1.2.3 等差数列的前n项和课后作业(北师大版必修5)

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必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案

第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。

高中数学北师大版必修5 1.2 培优练习《等差数列的前n项和》(北师大版)

A．1，3，5B．1，3，7C．1，3，99D．1，3，9
4.在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．
5.在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．
答案和解析
1.解B. 依题意，得
即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．
2.解选C. 由已知，第一个数列的通项为an＝3n－1；第二个数列的通项为bN=5N－3
若am＝bN，则有3n－1＝5N－3
若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．
又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以
∴共插入10个数．
5.
且Sm＝Sn，m≠n
∴Sm+n＝0
《等差数列的前n项和》培优练习
1.等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
2.在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．
A．999 B．1196 C．1393 D．1590
3.实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为（）
N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66
∴两数列相同项的和为
2＋17＋32＋…＋197=1393
3.
又∵14＝5a＋3b，
∴a＝1，b＝3
∴首项为1，公差为2
∴a50=c=1＋(50－1)·2=99
∴a＝1，b＝3，c＝99

高中数学 1.2.2 等差数列的前n项和同步精练北师大版

高中数学 1.2.2 等差数列的前n 项和同步精练北师大版必修5基础巩固1等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于 …( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1) D.n n ＋122已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 101＝0，则有 ( ) A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 1＋a 101＜0C ．a 1＋a 101＝0D ．a 1＋a 101的符号不确定3等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．74已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．185现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．206设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝__________.7设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则a n ＝________. 8设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋1，求通项公式．9首项为正数的等差数列{a n }，它的前3项和与前11项的和相等，问此数列的前多少项的和最大？10甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1 min 走2 m ，以后每分钟比前1 min 多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min 多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？综合过关11已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．612已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＞0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N ＋恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}13已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．514设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝__________. 15在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2？这些数的和是多少？能力提升16数列{a n }的前n 项和为S n ＝nPa n (n ∈N ＋)，且a 1≠a 2. (1)求常数P 的值；(2)证明：数列{a n }是等差数列．17已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .参考答案1答案：D 2解析：∵S 101＝101a 1＋a 1012＝0，∴a 1＋a 101＝0.答案：C3解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，得d ＝3.答案：B4解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝105，a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝99，解得a 1＝39，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －12d＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，∴当n ＝20时，S n 取最大值．答案：B5解析：设由上到第n 层的钢管数为a n ，则{a n }为等差数列，且公差d ＝1，a 1＝1，S n＝n n ＋12.要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多，又S 19＝190＜200，S 20＝210＞200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少为200－190＝10.答案：B6解析：由题意得a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是一个首项a 1＝－7，公差d ＝2的等差数列．∴a 1＋a 2＋…＋a 17＝S 17＝17×(－7)＋17×162×2＝153.答案：1537解析：设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n8分析：a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，必须验证对n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数来表示．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－4×1＋1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－4n ＋1)－[(n －1)2－4(n －1)＋1]＝2n －5. 又a 1≠2×1－5，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －5，n ≥2，n ∈N ＋.9分析：确定首项的符号，转化为求二次函数的最值．解：∵S 3＝S 11，∴3a 1＋12×3×(3－1)d ＝11a 1＋12×11×(11－1)d .∴d ＝－213a 1＜0.∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－113a 1n 2＋1413a 1n ＝－113a 1(n －7)2＋4913a 1.∴当n ＝7时，S n 有最大值，即前7项和最大． 10解：(1)设n min 后第一次相遇，依题意，有 2n ＋n n －12＋5n ＝70.整理得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第一次相遇是在开始运动后7 min. (2)设m min 后第二次相遇，依题意有2m ＋m m －12＋5m ＝3×70，整理得m 2＋13m －6×70＝0.解得m ＝15，m ＝－28(舍去)． ∴第二次相遇是在开始运动后15 min.11解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－9＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 又a 1＝－8＝2×1－10，则a n ＝2n －10.所以5＜2k －10＜8，且k ∈N ＋，解得k ＝8. 答案：B 12解析：S 10＝10a 1＋a 102＞0，则a 1＋a 10＞0，则a 5＋a 6＝a 1＋a 10＞0，又S 11＝10a 1＋a 112＝0，则a 1＋a 11＝2a 6＝0，则a 6＝0，所以a 5＞0，公差d ＝a 6－a 5＝－a 5＜0，所以S n 的最大值是S 5或S 6，所以若S n ≤S k 对n ∈N ＋恒成立，则正整数k ＝5,6.答案：C13解析：a nb n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝2n －1a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －12＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1.当a n b n 为整数时，12n ＋1为整数，则正整数n ＝1,2,3,5,11. 答案：D14解析：∵{a n }为等差数列，∴S 9S 5＝9a 1＋a 92×25a 1＋a 5＝9a 5＋a 55a 3＋a 3＝9a 55a 3＝9.答案：915分析：这些数按大小排列后组成等差数列，转化为求等差数列的前n 项和．解：将这些数按从小到大排列，设第n 个数为a n ，则{a n }是等差数列，a 1＝2，d ＝3，则a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，令3n －1＜100，解得n ＜1013，又n ∈N ＋，∴n 的最大值为33，即有33个被3除余2的数，这些数的和是S 33＝33×2＋33×322×3＝1 650. 16(1)解：当n ＝1时，a 1＝Pa 1；若P ＝1时，a 1＋a 2＝2Pa 2＝2a 2.∴a 1＝a 2与已知矛盾，故P ≠1，则a 1＝0. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2Pa 2， ∴(2P －1)a 2＝0. ∵a 1≠a 2，∴P ＝12.(2)证明：由已知S n ＝12na n ，a 1＝0.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12na n －12(n －1)a n －1，∴a n a n －1＝n －1n －2，a n －1a n －2＝n －2n －3…a 3a 2＝21. ∴a n a 2＝n －1，∴a n ＝(n －1)a 2. ∴a n －a n －1＝a 2.∴{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列．17分析：由S n ＝－32n 2＋2052n 知S n 是n 的缺常数项的二次式，所以数列{a n }为等差数列，可求出通项a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .解：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)]＝－3n ＋104. 又∵n ＝1也适合上式，∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N ＋)．由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7，即当n ≤34时，a n ＞0；当n ≥35时，a n ＜0. (1)当n ≤34时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . (2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n n ≤34，32n 2－2052n ＋3 502n ≥35.。

高中数北师大必修五案：第一章数列 2.2 等差数列的前n项和(一) Word含答案

2.2 等差数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)．思考由S n 与S n －1的表达式可以得出a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n －S n －1 (n ≥2)S 1 (n ＝1). 知识点二等差数列前n 项和公式、推导和认识1．公式：若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2. 2．若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 3．推导：(方法：倒序相加法)过程：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a n ＋a 1，∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. 4．从函数角度认识等差数列的前n 项和公式(1)公式的变形S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n . (2)从函数角度认识公式①当d ≠0时，S n 是项数n 的二次函数，且不含常数项；②当d ＝0时，S n ＝na 1，不是项数n 的二次函数．(3)结论及其应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ＋C ，若C ＝0，则数列{a n }为等差数列；若C ≠0，则数列{a n }不是等差数列．思考等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．－2B ．－13C ．1D ．3★答案★ A解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝6，∴a 2＝2，又a 1＝4，∴d ＝－2.知识点三等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 2．若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 4．若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5．若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 思考等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是________． ★答案★ 210解析设{a n }的前3m 项和是S ，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 分别为30,70，S －100.由性质知30,70，S －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S －100)，∴S ＝210.题型一与等差数列S n 有关的基本量的计算例1 在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝(56－32)2＝－5，解得n ＝15. 又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16. ∴n ＝15，d ＝－16. (2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5.反思与感悟 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中；(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340. 题型二等差数列前n 项和性质的应用例2 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前10项的和为________．★答案★ (1)C (2)D (3)75解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214. (3)∵S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)． ∴S n n ＝n ＋2，数列{S n n}是以首项为3，公差为1的等差数列， ∴{S n n }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 反思与感悟等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解． (2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S n n＝an ＋b (a ≠0)进行计算． (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解．跟踪训练2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27★答案★ B解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.(2)已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．解方法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17 ＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 方法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列，∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n .又S n T n ＝2n ＋13n －2， ∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R .∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1)＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)，b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5)＝t (6n －5)(n ≥2)．∴a n b n ＝t (4n －1)t (6n －5)＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 题型三等差数列前n 项和公式在实际中的应用例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)．答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．★答案★ 2 000解析假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000 米．1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．48★答案★ B解析 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝120， ∴a 1＋a 10＝24.2．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－1B ．－11C ．－13D ．－15★答案★ D解析易知(a 3＋a 8)2＝9.∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝－15. 3．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8★答案★ B解析由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n (a 1＋a n )2＝n 2×70＝210，∴n ＝6. 4．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． ★答案★ 20解析设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.5．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，则等差数列{a n }从第100项到第200项之和S 的值为________．★答案★ 30 603解析 ∵a 100＝203，∴S ＝203×101＋101×1002×2＝30 603.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p 的应用．3．本节的思想方法：方程思想、函数思想、整体思想．。

北师大数学必修五课时分层作业5 等差数列的前n项和含解析

课时分层作业(五)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．7B [由⎩⎪⎨⎪⎧ S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝3.]2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( ) A ．－23 B ．－13 C ．13D ．23D [由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23，故选D.]3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220B [(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10×18＝180.]4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19A [由题意S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．∵S 3S 6＝13.不妨设S 3＝1，S 6＝3，则S 6－S 3＝2，所以S 9－S 6＝3，故S 9＝6，∴S 12－S 9＝4，故S 12＝10，∴S 6S 12＝310.] 5．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17A [∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2.∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．] 二、填空题6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 13 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13.]7．已知等差数列{a n }，S n 是其前n 项和，S 4＝8，S 12＝20，则S 8＝________. 443 [因为S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，即2(S 8－8)＝8＋20－S 8，解得S 8＝443.] 8．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元．300 [由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{a n }，则a n ＝12＋4(n －1)＝4n ＋8，S 10＝10×12＋12×10×9×4＝300(万元)．] 三、解答题9．在等差数列{a n }中．(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .[解] (1)d ＝a n －a 1n －1＝994－105n －1＝889n －1＝7，解得n ＝128.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝128×(105＋994)2＝70 336.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？[解] 设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，则1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2≥600，所以n 2＋n －1 200≥0，记ƒ(n )＝n 2＋n －1 200，因为当n ∈N ＋时，ƒ(n )单调递增，而ƒ(35)＝60>0，ƒ(34)＝－10<0，所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630，所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．[能力提升练]1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12A [S 13S 9＝132(a 1＋a 13)92(a 1＋a 9)＝132·2a 792·2a 5＝13a 79a 5＝139·a 7a 5＝1.]2．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156， ∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70. 又S ＝n (a 1＋a n )2＝n 2×70＝210，∴n ＝6.]3．一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为32∶27，则公差d ＝________.5 [∵S 12＝354， ∴S 奇＝354×2732＋27＝162，S 偶＝354×3232＋27＝192，∴S 偶－S 奇＝30＝6d ，∴d ＝5.]4．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.10 [法一：S 9＝S 4，即9(a 1＋a 9)2＝4(a 1＋a 4)2，所以9a 5＝2(a 1＋a 4)，即9(1＋4d )＝2(2＋3d )，所以d ＝－16，由1－16(k －1)＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，得k ＝10. 法二：S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0，所以k ＝10.]5．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .[解] 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 由S 7＝7，S 15＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)．∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋12(n －1)＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为－2，公差为12的等差数列．根据题意得T n ＝－2n ＋12n (n －1)×12＝14n 2－94n . 即T n ＝14n 2－94n .。

北师大版数学高一-北师大版必修5 作业05等差数列的前n项和

课时作业(五) 等差数列的前n 项和(限时：10分钟)1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：∵a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，∴(a 5－a 4)＋(a 3－a 2)＝2d ＝6.∴d ＝3.又a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝4，∴a 1＝－4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝－40＋45×3＝95. 答案：C2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( )A ．18B ．36C ．54D ．72解析：∵a 4＝18－a 5，∴a 4＋a 5＝18.∴S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 1＋a 8)＝4(a 4＋a 5)＝72. 答案：D3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1＝( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11解析：在等差数列中，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13，所以a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11.答案：D4．有一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小角为100°，则边数n ＝________.解析：n ×100°＋n (n －1)2×10°＝(n －2)×180°，解得n ＝8或n ＝9.又a n ＝100°＋(n －1)×10°<180°，∴n ＝8.答案：85．设正数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2.求数列{a n }的通项公式．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝14(a 1＋1)2，解得a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14[(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2]．整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝2.∴{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．∴a n ＝2n －1.(限时：30分钟)1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64解析：由S n ＝n 2可得：a n ＝2n －1，∴a 8＝15，∴选A.答案：A2．在各项均为非零实数的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)．则S 2n －1－4n ＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：∵a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝2a n －a 2n ＝0且a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1－4n ＝(2n －1)·2－4n ＝－2.故选A.答案：A3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53C ．－2D ．3解析：由S 3＝3×4＋3×22d ＝6，解得：d ＝－2， ∴选C.答案：C4．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由a 3＋a 5＝a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2＋6d ＝14得：d ＝2.∴S n ＝n ＋n (n －1)2·2＝n 2＝100.∴n ＝10，故选B. 答案：B5．若{a n }是等差数列，满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 55＝51解析：∵S 101＝101(a 1＋a 101)2＝0， ∴a 1＋a 101＝0.∴a 3＋a 99＝a 1＋a 101＝0.∴选C.答案：C6．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．20。

高中数北师大必修五案：第1章 §2 2.2 等差数列的前n项和 Word含答案

2.2 等差数列的前n 项和学习目标：1.理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)2.熟练掌握等差数列的五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)3.能够应用等差数列的前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点)[自主预习·探新知]等差数列的前n 项和公式阅读教材P 15～P 16“例7”以上部分，完成下列问题： (1)等差数列的前n 项和公式(2)将等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 整理成关于n 的函数可得S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 思考：(1)等差数列的前n 项和一定是n 的二次函数吗？[提示] 不一定，当公差d ≠0时，前n 项和是n 的二次函数，当公差d ＝0时，前n 项和是n 的一次函数，它们的常数项都为0.(2)求等差数列的前n 项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n 项和公式？[提示] 求等差数列的前n 项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．[基础自测]1．判断正误(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n 项和公式求和．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和．( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋1，则数列{a n }一定不是等差数列．( )[解析] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式求和；(3)正确．[★答案★] (1)× (2)× (3)√2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－2，则前n 项和S 10＝( )【导学号：91022049】A ．－20B ．－40C ．－60D ．－80D [由等差数列前n 项和公式，S 10＝10×1＋12×10×9×(－2)＝－80.] 3．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝8，则S 17＝________. [解析] S 17＝12×17×(2＋8)＝85. [★答案★] 854．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S 8＝64，则d ＝________.【导学号：91022050】[解析] S 8＝8×1＋12×8×7×d ＝64，解得d ＝2.[★答案★] 2[合作探究·攻重难]与S n 有关的基本量的运算已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a 12； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (3)a 1＝6，a 3＋a 5＝0，求S 6.[解] (1)因为S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0. 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)．所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.(3)由a 3＋a 5＝2a 4＝0，得a 4＝0，a 4－a 1＝3d ＝－6，d ＝－2. 故S 6＝6a 1＋15d ＝6×6＋15×(－2)＝6.[规律方法] 等差数列中基本量计算的两个技巧：(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝na 1＋a n2结合使用. [跟踪训练] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7，得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝128×(105＋994)2＝70 336.(2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5，∴S 20＝20a 1＋20×(20－1)2×5＝20×10＋10×19×5＝1 150.(3)将d ＝13，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ， S n ＝n (a 1＋a n )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋12，37·(a 1＋a n )2＝629，解得⎩⎨⎧a 1＝11，a n ＝23.等差数列前n 项和公式在实际中的应用某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[解] 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)． [规律方法] 应用等差数列解决实际问题的一般思路[跟踪训练]2．有30根水泥电线杆，要运往1 000 m 远的地方开始安装，在1 000 m 处放一根，以后每50 m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？[解] 汽车第一次运完3根后回到原地走过路程是： a 1＝(1 000＋50＋50)×2＝2 200(m)；运完第二次3根后回到原地走过路程是： a 2＝2 200＋(3×50)×2＝2 500(m)；运完第三次共走：a 3＝2 500＋(3×50)×2＝2 800(m)；即每次比前一次多走300米，30根电线杆运完共需走10次，这10次路程构成等差数列，d ＝300，n ＝10， S 10＝2 200×10＋10×92×300＝35 500(m)＝35.5 km.等差数列前n 项和的性质n 【导学号：91022051】(1)a 4＝2，求S 7；(2)S 5＝3，S 10＝7，求S 15； (3)S 10＝100，S 100＝10，求S 110.[思路探究] (1)利用a 1＋a 7＝2a 4；(2)根据S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列求S 15；(3)根据所给条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d 可得S 110，也可利用S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 110－S 100成等差数列求解．[解] (1)S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝12×7×2a 4＝7a 4＝7×2＝14.(2)数列S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即3,7－3，S 15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S 15－7，解得S 15＝12.(3)法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10， ②①×10－②，整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.法二：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92×D ＝S 100＝10⇒D ＝－22，所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22) ＝－120.所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三：因为数列{a n }是等差数列，故其前n 项和S n 可设为S n ＝An 2＋Bn .由S 10＝100，S 100＝10，得⎩⎨⎧100A ＋10B ＝100，10 000A ＋100B ＝10，解得A ＝－11100，B ＝11110，故S n ＝－11100n 2＋11110n ，故S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. [规律方法] 巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质.若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质. S n ＝n a 1＋a n 2＝na m ＋a n －m ＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质. {a n }为等差数列，公差为d .①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n. ②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝nn ＋1.(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n ).(5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. [跟踪训练]3．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．[解] a 5b 5＝2a 52b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.等差数列前n 项和的最值[1．(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ，求S n 的最小值； (2)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，求S n 的最小值．[提示] (1)S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，所以当n ＝2时，S n 的最小值为－4. (2)S n ＝n 2－3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322－94，因为n ∈N ＋，所以当n ＝2或n ＝1时，S n 的最小值为S 2＝S 1＝－2.2．(1)在等差数列{a n }中，若a 5＞0，a 6＜0，则其前多少项的和最大？ (2)在等差数列{a n }中，若a 5＜0，a 6＝0，其前n 项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．[提示] (1)前5项的和S 5最大．(2)因为a 5＜0，a 6＝0，故其公差d ＞0，所以前n 项和有最小值，其最小值为S 5＝S 6.3．在等差数列{a n }中，若d ＜0，S 10＝0，则其前多少项的和最大？ [提示] S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝0，故a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，因为d ＜0，所以a 5＞0，a 6＜0，所以S 5最大．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．[思路探究] (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15，得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12. (2)法一：S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.法二：设S n 最小，则⎩⎨⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎨⎧3n －12≤0，3(n ＋1)－12≥0，解得3≤n ≤4，又n ∈N ＋，∴当n ＝3或4时，前n 项和的最小值S 3＝S 4＝－18.母题探究：1.(变条件)把例4中的条件“S 15＝－15”改为“S 5＝125”，其余不变，则数列{a n }的前n 项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．[解] S 5＝12×5×(a 1＋a 5)＝12×5×2a 3＝5a 3＝125，故a 3＝25，a 10－a 3＝7d ，即d ＝－1＜0，故S n 有最大值，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝28－n .设S n 最大，则⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，解得27≤n ≤28，即S 27和S 28最大，又a 1＝27，故S 27＝S 28＝378.母题探究：2.(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若S n ＝0，求n . [解] 法一：因为S 3＝S 4＝－18为S n 的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x ＝72，所以当x ＝0或x ＝7时，图像与x 轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n ∈N＋，所以S 7＝0，所以n ＝7.法二：因为S 3＝S 4，所以a 4＝S 4－S 3＝0，故S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝0，所以n ＝7.[规律方法] 等差数列前n 项和的最值问题的三种解法(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值.(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n 的值.(3)利用二次函数的图像的对称性.[当堂达标·固双基]1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )【导学号：91022052】A ．12B ．24C ．36D ．48B [S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝120，故a 1＋a 10＝24.]2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7B [S 2＝a 1＋a 2＝4，S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4，故a 3＋a 4＝16.∴(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)＝4d ＝12，∴d ＝3.]3．等差数列{a n }中，a n ＝2n －1，则前n 项和S n ＝________.【导学号：91022053】[解析] 由已知得a 1＝1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.[★答案★] n 24．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝21－2n ，则当其前n 项和S n 取最大值时n 的值为________．[解析] 由⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧21－2n ≥0，21－2(n ＋1)≤0，解得192≤n ≤212，又n ∈N ＋，故n ＝10. [★答案★] 105．在各项均为正数的等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【导学号：91022054】[解] 由题意得⎩⎨⎧a n ＝a 1＋2(n －1)＝11，S n ＝na 1＋n (n －1)＝35，解得⎩⎨⎧ a 1＝3，n ＝5或⎩⎨⎧ a 1＝－1，n ＝7(舍去)．故⎩⎨⎧a 1＝3，n ＝5.。

高中数学必修五北师大版等差数列的前n项和作业(含答案)

2020-2021学年高二数学北师大版必修5作业：1.2.4等差数列前n项和的性质

它的前3m项的和是( C )
A．130
B．170
C．210
D．260
解析：因为若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m －S2m成等差数列，所以2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，代入数值解得S3m ＝210.故选C.
5．在等差数列{an}中，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则使数列前n
13．(13分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝ 16.
解：设数列{an}的公差为d. 由S17＝S9，得17×25＋17×217－1d＝9×25＋9×29－1d，
解得d＝－2.
方法1：因为Sn＝25n＋
nn－1 2
×(－2)＝－(n－13)2＋169，所以由
二次函数的性质，可知当n＝13时，Sn取得最大值，为169.
方法因为a1＝25>0，
由aann＝＋1＝252－5－2n2－ n≤10≥，0，得nn≤ ≥222275，，所以当n＝13时，Sn取得最大值．又S13＝13×25＋13×213－1×(－2)＝169，因此Sn的最大值为169.
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：an＝SSn1－，Snn＝－11，，n≥2 ＝－－81， 0＋n＝ 2n1，，n≥2，由题意知an＝2n－10. ∵5<ak<8，∴5<2k－10<8.
∴125<k<9.又∵k∈N＋，∴k＝8.故选B.
4．等差数列{an}的前m项的和是30，前2m项的和是100，则
解析：Sm＝ma12＋am＝m0＋2 am＝m2am，
S′m＝
mb1＋bm 2
＝
m－4＋bm 2

北师大版高中数学必修五等差数列的前n项和同步练习

等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-602、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4. 已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（） A 、36 B 、30 C 、24 D 、185.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为（） A. 47n - B. 47n -- C. 41n + D. 41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是（）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = .8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = . 10. 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12. 等差数列｛a n ｝中，a 1=23，公差d 为整数，若a 6>0,a 7<0.（1）求公差d 的值;（2）求通项a n .13、若三个数a-4,a+2,26-2a ，适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列.等差数列1.C2.B3.A4.B5.D6.C7.108.219.23n - 10. 311.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项.又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.12. （1）d=-4;（2）a n =-4n+2713．a=6，相应的数列为：2，8，14 a=9，相应的数列为：5，8，11a=12，相应的数列为：2，8，14。

北师大版高中数学必修五课时作业5 等差数列的前n项和.doc

课时作业5 等差数列的前n 项和时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 5B ．S 4＝S 5C ．S 6<S 5D ．S 6＝S 5 【答案】 B【解析】因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6a 1＋7d ＝6，所以a 1＝－8，d ＝2. 所以a n ＝2n －10，所以a 5＝0，所以S 4＝S 5.求a 5是解答本题的关键．2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－11d ＝2. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n .＝(n －6)2－36.即n ＝6时，S n 最小．3．若数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝3，a 10＝30，则S 10等于( )A ．330B ．165C ．310D ．155【答案】 B【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝3，∴数列{a n }是等差数列且公差d ＝3，又a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋27＝30，∴a 1＝3.S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(3＋30)2＝165. 4．在等差数列{a n }中，已知S 2＝2，S 4＝4，则S 6等于( )A ．0B ．4C ．6D ．12 【答案】 C【解析】 ∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2,4－2，S 6－4成等差数列，∴2＋S 6－4＝2×2，∴S 6＝6.5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】 C【解析】由题意知S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.6．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．20【答案】 B【解析】设从上面开始，第n 层的钢管数为a n ，则{a n }为等差数列，且公差d ＝1，a 1＝1，S n ＝n (n ＋1)2.要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多，又S 19＝190<200，S 20＝210>200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少，即剩余钢管根数为200－190＝10.7．已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9<S 8＝S 7，则下列说法不正确的是( )A ．S 9<S 10B ．d <0C ．S 7与S 8均为S n 的最大值D ．a 8＝0【答案】 A【解析】由于等差数列的前n 项和S n 是关于非零自然数n 的一元二次函数，即S n ＝d 2n 2＋(a 1－12d )n .由于S 9<S 8＝S 7，可得该二次函数的图像开口向下，即d <0，其前n 项和中最大值为S 8与S 7，且其前7项均为正数项，第8项为0.由该函数的单调性可得S 9>S 10，故应选A.二、填空题(每小题5分，共15分)8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__________.【答案】 15【解析】 ∵S 3＝3，S 6＝24，∴有a 1＋a 2＋a 3＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝24，∴3a 2＝3，∴a 2＝1.3(a 2＋a 5)＝24，∴a 5＝7.∴3d ＝7－1＝6，∴d ＝2.∴ a 9＝a 5＋4d ＝7＋8＝15.9．已知数列{a n }的通项为a n ＝3n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.【答案】 89【解析】 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10)＝(1＋4＋7)＋(2＋5＋8＋11＋14＋17＋20)＝89.10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．【答案】 4或5【解析】又a 4＝1，S 5＝52(a 2＋a 4)＝10，∴a 2＝3，设公差为d ，首项为a 1，则a 4＝a 2＋2d ＝3＋2d ＝1，∴d ＝－1，∴a 2＝a 1＋d ＝a 1－1＝3，即a 1＝4.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4－(n －1)＝5－n .令a n ＝0，得n ＝5，即当n >5时，a n <0，∴当n ＝4或5时，S n 取最大值．三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)在等差数列{a n }中，(1)已知a 1 005＝141，求S 2 009；(2)已知d ＝2，S 100＝10 000，求a n ；(3)已知a 4＋a 6＝6，S 5＝10，求公差d .【解析】 (1)∵a 1＋a 2 009＝2a 1 005，∴S 2 009＝2 009(a 1＋a 2 009)2＝2 009a 1 005＝2 009×141＝49.(2)由S 100＝100a 1＋100×(100－1)2×2＝10000，解得a 1＝1.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(3)由已知可得⎩⎨⎧ a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，5a 1＋5×4×d 2＝10，解之，得d ＝12.12．(15分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝－5n 2＋20n ，求数列{|a n |}的前n 项和S n .【解析】设首项为a 1，公差为d ，则a 1＝S 1＝15，S 2＝－5×4＋40＝20.∴a 2＝S 2－a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝－10.∴a n ＝－10n ＋25.由a n ≥0，即－10n ＋25≥0，得n ≤2.5，又∵n ∈N ＋，∴a 1，a 2为正，a 3，a 4，…为负，∴当n ≤2时，|a n |＝a n ，S n ＝－5n 2＋20n ；当n >2时，|a n |＝－a n ，∴S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2－a 3－a 4－…－a n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2)＝－S n ＋2S 2＝5n 2－20n ＋40.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5n 2＋20n (n ≤2)5n 2－20n ＋40 (n >2). 13．(20分)2010年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【解析】根据题意，从2011～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列{a n }，表示从2011年起各年投入的资金，其中a 1＝500，d ＝50.那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金额为S 10＝10×500＋10×(10－1)2×50＝7 250(万元)．所以，从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．。

数学北师大版必修5课时作业1-3-2 第1课时等比数列的前n项和

课时作业9 等比数列的前n 项和时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( C ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝22，则a 1的值等于( D ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2 解析：∵S 5＝22，q ＝－2， ∴a 1[1－(－2)5]1－(－2)＝22，∴a 1＝2.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( B ) A ．81 B ．120 C ．168D ．192 解析：a 5a 2＝27＝q 3，q ＝3，a 1＝a 2q ＝3，S 4＝3(1－34)1－3＝120.4．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N ＋)，则f (n )等于( D )A.27(8n－1)B.27(8n ＋1－1)77解析：依题意f (n )为首项为2，公比为8的等比数列前n ＋4项的和，根据等比数列的求和公式计算可得．5．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( D )A ．514B ．513C ．512D ．510解析：∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12， ∴a 1(1＋q 3)＝18，a 1(q ＋q 2)＝12， ∴1＋q 3q ＋q 2＝32，即1＋q 2－q q ＝32， ∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或12(舍去)， ∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝510.6．在等比数列{a n }中，其前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( D )A ．－1B ．1C ．5D ．－5解析：S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n ＋a ，当q ≠1时，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n，可知其常数项与q n 的系数互为相反数，所以a ＝－5.7．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝( C )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )33解析：由条件先求公比q ，再由等比数列的前n 项和公式求解．∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12，∴a 1＝4，∴a n ·a n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝25－2n ，故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)． 8．“今有垣厚一丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚12.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( C )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：由题意，知大鼠前三天打洞1＋1.5＋2＝4.5(尺)，小鼠前三天打洞0.5＋1＋2＝3.5(尺)，大鼠与小鼠前三天共打洞4.5＋3.5＝8(尺)，第四天大鼠打洞2.5尺，小鼠打洞2尺，故前四天两鼠共打洞8＋2＋2.5＝12.5(尺)．故两鼠相逢最快需4天．二、填空题9．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝4n －1.解析：设前三项为aq ，a ，aq ， ∴a4＋a ＋4a ＝21， ∴a ＝4，a n ＝4·4n －2＝4n －1.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝3.解析：设公比为q ，由S 6＝4S 3知q ≠1，由S 6＝4S 3得 a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，得q 3＝3. ∴a 4＝1×q 3＝1×3＝3.11．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于6.解析：记第n 天植树的棵数为a n ，则数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，解S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2≥100，得n ≥6.三、解答题12．在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n . 解：解法一：由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632， ②②÷①得1＋q 3＝9，所以q ＝2. 可求出a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.解法二：已知等比数列{a n }中S m 与S n ，求q ，还可利用性质S n ＋m ＝S n ＋q nS m 转化为q n＝S n ＋m －S nS m 求得，即q 3＝S 6－S 3S 3＝2872＝8，∴q ＝2，再代入S 3＝a 1(1－q 3)1－q求得a 1＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2.13．已知等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表中第1,2,3行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中任何两个数不在下表的同一列中.(1)求数列{a n (2)设b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18， ∴q ＝3，a n ＝2·3n －1. (2)b n ＝3na n ＝2n ·3n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，则T n ＝2×1×31＋2×2×32＋2×3×33＋…＋2n ×3n ， 3T n ＝2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －1)×3n ＋2n ×3n ＋1 ∴－2T n ＝2(31＋32＋33＋…＋3n )－2n ×3n ＋1 ＝6(1－3n )1－3－2n ×3n ＋1＝－3－(2n －1)×3n ＋1， ∴T n ＝3＋(2n －1)×3n ＋12. ——能力提升类——14．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N ＋，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝( B )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：由题意，得T n＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q (q n ＋16q n －17)，令q n ＝(2)n ＝t ，函数g (t )＝t ＋16t ，易知函数g (t )在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以当t ＝4时，函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4.15．已知数列{a n }是首项a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋3log 4a n ＋2＝0，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)由题意，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，b n ＝－3log 4a n －2，故b n ＝3n －2.(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，b n ＝3n －2，所以c n ＝(3n －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .所以S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，① 于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1.②①－②，得34S n ＝14＋3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n.由Ruize收集整理。

北师大版高中数学必修5同步练习第1课时等差数列的前n项和

[A 基础达标]1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4＝20,S 2＝4,则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列,a 10＝10,数列前10项和S 10＝70,则公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D ．23解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2,得70＝5(a 1＋10),解得a 1＝4,所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23,故选D. 3．在等差数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝－24,a 18＋a 19＋a 20＝78,则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54,又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18,则3(a 1＋a 20)＝54,所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n,所以S n n＝2n ＋3, 当n≥2时,S n n －S n －1n －1＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若a n b n ＝2n 3n ＋1,则S 21T 21的值为( ) A.1315 B ．2335 C.1117D ．49解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn,则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn,所以当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A(n －1)2－B(n －1)＝2An ＋B －A,当n ＝1时满足,所以d ＝2A.答案：2A7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5－5S 3＝5,则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1,公差为d,则由6S 5－5S 3＝5知,6×(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5,得3(a 1＋3d)＝1,所以a 4＝13. 答案：138．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13,且a 1>0,S n 为其前n 项和,则S n 最大时n ＝________．解析：因为3a 8＝5a 13,所以3(a 1＋7d)＝5(a 1＋12d),所以d ＝－2a 139,故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139(41－2n)．由a 1>0可得当n≤20时,a n >0,当n>20时,a n <0,所以S n 最大时n ＝20.答案：209．已知在等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35,求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.由a 1＝1,a 3＝－3,可得1＋2d ＝－3,解得d ＝－2.所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n.(2)由a 1＝1,d ＝－2,得S n ＝2n －n 2.又S k ＝－35,则2k －k 2＝－35,即k 2－2k －35＝0,解得k ＝7或k ＝－5.又k∈N ＋,故k ＝7.10.某仓库有同一型号的圆钢600根,堆放成如图所示的形状,从第二层开始,每一层比下面一层少放一根,而第一层至少要比第二层少一根,要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少),则最下面一层放几根？共堆了多少层？解：设最下面一层放n 根,则最多可堆n 层,则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2≥600, 所以n 2＋n －1 200≥0,记f(n)＝n 2＋n －1 200,因为当n∈N ＋时,f(n)单调递增,而f(35)＝60>0,f(34)＝－10<0,所以n≥35,因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630,所以最多可堆放630根,必须去掉上面30根,去掉顶上7层,共1＋2＋3＋…＋7＝28根,再去掉顶上第8层的2根,剩下的600根共堆了28层．[B 能力提升]11．等差数列{a n }的前四项之和为124,后四项之和为156,各项和为210,则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124,a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156,所以4(a 1＋a n )＝280,所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210,所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n＋27),则它们的第11项之比为____________．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等差数列{b n }的前n 项和为T n ,则a 11＝a 1＋a 212,b 11＝b 1＋b 212, 所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶313．已知数列{a n }中,a 1＝1,当n≥2时,其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列,并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1,求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12,结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12(n≥2), 化简整理得1S n －1S n －1＝2(n≥2),知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列,所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1,所以S n ＝12n －1.(2)b n ＝S n 2n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1, 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1－ ⎭⎪⎫12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4＝117,a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列,且b n ＝S n n ＋c,求非零常数c 的值．解：(1)因为数列{a n }为等差数列,所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117,所以a 3,a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根,又公差d>0,所以a 3<a 4,所以a 3＝9,a 4＝13,从而可得a 1＝1,d ＝4,所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1,d ＝4,所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18,所以当n ＝1时,S n 最小,最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n,所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c , 所以b 1＝11＋c ,b 2＝62＋c ,b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列,所以2b 2＝b 1＋b 3,即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c,得2c 2＋c ＝0,所以c ＝－12或c ＝0(舍去),所以c ＝－12.。

北师大版高中数学必修5练习-等差数列的前n项和

[练案5]A 级基础巩固一、选择题1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10＝( C ) A ．138 B ．135 C ．95D ．23[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝4 ①a 3＋a 5＝10 ②， ②－①得2d ＝6，∴d ＝3.a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×3＝4， ∴a 1＝－4，S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C ．2．(2018·全国卷Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( B )A ．－12B ．－10C ．10D ．12[解析] 3⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22×d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32×d ⇒9a 1＋9d ＝6a 1＋7d ⇒3a 1＋2d ＝0⇒6＋2d ＝0⇒d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.3．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( A ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，且a 1＝1，∴d ＝2，∴a 2＝a 1＋d ＝3.4．已知等差数列{a n }前9项的和为27，则a 10＝8，则a 100＝( C ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( A )A ．1B ．－1C ．2D ．12[解析]S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1，故选A ． 6．(2017·全国卷Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( C )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝246a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4. 故选C ．二、填空题7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于 27 .[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，a 2＝a 1＋12，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝ 10 . [解析] 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式以及基本运算能力．设等差数列公差为d ，则a n ＝1＋(n －1)d ， ∵S 4＝S 9，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0， ∴a 7＝0，∴1＋6d ＝0，d ＝－16.又a 4＝1＋3×(－16)＝12，a k ＝1＋(k －1)d ，∴12＋1＋(k －1)d ＝0，d ＝－16代入，得k ＝10. 三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ理，17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值． [解析](1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.10．等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，则该数列前多少项的和最小？ [解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×8×d ＝12a 1＋12×12×11×d即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d ， ∵a 1<0，∴d >0，∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn＝d 2⎝⎛⎭⎫n －2122－2182d . ∵d >0，∴S n 有最小值．又∵n ∈N ＋，∴n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．解法二：同解法一，由S 9＝S 12，得d a 1＝－110.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎨⎧1－110(n －1)≥01－110n ≤0.解得10≤n ≤11.∴n 取10或11时，S n 取最小值．解法三：∵S 9＝S 12，∴a 10＋a 11＋a 12＝0，∴3a 11＝0， ∴a 11＝0.∵a 1<0，∴前10项或前11项和最小．B 级素养提升一、选择题1．(2019·长沙一中)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 4＝39,3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99.2．(2017·浙江卷，6)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 方法1：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列， ∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， ∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d . 若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即S 4＋S 6>2S 5.若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ， ∴d >0.∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．故选C ．方法2：∵S 4＋S 6>2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5)⇔a 6>a 5⇔a 5＋d >a 5⇔d >0， ∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．故选C ．3．已知一个等差数列共n 项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( B )A ．24B ．26C ．25D ．28[解析] 设该等差数列为{a n }，由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3， ∴4(a 1＋a n )＝21＋67＝88，∴a 1＋a n ＝22. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝11n ＝286，∴n ＝26.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( C )A ．38B ．20C ．10D ．9[解析] 由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1＝2a m ，∴2a m ＝a 2m ，由题意，得a m ≠0，∴a m ＝2.又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2a m (2m －1)2＝2(2m －1)＝38，∴m ＝10. 二、填空题5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝ 100 .[解析] ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线， ∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝200×(a 1＋a 200)2＝100.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝ 24 . [解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16，∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24. 三、解答题7．(2019·深圳耀华实验中学高二月考)在等差数列{a n }中，S n 为该数列的前n 项和． (1)已知a 5＝11，a 8＝5，求a n ；(2)设{a n }是公差为正数的等差数列．若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13.[解析] (1)设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝11a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝19－2(n －1)＝21－2n . (2)∵{a n }是公差为正数的等差数列． ∴d >0，a 1＋a 3＝2a 2，∵a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，∴3a 2＝15，a 2＝5，a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16. 则a 1，a 3是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，由x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8， ∵a 3>a 1，∴a 1＝2，a 3＝8.d ＝a 3－a 12＝8－22＝3， ∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3×(a 1＋11d ) ＝3×(2＋11×3)＝105.8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知S 6＝36，S n ＝324，若S n －6＝144(n >6)，求数列的项数n .[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝324－144，② 由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝216， ∴6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝18n ＝324，∴n ＝18.。

2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：1.2.2 等差数列的前n项和(一)

2.2 等差数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.把握等差数列前n 项和公式及其猎取思路.2.经受公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的争辩方法，学会观看、归纳、反思.3.娴熟把握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．1．数列的前n 项和设S n 为数列{a n }的前n 项和，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1. 2．等差数列的前n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d3.等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出的一道数学题为1到100的全部整数的和为多少？很快高斯便得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来争辩它．探究点一等差数列前n 项和公式思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？答高斯的算法是S 100＝1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100＝100＋99＋98＋97＋…＋3＋2＋1，这两个等式上、下对应项的和均为101，所以2S 100＝101×100＝10 100，即S 100＝5 050.思考2 人们从“高斯的算法”受到启示，制造了“倒序相加法”，即设S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101， ∴S ＝50×101＝5 050.你能利用此种方法求1＋2＋3＋…＋n 等于多少吗？答设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)2.思考3 如何用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？答 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]； S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]．两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2.依据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋n (n －1)2d .小结 (1)我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .(2)等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .例1 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含很多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从其次圈开头，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9. 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板 a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板 S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)．答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟建立等差数列的模型时，要依据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是依据首项和公差选择前n 项和公式进行求解．易错方面：把前n 项和与最终一项混淆，遗忘答或写单位．跟踪训练1 在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10 m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列：0,20,40,60，…，380，这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和 S ＝20×(20－1)2×20＝3 800(m)．答植树工人共走了3 800 m 的路程．例2 九江抗洪指挥部接到预报，24 h 后有一洪峰到达，为确保平安，指挥部打算在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为其次道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h ．但目前只有一辆投入施工，其余的需从昌九高速大路沿线抽调，每隔20 min 能有一辆翻斗车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h 内能否构筑成其次道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：h)依次设为a 1，a 2，…，a 25，由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×⎝⎛⎭⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. 因此，在24 h 内能构筑成其次道防线．反思与感悟解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型．本题就是建立了等差数列的前n 项和这一数学模型，以方程为工具解决问题的．跟踪训练2 若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24. 由例题的解答可知，需要完成的工作量为480.即25辆翻斗车完成的工作量需满足条件 a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×d ≥480，解得d ≥－25.所以最长每隔24分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务．探究点二等差数列前n 项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？假如是，它们的公差是多少？答由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d . 同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答a nb n ＝S 2n －1T 2n －1. 证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ；同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n. 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.(2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，假如运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)＝12n －52， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋(－12)×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171. [呈重点、现规律]1．推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要留意整体思想的应用，留意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类争辩思想．一、基础过关1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15 答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，全部被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案n ＋1n解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧a ＋3a ＝2×4d ＝4－aka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50. 二、力气提升8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析由于{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案 A 解析方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13， ∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9照旧是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3， S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开头运动后几分钟相遇？(2)假如甲、乙到达对方起点后马上返回，甲连续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙连续每分钟走5 m ，那么开头运动几分钟后其次次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开头运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开头运动后15分钟．12．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项和为－110.方法二设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与拓展13．2000年11月14日训练部下发了《关于在中学校实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中学校建成不同标准的校内网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺当实施，方案每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的将来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解依题意得，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列{a n }，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2010年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×(10－1)2×50＝7 250(万元)．答从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．。

高中数学 1.2.2 等差数列的前n项和(一)课时作业北师

2.2 等差数列的前n项和(一)课时目标1.掌握等差数列前n项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n之间的关系．1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做____________________________．例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作______；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝______ (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝__________；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝____________. 3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为________．(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( )A.12 B ．2 C.14D ．4 3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6636．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1二、填空题7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________．9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．三、解答题11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．2914．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．2 等差数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．S n S 16 S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋12n (n －1)d3．(1)d2作业设计1．C [S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.]2．A [由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.]3．D [由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.]4．B [数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.]5．B [因a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.] 6．B [由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.] 7．15解析设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 8.6512解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.9．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150.∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10. 10．210解析方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. 方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 11．解由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.12．解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n . 13．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190. 当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]14．D [a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n ＝1,2,3,5,11.]。

1.2.3 等差数列的前n项和 课后作业(北师大版必修5)

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