课题学习《镶嵌》
初中数学《课题学习- 镶嵌》教案
《§7.4镶嵌》教学设计
四、教学方法：本课由用地板砖铺地，引入镶嵌问题后通过设问，引发学生的思索，为了深化课题研究，设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习。
针对七年级学生的认知结构和心理特征，为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“尝试指导，效果回授”教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注。
在实践中探索规律，在研讨中发现结论，达到让“学优生领先，中游生冒尖，学困生发展”的全人化培养目标。
五、学法指导：《课标》要求“数学教学应努力体现从‘问题情境出发、建立模型、寻求结论、应用与推广’的基本过程”。
这就要求数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。
因此，通过本课的教学，在教师的组织引导下，倡导学生自主学习、尝试学习、探究学习、合作交流学习。
六、教学准备：多媒体课件。
十中郭蕊《镶嵌》说课稿
7.4课题学习《镶嵌》说课稿新乡十中郭蕊一、教材分析（一）教材地位和作用本节课是（新人教版）《数学七年级（下册）》第七章《三角形》第四节。
本章以内角和为主题，先三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，而《镶嵌》一节安排在本章的最后，体现了多边形内角和与外角和在实际生活中的应用，让学生在体验数学知识之间的内在联系的同时，重新从知识层面整体把握全章内容。
（二）内容结构本节课内容分为三部分：第一部分是用同一种边长相等的正多边形平面镶嵌；第二部分是用两种边长相等的正多边形平面镶嵌;第三部分是用形状、大小相同的任意三角形或四边形平面镶嵌。
（三）教学目标分析本节课学习的过程，是学生从模糊的实际课题中形成相应的数学问题，选择有效的解决问题的方法，会用数学的符号和语言进行正确的表达和交流，从而进一步解决实际问题的过程，也是培养学生多种能力的过程，所以确定如下教学目标：1、知识与技能（1）通过探索平面图形的镶嵌，知道用边长相等的同一种正多边形能进行平面镶嵌的只有正三角形、正方形和正六边形，并能归纳总结出正多边形平面镶嵌的条件。
（2）在理解正多边形平面镶嵌的基础上，能运用两种边长相等的正多边形进行简单的平面镶嵌。
（3）知道形状、大小相同的任意三角形或四边形可以镶嵌平面。
2、过程与方法（1）经历从实际问题抽象出数学问题——建立数学模型——探索数学规律——综合运用已有的知识解决实际问题的探究过程，获得一定的“微科研”的研究经验。
（2）通过拼图、推理等活动，积累数学活动经验，提高观察、猜想、归纳及动手操作的能力。
3、情感、态度与价值观（1）通过探讨现实生活中的实物，体会数学活动充满了探索性与创造性，进一步提高学习热情，促进创新意识的发展；（2）通过探索多边形平面镶嵌，提高数学审美情趣；（3）感受数学源于生活，服务于生活，体会数学的应用价值。
（四）重难点分析重点：经历平面镶嵌条件的探究过程。
难点：1.用两种边长相等正多边形进行平面镶嵌；2.用形状、大小相同的任意三角形或四边形进行平面镶嵌。
7.4课题学习《镶嵌》
7.4课题学习《镶嵌》7.4课题学习《镶嵌》一、教材分析1．教材地位和作用第七章《三角形》首先介绍了三角形的有关概念和性质，接着介绍了多边形的有关概念及其内角和、外角和公式. 镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 通过课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，到综合运用已有的知识解决问题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力.2．重难点分析教材由铺地板砖铺地引入镶嵌问题后提问:为什么这样的地砖可以进行平面镶嵌？引发学生的思索，接着又提出：哪几种多边形可以平面镶嵌？为了深化课题研究，教材进一步提出:哪两种正多边形可以平面镶嵌？设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习. 因此，本节的重点是经历平面镶嵌条件的探究过程，难点是用两种正多边形进行的平面镶嵌.为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，关注学生的实践与操作，让学生自己准备正多边形，自己拼图，自主发现数学问题，进而解决问题，教师要适时启发学生把平面镶嵌的条件与内角和公式联系起来，进而建立解题模型.二、教学目标分析课题的学习，要求学生先实验得出结论，再把结论运用于实验，是对已学知识的复习、巩固和应用的过程，也是培养学生多种能力的过程，所以确定如下教学目标：1．知识技能目标：①了解平面镶嵌的条件，会用一个三角形、四边形、正六边形平面镶嵌，形成美丽的图案，积累一定的审美体验.②经历探索多边形平面镶嵌的条件过程，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计.2．数学思考目标：由多边形的内角和公式说明注意三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面.3．解决问题目标：观察常见的地板砖密铺，综合运用所学的知识技能解决平面镶嵌的条件.4．情感态度目标：平面镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，通过探索多边形平面图形的镶嵌并且欣赏美丽图案，从而感受数学与现实生活的密切联系，体会数学活动充满了探索性与创造性，培养学生学习数学的兴趣，促进创新意识、审美意识的发展.三、教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1引入背景活动2实验探究活动3结果分析活动4知识运用创设情境，导入新课，了解多边形平面覆盖来自生活实际发现有的多边形能够覆盖平面，有的则不能讨论多边形能覆盖平面的基本条件，运用多边形内角和公式对实验结果进行分析.进行简单的镶嵌设计，把所学知识运用到实践中.四、教学过程设计问题与情景师生行为设计意图[活动1]1．引入背景学生欣赏美丽的校园一角，教师指出：用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖.从数学角度去分析，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题. 从观察生活现象入手，抽象出数学问题——平面镶嵌的问题,激发学习兴趣.[活动2]实验探究实验1 尝试用手中的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形进行平面镶嵌学生动手操作，记录结果.教师巡回指导,并展示镶嵌效果图案.通过实验,让学生发现正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌成一个平面图案,而正五边形则不能.实验2 用正三角形与正四形镶嵌成一个平面图案,用正三交形与正六边形镶嵌成一个平面图案学生在拼图的过程中,教师巡回指导. 教师对出现的不同的拼图方法予以肯定.学生完成实验后,出示镶嵌效果图案.学生通过实验知道两种正多边形也可以进行平面镶嵌.实验3 用任意三角形或任意四边形镶嵌成一个平面图案学生拼图,教师重点关注学生能否把不相等的角拼接在一个顶点处，能否把相等的边拼在一起. 教师出示镶嵌效果图.培养学生的操作能力,了解一般的三角形或四边形可以进行平面镶嵌.问题与情景师生行为设计意图[活动3]问题1分析实验结果问题2解释实验结果学生观察上述的实验结果,分组讨论平面镶嵌的条件, 发现问题与多边形的内角大小有密切关系，教师出示图例，引导学生发现拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°.师生归纳得出多边形平面镶嵌的条件:①拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;②相邻的多边形有公共边.例如下图中的点O处∠1+∠2+∠3+∠4=360°,OA两侧的多边形有公共边OA.图学生解释任意三角形能够进行平面镶嵌的理由:图中∠1+∠2+∠3=180°,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点,一定能使这点为顶点的6个角的和恰好等360°,并且使边长相等的两边贴在一起. 于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案.学生说明正五边形不能镶嵌成一个平面图案的原因:由多边形内角和公司,可以得到五边形内角和等于（5-2）×180°=540°，因此，正五边形的每个内角等于540°÷5=108°.360°不是108°的整数倍,也就是用一些108°的角不能拼出360°的角.学生运用已有的知识对实验结果进行推理分析,把感性认识上升到理性认识的高度,说明了理论来源于实践.验证平面镶嵌的条件,说明理论来源于实践又运用于实践.问题与情景师生行为设计意图[活动4]问题1小结反思问题2自由设计学生自由谈本节课的收获.教师注意纠正学生的错误与不足，对学生的进步予以表扬.教师先展示几组其它平面镶嵌的图形,扩展学生视野,然后要求学生独立设计一份平面镶嵌的图案，教师先个别辅导，再集中欣赏学生的作品.复习巩固已学知识，学生学会小结反思.将已学的知识用于实际.培养学生的创造能力,发展学生的审美意识.五、回顾与小结本课题的教学采取实验操作、观察发现、启发引导、探索交流等多种方法相结合的教法，特别关注了从实践到理论,再从理论到实践的全过程,教师对学生的实践进行指导,帮助学生优化思维过程，在此基础上，学生互相交流思维策略，设计创意，既满足了学生学习的多样化的要求，又扩展了学生的数学知识和使用数学语言的能力.。
镶嵌 说课
人教版七年级下册第七章《三角形》第四节课题学习镶嵌说课人：宋丽华河南省新乡市第四中学课题学习镶嵌尊敬的各位评委、老师，大家好：我说课的内容是课题学习镶嵌.《镶嵌》是人教版实验教材七年级下册第七章《三角形》的第四节，本节内容在教材中以课题学习的形式呈现，属于课程改革的新增内容.下面我将从以下六个方面（背景分析、教学目标、课堂结构、教学媒体、教学过程及教学评价）谈谈我对本节课的教学设计.一、背景分析:⒈学习任务分析核心概念：探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能进行简单的镶嵌设计.知识联系：第七章首先介绍了三角形相关概念和性质，接着介绍了多边形内角和与外角和公式. 镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在现实生活中的应用. 通过课题的学习，学生可以加深相关知识的理解，提高思维能力，为高中学习奠定基础.思想方法：数形结合思想、分类讨论思想.教学重点：正多边形镶嵌规律的探究.⒉学情分析认知基础：对周角、多边形的内角等几何概念有一定的了解；并且有一定数学活动经验，生活经验和操作技能；会进行简单的说理.心理特点：以具体形象思维为主，抽象思维和逻辑思维较差.教学难点：镶嵌与多边形内角间内在规律的探究.3.教学方法以学生自主探究、合作交流为主，以教师启发诱导为辅.二、教学目标:1.知识与技能目标：(1) 通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌平面；(2) 能运用这几种正多边形进行简单的镶嵌设计.2.过程与方法目标：(1) 经历探索正多边形镶嵌条件的过程，发展合情推理能力;(2) 通过平面图形的镶嵌活动，培养创新精神和应用数学知识解决实际问题的能力.3. 情感与态度目标：(1) 体会数学知识与现实生活的密切联系;(2) 在和谐、愉悦的氛围中通过合作学习培养团结协作精神;(3) 通过拼图和图片欣赏增强审美意识，感受数学文化，激发学习热情.(整个目标的设计以“知识与技能目标”为主线，渗透“情感、态度、价值观”，并充分体现在学习探究的“过程与方法”中.)三、课堂结构：根据课题学习的教学特点，我将按照“创设问题情境—实验探究—建立数学模型”的教学模式来组织教学. 首先展示生活图片，创设问题情境;然后由简单的正多边形入手，通过学生动手操作，分析、讨论后探究出镶嵌的条件;最后进行条件的拓展应用及对知识的小结归纳，整个设计前后联系，层层递进.四、教学媒体:1. 6-8个边长为10厘米的正三角形、正方形、正五边形，正六边形彩色纸片；2. 多媒体；3. 实验报告单.设计意图：直观、生动地反映情境，增加课堂容量，提高课堂效率，提高学生主动参与意识.五、教学过程:为激活学生思维，使学生积极主动的参与知识的形成过程，我将教学分为以下五个环节：（一）创设情景，导入新课首先请学生在优美的音乐中欣赏一组生活图片，感受颜色各异、形状不同的地板砖是如何把我们的家装饰的如此漂亮和温馨.接着让学生思考，这些漂亮的地板砖是如何把地面铺满的呢？从而引出本节课的课题：课题学习镶嵌.然后请学生欣赏一组平面图案，初步形成对镶嵌的直观感知.教师提问：这些图形拼成一个平面图案有什么特征？学生细心观察后发现：没有空隙，不重叠. 教师引导学生结合图案用规范化的语言描述镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.设计意图：创设生活中的问题情境，体验数学源于生活.调动学生探索知识的积极性.（二）合作交流实验探究探究活动1. 实验探索用一种正多边形镶嵌的规律，这是本节的重点.为了让学生更好的掌握本节课的重点，我通过问题情境一(见课件)设置了“动手实验，填写表格，实验思考，得出结论”这四个小环节.（1）动手实验：请学生按要求动手拼图，并展示他们的成果.学生从拼图中，很快得出正三角形、正方形、正六边形能够镶嵌，而正五边形不能.教师提问：为什么正五边形不能镶嵌，其它的三种正多边形可以镶嵌？（2）填写表格：正多边形镶嵌，每个正多边形的内角度数能整除360.这一规律.（3）实验思考：在学生探究完之后，再次引导学生向更深的层次思考：单独用正七边形、正八边形能否镶嵌？其它的正多边形呢？引导学生运用已有知识对实验结果进行推理分析,会发现360的约数从60起为72、90、120、180、360,但没有内角度数为180，360的正多边形.（4）得出结论：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形能镶嵌平面.设计意图：通过以上环节，学生在实验过程中通过数据的收集和分析，逐渐发现用同一种正多边形镶嵌的规律，突出教学重点.（三）深入探究拓展延伸探究活动2.拓展延伸,用两种边长相等的正多边形，可以进行平面镶嵌吗？通过问题情景二（见课件）让学生进行第二个探究活动：用两种边长相同的正多边形，可以进行平面镶嵌吗？首先引导学生运用分类讨论思想找到三种不同的方案，然后学生分组竞赛，通过拼图会发现正三角形与正方形；正三角形与正六边形可以镶嵌，而正方形和这样学生会更加清楚的认识到：两种正多边形镶嵌的规律. 在同一个拼接点两种正多边形各个内角度数的和恰好等于360°.更重要的是，通过分析数据，让学生体会到数形结合的重要思想方法.为巩固新知识，请学生算一算：若m个正四边形和 n个正八边形能进行平面镶嵌，则求m和n的值.（引导学生运用代数的方法解决几何问题）探究活动3.用几个形状、大小相同的任意三角形，任意四边形能镶嵌成一个平面图案吗？请拼拼看.经历了前面的两个探究活动，学生可能会问:正三角形，正方形可以镶嵌，那任意形状的三角形和四边形可以镶嵌吗？从而展开探究活动3.在多媒体的演示下，引导学生说出：由于任意三角形内角度数之和为180度，在同一个拼接点三个内角各用两次，组成一个周角.所以，任意三角形可以镶嵌；同理，对于任意四边形，由于四个内角之和为360度，所以，在同一个拼接点，四个内角各用一次，也组成一个周角，可以镶嵌.通过细心的观察，引导学生发现若把平面的一部分完全覆盖，相邻的多边形还应该有公共边. 从而得到镶嵌的条件：（1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°；（2）相邻的多边形有公共边.设计意图: 探究2、3把所学知识拓展到两种边长相等的正多边形及任意三角形,四边形，将学生对镶嵌的理解由感性认识上升到理性认识,突破难点.（四）联系实际，应用生活1.某中学新实验楼铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖一起作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（）.A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形2.一副美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别是正三角形，正四边形和正六边形，那么另外一个是（）.A.正三角形B.正四边形C.正五边形D.正六边形设计意图:让学生学会用数学知识解决生活中的实际问题，真正领悟数学源于生活，又服务于生活.（五）小结反馈，感悟交流1. 通过本节课的学习我学会……学生畅所欲言本节课的学习感受，教师对本节课进行知识点及主要数学思想方法的总结.设计意图:有利于学生构建完整清晰的知识体系.既强化重点，又内化知识，从而得到升华和提高.2. 图案欣赏——（1）美丽的镶嵌图案——在感受数学美的同时，激发学生课下继续学习的欲望.（2）回归生活——欣赏一组生活中的图片，感受镶嵌的艺术价值和应用价值. 设计意图:学生再次感受几何美与生活美，感受镶嵌的魅力，激发学生的创作欲望，让数学再次回归生活.3. 作业设计:必做:正三角形和正十二边形能否镶嵌?你能说出其中的道理吗?选做:请充分发挥你的创造力,设计一副由多边形镶嵌而成的优美图案,并尝试写上一两句贴切的解说词.设计意图：尊重学生的个体差异，让不同的学生在数学上得到不同的发展.最后教师抛砖引玉，展示设计作品，激发学生课下继续探索的热情.六、教学评价：评价是教育教学领域中的一个永恒的话题.评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，根据国家“课标”的要求，对学生数学学习的评价应从甄别式的评价转向发展性评价.所以，本节课的教学评价我主要通过以下环节进行：1.在课堂上，通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价;2.在学生讨论、交流、协作时，通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性;3.通过练习来检验教学效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足;4.在课后，通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查缺补漏.板书设计：简明、直观、体现知识的内在联系,是这节课板书的特点.---结束语---:尊敬的各位评委：整节课的设计, 我力求突出课题学习的特点,积极引导学生在自主探究,合作交流的学习氛围中快乐的学习,展示学生的才能，张扬学生的个性，使数学课堂异彩纷呈！我的说课到此结束，谢谢大家！。
7.4-课题学习—《镶嵌》教案
7.4-课题学习—《镶嵌》教案知识技能:学生通过自己实践与探索,发现正多边形能够镶嵌的规律.数学思考:学生通过动手,动脑,相互交流,展示成果等多种活动.探索用一种或多种正多边形镶嵌的规律。
解决问题:用一种或两种正多边形进行镶嵌需满足什么条件?情感态度:关注学生的情感体验,让学生在充分感受数学的美的同时,体验数学实验过程中合作和成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣.教学重点:理解平面镶嵌的概念,探究用一种或两种正多边形镶嵌的规律.教学难点:学生通过数学实验发现用正多边形能够镶嵌的规律.教学方法：探究发现。
课前准备:（学生准备: ①每位同学分别准备好6-8个边长为5厘米长的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形。
②搜集有关镶嵌图片。
教师准备:①生活中有关镶嵌图片②多媒体课件）教学过程：一．引入新课.大家见过美丽的地板图案吗?它们都是有什么基本图形拼出来的呢?为什么用正方形和正六边形呢?用一般的四边形或六边形可以吗?其他的多边形能行吗?请同学们欣赏课件的一组图片.（多媒体课件演示）二、合作交流，解读探究。
.用地板铺地,用瓷砖贴墙.都要求砖与砖严丝合缝,无空隙,把地面或墙面全部覆盖,从数学角度看,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题下面我们来研究哪些正多边形能镶嵌成平面图案,并思考为什么会出现这种结果.活动1:探索用一种正多边形镶嵌的规律。
拼一拼：（1）用学具中的一种正多边形进行镶嵌让学生分别剪一些边长相等的正三角形,正方形,正五边形,正六边形.如果用其中一种正多边形镶嵌,哪几中正多边形能镶嵌成一个平面图形.（由学生上台展示）（2）哪几种正多边形能够镶嵌?(课件演示)正三角形,正方形,正六边形都可以,正五边形不可以.①由正三角形拼成的图案中,每个拼接点有6个角,每个角都等于正三角形的内角为60,六个角等于360.即：6×60=360②在正四边形拼接点处有四个角.每个角都等于90,四个角的和等于360.即4×90=360③在由正六边形拼成的图案中,每个拼接点处有三个角,每个角都等于120,三个角的和等于360.即：3×120=360（3）在一个顶点处有几个多边形?每个内角是多少? 正五边形为什么不能镶嵌呢?正十边形呢?（4）能够镶嵌的共同特征是什么?规律:在用同一种正多边形进行覆盖时,关键是看正多边形的一个内角,当周角360是一个内角的整数倍时,即一个内角的正整数倍是360时,这种正多边形可以覆盖平面,否则不可以.即：如果一个正多边形可以进行镶嵌，那么内角一定是360°的约数（或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！填一填：⑴当围绕一点的几个正多边形的内角和为时,就能拼成一个平面图形.⑵.能用一种正多边形铺满地面的有。
《课题学习--镶嵌》课件
资料2：镶嵌画历史悠久，最早见于公元前4000余年的 美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌画以其 色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性 而得以在世界上绵延流传。公元1～4世纪，镶嵌画得到 很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推 崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无 论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的 《伊苏之战》、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中 的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时期的艺术珍品， 在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画 传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了 这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。 墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大 和新颖的技艺而著称。
镶嵌之父
无论这个问题从属于数学领域还是从属于 艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。 ——M.C.埃舍尔
M.C.埃舍尔是荷兰的“图形艺术家”，
着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作
品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形
象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊
称他为“镶嵌之父”。
。
1. 请拿出准备好的正多边形纸片，以小组 为单位，尝试用同一种正多边形能否镶嵌成平 面图案，并填写下表. 完成后请推荐一名小组 成员展示作品及表格.
活动一： 探索用一种正多边形镶嵌的规律
名称 正三角形 正方形 每个内角 的度数 一个顶点处 的内角和
实验探究，获得新知
能否镶嵌
所需个数
正五边形
正六边形 发现的规律
正三角形和正方形 的平面镶嵌
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正 方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
课题学习镶嵌PPT课件
几个全等三角形拼接时,每个角只需用 两次,就能拼出一个周角,所以
三角形一定可以密铺.
2.任意四边形的四个内角之和是360°,而密铺 时拼接点的四个角刚好能拼成一个周角,所以
任意四边形一定可以密铺.
3.正六边形的每个内角都是120°,也能拼接 出周角,所以
做一做 （2）用同一种四边形可以密铺吗？ 在密铺过程中，请大家观察讨论： 每个拼接点处的四个角与这种四边形 的四个内角有什么关系？
和为 360°
2
1
3
3
4 13
2
3
任意全等的四边形可以密铺，在每个 拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好 是这个四边形的四个内角的和，它们的和 为360º。且相等的边互相重合。
密铺的两个条件：
1、全等的一种或几种平面图形； 2、无空隙、不重叠铺成一片。
做一做
（1）用形状、大小完全相同的三角形 能否密铺？
在密铺过程中，请大家观察讨论：每 个拼接点处有几个角？它们与这种三角 形的三个内角有什么关系？
接点处的六个 角和为360°
任意三角形的密铺
任意全等的三角形能密铺 ,在每个拼 接点处有六个角，而这六个角和恰好是这 个三角形的内角和的两倍，也就是它们的 和为360º，且相等的边互相重合。
看一看
看一看
看一看
看一看
看一看
为什么有些地板或墙 壁可以用正方形铺成也可 以用六边形铺成，而且他 们之间没有缝隙，也不重 叠？
义务教育七年级（下）数学（冀教版）
平面图形的镶嵌
我 那 知 道
学一学
平面图形的镶嵌（平面图形的密铺）:
用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼 接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平 面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌.
人教版八年级数学上册课题学习镶嵌
探究2：用边长相等的两种正多边形
镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平 面图案？
讨论
正三角形和正方形能镶嵌 正方形和正六边形能镶嵌
用形状相同的一种或形状不 同的几种平面图形进行拼接，彼 此之间不留空隙，不重叠地把平 面的一部分完全覆盖，这就是平 面图形的镶嵌．
注意：各种图形拼接后要既 无缝隙，又不重叠
利用镶嵌可以得到各种各样的图案
探究1：仅用一种正多边形镶嵌，
哪些正多边形能单独镶嵌成一个 平面图案？
做一做： 正方形
欣赏
欣赏
欣赏
欣赏
欣赏
Shuxue
小结
谢谢
台州市书生中学朱仁江制作
4
3
1
2
因为 ∠1+∠2+∠3+∠4=360°
所以任意四边形能镶嵌 成平面图案。
归纳:
1、拼接在同一个点的各个角 的和等于360度
2、只用正三、四、六边形可 以镶嵌.其他正多边形不能镶嵌
3、任意三角形一定可以镶嵌.
4 、任意四边形一定可以镶嵌
练一连
1、若限用一种正多边形镶嵌，不可能是（ ）
A、正三角形 B、正方形 C、正五边形 D、正六边形
2、用两种正多边形镶嵌不能与正三角形匹配的正多边形是（ ）
A、正方形 B、正六边形 C、正十二边形 D、正十七边形
3、明明家若想用边长相同的两种正多边形水泥砖铺地面，若其中一种为 正六边形的水泥砖，请你帮助选择，你会再选择哪一种正多边形的水泥砖， 试着画出 示意图。 4、（2000。安徽）我们常见到的如图那样的地面，它们分别是全用正方形或全用 正六边形形状的材料铺成的这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面
数学课题学习-镶嵌
问题：小明的爸爸在装修过程 中用一些边角余料任意切割成一些 形状、大小完全相同的三角形，他 用这些三角形能进行地板镶嵌吗？ 那么任意的四边形能不能呢？
1、三角形可以作 平面镶嵌吗?如果 能三角形如何镶嵌 呢?
只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角， 它们的和为3600；同一种任意三角形可以镶
正三角形和正四边形的镶嵌
解：设每个顶点周围有x个正三角形 和y个正四边形, 则: 60 °x+90 °y=360 ° 即: 2x+3y=12 又x、y是正整数, 解得:x=3,y=2. 即每个顶点处用正三角形的三个 内角,正方形的两个内角进行拼接.
正三角形和正方形 的平面镶嵌
用正三角形与正六边形可以镶嵌吗？ 解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个 正六边形, 60 °m+120 °n=360 °, 即:m+2n=6 又m、n是正整数,解得:
嵌。
2、四边形呢?
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°,所以
D A
用四边形也可以作平面镶嵌
C
B
那么四边形如何 镶嵌呢? 请看!
任意三角形和任意四边形 可以进行平面镶嵌, 应将 相等的边重合在一起。
练习一：
(2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：① 正方形；②长方形； ③正五边形；④正六边形。 若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择 的地砖共有（ ）C A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正 方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
两种边长相等的正多边形拼接在
同一点的各个角的和恰好等于 360°,这两种正多边形就能镶嵌.
课题学习：镶嵌_辛贺华
四、几点说明
四、几点说明
1、本课题的学习应以探究问题 为中心，让学生围绕问题展开实验 探究活动，给学生充分的探究时间， 教师适时的引导点拨，让学生经历 数学知识的生成过程，加深学生的 亲身体验。在整个探究活动中，要 相信学生，让学生大胆地学、问、 思、辨、行。
2、多边形的镶嵌方式有两 种，①有些图案中的多边形的 顶点在另一个多边形的边上 （如下图）；②多边形的顶点 与顶点重合，边与边重合，我 们在初中只探讨第二种情况。
360
是不是求出的
多少？ 正多边形每个内角的正整数倍，若是正整数倍，则可以进行平面镶嵌； 360 能否镶嵌与 有关吗？ 一个内角的度数 若不是整数倍，则不能进行平面镶嵌。
进行平面镶嵌的关键：
拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 360 。
思考：用同一种正多边形进行平面镶嵌共 有几种情况呢？能不能用数学式子来论证 一下呢？
一个内角的度数
能否镶嵌 能 能
60 90
正八边形
正十边形 正十二边形
108 120 135 144 150
不能
能 不能 不能 不能
你发现的规律：用一种正多边形进行平面镶嵌时，要先根据公式
(n若能镶嵌，在同一个拼接点 2) 180 求出正多边形的一个内角，再判断 处的几个多边形的角之和为 n
（3）用同 一种正五边 形可以吗？
有缝隙！单独用正五边形 不能平面镶嵌
（4）用同 一种正六边 形可以吗？
（5）用同 一种正八边 形可以吗？
有重叠！单独用正八边形 不能平面镶嵌
归 纳 ： 用 同 一 种 正 多 边 形 进 行 平 面 镶 嵌 的 规 律
名称
正三角形 正四边形 正五边形 正六边形
课题学习“镶嵌”
课题学习“镶嵌”作者：沈利红来源：《读写算》2013年第03期本文以新课程中的课题学习“镶嵌”这节课为例，探究如何构建探究式的教学模式，发挥教师的主观能动性，创造性地使用教材，培养学生的动手操作能力、综合探究能力。
浙教版七册下第二章《图形和变换》的最后一课，教材上安排了课题学习“镶嵌”的内容，教材给出几幅图片与几个问题。
面对新的教学内容“课题学习”，我在深深地思考，如何上好这一节课呢？构建怎样的教学模式，搭造怎样的学习平台，才能上出课题学习的味道。
才能让数学中的“课题”学习真正发挥出它的光点。
教师应如何发挥教学潜能，创造性地使用教材，让全体学生进入探究的角色，积极参与到课题的学习与探究中去，从而更有效地培养学生动手操作能力与探究创新能力呢？为此，我以《新课程目标》为指导，构建下述的教学模式，“问题情境——实验探究——归纳总结——实践与应用”。
一、创设情境引入课题出示图片，请你欣赏美丽的图案：壁砖、壁纸、地砖、图案；让学生观察用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖.从数学角度去分析，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题.（板书课题：平面镶嵌）设计意图：多边形的镶嵌在日常生活中应用很广泛，家庭装修中出现这样图案很多，学生家中也有很多的这样的图案，用这四幅图片来引入，学生即熟悉又亲切，使得知识衔接较为自然，并为下一步探索多边形的镶嵌创设了条件。
二、设置问题动手操作探索结论问题一：你能用正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的一种图形镶嵌成平面图形吗？请你想一想，拼一拼，你有什么发现？操作活动：先让学生想一想，然后拿出准备好正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片分小组开展拼图，在边实践、边思考的基础上，同学之间展开交流讨论。
探究1：如果只允许选择一种正多边形进行平面镶嵌，有哪些正多边形可以做到呢？活动1：学生分小组用准备好的正多边形进行拼图试验。
11.4课题学习：镶嵌教案-福建省福州四十中金山分校人教版八年级数学上册
5.通过实际操作，培养学生的观察能力、空间想象能力和创新能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念，通过镶嵌和密铺的实践活动，提高学生对平面图形和空间结构的认识，增强空间想象力；
2.发展学生的逻辑推理与数学抽象能力，让学生在探索镶嵌规律的过程中，学会运用逻辑思维分析问题，提升数学抽象水平；
-突破方法：设置开放式的镶嵌创作任务，鼓励学生尝试不同的设计和方法，同时强调团队合作的重要性，引导学生在合作中学习。
举例说明：
1.在学习正方形的镶嵌时，教师可以引导学生观察正方形的特点，如何将它们无间隙地拼接在一起，形成规则的平面图案。
2.在探索正三角形和正六边形的镶嵌时，学生可能会发现这些图形的镶嵌方法不同于正方形，这时教师可以引导学生发现360度角的整数倍与镶嵌的关系。
11.4课题学习：镶嵌教案-福建省福州四十中金山分校人教版八年级数学上册
一、教学内容
11.4课题学习：镶嵌教案-福建省福州四十中金山分校人教版八年级数学上册
1.理解平面镶嵌的概念，掌握平面镶嵌的基本条件；
2.探索平面图形的镶嵌方法，能运用镶嵌知识解决实际问题；
3.研究常见的平面镶嵌图形，如正方形、正三角形、正六边形等，及其组合镶嵌；
-突破方法：使用直观教具，如拼图、磁性板等，让学生亲身体验镶嵌过程，通过视觉和触觉的结合来加强理解。
2.逻辑推理与数学抽象的运用：学生需要从具体的镶嵌实例中抽象出一般性的规律，这对于逻辑推理和数学抽象能力要求较高。
-突破方法：设计一系列由简单到复杂的镶嵌问题，引导学生通过小组讨论和思考，逐步提炼出镶嵌的基本条件。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了镶嵌的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对镶嵌方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中发现和创造镶嵌的美。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七年级数学下册第七章第8课时 课题学习-镶嵌
第33课时课题学习：镶嵌[教学目标]1、知道能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形或正六边形；2、了解平面镶嵌的条件，能用多边形进行简单的镶嵌设计。
[重点难点]平面镶嵌的条件和简单的镶嵌设计是重点；用两种或三种多边形进行平面镶嵌是难点。
[教学过程]一、情景导入回想一下，你家屋内铺设的地板是什么图形？街道两边的便道是用什么形状的砖铺设的？为什么这样的砖能铺成无缝隙的地面呢？二、平面镶嵌及条件下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？[投影1]都是一些多边形；相互不重叠；把一部分平面完全覆盖。
用一些不重叠．．．．，通常把这．．．摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖平面）的问题怎样的多边形才能进行平面镶嵌呢？任意剪一些形状、大小相同的三角形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。
[投影2]能镶嵌成平面图案。
任意剪一些形状、大小相同的四边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。
[投影3]能镶嵌成平面图案。
任意剪一些形状、大小相同的五边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。
[投影4]不能镶嵌成平面图案。
任意剪一些形状、大小相同的正六边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。
[投影5]能镶嵌成平面图案。
为什么有的多边形可以镶嵌成平面图案，有的又不能呢？仔细观察我们镶嵌成的平面图案，在拼接的同一个顶点处各个角有什么关系？同一个顶点处的各个角的和等于360°，且相邻的多边形有公共边.。
也就是说，只要满足这条件就能进行平面镶嵌。
正五边形在同一个顶点处各角的和不能等于360°，所以正五边形不能进行平面镶嵌。
同样的道理，其它多边形也不能单独进行平面镶嵌。
因此，能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。
三、平面镶嵌的设计既然只要满足“同一个顶点处的各个角的和等于360°”就能进行平面镶嵌，那么多种多边形只要满足这个条件也应该能进行平面镶嵌。
七下课题学习 镶嵌说课课件
教学目标设计
课堂结构设计
教学媒体设计
教学环节设计
教学评价设计
教学背景分析
教学目标设计
课堂结构设计
教学媒体设计
教学环节设计
数学是一门培养和发展人的思维的重要学科。为了体现 以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进 与启发式的教学原则。因此，在本课的课堂结构设计中： 我的“教”主要体现在――－ 根据本节课的教学目标、教材内容以及七年级学生的认 知特点，我采用启发式、探索式的教学方法，意在帮助 学生通过观察，自己动手，从实践中获得知识。整个探 究学习的过程充满了师生之间、学生之间的交流和互动， 体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是 学习的主体。 在引导学生的“学”方面则体现在――－ 利用学生的好奇心设疑，解疑，组织活泼、有效的教学 活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探 索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。 围绕着这两条主线我设计了以下几个教学环节
3)正方形与正六边形不能镶嵌
正多边形
拼图
每个内角的度数 与360°的关系
结论
收 集 、 整 理 、 分 析 数 据
正三角形 和正方形
60°×3 + 90°×2=360°
能镶嵌
正三角形 和正六边 形
60°×4 + 120°=360° 60°×2 + 120°×2=360°
能镶嵌
90°×2+ 120°<360°
课后作业
1（必做） 请用二种以上正多边形设计一个平面镶嵌 图案,比比谁的设计更漂亮 2（选做)用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌 成一个平面图案吗？四边形呢？试一试。 设计意图： 1、巩固所学内容； 2、培养学生独立思考，勇于探索精神； 3、尊重学生的个体差异，体现基础教育的 全面性和因材施教的原则，让不同的学生 在数学上得到不同的发展
初中数学人教版 课题学习：镶嵌8 人教版
拼
图
正三角形
和
正四边形
3×60°+ 2 ×90°= 360°
正三角形
和
正六角形
3×60°+2 ×90°=360° 4×60°+1 ×120°=360°
?
想一想
有你 什能 么归 规纳 律出 吗其
中
正三角形和正六 边形能否镶嵌?
正三角形和正五 边形能否镶嵌?
正方形和正八边 形能否镶嵌?
收获与启示
用一种正多边形镶嵌的规律： 正多边形的内角是360°的约 数（或360°是这个正多边形 的整数倍）！
第一重境界，是出得来，而进不去；第二重境界，是进得去，而出不来；第三重境界，才是进退自如、来去随意。放得下，是因为看透了、超脱了，所以随缘。 跟道家学想得开 。道家是追求超世、讲究自然的，要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字，就是“想得开”。什么是“想得开”？且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字，也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子，尽量透彻；走脑袋就是依胸中透彻而行，尽量顺应规律。合起来，就是要明道，并依道而行。这种智慧，就是想得开。
因此，任意一种四边形能铺满平面。
小颖家正在为新房子 装修，在他的房间里， 他想用正三角形和另 一种正多边形镶嵌成 地板，他有哪些选择？ 你能帮他出出注意吗？
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★教材分析：
教材：北师大《数学》八年级上册.
课题：第四章四边形性质探索的课题学习《镶嵌》
学生基础：通过前面的学习，同学们已经掌握了正多边形及其内角和等知识，同时也逐渐养成了自主探索，自主学习的学习习惯.
本节内容：探索能用哪些正多边形镶嵌地面.
★教学设想：
新课程要求老师成为学生“学习的促进者”、“行为的研究者”；要求学生在获得知识的同时，在思维能力、创新意识、情感态度与价值观等方面都得到进步和发展；要求数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验的基础上，教师在教学中应激发学生的学习积极性，给学生提供充分参与数学活动的机会.本设计通过让学生帮助老师寻找个性化的地砖引入课题，让学生在学习过程中获得愉悦感和成功感，再通过亲自动手操作探究，理解何为平面镶嵌，探索出哪些多边形才能镶嵌成一个平面图案并探索出其规律.本设计力争充分发挥学生的主观能动性，激发学生的求知欲，让学生在协作中探索，在实践中学习，培养学生的合作意识，提高学生动手、动口和归纳能力，增进学生的集体荣誉感，感受学习的快乐.
★教学重难点：
重点：用一种正多边形的镶嵌.
难点：探索能镶嵌成平面图案的多边形应满足的条件.
★教学准备
让各学习小组的同学们按统一的尺寸剪一些正三角形、正方形、正五边形、正六边形和普通三角形、四边形纸片.多媒体课件.
★教学过程：
教学流程
设计说明
情境导入：
展示多媒体图片（一幅为房屋整体图，一幅为卧屋效果图）
师：同学们，老师正想建一座房屋，这是老师想建的房屋的模型，大家觉得漂亮吗？
师：老师对整体效果也很满意，可我对卧屋内的地板不太满意，因为它的形状太普通了，老师想要一些个性化的地板.同学们家里铺地板或地砖没有？你们发现，我们通常看到的地板或地砖是什么形状的？
师：不知同学们想过没有，我们常见的地砖为什么总是正方形或长方形，你能用数学知识来解释吗？师：现在老师想要一些个性化的地砖，你能老师找找还有什么形状的图形也能做地砖铺设地面吗？
师：这些问题现在同学们也许还不能也我满意的答复，但通过本节课的学习，我相信你们一定能为老师找到很多形状的地砖的.让我们开始今天的探索之旅，学习第七章第四节课题学习——镶嵌.
操作探究：
师：下面就请各小组用准备好的纸片多边形试一试，看看它们能不能做地砖铺满地面.
［各小组展开操作探究，老师在各小组间巡视，进行指导］
以下教学活动将由课堂情况来决定
让学生展示其镶嵌方法（可用自己的纸片操作，也可以用多媒体课件中的程序操作），老师重点带同学们一起分析用一种正多边形且顶点与顶点重合的镶嵌，寻找其规律.如果有同学们能用普通三角形和四边形来镶嵌更好，若没有,老师启发他们来完成普通三角形和四边形的镶嵌.
归纳总结：
1、通过以上活动，指导同学们归纳什么是镶嵌？
2、能完成平面镶嵌的多边形应满足什么条件？
3、用哪些普通多边形能进行平面镶嵌？
拓展延伸
如果有同学能想到则让同学展示，如果没有同学想到，老师向同学们展示一些图片，告诉他们：
1、用一种正多边形还有另一种镶嵌，及多边形的顶点落在另一多边形的边上.
2、而且用两个甚至是两个以上的正多边形也能镶嵌出平面图案.
［此部分不作深要求，只是让同学了解，让有兴趣的同学可以课后去试着拼拼看，看能不能拼出一些图案.］课堂小结：
本节课在大家的努力探索下，我们学会了什么知识？你有哪些收获？
创新作业本：
布置作业，见后附的“创新作业本”
师：今天感谢同学们帮助老师一起研究了到底用什么形状的图形才能铺设地面，也许市面上真能找到符合要求的个性化的地砖，让老师好好去找找，当我的新房竣工后欢迎大家去做客.
★以让同学们帮助老师寻找个性化的地砖引入课题，让学生在学习过程中获得愉悦感和成功感.使课题引入显得人性化，提高同学们探索知识的欲望.
★自新课标实施以来，我对本班学生已经根据他们的学习成绩、性格特征分出了学习小组，每组5名同学. ★本环节进行这样笼统的设计，不具体提出让同学们从正三角形、正方形等一项项地操作，目的是给同学们更多自由发挥的空间.
本环节要给同学们充足的时间，鼓励他们积极展开操作，积极讨论.
★尽量让同学们去归纳总结，可以培养他们的归纳能力，语言表达能力和逻辑思维能力.
★本环节不作为教学的重点，只是简单提及，让同学们有一个了解，鼓励同学们课后继续展开探究.
★课堂小结让同学们自己去回顾，给他们又一次提供了培养自己综合能力的机会，并对本节课有一个系统的把握.
★“创新作业本”的设计意图，具体环节见论文《新课程中，我为学生设计“创新作业本”》.
创新作业本
学校：＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿年＿＿月＿＿日天气：＿＿
课题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿
一．自主探索知识提炼
通过本节课的学习探索，我学会了：
本节课我还有哪些问题？我是如何解决这些问题的？
二、分层训练能力提升
请同学们充分发挥自己的创造力，设计两幅由多边形镶嵌而成的优美图案，并尝试写上一两句贴切的解说词.
三、自我评价信息反馈
四、老师评价情感交流。