阻抗与导纳相量分析的一般方法
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电路分析第8章 阻抗与导纳
复数Ａ可用几种形式表示
b
A
r
0
幅角
a
+1
复数可用有向线段表示
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin
r = a2+b2
设A1 = a1+ jb1 = r1 1 复数运算 A = a + jb = r 2 2 2 2 2 A1 · 2 = r1 ·2 (1+2) 极坐标式 A r
t(s)
t (rad)
i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
i T/2 T 2 t(s)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； i 1 Im f T 2 t 交流电每交变一个周期便变 0 Ｔ t 化了2弧度，即 T = 2 T –Im 2π 角频率 : 2πf T ［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+)
由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt] 式中 Im = Imej =Im / = Imcos+jImsin —
b
A
r
0
幅角
a
+1
复数可用有向线段表示
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin
r = a2+b2
设A1 = a1+ jb1 = r1 1 复数运算 A = a + jb = r 2 2 2 2 2 A1 · 2 = r1 ·2 (1+2) 极坐标式 A r
t(s)
t (rad)
i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
i T/2 T 2 t(s)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； i 1 Im f T 2 t 交流电每交变一个周期便变 0 Ｔ t 化了2弧度，即 T = 2 T –Im 2π 角频率 : 2πf T ［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+)
由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt] 式中 Im = Imej =Im / = Imcos+jImsin —
阻抗和导纳阻抗和导纳
Z可以是实数，也可以是虚数
2. RLC串联电路
i R L + uC I
.
R
.
j L
.
+ + uR - + uL u C
-
+ + U R- + U L 1 . U jω C -
+. UC -
由KVL：
1 ( R jX ) I [ R j(L )] I [ R j( X L X C )] I C
第9章 正弦稳态电路的分析
重点： 1. 阻抗和导纳 2. 正弦稳态电路的分析 3. 正弦稳态电路的功率分析
9.1 阻抗和导纳 (Impedance and Admittance)
1. 阻抗(impedance)
+ U 正弦稳态情况下
I
无源 线性 + U -
I
Z
U 定义阻抗 Z | Z | φz I
两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：
Z1 Z 2 Z Z1 Z 2
例
求图示电路的等效阻抗， ＝105rad/s 。 R1 30 1mH R2 100 0.1F
解 感抗和容抗为：
X L L 105 1 103 100
1 1 XC － － 5 －100 6 C 10 0.1 10
2. RLC串联电路
i R L + uC I
.
R
.
j L
.
+ + uR - + uL u C
-
+ + U R- + U L 1 . U jω C -
+. UC -
由KVL：
1 ( R jX ) I [ R j(L )] I [ R j( X L X C )] I C
第9章 正弦稳态电路的分析
重点： 1. 阻抗和导纳 2. 正弦稳态电路的分析 3. 正弦稳态电路的功率分析
9.1 阻抗和导纳 (Impedance and Admittance)
1. 阻抗(impedance)
+ U 正弦稳态情况下
I
无源 线性 + U -
I
Z
U 定义阻抗 Z | Z | φz I
两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：
Z1 Z 2 Z Z1 Z 2
例
求图示电路的等效阻抗， ＝105rad/s 。 R1 30 1mH R2 100 0.1F
解 感抗和容抗为：
X L L 105 1 103 100
1 1 XC － － 5 －100 6 C 10 0.1 10
阻抗和导纳
阻抗和导纳(1)
在相量里，等效阻抗Z定义为：在正弦稳态激励作用下，二端无源网络端电压的 相量形式与端电流的相量形式之比，它是电阻概念的推广。
同理，等效导纳Y(s)定义为：在正弦稳态激励作用下，二端无源网络端电流的相 量形式与端电压的相量形式之比，它是电导概念的推广。
在前面，我们已经详细讨论了电阻、电容和电感三种基本元件的相量形式。在零 状态下，它们分别为
2006-1-1
！
6
阻抗和导纳(6)
Z jL
1
jL R2 (1 jR1C)
1 R2
R1
1 1
jC
1 j(R1 R2 )C
当然，还可以计算出该电路的等效导纳。至于这个电路是呈感性还是 容性，还要看电路中各参数的具体量值。
例5.5 RL串联电路如图5.13(a)的所示，且电源角频率ω = 106rad/s。 若将其等效成如图(b)所示的R'L'并联电路，试求R'和L'的大小。
或者
VR RIR，
源自文库
VL jLIL，
VC
1
jC
IC
式(5.24)中的三种表达式IR可以GV统R，一归IL 结 j为1L更VL，一I般C 的j形CV式C ，其中等效阻抗为
(5.24) (5.25) (5.26)
Z
V I
V I
(Ψ v
在相量里，等效阻抗Z定义为：在正弦稳态激励作用下，二端无源网络端电压的 相量形式与端电流的相量形式之比，它是电阻概念的推广。
同理，等效导纳Y(s)定义为：在正弦稳态激励作用下，二端无源网络端电流的相 量形式与端电压的相量形式之比，它是电导概念的推广。
在前面，我们已经详细讨论了电阻、电容和电感三种基本元件的相量形式。在零 状态下，它们分别为
2006-1-1
！
6
阻抗和导纳(6)
Z jL
1
jL R2 (1 jR1C)
1 R2
R1
1 1
jC
1 j(R1 R2 )C
当然，还可以计算出该电路的等效导纳。至于这个电路是呈感性还是 容性，还要看电路中各参数的具体量值。
例5.5 RL串联电路如图5.13(a)的所示，且电源角频率ω = 106rad/s。 若将其等效成如图(b)所示的R'L'并联电路，试求R'和L'的大小。
或者
VR RIR，
源自文库
VL jLIL，
VC
1
jC
IC
式(5.24)中的三种表达式IR可以GV统R，一归IL 结 j为1L更VL，一I般C 的j形CV式C ，其中等效阻抗为
(5.24) (5.25) (5.26)
Z
V I
V I
(Ψ v
第13讲阻抗与导纳、相量分析的一般方法
为感性， 一般情况 G≠1/R B≠1/X。若Z为感性，X>0，则B<0， ≠ ≠ 为感性 ， ， 即仍为感性。 即仍为感性。
同样，若由 变为 变为Z，则有： 同样，若由Y变为 ，则有： Y G Z jB R jX
Y = G + jB =| Y | ∠φ' , Z = R + jX =| Z | ∠φ G − jB Z= 1 = 1 = = R + jX Y G + jB G 2 + B 2
5∠ 60o U I= = = 0.15∠ − 3.4o (A) Z 33.54∠63.4o . . U R = R I = 15 × 0.15∠ − 3.4o =2.25∠ − 3.4o (V)
.
.
U L = Z L I = j 56.5 × 0.15∠ − 3.4o =8.48∠ 86.6o (V)
& U
ϕ
& UR
& I . . U L − UC U 与 I 的相位差ϕ = ϕ u − ϕ i = arctg UR
U C = | U C |=| − j 26.5 I |= 26.5 I
.
.
56.5 I − 26.5 I = arctg 15 I = 63.4o
∴ U R = U cos 63.4o = 2.25
n个导纳并联 个导纳并联
同样，若由 变为 变为Z，则有： 同样，若由Y变为 ，则有： Y G Z jB R jX
Y = G + jB =| Y | ∠φ' , Z = R + jX =| Z | ∠φ G − jB Z= 1 = 1 = = R + jX Y G + jB G 2 + B 2
5∠ 60o U I= = = 0.15∠ − 3.4o (A) Z 33.54∠63.4o . . U R = R I = 15 × 0.15∠ − 3.4o =2.25∠ − 3.4o (V)
.
.
U L = Z L I = j 56.5 × 0.15∠ − 3.4o =8.48∠ 86.6o (V)
& U
ϕ
& UR
& I . . U L − UC U 与 I 的相位差ϕ = ϕ u − ϕ i = arctg UR
U C = | U C |=| − j 26.5 I |= 26.5 I
.
.
56.5 I − 26.5 I = arctg 15 I = 63.4o
∴ U R = U cos 63.4o = 2.25
n个导纳并联 个导纳并联
正弦稳态电路的分析-阻抗和导纳、相量图
)
I
Z U R jL j 1 R jX Z
I
C
Z
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Z — 复阻抗；|Z| —复阻抗的模；Z —阻抗角； R —
电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。
转换关系：
| Z | R2 X 2
φZ
arctan( X ) R
或 R=|Z|cosZ
Z
U I
X=|Z|sinZ
5 3
25 53.1
(3 j6
)Ω (5.5 j4.75)Ω
8 j4
电路对外呈现容性。
返回 上页 下页
例1-5 图为RC选频网络，求u1和u2同相位的条件及
解 设：Z1=R+jXC, Z2=R//jXC
U 2
U1Z2 Z1 Z2
＋
u1
R jXC
U1 U 2
?
U1 U 2
Z1 Z2 Z2
电流相量之间的夹角。 ③根据回路上的KVL方程，用相量平移求和法则，
画出回路上各支路电压相量组成的多边形。
例2-1 用相量图确定图示电路对外呈现感性还是容性？
返回 上页 下页
解 取电感电流为参考相量
U 2
I I2
I 3 －j6 I2
＋
U
U1 － ＋ j4
5 U 2
－
I1 － 3
第20讲 电路定律的相量形式、阻抗与导纳
&e jωt ] = Re[∑ 2 Ie jωt ] t & Q∑ Re[ 2 I &e jωt ] = 0 t ∴ Re[∑ 2 I
∴ Re[ 2 (∑& )e jωt ] = 0 t I & 证毕 ∴ ∑I = 0
同样可证明KVL的相量形式， 于是 的相量形式， 同样可证明 的相量形式 2. KCL和KVL的相量形式 和 的相量形式
有效值相量形式 振幅相量形式 ∑i (t ) = 0 t ∑I& = 0 ∑I&m = 0 时域形式
∑u (t ) = 0
t
& ∑U = 0
& ∑U
m
=0
3. 基本元件 基本元件VCR（VAR）的相量形式 （ ） （1） 电阻 ）
i(t) + uR(t) R
设 i ( t ) = 2 I cos( ωt + φ)
& = Zk U & Uk Zeq & = Yk I & Ik Yeq
& I
+
Z1 Z2
& U
Zk
Zn
& & = Z I = Z U = Zk U & Uk k k n Z ∑Zj
j =1
例 已知 Z1=10+j6.28 Z2=20-j31.9 Z3=15+j15.7 求 Zab 解：
电路分析第八章阻抗和导纳
jωt )= 0 Σi k ( t ) =Σi km cos(ωt +θk) =Σ Re (Í kme
KCL相量形式：在任一节点， I km 0
k 1
k
.
k 1
Ik 0
k
.
k 1
(2) KVL
沿任一回路， Σu k( t ) = 0
k .
KVL相量形式：沿任一回路， U km 0 U k 0
8-1 变换方法的概念
基本思路
原来的 问题 直接求解 原来问 题的解 答
变换
反变换
变换域 中较易 的问题
求解
变换域 中问题 的解答
8-3振幅相量
1.正弦稳态电路 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征:振幅，角频率ω，初相角θ
������
正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅 变换的思想 正弦量 复数
2. 振幅相量
欧拉恒等式: ejθ=cosθ+jsinθ
正弦波: u(t)= Umcos(ωt+θ) Ùm������
u(t)=Re[ Um ej(ωt+ θ) ] =Re[ Um ejθ ejωt ]
=Um e jθ =Um ∠θ
在确定频率下, 正弦波都有唯一与其对应的复数-----相量。
KCL相量形式：在任一节点， I km 0
k 1
k
.
k 1
Ik 0
k
.
k 1
(2) KVL
沿任一回路， Σu k( t ) = 0
k .
KVL相量形式：沿任一回路， U km 0 U k 0
8-1 变换方法的概念
基本思路
原来的 问题 直接求解 原来问 题的解 答
变换
反变换
变换域 中较易 的问题
求解
变换域 中问题 的解答
8-3振幅相量
1.正弦稳态电路 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征:振幅，角频率ω，初相角θ
������
正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅 变换的思想 正弦量 复数
2. 振幅相量
欧拉恒等式: ejθ=cosθ+jsinθ
正弦波: u(t)= Umcos(ωt+θ) Ùm������
u(t)=Re[ Um ej(ωt+ θ) ] =Re[ Um ejθ ejωt ]
=Um e jθ =Um ∠θ
在确定频率下, 正弦波都有唯一与其对应的复数-----相量。
第8章 阻抗和导纳
U m cos(t ) U m U m
Um
—称为u(t)的（振幅）相量。
（3） 例题
求 i(t ) 5 cos(314t 60)A
的(振幅)相量及相量图示。
8-6
解 ： 5 cos(314t 60 )A 560 A
+j
。 5 60 。 60
R 15Ω、L 30mH 、C 83.3μF，求i(t )。
解： 利用相量方法，即根据:
I Rm
Um 、I Cm jCU m、U m jLI Lm， R
i (t) iR iC C L iL
以及KCL相量形式
+
u(t) R
-
选用相量法：
8-17
+j
sss电路分析的典型问题：给定电路的结构、元件 参数以及激励的瞬时值，求响应的瞬时值。 （1）两类约束的类比： 电阻电路的时域形式
8-21
i 0 u 0
u Ri
sss电路的相量形式 I 0
m
U
m
0
U m ZI m
运用相量并引用阻抗(导纳)，上述典型问题可以仿照 电阻电路处理方法来进行。为便于仿照，引入相量模型。
u、i同频率正弦波，且
① （振幅关系） I m CU m
即
jCU m I m
正弦交流电路的特点
以上表明电容电流超前电容电压90°，可以用相量图或波形图 清楚地说明。如图所示。
图 电容元件的波形、相量图
5.3
1. 复阻抗
阻抗与导纳
设由R、L、C串联组成无源二端电路。如图4-8所示， 流过各元件的电流都为I， 各元件上电压分别为uR(t)、 uL(t)、 uC(t)，端口电压为 u (t)。
图 RLC并联电路
Ie j i I j ( i u ) j Y 由于 Y . e Y e j u U Ue U I Im I 1 所以 Y ＝ ＝ , Y i u z U Um Z
Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳 与阻抗互为倒数。∣Y∣称为导纳模，它等于阻抗模的倒数； y 称为导纳角， 对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。 导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。
5.4 相量分析的一般方法
相量法的实质是将正弦稳态的电压和电流用相 量表示，元件的参数用阻抗或导纳表示，在复 数领域内分析正弦稳态电路。所以，对于一般 网络，前面各章介绍的各种方法和定理也都完 全适用。（即把电阻性网络分析方法中的电阻 换成阻抗或导纳）
5.5
一、瞬时功率p
正弦稳态电路的功率
i 2 I sin t
U j (u i ) j Z e Z e Z R jX I I
阻抗与导纳
阻抗与导纳
阻抗与导纳
1. 阻抗: 无源二端网络端口上
电压相量与电流相量之比。
用极坐标来表示阻抗，可以写成
其中：z：阻抗模，φZ：阻抗角，R：电阻（分量〕，X：电抗（分量〕
阻抗模、电阻分量、电抗分量和阻抗角的关系可以用一个三角形来表示
当无源二端网络中同时含有电阻和电抗元件时，端口电压电流的相位差（阻抗角φZ）在-90°与+90°之间变化。
φZ>0：电压导前电流：N0为感性。
φZ<0：电压落后电流：N0为容性。
2．导纳：无源二端网络端口上电流相量与电压相量之比。
其中：G：电导分量，B：电纳分量
3．阻抗与导纳的关系
同一对端口
阻抗与导纳串并联
阻抗串联时：
阻抗并联时：
基本元件的阻抗与导纳
电阻元件的阻抗和导
纳为纯电阻，电感和
电容元件的阻抗和导
纳分别为纯电抗和纯
电纳。
电路的相量模型
将电路中电流，电压用相量表示；将基本元
件用它们的阻抗或导纳来标出，得到的电路
模型称为相量模型。
1、电感符号：L ，单位：h（亨特）感抗单位：Ω（欧姆）
2、电容符号：C ，单位：f（法拉）容抗单位：Ω（欧姆）
3、阻抗符号：Z，单位：Ω（欧姆）
4、导纳符号：Y，单位：s（西门子）
第二十讲 阻抗和导纳
§8.5 电阻、电容与电感元件的相量模型
一、电阻元件的相量模型（一） 1、时域特性：
u (t ) R i(t )
+ i
第 二 十 讲 阻 抗 导 纳
R
u -
2、正弦稳态下的电压电流： 设
由VAR
i(t ) 2 I cos(t i ) u(t ) R i(t ) 2 I R cos(t i )
u
i
L
2、正弦稳态下的电压电流 设
则
i (t ) 2 I cos t
di (t ) u (t ) L 2 I L sin t dt 2 I L cos(t 90 ) 2 U cos(t 90 )
二、电感元件的相量模型（二）
3、电流和电压关系 1）. 频率相同
u
i
90
2）. 相位相差 90° （u 超前i 90 °）
3）. 有效值 定义：
t
U I L
则：
X L L
感抗（Ω）
U I XL
二、电感元件的相量模型（三）
U 4）. 相量关系：设 I I i IL jX I U I L
4、电感的功率关系
4、功率关系
2 m 2
1）. 瞬时功率 p(t)
p u i R I sin t U I (1 cos 2 t ) 0
一、电阻元件的相量模型（一） 1、时域特性：
u (t ) R i(t )
+ i
第 二 十 讲 阻 抗 导 纳
R
u -
2、正弦稳态下的电压电流： 设
由VAR
i(t ) 2 I cos(t i ) u(t ) R i(t ) 2 I R cos(t i )
u
i
L
2、正弦稳态下的电压电流 设
则
i (t ) 2 I cos t
di (t ) u (t ) L 2 I L sin t dt 2 I L cos(t 90 ) 2 U cos(t 90 )
二、电感元件的相量模型（二）
3、电流和电压关系 1）. 频率相同
u
i
90
2）. 相位相差 90° （u 超前i 90 °）
3）. 有效值 定义：
t
U I L
则：
X L L
感抗（Ω）
U I XL
二、电感元件的相量模型（三）
U 4）. 相量关系：设 I I i IL jX I U I L
4、电感的功率关系
4、功率关系
2 m 2
1）. 瞬时功率 p(t)
p u i R I sin t U I (1 cos 2 t ) 0
电路相量、阻抗、导纳及无功功率
§5.1 正弦交流电的基本概念
本节主要讲正弦交流电的基本概念，我们必须掌握。
一、正弦交流电的三要素
我们中学时学过周期这个概念，现在我们来复习一下，所谓周期信号就是每隔一定的时间T，电流和电压的波形重复出现。我们用数学表示式为 f（t）=f（t+KT）
式中K为任何整数。我们把周期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期，周期的单位为秒（S）。
我们又把周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，显然，频率与周期的关系为f=1/T
频率的单位为赫兹（Hz）我国电力网所供给的交流电的频率是50Hz，它的周期是0.02S。
周期信号不仅有大小而且有方向例如右图：
假如通过它的方向是图B所示，那么，当i（t）的波形为正时，表示电流的
实际方向与参考方向一致，当i（t）的波形为负时，则表示相反。
按正弦（余弦）规律变化的周期信号，称为正弦交流电。简称交流电，以电流为例，其瞬是表达式为
i（t）=ImCOS（ωt+θi） 其波形如图C所示，式中Im称为振幅或最大值，它表示正弦波的变化范围，
ωt+θi称为正弦波的相位，它表示正弦量变化的进程，因为相位是用角度表示的，故又称为相位角。
我们在中学时已经知道 ω=2π/T=2πf ω称为角频率，其单位是弧度/秒（rad/s）
当t=0时，相位角为θi，称为初相位或初相角，简称初相。一般规定它的范围在-π—π
二、相位差
有两个同频率正弦交流电，它们分别为
u1（t）=U1mCOS（ωt+θ1） u2（t）=U2mCOS（ωt+θ2）
它们的相位之差称为相位差，用φ表示，即φ=（ωt+θ1）-（ωt+θ2）=θ1-θ2
19第十九讲 阻抗导纳和电路的相量图
UC
UL-UC
= arctan(− 4 ) ≈ −53.10 (−0.93) 3
Ｐ ６、作业讲解： 218 ８－１２ 作业讲解： R=U/I=120/4=30Ω 解： R=U/I=120/4=30Ω
U 120 IR = = = 4A R 30
•
•
I
设：U = 120
2 C 2 R
00
2 2
+ IC 120V ~ C _ 120V
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象 并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
５、复阻抗和复导纳的等效互换
º Z R jX º º Y G jB
Y = G + jB =| Y | ∠φ Y 1 = 1 = R − jX = G + jB Y= ZY=1 Z R + jX R 2 + X 2 − ∴ G = 2R 2 , B = 2 X 2 |Z||Y|=1 R +X R +X 1 ϕ Z +ϕ Y=0 ϕ | Y |= , φY = −φZ |Z| 为感性， 一般情况 G≠1/R B≠1/X。若Z为感性，X>0，则B<0， ≠ ≠ 为感性 ， ， 即仍为感性。 即仍为感性。
I 关系： 关系： | Z |= R 2 + X 2 X φ = arctan R
电路相量、阻抗、导纳及无功功率
§5.1 正弦交流电的基本概念
本节主要讲正弦交流电的基本概念，我们必须掌握。
一、正弦交流电的三要素
我们中学时学过周期这个概念，现在我们来复习一下，所谓周期信号就是每隔一定的时间T，电流和电压的波形重复出现。我们用数学表示式为 f（t）=f（t+KT）
式中K为任何整数。我们把周期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期，周期的单位为秒（S）。
我们又把周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，显然，频率与周期的关系为f=1/T
频率的单位为赫兹（Hz）我国电力网所供给的交流电的频率是50Hz，它的周期是0.02S。
周期信号不仅有大小而且有方向例如右图：
假如通过它的方向是图B所示，那么，当i（t）的波形为正时，表示电流的
实际方向与参考方向一致，当i（t）的波形为负时，则表示相反。
按正弦（余弦）规律变化的周期信号，称为正弦交流电。简称交流电，以电流为例，其瞬是表达式为
i（t）=ImCOS（ωt+θi） 其波形如图C所示，式中Im称为振幅或最大值，它表示正弦波的变化范围，
ωt+θi称为正弦波的相位，它表示正弦量变化的进程，因为相位是用角度表示的，故又称为相位角。
我们在中学时已经知道 ω=2π/T=2πf ω称为角频率，其单位是弧度/秒（rad/s）
当t=0时，相位角为θi，称为初相位或初相角，简称初相。一般规定它的范围在-π—π
二、相位差
有两个同频率正弦交流电，它们分别为
u1（t）=U1mCOS（ωt+θ1） u2（t）=U2mCOS（ωt+θ2）
它们的相位之差称为相位差，用φ表示，即φ=（ωt+θ1）-（ωt+θ2）=θ1-θ2
阻抗和导纳
频率一经确定，即激励正弦信号频率一经确定，单口网络的阻 抗也就被确定，且仅由元件参数和网络拓扑所决定，并不随端 口电压或电流的变化而变化。当电路参数变化时，阻抗也随之 而变，那么 当激励是电流 I S ，根据
将随阻抗Z的变化而变化； 当激励是电压 U ，根据 S 也将随阻抗Z的变化而变化
U S ，响应 I பைடு நூலகம் Z
I
US
R
j L
UL
UR
1/ jC
UC
相量模型（符号电路）
欧姆定律的相量形式，称复数欧姆定律
US 1 R j( L ) R j( X L X C ) I C 1 L 1 2 C R2 ( X X )2 tan 1 X L X C Z R2 ( L ) tan 1 L C C R R Z
U
I
jB
G
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
1 Y Z
4
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
根据基尔霍夫定律的相量形式
U S U R U L U C RI j LI [ R j( L 1 )]I ZI C 1 I j C
Z Z Z U mS u i Im
输入阻抗
5
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
电磁波第二章 阻抗与导纳圆图及其应用
圆图上的点和传输线上位置对应关系
Z L Z0 j 2 d Z L 1 j 2 d d e e Z L Z0 ZL 1 Z L 1 j 4 d e , Z 1
L
d
定义为传输线上的电尺寸。
•圆图上的点和传输线上的点有一对多的对应关 系，即传输线上的任意一点可以找到圆图上的唯 一的一点与之对应；传输线上不同的点可以对应 圆图上相同的点。 •对于均匀无损耗传输线： 从负载向信源移动对应圆图上点的顺时针转动。 从信源向负载移动对应圆图上点的逆时针转动。 •传输线上的点只能对应圆图上单位圆内的点。
2 2
1 1 cos 1, v sin 1 X X X X 1 sin cos 0, a R 1 R 1 a2 1 sin 1, 2 ,X 0 a 1 1 a2 sin 1, ,X 0 2 1 a u
1 d Zin d Z0 R d jX d 1 d
归一化的阻抗
1 d Z in d Z 0 Rd jX d 1 d
d Z in d 1 d R jX Z Z0 1 d Z d 1 d Z d 1
~ 1 u2 2 R 2 1 u 2
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= arctg 56.5I 26.5I 15 I
63.4o
UR U cos 63.4o 2.25 I UR / R 2.25 / 15 0.15
i u 63.4o 3.4o
.
故： I 0.15 3.4o (A)
.
.
则：
U R R I ......
.
.
U L ZL I ......
故：
i(t ) 0.15 2 cos( t 3.4o )(A)
且：
uR (t ) 2.25 2 cos( t 3.4o )(V) uL (t ) 8.48 2 cos( t 86.6o )(V) uL (t ) 3.98 2 cos( t 93.4o )(V) u i z 63.4o (A) （感性）
.
.
U c Zc I ......
故：
.
I i(t) ......
.
U R uR (t) ......
.
U L uL(t) ......
.
U C uC (t) ......
二、导纳（admittance）
.
1.
导纳定义：
Y
1 Z
I .
U
基本元件的导纳：
单位: 西门子(S)
YR
1 ZR
.
.
I
U Z
560o 33.5463.4o
0.15 3.4o
(A)
.
.
U R R I 15 0.15 3.4o =2.25 3.4o(V)
.
.
U L ZL I j56.5 0.15 3.4o =8.4886.6o (V)
.
.
U c Zc I j26.5 0.15 3.4o =3.98 93.4o (V)
5. 3 阻抗与导纳
一、阻抗（impedance）
1.
阻抗定义：
Z
U& I&
单位: 欧姆()
（复）阻抗反映了对正弦电流的阻碍能力。
基本元件的阻抗：
ZR R
ZL j L jX L
1
ZC
j
C
jX C
2. RLC串联电路的正弦稳态特性
.
iR
L
I R j L
+ u -
+ uL - + C uC
-
+
.
注：分压UL大于总电压U
UC UL
法二：相量图解法
.
选电流为参考相量
.
UR | UR || 15 I | 15I
U
U&X
.
.
UL | UL || j56.5 I | 56.5I
.
.
UR
I
UC | UC || j26.5 I | 26.5I
.
U
.
与 I 的相位差
u
i
arctg
UL UC UR
画相量图：选电压为参考向量（设C
U
<
1/
L，
y
<0
）
y
. IG
I . IC . IL
I
I
2 G
I
2 B
I
2 G
(IL
IC
)2
电流三角形
三、 无源单口网络的复阻抗、复导纳及其等效变换
1. 无源单口网络的串并联等效
正弦激励下 I
I
I +
U
-
无源 线性
+
U
-
I
+
U
-
•
Z
U
•
|
Z
|
z
R
jX
I
•
Y
I
•
| Y
1 R
=G
11
1
YL ZL j L j L jBL
YC
1 ZC
1 1
j C
jC
jBC
G ——电导 BL ——感纳 BC ——容纳
2. GCL并联电路的正弦稳态特性
i
.
I
+
iG
iL
iC
uG L C
-
+
.
UG -
.
.
IG
IL
1
j L
.
IC
j C
由KCL：
.. . .
.
I IG IL IC GU j
U
-
+
.
UL
-
+
1
.
jω C
UC -
由KVL：
.. . . U UR UL UC
.
.
R I j L I j
1
. I
C
(R j L j
1
. )I
C
.
[R j(X L XC )]I
.
(R jX )I
.
令
Z
U .
R
jX
| Z
| Z
Iห้องสมุดไป่ตู้
Z— 复阻抗；R—电阻（阻抗的实部）；
X—电抗（阻抗的虚部）；
arctg
B G
G=|Y|cosy B=|Y|siny
|Y|=I/U
反映i ,u 幅度关系。
y = i- u 反映i ,u 相位关系。
| Y | 1 |Z|
, y z
|Y| B
y
G 导纳三角形
Y=G+j（C-1/L）=|Y|∠ y 当 C > 1/ L ，B>0， y >0，电路为容性，i 领先u； 当 C<1/ L ，B<0， y <0，电路为感性，i 落后u； 当C=1/ L ，B=0， y =0，电路为电阻性，i 与u同相。
uC -
求 i, uR , uL , uC 及u,i 的相位差.
解：其相量模型为
.
I R j L
•
+
.
+
.
UL
-
1
U 560 V
+
.
jωL j2π 3 104 0.3 103 j56.5Ω
U -
jω C
UC -
1
1
j ωC
j 2π
3 104 0.2 106
j26.5Ω
Z R jωL j 1 15 j56.5 j26.5 33.5463.4o Ω ωC
关系：
|Z|—复阻抗的模；z—阻抗角。
| Z | R2 X 2
z
arctg
X R
或
R=|Z|cosz X=|Z|sinz
|Z|=U/I ——反映u, i 有效值关系
z =u-i ——反映u, i 相位关系
|Z| X
z
R 阻抗三角形
阻抗Z与电路性质的关系：
Z=R+j（L-1/C）=|Z|∠ z L > 1/ C ，X>0， z >0，电路为感性，电压领先电流； L<1/ C ，X<0， z <0，电路为容性，电压落后电流； L=1/ C ，X=0， z =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
1
.
.
U jC U
L
(G j
1
.
jC )U
L
.
[G j(BC BL )]U
.
(G jB)U
.
令
Y
I
. U
Ii Uu
I U
i
u
G
jB
| Y
| y
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；
|Y|—复导纳的模； y—导纳角。
关系：
| Y | G2 B2
或
y
| y
G
jB
U
+
U
-
I
+ U G -
串 R联
jX
等 效
并
jB
联 等
效
2. 无源单口网络的复阻抗Z
I
+
U
-
无源 线性
I
+
U
Z
-
正弦激励下，对于无独立源线性网络，可定义入端等效复阻抗
Z
def
UI|
Z
|
R
jX
( u i )
纯电阻 Z=R
画相量图：选电流为参考向量（设L > 1/ C ）
UL
U
UC
z
UX
UR
I
三角形UR 、UX 、U 称为电压三 角形，它和阻抗三角形相似。即
U
U
2 R
U
2 X
例. i + u -
R
L
+ uL -
C
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
+ u 5 2 cos( t 60o)V, f 3 104Hz .