第四章 周期信号的频域分析 4-2
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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
4-2周期信号通过线性系统
H ( jω) = H ( jω) e jϕ(ω)
H ( jω ) = Y ( jω ) : F ( jω )
ϕ (ω ) :
系统幅频特性：响应与激励信号幅度比 系统相频特性：响应与激励信号相位差
二、计算
稳定系统
∫ 1) H( jω) = ∞ h(t)e− jωtdt −∞
2) H ( jω ) = Y ( jω ) F ( jω )
U2( jω) =U( jω)H( jω)
= [πδ(ω) + 1 ]• jω jω jω + 2
=1 jω + 2
∴ u2 (t) = e−2tU (t)
4.4 频域系统函数（频率特性）
一、定义
f (t) ⇒ F( jω)
h(t) ⇒ H( jω)
f (t)
y (t )
y(t) = f (t)*h(t)
第四章 连续系统频域分析
4-2 周期信号通过线性系统
对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：
∞
∑ ∑ f (t ) = A0 + ∞ An cos( nΩ t + ϕ n ) =
F n e jn Ω t
n =1
n = −∞
一、基本信号 ：
f (t) = e jωt
y f (t) = h (t) * f (t)
H ( jn Ω ) = H ( jn Ω ) e jϕ ( nΩ )
（2）方法二：傅立叶变换（频域分析法）
∞
F ( jω ) = 2π ∑ Fnδ (ω − nΩ) n = −∞ ∞
Y ( jω ) = H ( jω ) F ( jω ) = 2π ∑ Fnδ (ω − nΩ ) H ( jω ) n = −∞ ∞ = 2π ∑ H ( jnΩ ) Fnδ (ω − nΩ ) n = −∞
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
周期信号的频域分析
周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。
频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。
要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。
计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。
2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。
3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。
计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。
频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。
1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。
幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。
2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。
相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。
通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。
频域分析的应用十分广泛。
在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。
此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。
总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。
第四章_周期信号频域分析
C n 1 T0
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
第4章 连续信号的频域分析
4. 周期的影响
信号周期T越大，W0 2 / T
就越小，则谱线越密。反之，T越小，W0越大，谱线则越疏。
▲
■
第7页
4.2 连续非周期信号的频域分析
4.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期信号通过傅里叶级数可以用正弦型或复指数型信号来表示。由（4.1.2）式可
知，周期矩形脉冲信号离散频谱函数为：
X (nW) 2A
第4章 连续信号的频域分析
前面章节讨论了信号的时域分析，本章将研究信号 的频域（包括s域）分析及其应用。
■
第1页
4.1 连续周期信号的频域分析
• 连续周期信号的频谱是指连续周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。
• 4.1.1 频谱的概念
•
对周期信号的时域分析表明，一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以利用正弦型信号或
4.1.2 典型连续周期信号的傅里叶级数
1．连续周期矩形方波信号
如图4-1-1所示的周期矩形方波信号，设脉冲宽度为，脉冲幅度为A，重复周期为T， 主周期为T0。将展成指数形式的傅里叶级数：
其中：
W 2f 2 , f 1
T
T
可见周期矩形脉冲信号x(t)的频谱图
是采样函数Sa。
x(t)
- /2
A /2
例4-2-1计算三角波信号的频谱
如图4-2-1所示的三角波，用数值方法和符号运算近似计算出该三角波信号的频谱。
解：（1）用数值积分近似计算三角波信号频谱
-T
0 T0
（4.1.2）
X (nW)
x(t)
X (nW)e jnWt
n
X
(nW)
1 T
T /2 T / 2
4.2周期信号的频谱
2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统
周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t
4.2-5
f (t )
0
2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2
周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱
信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
4-2周期信号的频谱
1.单边谱 幅度谱： n 和ω的关系表示在一张图里称为幅度谱； Ａ 相位谱： n和ω的关系表示在一张图里，称为相位谱。
An
A1
A2
A3
实际工程应用
n
0 Ω
ω
ω
-2π
由三角Ｆourier级数得的谱图为单边谱。
2.双边谱 幅度谱：
f t
n
Fe
n
jn t
|Fn|和ω的关系表示在一张图里称为幅度谱； 相位谱：
n
Fn e j n t 可以求周期信号的有效值
1 P T
2
T 2 T 2
f (t )dt
2
2
F0 2 Fn
n 1
n
2
Fn
时域功率等于频域功率 Parserval恒等式
例1 计算信号频谱第一个零点以内各分量的功 率所占总功率的百分比。
f (t )
n
f t T ;
n
Fn e jnt
1 Fn T
T 2 T 2
f t e jnt dt
Fn 0.
为了更好的描述非周期信号的频谱特性， 引入新的量(频谱密度)。 d T TFn 2T f t e jnt dt 为有限量. n
dt T T Sa( 2 2 )
指数级数为： f (t )
n
Fn e jnt n jnt Sa( 2 )e n
E T
T 4
Fn
1 E 4
E n Fn Sa( ) T 2
0 Ω
n
信号与系统基础-第4章
5
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
周期信号的频谱4.2
0 1
n 是 n0 的奇函数
n
0
0
n10
1 0
n 10
第四章
周期信号频谱的特点： 离散性： 由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分 量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线 间的距离为 2
0
T
谐波性： 每一条谱线只能出现在基波频率 0 的整数倍频率 上，即含有 0 的各次谐波分量，而决不含有非 0 的谐波分量。
A 0 Sa T 2
A 20 Sa T 2
0 0
0
第四章
3.相位的确定
A n0 是 n 的实函数 0 Fn Sa T 2
Fn Fn e
当
jn
Fn (cosn j sin n ) Fn cosn
T
时： 周期信号趋于非周期信号。
谱线无限密集，幅度趋于无穷小， 矩形脉冲信号含有无穷多条谱线, 连续频谱。 周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。
第四章
实际工作中，要求传输系统将信号中的主要频率分量传输过去，
周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内。 常常将
0~
2
这段频率范围称为矩形脉冲信号的
n0 sin( ) n0 A A 2 Fn Sa( ) n0 T 2 T 2
将A=1，T=1/4，=1/20，代入：
Fn 0.2 Sa (n0 / 40) 0.2 Sa (n / 5)
信号的平均功率为：
1 P T
T /2
T / 2
f (t )dt 0.2
频带宽度。记为
或
2 B ( rad / s ) 1 B f ( Hz )
第四章 周期信号的频域分析
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2π /τ)内谐波分 例4-7 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽 π 内谐波分 量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。 量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其 中A=1，T=1/4，τ=1/20。 ， ， 。
f (t )
A
−T
−
τ
2
τ
2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 nω 0τ Aτ
(2)幅度衰减特性 (2)幅度衰减特 幅度衰减
当周期信号的幅度频谱 随着谐波 ω0增 随着谐波nω 不断衰减，并最终 大 时，幅度频谱|Cn|不断衰减 不断衰减 趋于零。 若信号时域波形变化越平缓 时域波形变化越平缓，高次谐波 时域波形变化越平缓 成分就越少，幅度频谱衰减越快 幅度频谱衰减越快；若信 幅度频谱衰减越快 号时域波形变化跳变越多，高次谐波成 分就越多，幅度频谱衰减越慢。
4 4
P1 = ∑ | C n | =
2 n = —4
2 C0
+ 2 ∑ | Cn |2
n =1
= 0.1806
Cn
Aτ / T
−
2π
2π
4.3.1 周期信号频谱的概念 周期信号频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号 周期信号 可以分解为不同频率虚指数信号之和 可以分解为不同频率虚指数信号之和
f ( t ) = ∑ C n e jn ω 0 t
n=−∞ n = −∞ ∞
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数 不同， 傅里叶级数的系数C 不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数 n不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 是频率的函数， 的幅度和相位随频率变化的规律， 频谱函数。 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
4-2信号的频域分析-周期信号频域分析
N=4
N=5
k 0123
k 01234
奇对称
f [k] f [k] f [N k]
N=4 3k
012
N=5 34 k
012
30
三、DFS的基本性质
4. 周期卷积定理
DFSf1[k] ~ f 2[k] DFS{ f1[k]}DFS{ f 2[k]}
DFSf1[k]
•
f 2 [k ]
1 N
响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦
信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通
过系统后，是衰减还是增强一目了然。
2
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t)
Cn
e jn0t
n=
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
T
Cn
A / T
t
Cn
A
T
Sa( n0
2
)
2π
2π
0 2π / T
n 0
5
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
3 2
1
Cn
4 3 2 1
n
3
2
1
0
1
2
3
解： 由图可知 C0 4 C1 3 C2 1 C3 2
f (t)
Cne jn0t
n
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
第4章-2信号频域分析
fk (t)dt
t2 t1
fk (t) 2 dt
定理2.
若f(t)可用完备正交函数集{ f1(t) ，…， fn(t) }
表示，则:
t2 f
t 2dt
n
t2 Ckfk(t)2dt
t1
k1 t1
物理意义：
（Parserval定理）
一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率)之和。
0
T
1
2
t
e jnt dt 1
T T
T
2
1
T 0 T
t
f
(t)
T
(t)
n
1e T
jnt
周期信号频谱特点：
1）离散性 :频谱由频率离散而不连续的谱线组成；
2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的 整数倍；
3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减25 。
二. 周期矩形脉冲的频谱
本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。
三. 用完备正交函数集表示任意信号
定理1. 若{f1(t) ，…， fn(t) }在区间( t1，t2)上
为完备正交函数集，则在 ( t1，t2)上任意函数 f(t) 可表示为: (广义傅立叶级数)
f(t) C1f1(t) C2f2(t)Ckfk(t) Cnfn(t)
其中
Ck
t2 t1
f (t)
单位频带上的频谱值
TFn T
f (t)e j tdt
F( j )
f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。
（1）可写为：
f
(t)
TFn
n
1 e jnt T
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Cn
A / T 0
2π
2π
0
0 2π / T0
n 0
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
1) 离散性 周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期T0越大，0就越小，则谱线越密。 反之，T0越小，0越大，谱线则越疏。 2) 谐波性 频谱中的谱线只出现在角频率是0 的整数倍上。
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
-0 .2 -2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
三、周期信号的频谱及其特点
4) 信号的有效带宽 0~2 / 这段频率范围称为周 2π B 期矩形脉冲信号的有效频带宽度, 越大，其B越小；反之，越小，其B 越大。 信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分， 不会对信号产生明显影响。 说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须 “匹配”。
四、周期信号的功率谱
帕舍瓦尔(Parseval)功率守恒定理
1 P T0
T0 2 T 0 2
f (t )dt
2
n
C
2
n
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号 所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和 。 周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称 为周期信号的功率频谱，简称功率谱。
Cn
2
A
1 2 nπ Sa ( ) 25 5
Fn
1 25
8
2
T
2
2
T
t
Cn 0.2Sa(nπ / 5)
40 π
40 π
n 0
分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：频谱函数 要点
1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 4. 功率谱的概念及在工程中的应用
例3
f (t ) 2e j20t 3e j0t 4 3e j0t 2e j20t
求f (t)的功率。
1 T /2 2 2 解： 1) P T /2 f (t )dt n Cn T
C0 4
C1 3 C2 2
P 22 32 42 32 22 42
W
l 0
N 1
kl N
0 N
N N [k ]
~
一、DFS的定义
DFS的物理含义
1)周期为N的任意序列可分解为基本序列 e
X ( e j ) 2)任意序列在
2π ; m m N
j 2 πkm N
的和
0,1 N 1 的抽样值,
~ 可通过对 xN [k ] 做DFS获得
2 n=—4
F02
2 | Fn | 2 0.1806
n=1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
周期信号的功率谱
第四章 周期信号的频域分析
连续周期信号的Fourier级数 连续Fourier级数基本性质 连续周期信号的频谱分析 离散周期信号的频域分析
离散Fourier级数（DFS）
DFS的定义 常用离散周期序列的频谱分析 周期单位脉冲序列d N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列 DFS的性质
一、DFS的定义
2)
f (t ) 4 6 cos 0 t 4 cos 20 t
1 2 1 2 P 4 6 4 42 2 2
2
例4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
二、常用离散周期序列的频谱分析
1. 周期单位脉冲序列N[k]
N 1 ~ mk X [m] DFS N [k ]} N [k ]WN { k 0
~ 1 RN [m]
二、常用离散周期序列的频谱分析
2. 正弦型序列
周期序列 f[k] = cos(k/6) 的频谱 1 j2πk / 12 1 j2πk / 12 1 k 6W12 6W12 k f [k ] e e 12 2 2 6 m 1 6 m 1,11 F[m] F [ m] 0 5 m 6, m 1 0 2 m 10, m 0
e
j2w0t
0.5e
j 460 j2w0t
e
j1250
e
j3w0t
2e
j1250 j3w0t
e
0.9e
j 750
e
j4w0t
0.9e
j 750 j4w0t
e
n
1250 750 460 280
40 30 20 0 0 0 30 20 40
吉伯斯（Gibbs）现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
吉伯斯（Gibbs）现象
1 .2 1 .2 1 1
0 .8
0 .8
N=5
0 .6
0 .6
0 .4
0 .4
N=15
0 .2
0 .2
0
0
-0 .2 -2
1 .2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
-0 .2 -2
1 .2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
1
1
0 .8
0 .8
N=50
0 .6
0 .6
N=500
0 .4
0 .4
0 .2
0 .2
0
0
-0 .2 -2
由欧拉公式可得，
f (t ) 2.5 (e 2(e 2(e 2.5 (e
j( t 280 )
e e
j( t 280 )
) 0.5(e ) 0.5(e ) 0.9(e
j(2 t 460 )
e e
j(2 t 460 )
) ) )
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
3) 幅度衰减特性
当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大时，幅度 频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。 幅度频谱衰减速度与信号的特性（连续性）有关 f(t)不连续时， Cn按1/n的速度衰减 f’(t)不连续时， Cn按1/n2的速度衰减 f (k-1)(t)不连续时， Cn按1/nk+1的速度衰减
j 750
e
j4w0t
0.9e
j 750 j4w0t
e
2.5
|Cn|
2
0.9 0.5
1
1 0.5 0 20
0.9
40 3 0 20 0
0
30 40
f(t)的幅度频谱
2.5 e 2e
j 280
e
jw0t
e
j 280 jw0t
e
0.5e
j 460
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
A
T
2
平均功率为
4
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 /)内的各谐波平均功率为 P | Fn | 1
f (t )
A
T
2
2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 n0 A Cn Sa( ) T 2 将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式
Cn 0.2Sa(n0 / 40) 0.2Sa(nπ / 5)
例4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内
j(3 t 550 )
e
j(3 t 550 )
) 0.9(e
j(4 t 750 )
e
j(4 t 750 )
)
j( t 280 )
j( t 280 )
j(2 t 460 ) j(4 t 750 )
j(2 t 460 ) j(4 t 750 )
第四章 周期信号的频域分析
连续周期信号的Fourier级数 连续Fourier级数基本性质 连续周期信号的频谱分析 离散周期信号的频域分析
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
fT (t )
n=
Cn e jn0t
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
三、周期信号的频谱及其特点
2. 频谱的表示
由于 Cn复数，可以用其模和相角表示为：
Cn Cn e
幅度频谱
jn
相位频谱
n ( , ]
幅度频谱-- |Cn |随w=nw0变化的图形 相位频谱-- φn 随w=nw0变化的图形