北师大版高一数学必修第一册无理数指数幂及其运算性质课件

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追问2 类似的，我们也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数 幂．你能设计一个方案来解释无理数指数幂 5 2 的意义吗？
根据 2 的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），利用 计算工具计算相应的5x， 5y的近似值，并填入下表．
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 …
对于实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把 任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数 幂的运算性质进行证明．请同学们课后自行完成．
北师大版高一数学必修第一册无理数 指数幂 及其运 算性质 课件（ 公开课 课件）
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例 计算下列各式（式中字母均是正数）
3
（1）3π27π ；
（2）
(
1 2
)
2 3
(
2)6 ； （3）
2e a
3
be
3
e
2b 3 ．
解：（1）3π27π 3π33π 3π3π 32π；
3
（2）
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 3
(
2)6
2 2
3 3
23
2
6 3
23
3
2
6
3；
（3）
2n 没有意义．因此我们限定a＞0这个条件．
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问题2 明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x 的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂 的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？
有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r， s，均有下面的运算性质．
（1）aras ars a 0，r，s Q；
展示GGB课件“4.1指数第二课时－数轴显示有理数指数幂逼近无理数 指数幂”
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追问4 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 2 3，说明 它也是一个确定的实数吗？
一般地，无理数指数幂 (a＞0，α为无理数)是一个确定的实数．这样， 我们就将指数幂 (a＞0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实 数．实数指数幂是一个确定的实数．
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追问4 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 2 3，说明 它也是一个确定的实数吗？
应当注意的是，在指数幂ax中，通常要限定a＞0这个条件．这是因为， 在实数范围内，只有正数的任何实数次幂才有意义．如果这里的底数 a＝0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果 这里的底数a＜0，那么指数就不能为 1（其中n为整数），否则仍然
11.180 339 887 9.829 635 328 9.750 851 807 9.739 872 620 9.738 618 643 9.738 524 601 9.738 518 332 9.738 517 861 9.738 517 752
…
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追问3 通过上表可以看出，当 2 的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼 近 2 时， 5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是 5 2 ．也就是说 5 2 是 一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼 近的结果，它是一个确定的实数．那么这个逐渐逼近的过程在数轴上是 怎么体现的呢？请同学们将上表中不同的5x和5y的值画到数轴的对应位 置上．
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追问：这些题目的求解过程与我们上节课的例4的求解有哪些异同？
例4中的指数都为有理数，本题的指数都为无理数，但是它们的运算 过程是一致的，都是按照实数指数幂的运算性质进行的．
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归纳小结
问题3 回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从 有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些 特点？
（1）在将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的过程中，我 们经历了从“不足近似值”和“过剩近似值”两个方向，用有理数指 数幂逼近无理数指数幂的过程．然后在数轴上表示这些“不足近似值” 和“过剩近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应 的数就是这个无理数指数幂．
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9.518 269 693 9.672 699 728 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 927 9.738 516 764 9.738 517 705 9.738 517 736
…
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563 …
无理数指数幂及其运算性质
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问题1 上节课我们将 ax (a＞0)中指数x的取值范围从整数拓展 到了有理数．那么，当指数x是无理数时， ax 还有没有意义？ 如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．
追问1 在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回 忆初中时，是如何确定无理数 2 的大小的？ 初中时，我们发现 2 的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有 理数），都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是 2 ，以此来 逐渐逼近 2 的精确值．
3
2ea
3
be
e
3e
e 3e
2b 3 (2 2 a 3be ) 3 (22 b 2 )
3e e
22 2
a3b
3e
3e 2
2e a3b
3e
2．
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（2） ar s ars a 0，r，s Q；
（3）abr arbr a 0，b 0，r Q．
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问题2 明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x 的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂 的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？