高一数学【幂函数】课堂学案

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幂函数学案

§6.1 幂函数学习目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．知识点一一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质21知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象；当0<α<1时，幂函数的图象． 3．当时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从到的顺序排列．1．下列函数中不是幂函数的是________． ①y ＝x 0； ②y ＝x 3； ③y ＝2x ； ④y ＝x －1.2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,211,1α，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．3．当x ∈(0,1) 时，x 2________x －1.(填“>”“＝”或“<”)4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)＝________.例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知222()2223m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值．A.12 B ．1 C.32 D ．2例2 (1)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．(2)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34 B ．－2，34，43 C ．－2，43，34 D.34，43，－2例3 比较下列各组数的大小． (1)5.052⎪⎭⎫ ⎝⎛与5.031⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-与153-⎪⎭⎫⎝⎛-； (3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭与1413⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 2．下列不等式成立的是( ) A.12121312--⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭B.23233423⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ C.232⎪⎭⎫ ⎝⎛> 223⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．7878819-⎛⎫< ⎪⎝⎭3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．4．若幂函数()22231()m m f x m m x －－＝－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________. 5．先分析函数23y x =的性质，再画出其图象．1．知识清单： (1)幂函数的定义． (2)几个常见幂函数的图象． (3)幂函数的性质． 2．方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x3 D ．y ＝x ＋12．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x3．已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (a －1) <f (b －1) B ．f (a －1) <f (b －1) <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f (b －1) <f (a －1) D ．f (a －1)<f (a )<f (b －1)<f (b ) 4．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．35.如图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－126．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．37．函数y ＝12x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )8．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．9．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．10．若12(1)a ＋<12(32)a －，则a 的取值范围是________．11．已知幂函数()x f 的图象过点(9,3)，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝________，函数⎪⎭⎫⎝⎛-11x f 的定义域为________．。

人教版高中必修一《幂函数》教案

人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。

二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。

2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。

3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。

4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。

5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。

四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。

五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。

六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。

七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。

高一数学人教B版必修1：3.3 幂函数学案

§3.3 幂函数幂函数要点导学一、知识导引1．幂函数定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)．重点掌握α＝1,2,3，12，－1时的幂函数．2．图象：当α＝1,2,3，12，－1时的图象如右图．3．性质(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凹：α＝1时为过(0,0)点和(1,1)点的直线．(2)当α<0时，幂函数图象总过(1,1)点，且在第一象限为减函数．(3)当α＝0时，y ＝x α＝x 0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除(0,1)点)．(4)当α＝1,2,3，12，－1时的函数的性质同学们可自行研究．二、重点和难点重点：幂函数的定义、图象和性质．难点：幂函数图象的位置和形状变化．三、典型例题剖析例1 不论α取何值，函数y ＝(x －1)α－2的图象都通过A 点，求A 点的坐标．解因为幂函数y ＝x α的图象恒通过(1,1)点，所以y ＝(x －1)α的图象恒通过(2,1)点．所以y ＝(x －1)α－2的图象恒通过(2，－1)点．例2 将幂函数：①y ＝x 23；②y ＝x －4；③y ＝x 13；④y ＝x －13；⑤y ＝x 14；⑥y ＝x 43；⑦y ＝x －12；⑧y ＝x 53的题号填入下面对应的图象中的括号内．解析先根据图象是否经过原点区分幂指数n 的正负：图象A ，B ，C ，D ，H 的幂指数大于零；而图象E ，F ，G 的幂指数小于零．再考察函数的定义域和值域．图象A 对应的幂函数的定义域为[0，＋∞)，对应函数为⑤y ＝x 14；图象E 对应的幂函数的定义域为(0，＋∞)，对应函数为⑦y ＝x －12；图象D ，H 对应的幂函数的值域为[0，＋∞)，再注意到图象分布规律，D 对应函数为⑥y ＝x 43，H 对应函数为①y ＝x 23；图象G 对应的幂函数的值域为(0，＋∞)，对应的函数为②y ＝x －4.余下的图象B ，C ，F 依次对应函数为③y ＝x 13，⑧y ＝x 53，④y ＝x －13.答案 ⑤ ③ ⑧ ⑥ ⑦ ④ ② ①点评以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．幂函数常见错误剖析本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考．一、概念不清例3 下列函数中不能化为幂函数的是( ) A ．y ＝x 0 B ．y ＝2x 2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x错解选A ，或选C ，或选D剖析错解主要是对幂函数的概念不清，造成错误．由幂函数的定义：y ＝x α(α∈R )称为幂函数，因此，A ，C ，D 中的函数均可化为幂函数，而B 中的函数不能化为幂函数．正解 B二、忽视隐含条件例4 作出函数y ＝4log 2x 的图象．错解 y ＝4log 2x ⇒y ＝22log 2x ⇒y ＝2log 2x 2⇒y ＝x 2. 故函数的图象如图所示．剖析在将函数式y ＝4log 2x 变形为y ＝2log 2x 2，即y ＝x 2时，定义域扩大了．正解 y ＝4log 2x (x >0)⇒y ＝22log 2x (x >0)⇒y ＝2log 2x 2(x >0)⇒y ＝x 2(x >0)．作出幂函数y ＝x 2(x >0)的图象，如图所示，即为函数y ＝4log 2x 的图象．三、思维片面例5 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数m 的取值集合．错解由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.剖析求得m 的值后，未检验是否符合题意．正解由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1，或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝2时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上不是增函数，舍去．故所求实数m 的取值集合为{－1}．四、单调性理解不透彻例6 若(a ＋1)－1<(3－2a )－1，求实数a 的取值范围．错解考查幂函数f (x )＝x －1，因为该函数为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得a ＋1>3－2a ，解得a >23.故实数a 的取值范围是(23，＋∞)．剖析函数f (x )＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．正解考查幂函数f (x )＝x －1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，或a ＋1>3－2a >0，或3－2a <a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).幂函数的“杀手锏”一、对幂函数的定义要掌握准确形如y ＝x α的函数叫幂函数(系数是1，α为实常数)．例1 如果f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，则f (x )在其定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数解析要使f (x )为幂函数，则m －1＝1，即m ＝2. 当m ＝2时，m 2－4m ＋3＝－1， ∴f (x )＝x －1.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数．答案 D二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系从x 轴的正方向按逆时针旋转到y 轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．如图为y ＝x α在α取－2,2，－12，12四个值时的图象，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为2，12，－12，－2，其规律为在直线x ＝1的右侧“指大图高”．三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题例2 若(a ＋1)－23<(3－2a )－23，求a 的取值范围．解 y ＝x －23为偶函数，其图象如图所示．∴|a ＋1|>|3－2a |，∴23<a <4.图象帮你定大小在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．例3 已知实数a 、b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ； ④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．解析首先画出y 1＝x 12与y 2＝x 13的图象(如图所示)，已知a 12＝b 13＝m ，作直线y ＝m .如果m ＝0或1，则a ＝b ；如果0<m <1，则0<b <a <1；如果m >1，则1<a <b .从图象看一目了然，故成立的是①③⑤.答案 ①③⑤例4 函数y ＝x m，y ＝x n，y ＝x p的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是____________．解析结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线x ＝a (0<a <1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n <a m <a p ，根据指数函数y ＝a x (0<a <1)是单调减函数可得n >m >p .答案 n >m >p点评以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例5 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．解分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.点评考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．二、数形结合的思想例6 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.点评数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．三、转化的数学思想例7 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1(x＋2)2＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又因为－2－(－π)＝π－2，－22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－22)．点评通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．一、以正比例函数为模型的抽象函数例8 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y ＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．当x＝－3时，函数f(x)取最大值；当x＝3时，函数f(x)取最小值．f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.点评本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．二、以指数函数为模型的抽象函数例9 设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．解由已知猜想f (x )是指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数，从而猜想f (0)＝1且f (x )>0.(1)将y ＝0代入f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，得f (x )＝f (x )·f (0)，于是有f (x )[1－f (0)]＝0. 若f (x )＝0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)＝f (x 2)＝0，这与已知题设矛盾，所以f (x )≠0，从而f (0)＝1. (2)设x ＝y ≠0，则f (2x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0，又由(1)知f (x )≠0，所以f (2x )>0，由x 为任意实数，知f (x )>0. 故对任意x ∈R ，都有f (x )>0.点评从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f (x )[1－f (0)]＝0，直接得出f (0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．三、以对数函数为模型的抽象函数例10 设函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (xy)＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x ＋3)＋f (1x )≤2的解集．解由已知猜想f (x )是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数．(1)将x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )－f (y )，得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0. (2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，于是f (x ＋3)＋f (1x )≤2等价于f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x )，即f (x ＋36)≤f (6x )，而函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋36≤6x x ＋36>0，解得x ≥335，因此满足已知条件的不等式解集为[335，＋∞)．点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f ”，从而使问题得以解决．谈函数模型法的应用例11 定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )具有下列两条性质：①对于任意x ∈R 都有f (x 3)＝[f (x )]3；②对于任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，都有f (x 1)≠f (x 2)．则f (－1)＋f (0)＋f (1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0分析通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．解析根据题设条件设f (x )＝3x ，则可以求得f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，答案为D. 答案 D例12 已知f (x )是R 上的增函数，且f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，若f (2)＝4，则f (2x ＋1)>8的解集是________．分析性质f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)类似于指数函数的性质a m ＋n ＝a m ·a n ，故可以构建指数函数模型．解析设f (x )＝a x (a >1)，则由f (2)＝4可得a ＝2，所以f (x )＝2x .由f (2x ＋1)>8，则22x ＋1>8，解得x >1.故不等式f (2x ＋1)>8的解集是(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)例13 已知函数f (x )是定义域为R 的增函数，且值域为(0，＋∞)，则下列函数中为减函数的是( )A ．f (x )＋f (－x )B ．f (x )－f (－x )C ．f (x )·f (－x ) D.f (－x )f (x )分析指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)中，在a >1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R ；②增函数；③值域为(0，＋∞)．解析不妨设f (x )＝2x ，通过观察四个选项，可以得出f (－x )f (x )＝(14)x 符合题意，故选D.答案 D幂函数高考考点透视(一)考情分析本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象和性质研究多项式函数、分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．(二)考题例析1．(陕西高考)函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域为( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)解析 ∵1＋x 2≥1，∴0<11＋x 2≤1∴f (x )＝11＋x 2的值域是(0,1]．答案 C2．(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 解析 ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．答案 B3．(北京高考)函数f (x )＝x ＋1－12－x 的定义域为______________．解析要使函数f (x )＝1＋x －12－x有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2即x ∈[－1,2)∪(2，＋∞)．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)4．(山东高考)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 3(f 2(f 1(2 007)))＝________.解析 f 3(f 2(f 1(2 007)))＝f 3(f 2(2 00712))＝f 3(2 007－12)＝2 007－1＝12 007.答案 12 007。

人教B版高中数学必修一《幂函数》课堂学案

3.3幂函数一、幂函数定义一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量。

⑴底数是； ⑵指数是；⑶函数式前的系数都是； (4) 为常数。

二、探究：幂函数的图象与性质 1、画出3x y =的图象x2- 1-21-0 21 1 23x y =2、画出21x y =的图象x41 14921x y =3、探究：观察图象，将你发现的结论写在表内由上述特殊幂函数的特征和性质，总结幂函数的性质。

（从①公共点 ②第一象限的单调性③奇偶性考虑）探究：观察更多的幂函数，归纳出幂函数 αx y = 在第一象限的图象（即0,0,10,1,1<=<<=>ααααα时的图象）。

小试牛刀讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出图象，并根据图象说明它的单调性。

三、典型例题练习1：判断下列函数是否为幂函数.练习2：下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数？练习3：如果函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求满足条件的实数m 的值.练习4：.),22,2()(式试求出这个函数的解析的图象过点已知幂函数x f y =练习5：比较下列各组数的大小练习6：如果函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当),0(+∞∈x 时，)(x f 是增函数，求满足条件的实数m 的值.x y 2.0=x y 5=21x y =1-=x y x y -=35xy =25251.33)1(--和8787918)2(⎪⎭⎫⎝⎛---和3232632)4(--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-π和()5332529.18.31.4)5(---，，1.225.15.1)3(和练习7：如图的曲线是幂函数nx y =第一象限内的图像，已知分别取a,b,c,d 四个值，与曲线C 1，C 2，C 3，C 4相应，则a,b,c,d 四个值从大到小依次为练习8：.),0[)(上是增函数在证明幂函数+∞=x x f。

人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》教学学案

2.3 幂函数三维目标定向〖知识与技能〗（1）了解幂函数的概念；（2）会画函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，并了解它们的变化情况。

〖过程与方法〗通过画21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，由特殊到一般，归纳出幂函数的图象和性质。

〖情感、态度与价值观〗通过大量实例，感受幂函数的概念，体会幂函数在客观现实中的应用，学会应用数学的方法，形成一定的数学应用意识。

教学重难点：幂函数的图象和性质。

教学过程设计一、实例剖析引例：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要支付y = 元；（2）如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积y = ；（3）如果立方体的边长为x ，那么立方体的体积y = ；（4）如果一个正方形场地的面积为x ，那么这个正方形的边长为y = ；（5）如果某人x s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度y = km / s 。

问题：以上函数具有什么共同特征？共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。

二、幂函数的图象和性质（一）定义：函数αx y =叫做幂函数。

（其中x 为自变量，α为常数）探究1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）21y x=；（2）22y x =；（3）2y x x =+；（4）y ；（5）2x y =。

2、已知幂函数y = f (x )的图象经过点（3 ，求这个函数的解析式。

3、如果函数2()(1)mf x m m x =--⋅是幂函数，求实数m 的值。

（二）幂函数性质的探究：对于幂函数，我们只讨论21,1,3,2,1-=α时的情况，即：21132,,,,x y x y x y x y x y =====-探究4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质探究5：在同一平面直角坐标系内作出幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象：探究6：性质：三、例题例1：证明幂函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数。

幂函数的概念学案

2.3.1 幂函数的概念【学习目标】知识与技能通过具体实例明白幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．【学习重点】幂函数的概念与性质.【难点提示】幂函数的指数对幂函数性质的影响，体会图象的变化规律.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7783P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备在初中，我们已经学习了函数：xy x y x y 1,,2===等函数的图像；并在前面的学习中我们研究了这些函数共同的性质，如：单调性、奇偶性等，请同学们完成下列问题：1.用描点法在同一坐标系下画出上面函数的图像，并指出它们有什么共同特点？2.回顾函数性质主要有哪些内容？指对函数的概念及其性质是怎样的？二、探究新知 1.幂函数的定义●阅读思考请读阅下面5个例子（教材77P （1）～（5））：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数；(2)如果一个正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数；(3)如果一个立方体的边长为a ，那么立方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数； (4)如果一个正方形的面积为S ，那么这个正方形的边长12a s =，这里a 是S 的函数； (5)如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v ＝t -1km/s ，这里v 是t 的函数. 请思考以下问题，问题1：每个例子的自变量是什么？问题2：每个例子中的函数关系哪些是我们已经研究过的？问题3：这5个实例中的函数关系有哪些共同特征？ ●归纳概括由教材中5个例子，观察其表达式的结构特征，你能从这几个函数抽象出一个更一般的函数式，并给它取个名字吗？幂函数的概念：●快乐体验判断下列函数是否是幂函数？（1）x y 2=；（2） xy 2=；（3）3)1(--=x y ；（4）212x y =；（5）10x y =．解：●挖掘拓展（1）幂函数有何数量特征？（链接1）3(6)2y x =+（2）你能列举一些幂函数吗？（3）幂函数与指数函数的解析式有何区别与联系？ 2.幂函数的性质 ●观察思考在同一坐标系内做出幂函数xy x y x y x y x y 1,,,,2132=====的图象（链接2），请观察其图象的变化情况（特别是在第一象限的变化情况），它们有那些相同的特征？●归纳概括●快乐体验 1.求下列函数的定义域和值域：(1)2x y =； (2)3y x -=； (3)23y x-=．解：2.比较下列各组数的大小：（1）0.10.11.1,1.02； 0.30.30.2(4)0.2,0.3,0.3; （5）(2＋a 2)－1，2－1；解：●挖掘拓展 1.在第一象限内幂指数的变化与图像的分布、图象的变化、函数性质等有何关系？2.归纳利用指数函数、幂函数的增减性比较两个数的大小的规律与联系（链接4）. 三、典例解析例1函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当()+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，求)(x f 的解析式．思路启迪求)(x f 的解析式就是求m 的值．关键在于①322)1()(-+--=m m xm m x f 是幂函数具有怎样的条件；②当x ＞0时，结合前面幂函数的性质那些函数是增函数，作为入手点，试试能否解决．解：●解后反思解答该题的依据是什么？入手点、关键点、易错点在哪里？ ●变式练习幂函数y ＝(m 2－m －1)12m x，当x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m的值为( )．A ． 2 ；B ．－1 ；C ．－1或2；D ．1±52．例 2.如右图，图中曲线是幂函数ax y =在第一象限的大致图2253(3) 4.1 5.8和5522(2) 3 3.1--和象．已知a 取2,21,21,2--四个值，则相应于曲线4321,,,c c c c 的a 值依次为（） A ．－2，－12，12，2 ；B ．2，12，－12，－2 ；C ．－12，－2，2，12 ；D ．2，12，－2，－12．●解后反思怎样根据幂函数的图象来确定幂指数的，还有无其它方法？●变式练习比较下列各组数的大小：（1）0.52()3与0.53()5；（2）121.2、121.4、21.4；（3）125()3-、32()3-、33()2解：例3.已知幂函数223()mm y f x x --+==（其中22,m m Z -<<∈）满足：（1）是区间(0,)+∞上的增函数；（2）对任意的x R ∈，都有()()0f x f x -+=；求同时满足（1）、（2）的幂函数()f x 的解析式，并求[0,3]x ∈时()f x 的值域.解：●解后反思本题的题型怎样？解决该题的入手点、关键点、易错点在哪里？判定幂函数的单调性、奇偶性的依据与方法是什么？●变式练习已知函数)(x f ＝xx 1-，求证：(1) )(x f 在其定义域上为增函数． (2)满足等式)(x f ＝1的实数x 的值至多只有一个．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：幂函数的概念、常见的幂函数图像形状与性质有哪些?指数函数x y a =(a >0且a ≠1)与幂函数y x α=的区别与联系，你能描述一般的幂函数)(R a x y a ∈=的图像和性质吗？（链接5）2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？【学习评价】 1.下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )．A ． 31x y =； B ． y ＝x 2 ； C ． y ＝x 3 ； D ． y ＝x －2．2.幂函数)(x f 的图象过点(4，12)，那么)8(f 的值为( )．A ． 26；B ． 64；C ；24； D ． 164． 3.下列命题中，不正确的是( )． A ．幂函数y ＝x－1是奇函数； B ．幂函数y ＝x 2是偶函数；C ．幂函数y ＝x 既是奇函数，又是偶函数；D ．y ＝12x 既不是奇函数又不是偶函数． 4.幂函数y ＝x n的图象一定经过(0，0)，(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)中的( )．A ．一点；B ．两点；C ．三点；D ．四点．5.当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 下方，则a 的取值范围是( )．A ．(0，1)；B ． (－∞，0)；C ．(－∞，1)；D ．不确定．6. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)0()0(3)21()(21x x x x f x，且)(a f ＞1，求实数a 的取值范围．解：7.已知x 2＜21x ，则x 的取值范围是________．8.教材79页习题2.3的第3题.◆承前启后到现在为止，我们学习了哪些基本函数及其性质？这些函数在实际生活中还有哪些应用呢？【学习链接】链接 1.幂函数的数量特征有三点：一是均是底数为自变量的指数幂的运算的函数，二是幂指数是常数（可以是任意实数），三是幂的系数为1．链接2.几个特殊的幂函数的图象（如右图）链接4.. (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性比较两个数的大小； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性比较两个数的大小；(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较上述两个数的大小.链接5. (1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a ＞0，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,＋∞)上是增函数；(3) 如果a＜0，则幂函数图象在区间(0,＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右侧无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；(4) 当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数．。

高中数学幂函数的教案

高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。

二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。

三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。

四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。

2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。

3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。

4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。

五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。

六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。

七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。

八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。

九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。

十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。

十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。

以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。

祝教学顺利！。

高中数学必修1幂函数教案范文

高中数学必修1幂函数教案范文高中数学必修1《幂函数》教案11、教学目标知识目标：（1）掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。

（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

能力目标：培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。

情感目标：（1）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。

（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法分析问题、解决问题的能力。

2、教学重点：从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用。

教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。

3、教学方法和教学手段：探索发现法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出下列y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。

（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。

为了加深对定义的理解，请同学们判别下列函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来研究幂函数的性质。

问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法研究这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起研究了哪些性质呢？（学生讨论，教师引导）（引发学生作图研究函数性质的兴趣。

函数单调性的判断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。

）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡视。

将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。

教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。

人教版数学高一-高一数学《幂函数》学案

一、教学要求：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.二、教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 三、教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质. 四、教学过程：（一）、新课引入：◆实例分析：见书本P77五个实例：（二）、讲授新课：1、教学幂函数的图象与性质 ■①给出定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.■②练：在函数231,2,,1y y x y x x y x===-=中，哪几个函数是幂函数？（书本P79：习题第1题）■③ 作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）2x y =；（3）3x y =；（4）12y x =；（5）．1-=x y▲④ 引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸(称为凸函数)；当10<<α时，幂函数的图象上凸(称为凹函数)；（Ⅲ）0α<时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2、教学例题：★出示P78:书本之例1：讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性. ◆3、小结：幂函数y=x a =xq/p 的的性质及图象变化规律可以分为以下几类： ★1、直线类：．．．．y=x 0,y=x ★2、抛物线类．．．．：y=x 2,y=23x ,y=43x ……(即q 是偶数，p是奇数，a=qp大于零)性质有；(1)、必过点（0，0）、（1，1）、（-1，1）；（2）定义域为R ，且在（0，+∞）上为增函数，为偶函数；（3）在第一象限内：当0<a<1时：为图（A ）所示形式（上凸，称为凹函数）；当a>1时：如图B 所示（下凸，称为凸函数）★3、拐线类．．．：y=x3,y= y=13x ,y= y=53x ,y y=15x ……(即q 是奇数，p 是奇数， a=qp大于零)；性质有；(1)、必过点（0，0）、（1，1）、（-1，-1）；（2）定义域为R ，在（0，+∞）上为增函数，为奇函数；（3）在第一象限内：当0<a<1时：为图（A ）所示形式（上凸，称为凹函数）；当a>1时：如图B 所示（下凸，称为凸函数）★4、双曲线类．．．．：y=x -1,y=x -3,……(即p 为奇数，且a=q/p<0时)……性质有；(1)、必过点（1，1）；（2）定义域为{x|x ≠0}，在（0，+∞）上为减函数；★5、半支抛物线类．．．．．．：y= y=12x ;y= y=34x …(即p 为偶数，且a=q/p>0时)图象过点（0，0）、（1，1）；定义域为{x|x>0}；图象只位于第一象限之内，且为增函数；而y= y=12x-, y=34x-…(即p 为偶数，且a=qp<0时)：图象过点（1，1）定义域为{x|x>0}；图象只位于第一象限之内，且为减函数。

数学《幂函数》学案(必修)

芯衣州星海市涌泉学校课题：§幂函数自学目的：知识与技能通过详细实例理解幂函数的图象和性质，并能进展简单的应用．过程与方法可以类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．学习重点：重点从五个详细幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个详细幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．创设情境：阅读教材考虑以下问题：1．它们的对应法那么分别是什么？2．以上问题中的函数有什么一一共同特征？组织探究：材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出以下函数的图象：〔1〕x y =；〔2〕21x y =；〔3〕2x y =；〔4〕1-=x y ；〔5〕3x y =． [解]列表(略)图象材料二：幂函数性质归纳．〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕；y=x 2 y=xy=x 3〔2〕0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；〔3〕0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴材料三：观察与考虑观察图象，总结填写上上下表：材料四：例题〔1〕5.1)1(+a ，5.1a 〔2〕322)2(-+a ，322-[例3]讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．尝试练习： 1．利用幂函数的性质，比较以下各题中两个幂的值的大小：〔1〕433.2，434.2；〔2〕5631.0，5635.0；〔3〕23)2(-，23)3(-；〔4〕211.1-，219.0-．． 2．作出函数2-=x y 和函数2)3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间3．用图象法解方程：1-=x x ；探究与发现如下列图，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，α分别取2,21,1,1-四个值，那么相应图象依次为：．作业与回馈：1．在函数1,,2,1222=+===y x x y x y xy 中，幂函数的个数为：A ．0B ．1C ．2D ．32．幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．3．在固定压力差〔压力差为常数〕下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．〔1〕写出函数解析式；〔2〕假设气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400cm3/s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R 的表达式；〔3〕〔2〕中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率．4．1992年底世界人口到达54．8亿，假设人口的平均增长率为x%，2021年底世界人口数为y 〔亿〕，写出：〔1〕1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；〔2〕2021年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．收获与体会：1．谈谈五个根本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表如今哪些方面？。

高一数学幂函数学案

高一数学幂函数学案【学习目标】1、明白得幂函数的概念，会画函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的图象. 2、了解幂函数的图象，明白得幂函数图象的变化情形和性质，并能进行简单的应用．【自主学习】1.一样地, 叫做幂函数,其中是自变量, 是常数.2.幂函数y x α=图象过定点3.幂函数y x α=,当0α>时,图象在第一象限单调递 ;当0α<时,图象在第一象限单调递 ,向上与轴无限接近,向右与轴无限接近.【自主探究】1.请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象.2.函数x y =； 2x y =；3x y =； 21x y =； 1-=x y 的性质x y = 2x y = 3x y = 21x y =1-=x y定义域值域奇偶性单调性定点1、依照上表的内容并结合图象，试总结函数x y =； 2x y =； 3x y =；1-=x y ； 21xy =的共同性质.x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … x y = … … 2x y = … … 3x y = … …21xy = … … 1-=x y……2、探究幂函数y x α=的性质和图象的变化规律【自主评判】1．在以下函数中,定义域为R 的是( )3312. . . 2 . x A y x B y x C y D y x -====2．221333123111(),(),()252T T T ===若,则（）123312231213....A T T T B T T T C T T T D T T T <<<<<<<<3. 幂函数35[1,1]y x =-在上是（）A.增函数且是奇函数B. 增函数且是偶函数C. 减函数且是奇函数D. 减函数且是偶函数 4．如下图，曲线C 1、C 2、C 3、C 4为幂函数αx y =在第一象限内的图象，α 取431234-，，，四个值，那么相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的解析式中的指数α依次可取〔〕4343.12.2134343443.21.124334A B C D ----，，，，，，，，，，，，1()(9,),(25)3y f x f =5.若幂函数的图象经过点求的值.C 1C 2C 3 C 4。

幂函数优秀教案

幂函数优秀教案教案：幂函数一、教学目标：1.理解幂函数的概念及其特点；2.能够画出幂函数图像；3.掌握幂函数的基本性质和运算法则。

二、教学重点：1.幂函数的概念及其特点；2.幂函数的图像；三、教学难点：1.幂函数的性质和运算法则；2.幂函数的应用问题。

四、教学方法：1.课堂讲授法；2.小组合作学习法；3.案例分析法。

五、教学过程：时间内容活动方式教学资源（分钟）1课堂导入1.教师简单介绍幂函数的定义和基本概念，并提出问题，引起学生思考。

幂函数的定义和基本概念2.学生积极回答问题，激发学习兴趣。

10幂函数的定义及其1.学生自愿回答问题，教师进行点拨和引导，帮助学生理解幂函数的定义；幂函数的定义及其特点特点2.教师介绍幂函数的特点：定义域、值域、单调性和奇偶性。

10幂函数图像的1.教师讲解幂函数图像的画法和注意事项；幂函数图像的画法和注意事项画法2.学生跟随教师步骤，画出幂函数的图像。

10幂函数图像的分1.学生分组合作，讨论幂函数图像的特点；幂函数图像的特点析及其特点2.教师引导学生分析幂函数图像的特点，如单调性、奇偶性等。

10幂函数的性质与1.教师讲解幂函数的性质和运算法则；幂函数的性质和运算法则运算法则2.学生积极参与讨论，提出问题，与教师共同探讨幂函数的性质和运算法则。

10幂函数的应用问题1.教师以实例为背景，引导学生解决幂函数的应用问题；幂函数的应用问题2.学生自主思考，带着问题探索解决方法。

10小结与评价1.教师对本节课的内容进行小结，重点强调幂函数图像的特点和性质；无六、教学反思：在本节课中，我采用了多种教学方法和手段，如课堂讲授、小组合作学习和案例分析，以提高学生的学习兴趣和参与度。

通过引入问题、让学生自由讨论等方式，激发了学生的思维，提高了他们对幂函数的理解和运用能力。

同时，通过幂函数的图像，我帮助学生更直观地理解了幂函数的特点和性质。

在下节课中，我将注重培养学生的实际应用能力，希望能够更好地引导学生解决实际问题，提高他们的数学思维水平。

人教版高中数学必修1幂函数教案学案

班级姓名：小组序号：组长评价：教师评价课题：幂函数（第1课时）【学习目标】1、能记住幂函数的概念，能绘出函数y=x ，y=x 2，y=x 12，y=x1，y=x 3的图像； 2、会利用函数图像总结幂函数的性质；3、体会类比思想和数形结合的方法。

【学习重点与难点】学习重点：幂函数的概念；幂函数的图像学习难点：画五个具体幂函数的图像并由图像概况其性质【使用说明与学法指导】 1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材P 77-P 78页内容，阅读XXX 资料XXX 页内容，对幂函数及其图像等进行梳理，作好必要的标注和笔记。

2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。

3、熟记、XXX 基础知识梳理中的重点知识。

预习案一、问题导学1、如何理解幂函数的概念？2、结合幂函数y=x ，y=x 2，y=x 12，y=x -1，y=x 3的图像，你能在同一个坐标系画出它们的图像。

3、在第一象限内，幂函数的图像变化规律与其指数有什么关系？二、知识梳理1、一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数.2、幂函数的性质定义域值域奇偶性单调性定点 x y =2x y = 3x y = 21x y =1-=x y三、预习自测1、下列函数是幂函数的是① y=0.2x ；① y=2x 2；① y=x 2+x ；① y=-x 3；⑤ y=x -3；⑥ y=1 2、幂函数过点)2,2(，函数解析式是3、设}3,21,1,1{-∈α，则使αx y =的定义域为R 的奇函数的所有α的值为（）（A ）1，3 （B ）1-，1 （C ）1-，3 （D ）1-，1，3我的疑惑：我的收获：探究案一、合作探究探究1、指数函数xa y =（)1,0≠>a a 且与幂函数y x α=()a R ∈两种函数最大的区别是什么？探究2、已知幂函数的图像过点P （1/2,4） (1)求y=f(x)函数解析式(2）讨论y=f(x)的定义域、值域、奇偶性，并画出草图。

高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修

高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数的定义和性质；2. 掌握幂函数的图像和几何特征；3. 学会运用幂函数解决实际问题。

过程与方法：1. 通过观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；2. 利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。

情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力；2. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的应用意识。

二、教学重点与难点重点：1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数的图像和几何特征；3. 幂函数在实际问题中的应用。

难点：1. 幂函数的性质的推导和证明；2. 幂函数图像的分析和理解；3. 幂函数在实际问题中的灵活运用。

三、教学过程1. 导入：1.1 复习相关概念：函数、指数函数、对数函数；1.2 提问：幂函数在实际生活中有哪些应用？2. 知识讲解：2.1 引入幂函数的概念；2.2 讲解幂函数的性质；2.3 分析幂函数的图像和几何特征。

3. 案例分析：3.1 分析实际问题，引入幂函数；3.2 利用幂函数解决实际问题。

4. 课堂练习：4.1 练习幂函数的性质和图像分析；4.2 运用幂函数解决实际问题。

四、作业布置1. 复习幂函数的定义和性质；2. 分析幂函数的图像和几何特征；3. 运用幂函数解决实际问题。

五、教学反思本节课通过引入幂函数的概念，讲解幂函数的性质，分析幂函数的图像和几何特征，以及运用幂函数解决实际问题，旨在培养学生对幂函数的理解和应用能力。

在教学过程中，注意引导学生观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。

利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。

在作业布置方面，注重巩固所学知识，培养学生的自主学习能力。

在教学反思中，要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行针对性教学，提高教学效果。

六、教学拓展1. 介绍幂函数在其他领域的应用，如物理学、化学、经济学等；2. 探讨幂函数与其他函数的关系，如指数函数、对数函数等；3. 引导学生进行课外阅读，了解幂函数的历史和发展。

人教版高中数学高一数学《幂函数》学案2

3.3幂函数(2)
高一数学导学案课型新授课主备人赵永审核人董平上课时间第周星期
一、教学目标：
1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质； 2．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．
二、教学重难点：
1.常见幂函数的概念、图象和性质；
2.幂函数的单调性及其应用．
三、学习过程：
（一）、问题情境 1、幂函数的定义。

2、幂函数的图象和简单性质。

幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：
α＞0时，图象过和两个定点； α≤0时，图象过只过定点．
（2）单调性：
α＞0时，在区间上是单调； α＜0时，在区间上是单调．
3、几个常见幂函数的图像与性质： y ＝x
-1
（三）、典型例题：
例1、画出函数3
1x y =的图像，并指出其单调区间。

练习、画出下列函数的图象：
（1） y ＝3
2x ；（2） y ＝2
x -
例2：已知113
3
(3)(12)x x --
-<+，求x 的取值范围．
例3：幂函数y ＝x m ；y ＝x n ；y ＝x
1与
y ＝x 在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判
断实数m ，n 与常数－1，0，1的大小关系．
四、归纳总结：
x
y
O
y ＝x y ＝x y ＝x -1 y ＝x n
幂函数的概念、图象和性质；五、课外练习：课本P90 题4。

高一数学《幂函数》学案

高一数学《幂函数》学案班级: 姓名:课前预习案1.课程标准：理解幂函数的定义，会用描点法画幂函数的图象.掌握幂函数的性质及简单运用2.学习重点：幂函数的定义、性质，用描点法画幂函数的图象3.学习难点：幂函数单调性的证明，幂函数的图象4.问题解决：渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法.提高归纳与概括能力5.情感态度：培养积极思考、自主探索新知识的学习习惯和科学严谨的学习态度6.前置补偿：1：复习函数的单调性的定义及证明, 分别采用作差法和作商法证明y=在(0,)+∞上是增函数○1请用作差法证明○2请用作商法证明2：完成下列7个小问○1如果某人购买了每个1元的包子x个，那么他支付的钱y= 元。

○2如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=○3如果正方体的边长为x，那么这个正方体的体积y=○4如果正方形纸片的面积为x，那么这个正方形的边长y=○5如果正方体盒子的体积为x，那么这个正方体的边长y=○6如果正方体盒子的体积为2x，那么这个正方体的边长y=○7如果某人x秒内骑车行进了1Km，那么他骑车的平均速度y=思考：是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？你的回答：3：121.1，121.4，131.1的大小关系为4：判断下列函数的奇偶性1 y x-=12y x=2y x=3y x=你的回答：,y x=2,y x=3,y x=13,y x=1y x-=一：创设情境：教师出示投影○1：将预习案2中的7个小问的答案给出，让学生检查并订正，并引导学生进行总结,得出这七个函数解析式有什么样的共同特征？你的回答：二：概念形成：以引出的实例出发、归纳：幂函数的定义：幂函数的特点是：幂函数与指数函数的区别：你学过的幂函数有哪些，还能举一些幂函数的实例吗？下列函数中哪些是幂函数？21y x=2y x x =+ 3y x =- 212y x=3xy = 45y x =你的回答：三：概念深化引导：有了概念，接下来做什么？探究性质，对不熟悉的函数通过什么方式探索性质？（要求学生回答）用PPT 展示在同一坐标系下,y x =2,y x =3,y x =13,y x =1y x -=的草图为使作图准确：(老师提醒)1）可先分析函数的什么？2）怎样便于看幂函数的定义域（写成根式）3）观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？你的回答：通过预习案订正P78探究中的表格后引导学生一起讨论、回答幂函数的性质有引导学生注意应用图像归纳性质的一般步骤有拓展提升由00∂>∂< 判断幂函数的单调性是由∂得奇偶性判断幂函数的奇偶性四：迁移拓展，能力提升1：订正预习案中第一题2:幂函数2(33)m y m m x =--在区间(0,)+∞上是增函数，求m 的值？3：已知1122(1)(32)a a +<-，求a 的取值范围？4：幂函数的图象过（2,8）点，求该幂函数？五：总结反思 1：知识点 2：题型3：思想方法课后巩固案必做作业：课本习题P79 1、2题选做作业: 练习册P59-60（自己取舍）。