北师大版高一数学必修第一册无理数指数幂及其运算性质课件
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北师大版高中数学必修一课件3.1.1指数与指数幂的运算1
n a ( aZxxk 0) 成的形式。
特别注意：0的次方实数方根等于 0. n
n 1）一定表示一个正数吗？ 思考： a
n
为奇数时，它可为正、可为负、可为零。 n a n 为偶数时，它表示非负数。
n 2）中的一定是正数或非负数吗？ a a
0 aR 当为奇数时，它有意义的条件是。 n a 当为偶数时，它有意义的条件是； n
根式
问题情景
细 胞 分 裂
1 2 4
8
y 2x
指数
4 16
2
底
幂
4 ?
2
乘方运算
? 16
2
4和-4叫做16的平方根
开方运算
2 8
3
2叫做8的立方根
? 9
4
说一说
? 32
5
要求：用语言描述式子的含义
3称为9的四次实数方根 2 称为-32的五次实数方根
引入概念
? a
提高：
( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3) 3
2
3 3
5
5
( a) a
n n
(2) 2
2
4
5 5
4
4
(3 ) 3
4
n
a n a |a|
n为奇数
n为偶数
练习：求值
(1)( 0.1)
5 5
(2) (100)
3
2
3 3
3
27 8
64
2
3
2
2 2
4
9 64
4
4
观察：你能得到什么结论？
27 3 2 8
北师大版高中数学必修第一册 第三章 1-《指数幂的拓展》课件PPT
一种写法.
2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
3.0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.
2
1
4.这里的 是既约分数,即, 互素,否则式子可能会有歧义.例如(-8)6 与(-8)3 意义就不同,前者是一个正数,后
者是一个负数.
即时巩固
1.用根式表示下列各式:
(1)已知5
第三章
§1-2
指数幂的拓展
指数幂的运算性质
学习目标
1.通过对有理指数幂 ( > 0, 且 ≠ 1, , 为整数, 且 > 0)、实数指数幂( > 0, 且 ≠ 1, ∈ )
含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.
“整体法”求值时常用的变形公式如下:
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
(1) ± 2 + =( ± ) ;
1
2
1
2
(2) − =( + )( − );
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(3) + =( + )(- + );
1
2
1
2
(4) − =( − )( + + ).(其中 > 0, > 0)
8
−1
-
2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
3.0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.
2
1
4.这里的 是既约分数,即, 互素,否则式子可能会有歧义.例如(-8)6 与(-8)3 意义就不同,前者是一个正数,后
者是一个负数.
即时巩固
1.用根式表示下列各式:
(1)已知5
第三章
§1-2
指数幂的拓展
指数幂的运算性质
学习目标
1.通过对有理指数幂 ( > 0, 且 ≠ 1, , 为整数, 且 > 0)、实数指数幂( > 0, 且 ≠ 1, ∈ )
含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.
“整体法”求值时常用的变形公式如下:
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
(1) ± 2 + =( ± ) ;
1
2
1
2
(2) − =( + )( − );
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(3) + =( + )(- + );
1
2
1
2
(4) − =( − )( + + ).(其中 > 0, > 0)
8
−1
-
北师大版高一数学必修第一册《指数与指数幂的运算》PPT全文课件
北师大版高一数学必修第一册《指数 与指数 幂的运 算》PPT 全文课 件【完 美课件 】
新课讲授
根式
思考3: 一般地，当n为奇数时，实数a的n次方根存在吗？ 有几个？
思考4: 设a为实常数，则关于x的方程 x4=a，x6=a分别有 解吗？有几个解？
思考5: 一般地，当n为偶数时，实数a的n次方根存在吗？ 有几个？
1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
5 2 的过剩近似值 11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
北师大版高一数学必修第一册《指数 与指数 幂的运 算》PPT 全文课 件【完 美课件 】
新课讲授
无理数指数幂
思考2: 观察上面两个图表， 5 2 是一个确定的数吗？
思考3: 有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？
一般地，无理数指数幂a (a 0,是无理数) 是一个
确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数 指数幂。
北师大版高一数学必修第一册《指数 与指数 幂的运 算》PPT 全文课 件【完 美课件 】 北师大版高一数学必修第一册《指数 与指数 幂的运 算》PPT 全文课 件【完 美课件 】
新课讲授
无理数指数幂
思考1:我们知道 2 ＝1．414 21356…,那么 5 2 的大小如
何确定？
2 的过剩近似值 1.5 1.42 1.415
北师大版高一数学必修第一册《指数 与指数 幂的运 算》PPT 全文课 件【完 美课件 】
北师大版高中数学必修一课件3.1.1指数与指数幂的运算1.pptx
3 3 27
22 4
2 3 8
3 2 9
4 3 64
4 2 64
观察：你能得到什么结论？
3 3 27
3 3 27
2 3 8
2 3 8
4 3 64
4 3 64
x5 11
x 5 11
结论：当为n奇数时，正数的次a方根是一个正数，负
当为n 奇数时，它有意义的条件是。a R
提高：
( 2)2 2 (3 2)3 2 (5 3)5 3
(n a)n a
(2)2 2 4 54 5 4 (3 )4 3
n
an
a
n为奇数
| a | n为偶数
练习：求值
(1)(5 0.1)5
作业： Zxxk
课本48页习题2.2（1）第1题
选作题： 化简根式 3 2 2
(2) (100)2
(3)(6 1 3 ))6 (4)6 (1 3)6
(5) a2 4 ab 4b2 93
(a 6b)
思考题：
化简根式 7 2 10
因为 ( 2 5)2 5 2, ( 2 5)2 7 2 10 所以 7 2 10 5 2
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
根式
问题情景
细 胞 分 裂
1 2 4 8
y 2x
指数
42 16
底
幂
4 ? 2
乘方运算
?2 16 开方运算
4和-4叫做16的平方根
23 8
2叫做8的立方根
说一说
?4 9
22 4
2 3 8
3 2 9
4 3 64
4 2 64
观察：你能得到什么结论？
3 3 27
3 3 27
2 3 8
2 3 8
4 3 64
4 3 64
x5 11
x 5 11
结论：当为n奇数时，正数的次a方根是一个正数，负
当为n 奇数时，它有意义的条件是。a R
提高：
( 2)2 2 (3 2)3 2 (5 3)5 3
(n a)n a
(2)2 2 4 54 5 4 (3 )4 3
n
an
a
n为奇数
| a | n为偶数
练习：求值
(1)(5 0.1)5
作业： Zxxk
课本48页习题2.2（1）第1题
选作题： 化简根式 3 2 2
(2) (100)2
(3)(6 1 3 ))6 (4)6 (1 3)6
(5) a2 4 ab 4b2 93
(a 6b)
思考题：
化简根式 7 2 10
因为 ( 2 5)2 5 2, ( 2 5)2 7 2 10 所以 7 2 10 5 2
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（鼎尚图文*****整理制作）
根式
问题情景
细 胞 分 裂
1 2 4 8
y 2x
指数
42 16
底
幂
4 ? 2
乘方运算
?2 16 开方运算
4和-4叫做16的平方根
23 8
2叫做8的立方根
说一说
?4 9
高中数学北师大版必修1课件3.2.2 指数运算的性质精选ppt课件
an (5)(ab)n＝____b_n____________ (b≠0)．
(其中 m，n∈N＋)
2．实数指数幂的运算性质 (1)am·an＝_____a_m_＋_n_______；(2)(am)n＝_____a_m_n_______； (3)(ab)n＝_____a_n_b_n _____．
(其中 a>0，b>0，m，n∈R)
4
x4＋y4＝(x＋y)3
D. 4 4＝4 2
解析：对 A，ba5＝a－5b5；对 B，12 （－3）4＝12 34＝3 3；
11
对 C，令 x＝y＝1 知不成立；对 D， 4 4＝48＝24＝ 4 2， 故选 D.
3．计算－61－2＋160.75＝__4_4_____． 解析：原式＝－61－2＋24×34＝36＋8＝44.
4．若 x＜0，则|x|－ x2＝____0____．
在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，如果改
变等式成立的条件，则有可能不成立，如 a＝－2，b＝－4
1
1
1
1
时，(ab)2＝[(－2)×(－4)]2＝(－2)2×(－4)2则无意义．
探究点一 指数幂的化简
化简：(1) 3 ab2（ ab）3(a，b>0)；
[解] (1)原式＝1＋14×4912－110012
＝1＋16－110 ＝1165.
(2)原式＝29512＋110－2＋2674－23－3＋3478
＝53＋100＋196－3＋4387＝100.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)数的转化：①对幂底数是小数的先将小数化为分数，②分 数化最简，带分数化为假分数，③根式化分数指数幂，④幂 底数为负数的先确定幂的符号． (2)运算顺序：有括号先算括号内的，无括号先算指数运算.
(其中 m，n∈N＋)
2．实数指数幂的运算性质 (1)am·an＝_____a_m_＋_n_______；(2)(am)n＝_____a_m_n_______； (3)(ab)n＝_____a_n_b_n _____．
(其中 a>0，b>0，m，n∈R)
4
x4＋y4＝(x＋y)3
D. 4 4＝4 2
解析：对 A，ba5＝a－5b5；对 B，12 （－3）4＝12 34＝3 3；
11
对 C，令 x＝y＝1 知不成立；对 D， 4 4＝48＝24＝ 4 2， 故选 D.
3．计算－61－2＋160.75＝__4_4_____． 解析：原式＝－61－2＋24×34＝36＋8＝44.
4．若 x＜0，则|x|－ x2＝____0____．
在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，如果改
变等式成立的条件，则有可能不成立，如 a＝－2，b＝－4
1
1
1
1
时，(ab)2＝[(－2)×(－4)]2＝(－2)2×(－4)2则无意义．
探究点一 指数幂的化简
化简：(1) 3 ab2（ ab）3(a，b>0)；
[解] (1)原式＝1＋14×4912－110012
＝1＋16－110 ＝1165.
(2)原式＝29512＋110－2＋2674－23－3＋3478
＝53＋100＋196－3＋4387＝100.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)数的转化：①对幂底数是小数的先将小数化为分数，②分 数化最简，带分数化为假分数，③根式化分数指数幂，④幂 底数为负数的先确定幂的符号． (2)运算顺序：有括号先算括号内的，无括号先算指数运算.
高数数学必修一《4.1.2无理数指数幂及其运算性质》教学课件
例3 已知正实数a满足a＋a－1＝4，求下列各式的值；
1
2
−
1
2
1 a + a ；(2)a2＋a－2.
1
2
1
1
a−2)2＝a＋2＋a－1＝4＋2＝6，所以a2
1
−2
解析：(1)因为(a +
+ a ＝ 6.
(2)因为a＋a－1＝4，所以(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝16，所以a2＋a－2＝14.
的联系，把条件及所求式化简，将条件整体代入求值．
2+2+3−2 2 ＝25＝32.
2 3
＝29×32＝4 608.
学霸笔记：
无理数指数幂的运算方法
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2)在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变
形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若式子中含
有根式，一般把底数中的根式化为指数式．
微点拨❶
r
a
(1)因为ar÷as＝ s ＝ar·a－s＝ar－s，所以对于a＞0，r，s∈R.有ar÷as＝
a
ar－s成立．
(2)化简指数幂的几个常用技巧
b －p
a p
①( ) ＝( ) (ab≠0)；
a
b
1 m
②a＝ am
n
m
1
m n
，a ＝(a ) (a使式子有意义)；
−
1
2
1
2
1
2
③1的代换，如1＝a－1·a，1＝a ·a (a使式子有意义)等；
(2)指数幂ax(a>0)中x可以是任意实数．( √ )
3 5 3 是一个确定的实数．( √ )
1
2
−
1
2
1 a + a ；(2)a2＋a－2.
1
2
1
1
a−2)2＝a＋2＋a－1＝4＋2＝6，所以a2
1
−2
解析：(1)因为(a +
+ a ＝ 6.
(2)因为a＋a－1＝4，所以(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝16，所以a2＋a－2＝14.
的联系，把条件及所求式化简，将条件整体代入求值．
2+2+3−2 2 ＝25＝32.
2 3
＝29×32＝4 608.
学霸笔记：
无理数指数幂的运算方法
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2)在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变
形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若式子中含
有根式，一般把底数中的根式化为指数式．
微点拨❶
r
a
(1)因为ar÷as＝ s ＝ar·a－s＝ar－s，所以对于a＞0，r，s∈R.有ar÷as＝
a
ar－s成立．
(2)化简指数幂的几个常用技巧
b －p
a p
①( ) ＝( ) (ab≠0)；
a
b
1 m
②a＝ am
n
m
1
m n
，a ＝(a ) (a使式子有意义)；
−
1
2
1
2
1
2
③1的代换，如1＝a－1·a，1＝a ·a (a使式子有意义)等；
(2)指数幂ax(a>0)中x可以是任意实数．( √ )
3 5 3 是一个确定的实数．( √ )
高中数学必修一课件：第四章无理数指数幂及其运算性质
课后巩固
1.212×3136等于( D ) A．8 C．17
B．9 D．72
2．化简[(－ 3)2]－12的值等于( C )
A．－
3 3
B. 3
3 C. 3
D．－ 3
3．(3－2x)－34中的x的取值范围是( C )
A．(－∞，＋∞)
B.－∞，32∪32，＋∞
C.－∞，32
D.32，＋∞
2
2)3－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
3 (3)2
a÷46
ab·3
b3.
【解析】 (1)原式＝(0.33)13－52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13 ＋1＝64175.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－3ac. (3)原式＝2a13÷(4a16b16)·(3b32)＝12a13－16b－16·3b32＝32a16b43.
例2 化简： (1)(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)； (2)(x－2－y－2)÷(x2－y2)． 【解析】 (1)原式＝（a－（a－a1）－·a（－1a）＋2 a－1）＝aa－＋aa－－11＝aa22－ ＋11. (2)原式＝x12－y12÷(x2－y2)＝y2x－2y2x2÷(x2－y2)＝－x21y2＝－x－2y－2.
1．实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同吗？ 答：相同．
2．下列运算是否正确？ (1)(3 2) 2＝9；
πππ (2)a 3 ·a 6 ＝a 2 ； (3)(－2)2 2＝(－2)2·(－2) 2. 答：(1)(2)正确，(3)不正确．
北师大版高中数学必修1：指数运算的性质_课件2
n
① n a a (n>1,n∈N+),
②
n
an
a
a
（n为奇数） (n为偶数)
(n>1,n∈N+).
2.有理数指数幂运算性质
对任意的有理数 r, s,均有下面的运算性质：
（1）ar·as=ar+s （a>0, r, s ∈Q） （2）(ar)s=ars （a>0, r, s ∈Q ） （3）(a·b)r=arbr（a>0, b>0, r ∈Q ）
（3）(ab)r=arbr（a>0, b>0, r 是无理数 ）
三、实数指数幂的运算性质
对任意的实数 r, s, 均有下面的运算性质：
（1）ar·as=ar+s （a>0, r, s ∈R） （2）(ar)s=ars （a>0, r, s ∈R） （3）(a·b)r=arbr（a>0, b>0, r ∈R ）
指数运算的性质(一） 一、提出问题
1.已知 2 1.414 213 56，则1.41, 1.414, 1.414 2, 1.414 21, …是 2
的什么近似值？而1.42, 1.415, 1.414 3, 1.414 22, …是 2的什么近
似 是值2？不足近似值
是 2过剩近似值
1.4<1.41<1.414<1.414 2<…< 2 <…<1. 414 3<1.415<1.42<1.5
五、小 结
1.无理数指数幂的意义 一般地，无理数指数幂aα(a>0, α是无理数）是
一个确定的实数.
2.实数指数幂的运算性质 对任意的实数r, s, 均有下面的运算性质：
① n a a (n>1,n∈N+),
②
n
an
a
a
（n为奇数） (n为偶数)
(n>1,n∈N+).
2.有理数指数幂运算性质
对任意的有理数 r, s,均有下面的运算性质：
（1）ar·as=ar+s （a>0, r, s ∈Q） （2）(ar)s=ars （a>0, r, s ∈Q ） （3）(a·b)r=arbr（a>0, b>0, r ∈Q ）
（3）(ab)r=arbr（a>0, b>0, r 是无理数 ）
三、实数指数幂的运算性质
对任意的实数 r, s, 均有下面的运算性质：
（1）ar·as=ar+s （a>0, r, s ∈R） （2）(ar)s=ars （a>0, r, s ∈R） （3）(a·b)r=arbr（a>0, b>0, r ∈R ）
指数运算的性质(一） 一、提出问题
1.已知 2 1.414 213 56，则1.41, 1.414, 1.414 2, 1.414 21, …是 2
的什么近似值？而1.42, 1.415, 1.414 3, 1.414 22, …是 2的什么近
似 是值2？不足近似值
是 2过剩近似值
1.4<1.41<1.414<1.414 2<…< 2 <…<1. 414 3<1.415<1.42<1.5
五、小 结
1.无理数指数幂的意义 一般地，无理数指数幂aα(a>0, α是无理数）是
一个确定的实数.
2.实数指数幂的运算性质 对任意的实数r, s, 均有下面的运算性质：
高中数学北师大版必修一3.2.2【教学课件】《指数运算的性质》
( ab ) a b
n
n
a n an ( ) n b b
其中 m,n∈ N
北京师范大学出版社 | 必修一
探索新知
阅读课本,无理数 2 =1．414 213 562 373 095 048 801 688 724 210… 的不足近似值和过剩近似值,从两边逼近 2
1.4 1.41 1.414 1.4142 2 1.4143 1.415 1.42 1.5
得到 10
2
的近似值
2
101.4 101.41 101.414 101.4142 10
101.4143 101.415 101.42 101.5
10 2 应该是个确定的实数 10
2
25.9545535195
北京师范大学出版社 | 必修一
1.4 25.118 864 31... 1.41 25.703 957 82... 1.414 25.941 793 62... 1.414 2 25. 953 743 00... 1.414 21 25.954 340 62... … ...
31.622 776 60... 1.5 26.302 679 91... 1.42 26.001 595 63... 1.415 25.959 719 76... 1.414 3 25.954 938 25... 1.414 22 ... ...
例 3 已知 10
3,10 4, 求10 ， 10
+
， 10
2
， 10
5
解： 10
10 10 3 4 12
10
北师大版高中数学必修一3.2.2指数运算的性质课件
37 48
(x≠0).
64 -3
2
25 1 解 :(1)原式= + 2+ 9 27 0.1 5 9 37 = +100+ -3+ =100. 3 16 48 1 1 2 1 1 (2)原式=2������ 3 × ������ 3 -2������ 3 ×2������ 3 2 4 =1-4x-1=1- . ������
(2)∵
1 (������2
− ������
1 2=
-
1 2 )2=a+a-1-2=5-2=3,
∴ ∴
1 |������2 1 ������2
− ������
1 2 |=
3,
− ������
± 3.
(3)a3+a-3=(a+a-1)(a2-aa-1+a-2) =(a+a-1)(a2+2aa-1+a-2-3) =(a+a-1)[(a+a-1)2-3] =5×(25-3)=110.
1 2
37 -3+ 48
-7-
2.2 指数运算的性质
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
− ������ (3)a3+a-3. 分析:应设法寻找所求式子与条件a+a-1=5的联系,进而整体代入 求值.
1 (2)������2
-3-
2.2 指数运算的性质
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
课件2：4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
m
an＝
n
am中，
为什么必须规定 a>0?
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，
即n
m
am＝an＝0，无研究价值．
②若
m
a<0，an＝
n
3
am不一定成立，如(－2)2＝2
(－2)3无意义，
故为了避免上述情况规定了 a>0.
2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
2．已知
a＋
1 的值，如何求 a
a＋1a的值？反之呢？
提示：设 a＋ 1a＝m，则两边平方得 a＋1a＝m2－2；
反之若设 a＋a1＝n，则 n＝m2－2，∴m＝ n＋2.
即
a＋
1＝ a
n＋2.
例 3 已知 a12＋a－12＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
解：(1)将 a12＋a－12＝4 两边平方， 得 a＋a－1＋2＝16，故 a＋a－1＝14. (2)将 a＋a－1＝14 两边平方， 得 a2＋a－2＋2＝196，故 a2＋a－2＝194.
合作探究
类型 1 根式与分数指数幂的互化
例 1 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1) a a(a>0)；(2) 1 ；
3
x5 x22
(3)4
b－23－23(b>0)．
解Байду номын сангаас(1)原式＝
a·a12＝
a ＝ a ＝a . 3 2
3212
新教材北师大版高中数学必修一 3.2指数幂的运算性质 教学课件
题型三 条件求值问题
例2
已知
a
1 2
＋a
1 2
＝3(a>0)，求下列各式的值：
(1)a＋a－1； (2)a－a－1； (3)a3＋a－3.
解析：(1)将
a
1 2
＋a
1 2
＝3
两边平方，得
a＋a－1＋2＝9，
即 a＋a－1＝7.
(2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49.所以 a2＋a－2＝47.又
4a－2，a>3， 2
＝
4，－1≤a≤3， 22
2－4a，a<－12.
第十三页，共二十三页。
【方法小结】 对于含有字母的化简，一般用分数指数幂的形式表示，对于含有字 母的根式化简，被开方的式子符号不确定时要分类讨论．
第十四页，共二十三页。
跟踪训练 1 化简：
①
；
1 3
②(m 4 n 8 )8；
③(3 a2－
解析：原式＝(－43)
1
3 ＋(34)
1 4
＝－4
31 3
＋3
4 1 4
＝－4＋3＝－1.
答案：－1
第二十二页，共二十三页。
易错警示
1. 易错原因
忽视了(am)n＝amn 中的 a>0 这一约束条件，导致得到错误解法：
原式＝(－4)
3
1 3
＋(－3)
4 1
4 ＝－4＋(－3)＝－7.
2. 纠错心得
第二十页，共二十三页。
跟踪训练 2 已知 32a＋b＝1，则9a×3a3b＝________.
解析：9a×3a3b＝32a3×a 3b＝3
3 a+b 2
北师大版高一数学必修第一册无理数指数幂及其运算性质课件
新知探究
9.518 269 693 9.672 699 728 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 927 9.738 516 764 9.738 517 705 9.738 517 736
…
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563 …
无理数指数幂及其运算性质
新知探究
问题1 上节课我们将 ax (a＞0)中指数x的取值范围从整数拓展 到了有理数．那么，当指数x是无理数时， ax 还有没有意义？ 如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．
追问1 在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回 忆初中时，是如何确定无理数 2 的大小的？ 初中时，我们发现 2 的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有 理数），都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是 2 ，以此来 逐渐逼近 2 的精确值．
2n 没有意义．因此我们限定a＞0这个条件．
738 517 705
新知探究
738 517 705
答利案用： 计算（工2）具x，取探正究实下数列，实使数得指x的数值幂逐的渐变增化大规并律趋：向于无穷大，相应的指数幂 的值逐渐减小，并趋向于0．
问题2 明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂a 中指数x x 例一4般中地的，指无数理都数为指有数理幂数(，a＞本0题，的α为指无数理都数为)是无一理个数确，定但的是实它数们．的这运样算，过我程们是就一将致指的数，幂都是(a＞按0照)中实指数数指x数的幂取的值运范算围性从质整进数行逐的步．拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．
无理数指数幂及其运算性质 课件(34张)
23
1 D.
3 22
2．计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析： 答案：6
探究三 指数幂的运算
[例 3] 计算：
；
[解析] (1)原式＝
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为 分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进 行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
A．2m
B．2n
C．－2m
D．－2n
解析： m2＋2mn＋n2－ m2－2mn＋n2
＝ m＋n2－ m－n2
＝|m＋n|－|m－n|.
∵n<m<0，∴m＋n<0，m－n>0，
∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－m－n－m＋n＝－2m.
答案：C
探究二 根式与分数幂的转化 [例 2] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中 a>0)：
且
＞0，
∴
＝ 5.
二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题
常用指数幂的变换技巧
已知幂 目标指数
变换技巧
ak 差：k－1
除：aak＝ak－1
ak 和：k＋2
乘：ak·a2＝ak＋2
换元、乘方：令 ak＝t，
ak
倒数：1k
则
ak
积：3k
乘方：(ak)3＝a3k
[典例] 设 a，b，c 都是正数，且 3a＝4b＝6c，求证：2c＝2a＋1b.
[典例] 1.已知
＝3，求 a3＋a－3 的值．
[解析] ∵a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2＋a－2－1)，
指数幂的运算性质课件高一上学期数学北师大版
（《人民日报》2015年 4 月 1 日）
指数幂
一个细胞在进行细胞分裂，每20分钟分裂一次，一个细胞分裂可 以成两个，两个细胞可以分裂成4个……以此类推，
（1）一个小时之后，分裂成多少个细胞？ （2）两个小时之后，分裂成多少个细胞？ （3）n个小时之后，分裂成多少个细胞？
分裂1次，有2个细胞。 分裂2次，有4个细胞。 分裂3次，有8个细胞。 分裂4次，有16个细胞。
指数幂的运算性质
指数幂
“公众对于人工智能存在两种心态，一种是过度失望，认为进 展太慢了，与科幻电影呈现的相差太远;还有一种是过度乐观 而产生的焦虑：人工智能有朝一日会做得非常强大，甚至可以 自我复制，能力指数级增长，人类受到了生存的挑战怎么办?”
（《中国青年报》2015年 4 月 8 日）
“在大数据时代，人类产生的电子数据以每两年翻一番的增幅 爆炸式增长.人类在过去3 年间产生的数据总量超过了之前几千 年产生的数据总量，预测、分析这些海量数据面临巨大挑战. ”
指数幂
实数分类:
有理数 实 数
整数 分数
无理数
正整数
0 负整数
有理数指数幂
指数
幂
底数
n个
指数幂 运算法则:
指数幂
【例1】计算 1 64
根式
根式
根指数 被开方数
.
根式
指数幂
【例2】计算
指数幂
【例3】计算:
指数幂
【例4】计算:
指数幂
D
指数幂
C
指数幂
一个细胞在进行细胞分裂，每20分钟分裂一次，一个细胞分裂可 以成两个，两个细胞可以分裂成4个……以此类推，
（1）一个小时之后，分裂成多少个细胞？ （2）两个小时之后，分裂成多少个细胞？ （3）n个小时之后，分裂成多少个细胞？
分裂1次，有2个细胞。 分裂2次，有4个细胞。 分裂3次，有8个细胞。 分裂4次，有16个细胞。
指数幂的运算性质
指数幂
“公众对于人工智能存在两种心态，一种是过度失望，认为进 展太慢了，与科幻电影呈现的相差太远;还有一种是过度乐观 而产生的焦虑：人工智能有朝一日会做得非常强大，甚至可以 自我复制，能力指数级增长，人类受到了生存的挑战怎么办?”
（《中国青年报》2015年 4 月 8 日）
“在大数据时代，人类产生的电子数据以每两年翻一番的增幅 爆炸式增长.人类在过去3 年间产生的数据总量超过了之前几千 年产生的数据总量，预测、分析这些海量数据面临巨大挑战. ”
指数幂
实数分类:
有理数 实 数
整数 分数
无理数
正整数
0 负整数
有理数指数幂
指数
幂
底数
n个
指数幂 运算法则:
指数幂
【例1】计算 1 64
根式
根式
根指数 被开方数
.
根式
指数幂
【例2】计算
指数幂
【例3】计算:
指数幂
【例4】计算:
指数幂
D
指数幂
C
北师大版高中数学必修一课件3.1.3指数与指数幂的运算3
随着x的取值越来越接近于 2 , 2x 的值也越来越接近于一个实数，我们把 这个实数记为 2 2
⑵利用计算器，制作一个表格，观察并 说明无理指数幂 2 3 的含义. ⑶一般地，当 a 0 ，且x是一个无理数时，
a x 也是一个确定的实数，有理数指数幂
的运算性质对实数指数幂同样适用
10
① 5 a10 5 (a 2 )5 a 2 a 5
12
② 3 a12 3 (a 4 )3 a 4 a 3
2
2
③ 3 a 2 3 (a 3 )Z3xxk a 3 (a 0)
1
1
④ a (a 2 )2 a 2 (a 0)
⑤
5
5
4 a5 4 (a 4 )4 a 4 (a 0)
高中数学课件
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分数指数幂
1.整数指数幂概念Zxxk：
a n aa a (n N*)
n个a
a0 1 (a 0)
a n 1 (a 0, n N*) an
2.整数指数幂的运算性质：
⑴ a m a n a mn (m, n Z )
有理数，r, s均有下面的运算性质：
⑴ ar as ars (a 0, r, s Q)
⑵ (ar )s ars (a 0, r, s Q)
⑶ (ab)r ar br (a 0,b 0,r Q)
四、数学应用
1
例1、求值：⑴ 100 2
⑵
2
83
⑶
3
92
⑷
4
⑷化简：①
1 1 3
a 2 a 4 a 8 (a 0)
②(
x
1 2
课件3：4.1.1 n次方根与分数指数幂~4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
n 是奇数
a＞0 a＜0
x＞0xΒιβλιοθήκη 仅有一个x＜0 值，记为_n__a__
性质 n 是偶数
a＞0
x 有两个值，且互为 相反数，记为_±_n__a_
a＜0
x 在实数范围内不存在
名师点拨
0 的任何次方根都是 0，即n 0＝0. 2．根式
(1)定义：式子__n_a__叫做根式，这里 n 叫做__根___指__数___，
(只填序号)．
①－
1
x＝ ( x)2
(x＞0)；②6
y2＝
1
y3
(y＜0)；
③x－34＝ 4 1x3(x＞0)；
④x－13＝－3 x(x≠0)．
解析：对于①，－ x＝－x12，故①错误；对于②，当 y＜0 时，
6 y2＞0，y13＜0，故②错误；对于③，x－34＝
1
4 ＝
4 x3
1x3(x＞0)
故③正确；对于④，x－13＝ 1 ，故④错误．综上，故填③. 3x
3．分数指数幂的意义
正分数 指数幂
规定：amn＝_n__a_m_ (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
分数指 数幂
负分数 指数幂
1 规定：a－mn＝__a_mn __＝ 1
n am
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于__0___，0 的负分数指数
指数幂 幂__没__有__意__义__
21
＝aa－321··bb213÷(a－1－12b－12－1) －23
＝a23＋12b21－13÷(a－32b－32)－23
＝a76b16÷(ab)＝a76－1b16－1
＝a16b－56.
本课结束
新教材高中数学第3章指数运算与指数函数2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
× ( ) = ( )
(3) ( ) +
× ( ) ；
(− )
解：(1)
(2)
−
−
=
−×
×
−
× ( ) ； （3）( ) +
× −
−
− .
= − × − = − = ；
× = −+ = ；
−×
(3)4 2·
－
（ 4ab 1）3
－2
3
－3
(a>0，b>0).
1
2
0.1 （a b ）
[解]
1 421 1 21
1 1 16
(1)原式＝1＋4×9 －100 ＝1＋6－10＝15.
5
1
4
3
－
－
－
(2)原式＝0.4 －1＋(－2) ＋2 ＝ －1＋
幂的形式表示．
2．对于条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体
代换”或“求值后代换”两种方法求值．
3.在指数幂的运算中，一般都将根式化成分数指数进行运算，这
样便于利用指数运算性质进行运算，另外在运算过程中注意运算顺
序。
当指数是实数时，指数运算性质如下：
, 为正实数，, 为实数
∙ = + ,
= ,
∙ = ∙ .
1．用分数指数幂的形式表示 a3· aa>0的结果是( B )
A．a
5
2
B．a
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对于实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把 任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数 幂的运算性质进行证明．请同学们课后自行完成．
北师大版高一数学必修第一册无理数 指数幂 及其运 算性质 课件（ 公开课 课件）
北师大版高一数学必修第一册无理数 指数幂 及其运 算性质 课件（ 公开课 课件）
.750 851 807 9.739 872 620 9.738 618 643 9.738 524 601 9.738 518 332 9.738 517 861 9.738 517 752
…
新知探究
追问3 通过上表可以看出，当 2 的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼 近 2 时， 5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是 5 2 ．也就是说 5 2 是 一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼 近的结果，它是一个确定的实数．那么这个逐渐逼近的过程在数轴上是 怎么体现的呢？请同学们将上表中不同的5x和5y的值画到数轴的对应位 置上．
新知探究
9.518 269 693 9.672 699 728 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 927 9.738 516 764 9.738 517 705 9.738 517 736
…
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563 …
无理数指数幂及其运算性质
新知探究
问题1 上节课我们将 ax (a＞0)中指数x的取值范围从整数拓展 到了有理数．那么，当指数x是无理数时， ax 还有没有意义？ 如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．
追问1 在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回 忆初中时，是如何确定无理数 2 的大小的？ 初中时，我们发现 2 的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有 理数），都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是 2 ，以此来 逐渐逼近 2 的精确值．
展示GGB课件“4.1指数第二课时－数轴显示有理数指数幂逼近无理数 指数幂”
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新知探究
追问4 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 2 3，说明 它也是一个确定的实数吗？
一般地，无理数指数幂 (a＞0，α为无理数)是一个确定的实数．这样， 我们就将指数幂 (a＞0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实 数．实数指数幂是一个确定的实数．
3
2ea
3
be
e
3e
e 3e
2b 3 (2 2 a 3be ) 3 (22 b 2 )
3e e
22 2
a3b
3e
3e 2
2e a3b
3e
2．
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追问：这些题目的求解过程与我们上节课的例4的求解有哪些异同？
例4中的指数都为有理数，本题的指数都为无理数，但是它们的运算 过程是一致的，都是按照实数指数幂的运算性质进行的．
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2n 没有意义．因此我们限定a＞0这个条件．
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问题2 明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x 的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂 的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？
有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r， s，均有下面的运算性质．
（1）aras ars a 0，r，s Q；
新知探究
例 计算下列各式（式中字母均是正数）
3
（1）3π27π ；
（2）
(
1 2
)
2 3
(
2)6 ； （3）
2e a
3
be
3
e
2b 3 ．
解：（1）3π27π 3π33π 3π3π 32π；
3
（2）
1 2
2 3
(
2)6
2 2
3 3
23
2
6 3
23
3
2
6
3；
（3）
归纳小结
问题3 回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从 有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些 特点？
（1）在将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的过程中，我 们经历了从“不足近似值”和“过剩近似值”两个方向，用有理数指 数幂逼近无理数指数幂的过程．然后在数轴上表示这些“不足近似值” 和“过剩近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应 的数就是这个无理数指数幂．
新知探究
追问2 类似的，我们也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数 幂．你能设计一个方案来解释无理数指数幂 5 2 的意义吗？
根据 2 的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），利用 计算工具计算相应的5x， 5y的近似值，并填入下表．
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 …
（2） ar s ars a 0，r，s Q；
（3）abr arbr a 0，b 0，r Q．
北师大版高一数学必修第一册无理数 指数幂 及其运 算性质 课件（ 公开课 课件）
新知探究
问题2 明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x 的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂 的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？
北师大版高一数学必修第一册无理数 指数幂 及其运 算性质 课件（ 公开课 课件）
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追问4 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 2 3，说明 它也是一个确定的实数吗？
应当注意的是，在指数幂ax中，通常要限定a＞0这个条件．这是因为， 在实数范围内，只有正数的任何实数次幂才有意义．如果这里的底数 a＝0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果 这里的底数a＜0，那么指数就不能为 1（其中n为整数），否则仍然