人教版九年级数学上册优质课课件《切线的判定》
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人教九年级数学上册《切线的判定和性质》课件
(1)证明：连OA，则OA⊥AP，∵MN⊥AP，∴MN∥OA，∵OM∥AP， ∴四边形ANMO是矩形，∴OM＝AN
(2)解：连OB，则OB⊥BP，∵OA＝MN，OA＝OB，OM∥AP，∴OB ＝MN，∠OMB＝∠NPM.∴Rt△OBM≌Rt△MNP，∴OM＝MP，设 OM＝x，则NP＝9－x，在Rt△MNP中，有x2＝32＋(9－x)2，∴x＝5， 即OM＝5
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定和性质
1．切线的判定定理：__经__过__半__径__的__外__端__并__且__垂_直___于_这__条__半__径____的直线 是圆的切线． 2．切线的性质定理：圆的切线__垂__直__于__过__切__点__的__半__径________．
第3题图
第4题图
知识点1 切线的判定
5．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以直角边AB为直径的 ⊙O交斜边BC于点D，OE∥BC交AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，∵OA＝OD＝OB， ∴∠B＝∠BDO，又∵OE∥BC， ∴∠AOE＝∠B，∠BDO＝∠DOE，∴∠DOE＝ ∠AOE ， ∴△AOE≌△DOE(SAS) ， ∴∠ODE ＝ ∠BAC＝90°，∴DE是⊙O的切线
人教版九年级数学上册24.2.2切线的判定课件 (共19页)
EF是⊙O 的切线.
H
培优专栏 (2010毕节)如图，已知CD是△ABC中AB边上的 高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、 F，点G是AD的中点．求证GE是⊙O的切线．
G
归纳小结
判定切线的方法：
( 1 ) d=r 直线与圆相切 （数量法）
（2）切线的判定定理.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
例题精讲
例题的证明依据是什么？
例1 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB, CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.
连半径，证垂直
经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
当堂训练 1、《听课手册》P49例1
C
A
O
B
D
归纳小结
判定切线的方法：
直线与圆相切
( 1 ) d=r
（2）切线的判定定理. （已知直线过圆上一点： 连半径，证垂直） （不明确直线是否过圆上一点： 作垂直，证半径）
当堂检测
《基础小练习》 P 布置作业 《作业手册》P67-68 （先再次预习P98，后做全品）
l
d=r
直线l与⊙O相切
l
d<r
直线l与⊙O相交
.O d r l
切线的判定
效果检测
⊙O的半径OA长10cm,经过OA的外端点A作 直线L⊥OA,则圆心O到直线L的距离是多 少?______, 10cm 直线L和⊙O有什么位置关 相切 系?_________.
上面结论的依据是什么？
.
O
直线与圆相切
d=r
A
L
效果检测
经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
切线的判定定理
人教版数学九年级上册切线的判定PPT精品课件
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm
;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
3.知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
.O
A
L
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
几何应用: ∵OA⊥L ,OA是半径 ∴L是⊙O的切线
注意 圆的切线有无数条．
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定课件
小练习
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
【人教版】九年级上册数学《切线的判定》ppt教学课件
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD
即圆心O到AC的距离 d = r ∴ AC是⊙O切不同?
O
A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
.如图, △ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,DE ⊥AC
观察、提出问题、分析发现
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？
O
O
O
图（１）
图（２）
图（３）
根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定 义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位 置怎样时，直线也是圆的切线呢?
请在⊙O上任意取一点A，连接OA。 过点A作直线 l⊥OA。思考一下问题：
以AB为直径的⊙O交BC于点E,过E点作DC 的垂线EF,F为垂足,求证:EF是⊙O的切线
AD
O
F
B
E
C
变:把”梯形ABCD”改为”等腰三角形ABC,AB=AC”
练习
1 判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． (2)垂直于半径的直线是圆的切线． (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线
24.2.2直线与圆的位置关系
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章圆 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
∵∠AOP = 2∠B = 50°， ∴∠P = 90° - 50° = 40°.
B
A
O P
练一练 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线
MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = 60 °.
N A
C
B O
A O BD
2.
图①
如图②，AB
M 为⊙O
图②
的直径，D 为
（ C）A．40° B源自35° C．30° D．45°4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
B
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = PO2，
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证分明析：连由接于 AOBC.过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
性质定理的证明 证法：反证法 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
B
A
O P
练一练 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线
MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = 60 °.
N A
C
B O
A O BD
2.
图①
如图②，AB
M 为⊙O
图②
的直径，D 为
（ C）A．40° B源自35° C．30° D．45°4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
B
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = PO2，
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证分明析：连由接于 AOBC.过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
性质定理的证明 证法：反证法 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
人教版九年级上册数学24.切线的判定课件
2. 砂轮打磨零件时,溅出火星沿着砂轮 的什么方向飞出去的?
下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上 打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
探究新知
切线的判定定理
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过
点A作圆O的切线？
B
视察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系?
C
E 作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确直 线与圆是否有公共点时
辅助线：
无共点,做垂直，证半径
练一练
如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D， DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
课堂小结
一、判定一条直线是圆的切线的三种方法
１、利用定义： ２、利用定理： ３、利用切线的判定定理：
二、辅助线添加的方法
复习导入
直线与圆的位置关系:相交、相切、相离
图中直线l满足什么条件时
是⊙O的切线？
O
方法1：直线与圆有唯一公共点
l
方法2：直线到圆心的距离等于半径
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方 法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。
探究新知
1. 当你在下雨天快速转动雨伞时,水滴 顺着伞的什么方向飞出去的？
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵
， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE ＝OF.
A
E
F
B
O
C
OF ＝OE，OF ⊥ AC.
例题讲授
证明： 连接OC
Ｏ
∵ OA=OB，CA=CB
下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上 打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
探究新知
切线的判定定理
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过
点A作圆O的切线？
B
视察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系?
C
E 作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确直 线与圆是否有公共点时
辅助线：
无共点,做垂直，证半径
练一练
如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D， DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
课堂小结
一、判定一条直线是圆的切线的三种方法
１、利用定义： ２、利用定理： ３、利用切线的判定定理：
二、辅助线添加的方法
复习导入
直线与圆的位置关系:相交、相切、相离
图中直线l满足什么条件时
是⊙O的切线？
O
方法1：直线与圆有唯一公共点
l
方法2：直线到圆心的距离等于半径
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方 法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。
探究新知
1. 当你在下雨天快速转动雨伞时,水滴 顺着伞的什么方向飞出去的？
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵
， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE ＝OF.
A
E
F
B
O
C
OF ＝OE，OF ⊥ AC.
例题讲授
证明： 连接OC
Ｏ
∵ OA=OB，CA=CB
人教版九年级数学上册优质课课件《切线的性质与判定》
一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种？
（1）d<r （2）d=r （3）d>r 点在圆内 点在圆上 点 在圆外
两 种： 2、判定直线 与圆的位置关系的方法有____
直线 与圆的公共点 （1）根据定义，由________________
的个数来判断； 圆心到直线的距离d与半径r （2）根据性质，由_________________ 的关系来判断。
H
4、小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.
5、已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC 的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 2－10x + 16 = 0 的两根，求 ⊙E 的半径 r .
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
O
O O
r
d ┐
d
l
┐
d
l
┐
l
直线与圆的位置关系判定方法： 直线和圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线距离 d 与半径 r 关系 公共点名称 直线名称 相交 2 d<r 交点 割线 相切 1 d=r 切点 切线 相离 0 d>r 无 无
3、思考:
在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线L⊥OA, 则圆心O到直线L的距离 是多少?______, OA 直线L和 ⊙O有什么位置关系? 相切 _________.
2、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.
1、点和圆的位置关系有几种？
（1）d<r （2）d=r （3）d>r 点在圆内 点在圆上 点 在圆外
两 种： 2、判定直线 与圆的位置关系的方法有____
直线 与圆的公共点 （1）根据定义，由________________
的个数来判断； 圆心到直线的距离d与半径r （2）根据性质，由_________________ 的关系来判断。
H
4、小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.
5、已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC 的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 2－10x + 16 = 0 的两根，求 ⊙E 的半径 r .
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
O
O O
r
d ┐
d
l
┐
d
l
┐
l
直线与圆的位置关系判定方法： 直线和圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线距离 d 与半径 r 关系 公共点名称 直线名称 相交 2 d<r 交点 割线 相切 1 d=r 切点 切线 相离 0 d>r 无 无
3、思考:
在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线L⊥OA, 则圆心O到直线L的距离 是多少?______, OA 直线L和 ⊙O有什么位置关系? 相切 _________.
2、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.
人教部初三九年级数学上册 切线的判定 名师教学PPT课件
小试牛刀
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
O l
r
A
注意
O r
l
A
O l
r
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可 (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
要点归纳
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC， O
只要证明AB⊥OC即可.
证明：连结OC(如图)
A
∵ △OAB中， OA＝OB , CA＝CB,
C
B
∴ AB⊥OC
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线
运用新知
例2、已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB
于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.
连接 O
D B 做垂直
A
O
AC B
E
((12))如如果果已已知知直条线件经中过不圆知对上直一线比点与思圆,则是考有否交有点公，共连点半C,径则,无证交垂点直,.作
垂直,证半径.
要点归纳
证切线时辅助线的添加方法
(1) 有交点，连半径,证垂直;
例1
(2) 无交点，作垂直,证半径.
例2
巩固练习
1.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB,求 证:AT是⊙O的切线.
a
a
O
O
b
c
┐
c
┐
A
A
b
发现：（1）直线c经过半径OA的外端点A;
（2）直线c垂直于半径OA.
24.2.2.2 切线的判定课件人教版数学九年级上册
(1) 有交点，连半径，证垂直；
(2) 无交点，作垂直，证半径.
例2
例3
课堂小结
这节课，你学到了什么？
切线的判定(1)
切线的判定(2)
经 过 半 径 的 ________
外端 并 且
等于
文字 若圆心到直 线的距离 (d)________半
垂直
________这条半径的直线是圆
描述 径(r)，则这条直线是圆的切线．
CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC．
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
3．如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意
一点，过点D作DE⊥OB于点E，以DE为半径作
⊙D．求证：OA是⊙D的切线．
证明：如图，过点D作DF⊥OA于点F．
过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O.求证：
AC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OA，
作OF⊥AC于点F.
∵△ABC为等腰三角形，
点O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，
AO平分∠BAC.
∵OD⊥AB，OF⊥AC，
∴OF＝OD.
∴OF为⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线．
要点归纳
证切线时辅助线的添加方法
∴OE⊥AB.
∵AB∥CD，
∴CD⊥OE.
∵OE是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平
分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作
⊙D交AB于点E．
(1)求证：⊙D与AC相切；
解：(1)证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F．
(2) 无交点，作垂直，证半径.
例2
例3
课堂小结
这节课，你学到了什么？
切线的判定(1)
切线的判定(2)
经 过 半 径 的 ________
外端 并 且
等于
文字 若圆心到直 线的距离 (d)________半
垂直
________这条半径的直线是圆
描述 径(r)，则这条直线是圆的切线．
CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC．
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
3．如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意
一点，过点D作DE⊥OB于点E，以DE为半径作
⊙D．求证：OA是⊙D的切线．
证明：如图，过点D作DF⊥OA于点F．
过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O.求证：
AC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OA，
作OF⊥AC于点F.
∵△ABC为等腰三角形，
点O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，
AO平分∠BAC.
∵OD⊥AB，OF⊥AC，
∴OF＝OD.
∴OF为⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线．
要点归纳
证切线时辅助线的添加方法
∴OE⊥AB.
∵AB∥CD，
∴CD⊥OE.
∵OE是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平
分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作
⊙D交AB于点E．
(1)求证：⊙D与AC相切；
解：(1)证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F．
切线的判定 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
∴ OE是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线。
辅助线：作垂直，证半径
小结 【课堂小结】
切线的证明是中考的必考知识点，所以在讲课的时 候一定要把知识讲清楚，两种证明切线的方法都要讲好， 尤其是“连半径、证垂直”是中考常考题。老师要把定理 分析透彻，证明步骤要详细，书写格式要标准，最终达 到完全掌握的目的。
∴ ∠BAT＝90° ∴ AB⊥AT
∵ OA是⊙O的半径 ∴ AT是⊙O的切线。
课堂练习 2.AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆
上,∠CAB=30°.
求证:DC是⊙O的切线.
证明: 如图，连接OC，BC.
由AB为直径可得∠ACB=90°. ∠CAB=30°，可得BC= AB=OB， A ∠ABC= 60°，又BD=OB ∴ BC=BD， ∠BCD=30° ∴ ∠OCB+ ∠BCD=90°，∴OC ⊥CD,
直线l和圆O有什么位置关系？
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂 直于这条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达：
O r
l A
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
知识讲解 判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
九年级-上册-第24章第2节
课题：24.2.2 切 线 的 判 定 难点名称：切线的判定方法
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小节
2
导入
一、复习：
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
九年级数学上册《切线的判定》PPT
2、利用定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的 切线。
3、利用定理：与圆心距离等与圆的半径的直线 是圆的切线。
小圆与直线ＡＢ相切。
证明：作OE⊥AB于E 则AE=BE
连结OA
O
∵ AB= 8 3
∴ AE=4 3
A
E
B
∴ OE OA2 AE2 82 (4 3)2 4
又∵ 小⊙O半径为4厘米
OE等于小圆半径
AB是⊙O的切线
判定一条直线是圆的切线的三种方法
1、利用切线的判定定理：经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切 线。
第24章 圆
24.2 与圆有关的位置关系
——切线的判定
图形
公共点个数
直线和圆的位置关系
Ｏr d 0个
r
Ｏ
d
A
1个
Ｏr
d
A
B
2个
直线和圆的位 置关系
相离
圆心到直线的 d ＞r 距离d与半径
r 的关系
相切 d ＝r
相交 d ＜r
如图：直线BC和⊙O的位置关系是
r
_相__切_
Ｏ
d
直线BC叫⊙O的_切__线__
于P， PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。
A
证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
O
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C。
B
∴OP∥AC。
E PC
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
练习2、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB为 8 3 厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：
B
O
A
3、利用定理：与圆心距离等与圆的半径的直线 是圆的切线。
小圆与直线ＡＢ相切。
证明：作OE⊥AB于E 则AE=BE
连结OA
O
∵ AB= 8 3
∴ AE=4 3
A
E
B
∴ OE OA2 AE2 82 (4 3)2 4
又∵ 小⊙O半径为4厘米
OE等于小圆半径
AB是⊙O的切线
判定一条直线是圆的切线的三种方法
1、利用切线的判定定理：经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切 线。
第24章 圆
24.2 与圆有关的位置关系
——切线的判定
图形
公共点个数
直线和圆的位置关系
Ｏr d 0个
r
Ｏ
d
A
1个
Ｏr
d
A
B
2个
直线和圆的位 置关系
相离
圆心到直线的 d ＞r 距离d与半径
r 的关系
相切 d ＝r
相交 d ＜r
如图：直线BC和⊙O的位置关系是
r
_相__切_
Ｏ
d
直线BC叫⊙O的_切__线__
于P， PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。
A
证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
O
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C。
B
∴OP∥AC。
E PC
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
练习2、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB为 8 3 厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：
B
O
A
人教版九年级数学上册《 切线的判定》课件
直线l 与圆心的距离学科等网 于圆的半径
l是圆的切线
经过半径外端且垂直这条半径
学.科.网
l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂
直于这条半径的直线是圆的切线。
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
zxxk
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
E C
小结
例1与例2的证法有何不同?
切线的判定
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是 顺着伞的什么方向飞出去的?
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?
复习
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r的关系
∴PE为⊙0的切线。
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圆的切线
灵溪一中 徐贤凯
当直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。 其中的直线叫做圆的切线。 唯一的公共点叫做切点。
O A
已知⊙O和⊙O上的一点D， 如何过点D画⊙O的切线？ 不妨在直线l 上任意取一点P （点D除外），连结OP， 则OP＞OD ∴点P在⊙O外 ∴l 与⊙O只有一个交点D。 ∴l 与⊙O相切
B C O A
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A) =180°－(60°+30°) =90°
∴ AB是⊙O的切线
巩固练习： 1、如图，已知点B在⊙O上。 根据下列条件，能否判定直 线AB和⊙O相切？ ⑴OB=7,AO=12,AB=5 ⑵∠O=68.5°,∠A=21°30′
∴ ⊙O与AB相切
小结：
1、直线和圆相切的定义 2、切线的判定定理1中的三个条件 3、证明切线的两种情形
O
A
练习： 如图，已知四边形ABCD是直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC，CD＝AD＋BC。
求证：以CD为直径的⊙O与AB相切
D
证明：过点O作OE⊥AB,垂足为E。 ∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴ AD⊥AB
O C
A
E
B
而OE⊥AB ∴ AD∥OE∥BC
∵ OD=OC ∴ AE=EB ∴ OE=1／2(AD+BC) ∵ CD=AD+BC ∴ OE是⊙O的半径
O
B A
2、如图，AB是⊙O的直径， AT=AB， ∠ABT=45°。
求证：AT是⊙O的切线
B
O T A
3、如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°。 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径。
求证：DC是⊙O的切线
A O
C
B
D
当圆心到直线的距离等于圆的半径 时，该直线是这个圆的切线 已知：⊙O的圆心O到直线l 的距 离等于⊙O的半径r。 求证：直线l 是⊙O的切线 证明：过点O作OA⊥l ，A为垂足。 ∵OA＝d=r ∴点A在⊙O上 ∴OA是⊙O的半径 ∴ l 是⊙O的切线
O
l
P
切线判定定理： 经过半径外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。 判断下图中的l 是否为⊙O的切线
O
端
⑶垂直
例1：如图A是⊙O外的一点，AO的延长线 交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且 AB＝BC，∠C＝30°。
求证：直线AB是⊙O的切线 证明：连结OB ∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
灵溪一中 徐贤凯
当直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。 其中的直线叫做圆的切线。 唯一的公共点叫做切点。
O A
已知⊙O和⊙O上的一点D， 如何过点D画⊙O的切线？ 不妨在直线l 上任意取一点P （点D除外），连结OP， 则OP＞OD ∴点P在⊙O外 ∴l 与⊙O只有一个交点D。 ∴l 与⊙O相切
B C O A
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A) =180°－(60°+30°) =90°
∴ AB是⊙O的切线
巩固练习： 1、如图，已知点B在⊙O上。 根据下列条件，能否判定直 线AB和⊙O相切？ ⑴OB=7,AO=12,AB=5 ⑵∠O=68.5°,∠A=21°30′
∴ ⊙O与AB相切
小结：
1、直线和圆相切的定义 2、切线的判定定理1中的三个条件 3、证明切线的两种情形
O
A
练习： 如图，已知四边形ABCD是直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC，CD＝AD＋BC。
求证：以CD为直径的⊙O与AB相切
D
证明：过点O作OE⊥AB,垂足为E。 ∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴ AD⊥AB
O C
A
E
B
而OE⊥AB ∴ AD∥OE∥BC
∵ OD=OC ∴ AE=EB ∴ OE=1／2(AD+BC) ∵ CD=AD+BC ∴ OE是⊙O的半径
O
B A
2、如图，AB是⊙O的直径， AT=AB， ∠ABT=45°。
求证：AT是⊙O的切线
B
O T A
3、如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°。 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径。
求证：DC是⊙O的切线
A O
C
B
D
当圆心到直线的距离等于圆的半径 时，该直线是这个圆的切线 已知：⊙O的圆心O到直线l 的距 离等于⊙O的半径r。 求证：直线l 是⊙O的切线 证明：过点O作OA⊥l ，A为垂足。 ∵OA＝d=r ∴点A在⊙O上 ∴OA是⊙O的半径 ∴ l 是⊙O的切线
O
l
P
切线判定定理： 经过半径外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。 判断下图中的l 是否为⊙O的切线
O
端
⑶垂直
例1：如图A是⊙O外的一点，AO的延长线 交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且 AB＝BC，∠C＝30°。
求证：直线AB是⊙O的切线 证明：连结OB ∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°