
x
（1）若 a 1 ，求 f x 的极值；（2）若存在 x0 1,e ，使得 f x0 g x0 成立，求实数 a 的取值范围.
则不等式 f x 2021ex 0 的解集是（）
A． , 0
B． ,ln 2021
C． 0,
D． 2021,
3．设 f x (x R) 是奇函数， f x 是 f x 的导函数， f 2 0 ．当 x 0 时， xf x f x 0 ，则使得

构造函数比较大小(高考热点题型)

构造函数比较大小原题呈现【原题】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，,则 A. a b c << B. c b a << C. c a b <<D.a cb << A. 1 B.32C.52D. 3【答案】C【解析】解法一：设()ln(1)(10)f x x x x =+--<≤,因为1()1011x f x x x'=-=->++, 所以()f x 在(1,0)-上单调递增, 1()(0)010f f -<=,即91ln+01010<,故1109e 10-<,所以11011e 109<,故a b <,设1()e ln(1)(0)4xg x x x x =+-<<,则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-,2()e (21)0x h x x x '=+-<,当104x <<时2()e (1)+1x h x x =-单调递减,又(0)0h =,所以当104x <<时,()0h x <,()0g x '>,()g x 单调递增,所以(0.1)(0)0g g >=,即0.10.1e ln 0.9>-,所以a c >,故选C.解法二：易得0x ≠时e 1x x >+,所以1x <且0x ≠ 时e 10x x ->->,即1e 1xx<-,所以0.11101+0.1<e 10.19<<-,所以0.11a b <<,设()()11ln 12f x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭,则()211112f x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭()22102x x-=-<,所以()()10f x f <=,即()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭,取109x =,得10110919ln 0.1192910180c a ⎛⎫=<-=<< ⎪⎝⎭,故选C. 【就题论题】通过构造复杂函数比较式子的大小,是近两三年高考的热点,求解此类问题关键是观察所给式子的结构,通过结构的特点构造相应的函数,构造没有固定模式,且所构造函数大多需要借助导数研究其单调性，故成为高考的难点.在解题中常见的导数不等式有：(1)e 1x x ≥+；(2)1e x x -≥；(3)()ln 1x x +≤； (4)ln 1x x ≤-；(5)1ln 1x x≥-，(6)()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭.三年新高考同类题展示（2021新高考全国2卷）已知5log 2a =,8log 3b =,12c =,则下列判断正确的是（） A. c b a << B. b a c << C. a c b << D. a b c << 练习题：2.71828为自然对数的底数，则（b c，则下列不等关系一定不成立的是（1x < 的实数，若1e a a ++A ．1ea b + C ．e ab < D ．e ab >。

高考数学培优---逆用导数的四则运算法则构造函数

高考数学培优---逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于()f x 、()f x '，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.2. 常见的构造函数:①对于()()0(0)xf x f x '+><，构造()()h x xf x '=；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '+><，构造()()n h x x f x =．②对于()()0(0)xf x f x '-><，构造()()xx f x h =；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '-><，构造()()n f x h x x=． ③对于()()0(0)f x f x '-><，构造()()x e x f x h =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '-><，构造()()nx f x h x e =． ④对于()()0(0)f x f x '+><，构造()()x f e x h x =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '+><，构造()()nx h x e f x =．⑤对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．⑥对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=． ⑦对于()0()f x f x '>，构造()ln ()h x f x =. ⑧对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()x h x a f x =. ⑨对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =.【典型题示例】例 1 已知偶函数()f x (x ≠0)的导函数为()f x '，(e)e f =，当x ＞0时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是．（其中e 为自然对数的底数）【答案】()(),11,e e -∞-⋃++∞【分析】利用()2()0xf x f x '->构造函数2()()f x F x x =，再使用函数的单调性、奇偶性即可. 【解析】设2()()f x F x x =，则243()2()()2()()f x x xf x f x x f x F x x x ''--'== ∵x ＞0时，()2()0xf x f x '-> ∴当x ＞0时，()0F x '>，故()F x 在（0，+∞）单增又(e)e f =，所以1()F e e= ∵()f x 是偶函数 ∴()F x 也是偶函数，且()F x 在（－∞，0）单减21(1)(1)e f x x ->-等价于2(1)1(1)ef x x ->-，即(1)()F x F e -> 由()F x 是偶函数且()F x 在（0，+∞）单增，得1x e ->，解之得11x e x e >+<-或.例 2 已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且3()2()x xf x x e f x '=+，若f （2）244e =+，则函数()()4g x f x =-的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由3()2()x xf x x e f x '=+的结构特征，逆向使用导数的四则运算法则构造函数，求出()f x 的解析式.【解析】由3()2()x xf x x e f x '=+，可得24()2()x x f x xf x x e '-=，则24()2()x x f x xf x e x'-=，即2()()x f x e x '=，设2()x f x e C x=+，2()()x f x x e C =+，又f （2）244e =+，所以22444()e e C +=+，所以1C =，所以2()(1)x f x x e =+，所以2()()4(1)4x g x f x x e =-=+-，2()2(1)(22)x x x x g x x e x e x xe e '=++=++，令()22x x h x xe e =++，()2(3)x x x x h x e xe e x e '=++=+，令()0h x '=，得3x =-，当(,3)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(3,)x ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()h x 的最小值为3(3)20h e --=-+>，则对于()(22)x x g x x xe e '=++，令()0g x '<，可得0x <，令()0g x '>，可得0x >，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()g x 的最小值为(0)40g =-<，当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，所以函数()g x 的零点个数为2．点评：作为选择题，求出2()(1)x f x x e =+后，欲判断零点个数，直接分离函数241x e x +=转化为1x y e =+与24y x =交点的个数。

专题训练(构造函数)

专题训练（构造函数）一．课前复习：1。

=•,)]()([x g x f 2. =,])()([x g x f 3. =,)]([x xf 4. =,])([x x f5。

=,)]([x f e x 6. =,])([x ex f7. =,2])([x ex f 8。

=,2)]([x f x二．课前练习:1. 函数)(x f 的定义域为R , 且2)1(=-f ，对任意2)(,,>∈x f R x ，则42)(+>x x f 的解集为（ )A 。

(-1，1） B.),1(+∞- C 。

)1,(--∞ D. ),(+∞-∞2函数)(x f 的定义域为R ，满足1)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数21)(,>x f ,则不等式2ln 1)(ln x x f +<的解集＿＿＿＿＿＿＿＿ 3。

若定义在上的函数满足,其导函数满足，则下列结论中一定错误的是 ( )A.B 。

C 。

D.三．基本题型题型Ⅰ：1.设)(x f 、g （x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,)(x g 恒不为0，当0<x 时,0)()()()(,,>+x g x f x g x f ，且0)3(=f ,则不等式0)()(<x g x f 的解集是（） A 。

),3()0,3(+∞- B 。

)3,0()0,3( - C 。

),3()3,(+∞--∞ D. )3,0()3,( --∞2．设)(x f 、g(x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，)(x g 恒不为0，当0<x 时,0)()()()(,,>-x g x f x g x f ，且0)3(=f ,则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ) A 。

),3()0,3(+∞- B.)3,0()0,3( - C.),3()3,(+∞--∞ D 。

)3,0()3,( --∞3．定义在R 上的奇函数)(x f ,当)0,(-∞∈x 时,0)()(,<+x xf x f 恒成立，若)2(2),3(log )3(log ),3(3--=⋅==f c f b f a ππ,，则a ，b,c 的大小关系为＿＿＿＿＿4．是定义在上的非负可导函数，且满足,对任意正数，，若，则必有 ( ） A ． B ． C ． D ．5．设函数是奇函数（）的导函数，,当时，，则使得成立的的取值范围是 ( ）A 。

高考数学选填压轴题第20讲导数中的构造函数(解析版)

第20讲导数中的构造函数近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．【方法综述】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．方法总结：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ；22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=；()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；…………………()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =．()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e x f x F x =，………………()()f x nf x '-，构造()()e nxf x F x =，奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。

（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

【解答策略】类型一、巧设“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是（）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y<<D ．1y x<<【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题【答案】B【解析】由已知()2244log log x y y x -=-，因为2log 4x ＝log 2x ，所以原式可变形222log 4g 2lo x x y y =++令()222log f x x x =+，()24log g x x x =+，函数()f x 与()g x 均为()0,∞+上的增函数，且()()f x g y =，且()()11f g =，当1x >时，由()1f x >，则()1g y >，可得1y >，当1x <时，由()1f x <，则()1g y <，可得1y <，要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x-=-=+--=-+设()()222log 0h x x x x x =-+>，则()212ln 2h x x x '=-+()2220ln 2h x x ''=--<，故()h x '在()0+∞，上单调递减，又()2110ln 2h '=-+>，()1230ln 2h '=-+<，则存在()01,2x ∈使得()0h x '=，所以当()00,x x ∈时，()0h x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，又因为()()()()010,10,412480h h x h h =>==-+=-<，所以当1x <时，()0h x <，当1x >时，()h x 正负不确定，故当1,1x y <<时，()0h x <，所以()()()1g x g y g <<，故1x y <<，当1,1x y >>时，()h x 正负不定，所以()g x 与()g y 的正负不定，所以,,111x y x y y x ><<>>>均有可能，即选项A ，C ，D 均有可能，选项B 不可能．故选：B ．【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222log g x g y g x f x x x x -=-=-+，设()()222log 0h x x x x x =-+>，求导得出其单调性，从而得出,x y 的大小可能性．【举一反三】1．若实数a ，b 满足()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，则a b +=（）A ．22B C ．322D ．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题【答案】C【解析】 ()ln 1g x x x =--，1()1g x x'=-，()0g x '>(1,)x ⇒∈+∞，()0g x '<⇒(0,1)x ∈，∴()g x 在(0,1)x ∈单调递减，在(1,)x ∈+∞单调递增，∴()(1)1ln110g x g =--=，∴1ln 0x x x -≥>，恒成立，1x =时取等号，2211a b +-121a b =-，221ln ln(2)ln a a a b b b-=-， ()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，∴2211ln(2)ln a a b b +-=-，又21ab =（不等式取等条件），解得：2,2a b ==，322a b ∴+=，故选：C.2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --331[(1)]3m m ≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,22-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．1(,]2-∞-D ．1[,)2+∞【答案】D【解析】由()()1f m f m --()33113m m ⎡⎤≥--⎣⎦得：3311(1)(1)()33f m m f m m ---≥-，构造函数31()()3g x f x x =-，2()()0g x f x x '=-<'故g （x ）在()0,+∞单调递减，由函数()f x 为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R 上单调递减，故112m m m -≤⇒≥选D点睛：本题解题关键为函数的构造，由()2'f x x <要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；3．（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()1F x f x x=+，利用已知条件求得()'0F x >，即函数()F x 为增函数，而()23F =，由此求得e 2x <，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1e e 3e x x x F f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件()21x f x '>的应用.通过观察分析所求不等式，转化为()1e 3e x x f +<，可发现对于()()1F x f x x=+，它的导数恰好可以应用上已知条件()21x f x '>.从而可以得到解题的思路.4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为()A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【解析】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又 3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，故选D5．定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．【答案】()112，【解析】()()ln F x f x x =-，则()11()()xf x F x f x x x-=-='''，而()10xf x '-<，且0x >，∴()0F x '<，即()F x 在()0+，∞上单调递减，不等式()()21ln 211f x x ->-+可化为()()21ln 2111ln1f x x --->=-，即()()211F x F ->，故210211x x ->-<⎧⎨⎩，解得：112x <<，故解集为：()112，．类型二巧设“()()f x g x ”型可导函数【例】已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是()f x ¢，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（）A ．(1,1)-B ．(),1-∞-C ．()1,+¥D ．()(),11,-∞-⋃+∞【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）【答案】A【解析】当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，即有()()()10f x x f x '++>．令()()()1F x x f x =+，则当1x <-时，()()()()10F x f x x f x ''=++>，故()F x 在(),1-∞-上单调递增．∵()()()()()()22121F x x f x x f x F x --=--+--=---=⎡⎤⎣⎦，∴()F x 关于直线1x =-对称，故()F x 在()1,-+∞上单调递减，由()()10xf x f ->等价于()()()102F x F F ->=-，则210x -<-<，得11x -<<．∴()()10xf x f ->的解集为(1,1)-．故选：A.【举一反三】1．（2020锦州模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．{20 x x -<<或}02x <C ．{20 x x -<<或}2x >D ．{ 2 x x <-或}02x <<【答案】D ．【解析】令()()F x xf x =，则()F x 为奇函数，且当0x <时，()()()0F x f x xf x '+'=<恒成立，即函数()F x 在()0-，∞，()0+，∞上单调递减，又(2)0f =，则(2)(2)0F F -==，则()0xf x >可化为()(2)F x F >-或()(2)F x F >，则2x <-或02x <<．故选D ．2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤【答案】A【解析】令()()x g x e f x =，则()(()())0x g x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g >即()()2323e f e f >，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等3．（2020·海南高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（）A ．(0)02(1)f f <，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ．4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.5.（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+ ，，∞∞B ．()()2002- ，，C ．()()202-+ ，，∞D ．()()202-- ，，∞【答案】C ．【解析】构造函数()2()1()g x x f x =+，则()2()1()g x x f x ''=+．又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()1()g x x f x =+为奇函数，且当0x >时，()2()1()2()0g x x f x xf x ''=++<，()g x 在()0+，∞上函数单减，()0()0f x g x <⇒<．又(2)0g =，所以有()0f x <的解集()()202-+ ，，∞．故选C ．点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．6．（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<- ，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()1001- ，，B ．()()11--+ ，，∞∞C ．()()101-+ ，，∞D ．()()101-- ，，∞【答案】D.【解析】设()ln ()g x x f x = ，当0x >时，1()()ln ()0g x f x xf x x '=+<'，()g x 在()0+，∞上为减函数，且(1)0g =，当()01x ∈，时，()0g x >，ln 0x <∵，()0f x <∴，2(1)()0x f x ->；当()1x ∈+，∞时，()0g x <，ln 0x >∵，()0f x <∴，()21()0x f x -<，∵()f x 为奇函数，∴当()10x ∈-，时，()0f x >，()21()0x f x -<；当()1x ∈--，∞时，()0f x >，()21()0x f x ->．综上所述：使得()21()0x f x -<成立的x 的取值范围是()()101-- ，，∞【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商，2x 与()f x 的积或商，e x 与()f x 的积或商，ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．7．（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（）A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数【答案】A【解析】令()e [()]x g x xf x =，则由题意，得()e [(1)()()]0x g x x f x xf x '+'=+>，所以函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0>g x ，则()0f x >，当0x <时，()0<g x ，则()0f x >，而()()()1'0x f x xf x ++>恒成立，则(0)0f >；所以()0f x >；故选A.点睛：本题的难点在于如何利用()()()1'0x f x xf x ++>构造函数()e [()]x g x xf x =。

专题01 压轴小题中构造函数或放缩比较大小(原卷版)

专题01 压轴小题中构造函数或放缩比较大小目录类型一：先同构，构造相同的函数，比较不同的函数值 (1)类型二：构造不同的函数判断相同的函数值 (2)类型三：用放缩法比较大小 (4)类型一：先同构，构造相同的函数，比较不同的函数值类型二：构造不同的函数判断相同的函数值典型例题：若a=0.6e0.4，b=2―ln4，c=e―2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．c>b>a【答案】B试题分析：通过构造函数f(x)=x(1―lnx)和g(x)=2x―xlnx―e，分别比较a和b，b和c与a和c的大小，即可得出a，b，c的大小关系.详细解答：解：由题意，a=0.6e0.4，b=2―ln4，c=e―2对于a和b，∵a=0.6e0.4=e0.4(1―ln e0.4)，b=2―ln4=2(1―ln2)，∴可以构造函数f(x)=x(1―ln x)，则a=f(e0.4)，b=f(2).对f(x)求导，得f′(x)=―ln x，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(1,+∞)上单调递减.∵1=e0<e0.4<e0.5<2，∴f(e0.4)>f(2)，即a>b；对于b和c，∵b―c=4―ln4―e=4―2ln2―e.∴可以构造函数g(x)=2x―x ln x―e，则g′(x)=1―ln x，当x∈(0,e)时，g′(x)>0；当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，∴g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(e)=0，∴g(2)<0，∴b―c<0，即c>b；对于a和c，∵a―c=(1―0.4)e0.4―e+2，∴可以构造函数ℎ(x)=(1―x)e x―e+2，则ℎ′(x)=―x e x，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(0,1)上单调递减.又∵ℎ(0.5)=0.5e0.5―e+2，且e0.5>1.6，∴ℎ(0.5)>0，∴ℎ(0.4)>ℎ(0.5)>0，∴a―c>0，即a>c.∴a>c>b，故选：B.类型三：用放缩法比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π典型例题：（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知a =ln1.01，b =0.01，c =e ―0.99.则（）。

【数学】构造函数之大题教师版

构造函数之大题一、直接构造形式一：应用于比较大小，通过构造新函数()()()h x f x g x =-，判断新函数最值与0的关系例1. 已知函数()ln f x a x =，()213222g x x x =-+-，对任意的[)1,x ∈+∞，都有()()f xg x ≥恒成立，则实数a 的最小值是______．（恒成立问题，要注意到端点值()()11f g =，讨论函数单调性）【答案】1练1. 已知函数()x f x e =，()()1g x bx b R =+∈．若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合．（讨论函数单调性，利用单调性判断最值，注意端点值和单调性对函数的影响）解析：令()()()1x x f x g x e bx ϕ=-=--，所以()'x x e b ϕ=-.① 当0b ≤时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ在R 上单调递增．又()00ϕ=，所以(),0x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾．② 当0b >时，由()'0x ϕ>，得ln x b >；由()'0x ϕ<，得ln x b <，所以函数()x ϕ在(),ln b -∞上单调递减，在()ln ,b +∞上单调递增．1°当01b <<时，所以ln 0b <.又()00ϕ=，所以()ln 0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾； 2°当b>1时，同理φ(lnb)<0，与函数()()f x g x ≥矛盾；3°当1b =时，ln 0b =，所以函数()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增．所以()()00x ϕϕ≥=，故1b =满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{}1．形式二：分参后得到新函数()h x ，转化为min()a h x ≤例2. 对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若sin ax x bx ≤≤恒成立，求b a -的最小值练2. 若不等式2ln 1ax x>+对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．令()'0f x =得1x =，易知当()0,1x ∈时，()'0f x >；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <．故()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减．二、间接构造形式一：变化率1 ()()1212f x f x a x x > 对1212,,x x I x x ∀∈≠，假设()()12120f x f x x x >，则()'0f x ≥；反之若()'0f x ≥，则()()12120f x f x x x >，这表明()()12120f x f x x x >⇔()'0f x ≥。

高三数学构造函数练习题

高三数学构造函数练习题构造函数在数学中扮演着重要的角色，它们被用来描述数学模型以及解决各种实际问题。

本文将提供一些高三数学构造函数的练习题，帮助读者巩固和加深对该知识点的理解。

练习题一：线性函数已知函数f(x) = 2x + 3，求它的图像与y轴的交点以及与x轴的交点。

解答：1. 与y轴的交点：当x = 0 时，f(x) = 2(0) + 3 = 3。

因此，函数与y轴的交点为(0, 3)。

2. 与x轴的交点：当f(x) = 0 时，2x + 3 = 0。

解这个方程可得 x = -3/2。

因此，函数与x轴的交点为(-3/2, 0)。

练习题二：二次函数已知函数g(x) = x^2 + 4x + 2，求它的顶点坐标以及与x轴的交点。

解答：1. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/(2a) 来求得，其中 a = 1，b = 4。

代入公式可得 x = -4/(2*1) = -2。

将 x = -2 代入函数中可得，g(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) + 2 = 0。

因此，顶点坐标为 (-2, 0)。

2. 与x轴的交点：当g(x) = 0 时，x^2 + 4x + 2 = 0。

解这个方程需要使用配方法或求根公式，解得 x = -2 ± √2。

因此，函数与x轴的交点为 (-2 + √2, 0) 和 (-2 - √2, 0)。

练习题三：指数函数已知函数h(x) = 2^x，求它的图像与y轴的交点以及与x轴的交点。

解答：1. 与y轴的交点：当x = 0 时，h(x) = 2^0 = 1。

因此，函数与y轴的交点为(0, 1)。

2. 与x轴的交点：当h(x) = 0 时，2^x = 0。

由于指数函数不存在对应的 x 值使整个函数为 0，所以不存在与x轴的交点。

练习题四：对数函数已知函数k(x) = log2(x + 1)，求它的定义域和值域。

解答：1. 定义域：由于对数函数的底数不能为 0 或 1，所以 x + 1 > 0。

2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)4-4 构造函数常见方法(精练)(解析版)

4.4 构造函数常见方法（精练）（提升版）1．（2022·重庆）已知定义在R 上的奇函数()f x ，且其图象是连续不断的，满足'()30f x +<，则不等式(1)3ln 22f x x x ->-+的解集为（）A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0,1)D ．(1,)+∞【答案】C 【解析】(1)322f x lnx x ->-+，()3(1)2(1)f x ln x x x ∴>+->-，令()()3(1)2(1)g x f x ln x x x =-++>-， ()30f x '+<，则33()()2[()3]1011g x f x f x x x '''=-+=+--<++，()y g x ∴=在(1,)-+∞单调递减．又()f x 为R 上的奇函数，(0)0f ∴=，(0)(0)3(01)200g f ln ∴=-++⨯=， ()3(1)2(1)()(0)f x ln x x x g x g ∴>+->-⇔>，10x ∴-<<．而(1)(1)3[(1)1]2(1)(1)(322)(0)g x f x ln x x f x lnx x x -=--+-+-=---+>， (1)0(0)g x g ∴->=，110x ∴-<-<，即01x <<，故选：C ．2．（2022·江苏）设函数f '（x ）是偶函数f （x ）（x ∈R ）的导数，f （2）＝0，当x ＜0时，f '（x ）﹣2x +1＜0，则使得函数f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣2，0）∪（2，+∞） C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．（﹣2，2）【答案】C【解析】因为x ＜0时，f '（x ）﹣2x +1＜0，所以f ′（x ）＜2x ﹣1＜0，故f （x ）在（﹣∞，0）递减，又f （x ）是偶函数，所以f （2）＝0，f （﹣2）＝0，所以使f （x ）＞0成立的x 的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C ．3．（2021·四川）设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()(),f x g x ''分别是()(),f x g x 的导数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>且()60g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（） A ．(6,0)(6,)-+∞ B ．(6,0)(0,6)-C ．(,6)(0,6)-∞- D ．(,6)(6,)-∞-+∞【答案】C题组一直接型【解析】根据题意，可设()()()h x f x g x =，则()h x 为奇函数，又当0x <时()()()()0f x g x f x g x ''+>，所以()h x 在R 上为增函数，且()60h -=，()()0f x g x <转化为()0h x <,当0x <时，则6x <-，当0x >，则()(6)h x h <，则06x <<，故解集是(,6)(0,6)-∞-，故选C.4．（2021·四川）设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，且有()11f =，()13f x '>；若()331233f a a ≥+，则实数a 的取值范围为（） A ．(],1-∞ B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞【答案】D【解析】令12()()33F x f x x =--，则1()()03F x f x ''=->，所以()F x 在R 上单调递增由()331233f a a ≥+，得()3312033f a a --≥，即3()0F a ≥，又因为()11f =，所以12(1)(1)033F f =--=，所以3()(1)a F F ≥，所以31a ≥，解得1a ≥.故选：D 1．（2022·河北承德）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()()0xf x f x '+<，则不等式()()()11660x f x f +++->的解集为（） A ．()()7,11,5--- B ．()()5,11,7--- C ．()(),75,-∞-+∞ D ．()(),57,-∞-+∞【答案】A【解析】令()()g x xf x =，因为当()0,x ∈+∞时，()()()0g x xf x f x ''=+<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减．又()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，所以()()f x f x -=-，()()()g x xf x xf x -=--=所以()g x 为偶函数，所以()g x 在(),0∞-上单调递增．又不等式()()()11660x f x f +++->可化为()()()1166x f x f ++>--，即()()16g x g +>-，所以616x -<+<且1x ≠-，得71x -<<-或15x -<<．故选：A.2．（2022·四川雅安）定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，且当0x >时，()2()0xf x f x '+<．则（） A ．2(e)(2)4ef f > B ．9(3)(1)>f f题组二加乘型C ．4(2)9(3)-<-f fD ．2(e)(3)9e f f -> 【答案】D【解析】令()()2g x x f x =，因为()f x 是偶函数，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增，则()()e 2g g <，即()()22e e 22f f <，则2(e)(2)4ef f <，故A 错误； ()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误； ()()23g g ->-，即4(2)9(3)f f ->-，故C 错误； ()()()e 33g g g >=-，即()()2e e 93f f >-，则2(e)(3)9e f f ->，故D 正确. 故选：D.3．（2022·陕西渭南）设函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 是函数()f x 的导函数，()(ln )()0f x x x f x '+>，则下列不等关系正确的是（）A ．2(3)log 3(2)f f >B ．()ln 033f ππ<C ．(3)2(9)f f >D ．21(0e )f < 【答案】A【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，则1()(ln )()0()()ln 0f x x x f x f x f x x x''+>⇔+>，令()()ln g x f x x =，0x >，则1()()()ln 0g x f x f x x x'=+>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，(3)(2)g g >，即2(3)ln 3(2)ln 2(3)log 3(2)f f f f >⇔>，A 正确；对于B ，()(1)3g g π>，即(3)ln (1)ln103f f π>=，B 不正确；对于C ，(3)(9)g g <，即(3)ln3(9)ln92(9)ln3(3)2(9)f f f f f <=⇔<，C 不正确；对于D ，21()(1)e g g <，即2211()ln (1)ln10e e f f <=，有22112()0()0e e f f -<⇔>，D 不正确. 故选：A 4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()0,0对称，若对任意的x ∈R 有()()ln 20f x f x '+⨯>（()f x '是函数()f x 的导函数）成立，且()112f =，则关于x 的不等式()222x x f x ----<<的解集是（）A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()1,+∞【答案】C【解析】因为函数()f x 的图象关于点()0,0对称，所以函数()f x 是奇函数，因为()()ln 20f x f x '+⨯>，所以()()()22ln 20x xf x f x f x ''⎡⎤=+>⎡⎤⎣⎦⎣⎦．令()()2xg x f x =⨯，则()g x 在R 上单调递增．又()112f =，()112f -=-，所以()()1112212g f =⨯=⨯=，()()111124g f -=-⨯=-．因为()222x x f x ----<<，所以()1214x f x -<⨯<，即()114g x -<<，所以()()()11g g x g -<<，所以11x -<<．故选：C ．5（2022·广东）已知定义在R 上的函数()f x 满足()1f x +为偶函数，且当1x >，有()()()xf x f x f x +'>'，若()21f =，则不等式()11f x x <-的解集是（） A ．()1,2 B ．(),0∞- C ．()()0,12,⋃+∞ D ．()(),01,2-∞【答案】A【解析】因为定义在R 上的函数()f x 满足()1f x +为偶函数，所以函数()f x 关于直线1x =对称，即()()11R ,f x f x x +=-∈.因为当1x >，有()()()xf x f x f x +'>'，即()()()()()'110x f x x f x f x ⎡⎤-=-+>⎣⎦'，故令()()()1g x x f x =-，则()()()1g x x f x =-在()1,+∞上单调递增，因为()()()()11110g x g x xf x xf x ++-=+--=，所以()()()1g x x f x =-关于点()1,0对称，所以()()()1g x x f x =-在R 上单调递增，因为()21f =，所以()()()22121g f =-= 所以，当1x >时，()()()()()111121f x x f xg x g x <⇔-<⇔<=-，所以12x <<. 当1x <时，()()()()()111121f x x f xg x g x <⇔->⇔>=-，所以1x <且2x >，即无解. 所以，不等式()11f x x <-的解集是()1,2故选：A6．（2022·广东广州·三模）设()f x '为函数()f x 的导函数，已知()()()21ln ,12x f x xf x x f '==-'+，则（）A ．()xf x 在()0,∞+单调递增B ．()xf x 在()0,∞+单调递减C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12 D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值12 【答案】D【解析】由题意知：0x >，()()ln x xf x f x x +='，令()()g x xf x =，则()()ln ()xg x xf x f x x+=''=，显然当()0,1x ∈时，ln ()0xg x x'=<，()()g x xf x =单减，当()1,x ∈+∞时，ln ()0xg x x'=>，()()g x xf x =单增，故A ，B 错误；()xf x 在()0,∞+上有极小值(1)f ，令1x =，则()()110f f '+=，又()112f '=-，则1(1)2f =，故()xf x 在()0,∞+上有极小值12，C 错误；D 正确.故选：D.7．（2022·四川攀枝花）已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()1a f =，3311log log 99b f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．a c b <时，因为()()()()0f x xf x f x f x xx'+'+=>，所以()()0xf x f x '+>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上为单调递增，()()11a f g ==，()()333111log log log 22999b f g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()111ln ln ln ln2ln2222c f g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0ln1ln2lne 1=<<=，所以ln 212<<，根据()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()()()ln 212g g g <<．即c a b <<．故选：D ． 1．（2022·广西）函数()f x 的导函数为f x ，对x ∀∈R ，都有()()2f x f x '>成立，若()ln 42f =，则不等式()2xf x e >的解集是（）题组三减除型A ．0,1B ．()ln 4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,ln 4【答案】B【解析】∵x ∀∈R ，都有()()2f x f x '>成立，∵()()102f x f x -'>，令()()2=x f x g x e，则于是有()()()()'22120x xf x f x f xg x e e -⎛⎫ ⎪==> ⎪''⎝⎭，所以()g x 在R 上单调递增， ∵()ln 42f =，∵()ln 41g =，∵不等式()()()()21ln 4xg x g f x e g x >>>⇔⇔， ∵ln 4x >，即不等式()2xf x e >的解集是()ln 4,+∞.故选：B ．2．（2022·江苏·昆山柏庐高级中学）已知()f x 的定义域是()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x f x '<，则不等式()()222e e 2x xf x x f --+>的解集是（） A ．()2,1- B ．()(),21,-∞-+∞ C ．()1,2- D ．()(),12,-∞-+∞【答案】B 【解析】令()()exf x h x =，则()()()0exf x f x h x -''=>，所以函数()h x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()()()()()222222222e e222ee xx xxf x x f f x x f h x x h x x --+++>⇔>⇔+>⇔+>，解之得2x <-或1x >，即原不等式的解集为(),2(1,)-∞-+∞，故选：B.3．（2022·四川攀枝花）设()f x '是定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数，当0x >时，()()1ln x f x f x x'⋅<-，则使得()()220x x f x -≥成立的x 的取值范围是（）．A ．(][),02,-∞⋃+∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令()()()ln ,0g x x f x x =⋅>. 则()()()1ln 0g x x f x f x x''=⋅+<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，而ln 0x <，所以()0f x <；所以当()1,x ∈+∞时，()0g x <，而ln 0x >，所以()0f x <. 在()()1ln x f x f x x'⋅<-中，令x =1可得：()10f <.所以当()0,x ∈+∞时都要()0f x <. 又()f x 是定义在R 上的连续奇函数，所以()00f =，当(),0x ∈-∞时，()0f x >.所以()()220x x f x -≥可化为：2020x x x >⎧⎨-≤⎩或0x =或2020x x x <⎧⎨-≥⎩，解得：02x <≤或0x =或0x <.综上所述：2x ≤.故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）()f x 在()0,∞+上的导函数为()f x '，()()2xf x f x '>，则下列不等式成立的是（）A ．()()222021202220222021f f >B ．()()222021202220222021f f <C ．()()2021202220222021f f >D ．()()2202220222021021f f <【答案】A 【解析】令()()()20f x g x x x =>，则()()()()()24322x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==， ()()2xf x f x '>，()0g x '∴>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增， ()()20212022g g ∴<，即()()222021202220212022f f <，()()222021202220222021f f ∴>. 故选：A.5．（2022·天津外国语大学附属外国语学校）己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且(3)f x +为偶函数，(6)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A ．(3,)-+∞ B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(6,)+∞【答案】C 【解析】令()()xf xg x e =，()()f x f x '<，()()()0xf x f xg x e '-∴'=<，()g x ∴在定义R 上单调递减；∵ 又(3)f x +为偶函数，(3)(3)f x f x ∴+=-，()(0)6f f ∴=1=，0(0)(0)1f g e∴==，则不等式()x f x e <⇔0()(0)x f x f e e<，即()(0)g x g <，由∵得0x >，故选：C ． 6．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R ，()()0f x f x '-<恒成立，则()()4e 1e 23xf f x x >-+的解集是（）A ．()4,+∞B ．()1,4-C ．(),3-∞D ．(),4-∞【答案】D 【解析】设()()xf xg x =e ，该函数的定义域为R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增．由()()4e 1e 23xf f x x >-+可得()()123123e e x x f x f x +-+->，即()()123g x g x +>-，又()g x 在R 上单调递增，所以123x x +>-，解得4x <，所以原不等式的解集是(),4-∞，故选：D ．7．（四川省眉山第一中学2022届高考适应性考试数学（理）试题）已知可导函数()f x 的定义域为(0,)+∞，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式2()f x x >的解集是________．【答案】(0,2) 【解析】设2()()f x g x x =，则 3()2(())xf x x x f x g '-='，因为0x >，()2()0xf x f x '-<，所以()0g x '<，可得()g x 在(0,)+∞上单调递减，不等式2()f x x >，即()()2214f x f x>=，即()()2222f x f x>，所以()()2g x g >，因为()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以2x <，又因为0x >，所以不等式的解集为：(0,2)，故答案为：(0,2)． 8．（河北省衡水市部分学校2022届高三下学期4月联考数学试题）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，定义域为(0,)+∞，且满足'()()0xf x f x -<，则不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-恒成立时m 的取值范围为__________.【答案】()2022,2024【解析】由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()()0xf x f x '-<，可得2()'()()'0f x xf x f x x x -⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，设()()f x F x x=，可得()0F x '<，所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，又由2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，所以20220m ->，且(2022)(2)20222f m f m ->-，则020222m <-<，解得20222024m <<，即m 的取值范围为()2022,2024. 故答案为：()2022,2024. 1．（2021·河南新乡市·高三一模）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()f x 的导函数为()'f x ，且当[0,)x ∈+∞时，()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，e 为自然对数的底数，则函数()f x 在R 上的零点个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由()sin ()cos e ()f x x f x x f x ''<-，得(cos e)()()sin 0x f x f x x '-->.令()(cos )()g x x e f x =-，因为cos 0x e -≠，所以()0f x =等价于()0g x =.当[0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在[0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()(cos )()g x x e f x =-也是定义在R 上的奇函数，从()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，所以()g x 在R 上只有1个零点，从而可得()f x 在R 上只有1个零点. 故选：B.2．（2022·湖北）奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()f x '.当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．（4π，π） B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】令()()sin f x F x x=，因为当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '-<，所以，当0πx <<时，2()sin ()cos ()0sin f x x f x xF x x-''=<，所以，函数()()sin f x F x x=在(0,)π内为单调递减函数，所以，当0πx <<时，关于x 的不等式()2sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4F x F π<，题组四三角函数型所以4x ππ>>；当0x π-<<时，0x π<-<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ>，即()()4sin()sin 4f f x x ππ->- 因为函数()f x 为奇函数，故()()4sin()sin 4f f x x ππ->-，也即()()4F x F π-> 所以4x π-<，即4x π>-，所以，04x π-<<．综上，原不等式的解集(,0)(,)44πππ-. 故选：D ．3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x'<成立，则下列不等式成立的（） A ππ64f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Cππ43⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Dππ34f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin f x F x x=，由()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立，即()()()()()()2sin cos sin cos 0,0,(sin )f x x f x x f x x f x x F x F x x -->'∴>'=∴'在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，又由()()()()()(),sin sin f x f x F x F x F x x x---===∴--为偶函数，ππππππ64,,,ππ646464sin sin 64f f F F f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭<∴<∴<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误.偶函数()F x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()F x ∴在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，ππππππππ36,,,,ππ363636sin sin 36f f F F f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-<-∴->-∴>∴-->- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ36f⎛⎫⎛⎫∴-<- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；ππππ43,ππ43sin sin 43f f F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-<-∴< ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππ,4343⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-->- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；ππ>34，ππππππ34,,ππ3434sin sin34f f F F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭∴>∴>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：B4．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D1．（2022·江西赣州）已知1ea =，ln55b =，25c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，()f x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当e x =时，()f x 取得极大值，则()()1ln 5e 5e 5a f b f ==>==，2115 2.5ec ==>，故c a b >>．故选：D2．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a ，b ，()0,1c ∈，e 为自然对数的底数，且2e 2e a a =，3e 3e b b =，2e ln 2c c =，则（） A ．b a c <=，求导得()()2e 1x xf x x -'=，令()0f x '=，得1x =．当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．因为1ln 423<<<，所以()()()ln 423f f f <<，所以()()()f c f a f b <<，又因为(),,0,1a b c ∈，()f x 在()0,1上单调递减，所以b a c <<. 故选：A ．3．（2022·新疆乌鲁木齐）设22e a =，ln 22b =，ln 33c =，则（）A ．a b c <，()f x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；又()222e e a f ==，()4ln 2ln 424b f ===，()ln 333c f ==，又()()()243e f f f >>，所以a b c <<.故选：A.4（2022·辽宁大连·二模）下列不等式正确的是( ) A ．ln 2ln 424> B ．2ln 3ln 23> C．eln1010> D ．6>【答案】B 【解析】令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，则当0<x <e 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；则()()max 1e ef x f ==，对于A ，ln22ln2ln4244==，故A 错误；对于B ，ln 3ln4ln22ln 3(3)(4)ln 23234f f >⇒>=⇒>，故B 正确；对于C ，()()ln e 1ln10e 1010eln10e e 10f f >⇒=>⇒>，故C 错误；对于D ，e <，故根据f (x )的单调性可知()ln 222ln ln662f f<⇒<<⇒<⇒<，故D 错误．故选：B ﹒5．（2022·山东潍坊·模拟预测）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（） A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增, 故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====, 2e 42e <<,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C6．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知0.1e 1a =-，sin 0.1b =，ln1.1c =，则（） A ．a b c <时，e 1x >，e cos 0x x ∴->，()0f x '∴>，()f x 单调递增，()()0.10f f ∴>，即0.1e 1sin 0.10-->，0.1e 1sin 0.1∴->，即a b >，令()()ln 1sin g x x x =+-，()()11cos 11cos cos cos 111x x x x x g x x x x x -+--'∴=-==+++，令()1cos cos h x x x x =--，()()1sin cos h x x x x '∴=+-令()()1sin cos x x x x ϕ=+-，()()2sin 1cos x x x x ϕ'∴=++，当π06x <<时，()0x ϕ'>，()h x '∴单调递增， ()(π61ππππ1sin cos 0666612h x h +⎛⎫⎛⎫∴<=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''()h x ∴在()0,0.1x ∈上单调递减，00h x h ，()0g x '∴<，()g x ∴在()0,0.1x ∈上单调递减，()()0.100g g ∴<=，即ln1.1sin0.10-<，c b ∴<综上：c b a <<.故选：D.7．（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥， ()18ln 1f x x x+'=--， ()18ln 1f x x x +'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln81ln8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 8．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）设3103a =，ln1.03b =，0.03e 1=-c ，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】C【解析】记()()e 1,0x f x x x =--≥.因为()e 1xf x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->. 记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥. 因为()11011x g x x x-'=-=<++，所以()g x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<. 所以c b >. 记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+. 因为()()()2211111x h x x x x '=-=+++，所以当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+. 所以b a >.综上所述：c b a >>.故选：C9．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知π2022a =-，ln πln 2022b =-，π2022e e c =-，其中π，e 分别是圆周率、自然对数的底数，则（）A ．a b c <时，()0f x <′，()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()π2022f f >，即ln ππln20222022->-，所以ln πln2022π2022->-，即b a >；构造函数()e x g x x =-，()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()π2022g g <，即π2022e π<e 2022--，所以，π2022e e <π2022--，即c a <，所以c a b << 故选：C10．（2022·江西景德镇）已知0.03e 1a =-，3103b =，ln1.03c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为，所以当0x >时，，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为，所以()g x 在()0,+∞上单调递减函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以a c >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+. 因为，所以当0x >时，，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以c b >. 综上所述：a c b >>.故选：B11．（2022·福建·模拟预测）已知sin1sin11e e a =+，tan 2tan 21ee b =+，cos3cos31ee c =+，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】B【解析】设函数()e e 1xx f x =+，则()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()1e 0e xxf x '=-≥，所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，因为sin1<tan 21cos3<-<<tan 21cos3sin10->>->>，又()sin1a f =，()()tan 2tan 2b f f ==-，()()cos3cos3c f f ==-，所以b c a >>.故选：B.。

导数运算中的构造函数

导数运算中的构造函数1. 若()()0f x f x '+>，则可构造函数()()xF x e f x =⋅； 2. 若()()0f x f x '->，则可构造函数()()xf x F x e =； 3. ①若()2()0f x f x '+>，则可构造函数12()()x F x e f x =⋅； ②若()()0f x nf x '+>，则可构造函数1()()x nF x e f x =⋅，(*n N ∈).4. ①若()2()0f x f x '->，则可构造函数12()()x f x F x e=；②若()()0f x nf x '->，则可构造函数1()()x nf x F x e=，(*n N ∈).5. ①若2()()0f x f x '+>，则可构造函数2()()xF x f x e =⋅； ②若()()0nf x f x '+>，则可构造函数()()nxF x f x e =⋅，(*n N ∈).6. ①若2()()0f x f x '->，则可构造函数2()()xf x F x e =； ②若()()0nf x f x '->，则可构造函数()()nx f x F x e=，(*n N ∈).7. 若()()0f x x f x '+⋅>，则可构造函数()()F x x f x =⋅； 8. 若()()0f x x f x '-⋅>，则可构造函数()(),(0)f x F x x x=≠； 9.①若22()()0x f x x f x '⋅+⋅>，则可构造函数2()()F x x f x =⋅；②若2()()0f x x f x '⋅+⋅>，则可构造函数2()()F x x f x =⋅(注意x 的正负)；③若()()0n f x x f x '⋅+⋅>，则可构造函数()()n F x x f x =⋅(注意x 的正负，n 的奇偶)； 10. 若()()0n f x x f x '⋅-⋅>，则可构造函数()()n f x F x x=(注意x 的正负，n 的奇偶)； 11. ① 若()cos ()sin 0f x x f x x '+>，则可构造函数()sin ()F x x f x =⋅；②若()()tan 0f x f x x '+>，则可构造函数()sin ()F x x f x =⋅(注意x 的取值范围)； 12. ①若()cos ()sin 0f x x f x x '->，则可构造函数()()sin f x F x x=； ②若()()tan 0f x f x x '->，则可构造函数()()sin f x F x x= (注意x 的取值范围)； 13. ①若()ln ()0f x x f x x'+⋅>，则可构造函数()ln ()F x x f x =⋅； ②若()ln ()0f x x x f x '+⋅⋅>，则可构造函数()ln ()F x x f x =⋅；14. ①若()ln ()0f x x f x x '-⋅>，则可构造函数()()ln f x F x x=(0,1x x >≠)； ②若()ln ()0f x x x f x '-⋅⋅>，则可构造函数()()ln f x F x x=(0,1x x >≠)；练习题1．已知定义在R 上的函数()(),'f x f x 是其导函数，且满足()()()212f x f x f e '->=-，,则不等式()2xf x e +≥的解集为（）A ．(,1)-∞B ．[1,)+∞C ． (,2)-∞D ．(2,)+∞ 解：令()()2x f x F x e +=，则()()()()'2'0,xf x f x F x F x e --=>∴在R 上为增函数，又()12f e =-， ()()()1211,2x f F f x e e +∴==+≥Q 可化为()21xf x e+≥，即()()1F x F ≥，[1,)x ∴∈+∞ 故选：B2．定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0xf x +<的解集为（） A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．1(,)e-∞D ．1(,)e+∞解：由题意，构造新函数()()x f x F x e =，则()()()xf x f x F x e'-'=，因为()()f x f x '>，所以()0F x '<，所以函数()F x 在R 上单调递减，又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=，所以()02019f =-，则()02019F =-，所以不等式()20190xf x e +<等价于()2019xf x e <-，又等价于()()0F x F <，即0x >，所以不等式()2019e 0x f x +<的解集为()0,∞+，故选B.3．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 解：设()()x f x F x e=（x R ∈），则2()()()()()()x x x x f x e f x e f x f x F x e e ''--'== 又∵()()f x f x <'，∴()0F x '<（x R ∈），∴函数()F x 在定义域上单调递减∵(2)f x +为偶函数，即将()f x 的图象向左平移2个单位后，图象关于y 轴对称， ∴()f x 的图象关于2x =对称∴(4)(0)1f f ==，所以0(0)(0)1f F e== 作出F (x )模拟图象，如下图思考：我们对所构造的函数要研究它的哪些性质？∵()()()1x xf x f x e F x e <⇔=<，由图象可知：0x >，故选B ．4．已知函数f x （）在0x >上可导且满足()()0f x f x '->，则下列一定成立的为（）A ．23(2)(3)e f e f > B ．23(3)(2)e f e f < C ．32(2)(3)e f e f < D ．23(2)(3)e f e f <解：令()()x f x F x e=,()0,x ∈+∞ 则()()()()()()2x x x x f x e e f x f x f x F x e e ''--'== ()()0f x f x '->Q ()()()()()()20x x xx f x e e f x f x f x F x e e ''--'==>即()()x f x F x e =在定义域()0,∞+上单调递增 ()()32F F ∴>,即()()3232f f e e>, ()()2332e f e f ∴> 故C 正确，故选：C5．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x <时()()20f x xf x '+<，则( ) A ．()()()24293f e f e f >>B ．()()()24293f f e f e ->->-C ．()()()29342f f e f e >>-D ．()()()24293e f e f f >->-解：构造新函数为：2()()F x x f x =，因为()f x 是偶函数，故()()f x f x -=，于是有22()()()()()F x x f x x f x F x -=--==，所以函数()F x 是偶函数.2()2()()[2()()]F x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x <时，()()20f x xf x '+<，所以当0x <时，()0.F x '>则()F x 在(,0)-∞上是增函数, 根据()F x 是偶函数得知，()F x 在(0,)+∞上是减函数23e <<Q ，(2)()(3)F F e F ∴>>，即2222(2)()3(3)f e f e f >>故选：A 6．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-⋃+∞C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞ 解：构造新函数()()f x F x x =,由()f x 为奇函数知()F x 为偶函数. ()()()2 'xf x f x F x x'-=Q ，当0x >时()'0F x <.∴()()f x F x x=在()0,∞+上单减，由()10f =，得()10F =. 根据()F x 为偶函数可知，()()f x F x x=在(),0-∞上单增，且(1)0F -=.故选A.7．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x <-'成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>解：由题意当(,0)x ∈-∞时，()()(),()()0,(())0,xf x f x f x xf x f x xf x '<-=-∴<'+<'∴令()()F x xf x =，则()F x 是(,0)-∞上的减函数，而()F x 是偶函数(奇乘奇=偶)，所以()F x 是(0,)+∞上的增函数，而21(1),(log )(2)(2)4a Fb Fc F F F ====-=，且12<<，b a c <<.8．若函数()f x 在R 上可导，()()f x xf x '<则( )A ．()()e 1e f f C ．()()e 1e f f =D ．()()1e f f =解：根据()'()f x xf x <可得'()()0xf x f x ->，可知当0x >时，2'()()0xf x f x x ->，即()[]'0f x x>，所以可知函数()f x x 在(0,)+∞上是增函数，即(1)()1f f e e<，从而得(1)()ef f e <，故选A.9．若函数()f x 在()0,∞+上可导，且满足()()'f x xf x <，则一定有( ) A ．函数()()f x F x x=在()0,∞+上为增函数 B ．函数()()f x F x x=在()0,∞+上为减函数 C ．函数()()G x xf x =在()0,∞+上为增函数 D ．函数()()G x xf x =在()0,∞+上为减函数解：因为()()f x xf x <'，构造新函数()()f x F x x=，其导数为()()2()0f x x f x F x x -=''>，所以函数()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递增，故选A ．10．定义在{}|0x x ≠上的函数()f x 满足()()0,()f x f x f x --=的导函数为()'f x ，且满足(1)0f =，当0x >时，()2()xf x f x '<，则使得不等式()0f x >的解集为( )A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()()1,00,1-U解：由函数定义域为{}|0x x ≠，且()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数令()()2f x F x x =，则()()()32f x x f x F x x-'='，由当0x >时，()2()xf x f x '<，即()22()x f x xf x '<，此时()0F x '<，所以可知()F x 在()0,∞+递减则()F x 在(),0-∞递增，又(1)0f =，所以()()110f F ==，同理(1)(1)0F F -== 作出()F x 列表：故选：D11．已知函数()f x 的定义为R ，(1)f e -=，若对任意实数x 都有()f x e '>，则不等式()2f x ex e >+的解集是（）A ．(1)-∞-，B ．(1)-+∞，C ．(11)-，D ．(1)+∞，解：令()()F x f x ex =-，Q 对任意实数x 都有()f x e '>，()()0F x f x e ''∴=->，∴函数()F x 为定义在R 上的单调递增函数，(1)f e -=Q ()()112F f e e ∴-=-+=，作出F (x )模拟图象，如下图()2f x ex e >+Q ，()2f x ex e ∴->，()2F x e ∴>，1x ∴>- 故不等式()2f x ex e >+的解集是(1)-+∞，. 故选：B 12．已知函数()()y f x x R =∈的图象过点()1,1，()f x ' 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数.若 ()1f x '>恒成立，则不等式()f x x >的解集为（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,+∞D ．(),e +∞解：设()()F x f x x =-，则()()''1F x f x =-，因为()1f x '>恒成立，()'0F x ∴>恒成立，()F x ∴单调递增， ()11f =Q ，()()1110F f ∴=-=，作出F (x )模拟图象，如下图Q 不等式()f x x >()0F x ⇔>，由图象知 1x ∴>，故选：C ．13．定义在R 上的函数()f x，()f x '是其导函数，且满足()()2f x f x +'>， ()412f e=+，则不等式()42x x e f x e >+的解集为( )A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞解：令()()24xxF x e f x e =--，()()()2[()()2]xxxxF x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-；()()2f x f x +'>Q ； ()0F x ∴'>； ()F x ∴在R 上单调递增； 4(1)2f e =+Q ；∴4(1)(2)240F e e e=+--=；，作出F (x )模拟图象，如下图 ()42()0x x e f x e F x >+⇔>Q 1x ∴> ∴原不等式的解集为(1,)+∞．故选：B ．14．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()4()f x x f x -=-，当(,0]x ∈-∞时，()41f x x '<-，若()()142f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞解：由已知条件()41f x x '<-分析，可构造函数2()()2F x f x x x =-+，求导得()()41F x f x x ''=-+.显然()0F x '<，从而()F x 在(,0]x ∈-∞上单调递减. 已知条件2()4()f x x f x -=-如何利用？如何才能出现()()f x f x -+？我们计算22222()()()2()()()2()()4440F x F x f x x x f x x x f x f x x x x -+=---+-+-+=-+-=-= 即()()F x F x -=-，这能说明()F x 为奇函数.()F x 在(0,)+∞上单调递减，从而()F x 在R 上调递减.下一个已知条件()()142f m f m m +≤-++如何利用？如何才能出现(1)()f m f m +--？我们计算:22(1)()(1)2(1)(1)[()2()()](1)()21422121F m F m f m m m f m m m f m f m m m m m +--=+-+++----+-=+----≤+--=+ 再经过变形得：(1)(1)()()F m m F m m +-+≤---.这个不等式两边在形式上具有一致性，我们继续构造函数：令()()x F x x ϕ=-，由前面分析()F x 在R 上单调递减，可知()x ϕ在R 上单调递减 .我们所要研究的不等式(1)(1)()()F m m F m m +-+≤---等价于(1)()m m ϕϕ+≤-，从而1m m +≥-，求得12m ≥-.15．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 的图象经过点(2,4)，且对(0,)+∞，都有()1f x '>，则不等式(22)2x xf -<的解集为（） A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(0,1)解：由已知：(2)4f =.令22x t -=，0t >，且22x t =+，不等式(22)2x x f -<等价于()2f t t <+.构造函数令()()(0)F t f t t t =-> ，对其求导()()10F t f t ''=->，于是()F t 在(0,)+∞上单调递增. 为了利用上(2)4f =，我们得计算(2)(2)22F f =-=.作出F (t )模拟图象，如下图2<等价于()2F t <. 由图象可知：02t <<，所以0222x <-<，(1,2)x ∴∈，应选答案C.16．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '>，且()12f =，则不等式1()2x f x e -<的解集为（） A ．()1,+∞B ．(),2-∞C ．(),1-∞D ．()2,+∞解：构造函数()()()2'()'()()'()()x xxx xf x f x e f x e f x f x F x F x ee e--=⇒==因为()()()0()f x f x F x F x '⇒<⇒'>单调递减.()212(1)f F e=⇒=作出F (x )模拟图象，如下图所求的不等式()1()2)22(x x f x F x e f e e ex -<<⇔⇔< ，由图象知1x > ，故答案选A0时，()()0f x xf x '+>，且(3)0f -=，则不等式)()33,+∞U D ．()(),30,3-∞-U()0x '> ()F x ∴在(,0)-∞是单调递增，列表：所以()0f x <的解集为(3,0)(0,3)-⋃. 故选:B.18．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '、(1)f x +的图象关于点(1,0)-对称，且对于任意的实数x ，均有()()ln 2f x f x '>成立，若(2)2f -=，则不等式1()2x f x ->-的解集为（） A ．(2,)-+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞解：)1(f x +Q 的图象关于点(1,0)-对称，也就是说把函数()f x 图象向左平移1个单位后关于点(1,0)-对称，()f x ∴图象关于原点对称，从而()f x 为奇函数.由已知：()()()()ln 2<0ln 2f x f x f x f x ''>⇔-, 令()()2xf x F x =, 则()2()22()ln 2()()ln 2()022x x xxf x f x f x f x F x ''⋅-⋅-'==<,则()F x 在(,+)-∞∞上单调递减,由(2)2f -=,得(2)2f =-,所以(2)1(2)42f F ==-. 作出F (x )模拟图象，如下图所以1()2x f x ->-⇔()()11222x f x F x >-⇔>-，由图象知：2x <. 故选:D .19．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，()f x '为其导函数，若()()xxf x f x e '+=，且(2)0f =，则()0f x <的解集为（） A ．(0, 1)B ．(0, 2)C ．(1, 2)D ．(1, 4)解：由()()xxf x f x e '+=得[()]xxf x e '=，()xxf x e c ∴=+，从而()(0)x e c f x x x+=>，又(2)0f =，2c e ∴=-，2()(0)x e e f x x x-∴=>，()0f x <时，2x <，又(0,)x ∈+∞，故02x <<.故选：B .20．已知()f x ' 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________. 解：令()()f x F x x=，因为()f x 为奇函数，所以()F x 为偶函数，定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞ 对()F x 求导得：()2()()xf x f x F x x'-'=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以当0x >时，()0F x '>，即()F x 在(0,)+∞上单调递增由()F x 为偶函数知：()F x 在(,0)-∞上单调递减由()10f -=，可知 (1)0F =，则(1)(1)0F F -==.作出()F x 草图：列表：综上，()0f x >时，1x >或10x -<< 故答案为：()()1,01,-⋃+∞21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'>xf x f x ，若()20f =，则不等式()0x f x ⋅>的解集为________解：由题意，令()()f x F x x=，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以 ()F x 为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞对()F x 求导得：2()()()xf x f x F x x'-'=．由已知当0x >时，()()'>xf x f x ，所以 ()F x 在(0,)+∞上单调递增.再由()F x 为奇函数，可得()F x 在(,0)-∞上单调递增. 由()20f =得(2)0,(2)(2)0F F F =-=-=. 作出()F x 草图：∴不等式()0()0x f x F x >⇔>g 的解集为{|20x x -<<或2}x >．故答案为：()()2,02,-+∞U ．22．若定义域为R 的函数()f x 满足'()()f x f x >，则不等式(ln )(1)0ef x xf -<的解集为______（结果用区间表示）．解：令()()xf x F x e =，则2(()())()x xe f x f x F x e '-'=，因为()()f x f x >'，所以()0F x '>，所以，函数()F x 为(,)-∞+∞上的增函数，由(ln )(1)ef x xf <，得：(ln )(1)f x f x e<，即ln 1(ln )(1)xf x f e e <，即(ln )(1)F x F <，因为函数()F x 为(,)-∞+∞上的增函数，所以ln 1x <．所以不等式的解集是(0,)e ．故答案为(0,)e ．23．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()() f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是_______解：设()()2(0)f x F x x x =>，则()()()320xf x f x F x x-''=>，故函数()F x 在()0,+∞上单调递增，因为：23<，所以(2)(3)F F <，即()()2349f f <，故()()2439f f <．设()()3(0)f x G x x x=>，则()()()430xf x f x G x x-''=<，故()G x 在()0,+∞上单调递减，因为23<，所以(2)(3)G G >所以()()23827f f >，则()()28327f f >，所以()()2842739f f <<．故()()23f f 的取值范围是84,279⎛⎫⎪⎝⎭．24．函数()f x 的定义域为R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()4f x '>，则()45f x x <+的解集为________. 解：令()()4F x f x x =-，则()()4F x f x ''=-，因为x ∈R 时，()40f x '->，即()0F x '>，因此，()F x 在定义域R 上为单调递增函数；由于()11f -=，则()51F -=，作出F (x )模拟图象，如下图要求()45f x x <+，则()45f x x -<，即()5F x <，由()F x 的图象知1x <-.故答案为：(),1-∞-.25．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()2f x +为偶函数，()41f =，则不等式()xf x e <的解集为______解：设()()x f x Fx e=，则：()()()()()2x x e f x f x F x e '-'=()()f x f x '<Q ，()0F x ∴'<．所以函数()F x 是R 上的减函数，Q 函数(2)f x +是偶函数，∴函数()f x 图象关于直线2x =对称， (4)(0)1f f ∴==为了利用上(0)1f =，我们得计算0(0)(0)1f F e==.作出F (x )模拟图象，如下图原不等式()xf x e <等价为()1F x <，由图象知0x >，故答案为: (0,)+∞26．已知函数()f x 的导数为()'f x ，()11f =，若对任意的实数x 都有()()'0f x f x ->，则()1x f x e e<的解集为__________．解：设()()x F x f x e =，则2()()()()()x x x xf x e f x e f x f x F x e e'-'-'==，因为对任意的实数x 都有()()0f x f x -'>，所以()0F x '<，即()F x 在R 上单调递减，又因为(1)1f =，所以1(1)F e=，作出F(x)模拟图象，如下图所求不等式()1x f x e e <等价于1()F x e<，由图象知，1x >. 故答案为：(1,)+∞ 27．函数()()f x x R ∈满足(1)2f =，且()f x 在R 上的导函数'()f x 满足'()3f x >，则不等式(2)321x x f <⋅-的解集为________.解：构造函数()()3F x f x x =-，则'()'()30F x f x =->，说明()F x 在R 上是增函数，为了利用(1)2f =，我们得计算(1)(1)31F f =-=-. 作出F(x)模拟图象，如下图又不等式(2)321x x f <⋅-可化为(2)321x x f -⋅<-，即(2)1xF <-，∴21x <，解得0x <.∴不等式(2)321x x f <⋅-的解集为(,0)-∞.故答案为：(,0)-∞28．函数()f x （x ∈R ）满足(1)2f =且()f x 在R 上的导数'()f x 满足'()30f x ->，则不等式33(log )3log 1f x x <-的解集为___________.解：构造函数()()3F x f x x =-，则'()'()30F x f x =->，说明()F x 在R 上是增函数，为了利用(1)2f =，我们得计算(1)(1)31F f =-=-.作出F(x)模拟图象，如下图又不等式33(log )3log 1f x x <-可化为33(log )3log 1f x x -<-，即3(log )1F x <-， ∴3log 1x <，解得03x <<. ∴不等式33(log )3log 1f x x <-的解集为(0,3). 故答案为：(0,3)29．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．解：令()()()1F x f x x =-+，则()()1F x f x ''=-，由已知()'1f x <可知()0F x '<，从而()F x 在R 上单调递减.为了利用上()23f =，我们得计算(2)(2)30F f =-=. 作出F(x)模拟图象，如下图试卷第21页，总21页所求不等式()1f x x >+等价于()0F x >，由图象知：2x <. 即不等式()1f x x >+的解集为(),2-∞.30．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件： ① ()()(,)01x f x a g x a a >≠⋅=； ② ()0g x ≠；③ ()()()()f x g x f x g x ''>⋅⋅，若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则log 1>a x 成立的x 的取值范围是________．解：由已知g(x)≠0,所以得()()x f x a g x =, 于是有()()()()()()20xf xg x f x g x a g x '-''=<成立，所以()()x f x a g x =是R 上的减函数，即有01a << 又由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,代入得152a a -+=,得12a =，（2a =舍去）所以有：11221log log 1log 2a x x =>=,可得102x <<，故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

构造函数法解选择填空题专题-精品

构造函数解题专题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。

近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。

所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。

怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

几种导数的常见构造：1.对于r(x)>g'(x)，构造〃(x)=/(x)一g(x)若遇到r(X)> W°)，则可构〃(x)=/(%)-ca2.对于r(x)+gQ)>。

，构造〃(x)=/(x)+g(x)3.对于1(x)+,f(x)>0,构造〃(%)=e'/(x)4.对于尸(x)>/(x)［或/(x)—构造〃(幻=/孚e5.对于对"(X)+/(%)〉0,构造〃(工)二4'(工)6.对于4'(x)—/(x)>0,构造=X一、构造函数法比较大小例1.已知函数y=/(x)的图象关于y轴对称，且当X£(—OO,0),/(X)+4'(X)<0成立,«=202./(20-2),。

=log乃3・.f(log13),。

=1%9・“1839),则a,b,c的大小关系是()Aa>b>cB.a>c>bC.c>b>aDb>a>c例2.己知/(x)为R上的可导函数，且VxwR,均有/(x)>/'(x),则有A.e20,6/(-2016)</(0),/(2016)>e20,6/(0)B.^20,6/(-2016)</(0),/(2016)<e20,6/(0)C.e20,6/(-2016)>/(0),/(2016)>e20,6/(0)D.e20,6/(-2016)>/(0),/(2016)<e20,6/(0)变式：已知函数为定义在R上的可导函数，且/(x)</'(x)对于任意XE R恒成立，e为自然对数的底数，则()A/(l)>e./(O)./(2016)<e2016./(O) <e-f(O)./(2016)>e2016./(O)C./(l)>e"(0)、/(2016)>/6"(o)D./(l)<e♦/(0)、/(2016)<e2016"(0)例3.在数列｛q｝中，(4严=n+L5eN*).则数列｛q｝中的最大项为().A.V2B.^3C.V5D.不存在TT7T练习1.已知函数y=/(x)对任意的工£(一5,5)满足,f'(x)cosx+.f(x)sinx>0,则( )A./(0)>V2/(^)B./(0)<2/(-^)C.⑸令吟D.⑸(4)</(q)二、构造函数法解恒成立问题例1.若函数尸/(X)在彳上可导且满足不等式4'(xH/S)〉。

导数中构造函数比大小问题题型总结(学生版+解析版)

导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造f x =ln xx比较大小此函数定义域为0,+∞，求导f x =1−ln xx2，当x∈0,e时，f x >0，故f x 为增函数，当x∈e,+∞时，f x <0，故f x 为减函数，当x=e时，f x 取得极大值为f e =1e，且f4 =ln44=2ln2 4=ln22=f2 ，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a 【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是( )①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2>42．A.1B.2C.3D.4【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且a ln5=5ln a，b ln6= 6ln b，c ln7=7ln c，则a，b，c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<aa>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b2.(2022·浙江台州·高二期末)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=ln33，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a3.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e⋅ln3>3(2)e43ln3<4(3)eπ>πe.三个不等式中，正确的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个4.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a=ln33，b=1e，c=3ln28，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，33，e e，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.6.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=4-ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足ln ae a=ln b b=-ln c c<0，则a，b，c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c题型二：利用常见不等式关系比较大小1.常见的指数放缩：e x≥x+1(x=0);e x≥ex(x=1)证明：设f x =e x−x−1，所以f x =e x−1，所以当x∈−∞,0时，f x <0，所以f x 为减函数，当当x∈0,+∞时，f x >0，所以f x 为增函数，所以当x=0时，f x 取得最小值为f0 = 0，所以f x ≥0，即e x≥x+12.常见的对数放缩：1−1x≤ln x≤x−1(x=1);ln x≤x e(x=e)3.常见三角函数的放缩：x∈0,π2,sin x<x<tan x【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=910，b=e-19，c=1+ln1011，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e0.01，b=1.01，c=1-ln 100101，则( )．A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln 87，b=18,c=ln76，则( )A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 【题型专练】1.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b2.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos15，b=4950，c=5sin15，则( )A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b3.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-12=ln2a，b-13=ln3b，c-e=lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为( )．A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【例2】(2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)设a=e1.01，b=3e，c=ln3，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【例3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=ln32，b=1e-1，c=ln43，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=110，b=ln1.1，c=e-910，则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e0.01，b=199，c=-ln0.99，则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.3π，b=0.9π2，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e0.2，b= 1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【题型专练】1.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b2.(2022·山东青岛·高二期末)已知a=lnπ3，b=2π3-2，c=sin0.04-12π3-1，则a，b，c的大小关系是( )A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b3.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a=34e25，b=25e34，c=35，则( )A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )A.e a-e b<ln a-ln bB.b ln a<a ln bC.b a>e a-bD.sin a-sin ba-b<15.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e1.01，b=3e，c=ln3，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c6.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b-2=2ln b>0，c2-13=ln3c2> 7.(2022·湖北恩施·高二期末多选)已知a2-14=2ln2a>0，b2-1e20，则( )A.c<bB.b<aC.c<aD.b<c8.(2022·安徽·歙县教研室高二期末)已知x、y、z∈(0，1)，且满足e2x=2e x，e3y=3e y，e4z=4e z，则( )A.x<y<zB.x<z<yC.z<y<xD.z<x<y导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造f x =ln xx比较大小此函数定义域为0,+∞，求导f x =1−ln xx2，当x∈0,e时，f x >0，故f x 为增函数，当x∈e,+∞时，f x <0，故f x 为减函数，当x=e时，f x 取得极大值为f e =1e，且f4 =ln44=2ln2 4=ln22=f2 ，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c 【答案】A【解析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数f x =ln xx，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：a=1e=ln ee,b=ln22=ln44,c=ln33，设f x =ln xx,f x =1-ln xx2，则x>e时，fx <0，故f x 在e,+∞上单调递减，则f e >f3 >f4 ，即ln ee>ln33>ln44，所以a>c>b．故选：A.【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a 【答案】C【解析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数f x =ln xx,然后结合导数与单调性关系分析出x=e时,函数取得最大值f e =1e,可得c最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当x>e时,f x <0,函数单调递减,当0<x<e时,f x >0,函数单调递增,故当x=e时,函数取得最大值f e =1 e,因为a=22-ln2e2=ln e22e22=f e22,b=ln22=ln44=f4 ,c=1e=f e ,∵e<e22<4,当x>e时,f x <0,函数单调递减,可得f4 <fe22<f e ,即b<a<c.故选:C【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是( )①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2>42．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题首先可以构造函数f x =ln xx，然后通过导数计算出函数f x =ln xx的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数f x =ln xx的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以函数f x =ln xx在0,e上递增，在e,+∞上递减，所以当x=e时f x 取得最大值1 e，ln3<3ln2⇔2ln3<3ln2⇔ln33<ln22，由3<2<e可得f3<f2 ，故①正确；lnπ<πe⇔lnππ<ln ee，由e<π<e，可得f e<fπ，故②错误；215<15⇔15ln2<ln15⇔ln22<ln1515⇔ln44<ln1515，因为函数f x =ln xx在e,+∞上递减，所以f4 <f15，故③正确；因为22>e，所以f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3ln222<1e，则3e ln2<22，即3e ln2<42，故④错误，综上所述，有2个正确.故选：B．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且a ln5=5ln a，b ln6= 6ln b，c ln7=7ln c，则a，b，c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =ln xx，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，函数F(x)在0,e上单调递增，当x>e时，f x <0，函数f x 在e,+∞上单调递减，因为7>6>5>e，所以f7 <f6 <f5 ，因为a，b，c均为区间0,e内的实数，且ln55=ln aa，ln66=ln bb，ln77=ln cc，所以f a >f b >f c ，所以a>b>c，故选：B.【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<ae>6>e，所以a<b<c．故选：B．【题型专练】1.(2022·四川省资阳中学高二期末(理))若a=ln22,b=1e,c=2ln39，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b【答案】A【解析】令f x =ln xx，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a、c，即可得解；【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，所以当0<x<e时fx >0，当x>e时f x <0，所以f x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，所以f x max=f e =ln ee=1e，所以1e>ln22又ln22-2ln39=9ln2-4ln318=ln29-ln3418=ln512-ln9118>0所以ln22>2ln39，即b>a>c.故选：A2.(2022·浙江台州·高二期末)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=ln33，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a 【答案】B【解析】由题设a=ln e22e22，b=ln44，c=ln33，构造f(x)=ln xx并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.【详解】由题设，a =4-ln4e 2=ln e22e22，b =ln22=ln44，c =ln 33=ln33，令f (x )=ln x x 且x >0，可得f (x )=1-ln xx 2，所以f (x )>0有0<x <e ，则(0,e )上f (x )递增；f (x )<0有x >e ，则(e ,+∞)上f (x )递减；又4>e 22>3>e ，故c >a >b .故选：B3.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e ⋅ln3>3(2)e 43ln3<4(3)e π>πe .三个不等式中，正确的个数为( )A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】根据题目特点，构造函数f x =ln x x ，则可根据函数f x =ln xx的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx 2，令f x >0,解得0<x <e ，令f x <0,解得x >e ，故f x =ln xx在区间0,e 上单调递增，在区间e ,+∞ 单调递减，所以，(1)f e <f 3 ，即ln e e <ln 33，即e ⋅ln3>3，则正确；(2)f e 43<f 3 ，即ln e43e 43<ln33，即e 43⋅ln3>4，则错误；(3)f e >f π ，即ln e e >lnππ⇒πln e >e lnπ⇒ln e π>lnπe ，所以，e π>πe ，则正确故选：C .4.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a =ln33，b =1e ，c =3ln28，则( )A.b >a >cB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b【解析】设函数f(x)=ln xx,(x>0)，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设f(x)=ln xx,(x>0)，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<e时，f (x)>0，f(x)递增，当x>e时，f (x)<0，f(x)递减，当x=e时，函数取得最小值，由于e<3<8 ，故ln ee>ln33>ln88，即b>a>c，故选：A5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，33，e e，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】 e e 3π【解析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数f x =ln xx的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e.∵函数y=3x是增函数，且e<3<π，∴3e<33<3π；函数y=e x是增函数，且e<3<π，e e<e3<eπ；函数y=πx是增函数，且e<3<π，πe<π3；函数y=x e在0,+∞是增函数，且e<3<π，e e<3e<πe，则八个数中最小的数是e e 函数y=xπ在0,+∞是增函数，且e<3，eπ<3π，八个数中最大的数为π3或3π，构造函数f x =ln x x，求导得f x =1-ln xx2，当x∈e,+∞时f x <0，函数f x 在e,+∞是减函数，f3 >fπ ，即ln33>lnππ，即πln3>3lnπ，即ln3π>lnπ3，∴3π>π3，则八个数中最大的数是3π.故答案为：e e；3π．6.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=4-ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【答案】D设f(x)=ln xx(x>0)，利用导数求得f(x)的单调性和最值，化简可得a=fe22，b=f(e)，c=f(2)，根据函数解析式，可得f(4)=ln44=f(2)且e<e22<4，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设f(x)=ln xx(x>0)，则f (x)=1x⋅x-ln xx2=1-ln xx2，当x∈(0,e)时，f (x)>0，则f(x)为单调递增函数，当x∈(e,+∞)时，f (x)<0，则f(x)为单调递减函数，所以f(x)max=f(e)=1 e，又a=4-ln4e2=2(ln e2-ln2)e2=ln e22e22=f e22，b=1e=f(e)，c=ln2=12ln2=f(2)，又f(4)=ln44=ln224=ln22=f(2)，e<e22<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，所以f(2)=f(4)<fe22 ，所以b>a>c.故选：D7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足ln ae a=ln b b=-ln c c<0，则a，b，c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】判断出0<a<1,0<b<1,c>1，构造函数f(x)=ln xx,(x>0)，判断0<x<1时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.【详解】由ln ae a=ln b b=-ln c c<0，得0<a<1,0<b<1,c>1 ，设f(x)=ln xx,(x>0) ，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<1时，f (x)>0，f(x)单调递增，因为0<a<1，所以e a>1>a，所以ln a e a >ln a a ，故ln a ea =lnb b >ln aa ，∴fb >f a ，则b >a ，即有0<a 0，所以f x 为增函数，所以当x =0时，f x 取得最小值为f 0 =0，所以f x ≥0，即e x ≥x +1 2.常见的对数放缩：1−1x ≤ln x ≤x −1(x =1);ln x ≤xe(x =e )3.常见三角函数的放缩：x ∈0,π2,sin x <x <tan x 【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a =4104，b =ln1.04，c =e 0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a >b >c B.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】D 【解析】分别令f x =e x -1-x x >0 、g x =ln 1+x -x x >0 、h x =ln 1+x -x1+xx >0 ，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x -1-x x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x -1>x ，则e 0.04-1>0.04；令g x =ln 1+x -x x >0 ，则g x =11+x -1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞ 上单调递减，∴g x <g 0 =0，即ln 1+x <x ，则ln1.04<0.04；∴e 0.04-1>ln1.04，即c >b ；令h x =ln 1+x -x 1+x x >0 ，则h x =11+x -11+x 2=x 1+x2>0，∴h x 在0,+∞ 上的单调递增，∴h x >h 0 =0，即ln 1+x >x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b >a ；综上所述：c >b >a .故选：D .【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=910，b=e-19，c=1+ln1011，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<ax+1x≠0，从而得到1b>1a，设g x =ln x-x+1，利用导数得到ln x<x-1x≠1，从而得到ln 1110<110和c>a，即可得到答案.【详解】解：设f x =e x-x-1，f x =e x-1，令f x =0，解得x=0. x∈-∞,0，f x <0，f x 单调递减，x∈0,+∞，f x >0，f x 单调递增.所以f x ≥f0 =0，即e x-x-1≥0，当且仅当x=0时取等号.所以e x>x+1x≠0.又1b=e19>19+1=109=1a，a>0,b>0，故1b>1a，所以b<a；设g x =ln x-x+1，g x =1x-1=1-xx，令g x =0，解得x=1.x∈0,1，g x >0，g x 单调递增，x∈1,+∞，g x <0，g x 单调递减.所以g x ≤g1 =0，即ln x-x+1≤0，当且仅当x=1时取等号.所以ln x<x-1x≠1，故ln 1110<1110-1=110，又c-a=ln 1011+110>ln1011+ln1110=ln1=0，所以c>a，故b<a<c.故选：B.【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e0.01，b=1.01，c=1-ln 100101，则( )．A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c 【答案】C【解析】构造函数f(x)=e x-1-x，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设f(x)=e x-1-x，则f (x)=e x-1>0，在x>0时恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以e x-1-x>f(0)=0，即e x>1+x，x>0，∴e0.01>1.01，又ln1.01>0，∴e ln1.01>1+ln1.01，即1.01>1-ln100101，所以a>b>c．故选：C．【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln 87，b=18,c=ln76，则( )A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c 【答案】D【解析】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，利用导数分析函数f x 的单调性，可比较得出a、b的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c、a的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，则f x =1x-1x2=x-1x2>0，所以，函数f x 在1,+∞上为增函数，故f x >f1 =0，则f 87 =ln87+78-1=ln87-18>0，即a>b，∵ln76>ln87，因此，b<a<c.故选：D.【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 【答案】A【解析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，利用导数可得b>a，即可得解.【详解】因为cb=4tan14,因为当x∈0,π2,sin x<x<tan x所以tan 14>14,即cb>1,所以c>b；设f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，f (x)=-sin x+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f 14 >f(0)=0,所以cos14-3132>0，所以b>a,所以c>b>a，故选：A【题型专练】1.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，证明ln x≤x-1，令x=1.01，排除选项A,B,再比较a,b大小，即得解.【详解】解：构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，f1 =0，f x =1x-1=1-xx，所以f x 在0,1上f x >0，f x 单调递增，f x 在1,+∞上f x <0，f x 单调递减，所以f (x)max=f(1)=0,∴ln x-x+1≤0,∴ln x≤x-1，令x=1.01，则 a=ln x，b=x30e，c=1-1x，考虑到ln x≤x-1，可得ln1x≤1x-1，-ln x≥1-1x等号当且仅当 x=1时取到，故x=1.01时a>c，排除选项A，B.下面比较a,b大小，由ln x≤x-1得ln1.01<1.01<1.0130e，故b>a，所以c<a<b.故选：D.2.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos15，b=4950，c=5sin15，则( )A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b 【答案】D【解析】构造函数f(x)=cos x+12x2-1，利用导数求解函数f(x)的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设f(x)=cos x+12x2-1,(0<x<1)，则f (x)=x-sin x，设g(x)=x-sin x,(0<x<1)，则g (x)=1-cos x>0，故g(x)在区间(0,1)上单调递增，即g(x)>g(0)=0，即f (x)>0，故f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以f 15 >f(0)=0，可得cos15>4950，故a>b，利用三角函数线可得x∈0,π2时，tan x>x，所以tan 15>15，即sin15cos15>15，所以5sin 15>cos15，故c>a综上，c>a>b故选：D.3.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】D【解析】分别令f x =e x-1-x x>0、g x =ln1+x-x x>0、h x =ln1+x-x1+x x>0，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x-1-x x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴f x >f0 =0，即e x-1>x，则e0.04-1>0.04；令g x =ln1+x-x x>0，则g x =11+x-1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞上单调递减，∴g x <g0 =0，即ln1+x<x，则ln1.04<0.04；∴e0.04-1>ln1.04，即c>b；令h x =ln1+x-x1+x x>0，则h x =11+x-11+x2=x1+x2>0，∴h x 在0,+∞上的单调递增，∴h x >h0 =0，即ln1+x>x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b>a；综上所述：c>b>a.故选：D.题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-12=ln2a，b-13=ln3b，c-e=lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为( )．A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【答案】A 【解析】构造函数f x =x -ln x x >0 ，并求f x ，利用函数f x 的图象去比较a 、b 、c 三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得a -ln a =12-ln 12，b -ln b =13-ln 13，c -ln c =e -ln e ，构造函数f x =x -ln x x >0 ，f x =1-1x =x -1x，令f x =0，得x =1，所以f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，函数f x 的大致图象如图所示．因为f a =f 12，f b =f 13 ，f c =f e ，且a ≠12，b ≠13，c ≠e ，则由图可知b >a >1，0<c <1，所以c <a a >c B.c >a >bC.a >c >bD.a >b >c【答案】D 【解析】可判断a =e 1.01>2，b =3e <2，c =ln3<2，再令f (x )=ln x -x e ，x ∈[e ，+∞)，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解：a =e 1.01>2，b =3e<2，c =ln3<2，令f (x )=ln x -x e，x ∈[e ，+∞)，f (x )=1x -1e =e -xex <0，故f (x )在[e ，+∞)上是减函数，故f 3 <f e ，即ln3-3e <0，故ln3<3e <e 1.01，即c a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【解析】根据给定条件构造函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，求导得f (x)=1-ln x-1xx-12，令g x =1-ln x-1x，则g x =1-xx2<0,(x≥e)，故g x =1-ln x-1x，(x≥e)单调递减，又g1 =1-ln1-11=0，故g x <0,(x≥e)，即f (x)<0,(x≥e)，而e<3<4，则f(e)>f(3)>f(4)，即1e-1>ln32>ln43，所以b>a>c，故选：A【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=110，b=ln1.1，c=e-910，则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】D【解析】利用指数函数的性质可比较a,c的大小，再构造函数f(x)=x-ln(1+x)，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出a,b，从而可比较出三个数的大小【详解】因为y=e x在R上为增函数，且-1<-9 10，所以e-1<e-910，因为110<e-1，所以110<e-910，即a<c，令f(x)=x-ln(1+x)(x>0)，得f (x)=1-11+x=x1+x>0，所以f(x)在(0,+∞)上递增，所以f(x)>f(0)=0，所以x>ln(1+x)，令x=0.1，则0.1>ln1.1，即110>ln1.1，即a>b，所以b<a<c，故选：D【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e0.01，b=199，c=-ln0.99，则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c0,t>0，则ln y-ln t=ln x+x-[ln x-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令f(x)=x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，求导得f (x)=1+1x-1=xx-1<0，即f(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，f(x)<f(0)=0，即ln y<ln t⇔y<t，因此当x∈(0,2-1)时，xe x<x1-x，取x=0.01，则有a=0.01e0.01<0.011-0.01=199=b，令g(x)=y-u=xe x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，g (x)=(x+1)e x+1x-1=(x2-1)e x+1x-1，令h(x)=(x2-1)e x+1，x∈(0,2-1)，h (x)=(x2+2x-1)e x<0，h(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，h(x)<h(0)=0，有g (x)>0，则g(x)在(0,2-1)上单调递增，∀x∈(0,2-1)，g(x)>g(0)=0，因此当x∈(0,2-1)时，xe x>-ln(1-x)，取x=0.01，则有a=0.01e0.01>-ln(1-0.01)=-ln0.99=c，所以c<a<b.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.3π，b=0.9π2，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c 【答案】B【解析】作差法比较出a>b，构造函数，利用函数单调性比较出c>a，从而得出c>a>b.【详解】a-b=0.3π-0.9π2=0.3π-0.9π2>0.3×3-0.9π2=0，所以a-b>0，故a>b，又f x =πsin x-3x，则f x =πcos x-3在x∈0,π6上单调递减，又f 0 =π-3>0，f π6 =3π2-3<0，所以存在x0∈0,π6，使得f x0 =0，且在x∈0,x0时，f x >0，在x∈x0,π6时，f x <0，即f x =πsin x-3x在x∈0,x0上单调递增，在x∈x0,π6单调递减，且f π12 =6+24π-3>0，所以x0>π12，又因为f0 =0，所以当x∈0,x0时，f x =πsin x-3x>0，其中因为110<π12，所以110∈0,x0，所以f110=πsin0.1-0.3>0，故sin0.1>0.3π，即c>a>b.故选：B【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】构造函数f x =18-xln x，x≥8，求其单调性，从而判断a，b，c的大小关系.【详解】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e0.2，b= 1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =e x-x-1x>0，利用导数可得a=e0.2>1.2>b，进而可得e1.2>3.2，可得a>c，再利用函数g x =ln x-2x-1x+1，可得ln3.2>1.1，即得.【详解】令f x =e x-x-1x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴a=e0.2>0.2+1=1.2> 1.2=b，a=e0.2>1.2=ln e1.2，c=ln3.2，∵e1.25=e6> 2.76≈387.4,3.25≈335.5，∴e1.2>3.2，故a>c，设g x =ln x-2x-1x+1，则g x =1x-2x+1-2xx+12=x-12x x+12≥0，所以函数在0,+∞上单调递增，由g1 =0，所以x>1时，g x >0，即ln x>2x-1x+1，∴ln3.2=ln2+ln1.6>22-12+1+21.6-11.6+1=1539>1550=1.1，又1<1.2<1.21,1<b= 1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式e x>x+1x>0与ln x>2x-1x+1(x>1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】构造函数f(x)=x-ln x-1，g(x)=x-x，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.【详解】令f(x)=x-ln x-1，因为f (x)=1-1x=x-1x所以，当0<x<1时，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f (0.9)=0.9-ln0.9-1>f (1)=0，即0.9>ln0.9+1=ln 910e，a >c ；令g (x )=x -x ，因为g (x )=1-12x=2x -12x所以，当14<x <1时，g (x )>0，g (x )单调递增，所以g (0.9)<g (1)，即0.9-0.9<0，0.9<0.9，即a b >a B.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b【答案】C 【解析】构造函数得出a ,b 大小，又c <0即得出结论.【详解】构造函数f x =2ln x -2x -1 =2ln x -x +1 ，则a -b =f π3，f x =21x-1<0在1,+∞ 上恒成立，则y =f x 在1,+∞ 上单调递减，故a -b =f π3<f 1 =0，则b >a >0，π3=1+x x >0 ，则1+x -1=π-33>0.123=0.04，由对于函数g x =sin x -x 0<x <π2 ，g x =cos x -1<0,0<x <π2恒成立，所以， g x =sin x -x <g 0 =0即sin x <x 在0,π2上恒成立.所以，sin0.04-121+x -1<sin x -121+x -1=sin x -12x <x -12x =x x -12 <0(注：0.04<x <0.09,0.2<x <0.3<0.5)所以，b >a >c 故选：C3.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a =34e 25，b =25e 34，c =35，则( )A.b <c <a B.a f 34，即可判断出a>b.记g x =e x-2x,0<x<1，推理判断出b>c.【详解】a b=34e2525e34=e2525e3434.记f x =e xx,0<x<1，则f x =e x x-1x2<0，所以f x =e x x在0,1上单调递减.所以f 25 >f34 ，所以a>b.b-c=25e34-35=25e34-2×34.记g x =e x-2x,0<x<1，则g x =e x-2.所以在x∈0,ln2上，g x <0，则g x 单调递减；在x∈ln2,1上，g x >0，则g x 单调递增；所以g x min=g ln2=e ln2-2×ln2=21-ln2>0，所以g 34 >g x min>0，即b-c=25e34-2×34>0.所以b>c.综上所述：c<b<a.故选：C4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )A.e a-e b<ln a-ln bB.b ln a<a ln bC.b a>e a-bD.sin a-sin ba-b<1【答案】D【解析】由题设有a>b>0，分别构造y=e x-ln x、y=ln xx、y=xe x、y=x-sin x，利用导数研究在x∈(0,+∞)上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由2a>2b>1，即a>b>0，A：若y=e x-ln x且x∈(0,+∞)，则y =e x-1x，故yx=12=e-2<0，yx=1=e-1>0，即y 在12,1上存在零点且y 在(0,+∞)上递增，所以y在(0,+∞)上不单调，则e a-ln a<e b-ln b不一定成立，排除；B：若y=ln x x且x∈(0,+∞)，则y =1-ln xx2，所以(0,e)上y >0，y递增；(e,+∞)上y <0，y递减；故y在(0,+∞)上不单调，则ln aa<ln bb不一定成立，排除；C：若y=xe x且x∈(0,+∞)，则y =e x(x+1)>0，即y在(0,+∞)上递增，所以ae a>be b，即ba<e a-b，排除；D：若y=x-sin x且x∈(0,+∞)，则y =1-cos x≥0，即y在(0,+∞)上递增，所以a-sin a>b-sin b，即sin a-sin ba-b<1，正确.故选：D5.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e1.01，b=3e，c=ln3，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】分析可得a>2，b∈(1,2)，c∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，利用导数可得f(x)的单调性，根据函数单调性，可比较ln3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得a=e1.01>e1>2，b=3e∈(1,2)，c=ln3∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，则f (x)=1x-1e=e-xxe≤0，所以f(x)在[e,+∞)为减函数，所以f(3)<f(e)，即ln3-3e<ln e-ee=0，所以ln3<3e，则e1.01>3e>ln3，即a>b>c.故选：D6.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】A【解析】b=0.2e0.2=e0.2ln e0.2，令f x =x ln x，利用导数求出函数f x 的单调区间，令g x =e x-x-1，利用导数求出函数g x 的单调区间，从而可得出e0.2和1.2的大小，从而可得出a,b的大小关系，将b,c两边同时取对数，然后作差，从而可得出b,c的大小关系，即可得出结论.【详解】。

构造函数专练-最新,经典试题,通用

20、【答案】C令，，则．因为，所以，所以函数在上单调递增．易得，因为函数的定义域为，所以，解得，所以不等式等价于，即．又，所以，所以等价于．因为函数在上单调递增，所以，解得，结合可得．故不等式的解集是．故选C．2Biblioteka 、【答案】C ，则，，，
高谈阔论夸夸其谈口若悬河冷嘲热讽
【描写树木的词语】
树形优美高大笔直优雅自在勃勃生机
郁郁葱葱枝繁叶茂旁逸斜出
【AABB式词语】
从从容容安安全全飘飘荡荡断断续续
浩浩荡荡扭扭捏捏昏昏沉沉
【无A无B式词语】
无缘无故无边无际无声无息无忧无虑无法无天
【AABC式词语】
勃勃生机津津有味娓娓动听熠熠生辉
（2）若已知，可构造函数：分析问题；
（3）若已知，可构造函数：分析问题；
（4）若已知，可构造函数：分析问题.
14、【答案】A函数f(x)是定义在R上的单调增函数，f'(x)是f(x)的导函数，
所以，由＜x可得，即，
令，则，所以g(x)为增函数，所以g(2018)<g(2019)，即 < ，故选A.
，，则是增函数，，
，
即，，解得，故选 .
12、【答案】A令，则，
可设，，所以
解不等式，即，所以
解得，所以不等式的解集为故选：A
13、【答案】A由可得，
设，则，
，在上为减函数，又由，可得， .故选：A.
【点睛】
常见的利用导数的不等关系构造函数的类型：
（1）若已知，可构造函数：分析问题；
(戴)戒指(掏)耳朵(强硬)的曲线 (优美)的曲线

高中数学压轴题系列——导数专题——小题之构造函数解题

高中数学压轴题系列——导数专题——小题之构造函数解题类型一：x x f )(或)(x f x ⋅型构造1．（2015•新课标II ）设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）2．（2016•南充一模）函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （1）=0，当x ＜0时，xf ′（x ）+f （x ）＞0，则使得f （x ）＜0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）3．（2015•天津校级模拟）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （1）=0，f ′（x ）是f （x ）的导函数，当x ＞0时总有xf ′（x ）＜f （x ）成立，则不等式f （x ）＞0的解集为（）A ．{x|x ＜﹣1或x ＞1}B ．{x|x ＜﹣1或0＜x ＜1}C ．{x|﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1}D ．{x|﹣1＜x ＜1，且x ≠0}4．（2015•桂林校级模拟）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣1）=﹣1，且当x ＞0时，有xf ′（x ）＞f （x ），则不等式f （x ）＞x 的解集是（）A ．（﹣1，0）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）类型二：x e x f )(或)(x f e x ⋅型构造1．（2015•渝中区校级一模）已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f （x ）＜f ′（x ），且f （0）=2，则不等式的解集为（）A ．（﹣∞，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，2）D ．（2，+∞）2．（2015•合肥三模）定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）＞1且f （x ）+f ′（x ）＞1，f （0）=5，其中f ′（x ）是f （x ）的导函数，则不等式ln[f （x ）﹣1]＞ln4﹣x 的解集为（）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，0）类型三：n xx f )(或)(x f x n ⋅型构造1．（2015•鹰潭一模）设函数f （x ）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f ′（x ），且有3f （x ）+xf ′（x ）＞0，则不等式（x+2015）3f （x+2015）+27f （﹣3）＞0的解集（）A ．（﹣2018，﹣2015）B ．（﹣∞，﹣2016）C ．（﹣2016，﹣2015）D ．（﹣∞，﹣2012）2.（2017•湖北四模）设定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），若f （3）=1，且3f （x ）+xf′（x ）＞ln （x +1），则不等式（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2020）D．（2020，+∞）3．（2017•湖南一模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有xf′（x）＞x2+3f（x），则不等式8f（x+2014）+（x+2014）3f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2016）B．（﹣2018，﹣2016）C．（﹣2018，0）D．（﹣∞，﹣2018）4．（2016•朝阳二模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f （x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+6）2f（x+6）﹣f（﹣1）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，﹣7）C．（﹣7，0）D．（﹣7，﹣6）类型四：利用函数的奇偶性构造1．（2015•乌鲁木齐模拟）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）2．（2015•德阳模拟）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上，f′（x）＞x．若有f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）3．（2015•固原校级三模）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）4．（2015秋•重庆校级月考）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，且∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2sin2x，则以下大小关系一定不正确的是（）A．B．C．D．类型五：做商构造1．（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）2．（2015•山东模拟）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（2）=﹣2，f（1+x）=﹣f（1﹣x），则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）3．（2015•邢台模拟）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）4.（2015•兰州一模）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）类型六：做差构造1．（2015•怀化二模）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）2．（2015•南阳校级三模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2013，对任意x∈R都有f′（x）＜2x 成立，则不等式f（x）＜x2+2009的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）3．（2015•遵义校级模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x），则不等式f（x）＞的解集为（）A．（1，2）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，1）4．（2015•南市区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）5．（2015•郴州模拟）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）类型七需要换元求范围1．（2016•重庆模拟）设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为（）作商构造函数A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）2．（2015•淄博二模）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x 的解集为（）作差构造函数A．B．C．D．（10，+∞）3．（2015•绵阳校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对于任意的x，f′（x）恒成立，则不等式f（lg2x）＜+的解集为（）作差构造函数A．（0，）B．（10，+∞）C．（，10）D．（0，）∪（10，+∞）1．（2016•重庆校级模拟）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=logπ3•f（logπ3），c=log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a2．（2015•潍坊模拟）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b3．（2015•郑州三模）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＜2f（）sin1C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）4．（2015•文峰区校级一模）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）=f（2）D．f（1）=f（2）5．（2015•福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）构造函数结合排除法A．B．C．D．6．（2015•马鞍山一模）定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），且其导函数f′（x）满足＞0，则当2＜a＜4，有（）单调性与对称性结合比大小A．f（2a）＜f（log2a）＜f（2）B．f（log2a）＜f（2）＜f（2a）B．C．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）7．（2015•哈尔滨校级三模）已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时导函数满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）。

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æ
1 k -1 ÷ø
>
k k -1
【答案】C
【解析】试题分析：令 g( x) = f (x)- kx ，则 g (x' ) = ¢f( ) x- k> 0，因此
g
æ
k
1 -1
÷ø
>
g
(
)0
f
æ k
1 -
÷ø1-
k k-
>
f 1
(
)
0
f
æ
k
-
÷ø1>
k k1-
-
=
1 k1-
5．设定义在 R 上的函数 y = f (x) 满足任意t ÎR 都有 f (t + 2) =
f
1
(t
)
，且
x Î (0,4
] 时，
f ¢(x) >
f
(x)
x
，
则 f (2016),4 f (2017),2 f (2018) 的大小关系（）
A. 2 f (2018) < f (2016) < 4 f (2017) B. 2 f (2018) > f (2016) > 4 f (2017)
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g(x) = ex f (x)，
xf ¢(x) < f (x)构造 g ( x) =
f
(x)
x
，
xf ¢(x)+ f (x) < 0 构造 g (x) = xf (x) 等
3．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足 xf′(x)－f(x)＝xlnx，
【答案Байду номын сангаасD
【解析】设 h（x）=xf（x），
∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），
∵y=f（x）是定义在实数集 R 上的奇函数，
∴h（x）是定义在实数集R 上的偶函数，
当 x＞0 时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，
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'(
x)
-
6
x
<
-
1 2
,\
g
(
x
)
在
xÎ(-¥,0)
上是减函数，从而在
R
上是减函数，又
f ( m+ 2) £ f( -2 )m +1 2 m+1 2 -29m，等价于 f (m + 2) - 3(m + 2)2 £ f (-2m) -3 -(-2m)2 ，即
g ( m+ 2) £ g(
-2 )m , \ m+2
A. [-1, +¥)
B.
-
1 2
,
+¥
÷ø
C.
-
2 3
,
+¥
÷ø
D. [-2,+¥)
【答案】C
【解析】 f (x)- 3x2 + f (-x) -3x2 = 0 ,设 g (x) = f ( x) -3x2，则 g ( x) + g (-x) = 0,\g (x) 为奇函数，
又
g'(x) =
f
f
æ
1 e ÷ø
=
1 e
，则
f(x)(
)
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值
【答案】D
点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如 f ¢(x) - f ( x) 构造
g(x) =
f (x)
ex
，
f ¢( x) + f (x) 构造 g ( x) = xe (f ) ，x
C. 4 f (2017) < 2 f (2018) < f (2016) D. 4 f (2017) > 2 f (2018) > f (2016)
【答案】C
6．已知函数
f
(x)
在
æ
0
,p
2
÷ø
上单调递减，
f
'( x)
为
其
导函
数
，若
对任
意
x
Î
æ
0,p
2
÷ø
都有
f ( x) < f'( )x t a n，x 则下列不等式一定成立的是
xf ¢(x) - f (x)
构造
g(x) =
f (x)
x
，
xf ¢(x)+ f (x)构造 g (x) = xf (x) 等 4．设函数 f (x)在 R 上存在导函数 f ¢(x) ，对于任意实数 x ，都有 f (x) = 6x2 - f (-x)，当 x Î(-¥,0) 时，
2 f ¢(x) +1<12x 若 f (m+ 2) £ f (-2m) +12-9m2 ，则 m 的取值范围为（）
D. (0，1)∪(1，＋∞)
考点：函数性质综合应用
2．若定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (0) = -1，其导函数 f ¢(x) > k >1，则下列结论中一定错误的是（）
A.
f
æ
1 k
÷ø
<
1 k
B.
f
æ
1 k
÷ø
>
1 k -1
C.
f
æ
1 k -1 ÷ø
<
1 k -1
D.
f
8．已知定义域为 R 的奇函数 y = f (x) 的导函数为 y = f ¢(x) ，当 x 0 时，
f¢( x) +
f
(x)
x
> 0 ，若
a
=
1 2
f
æ
1 2
÷ø
，
b = - f (-1)，
c
=
l
n
1 2
f
æ
l
n
1 2
÷ø，则 a
，
b，
c 的大小关系正确的是（
）
A. a < b < c B. c < a < b C. b < c < a D. a < c < b
A. (-¥,1)
【答案】D
B. (1,+¥)
C. (0,+¥)
D. (-¥,0)
点睛：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
构造函数
一、单选题
1．设函数 f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0 时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得 f(x)>0
成立的 x 的取值范围是( )
A. (－∞，－1)∪(0，1) B. (－1，0)∪(1，＋∞)
C. (－∞，－1)∪(－1，0) 【答案】A
2-，m解得 m
-
2 3
，故选 C.
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅
助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标
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函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
A.
f
æ
p
3
÷ø
>
2
f
æ
p
6
÷ø
C.
f
æ
p
3
÷ø
>
6 2
f
æp
6 ÷ø
【答案】D
B.
f
æ
p
4
÷ø
>
6 2
f
æp
6 ÷ø
D.
f
æ
p
4
÷ø
>
3
f
æ
p
6
÷ø
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点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数g ( x) =
，1所以选 C. 1
考点：利用导数研究不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构
造辅助函数常根据导数法则进行：如 f ¢( x) <
f(
x) 构造 g ( x) =
f (x)
ex
，
f ¢(x)+ f (x) < 0 构造
f ( x) ，并利
sinx
用导数分析 g (x)的单调性．
7．已知定义在 R 上的函数 f (x），其导函数为 f ¢(x) ，若 f ¢(x)- f (x) < -3， f (0) = 4 ，则不等式
f (x) > ex +3的解集是（）