非线性经典著作分形与混沌共80页文档
上帝的指纹——分形与混沌
上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
非线性动力学混沌和分形
非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。
本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。
一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。
混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。
非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。
也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。
非周期性是混沌的另一个重要特征。
与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。
这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。
二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。
这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。
分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。
分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。
在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。
这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。
三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。
1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。
应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。
例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。
2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。
例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。
分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。
3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。
应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。
分形与混沌
分形与混沌我今天和大家分享的话题是，分形与混沌。
我在大概一、两个月前，突然发现和石总同时都对这个话题感兴趣，后来石总说，做一个沙龙吧。
其实我挺诚惶诚恐的，因为这个话题太深了，我并不是那么专业，和用哲学忽悠大家不一样啊！但我还是认真准备了一下，来和大家分享，因为我觉得内容真的太有意思了，对我们认识世界，认识市场都有帮助。
我希望以后我们群友聊到相关的话题能有更多默契，相互启发，相互推动。
这也是石总所希望的。
言归正传，我现在开始今天的主题分享。
说到今天分享的主题，跳入脑海的两个词组就是混沌物理和分形几何，接着有朋友很谨慎的问，是否有必要浪费流量和时间来看，以及让我评估一下能听懂的可能性。
我想这也是群主让我，而不是他自己，来做这个主题分享的初衷，如果我都能看懂和说明白，那大家都是毫无压力的。
[呲牙]我们生活的这个世界简单而复杂，我们面对的市场似乎总有什么规律在眼前闪现，而当你伸出手时，却无法抓个确切。
我们在经验中学习，在逻辑中预测，当我们回头看时，一切都那么清晰井然，而当我们向前看时，未来仿佛陷入迷雾。
从中找到方法，绝对的方法论，从这个市场中追寻至高的道，这可能么？这不可能么？我们可以一起来看一看，透过混沌与分形的世界，我们是否能看到一个Whole New World。
一、分形——从分形龙开始看似深奥的理论通常有着非常简单的起点。
如何构造一条分形龙，有下面几个简单的不行的步骤：1、拿出一根纸条；2、将它对折后展开，这是一根纸条变成了两个部分；3、每一部分还按照前面的方法对折，这时，它变成了四折；4、将每一折还是按第2条的方法对折后打开，你能想象这个图么？如果不能，请看图：你看，简单吧，让我们把这个对折的次数重复无限次，分型龙就现身了！最右下角一副即是。
你看，多么简单的方法，我们得到了一条龙。
这个方法是什么呢，不断的重复同一个简单的步骤。
这个时候大家就会问了，分型龙有什么特别之处呢，他的特别之处在于，你有没有发现，他的每一个部分都和整体呈现出一种相似性，好像他在模仿自己一样。
非线性、混沌与分形
3 (1) ＝0 到 ＝ 4
每个参量对应一个 值， 为不动点或周期1的范围
3 5 ( 2) 4 4 3 ＝ 处发生第一次分岔 4
数据在上、下两点之间来回跳动 抛物线映射的分岔图
(3)1.25 1.3681
在=1.25 处发生第二次 倍周期分岔 诞生稳定的周期4轨道 周期4轨道的稳定范围 比周期2窄，只到1.3681
xn1 1 x
2 n
(0,2), xn [1,1]
xn1 f ( xn )
x f (x )
* *
不动点(周期为1的点)： 周期为3的点：
f ( x) 2x 1.5x 0.5
3
x 0, 0.5, 1
周期为7的点附近会出现一个周期为1000008356的点。
• 简单的系统可以表现出复杂行为； • 复杂的系统可以表现出简单行为； • 复杂性的规律又呈现出某种普适性----它与构成系 统的部件细节完全无关。
• 作业 思考题：7-2
抛物线映射的分岔图
(4) 1.4011551890 9205
根本没有周期， 达到了混沌态！ 从 0 到 ＝ 倍周期分岔序列， 其周期为 1 2 4 8 16
2n
周期倍增
抛物线映射的分岔图
3.自相似结构
取出分岔图的一小部分加以 放大，它包含相同的结构。 从 =1.75 到 =1.8 的上、 中、下三支任取一支，适 当改变比例，都可以得到 同整个分岔相似的图形。
• 令人惊奇的结果：
来回摆动若干次以后，m 的行为变得“随机”起来，再也 无法预测它的位置、速度及回归时间。
• 1961年，气象学家 Lorentz 通过研究预报气候， 提出“蝴蝶效应”；
非线性动力学中的混沌与分形现象研究
非线性动力学中的混沌与分形现象研究第一章概述随着科学技术的发展，人们对自然现象的认知逐渐深入。
非线性动力学，作为一种研究具有高度机质性和复杂性的非线性系统的学科，日益引起人们的关注。
其中，混沌和分形现象被认为是非线性动力学中最具有代表性的现象。
本文将对非线性动力学中的混沌与分形现象进行分析与研究。
第二章非线性动力学与混沌现象2.1 非线性动力学的概念在物理、力学、化学、生物学等领域中，非线性动力学是研究高度复杂的非线性系统的学科。
非线性动力学中的系统包括两个或更多的元素，这些元素和它们之间的关系通常不能用简单的线性方程来描述。
2.2 混沌现象的概念混沌是非线性动力学中的一个重要现象，是指在长期演化过程中，系统的行为表现出极为敏感的依赖性，即初始条件的微小变化可能引起系统最终状态的显著差异。
混沌现象一般表现为不规则的动态行为，看似毫无规律可循，但实际上却具有规律性和确定性。
2.3 混沌现象的特征混沌现象通常表现为以下几个方面的特征：（1）敏感依赖性：微小的初始条件变化会导致系统最终演化出截然不同的结果。
（2）确定性：尽管混沌现象本身表现为随机不规律的行为，但它的演化过程是可确定的。
（3）分数维度：混沌现象的空间分布具有非整数的分数维度。
（4）拓扑混沌：混沌现象对拓扑空间的延拓和逼近具有深刻的影响。
第三章非线性动力学与分形现象3.1 分形的概念分形是指对于一个非整数维的几何形态，它的局部部分看起来类似于整体。
分形具有自相似性、无限性、分数维数等特征。
3.2 分形现象的出现非线性动力学中的分形现象通常是混沌过程中的一个重要特征，它是同时具有几何结构、动力学过程和统计特性的非线性系统所呈现出来的自组织现象，在脑电图、地震、金融市场等领域都有广泛的应用。
3.3 分形特征的应用分形特征的研究在许多领域中都具有重要的应用价值，如：（1）图像处理和计算机视觉（2）信号处理和音频处理（3）金融市场预测（4）地震监测和灾害预测（5）人脑和生物系统的研究等。
给中学生的纯科普——分形与混沌
给中学生的纯科普——分形与混沌下面我们开始分别介绍分形与混沌。
分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征，通常被定义为一个粗糙或零碎的，Mandelbrot于1973年首次提出了分维和分形的思想。
分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。
分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与随机过程中的鞅论关系密切。
上图可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。
故较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，因此可以说西兰花簇是一个分形的实例。
分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则以至难以用传统欧氏几何的语言描述；自相似Hausdorff维数会大于拓扑维数；且有著简单的递归定义。
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（4）一般，分形集的分形维数严格大于它相应的拓扑维数。
（5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
Koch曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，其Hausdorff维数是ln4/ln3，具体画法如下: （1）任意画一个正三角形，并把每一边三等分；（2）取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；（3）重复上述两步，画出更小的三角形。
（4）一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做Koch曲线。
混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
分形与混沌
可能有人感到，只有欧几里得几何的正 规形状才能应用在科学中，然而上述新的形 式却从不同的透视角度向我们提供了认识自 然的观点。分形是一个新的数学领域--有时 也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而 混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树 枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天 文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛 应用。
曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰 丽的几何图形.这个点集均出自公式:Zn+1=Z2n+C,这 是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大 千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是 曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的.
你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象 燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你 把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的 局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似 的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽 的细节和自相似性.曼德勃罗教授称此为"魔 鬼的聚合物".为此,曼德勃罗在1988年获得 了"科学为艺术大奖".请看如下的图形产生过 程,其中后一个图均是前一个图的某一局部 放大:
上图中的风景图片又是说明分形的另一很 好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生 成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独 特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物 的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一 个普遍特征是具有无限的细致性。上面的 动画所演示的是对Mandelbrot集的放大， 只要选对位置进行放大，就会发现：无论 放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会 减少。但是，注意观察上图，我们会发现： 每次放大的图形却并不和原来的图形完全 相似。这告诉我们：其实，分形并不要求 具有完全的自相似特性。
不管你信不信，上面的这张月球表面的照片 也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看， 也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保 持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。
非线性动力学与混沌理论
非线性动力学与混沌理论非线性动力学与混沌理论是研究复杂系统行为的重要工具和方法。
它们的发展源于对线性系统理论的不足，能够更好地描述和解释自然界中的复杂现象。
本文将介绍非线性动力学与混沌理论的基本概念、发展历程以及在不同领域中的应用。
非线性动力学基础动力学系统动力学系统是指随时间演化的物理、化学或生物系统。
它可以用一组微分方程或差分方程来描述系统的演化规律。
传统的线性动力学系统假设系统的行为是可预测和稳定的，但在实际应用中，许多系统都表现出复杂、不可预测的行为。
非线性动力学非线性动力学研究非线性系统，即系统中存在非线性关系或非线性项的动力学系统。
与线性系统不同，非线性系统的行为更加复杂，可能出现周期运动、混沌现象等。
非线性动力学通过研究系统的稳定性、周期解、混沌现象等来揭示系统内在的规律和行为。
混沌理论混沌理论是非线性动力学的一个重要分支，研究的是混沌现象及其产生的机制。
混沌现象指的是一个看似随机、无序的运动，但实际上具有确定性的演化规律。
混沌系统对初始条件极其敏感，微小的扰动可能导致完全不同的演化轨迹。
混沌理论通过分析系统的吸引子、分岔图、Lyapunov指数等来描述和解释混沌现象。
非线性动力学与混沌理论的发展历程非线性动力学与混沌理论的发展可以追溯到19世纪末20世纪初。
以下是一些重要的里程碑事件：1887年，皮埃尔·路易·库齐奥（Pierre Louis Marie Henri Couette）发现了流体在两个旋转圆柱之间出现的不稳定现象，这被认为是非线性动力学研究的起点之一。
1963年，爱德华·洛伦兹（Edward Lorenz）提出了著名的洛伦兹方程，揭示了天气系统中可能存在的混沌现象。
1975年，本杰明·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）提出了分形几何的概念，为混沌理论的发展提供了新的视角。
1980年代，混沌理论得到了广泛的关注和研究，许多重要的混沌系统被发现和研究，如洛伦兹吸引子、Rössler系统等。
非线性科学中的混沌与分形
非线性科学中的混沌与分形在现代科学的发展中，非线性科学已经成为了一个重要的领域。
这个领域涉及的领域十分广泛，涵盖了自然、社会、经济等各个方面，而其中一个重要的现象就是混沌和分形。
混沌这个术语源于希腊语的“kháos”，意为一团混乱的东西。
在科学中，混沌指的是一种似乎杂乱无章、难以预测的、非周期性的运动行为。
这种行为最初被发现于一些简单的动力学系统中，其中最具代表性的就是洛伦兹系统。
在该系统中，一些看似微不足道的因素，比如初值的微小变化，都可能导致系统的轨迹发生巨大的变化。
这种敏感性以及混乱的现象引发了科学家的极大兴趣，也激发了他们对于混沌的深入研究。
近年来，混沌现象不仅在动力学系统中被广泛研究，还广泛存在于天体力学、地球物理学、化学、经济学、生物医学等领域中。
人们认识到混沌现象的重要性，尝试发展出一些新的方法和技术来描述和预测这种现象。
分形是另一个重要的非线性科学概念。
简单来说，分形就是一种具有自相似性的几何形状。
这种形状不仅在数学中被广泛研究，还在实际应用中得到了广泛的应用。
例如，树枝、海岸线、云朵、山脉等自然界中的许多形状都可以被描述成分形。
在现代科技发展的背景下，分形已经成为了一种重要的理论和实践基础，尤其在数字信号处理、图像处理以及人工智能等领域中得到了广泛应用。
分形帮助人们更好地理解并描述了一些复杂的自然现象。
例如，分形维数可以用来描述一个曲线或者一片区域的复杂程度。
比如，一条直线的分形维数为1，而曲线的分形维数则可能比1更大。
这种分形维数的概念可以帮助人们更好地理解自然界的复杂性，并为研究复杂性提供一些新的工具和方法。
总而言之，混沌和分形是非线性科学中最重要的两个概念之一。
混沌描述了一种非周期性、不可预测性的运动行为，而分形描述了一些自相似的几何形状。
这些概念在科学研究中得到了广泛的应用，成为了科学研究和应用发展的重要基础。
虽然这些概念看起来有些抽象和难以理解，但是它们为我们认识和探索自然界提供了一些新的工具和方法。
分形和混沌
下面我们来讲混沌的特性。
（1）确定系统的内在随机性. 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起 的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随 即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究 表明，只要确定性系统中有非线性因素作用， 系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内 在的随机性，即确定性混沌。 混沌现象是确定性系统的一种“内在随机 性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影 响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运 动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所 研
（2）对初值的敏感性。
系统的长期行为对初值的敏感依赖性是混沌的本质特 征。我们经常说 “差之毫厘，失之千里”；讲的就是 这个道理。在西方，控制论的创立者维纳引用民谣对 “蝴蝶效应”作了生动描述：
钉子缺，蹄铁卸； 蹄铁卸，战马蹶； 战马蹶，骑士绝； 骑士绝，战事折； 战事折，国家灭。
马蹄铁上缺了根钉子本是一件微不足道的事，但经过 逐级放大后，竟然导致整个国家灭亡的灾难性后果。
科克曲线的维数：将4个迭代了n次的图形 在尺度缩小到1/3便可拼成一个迭代了n+1 次的图形。而科克曲线迭代了无穷多次， 于是将4个在尺度上缩小到1/3的科克曲线 便可拼成原尺度的科克曲线。所以，科克 曲线的相似性维数D=log4/log3=1.2618… 由此可见科克曲线具有分数维，它和传统 的平面曲线具有不同的性质，例如科克曲 线是在一个有限的范围内却没有有限的长 度。
的混沌为非线形动力学混沌，而把系统处于平衡态时 究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态热 力学混沌。 它们间的重要差别在于：平衡态热力学混沌所表 现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比 如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定，而长期则服 从统计规律；非线形动力学混沌则不然，系统的短期 演化结果是确定的，是可以预测的；只有经过长期演 化，其结果才是不确定的，不可预测的。比如天气预 报，三天以内的天气状况是可以预测的，三天以后的 旧无法预测了。 返回混沌主页
分形和混沌（转载）
分形和混沌（转载）分形和混沌（转载）(2010-08-27 19:20:40)转载标签：股票分类：理财之道财经（“混沌”⼀词的字⾯解释，有两个含义：⼀指多个组织构成的极端复杂的系统运⾏的状态；另⼀含义则指⼀种更⾼层次的秩序，或者可以理解为世间万事万物运⾏背后的真正的普适规律。
本⽂所指是后者。
） 是什么使⼀项才获诺贝尔奖的对冲套利理论，在强⼤计算机系统配合下，仅⼀年后即成巨型基⾦⽼虎破产的主因？⼜是什么使美国防部耗时数年的预测报告，仅因漏算了⼀只蝴蝶翅膀的扇动，预想的景致便⾯⽬全⾮？什么样的巨⼿成就了索罗斯，不久⼜肢解了量⼦基⾦？是什么使得⼈类百年地震预测史，成为百次预测九⼗九次失误的历史？千百年来，⼈类对预知未来的渴望⽆⽇稍减，但每年价值两千亿美元的预测产业，多数成果都被时间⽼⼈轻易废掉？科学的发展⾄今，⼈们已可轻易算出银河系内任⼀星体明年此时的准确位置，那么能不能也同样算算我股票明天此时的价格呢？预测是⼈类最⼤的梦想，但⾯对环环相扣的复杂组织系统，任何单⼀或复杂的单向性思考，都告⽆效。
那么，放弃预测，已成过去的历史，可以被解释清楚吗？科学家们提出的恐龙灭绝原因已超过千种：⼩⾏星撞击、海平⾯下降、⼆氧化碳窒息、⽕⼭、地震、过于⼲旱、过于潮湿、过暖、过寒、甚⾄四肢太重使之不能交配，等等；温室效应、海底⽕⼭、⼤⽓环流、⽔含盐量、信风逆转等，也丝毫改变不了“厄尔尼诺”继续依然故我的幽灵般游荡——致巴西暖冬如夏，智利沙漠汪洋，中美饱受龙卷风之苦，北美⼲旱产⽣森林⼤⽕，⽇本歌⼭飓风海啸，加拿⼤西部颗粒⽆收……⾦融市场更难琢磨，世贸谈判、扩容计划、利率政策、数百种国有股减持⽅案的反反复复、更有北约、⾮典等⽆数突发事件；基⾦、互联⽹这样的长期⼤事件；创业板、期指等永远的远景……之前⼏乎没有任何⼈料准，之后也没能达成些许的共识。
⽆数经济派系与理论依据，千百万种声⾳永远的争执⽆休，百年前如此，⼗年前如此，今天依然如此。
非线性物理倍周期分岔到混沌阵发性混沌
3．杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程的倍周期分岔
倍周期分岔
两个不对称极 限环
奇 怪 吸 引 子
第二节 阵发性混沌
1. 阵发性混沌现象 2. 阵发性混沌机理
1. 阵发性混沌现象
玻木和曼维尔的发现
自然界、科学实验乃至社会经济生活中,经常可以遇到突发性 现象：太阳黑子、野生动物数量涨落、电子或激光振荡中的冲击 现象,社会经济中的例子是股市的涨落.在非线性科学中是否相应 的现象呢
两个费根鲍姆常数 与 都反映了非线性系统沿倍周期分岔
系列通向混沌过程所具有的某种普适特性.可见费根鲍姆常数具 有普遍意义.
大自然中存在一些普适常数,例如长度与直径之比的圆周率,反 映物理量随时间衰变的自然对数e,反映物质微观量度的普朗克常 数h,真空中光速c等,但普适常数为数不多,它们代表了大自然运动 所遵循的某些规律.
上面这个例子对从有序周期到无序的阵发性混沌道路给出了解释.
2. 阵发性混沌机理
华裔数学家天岩和约克通过严格的数学分析证明： 在任何一维系统中,只要出现规则的周期3,必然会给出 任意的规则周期运动和完全混沌运动的循环.
1. 倍周期分岔道路
临界点以上的迭代计算
对平方映射的计算表明,随着参 数μ的增长,平方映射发生一系列 的倍周期分岔.但倍周期分岔在一
临界点μc =3.5699…时终止.此后,
每次迭代得到的值是随机地出现 的.
μ=3.7时,每次迭代计算得到的 xn 值既不趋向于零或稳定值,也 不是重复,而是随机地出现.随迭代计算将无限地延续下去,迭代值 偶尔出现先前得到过某个迭代值点附近,但并没有准确相同,于是 在继续迭代计算中又很快地分离开来了,说明系统已从周期运动 进入到了非周期运动或称混沌运动.
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验
非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。
非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题，人们对此领域进行了深入研究，发现混沌现象涉及的领域极广，如：物理学，电子学，经济学，生物学，计算机科学等。
本实验通过对非线性电路混沌现象的观察，从而了解和理解非线性混沌现象的本质。
一． 实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解 ⒊理解“蝴蝶效应”。
二． 实验原理 ⒈分岔与混沌理论 ⑴ 逻辑斯蒂映射 为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1X 0X A X B⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。