双曲线及其标准方程PPT[文字可编辑]
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双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)
o
x
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
X
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距
离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常
数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B)，
解:
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x
轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680，
y
A
P B
即 2a=680，a=340. 又 AB 800，
所以 2c=800,c=400,
b2 c 2 a 2 44 400，
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M
|||MF1
| - | MF2|| = 2a },
即
( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a .
2
4.化简 代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 a 2 ), 得
x2 y2 2 1. 2 2 a c a
双曲线及其标准方程完整版课件
2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
双曲线及其标准方程ppt课件
所以 2 mm 1 0 ，解得 m 2 或 m 1， 即实数 m 的取值范围是,2 1, .
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
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谢谢观看
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
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谢谢观看
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
双曲线及其标准方程ppt课件
C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线
双曲线及其标准方程 课件
焦距
|F1F2|＝2c，c2＝__a_2＋__b_2__
探究点一 双曲线的定义 问题 1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各
选择一点，分别固定在点 F1，F2 上，把笔尖放在点 M 处， 拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲 线满足什么条件？ 答案 如图，曲线上的点满足条件： |MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置， 使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
结论：平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
问题 2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离 差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什 么？
答案 若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一 支．
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)方程为 115x2600－44y4200＝1 (x>0)．
小结 (1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把 握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双 曲线的定义及性质的灵活应用． (2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着 的变量范围．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝±2a.
①
(4)化简：移项，平方后可得
(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)．
②
(5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足 方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点 (－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解 为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线
双曲线及其标准方程ppt
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系： 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b
方程
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
（1）2a<2c ；
（2）2a >0 ；
F1
o
F2
方程的推导
求曲线方程的步骤：yBiblioteka M1. 建系设点.
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
O
F2
x
2. 写出适合条件的点M的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简.
得1 m 2
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F1
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
O
F2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 1 2 2 a b
2
2
(a 0，b 0)
双曲线与椭圆之间的区别与联系： 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b
方程
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
（1）2a<2c ；
（2）2a >0 ；
F1
o
F2
方程的推导
求曲线方程的步骤：yBiblioteka M1. 建系设点.
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
O
F2
x
2. 写出适合条件的点M的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简.
得1 m 2
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F1
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
O
F2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 1 2 2 a b
2
2
(a 0，b 0)
双曲线及其标准方程ppt课件
课后提升
1.必做题：P127页课本习题3.2第1，2，5题
2. 思考题（选做）:定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告，正西、
正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其
它两个观测点晚4秒。已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试
确定该巨响发生的位置。
（假定声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面内。）
−
= 令 = −
−
你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗？
1
验证
设点
2
坐标法
4
化简
列式
3
绝对值
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
重
点
4
5
类比推理，举一反三
列表对比，加深理解
教学过程分析
方程推导
在学生脑海里留下更加深刻的印象。
通过学生的自主学习、小组合作、师生互
动，让学生学会交流、表达、质疑、反思。
04
01
02
03
谢
大
谢
家
5.及时练习，巩固所学
6.回顾小结，思维提升
7.课后延伸，探究发现
教学过程分析
复习回顾，课题导入
复习回顾：
椭圆及其标准方程
创设情境
导入课题：双曲线及其标准方程
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
4
类比推理，举一反三
5
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1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上.
解：双曲线的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 16 9
15
2）a= ，c=4 ，焦点在坐标轴上.
解? b2 ? c2 ? a 2 ? 16 ? 15 ? 1
? 标准方程为 x2 ? y2 ? 1或 y2 ? x2 ? 1
?1
y2 a2
?
x2 b2
?
1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ? a2 ? b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
椭圆
定义
标准 方 程
焦点
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
?
1
F(0, ± c)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点
所在位置与分母的大小无关。
x2 a2
?
y2 b2
?
1
F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
c2 ? a 2 ? b2 ?a ? 0, b ? 0?
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2-Biblioteka y2 b2=1
y2 a2
-
x2 =1
b2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
双曲线定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱ F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线 .
| |MF 1| - |MF 2| | = 2a （2a< |F1F2|）
① 两个定点F 1、F 2——双曲线的焦点;
② |F 1F 2|=2c ——焦距.
M
思考：
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？(1)两条射线
y
M F2
F1
x
y2 a2
?
x2 b2
?
1
F(0, ± c)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标（请注意焦点的位置）
1. x2 ? y2 ? 1 16 9
2. y2 ? x2 ? 1 16 9
F(±5,0) F(0,±5)
例1 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F 2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于 6，求双 曲线的标准方程 .
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
迪拜双曲线建筑
1、我们知道
平面内与两定点 F 1、F 2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F 1F 2|) 的点的轨迹是 椭圆
Y M ?x, y?
2. 引入问题：
O
F1?? c, 0 ?
F
?c
2
,
0
?X
平面内与两定点 F 1、F 2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
解:? 6 ? 10 ? 点P的轨迹为双曲线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为
：
x2 a2
?
y2 b2
?
1
(a ? 0, b ? 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 ? y2 ? 1 9 16
课堂练习
双曲线的标准方程 :
y
y
焦
M
M
焦
点
在
x轴
F1 O F2 x
上
点
F2
在
O
x y轴
F1
上
? ? x2
a2
?
y2 b2
?1
y2 a2
?
x2 b2
?1
c2 ? a 2 ? b2 a ? 0, b ? 0
x2 a2
?
y2 b2
?
1
F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
x
y2 a2
?
x2 b2
F1 o F2
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？(2)不表示任何轨迹
设 c2 ? a 2 ? b2 ?b ? 0?
代入上式整理得： x 2 a2
?
y2 b2
?
1 ?a
?
0, b
?
0?
?想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么
y2 a2
-
x2 b2
=1
(a ? 0，b ? 0)
y F2
ox F1
15
15
?例3、如果方程 求m的范围
mx-21+2-ym2 =表1示双曲线，
?解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
定义 图象
| |MF 1|-|MF 2| | =2 a（０ < 2a<|F 1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 a2
?
y2 b2