李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社
李庆扬 数值分析第五版 习题答案
第2章 复习与思考题01ii i ii kx x x x 的基函数称为主要性质有 0,()1,k i kx i k()1n l x、什么是牛顿基函数？它与单项式基答：牛顿差值基函数为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n 牛顿差值基函数中带有常数项01,,...n x x x ，这有单项式基不同。
阶均差？它有何重要性质 01n 2n 01n 2n -11[,,...,,][,,...,,]n n f x x x f x x x x x xk j 0j 0j-1j j+1j -k x x x x x x x （）...()()...()和k 阶均差的性质0101k-10[,,...,][,,...,]k kf x x x f x x x x x （分子前项多xk ）[a,b]上存在阶导数，且节点2n ,[a,b]x ，则1()!f n0()nn n ik k kk k i i ki kx x y l x y x x ，(j 1,2,....,n)个点的牛顿插值多项式01[,,...,]k f x x x ,(k 1,2,....,n)两者的主要差异是未知数不一致。
拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。
牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。
与一般多项式基本相同。
y ，其中系数矩阵用下列基底作多项式插值时，120001211112222121...1...1 (1)...n n n n n nnx x x x x x x x x x x x ，无非零元素。
）拉格朗日基底为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，已知数为未知数为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，则系数矩阵为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n ，已，未知数为012{,,,...,}n a a a a ，则系数矩阵为102020211010100...010...01()()...0...............1()()...()n nnnnj j x x x x x x x x x x x x x x x x ，为下三角矩阵，矩阵的上三角元0。
李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)
2h
A1
A0
A1
0 hA1 hA1
2
3
h3
h2 A1
h2 A1
2h A1 A0 A1
解出
A1
1 3 4
h
A0
3
h
A1
1 3
h
令 f (x) x3 ，
有 h (h)3 4h 03 h h3 1 h4 1 h4 0 h x3dx 0
3
3
3
33
h
令 f (x) x4 ，
0 1 x4
1 x3dx
1
f (x)dx
4
1
1
有 [ f (1) 2 f (-0.6899) 3 f (0.2899)] / 3
[1 2 -0.68993 3 0.28993] / 3
-0.52788
因此，具有 2 次代数精度。
4) h f (x)dx h[ f (0) f (h)]/ 2 ah2[ f (0) f (h)] 0
1） 正确 2） 错误 3） 错误，是衡量计算准确度的一个指标 4） 正确 5） 错误，可以通过变化使得计算时区间在[-1,1]上。 6） 错误，典型的例子是，当 n 为偶数时，牛顿-柯斯特公式至少为 n+1 阶代数精度。 7） 错误。梯形公式，代数精度为 1，两点高斯公式代数精度为 3 8） 正确 9） 错误。龙贝格精度为 2n，牛顿-柯特斯精度最大为 n+1 10） 错误。
设 f (x) 1, x, x2 ，有
4h
A1
A0
A1
0 hA1 hA1
16 3
h3
h2 A1
h2 A1
4h A1 A0 A1
解出
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12）之阳早格格创做1、设0>x ，x 的相对付缺面为δ，供x ln 的缺面.[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对付缺面为δε=)(*x r ，千万于缺面为**)(x x δε=，进而xln 的缺面为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对付缺面为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==.2、设x 的相对付缺面为2%，供n x 的相对付缺面.[解]设*x 为x 的近似值，则有相对付缺面为%2)(*=x r ε，千万于缺面为**%2)(x x =ε，进而nx 的缺面为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对付缺面为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε.3、下列各数皆是通过四舍五进得到的近似数，即缺面不超出末尾一位的半个单位，试指出它们是几位灵验数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x .[解]1021.1*1=x 有5位灵验数字；0031.0*2=x 有2位灵验数字；6.385*3=x 有4位灵验数字；430.56*4=x 有5位灵验数字；0.17*5⨯=x 有2位灵验数字.4、利用公式（3.3）供下列各近似值的缺面限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数.（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x . [解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k kεεε. 5、预计球体积要使相对付缺面限为1%，问度量半径R 允许的相对付缺面是几？ [解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知，)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=， 进而***31%1)(R R ⨯=ε，故300131%1)()(*****=⨯==RR R r εε.6、设280=Y ，按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 预计到100Y ，若与982.27783≈（五位灵验数字，）试问预计100Y 将有多大缺面？[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，而且由982.2710011⨯-=-n n Y Y ，78310011⨯-=-n n Y Y 可知， )783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ，即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，进而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，而31021982.27783-⨯≤-，所以3100*1021)(-⨯=Y ε. 7、供圆程01562=+-x x 的二个根，使它起码具备四位灵验数字（982.27783≈）[解]由78328±=x 与982.27783≈（五位灵验数字）可知，982.55982.2728783281=+=+=x （五位灵验数字）.而018.0982.2728783282=-=-=x ，惟有二位灵验数字，不切合题意.然而是22107863.1982.55178328178328-⨯==+=-=x .8、当N 充分大时，何如供⎰++1211N N dx x？ [解]果为N N dx xN Narctan )1arctan(1112-+=+⎰+，当N 充分大时为二个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，进而11)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα，果此11arctan 11212++=-=+⎰+N N dx x N Nβα. 9、正圆形的边少约莫为100cm ，应何如丈量才搞使其里积缺面不超出12cm ?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若央供1))((2**=l ε，则2001100212))(()(*2****=⨯==l l l εε，即边少应谦脚2001100±=l .10、设221gt S =，假定g 是准确的，而对付t 的丈量有1.0±秒的缺面，道明当t 减少时S 的千万于缺面减少，而相对付缺面却缩小.[道明]果为******1.0)()()()(gt t gt t dtdS S ===εεε，***2******51)(2)(21)()()(t t t t g t gt S S S r====εεεε，所以得证.11、序列{}n y 谦脚递推闭系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位灵验数字），预计到10y 时缺面有多大？那个预计历程宁静吗？[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由⎪⎩⎪⎨⎧-==-110210n ny y y 与 ⎩⎨⎧-==-11041.110n n y y y 可知，20*1021)(-⨯=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-，进而82100*1010*1021102110)(10)(⨯=⨯⨯==-y y εε，果此预计历程不宁静. 12、预计6)12(-=f，与4.12≈，利用下列公式预计，哪一个得到的截止最佳？6)12(1+，3)223(-，3)223(1+，27099-.[解]果为1*1021)(-⨯=f ε，所以对付于61)12(1+=f ，2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字； 对付于32)223(-=f ，1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯-='=e f f e ，不灵验数字； 对付于33)223(1+=f ，2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字；对付于270994-=f ，111*44*10211035102170)4.1()(⨯<⨯=⨯⨯='=--e f f e ，不灵验数字. 13、)1ln()(2--=x x x f ，供)30(f 的值.若启仄圆用六位函数表，问供对付数时缺面有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 预计，供对付数时缺面有多大？[解]果为9833.298991302==-（六位灵验数字），4*1021)(-⨯=x ε，所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(---⨯=⨯⨯-=⨯⨯---='=x e f f e ，6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(---⨯=⨯⨯+=⨯⨯-+-='=x x x e f f e .14、试用消元法解圆程组⎩⎨⎧=+=+2101021102101x x x x ，假定惟有三位数预计，问截止是可稳当？[解]透彻解为110210,110101*********--=-=x x .当使用三位数运算时，得到1,121==x x ，截止稳当.15、已知三角形里积c ab s sin 21=，其中c 为弧度，20π<<c ，且丈量a ，b ，c 的缺面分别为c b a ∆∆∆,,，道明里积的缺面s ∆谦脚cc b b a a s s ∆+∆+∆≤∆. [解]果为c c ab b c a a c b x x f s nk k k ∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos 21sin 21sin 21)()(1， 所以cc b b c c c c b b c c c ab cc ab b c a a c b ss ∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tan sin 21cos 21sin 21sin 21. 第二章 插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德受止列式，令⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----nn n n n nn n x x xx xx x x x x x x x V21211020110111),,,,(，道明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V .[道明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--⋅=-⋅-=1110111010110)(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得供证.2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，供)(x f 的二次插值多项式.[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L .3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值预计54.0ln 的近似值.[解]若与5.00=x ，6.01=x ， 则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则 604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，进而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L . 若与4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ， 693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，进而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L .4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表，步少 )60/1(1='=h ，若函数具备5位灵验数字，钻研用线性插值供x cos 近似值时的总缺面界.[解]设插值节面为h x x x x +=<<010，对付应的x cos 值为10,y y ，函数表值为10,y y ，则由题意可知，5001021-⨯≤-y y ，5111021-⨯≤-y y ，近似线性插值多项式为01011011)(x x x x y x x x x y x L --+--=，所以总缺面为()100101110100100101110100101111,,)()())((2cos )()())((!2)()()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---=---+---+--''=-+-=-=ξξξ，进而55555201051015100101110100101047.310211094.621102114400121102142110211021))((21))((cos 21)(-------⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+≤--⨯⨯+--⨯⨯+---≤---+---+--≤h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ.5、设3,2,1,0=+=k kh x x k，供)(max 220x l x x x ≤≤.[解])3)()((max 21)()2()3)()((max))()(())()((max)(max 000300032120231023033030h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l xx x xx x x x x x x x -----=------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤.令)34()383()43()3)()(()(0220302020203000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=，则)383()43(23)(202002h h x x x h x x x f ++++-='，进而极值面大概为 hx h h x h h x x h x h x x 37437)43(6)383(12)43(4)43(2002020200±+=±+=++-+±+=，又果为30)20714(271375371374)374(h h h h h x f -=--⨯-⨯-=-+， 30)71420(271357371374)374(h h h h h x f +-=-⨯+⨯+=++， 隐然)374()374(00h x f h x f ++≤-+，所以277710)71420(27121)374(21)(max 3303230+=+=++=≤≤h h h x f h x l x x x . 6、设),,1,0(n j x j=为互同节面，供证：1）),,1,0()(0n k x x l x kn j j k j =≡∑=；2）),,2,1()()(0n k x x l x x knj j k j =≡-∑=；[解]1）果为左侧是k x 的n 阶推格朗日多项式，所以供证创制. 2）设k x y y f )()(-=，则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶推格朗日多项式，令x y =，即得供证.7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ，供证)(max )(81)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤. [解]睹补充题3，其中与0)()(==b f a f 即得.8、正在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节面函数表，若用二次插值供x e 的近似值，要使截断缺面不超出610-，问使用函数表的步少h 应与几？[解]由题意可知，设x 使用节面h x x -=10，1x ，h x x +=12举止二次插值，则插值余项为()201112102,)],()[)](([6))()((!3)()(x x h x x x x h x x ex x x x x x f x R ∈+----=---'''=ξξξ，令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=，则)3(63)(22112h x x x x x f -+-='，进而)(x f 的极值面为h x x 331±=，故3932)331()331(33)(max2h h h h x f xx x =-⋅+⋅=≤≤，而 343422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ，要使其不超出610-，则有63410273-≤h e ，即22226210472.010389.74863.310243---⨯=⨯≈⨯≤ee h . 9、若n n y 2=，供n y 4∆及n y 4δ.[解]nn n n n n nn n n n n n n n n j jn j j n j jn n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(123441322314040440444=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆++++++++=-+=-∑∑.22221221122413211204024024021)4(2142121422282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j jn j j n j j j njj jn n y y y y y y j y E j y E Ej y E E y δ. 10、如果)(x f 是m 次多项式，记)()()(x f h x f x f -+=∆，道明)(x f 的k 阶好分)0()(m k x f k ≤≤∆是k m -次多项式，而且0)(=∆+x f l m （l 为正整数）.[道明]对付k 使用数教归纳法可证. 11、道明k k k k k k g f g f g f ∆+∆=∆+1)(. [道明]kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ∆+∆=-+-=-+-=-=∆++++++++++1111111111)()()(.12、道明∑∑-=+-=∆--=∆11001n k k k n n n k kk f g g f g f g f .[道明]果为01111111111011)()]()([)(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g fn n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k-=-=-+-=∆+∆=∆+∆∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=，故得证.13、道明：0102y y y n n j j∆-∆=∆∑-=.[道明]01112)(y y y y y n n j j j n j j ∆-∆=∆-∆=∆∑∑-=+-=.14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个分歧真根n x x x ,,,21 ，道明⎩⎨⎧-=-≤≤='-=∑1,20,0)(11n k a n k x f x n nj j k j. [道明]由题意可设∏=-=---=ni i n n n x x a x x x x x x a x f 121)()())(()( ，故∏≠=-='nji i i j n j x x a x f 1)()(，再由好商的本量1战3可知：)!1()(1],,[1)()()1(1111-==-='-=≠==∑∏∑n x a x x x a x x a x xf x n k n n k n nj nj i i i j n k jnj j k j，进而得证.15、道明n 阶均好有下列本量：1）若)()(x cf x F =，则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =； 2）若)()()(x g x f x F +=，则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=.[道明]1）],,,[)()()()()()(],,,[1000000010n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj n x x x cf x xx f c x xx cf x xx F x x x F =-=-=-=∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠=.2）],,,[],,,[)()()()()()()()()(],,,[10100000000010n n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj j nj nji i i jj n x x x g x x x f x xx g x xx f x xx g x f x xx F x x x F +=-+-=-+=-=∑∏∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠==≠=.16、13)(47+++=x x x x f ，供]2,,2,2[71f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f . [解]1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，]2,,2,2[810 f .17、道明二面三次埃我米特插值余项是()1212)4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ，并由此供出分段三次埃我米特插值的缺面限. [解]睹P30与P33，缺面限为k nk f h h '+≤≤0max 278)(ω. 18、XXXXXXXXXX ．19、供一个次数不下于4次的多项式)(x P ，使它谦脚0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P .[解]设1223344)(a x a x a x a x a x P ++++=，则122334234)(a x a x a x a x P +++='，再由0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P 可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++==+++='=++++==='===012341234012*********)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-===432141234900aa a a a .进而4)3()96(4492341)(2222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P .20、设],[)(b a C x f ∈，把[]b a ,分为n 仄分，试构制一个台阶形的整次分段插值函数)(x n ϕ，并道明当∞→n 时，)(x n ϕ正在[]b a ,上普遍支敛到)(x f .[解]令n i x f x f x ii ii x x x x x xi ,,3,2,1,2)(inf)(sup )(11 =+=≤≤≤≤--ϕ.21、设)1/(1)(2x x f +=，正在55≤≤-x 上与10=n ，按等距节面供分段线性插值函数)(x I h ，预计各节面中面处的)(x I h 与)(x f 的值，并预计缺面.[解]由题意可知，1=h ，进而当[]1,+∈k k x x x 时，)(])1(1[1)()1(1)1(1111)(2121211211k k kk k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++--+=+=++++++.22、供2)(x x f =正在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ，并预计缺面.[解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时， 进而缺面为))(())((!2)()(112++--=--''=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故4))(()(212h x x x x x R k k ≤--=+.23、供4)(x x f =正在[]b a ,上的分段埃我米特插值，并预计缺面. [解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时，)(4)(42121)()(121312113112141121141111++++++++++++++++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='+'++=k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk kk k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα，进而缺面为212212)4(2)()()()(!4)()(++--=--=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故16)()()(42122h x x x x x R k k ≤--=+.24、给定数据表如下：试供三次样条函数)(x S ，并谦脚条件： 1）6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ； 2）0)53.0()25.0(=''=''S S .[解]由05.025.030.00=-=h ，09.030.039.01=-=h ，06.039.045.02=-=h ，08.045.053.03=-=h ，及（8.10）式)1,,1(,,111-=+=+=---n j h h h h h h jj j j jj j j μλ可知，14909.005.009.01011=+=+=h h h λ，5206.009.006.02122=+=+=h h h λ，7408.006.008.03233=+=+=h h h λ，14509.005.005.01001=+=+=h h h μ，5306.009.009.02112=+=+=h h h μ，7308.006.006.03223=+=+=h h h μ，由（8.11）式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j jμλ可知，7541.2700019279)900768145500477149(3)30.039.05477.06245.014525.030.05000.05477.0149(3])()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.413.2100046332564)6004635390076852(3)39.045.06245.06708.05330.039.05477.06245.052(3])()(53)()(52[3]),[],[(3232312123222122=⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.0814.27001457140011894634)8004727360046374(3)45.053.06708.07280.07339.045.06245.06708.074(3])()(73)()(74[3]),[],[(3343423234333233==⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.进而1）矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.11497541.227405325201452321m m m ，解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6570.08278.09078.0321m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.2）此为自然鸿沟条件，故862.2500477325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=⨯=--⨯=--⨯==x x x f x f x x f g ；145.2800572345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=⨯=--⨯=--⨯==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ，矩阵形式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡145.20814.2413.27541.2862.227400732740005325200014521490001243210m m m m m ，不妨解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210m m m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.25、若],[)(2b a C x f ∈，)(x S 是三次样条函数，道明 1）⎰⎰⎰⎰''-''''+''-''=''-''babababadx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222；2）若),,1,0()()(n i x S x f i i ==，式中ix 为插值节面，且b x x x a n =<<<= 10则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S ba '-'''-'-'''=''-''''⎰.[解]1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''bababab a ba b ababadxx S dx x f dxx S x f dx x S x f x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([.2）由题意可知，[]b a x A x S ,,)(∈='''，所以)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dxx S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a b ab ab aba'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''⎰⎰⎰.补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并预计插值余项.[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---，余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R ， 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ. 2、设4)(x x f =，试利用推格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节面的三次插值多项式. [解]由插值余项定理，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ，进而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=.3、设)(x f 正在[]b a ,内有二阶连绝导数，供证：)(max )(81)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a bx a ''-≤---+-≤≤≤≤.[证]果为)()()()(a x ab a f b f a f ---+是以a ，b 为插值节面的)(x f 的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：))()((21)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ，进而)(max )(81)(41)(max 21))((max )(max 21)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a ba b x a ''-=-⋅''=--⋅''≤---+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ.4、设15)(37++=x x x f ，供好商]2,2[10f ，]2,2,2[210f ，]2,,2,2[710 f 战]2,,2,2[810 f .[解]果为7)1()2(0==f f ，1691252)2()2(371=+⨯+==f f ，167051454)4()2(372=+⨯+==f f ，所以162716912)1()2(]2,2[10=-=--=f f f ，826821691670524)2()4(]2,2[21=-=--=f f f ，27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[02102121=-=--=f f f ， 1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(810===ξf f .5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，供4次牛顿插值多项式，并写出插值余项. [解]由好商表可得4次牛顿插值多项式为：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R .6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ，试预计出此列表函数的好分表，并利用牛顿背前插值公式给出它的插值多项式. [解]构制好分表：由好分表可得插值多项式为：32)1(3322)1(332)1()(2020004++=-++=⨯-++=+∆-+∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N .第三章 函数迫近与预计（80-82）1、（a ）利用区间变更推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式；（b ）对付x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上供1次战3次伯恩斯坦多项式并绘出图形，并与相映的马克劳林级数部分战缺面搞出比较. [解]（a ）令t a b a x )(-+=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑=-=nk k n x P n k a b f x f B 0)())((),(，其中kn k k x a b x k n x P ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(. （b ）令t x 2π=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑==nk k n x P n kf x f B 0)()2(),(π，其中k n k k x x k n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()(π. xx x x x x x f x x f x P kf x f B k k =+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(010101πππππππ；3223323223223223312213033)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()2(13)6()2(03)0()()6(),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P kf x f B k k ----=+-++-=+-+-=⨯+-⨯+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=πππππππππππππππππππππ.2、供证：（a ）当Mx f m ≤≤)(时，M x f B m n ≤≤),(；（b ）当x x f =)(时，x x f B n =),(.[道明]（a ）由∑==nk k n x P nk f x f B 0)()(),(及Mx f m ≤≤)(可知，∑∑∑∑====≤≤≤≤nk k nk k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0)()(),()()(，而1)]1([)1()(00=-+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑=-=nnk k n k nk k x x x x k n x P ，进而得证. （b ）当x x f =)(时，xx x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k nk kn k f nk kn k nk k n =-+=----=------=--⨯==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--=--=----=-==-=∑∑∑∑∑110)1(1)1()1(110)0(00)]1([)1()!1(!)!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(.3、正在次数不超出6的多项式中，供x x f 4sin )(=正在[]π2,0的最佳普遍迫近多项式.[解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知，14sin 1≤≤-x ，进而最小偏偏好为1，接错面为ππππππππ815,813,811,89,87,85,83,8，此即为6)(H x P ∈的切比雪妇接错面组，进而)(x P 是以那些面为插值节面的推格朗日多项式，可得0)(=x P .4、假设)(x f 正在[]b a ,上连绝，供)(x f 的整次最佳普遍迫近多项式.[解]令)(infx f m bx a ≤≤=，)(sup x f M bx a ≤≤=，则2)(mM x f +=正在[]b a ,上具备最小偏偏好2m M -，进而为整次最佳迫近一次多项式.5、采用常数a ，使得ax x x -≤≤310max 达到极小，又问那个解是可唯一？[解]果为ax x -3是奇函数，所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤311310max max ，再由定理7可知，当)34(4141333x x T ax x -==-时，坐即43=a ，偏偏好最小.6、供x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最佳一次迫近多项式，并预计缺面.[解]由πππ22sin 2sincos )()()(221=--=='=--=x x f ab a f b f a 可得π2arccos2=x ，进而最佳一次迫近多项式为ππππππππππππ2arccos1242)2arccos 21(224)22arccos0(2)]2sin(arccos 0[sin 21)2()]()([2122212--+=-+-=+-++=+-++=x x x x a x a x f a f y 7、供x e x f =)(正在[]1,0上的最佳一次迫近多项式.[解]由101)()()(01212-=--=='=--=e e e e xf a b a f b f a x 可得)1ln(2-=e x ，进而最佳一次迫近多项式为)1ln(212)1()]1ln(21)[1(2)2)1ln(0)(1(][21)2()]()([21)1ln(0212---+-=---+=-+--++=+-++=-e e e x e e x e e e x e e e x a x a x f a f y e .8、怎么样采用r ，使r x x p +=2)(正在[]1,1-上与整偏偏好最小？r 是可唯一？[解]由r r x x p x x +=+=≤≤-≤≤-1)(max )(max 21111，r r x x p x x =+=≤≤-≤≤-)(min )(min 21111可知当与整偏偏好最小时，r r =+1，进而21-=r .另解：由定理7可知，正在[]1,1-上与整偏偏好最小的二次多项式为21)12(21)(21222-=-=x x x T ，进而21-=r .9、设13)(34-+=x x x f ，正在[]1,0上供三次最佳迫近多项式. [解]设所供三次多项式为)(3x P ，则由定理7可知81)188(81)(21)()(2424433+-=+-==-x x x x x T x P x f ，进而893)81()13()81()()(232434243-+=+---+=+--=x x x x x x x x x f x P .10、令[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n ，供)(*0x T 、)(*1x T 、)(*2x T 、)(3x T . [解]由[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n 可知，令[]1,1,211-∈+=t t x ，则[]1,1),()121(-∈=+t t T t T n n ，进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=1,21),121(21,1),()(00*x x T x x T x T n . 11、试证{})(*x T n 是正在[]1,0上戴权21xx -=ρ的正接多项式.？12、正在[]1,1-上利用插值极小化供x x f arctan )(=的三次近似最佳迫近多项式.[解]由题意可知，插值节面为)3,2,1(,812cos =-k k π，即ππππ87cos ,85cos ,83cos ,81cos 4321====x x x x ，则可供得)(3x L .13、设x e x f =)(正在[]1,1-上的插值极小化近似最佳迫近多项式为)(x L n ，若∞-nL f 有界，道明对付所有1≥n ，存留常数n n βα,，使得)11()()()()(11≤≤-≤-≤++x x T x L x f x T n n n n n βα.[道明]由题意可知，[]1,1),()!1(2)()()(1)1(-∈+=-++ξξx T n f x L x f n n n n ，进而与)!1(2)(min )1(11+=+≤≤-n x f nn x n α，)!1(2)(max )1(11+=+≤≤-n x f n n x n β，则可得供证.14、设正在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ落矮到3次多项式并预计缺面.[解]果为x x T x 16545161355-+=，8181244-+=x T x ，所以323232307254510241234096199310241029)16545(3840165)81(3841524381211)(~x x x x x x x x x x ---=-------=ϕ，缺面为0056.040962381384016516138415)(~)(≈=+≤-x x ϕϕ.15、正在[]1,1-利用幂级数项数俭朴供x x f sin )(=的3次迫近多项式，使缺面不超出0.005.[解]果为 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n ，与前三项，得到!5!3)(535x x x x L +-=，缺面为0002.0!71)(sin 5≈≤-x L x ，又果为 x x T x 16545161355-+=，所以3次迫近多项式为3333227384383)16545(!51!3sin x x x x x x x +-=-+-=，此时缺面为005.010986.71611201!714<⨯≈⨯+-. 16、)(x f 是[]a a ,-上的连绝奇（奇）函数，道明不管n 是奇数大概奇数，)(x f 的最佳迫近多项式n n H x F ∈)(*也是奇（奇）函数. [解])(x f 的最佳迫近多项式是由切比雪妇多项式得到的，再由切比雪妇多项式的本量4即得.17、供a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小，并与1题及6题的一次迫近多项式缺面做比较. [解]由2120ππ=⎰dx ，8220ππ=⎰dx x ，243202ππ=⎰dx x ，1sin 200==⎰πxdx d ，1cos |)cos (sin 2020201=---==⎰⎰πππxdx x x xdx x d ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1124882322a b ππππ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=1148.0)3(86644.0)4(2423ππππb a . 18、],[)(),(1b a C x g x f ∈，定义 （a ）()⎰''=aadx x g x f g f )()(,；（b ）())()()()(,a g a f dx x g x f g f aa+''=⎰. 问它们是可形成内积？[解]（a ）果为()0)(0)]([,0)(2='⇔='=⇒=⎰x f dx x f f f x f ba ，然而反之不可坐，所以不形成内积. （b ）形成内积.19、用许瓦兹不等式（4.5）预计⎰+161dx xx 的上界，并用积分中值定理预计共一积分的上下界，并比较其截止. [解]1961.026113121)131()11()()11(110131012612106≈==+-=+≤+⎰⎰⎰x x dxx dx xdx x x .果为[]1,0,12666∈≤+≤x x xx x ，所以7112141106106106=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x . 20、采用a ，使下列积分与最小值：⎰-1022)(dx ax x ，⎰--112dx ax x .[解]481)45(51512131)2()(22142321022+-=+-=+-=-⎰⎰a a a dx x a ax x dx ax x ，进而45=a .当0=a 时，12121100111112=+=+-==-⎰⎰⎰⎰---xdx xdx dx x dx ax x ，当0≠a 时，由02=-ax x ，可得接面为ax 1=，若1>a ，则1323121316161)2131()2131()3121()2131()()()(222012310321123012102112112>+=++++-=-+-+-=-+-+-=----⎰⎰⎰⎰a a a aa a x ax ax x x ax dxx ax dx ax x dx x ax dx ax x a aa a，若01>≥a ，则1)2131()3121()()(012102112=----=-+-=-⎰⎰⎰--a a dx x ax dx ax x dx ax x .共理可知，当01<≤-a 时，1112=-⎰-dx ax x ，当1-<a 时，1112>-⎰-dx ax x ，进而当1≤a 时，积分博得最小.21、设{}x span ,11=ϕ，{}1011002,x x span =ϕ，分别正在21,ϕϕ上供一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳仄圆迫近，并比较其截止.[解]由1110=⎰dx ，2110=⎰xdx ，31102=⎰dx x ，41103=⎰dx x 可知，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ，即正在1ϕ上为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,61. 由201110100100=⋅⎰dx x x ，202110101100=⋅⎰dx x x ，203110101101=⋅⎰dx x x ，1031102100=⋅⎰dx x x ，1041102101=⋅⎰dx x x 可知， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148.37510310420320298243.37510410320220199b a ，即正在2ϕ上为()148.375,243.375-.22、x x f =)(正在[]1,1-上，供正在{}421,,1x x span =ϕ上的最佳仄圆迫近.[解]由1100111=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ，2113013112=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ，。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)
根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社.
第一章 绪论1设x 0,x 的相对误差为，求In x 的误差 进而有(In x*)2.设x 的相对误差为2%，求x n 的相对误差。
xf '(x)解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | |f(x)n 1 x nx n 1又Q f '(x) nx , C p || n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*)且 e r (x*)为 2r ((x*)n ) 0.02 n3•下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： x ； 1.1021,x 2 0.031 , x 3 385.6, x 4 56.430,x ； 7 1.0.解：x * 1.1021是五位有效数字；x 2 0.031是二位有效数字；X 3 385.6是四位有效数字；x 4 56.430是五位有效数字；x ； 7 1.0.是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴X ； X ； X ；,(2) x ；x ；x ；,(3) X ；/X 4.其中x ；,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。
解: 解：近似值x *的相对误差为e* x* x x* x* 而In x 的误差为e In x*In x* Inx 1 x*e**1 4(X 1) 2 10* 1 ,亠3 (X 2) 2 10* 1 1(X 3) 2 10* 1 ,亠3 (X 4) 2 10* 1 1(X 5)102(2) (x ；x ；x ；)* * *X 1X 2 (X 3)0.215⑶(X ；/X ；)* I * * *X 2I (X 4) X 4 (X 2)n&4 3解：球体体积为V - R 3则何种函数的条件数为C P r (V*) C p g r (R*) 3 r (R*)(1) (X 1 * (X 1) 1 10 2 1.05 10X 2 X 4)*(X 2) 4 12 310 (X 4)31.1021 0.031 101 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.610 0.031 1 3 1 310 3 56.430 10 32 210 556.430 56.430 5计算球体积要使相对误差限为 X 2X 3 * * *X 1X 3 (x 2)1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?Rg/' V又Q r(V*) 11 2x 1具有5位有效数字X 2具有5位有效数字故度量半径R 时允许的相对误差限为r （R*）- 3 1 0.33 1 6.设Y 0 28，按递推公式 Y n 丫^ ——7783 100 (n=1,2,…) 计算到丫00。
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈ 6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…） 计算到100Y27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，若取27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*11.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析教材第五版习题答案(李庆扬等)
数值分析教材第五版习题答案(李庆扬等)本文档是《数值分析》（第五版）的题答案，由李庆扬等人编写。
共分为13章，每章包括了若干题和题答案。
第一章介绍了数值分析的基本概念和一些数学基础知识。
其中的题主要涉及数值计算的舍入误差和截断误差的计算。
第二章讨论了插值与拟合问题，题主要集中在各种插值方法和曲线拟合问题的应用。
第三、四章分别介绍了数值积分和数值微分的计算。
这些章节提供了多种数值积分、数值微分算法的细节，以及贯穿其中的误差分析。
第五章是线性方程组的数值解法，主要介绍了直接法、迭代法以及常见的一些稀疏矩阵的解法。
第六章涉及到了非线性方程的求解，重点探讨了二分法、牛顿法、割线法等解法的理论和应用。
第七、八章介绍了特征值与特征向量、矩阵的奇异值与奇异向量的计算。
这两章的题主要考察了特征值的计算方法和矩阵奇异值分解的原理和实现。
第九章讲解了最小二乘问题，包括线性最小二乘问题的求解、非线性最小二乘问题的求解、以及曲线拟合的一些应用。
第十章介绍了常微分方程数值解的一些方法，包括欧拉法、龙格-库塔法等。
第十一章是偏微分方程数值解的方法。
该章节中的题除了基于差分格式的显式解法外，还包括了一些基于有限元方法、谱方法的数值求解思路。
第十二章讨论了随机数与随机过程的数值模拟方法。
这一章节的题较为简单，主要考察了生成随机数的方法和统计性质。
第十三章介绍了复数及其函数的数值计算方法。
题主要涵盖了复数函数的解析和逼近，以及量子力学中常用的算符的数值求解。
本文档共收录了近1000道习题及其答案，对于求解数值分析问题的读者来说有很好的参考作用。
需要注意的是，本文档中的答案仅供参考，读者应该结合自身的情况进行判断和验证。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
精品!数值分析 第五版课后习题完整答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析第五版第1章习题答案-李庆扬
第1章复习与思考题习题0，依据定义|X*X|/X*|X*-X|=X***X X：按定义求解E(lnX)=|lnX-LnX*|=ln(X/X*)=ln(1-)X|lnX ln*|/lnX*ln(1)/lnX*ln(1)/lnX*按泰勒展开求解，2(x*)=(x*)(x x*)"()(x x*)f f f1(lnX*)|lnX lnX*|lnX*(X X*)**r(lnX*)|lnX lnX*|/ln */ln *X X X X问题是解法1错了吗？ 很小时，ln(1-)=，求n X 的相对误差*0.02*X X ： 按照定义：{(10.02)X*}*(1.02)n n X (X )(X X*)/X* 1.021(10.02)1n n n n n多项式展开，有100.02n n i i：按照泰勒展开11(X X*)*(X X*)nX*(0.02X*)0.02X*)(XX*)/X*0.02*/*0.02n n n n n nn nn nnX nX X n问题是解法1错了吗？10.02n n i i 收敛于（0.02/(1-0.02)= 0.002004008016032064128256释？应该没有错，按照泰勒展开，相当于将误差限放大了。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字* 1.1021x ，0.031x ，385.6，56.430，7 1.0。
解：有4位有效数字；X2有1位有效数字；X3有3位有效数字；X4有1位有效数字**24x x ，*1x x 其中***123x x x ，，，公式（2.3）：1(A*)|()*|(X )n k k kfX 解：******124124()()()()0.510x x x x x x ************1232311321234313()()()()0.031385.60.510 1.1021385.60.510 1.10210.0310.510(0.59768212.48488 1.708255)100.214790815x x x x x x x x x x x x******2*2442244323335(/)1/()/()()1/56.4300.5100.031/(56.430)0.510(10.031/56.430)/56.4300.510=(0.99945064681906787169945064681907)0.5/56.430100.885610x x x x x x x5、计算求体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 所允许的相对误差是多少？解：球的体积公式3V R23(V)3R (R)/R 3(R)/R 0.01r有(R)0.01/3R (R)(R)/1/300r R6、设Y0=28，按递推公式11783100n nY Y ，1,2,3.....n 计算到Y100，若取27.982（解：n n n (Y )(Y Y )，所以(Y )0n 。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析 清华李庆杨第五版HEMIT插值(课外)
• 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)满足2n+2个条件
• 若H(x)存在,则叫函数f(x) 的Hermite插值多项式.因为 H(x)是一个 次数不高于2n+1次的多项式,常记为H2n+1(x).
3
定理一:满足插值条件 H(xi)= yi H'(xi)= y'i i=0,1,2……n 且次数不大于2n+1的多项式是唯一的。
• p(x)= y0(1-x2 )+ y1 x2+ y0′(1-x)x y(3)() • 其余项表达式为 R(x)= -------- (1-x) x2
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12
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6
• •
设Hermite插值函数
n n
• H2n+1(x) = Li(x) yi + hi(x) y'i i=0 i=0 • • Li(x),hi(x)都是不高于2n+1次的多项式,类似Lagrange插 值,利用Hermite插值条件可得 • Li(xj)=ij hi(xj) = 0 • L'i(xj)=0 h'i(xj)= ij i,j=0,1,2……n • 从而可设 • Li(x)= (aix+bi)[li(x)]2 • hi(x)= (cix+di)[li(x)]2
10
实际问题中还会有其他的插值问题,这类问题可用Lagrange 插值基函数的方法解决.如已知数据表： x 0 1 y y0 y1 y′ y0′ 求过0,1两点构造一个插值多项式p(x),满足条件 p(0)= y0 , p′(0)= y0′ , p(1)= y1 解: 他有三个条件,故p(x)可设为二次多项式 p(x)= y0 L0(x)+ y1 L1(x) + y0′ h0(x) 这里L0(x), L1(x), h0(x)都是二次多项式,由插值条件得 对 x=x0=0有 L0(0)=1 L1(0)=0 h0(0)=0 L0′(0)=0 L1′(0)=0 h0′(0)=1 对 x=x1=1有 L0(1)=0 L1(1)=1 h0(1)=0 上一页 主页 下一页
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-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算 即 ，
则
若采用二次插值法计算 时，
3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
是二位有效数字；
是四位有效数字；
是五位有效数字；
是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .
其中 均为第3题所给的数。
解：
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？
解：球体体积为
则何种函数的条件数为
又
故度量半径R时允许的相对误差限为
令
函数 在区间 上的分段埃尔米特插值函数为
误差为
又
20．给定数据表如下：
Xj
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
Yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值，并满足条件：
解：
由此得矩阵形式的方程组为
21 M0
2 M1
2 M2
2 M3
12 M4
求解此方程组得
三次样条表达式为
当 时，
令
取
令
则
当 时，线性插值多项式为
插值余项为
又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且 ，故计算中有误差传播过程。
总误差界为
4．设为互异节点，求证：
（1）
（2）
证明
（1）令
若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。
插值余项为
又
由上题结论可知
得证。
5设 且 求证：
解：令 ，以此为插值节点，则线性插值多项式为
故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
17．设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。
解：正方形的面积函数为
.
当 时，若 ,
则
故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过
10．设 ，假定g是准确的，而对t的测量有 秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：
当 增加时， 的绝对误差增加
当 增加时， 保持不变，则 的相对误差减少。
11．序列 满足递推关系 (n=1,2,…),
（2）若 ，则
证明：
（1）
得证。
+
得证。
14． 求 及 。
解：
若
则
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若 ，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中 是关于 的待定函数，
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
13． ,求 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。
计算，求对数时误差有多大？
解
,
设
则
故
若改用等价公式
则
此时，
第二章插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
2．给出 的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
将 代入得
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组，得
又 三次样条表达式为
将 代入得
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
第一章绪论
1．设 , 的相对误差为 ，求 的误差。
解：近似值 的相对误差为
而 的误差为
进而有
2．设 的相对误差为2%，求 的相对误差。
解：设 ，则函数的条件数为
又 ,
又
且 为2
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： , , , ,
解： 是五位有效数字；
6．设 ，按递推公式 （n=1,2,…）
计算到 。若取 （5位有效数字），试问计算 将有多大误差？
解：
……
依次代入后，有
即 ，
若取 ,
的误差限为 。
7．求方程 的两个根，使它至少具有4位有效数字（ ）。
解： ，
故方程的根应为
故
具有5位有效数字
具有5位有效数字
8．当N充分大时，怎样求 ？
解
设 。
则
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 ？
=
插值余项为
6．在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为 和 ，则分段二次插值多项式的插值余项为
设步长为h，即
若截断误差不超过 ，则
7．若 ，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
8．如果 是m次多项式，记 ，证明 的k阶差分 是 次多项式，并且 （ 为正整数）。
解：函数 的 展式为
其中
又 是次数为 的多项式
为 阶多项式
为 阶多项式
依此过程递推，得 是 次多项式
是常数
当 为正整数时，
9．证明
证明
得证
10．证明
证明：由上题结论可知
得证。
11．证明
证明
得证。
12．若 有 个不同实根 ，
证明：
证明： 有个不同实根
且
令
则
而
令
则
又
得证。
13．证明 阶均差有下列性质：
（1）若 ，则
解：
若
则步长
在小区间 上，分段线性插值函数为
各节点间中点处的 与 的值为
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
误差
又
令
得 的驻点为 和
18．求 在 上分段线性插值函数 ，并估计误差。
解：
在区间 上，
函数 在小区间 上分段线性插值函数为
误差为
19．求 在 上分段埃尔米特插值，并估计误差。
解：
在 区间上，
若 （三位有效数字），计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解：
又
又
计算到 时误差为 ，这个计算过程不稳定。
12．计算 ，取 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
, , ， 。
解：设 ，
若 ， ，则 。
若通过 计算y值，则
若通过 计算y值，则
若通过 计算y值，则
通过 计算后得到的结果最好。