安徽省黄山市届高考数学三模试卷理(含解析)【含答案】

安徽省黄山市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．2．（5分）已知集合M={x|y=lg（1﹣x）}，集合N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．∅3．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣14．（5分）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）A．B．C．D．5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=r•a n+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．4 D．﹣17．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数有且仅有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．5 B．C．3 D．9．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（1，﹣1），且z=的最小值为﹣1，则实数a=（）A．7 B．5 C．4 D．310．（5分）对于定义在区间M上的函数f（x），若满足对∀x1，x2∈M且x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间M上的“非减函数”，若f（x）为区间上的“非减函数”，且f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1；又当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立．有下列命题：①∀x∈，f（x）≥0；②当x1，x2∈且x1≠x2时，f（x1）≠f（x2）；③f（）+f（）+f（）+f（）=2；④当x∈时，f（f（x））≤f（x）．其中正确命题有（）A．②③B．①②③C．①②④D．①③④二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为．12．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是．13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足=a x，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，若有穷数列{}（n∈N•）的前n项和等于，则n=．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线|CM|=2，若动点P满足=sin2θ+cos2θ（θ∈R），15．给出下列命题：①对∀θ∈R，∃λ∈R，使得=λ；②当θ∈（﹣，）时，存在唯一的θ，使=（+）；③动点P在运动的过程中，（+）•的取值范围为；④若||=2，动点P在运动的过程中，||2+||2+||2的最小值为．以上命题中，其中正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足f（+π）=，cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，a=2，求△ABC的面积．17．（12分）某高校自主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定只有前一轮考核通过才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该校的自主招生考试．学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为，，，各轮考核通过与否相互独立．学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立，甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响．（Ⅰ）求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率；（Ⅱ）甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试，每通过一轮分别奖励学生100元，200元，300元，记学生甲获得奖励的金额为X，求X的分布列及数学期望．18．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2=S n+S n﹣1（n≥2），a1=1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对任意n∈N•，都有T n＜恒成立．19．（13分）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置．（Ⅰ）如图2，当A1C⊥CD时，求证：A1C⊥平面BCDE；（Ⅱ）如图3，设平面A1CD与平面A1BE所成锐二面角为θ，当tanθ=时，求点C到平面A1BE的距离．20．（13分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C为椭圆上的三点（A，B不在坐标轴上），满足=+，直线OA，OB分别交直线l：x=3于M，N两点，设直线OA，OB的斜率为k1，k2．证明：k1•k2为定值，并求线段MN长度的最小值．21．（13分）已知函数f（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N•）安徽省黄山市2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得 z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．解答：解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）已知集合M={x|y=lg（1﹣x）}，集合N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由M中y=lg（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴M={x|x＜1}，由N中y=2x＞0，得到N={y|y＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1考点：二项式系数的性质．专题：概率与统计．分析： 由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x 2的系数为+a•=5，由此解得a 的值．解答： 解：已知（1+ax ）（1+x ）5=（1+ax ）（1+x+x 2+x 3+x 4+x 5）展开式中x 2的系数为+a•=5，解得a=﹣1，故选：D ．点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 4．（5分）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 参数方程为（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，则直线l 被曲线C 截得的弦长为（）A ．B ．C ．D ．考点： 参数方程化成普通方程．专题： 直线与圆；坐标系和参数方程．分析： 把直线l 的参数方程、曲线C 的极坐标方程都化为普通方程，利用圆心到直线l 的距离d 与半径r 求出弦长|AB|的值． 解答： 解：把直线l 的参数方程（t 为参数）化为普通方程是x+y ﹣3=0，把曲线C 的极坐标方程ρ=4sin θ变形为 ρ2=4ρsin θ，化为普通方程是x 2+y 2=4y ，即x 2+（y ﹣2）2=4， 它表示圆心为（0，2），半径r=2的圆； 则圆心到直线l 的距离为 d==，所以，直线l 被曲线C 截得的弦长为 |AB|=2=2=．故选：B ．点评： 本题考查了直线的参数方程与圆的极坐标方程的应用问题，解题时可以化为普通方程进行解答，是基础题目．5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=r•a n+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：把r=1代入给出的递推式，直接判断出数列{a n}是等差数列，再由给出的递推式，当r≠1时，配方后得到，说明数列{}是等比数列，求出其通项公式后可得a n，由a n看出，当r=时数列{a n}为等差数列，从而说明“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的不必要条件．解答：解：当r=1时，等式a n+1=r•a n+r化为a n+1=a n+1，即a n+1﹣a n=1（n∈N*）．所以，数列{a n}是首项a1=1，公差为1的等差数列；“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的充分条件；当r不等于1时，由，得：，所以，数列{}是首项为，公比为r的等比数列所以，，．当r=时，a n=1．{a n}是首项为1，公差为0的等差数列．因此，“r=1”不是“数列{a n}成等差数列”的必要条件．综上可知，“r=1”是“数列{a n}成等差数列”的充分但不必要条件．故选A．点评：本题考查了必要条件、充分条件及充要条件，解答的关键是判断必要性，也是该题的难点，考查了由递推式求数列的通项公式，对于a n+1=pa n+q型的递推式，一般都可转化成一个新的等比数列．此题是中档题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．4 D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值并输出．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 S i循环前/4 1第一圈是﹣1 2第二圈是 3第三圈是 4第四圈是4 5第五圈否故最后输出的S值为4．故选C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．7．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据=求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，∴=，b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故选C．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．8．（5分）已知函数有且仅有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．5 B．C．3 D．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；压轴题．分析：根据函数f（x）的对称性可知=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得．解答：解：∵方程有3个实数根，=k有解时总会有2个根，所以必含有1这个根令=1，解得x=2或x=0所以x12+x22+x32═02+12+22=5．故选A点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用．利用了函数图象的对称性和方程根的分布，考查了学生分析问题的能力．9．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（1，﹣1），且z=的最小值为﹣1，则实数a=（）A．7 B．5 C．4 D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积的定义将目标函数进行化简，结合z 的几何意义进行求解即可．解答：解：∵且的最小值为﹣1，∴x﹣y的最小值为﹣1，设z=x﹣y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，∵x﹣y的最小值为﹣1，∴作出直线x﹣y=﹣1，则直线x﹣y=﹣1与y=2x﹣1相交于A，此时A为一个边界点，由，解得，即A（2，3），此时A也在直线x+y=a上，则a=2+3=5，即直线为x+y=5，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，此时z min=2﹣3=﹣1，满足条件．故a=5，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义以及向量数量积将目标函数进行化简是解决本题的关键．，注意利用数形结合来解决．10．（5分）对于定义在区间M上的函数f（x），若满足对∀x1，x2∈M且x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间M上的“非减函数”，若f（x）为区间上的“非减函数”，且f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1；又当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立．有下列命题：①∀x∈，f（x）≥0；②当x1，x2∈且x1≠x2时，f（x1）≠f（x2）；③f（）+f（）+f（）+f（）=2；④当x∈时，f（f（x））≤f（x）．其中正确命题有（）A．②③B．①②③C．①②④D．①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：对于①，由f（0）=0，然后直接利用“非减函数”的定义进行判断；对于②，由x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立得到f（）≤，在等式f（x）+f（l﹣x）=l中，取x=得到f（）=，而＞，从而说明f（）≥．利用两边夹的思想得到f（）=．同理得到f（）=．结合新定义即可得到结论；对于③，结合②的结论及等式f（x）+f（l﹣x）=l变形即可得到；对于④，当x∈时，判断f（x）与x的大小关系即可．正确．解答：解：对于①，因为f（0）=0，所以对∀x∈，根据“非减函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；对于②，因为当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立，∴f（）≤，又f（x）+f（l﹣x）=l，所以f（）=，由而＞，由“非减函数”的定义可知，所以f（）≥．所以f（）=．同理有f（）=．当x∈时，由“非减函数”的定义可知，f（）≤f（x）≤f（），所以f（x）=．所以②不正确；由②中，当x∈时，f（x）=．可得：所以③正确；f（）=f（）=，由f（x）+f（1﹣x）=1得：f（）+f（）=1，故f（）+f（）+f（）+f（）=2，故③正确；对于④，当x∈时，x≥2x﹣1，因为函数f（x）为区间D上的“非减函数”，所以f（x）≥f（2x﹣1），所以f（f（x））≤f（2x﹣1）≤f（x）．所以④正确．故正确命题有：①③④．故选：D点评：本题考查了命题的真假判断与运用，考查了抽象函数的性质，解答的关键是正确理解新定义，考查了学生的抽象思维能力，是中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题符合几何概型，分别求出已知区间的长度，以及满足不等式的区间长度，利用长度比得到所求．解答：解：区间的长度为4，不等式|x|﹣|x﹣1|≥1等价于①，②，③，解①得x≥1；解②得∅；解③得∅，所以不等式的解集为：{x|x≥1}，所以在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为：；故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型12．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是63．考点：系统抽样方法．专题：压轴题．分析：此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样．按题目中要求的规则抽取即可，在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，由m=6，k=7得到要抽数字的个位数．解答：解：∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小组中抽取的号码是63．故答案为：63．点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样．要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，故底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故体积为64，棱锥的高为4，故体积为：，故组合体的体积V=64﹣=，故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足=a x，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，若有穷数列{}（n∈N•）的前n项和等于，则n=6．考点：数列的求和．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：由列出方程求出a的值，根据求导法则求出，结合条件判断出导数的符号，即可确定函数的单调性，由指数函数的单调性确定a的值，代入由条件和等比数列的前n项和公式求出n的值．解答：解：因为=a x，且，所以a+，化简得2a2﹣5a+2=0，解得a=或2，因为f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），所以=＜0，则在定义域上单调递减，故a=，所以=，则有穷数列{}（n∈N•）是以为首项、公比的等比数列，因为有穷数列{}（n∈N•）的前n项和等于，所以，解得n=6，故答案为：6．点评：本题考查了等比数列的定义、前n项和公式，以及函数的导数与函数单调性关系，属于中档题．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线|CM|=2，若动点P满足=sin2θ+cos2θ（θ∈R），15．给出下列命题：①对∀θ∈R，∃λ∈R，使得=λ；②当θ∈（﹣，）时，存在唯一的θ，使=（+）；③动点P在运动的过程中，（+）•的取值范围为；④若||=2，动点P在运动的过程中，||2+||2+||2的最小值为．以上命题中，其中正确命题的序号为①③．考点：命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由给出的等式结合共线向量基本定理可得C、P、M共线，由此判断①正确；由给出的向量等式可知P为△ABC的重心，求出，结合θ范围可得满足条件的θ有两个，判断②错误；由，得（+）•==2||||cosπ=﹣2||||，然后利用基本不等式求得（+）•的取值范围判断③正确；由已知求出||2+||2+||2的最小值说明④错误．解答：解：∵动点P满足=sin2θ+cos2θ（θ∈R），且sin2θ+cos2θ=1，又∵cos2θ∈，∴P在线段CM上，则对∀θ∈R，∃λ∈R，使得=λ正确，命题①正确；∵CM为AB边上的中线，若=（+），则P为△ABC的重心，此时=，∴，∵θ∈（﹣，），∴，则命题②错误；由判断①的过程知，P、M、C三点共线，即点P在CM上，而，故（+）•==2||||cosπ=﹣2||||，∵||+||=CM=2，由基本不等式可得：||||≤．∴﹣2，当P与M或C重合时（+）•最大为0，命题③正确；设（0≤λ≤1），则||2+||2+||2 ===4λ2+1+4λ2+1+4（λ﹣1）2=12λ2﹣8λ+6．当时，||2+||2+||2 有最小值为，故命题④错误．∴正确的命题是①③．故答案为：①③．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足f（+π）=，cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，a=2，求△ABC的面积．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+1，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解；（Ⅱ）已知等式根据三角函数中的恒等变换应用化简可得tanB=，结合B∈（0，π）可求B，又化简f（）=，可得△ABC为正三角形，结合a及三角形面积公式即可得解．解答：本小题满分为12分解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）+1，∴函数f（x）的最小正周期为π…3分由2kπ﹣≤2x﹣≤2k（k∈Z）可得：kπkπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调增区间为：（k∈Z）…6分（Ⅱ）在△ABC中，cosC=﹣cos（A+B），及cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，可得：sinAsinB ﹣sinAcosB=0，而sinA≠0，∴ta nB=，∵B∈（0，π），∴B=．又∵f（）=sin（A+）+1=cosA+1=，∴cosA=，∴A=．∴△ABC为正三角形，又a=2，∴△ABC的面积S==2…12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）某高校自主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定只有前一轮考核通过才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该校的自主招生考试．学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为，，，各轮考核通过与否相互独立．学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立，甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响．（Ⅰ）求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率；（Ⅱ）甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试，每通过一轮分别奖励学生100元，200元，300元，记学生甲获得奖励的金额为X，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据所给的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果．（Ⅱ）根据学生甲得到教育基金的金额为X，X的次数的取值是0元，100元，300元，600元，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可解答：解：（Ⅰ）设甲通过该校自荐材料审核、笔试、面试三轮分别为事件A1，A2，A3；通过高校自主招生考试为事件A，乙通过该校自荐材料审核、笔试、面试三轮分别为事件B1，B2，B3；通过高校自主招生考试为事件B，则事件A1，A2，A3相互独立，事件B1，B2，B3；相互独立，事件A，B相互独立．P（A）=P（A1，A2，A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=P（B）=P（B1B2B3）=P（B1）P（B2）P（B3）=设甲乙恰有一人通过该校自主招生考生为事件C，则C=A，事件与A互斥，P（C）=P（A）=P（A）P（）+P（）=（Ⅱ）随机变量X的取值为0，100，300，600P（X=0）=，P（X=100）=，P（X=300）=，P（X=600）=X 0 100 300 600PEX=点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．18．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2=S n+S n﹣1（n≥2），a1=1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对任意n∈N•，都有T n＜恒成立．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）a n2=S n+S n﹣1（n≥2），当n≥3时，=S n﹣1+S n﹣2，两式相减可得：a n﹣a n﹣1=1（n≥3）．当n=2时，也成立，即a n﹣a n﹣1=1（n≥2），利用等差数列的通项公式即可得出．（II）b n==，利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出．解答：（I）解：∵a n2=S n+S n﹣1（n≥2），当n≥3时，=S n﹣1+S n﹣2，∴=S n﹣S n﹣2=a n+a n﹣1，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1（n≥3）．又=S2+S1=a2+2a1，a1=1，a2＞0，解得a2=2，∴a2﹣a1=1，∴a n﹣a n﹣1=1（n≥2）．∴数列{a n}为等差数列，公差为1，∴a n=1+（n﹣1）=n．（II）证明：b n===，∴T n=+…++=＜=．∴对任意n∈N•，都有T n＜恒成立．点评：题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式、递推式的应用、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（13分）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置．（Ⅰ）如图2，当A1C⊥CD时，求证：A1C⊥平面BCDE；（Ⅱ）如图3，设平面A1CD与平面A1BE所成锐二面角为θ，当tanθ=时，求点C到平面A1BE的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）先证明BC⊥A1C，DE⊥A1C，A1C⊥CD，即可证明A1C⊥平面BCDE．（Ⅱ）延长CD，BE交于点F，则平面A1CD∩平面A1BE=A1F，过D作DQ⊥A1F，垂足为Q，连接EQ，证明∠DQE为二面角C﹣A1F﹣B的平面角，A1D⊥CD，建立如图所示的坐标系，求出平面A1BE的法向量，即可求出点C到平面A1BE的距离．解答：（Ⅰ）证明：∵∠C=90°，DE∥BC，∴BC⊥CD，BC⊥A1D，CD∩A1D=D，∴BC⊥平面A1CD，∴BC⊥A1C，DE⊥A1C，∵A1C⊥CD，CD∩BC=C，CD∩DE=D，DE∥BC，∴A1C⊥平面BCDE．（Ⅱ）解：延长CD，BE交于点F，则平面A1CD∩平面A1BE=A1F，过D作DQ⊥A1F，垂足为Q，连接EQ，∵BC⊥平面A1CD，DE∥BC，∴DE⊥平面A1CD，∴EQ⊥A1F，∴∠DQE为二面角C﹣A1F﹣B的平面角，即tanθ=tan∠DQE=，由图1，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，且DE∥BC，DE=2，∴AD=4，C D=2，图3中，DF=A1D=4，∴DQ==2，∴A1Q=QF=2，∴∠A1DF=90°，∴A1D⊥CD，∵A1D⊥DE，DC⊥DE，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，3，0），E（0，2，0），A1（0，0，4）∴=（2，3，﹣4），=（﹣2，﹣1，0），设平面A1BE的法向量为=（x，y，z），则，取=（﹣1，2，1），∵=（0，3，0），∴点C到平面A1BE的距离为=．点评：本题主要考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角，考查点C到平面A1BE 的距离，知识综合强．20．（13分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C为椭圆上的三点（A，B不在坐标轴上），满足=+，直线OA，OB分别交直线l：x=3于M，N两点，设直线OA，OB的斜率为k1，k2．证明：k1•k2为定值，并求线段MN长度的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由题意可得：，解得即可得出椭圆的标准方程．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=1．由于满足=+，可得=．代入椭圆的方程化简可得：x1x2+4y1y2=0，即可证明k1k2为定值．设OA：y=k1x，OB：y=﹣x，令x=3，解得M，N．|MN|==，利用基本不等式的性质即可得出．解答：（I）解：由题意可得：，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆的标准方程为：．（II）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=1，①．∵满足=+，∴=．代入椭圆的方程可得：，化为++=1，由①可得：x1x2+4y1y2=0，∴k1k2=﹣为定值．设OA：y=k1x，OB：y=﹣x，令x=3，解得M（3，3k1），N．∴|MN|==≥3×=3，当且仅当时取等号，∴|MN|的最小值为3．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（13分）已知函数f（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：（）n+（）n+…+（）n+（）n＜（n∈N•）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得增区间和减区间，即可得到最小值f（0）=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得≥1，即e x≥x+1，即有x≥ln（x+1），当且仅当x=0取得等号，令1+x=，则﹣1≥ln，即k﹣n≥nln=ln（）n．（当且仅当n=k取得等号），运用累加法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=（x＞﹣1）的导数为f′（x）=，由f′（x）＞0可得x＞0，由由f′（x）＜0可得﹣1＜x＜0，即有f（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为f（0）=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得≥1，即e x≥x+1，即有x≥ln（x+1），当且仅当x=0取得等号，令1+x=，则﹣1≥ln，即k﹣n≥nln=ln（）n．（当且仅当n=k取得等号），将k从1到n取值，可得1﹣n≥ln（）n.2﹣n≥ln（）n…，（n﹣1）﹣n≥ln（）n，n﹣n≥ln（）n．则有（）n≤e1﹣n，（）n≤e2﹣n，…，（）n≤e（n﹣1）﹣n，（）n≤e n﹣n．即有（）n+（）n+…+（）n+（）n≤e1﹣n+e2﹣n+…+e（n﹣1）﹣n+e n﹣n==＜（n∈N•）．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的证明，注意运用函数的最值和不等式的性质及等比数列的求和公式，属于中档题．。