概率论第二章习题讲解

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概率论第二章习题答案

概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。

求X的分布律。

解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。

由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。

因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。

求Y的概率密度函数。

解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。

解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。

解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。

求X的分布律和期望值。

解答：X服从参数为n和p的二项分布。

其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。

概率论第二章习题解答

a
b X t
ba
0
F
t
t b
a a
1
ta at b bt
2024年8月31日7时2分
P44 2.4.1 X ~ U 0,10,均匀分布 0, x 0
概率密度f
方程x2
x
1
=10
,
0,
Xx 1
0 x 10 分布函数F 其它
0有实根,
x
x 10 1
0 x 10 10 x
=X 2 4 0 X 2
1 P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3 1 P A1A2 A3
1 P A1 P A2 P A3 1 0.9730633 0.078654
设Y “3人维修的90台设备发生故障的台数”
近似
则Y ~ B 90，0.01， 2 =np 90 0.01 0.9,Y ~ 0.9
Probability
2024年8月31日7时2分
第二章随机变量及其分布 P35练习2.2
1
P
X
k
k
A
k 1
k
1, 2,
,且
k 1
k
A
k 1
1
1
k 1
k
A
k 1
A
k 1
k
1
k 1
A 11
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
A
A1
2024年8月31日7时2分
P35练习2.2
2 解：设X =8次射击击中目标次数，则X ~ N 8,0.3
2024年8月31日7时2分
P49 2.5.1 Y sin X 1,0,1
X

天津理工大学概率论与数理统计第二章习题答案详解

第2章一维随机变量习题2一. 填空题：1.设离散型随机变量 ξ 的分布函数是 (){}x P x F ≤=ξ，则用 F (x) 表示概 {}0x P =ξ = __________。

解：()()000--x F x F 2.设随机变量 ξ 的分布函数为 ()()+∞<<∞-+=x arctgx x F π121 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。

解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 143.设 ξ 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，则 P{ ξ = 3 }= ___2783e - 或 3.375e -3____。

4.设某离散型随机变量 ξ 的分布律是 {}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k C k P Kλξ，常数 λ>0，则 C 的值应是 ___ e -λ_____。

解：{}λλλλξ-∞=∞=∞==⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑e C Ce k C k Ck P KK KK K 11!1!105 设随机变量 ξ 的分布律是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521ξP = 0.8 。

解：()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令15161A = 得 A =1615()()212521=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<ξξξp p P 8.041211516=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=6.若定义分布函数 (){}x P x F ≤=ξ，则函数 F(x)是某一随机变量 ξ 的分布函数的充要条件是F ( x ) 单调不减，函数 F (x) 右连续，且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 17. 随机变量) ,a (N ~2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ，则随着σ的增大，g()σ之值保持不变。

概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)—133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)·3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为！P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 e a λ-=(2) 由分布律的性质知；111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，）,Y~b (3,(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+；0.32076=(2)=6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><|即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000， 001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X = 1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. —【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，）(7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293kk k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（ 2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1 ）32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P { X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mm m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-…故得 24(1),9p -= 即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,.利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==~(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤#由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为《f (x )=A e |x |,∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x -=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩…16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0…当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xxF x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1`即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为|51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5xP X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭、若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22）， /（1）求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2）确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=3|22.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （,）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥，允许σ最大不超过多少【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭ 404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ （1）求常数A ，B ；&（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0 《当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d x F x f t t -∞=⎰111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e |x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）.@【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1[即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时012011()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x-∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩.27.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=，求z α; （2）α=，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ=/查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=2 1 0 13 ！求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时、求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度；（2）求Y =2X 2+1的概率密度；（3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤%ln ()d yX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤2111222y y y P X P X ⎛⎫---⎛⎫=≤=-≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)/2(1)/2()d y X y f x x ---=⎰故 d 1211()()d 4122Y Y XX y y f y F y f f y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--==+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(1)/4121e ,1212πy y y --=>-(3) (0)1P Y ≥=—当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2e ,02πy y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<=》当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=@当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z z P X P X -=≤-=≥ /21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0 故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他…试求Y =sin X 的密度函数.【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为~22,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

概率论知识点详解（第二章）

第二章随机变量及其分布题型归类与解题方法1. 求随机变量的分布1.1 求离散型随机变量分布列或分布函数例 2.1 一盒中装有编号1,2,,5 为的五只球，现从中任取三只球，求被抽取的三只球的中间号码为X 的分布列．解首先确定X 的取值只能为2，3，４．分析当X k =时，另两只球中的一只在小于k 的1k -个球中取，余一只球在大于k 的5k -只球中取，故111535{}k kC C P X k C --== (2,3,4)k = 即有例 2. 2 已知X 的概率分布为1{2}{1}{1}{2}4P X P X P X P X =-==-=====，求：（1）2Y X =的分布列；（2）(),X Y 的分布列．解（1） 2Y X =的分布列为1{2,4}{2}4P X Y P X =-===-=．同理1{1,1}{1}4P X Y P X =-=-==-=； 1{1,1}{1}4P X Y P X =====； 1{2,4}{2}4P X Y P X =====．故(),X Y 的联合分布列为评点对于这一类题，首先确定离散型随机变量的取值，然后求出随机变量取各值的概率，最后写出离散型随机变量的分布律．1.2 求连续型随机变量分布列或分布函数例 2.3 设随机变量X 的概率密度为,01;()2,12;0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，求X 的分布函数()F x ．解分析：利用公式()()xF x f x dx -∞=⎰直接计算分布函数．当0x <时，()0F x =；当01x ≤<时，20()()02xxx F x f x dx dx xdx -∞-∞==+=⎰⎰⎰；当12x ≤<时，01211()()0(2)212xx F x f x dx dx xdx x dx x x -∞-∞==++-=--⎰⎰⎰⎰；当2x ≥时，220,0;,01;2()112,12;21, 2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩．例 2.4 在(),X Y 区域Θ上服从均匀分布，求(),X Y 的分布函数，其中Θ为x 轴，y 及1y x =+围成的三角形．解当1x <-或0y <时，(,)0f x y = (,)0F x y =；当10x -≤<，1y x ≥+时，201(,)22(1)(22)y xy F x y dy dx y x y x y y -==+-=-+⎰⎰；当10x -≤<，1y x ≥+时，121(,)2(1)xx F x y dx dy x +-==+⎰⎰；当0x ≥，01y ≤<时，01(,)2(2)yy F x y dy dx y y -==-⎰⎰；当0x ≥，1y ≥时，(,)1F x y =．故2010;(22),10,01;(,)(1),10,1;(2),0,01;10, 1.x y x y y x y x F x y x x y x y y x y x y <-<⎧⎪-+-≤<≤<+⎪⎪=+-≤<≥+⎨⎪-≥≤≤⎪≥≥⎪⎩，或，评点求一维的和二维的连续型随机变量的分布函数，是对概率密度函数进行积分．若()f x ，(,)f x y 分区域定义时，关键就在于积分的上，下限或区域的确定．1.3 确定分布列或密度函数或分布函数中的参数例 2.5 随机变量(,)X Y 的概率密度为222(;(,)0,A k x y k f x y ⎧⎪+≤=⎨⎪⎩其他，，求：（１）系数A 的值．（２） 222{(,)}P X Y x y r ∈+≤ ()r k ≤．解（1）因为1(,)(f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰用极坐标代换得）222(x y k A k dxdy +≤=⎰⎰230()/3kA d k r rdr A k πθπ=-=⎰⎰故33A k π=．（2）222223300332{(,)}()13r r r P X Y x y r d k r rdr k k k πθπ⎛⎫∈+≤=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰．例 2.6设二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭求：（1）A ，B ，C 的值．（2）(,f x y ）．解（1）因为0A ≠，所以由x ，y 的任意性，得0(0,)arctan 022F A B C π⎛⎫⎛⎫-∞=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2C π=；0(,0)arctan 023F A B C π⎛⎫⎛⎫-∞=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2B π=；(,)12222F A ππππ⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21A π=，故21(,)arctan arctan 2223y F x y ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（2）由2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂，得222(,)6[(4)(9)]f x y x y π=++ (,)x y -∞<<+∞．评点（1）有几个参数就要找到几个独立的条件；（３）这里主要用到()0F -∞=，()1F +∞=或()1kf x dx =⎰， (,)(,)(,)0F y F x F -∞=-∞=-∞-∞=，(,)1F +∞+∞=，或2(,)1k f x y dxdy =⎰⎰．2. 求概率2.1 由分布列或密度函数或分布函数，求随机变量落入某集合的概率例 2.7 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(23)6,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩；其他，求：（1）(,)F x y ．（2）{236}P x y +≤．解（1）分区域讨论，见图2.1．当0x ≤，0y ≤时，(,)0F x y =；当0x >，0y >时(23)230(,)6(1)(1)x yx y x y F x y dy e dx e e -+--==--⎰⎰即23(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他．（2） (23)236{236}6x y x y P X Y e dxdy -++≤+≤=⎰⎰32(3)/3(23)0x x y dx e dy --+=⎰⎰6170.9826e -=-≈．例 2.8 随机变量X 的分布函数为20,0(),05251,5,x xF x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，求{36}P x <<的概率．解直接利用公式计算：916{36}(6)(3)12525P x F F <<=-=-=．评点（1）对一般连续型随机变量取值的概率，如果已知密度函数求概率可用{(,)}(,)GP x y G f x y dxdy <=⎰⎰公式法．（2）对于已知分布函数求概率，同样也可以用公式法{}{}{}()()P a X b P a X b P a X b F b F a <<=≤≤=<≤=-．2.2 求实际问题的概率例 2.9 某地区18岁的女青年的血压(收缩压，以ｍｍＨｇ计)，服从2(110,12)N ，在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X ：（1）求{105}P X ≤，{100120}P X <≤．（2）确定最小的x ，使{}0.05P X x >≤．解（1）2(110,12)X N ，则105110{105}(0.417)12P X -⎛⎫≤=Φ=Φ- ⎪⎝⎭1(0.417)10.662=-Φ=-=； 120110100110{100120}1212P X --⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0.83)(0.83)2(0.8=Φ-Φ-=Φ-= （2）要使{}0.05P X x >≤，必须1{}0.05P X x -≤≤，即{}10.050.95P X x ≤≥-=，亦即1100.9512x -⎛⎫Φ≥⎪⎝⎭，110 1.64512x -≥，129.74x ≥，故所求x 必须大于等于129.74．例 2.10 一轰炸机带的三枚炸弹向敌方目标投掷，若炸弹落在目标中心40米内，目标将被摧毁，设在使用瞄准器投弹时，弹着点X 的概率密度函数为(100)/10000,1000;()(100)/10000,0100;0,x x f x x x +-<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，，求投掷三枚炸弹后，目标被炸毁的概率．解一枚炸弹落在目标中心40米内的概率为4040404001()(100)(100)10000f x dx x dx x dx --⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 4002(100)0.6410000x dx =-=⎰，则炸弹落在40米外的概率为10.640.36P =-=，所以三枚炸弹都落在目标中心40米外的概率是3(0.36)，于是，目标被炸毁的概率是31(0.36)0.953P =-=．评点（1）对此类题型，一定要根据实际情况，确定所求概率的范围；（2）然后再根据相应的定义，性质，公式求出符合实际的概率．2.3 求服从二项分布的随机变量取值的概率例 2.11 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在一分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的，为了在任意时刻，使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，至少应有多少电话线路？解设任意时刻乙地10个用户使用电话的户数为随机变量，记为X ，则每一个电话用户在任意时刻使用电话的概率120.260P ==，即(1,0.2)X b ，又设至少需m 条电话线路，求满足{}0.99P X m ≤=的m ．而1010{}(0.2)(0.8)kk k P X k C -== (0,1,,k =，有10100{}{}(0.2)(0.8)mmkk k k k P X m P X k C -==≤===∑∑，于是1010(0.2)(0.8)0.99mkk k k C-==∑ 即 5m =，故至少应有5条电话线路．评点对于这类问题要注意：（１） X 是n 次试验中事件A 发生的概率；（２）在每次试验中事件A 和A 有且仅有一个发生；（３）利用对立事件来求解问题时，注意随机变量的取值为0,1,2,,n ，n 是试验次数；（４）当n 较大P 较小时，且np λ=，(1)!k k kn kne C p p k λλ---≈．2.4 求服从泊松分布的随机变量取值的概率例 2.12 实验器皿中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X 服从参数为λ的泊松分布，试求产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率．解由题意可知，X 的分布律为{}!kP X k e k λλ-==(0,1,2,k = 而这k 个细菌全部是甲类细菌的概率为(1/2)!kke k λλ-，因此产生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为21(1)!kk P ee ek λλλλ∞---===-∑．评点当试验次数n →∞时，若事件A 每次出现的概率0n P nλ=→，此时事件A 出现的次数X 服从泊松分布．服从泊松分布的随机变量很多，例如一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数，交叉路口单位时间内过往的汽车辆数，一本书1页中的印刷错误数，纺织厂生产的布匹上一定数量的疵点，铸件的砂眼数等．2.5 求服从均匀分布的随机变量取值的概率例 2.13 测量零件时产生的误差(X 单位：cm )是一个随机变量，它服从(0.1,0.1)-内的均匀分布，求误差的绝对值在0.05cm 之内的概率．解据均匀分布定义，X 的概率密度为1,0.10.1;0.1(0.1)()0,,x f x ⎧-<<⎪--=⎨⎪⎩其他即5,0.10.1;()0,,x f x -<<⎧=⎨⎩其他故0.050.05{0.05}50.5P X dx -<==⎰．评点求此类题型的解法一般有两种方法：（１）利用概率密度的积分计算，即利用公式{}{}{}{}P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤≤=<≤=≤≤()baf x dx =⎰；（２）直接利用分布函数计算，即利用公式{}{}{}()()P a X b P a X b P a X b F b F a <<=≤≤=<≤=-．2.6 求服从正态分布的随机变量取值的概率例 2.14 设随机变量X 服从正态分布(108,9)N ，求：（1）{101.1117.6}P x <<；（2）常数a ，使{}0.90P X a <=；（3）常数a ，使{||}0.01P X a a ->=．解（1）117.6108101.1108{101.1117.6}33P x --⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3.2)( 2.3)=Φ-Φ-0.9995110.989280.9888=-+=．（2）108{}0.903a P X a -⎛⎫<=Φ=⎪⎝⎭，查表知108 1.293a -≈，即112.17a =．（3）{||}{2}{0}P X a a P X a P X ->=>+<10821081081083333X a X P P ----⎧⎫⎧⎫=>+<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭210810.013a -⎛⎫=-Φ= ⎪⎝⎭，即有21080.993a -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭，故得21082.333a -=，即 57.4a =．评点正态分布是一类非常重要的分布．正态分布的概率计算最终都要查标准正态分布表，表里表明()z Φ和Z 的关系，特别地，当0Z <时，()1()z z Φ=-Φ-．2.7判别随机变量是否相互独立例 2.15设随机变量(,)X Y 的分布律如下表示，试判断X ，Y 是否相互独立．解利用离散型随机变量边缘分布定义，随机变量(,)X Y 关于X 和Y 的边缘分布律分别为{0}{0}0.80.70.56{0,0}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {0}{1}0.80.30.24{0,1}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {1}{0}0.20.70.14{1,0}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {1}{1}0.20.30.06{1,1}P X PY P X Y ===⨯==== ．由此可见ij i j p p p = ，故X 和Y 是相互独立的．例 2.16 已知联合分布密度,04,0(,)40,Axy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，，求：（1）系数A ；（2）边缘概率密度；（3）讨论X 与Y 是否相互独立．解（1）由概率密度的性质可知14GA xydxdy =⎰⎰即40014A dx xydxdy =⎰，得38A =．从而二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 3,(,);(,)320,(,);xy x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩ （2）由2033()3264X f x xydxdy x ==，得 23,04;()320,X x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，同理438,02;()3220,Y y y y f y ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，（3）取点1(,)1,2x y G ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由于5133131(1)81,216642642X Y f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故X 与Y 并不独立．评点考察随机变量相互独立的判别，实际上（１）若(,)X Y 是离散型的随机变量，则X 和Y 相互独立的充要条件是ij i j p p p = ；（2）若(,)X Y 是连续型的随机变量，则X 和Y 相互独立的充要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = ．2.8 求连续型随机变量的边缘概率密度例 2.17 设(,)X Y 在区域G 内服从均匀分布，G 由直线12xy +=及x 轴，y 轴围成，求；（1）(,)X Y 的联合密度；（2）关于X 和Y 关于的边缘密度．解（1）G 的面积1()2112L G =⨯⨯=，故 1,(,)1,(,);()(,)0,.0,x y G x y G L G f x y ⎧∈∈⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩其他其他（2）当02x ≤≤时，2012012()(,)01012x x X x f x f x y dy dx dy dy +∞-+∞-∞+∞-==++=-⎰⎰⎰⎰，当0x <或2x >时，(,)0f x y =，所以(0)0X f =．综上所述1,12;()20,X x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,同理可求得2(1),01;()0,Y y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他. 评点由二维随机变量的概率密度求它的边缘分布是常规题，尤其是要注意当概率密度是分段函数时，计算时要注意分段函数的段．例如，在求()X f x 时，利用公式()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰计算，必须分x 取不同区间值讨论．。

概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析

第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。

A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。

A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。

C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。

A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。

A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。

A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。

为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。

课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。

A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。

课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。

A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。

概率论第三版第2章答案解析详解

第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ，两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。

所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P 41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计第二章习题及答案

概率论与数理统计习题第二章随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P XP C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=qk －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

于是， X 的分布律为
P ( X k ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ， k 2,3, ．
7．随机变量 X 服从泊松分布，且 P ( X 1) P ( X 2) ，求 P ( X 4) 及 P ( X 1) ．
3
解： P ( X 1) P ( X 2) ，
(3) 方法 1： P (1 X 3) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 ．方法 2： P (1 X 3) F (3) F (1 0) 1 0 1 ． 4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是 0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达 40000 元；当第二组成功时，每年的销售额可达 60000 元，若失败则分文全无．以 X 记这两种新药的年销售额，求 X 的分布律．解：设 Ai {第 i 组取得成功}， i 1,2 ，由题可知， A1 ， A2 相互独立，且 P ( A1 ) P ( A2 ) 0.4 ．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：A1 A2 ，A1 A2 ，A1 A2 ，
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ，
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律．解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…，设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
1 ln 3) ；(3) 分布函数 F ( x) ． 2

概率论与数理统计第二章习题解

x
x
解：(1).当 x <0 时， F (x) = ∫ f (x)dx = ∫ 0dx = 0 ；
−∞
−∞
∫ ∫ ∫ 当
0 ≤ x < 1 时， F (x) =
x
f (x)dx =
0 0dx + x udu = 1 x2 ；
−∞
−∞
0
2
∫ ∫ ∫ ∫ 当1 ≤ x < 2 时， F (x) = x f (x)dx = 0 0dx + 1 xdx + x (2 − t)dt = 2x − 1 x2 −1 ；
14.设连续性随机变量ξ的分布函数为：
⎧ 0 , x<0)
F
(
x)
＝
⎪ ⎨
Ax
2
,0≤ x1)
⎪⎩ 1 , x ≥ 1 )
求：(1).常数 A；(2). P (0.3 < ξ < 0.7)；(3).密度函数 f ( x) .
解：(1).由分布函数 F (x) 的连续性：
lim F (x) = lim Ax2 = A , lim F (x) = lim1 = 1 ，则得： A ＝1，从而ξ的分布函数为：
,(0≤ x<1) ,(1≤ x≤2)
⎪⎩ 1
,(x>2 )
(2).( f (x) 与 F ( x) 图形略).
17.设ξ～ N (3, 22 ),求 P(| ξ |> 2) ， P(2 < ξ ≤ 5) ， P(ξ > 3) .
解：
P[(ξ
<
−2) ∪
(ξ
>
2)]
=
P(ξ
<
−2)

概率论习题讲解

x e
x!
(x =0,1,2, …,)
N→∞， H (n, M , N ) B(n, p). p M ,
N
n →∞， B(n, p) P() np
1
§2.5 随机变量旳分布函数
一.定义
F(x) P(X x)
二.分布函数旳性质：
(1) 0 F ( x) 1, ( x )
若不是整数，则当 m [ ]时，P( X m)最大。
13
9. 一本书中每页印刷错误旳个数X 服从泊松分布P0.2,
写出X 旳概率分布，并求一页上印刷错误不多于1个旳概率。
解 X旳概率分布为：PX k 0.2k e0.2
k!
查表求
PX 1 PX 0 PX 1 0.8187 0.1638 0.9825
6设随机变量X 服从二项分布 Bn, p 当x 为何值时，概率
PX x取得最大值。
解
PX
=
x
=
C
x n
pxqn-x
PX x PX x 1
1
n 1p
xq
x
当 x n 1p 时， PX x PX x 1;
当 x n 1p 时， PX x PX x 1;
当 x n 1p 时， PX x PX x 1;
FX
x
x dx f x, ydy
f x, ydy
FY y F , y
y dy f x, ydx
fY y
d dy
FY
y
f x, ydx
§2.11 随机变量旳独立性
一. 离散型随机变量旳独立性 p xi , y j pX xi pY y j
二. 连续随机变量旳独立性

概率论与数理统计第2章复习题解答

《概率论与数理统计》第二章复习题解答1. 将4只球（1-4号）随机放入4只盒子（1-4号）中去，一只盒子只放一球. 如一只球装入了与之同号的盒子, 称形成了一个配对. 记X 为总的配对数, 求X 的分布律. 解：241!41)4(===X P ； 0)()3(===ΦP X P ——因为当3个球形成配对时，另1个球一定也形成配对；41!41)2(24=⨯==C X P ——当4个球中的某2个形成配对时，另2个球（标号a,b ）都不形成配对的放法只1种，即分别放入标号b,a 的盒中；31!42)1(14=⨯==C X P ——当4个球中的某1个形成配对时，另3个球都不形成配对的放法只2种：以abc 记3个空盒的号码排列，则3个球只能以bca 或cab 的次序对应放入3个盒中；249314102411)0(=----==X P . 于是，分布律为2. 盒中装有10个大小相等的球, 编号为0-9. 从中任取一个, 在号码“小于5”、“等于5”、“大于5”三种情况下，分别记随机变量.2,1,0=X 求X 的分布律、分布函数、分析2)1(-=X Y 服从什么分布.解：（1）10个球中号码“小于5”、“等于5”、“大于5”分别有5、1、4个，于是X 的分布律为（2）X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=2,1 21 ,6.010 ,.500 ,0 )(x x x x x F X ；（3）2)1(-=X Y 分布律为即2)1(-=X Y 服从参数为0.9的0-1分布.3. 设随机变量X 的分布密度为∞<<∞-=-x Aex f x X ,)(. 求（1）A 的值;（2）)21(<<-X P ;（3）X的分布函数;（4）21X Y -=的分布密度. 解：（1）122)(0===⎰⎰∞-∞∞-A dx Ae dx x f x X , 21=∴A ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=∴-0,21 0,21)(x e x e x f x x X ；（2）)(2112121)21(212001----+-=+=<<-⎰⎰e e dx e dx e X P x x ；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=+<===--∞-∞-∞-⎰⎰⎰⎰0 ,21121210 ,2121 )()(00x e dt e dt e x e dt e dt t f x F x x t t x x t xX X ；（4）)1(1)1()1()()(222y X P y X P y X P y Y P y F Y -<-=-≥=≤-=≤=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-<<---=1 ,01 1,)11(1y y y X y P ⎪⎩⎪⎨⎧≥<--+--=1 ,11,)1()1(1y y y F y F X X 求导得⎪⎩⎪⎨⎧≥<---+-=1 ,0 1,121)]1()1([)(y y y y f y f y f X X Y⎪⎩⎪⎨⎧≥<-+=----1 ,0 1 ,121]2121[11y y y e e y y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--1 ,01,1211y y e y y .4. 根据历史资料分析, 某地连续两次强地震间隔的年数X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0 ,00,1)(1.0x x e x F x ，现在该地刚发生了一次强地震，求（1）今后3年内再发生强地震的概率；（2）今后3-5年内再发生强地震的概率；（3）X 的分布密度)(x f ，指出X 服从什么分布.解：（1）26.01)3()3(31.0=-==≤⨯-e F X P ；（2）13.0)1()1()3()5()53(31.051.0=---=-=≤<⨯-⨯-e eF F X P . （3）X 的分布密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤>=--0,0 0,1010 ,0 0,1.0)(1011.0x x e x x e x f x x ，故X 服从参数为10的指数分布. 5.（1）设),2(~p b X , ),3(~p b Y , 且95)1(=≥X P , 求)1(≥Y P .（2）设)(~λP X , 且)2()1(===X P X P , 求)4(=X P .（3）设),(~2σμN X ，试分析当↑σ时，概率)(σμ<-X P 的值将如何变化. 解：（1）),2(~p b X ，95)1(1)0(1)1(2=--==-=≥∴p X P X P ，故321=-p ，31=p . 从而)31,3(~b Y , 2719)32(1)1(1)0(1)1(33=-=--==-=≥∴p Y P Y P . （2）)(~λP X , 且)2()1(===X P X P , 即λλλλ--=e e !2!121, 亦即λλ22=, 又0>λ, 2=∴λ.从而)2(~P X , 2!2)(-==e k k X P k, .2,1,0 =k 于是22432!42)4(--===e e X P . （3）),(~2σμN X ，故6826.01)1(2)1()1()()(=-Φ=-Φ-Φ=+<<-=<-σμσμσμX P X P . 故当↑σ时，概率)(σμ<-X P 的值.6. 设某城市男子的身高(单位:cm))6,170(~2N X .（1）应如何设计公共汽车的车门高度, 才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182cm, 求100个男子中会与车门碰头的人数至多是1的概率.解：（1）设公共汽车的车门高度应为x cm. 则要使01.0)6170(1)(1)(<-Φ-=≤-=>x x X P x X P , 只须)33.2(99.0)6170(Φ=>-Φx , 从而只要33.26170>-x , 于是98.183>x 即可.（2）若车门高度为182cm, 则1个男子会与车门碰头的概率为 0228.0)2(1)6170182(1)182(1)182(=Φ-=-Φ-=≤-=>=X P X P p 设100个男子中会与车门碰头的人数为Y , 于是)0228.0,100(~b Y , 从而34.09772.00228.09772.00228.0)1()0()1(991110010000100=+==+==≤C C Y P Y P Y P .7. 设带有3颗炸弹的轰炸机向敌人的铁路投弹, 若炸弹落在铁路两旁40米以内, 即可破坏铁路交通. 记弹落点与铁路的距离为X (单位: 米), 落在铁路一侧时X 的值为正, 落在另一侧时为负. X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它 ,0 1000 ,100001000100,10000100)(x x x x x f若3颗炸弹全部使用, 求敌人铁路交通受到破坏的概率.解：1颗炸弹落在铁路两旁40米以内的概率为64.01000010010000100)()40(4000404040=-++==<=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x f X P p 设3颗炸弹中落在铁路两旁40米以内的颗数为Y , 则)64.0,3(~b Y ，从而至少1颗炸弹落在铁路两旁40米以内（可破坏铁路交通）的概率为95.0)64.01(1)0(1)1(3=--==-=≥Y P Y P8. 设),(~b a U X , 证明: 当0>k 时, l kX Y +=仍服从均匀分布.证明：),(~b a U X ，⎪⎩⎪⎨⎧<<-=∴其它,0 ,1)(b x a a b x f X ，而)()()()()(k l y F k l y X P y l kX P y Y P y F X Y -=-≤=≤+=≤= 求导得k k l y f y f X Y 1)()(-=. 又因为⇔≠-0)(k l y f X l bk y l ak b kl y a +<<+⇔<-<，故 ⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-=其它,0 ,)(1)(l bk y l ak ka b y f Y . 即当0>k 时, l kX Y +=在),(l bk l ak ++上服从均匀分布. 证毕.9.（1）设X 的分布密度⎩⎨⎧<<--=其它 ,0 11,1)(x x x f X , 用分布函数法求X Y =的分布密度；（2）设)1,0(~U X , 用公式法求XY +=11的分布密度. 解：（1）⎩⎨⎧≤>--=<<-=≤=≤=0 ,00,)()()()()()(y y y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y , 求导得 ⎩⎨⎧≤>-+=0 ,0 0,)()()(y y y f y f y f X X Y 注意到当且仅当10<<y 时)(),(y f y f X X -取非零表达式，故⎩⎨⎧<<-=--+-=其它 ,010),1(2)1()1()( y y y y y f Y （2）)1,0(~U X ，⎩⎨⎧<<=∴其它,0 10,1 )(x x f X ，而当10<<x 时x y +=11单调可导；反函数为11)(-=y y h ，21)('y y h -=；21)1(,1)0(==y y ，由定理知⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,0 121 ,)('))(()( y y h y h f y f X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,0 121 ,12y y 10. 试证明：若 ,3,2,1,)1()(1=-==-k p p k X P k , 则)()(t X P s X t s X P >=>+>, 其中t s ,是非负整数.（即几何分布具有“无记忆性”) 证明：t t t k k t k k p p p p p p p p t X P )1()1(1)1()1()1()(1111-=---=-=-=>∑∑∞+=-∞+=-， )()()(),()(s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P >+>=>>+>=>+>，由上一步结果知 t s ts p p p s X t s X P )1()1()1()(-=--=>+>+，故)()(t X P s X t s X P >=>+>对任意非负整数t s ,成立. 即几何分布与指数分布一样，具有“无记忆性”. 证毕.第 1 页：第二章随机变量及其分布习题课**************************************************第二章随机变量及其分布习题课第 2 页：**************************************************随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的函数的分布定义知识结构特征数第 3 页：随机变量与普通的函数不同**************************************************随机变量与普通的函数不同随机变量随机变量的取值具有一定的概率规律设 ={}为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数 X=X() 为随机变量.用来表示随机现象结果的变量。

《概率论》第二章习题

第二章事件与概率1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？解：这五个字母自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则42)(,52)(121==A A P A P ，21)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。

利用乘法公式，所求的概率为2、有三个孩子的家庭中，有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。

设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，依题意所求概率为P 〔B|A 〕，则()768/78/6)()(===A P AB P A B P . 3、假设M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：〔1〕取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；〔2〕两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；〔3〕取出的两件中至少有一件是废品的概率。

3、解：〔1〕M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。

设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，显然B A ⊃，则 ()1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 22/)(M m C C B P =，题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121/)(/221122---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . 〔2〕设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ⊂，则(),/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 211/)(M m M m C C C B P -=.题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2112211-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . 〔3〕P{取出的两件中至少有一件废品}=())1()12(/2211---=+-M M m M m C C C C M m m M m . 4、袋中有a 只黑球，b 只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球〔取后不放回〕，试分别求出三人各自取得白球的概率〔3≥b 〕。

《概率论与数理统计》第二章习题解答

第二章随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。

（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。

）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。

（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。

）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

大学概率论——第二章习题解

P X n 0.00023
查表知： n 15
所以仓库在月初要库存此种商品15件，才能
保证当月不脱销的概率为0.99977。
P81 13、设随机变量X的分布函数为
0 2 F x x 1 x0 0 x 1 x 1
1 P 0.3 X 0.7 , P( X ) 求 1） 2
1 1 1 C C 1 5 2 P X 2 5 2 4 6
1 1 11 C C 1 6 2 P X 2 6 2 36 6
所以X2的分布律为：
X2
P
1
1 36
2 1 12
3
5 36
4 7 36
5 1 4
6 11 36
P80 5、箱子里装有a个白球，b个黑球，从中一次
F A
2
B 1
1 1 x , 3) f x F x 2 2 1 x 1 x
1
P81 15、设随机变量X的概率密度为
0 x 1 x 求：1）X的分布函数； f x 2 x 1 x 2 P X 0.5 , 2 ） 0 其他 P X 1.3 , P 0.2 X 1.2 .
3 1 P X 1 10 2 6 12 1 1 P X 1 12 2 6 36
P X 1 11
2 1 2 6 18
所以X1的分布律为：
X1 2 3 4
P
1 1 1 36 18 12
5 1 9
6 5 36
7 8 1 5 6 36
9 1 9
10
2）X的概率密度。
解： 1) P 0.3 X 0.7 F 0.7 F 0.3

概率论第二章习题参考解答

概率论第二章习题参考解答1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11105.000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ0 1 P 1/32/3而分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=<≤<=11103/100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ⎩⎨⎧≥<=ax a x x F 10)(, 它的图形为ax1 0F (x )4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3)(1),(2)代入(3)得:2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为)3,2,1(271)(3=⨯==-i i P i ξ或列表如下: ξ 123P 4/7 2/7 1/75. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.解: 基本事件总数为420C n =,有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为ii i C C n -=4155, 则001.01731911718192051234)4(031.0171952121545171819201234)3(2167.01718191415231212141545171819201234)2(4696.01718191314151231314155171819201234)1(2817.01719137123412131415171819201234)0(445420115354202152542031515420415=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ ξ1234P 0.2817 0.4696 0.2167 0.031 0.0016. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有),3,2,1(1331310)(1=⎪⎭⎫⎝⎛⋅===-i pq i P i i ξ7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为1,2,3,4. 不难算出,0027.0131132133)4(0328.01312132133)3(1953.01311133)2(7692.01310)1(=⋅⋅===⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P Pξ 1234P 0.7692 0.1953 0.0328 0.00278. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p , 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解: 事件ξ=i 说明生产了i 次正品后第i +1次出现废品, 这是i +1个独立事件的交(1次发生i 次不发生, 因此有P (ξ=i )=p (1-p )i , (i =0,1,2,…)9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P {ξ<1|ξ≠0}.解: 根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{==+=+=+-=ξξξξP P P P即1167854321=+++cc c c 得2.3125163716710128167854321==+++=+++=c 设事件A 为ξ<1, B 为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{==++==+=+-=-==≠≠⋂<==≠<ξξξξξξξξξP P P P P P B P AB P P 10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数. 解: 第4题:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31327/6217/410)(x x x x x F第9题:当x <-1时: F (x )=P (ξ≤x )=0 当-1≤x <0时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)=2162.03125.22121=⨯=c 当0≤x <1时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)=5405.03125.243214321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c c 当1≤x <2时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)+P (ξ=1)=8108.03125.2854321854321=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++c c c 当x ≥2时: F (x )=P (ξ≤x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=21218108.0105405.0012162.01)(x x x x x x F 11. 已知ξ~⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1021)(x xx ϕ, 求ξ的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形.解: 当x <0时: F (x )=0;当0≤x <1时:xx xt x t dt t dt t dt dt t x F xxx=-==+-⋅==+==+--∞-∞-⎰⎰⎰⎰00012112121210)()(12102100ϕ 当x ≥1时: F (x )=1 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(x x xx x F 图形为10 xF (x )112. 已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P {ξ≤0.5}; P (ξ=0.5);F (x ).解: 25.005.020)(}5.0{225.0025.005,0|=-==+==≤⎰⎰⎰∞-∞-x xdx dx dx x P ϕξ, 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P {ξ=0.5}=0,求F (x ): 当x <0时, F (x )=0 当0≤x <1时, 220|20)()(x t tdt dt dt t x F xxx==+==⎰⎰⎰∞-∞-ϕ 当x ≥1时, F (x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它0100100)(2x x x ϕ, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P (ξ≥150)为:3215010012100100)()150(|150121502150==+-===≥∞++-+∞+∞⎰⎰x dx xdx x P ϕξ 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为2963.027832)3(33==⎪⎭⎫⎝⎛=p14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Ax x x F 求系数A ; P (0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x ).解: 因ξ是连续型随机变量, 因此F (x )也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A ×12=1, 即A =1. 则分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F P (0.3<ξ<0.7)=F (0.7)-F (0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x )为⎩⎨⎧<≤='=其它0102)()(x x x F x ϕ15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B arctg x , 求常数A ,B ;P {|ξ|<1}以及概率密度φ(x ). 解: 由F (-∞)=0, 得A +Barctg (-∞)=02=-πB A(1)再由F (+∞)=1,得12)arctg(=+=+∞+πB A B A(2)综和(1),(2)两式解得π1,21==B A 即x x F arctg 121)(π+=5.0214411111)1()1()11()1|(|==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--=--=<<-=<πππππξξarctg arctg F F P P2111)()(x x F x +⋅='=πϕ16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度||)(x Ae x -=ϕ, 求系数A 及分布函数F (x ).解: 这实际上是一个分段函数, φ(x )可重新写为⎩⎨⎧<≥=-0)(x Aex Ae x xxϕ 根据性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ, 又因φ(x )为偶函数, 因此有1222)(|==-==∞+-+∞-+∞∞-⎰⎰A Aedx Aedx x x xϕ, 则有A =1/2因此⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--02102121)(||x e x e ex x x x ϕ.求分布函数F (x ). 当x <0时, 有xxtxt x e e dt e dt t x F 212121)()(====∞-∞-∞-⎰⎰ϕ当x ≥0时, 有x x xtxt t x e e e dt e dt e dt t x F ----∞-∞--=+-=-=+==⎰⎰⎰21121212121212121)()(00ϕ 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0211021)(x e x ex F x x17. 已知⎩⎨⎧<<+-=其它01031212)(~2x x x x ϕξ, 计算P {ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}解: 设事件A ={ξ≤0.2}, B ={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率P (A |B ), 而)()()|(B P AB P B A P =, 而事件AB ={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有148.03.006.0004.06.024.0032.0)1.0301.06001.04()2.0304.06008.04()364(d )31212()(}2.01.0{)(2.01.0232.01.022.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-==≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P AB P ϕξ256.03.006.0004.05.15.15.0)1.0301.06001.04()5.0325.06125.04()364(d )31212()(}5.01.0{)(5.01.0235.01.025.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-===≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P B P ϕξ最后得5781.0256.0148.0)()()|(}5.01.0|2.0{====≤<≤B P AB P B A P P ξξ18. 已知xxce x +-=2)(~ϕξ, 确定常数c .解: 首先证明普阿松广义积分π=⎰+∞∞--x e xd 2, 因为函数2x e -并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令⎰+∞∞--=x eI x d 2, 则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x e x e I y x x d d d )(22222作极坐标代换, 令θθsin ,cos r y r x ==, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r 从0积到+∞, 且θd d d d r r y x =, 因此有πππθπ====∞+-+∞-+∞-⎰⎰⎰020202222)d(212rr r e r e rdr ed I , 所以I =π.现确定常数c , 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ,1d d 41)21(414141212222====⎰⎰⎰+∞∞---+∞∞-+-⋅⋅+-+∞∞-+-πcedx ecex cex cex x x xx得421πe c =19. 已知⎩⎨⎧>>=-其它)0()(~λλϕξλa x e c x x, 求常数c 及P {a -1<ξ≤a +1}.解: 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ得1d d 0)(|==-=+=-∞+-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰aax ax ace ce x e c x dx x λλλλϕ 解得 aec λ=, 因此有⎩⎨⎧>>=--其它)0()()(λλϕλa x e x a x则λλλλλλϕξ---+---+--=-==+==+≤<-⎰⎰⎰⎰e e due x ex x x a a P u u a aa x a a a a 1d d 0d )()11(|111)(111η ξ 01234560 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 30.001 0.002 0.004 0.011求边缘概率分布, 与是否独立?解: 按下表计算ξ与η的边缘分布: η ξ 0123456p i (1)0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 0.627 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 0.260 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 0.095 3 00.001 0.0020.004 0.011 0.018 p j (2)0.202 0.273 0.208 0.128 0.100 0.060 0.029ξ0 1 2 3 P0.6270.260 0.095 0.018 以及的边缘分布如下表所示:η0 1 2 3 4 5 6 P0.2020.2730.2080.1280.10.060.029当i =1及j =0时,因202.026.0}0{}1{0}0,1{)2(0)1(110⨯====≠====ηξηξP P p p P p因此ξ与η相互间不独立.21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规: η ξ 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 30.010.010.040.060.060.05试计算在规定时间内下列事件的概率: (1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解: 假设事件A 为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B 为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C 为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数. 则事件A 发生的概率为上表中头两排概率之和52.008.006.005.004.002.001.009.007.005.003.001.001.0)(104=++++++++++++==∑∑==i j ij p A P事件B 发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和14.006.005.002.001.0)(3=+++==∑=i ii p B P事件C 发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件C 的概率, 然后用1减去它. 而C 的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):89.011.01)04.001.003.001.001.001.0(1)(1)(=-=+++++-=-=C P C P22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P (ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P (ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P (η=1|ξ=2)=P (η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P (η=1|ξ=1)=0, P (η=2|ξ=1)=1. 综上所述并用乘法法则可得312132)2|2()2()2,2(312132)2|1()2()1,2(31131)1|2()1()2,1(0031)1|1()1()1,1(22211211=⨯=========⨯=========⨯=========⨯========ξηξηξξηξηξξηξηξξηξηξP P P p P P P p P P P p P P P pη ξ 1 2 1 0 1/3 21/31/3)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布. 解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0,31,1这三个值, 因此总共可构成九个. 概率分布表及η的边缘分布计算如下 η ξ 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/3 0 1/62 5/12 0 0p j(2) 7/12 1/12 1/3η0 1/3 1P7/12 1/12 1/324. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 第一次取到号码1,2,3的概率为P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3则p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=0即联合概率分布表如下表所示ηξ 1 2 31 0 1/6 1/122 1/6 1/6 1/63 1/12 1/6 025. 表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求(ξ,η)的联合概率分布.解: 因ξ取四个数中的任何一个概率相等, 因此有P{ξ=i}=1/4, (i=1,2,3,4)而在ξ=i的条件下, (i=1,2,3,4), η取1到i的概率也相同,为1/i, 即P{η=j|ξ=i}=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)因此有p ij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),联合概率分布如下表所示:η ξ 1 2 3 4 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 41/161/161/161/1626. 已知(ξ,η)~⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它04,0)sin(),(πϕy x y x c y x ,试确定常数c 并求η的边缘概率密度.解: 根据性质1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dydx y x ϕ, 有1)12(]220122[)]4sin([sin )]4cos([cos )]cos([)sin(40440404040=-=+--=+-=+-=+-=+⎰⎰⎰⎰c c x x c x x dx c y x dx c dydx y x c ππππππππ解得12)12)(12(12121+=+-+=-=c ,因此,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++=其它04,0)sin()12(),(πϕy x y x y x求η的边缘概率密度: 当40π≤≤y 时:)8sin(22)12()]4cos()[cos 12()cos()12()sin()12(),()(4042ππϕϕκπ+-+==+-+==++-=++==⎰⎰∞+∞-y y y y x dx y x dx y x y上式后一等式利用了三角函数公式2sin 2sin2cos cos A B A B B A -+=-, 而计算三角函数8sin π的值, 又是在已知224cos=π的前提下,利用半角公式2cos 12sin θθ-=得222222124cos18sin-=-=-=ππ当y 取区间]4,0[π之外的值时, 0)(1=y ϕ.因此最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+=其它040)8sin(22)12()(2ππϕy y y27. 已知ξ服从参数p =0.6的0-1分布, 在ξ=0及ξ=1条件下, 关于η的条件分布分别如下二表所示:η 1 2 3 P {η|ξ=0}1/4 1/2 1/4 η 1 2 3 P {η|ξ=1}1/21/61/3求二元随机变量(,)的联合概率分布, 以及在≠1时关于的条件分布. 解: 根据题意已知P {ξ=0}=1-p =1-0.6=0.4, P {ξ=1}=p =0.6 则根据乘法法则有:p 01=P {ξ=0,η=1}=P {ξ=0}P {η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 02=P {ξ=0,η=2}=P {ξ=0}P {η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2 p 03=P {ξ=0,η=3}=P {ξ=0}P {η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 11=P {ξ=1,η=1}=P {ξ=1}P {η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3 p 12=P {ξ=1,η=2}=P {ξ=1}P {η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1 p 13=P {ξ=1,η=3}=P {ξ=1}P {η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2 η ξ 1 2 3 0 0.1 0.2 0.1 10.30.10.2由表中可以算出P {η≠1}=1-P {η=1}=1-(p 01+p 11)=1-0.4=0.6 P {ξ=0,η≠1}=p 02+p 03=0.2+0.1=0.3 P {ξ=1,η≠1}=p 12+p 13=0.1+0.2=0.3 因此有5.06.03.0}1{}1,1{}1|1{5.06.03.0}1{}1,0{}1|0{==≠≠==≠===≠≠==≠=ηηξηξηηξηξP P P P P P则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:ξ0 1 P {ξ|η≠0} 0.5 0.528. 第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当ξ=1时η的条件分布是什么？ : η ξ 1 2 1 0 1/3 21/31/3, 因为 P {ξ=1}=1/3, P {η=1}=1/3 而P {ξ=1,η=1}=0≠P {ξ=1}P {η=1} 在ξ=1条件下, 因13/13/1}1{}2,1{}1|2{03/10}1{}1,1{}1|1{================ξηξξηξηξξηP P P P P P因此在此条件下η服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.ξ-2 -1 0 1/2 P 1/4 1/3 1/12 1/3η-1/2 1 3 P1/21/41/4=p i (1)p j (2), 算得联合分布律如下表所示 η ξ -1/2 1 3 -2 1/8 1/16 1/16 -1 1/6 1/12 1/12 0 1/24 1/48 1/48 1/21/61/121/12根据此联合分布律可算出43129611211)2/1,2/1()1,1(1)0(1)0(121484481161)1,0()3,2()1(==--==-==-=-=-==+-=≠+==+===+=-===+ηξηξηξηξηξηξηξP P P P P P P30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周长度ξ 29 30 31 P 0.30.50.2解: 因ζ=2ξ+2η, 可知ζ的取值为96,98,100,102,104, 又因ξ与η独立, 因此有 P {ζ=96}==P {ξ=29}P {η=19}=0.3×0.3=0.09P {ζ=98}=P {ξ=29}P {η=20}+P {ξ=30}P {η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27 P {ζ=100}=P {ξ=29}P {η=21}+P {ξ=30}P {η=20}+P {ξ=31}}P {η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P {ζ=102}=P {ξ=30}P {η=21}+P {ξ=31}P {η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23 P {ζ=104}=P {ξ=31}P {η=21}=0.2×0.3=0.06 因此ζ的分布律如下表所示: 周长ζ 96 98 100 102 104 P0.090.270.350.230.06η的分布.R 10 11 12 13 P0.10.40.30.2, ξ的取值为62.83, 69.12,ξ62.83 69.12 75.4 81.68 P 0.1 0.4 0.3 0.2 η314.16 380.13 452.39 530.93 P0.10.40.30.232. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数 ξ110 11 12 P 0.2 0.7 0.1 ξ213 14 15 P 0.30.60.1宽度η 19 20 21 P0.30.40.3ξ317 18 19 P 0.1 0.8 0.1问三天销售总量∑==31i iξη这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?解: 因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46. 因此, 如进货15件, 不够卖的概率在η取值为46时出现, 即 P {η=46}=P {ξ1=12}P {ξ2=15}P {ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001 如进货40件, 够卖的概率发生在η取值为40时出现, 即P {η=40}=P {ξ1=10}P {ξ2=13}P {ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.006 33. 求出第22题中ξ+η的分布律.ξ与η的联合分布律如下表: η ξ 1 2 1 0 1/3 21/31/3则P {+=2}=P {=1,=1}=0P {ξ+η=3}=P {ξ=1,η=2}+P {ξ=2,η=1}=2/3 P {ξ+η=4}=P {ξ=2,η=2}=1/3 ξ+η3 4 P 2/3 1/334. 求出第23题中ξ-η的分布律解: 因(ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12.因此ξ-η也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, ξ-η-2 -4/3 0 2 P 1/3 1/12 1/6 5/1235. 已知P {ξ=k }=a /k , P {η=-k }=b /k (k =1,2,3), ξ与独立, 确定a ,b 的值; 求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布. 解: 由概率分布的性质有131211}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++==∑=a k P k ξ, 解得 5455.0116312111==++=a,191411}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++=-=∑=b k P k η 解得 7347.04936914111==++=b 因此有P {ξ=1}=0.5455, P {ξ=2}=0.5455/2=0.2727, P {ξ=3}=0.1818 P {η=-1}=0.7347, P {η=-2}=0.1837, P {η=-3}=0.0816 因ξ与η独立, 则有p 11=P {ξ=1,η=-1}=P {ξ=1}P {η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008 p 12=P {ξ=1,η=-2}=P {ξ=1}P {η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002 p 13=P {ξ=1,η=-3}=P {ξ=1}P {η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445 p 21=P {ξ=2,η=-1}=P {ξ=2}P {η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004 p 22=P {ξ=2,η=-2}=P {ξ=2}P {η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501 p 23=P {ξ=2,η=-3}=P {ξ=2}P {η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223 p 31=P {ξ=3,η=-1}=P {ξ=3}P {η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336 p 32=P {ξ=3,η=-2}=P {ξ=3}P {η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333 p 33=P {ξ=3,η=-3}=P {ξ=3}P {η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148 η ξ -1-2-31 0.4008 0.1002 0.0445 2 0.2004 0.0501 0.0223 30.1336 0.0333 0.0148计算+的概率分布: P {ξ+η=-2}=p 13=0.0445P {ξ+η=-1}=p 12+p 23=0.1002+0.0223=0.1225P {ξ+η=0}=p 11+p 22+p 33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657 P {ξ+η=1}=p 21+p 32=0.2004+0.0333=0.2337 P {ξ+η=2}=p 31=0.1336即ξ+η的概率分布率如下表所示ξ+η-2 -1 0 1 2 P 0.0445 0.1225 0.4657 0.2337 0.133636. 已知服从区间[0,1]上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布. 解: 根据题意知ξ的概率密度φξ(x )为⎩⎨⎧≤≤=其它0101)(x x ξϕ 则η的分布函数为)31(}31{}13{}{)(-=-≤=≤+=≤=x F x P x P x P x F ξηξξη 对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-=-'='=其它其它041310131031)31(31)31(31)()(x x x x F x F x ϕϕξηη即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.37. 已知ξ～⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它0)1(2)(2x x x πϕ, ξηln =, 求η的概率密度.解: 求η的分布函数F η(x )为)(}{}{ln }{)(x x e F e P x P x P x F ξηξξη=≤=≤=≤=因e x 总大于0, 而当x 大于0时F ξ(x )为x t t t dt t x F x xxarctg 2arctg 2d )1(2)()(|002πππϕξ==+==⎰⎰∞- 因此有x x e e F x F arctg 2)()(πξη==则η的概率密度为其分布函数的求导:xx ee x F x 212)()(+⋅='=πϕηη。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考解答

= 1 × 0 + 1 × 0 + 1 × ⎜⎜⎝⎛33⎟⎟⎠⎞ = 0 + 0 + 1 = 1 ，
4 3
⎟⎟⎠⎞
+
1
×
⎜⎜⎝⎛ 33 ⎟⎟⎠⎞
+
1
×
0
=
4
+
1
+0= 1 ，
3 ⎜⎜⎝⎛53⎟⎟⎠⎞ 3 ⎜⎜⎝⎛53⎟⎟⎠⎞ 3
30 30
6
P{X = 1} = P (A1) P{X = 1 | A1} + P (A2) P{X = 1 | A2} + P (A3) P{X = 1 | A3}
=
1
×
2 36
，
故 Y 的分布列为
Y0 1 2 3 4 5 P 6 10 8 6 4 2 ．
36 36 36 36 36 36
3．口袋中有 7 个白球、3 个黑球．（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数 X 的概率分布列；（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时 X 的概率分布列如何．
解：（1）X 的全部可能取值为 1, 2, 3, 4，
且 P{X = 1} = 7 ， P{X = 2} = 3 × 7 = 7 ，
10
10 9 30
P{X = 3} = 3 × 2 × 7 = 7 ， P{X = 4} = 3 × 2 × 1 × 7 = 1 ，
10 9 8 120
10 9 8 7 120
（2）Y 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
且 P{Y
= 0} =
6 62
=
6 36
， P{Y

《概率论与数理统计》第二章习题解答 2

第二章随机变量及其分布1、解:设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为;投保一年内因意外死亡：2０万，概率为0．0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡:0，概率为1－0.00０2-0．００10=0.998８所以X2、,以X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3,4,5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X : ３， 4，５Ｐ:106,103,101 3、设在１５只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数,(１)求X 的分布律,（2)画出分布律的图形。

解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个。

3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X : 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ,失败的概率为q ＝1-p (0<p ＜1) (１）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律。

(此时称X 服从以ｐ为参数的几何分布。

)（2)将实验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Ｙ的分布律。

(此时称Y 服从以ｒ， p 为参数的巴斯卡分布。

)(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%，以Ｘ表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出Ｘ的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1）P (Ｘ=k )=q ｋ-1p ﻩｋ＝１，２,……（２）Y ＝ｒ＋ｎ={最后一次实验前r+ｎ－1次有n 次失败,且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ,或记ｒ＋n=k ，则 P ｛Y=ｋ}= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3)P (X=k ) = (0.５5）k -10.4５ ﻩｋ=1,２…P (X 取偶数)＝311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。