山东大学工程数学2017样题及参考答案
2017年考研数学三真题及答案解析
2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k=-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似 【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）． 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】 显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)XN X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sinx dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122tt t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2t ty C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e -=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y x y eC =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0xt x u dt du -=⎰⎰16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域． 【详解】17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义 18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+lim1!n n n n ρ→∞=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+（1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解． 【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Q y =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率PY EY ≤（）；（2）求ZX Y =+的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EYyf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）ZX Y =+的分布函数为故Z X Y =+的概率密度为23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为 当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z iEZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
工程数学试卷及答案汇总(完整版)
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
2017年电大《工程数学》期末考试复习资料及答案
1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(A )AB A B = 2．向量组的 秩是（B ）．B. 33．n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是（A ）．A. )()(b A r A r =4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．D. 9/255．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（C ）是μ无偏估计． C.321535151x x x ++ 6．若A 是对称矩阵，则等式（B ）成立． B.A A ='7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ D ）．D. 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8．若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．A. r A n ()=9. 若条件（C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件． C.∅=AB 且A B U +=10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（C）不是统计量． C. ∑=-312)(31i i X μ11. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，当C 为（B ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．B.42⨯12. 向量组[][][][]αααα1234000*********====,,,,,,,,,,, 的极大线性无关组是（ A ）．A ．ααα234,,13. 若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（D ）时线性方程组有无穷多解． D ．1/214. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）. C.1/12 15. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（B ）．B. 未知方差，检验均值⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,00116. 若A B ,都是n 阶矩阵，则等式（BAB BA = 17. 向量组[][][][]3,2,1,3,0,0,0,2,1,0,0,14321====αααα的秩是（C ）．C. 318. 设线性方程组b AX =有惟一解，则相应的齐次方程组O AX =（A ）．A. 只有0解 19. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（D ）．D. )()()(AB P A P B A P -=-1．设B A ,为三阶可逆矩阵，且0>k ，则下式(B )成立．B A AB '=2．下列命题正确的是（C3．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1551A ，那么A 的特征值是(D ) D ．-4，64．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r ． D ．A 中线性无关的列有且最多达r 列 5．下列命题中不正确的是（ D ）．D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量 6. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ B ）． B ．1/17．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是．A ．P A B P A P B ()()()+=+8. 若事件A ，B 满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（A ）． A ．不互斥9．设A ,B 是两个相互独立的事件，已知则=+)(B A P （B ）B ．2/310．设n x x x ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（B ）是统计量． B ．∑=ni i x n 11 1. 若0351021011=---x ，则=x （A）．A.32. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）．B 23. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）． C. B A B A '+'='+)(4. 若A B ,满足（B ），则A 与B 是相互独立． B. )()()(B P A P AB P =5. 若随机变量X的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（D ）成立． D.22)]([)()(X E X E X D -=1．设BA ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )．)BAAB 11=-,31)(,21)(==B P A P2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是()，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ． B ．0321=-+a a a 3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ． B ．0，6 4. 设A ，B 是两事件，其中A ，B 互不相容，则下列等式中（ ）是不正确的． C. )()()(B P A P AB P = 5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）．D ．)(9)(4Y D X D +6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是(B ．n s ⨯ )矩阵． 7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解． A ．213231X X +8．设矩阵，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=()C ．1，1,0 列事件运算关系正确的是（ ）．A ．A B BA B +=9. 下10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ N2.,3） ）．D ．11．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（）是μ的无偏估计． C ．32153511x x ++12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．B ．t 分布 a a a b b b c c c 1231231232=，则a a a ab a b a bc c c 123112233123232323---=（D ）．D. －6⒈设⒉若，则a =（A ）． A. 1/2⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=C. 10⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B )AB BA --=11 ⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D =-kA k A n ()⒍下列结论正确的是（ A ）．A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（）．C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．B.A ≠0⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）．D. ()B C A ---'111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A 10100200001000=aa⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A. ()A B A AB B +=++2222 ⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．C. [,,]--'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．B. 有唯一解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（A ）．A. 3⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．B.ααα123,,⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）．D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（）成立．Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．B PAP =-1 ⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B. ()A B B A +-⊂⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． C. AB =∅且AB U =⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）． D. 307032⨯⨯..4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的． C. 如果A B ,对立，则A B ,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． D. )1()1()1(223p p p p p -+-+- 6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（A ）． A. 6,0.87.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a ba b ,()<，E X ()=（A）．A.xf x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）． B.9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （D ）．D. f x x ab()d ⎰10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01． C. Y X =-μσ⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则（A ）是统计量． A. x 1⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计D.x x x 123--二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-=-18 ．2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ= ，则称λ为A 的特征值． 3设随机变量12~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = 0.3．4．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-= 27 ． 5．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ˆ()E θθ=． 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-=8．7．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P0.3 ．9．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20．10．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ． 11. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB -8 ．12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=070040111A ，_________________)(=A r ．213. 设A B C ,,是三个事件，那么A 发生，但C B ,至少有一个不发生的事件表示为 )(C B A +.14. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E15．15. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ的一个样本，∑==ni i x n x 11，则=)(x D 16. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12．17. 当λ=1 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．．18. 若5.0)(,6.0)(,9.0)(===+B P A P B A P ，则=)(AB P 0.2．19. 若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则=)(X E 2/3．20. 若参数θ的估计量 θ满足E ( )θθ=，则称 θ为θ的无偏估计nσ． 1．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= -56．2．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,满足CB AC =，则A 与B 分别是n n s s ⨯⨯, 阶矩阵．3．设B A ,均为二阶可逆矩阵，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111O BA O⎥⎦⎤⎢⎣⎡O A B O ．4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+++=+++326423343143214321x x x x x x x x x x x 一般解的自由未知量的个数为 2．5．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量．6． 设A ，B 为两个事件，若P （AB ）= P （A ）P （B ），则称A 与B 相互独立 ． 7．设随机变量X 的概率分布为则a = 0.3 ．8．设随机变量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.03.04.0210~X，则E X ()=0.9． 9．设X 为随机变量，已知2)(=X D ，那么=-)72(X D 8．10．矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （百分数），设铜含量服从N （μ，2σ），2σ未知，在01.0=α下，检验0μμ=，则取统计量 x t =1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-． 2. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则_____=k .1-3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 6.0 ．4. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 4.2．5. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i i x )104,(μN ． 1．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1--2．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21 ． 线性无关3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= )()(B P A P - 4．．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k =π45．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x nx 11，则~x )1,0(nN7．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A =2 8．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k ．2≠9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量．10．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()=0 ． 11．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 1/3．12．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的无偏估计． ⒈210140001---=7 ．⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵．⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB 72 ． ⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ．⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a= 0 ．⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 ．⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O OA 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ．⒈当λ=1时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ． ⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩３ ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ的根． 10．若矩阵Ａ满足A A'=-1，则称Ａ为正交矩阵．⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2/5． 2.已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= 0.8 ，P AB ()= 0.3 ．3.A B ,为两个事件，且B A ⊂，则P A B ()+=()A P ．4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．5. 若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=pq q p -+．6. 已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= 0.65 ，P A B ()= 0.3 ．7.设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x xx ． 8.若X B ~(,.)2003，则E X ()= 6 ．9.若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ．10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 ． 1．统计量就是不含未知参数的样本函数 ．2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法．3．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性 ． 4．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量nx U /0σμ-=．5．假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．三、（每小题16分，共64分） A1．设矩阵A B =---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥112235324215011,，且有AX B ='，求X ．解：利用初等行变换得112100235010324001112100011210012301---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511即A-=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1201721511 由矩阵乘法和转置运算得X A B ='=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-12017215112011511111362 2.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-52012515105158500500021461351341B A3.已知B AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ，求X．解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1211002550103640211121100013210001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A由矩阵乘法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X 4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=031052,843722310B A ，I 是3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．1. 解：由矩阵减法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111 →---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100132010301001111即()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1132301111由矩阵乘法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-6515924031052111103231)(1B A I X 5．设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=21101211,1341102041121021B A ，求（1）A ；（2）B A I )(-． （1）13171020411*******41102041121021----=----=A =2513171200011317120121-=--=--（2）因为 )(A I-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------0341112041221020所以 B A I)(-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------⋅0341112041221020=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--21101211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----09355245．6．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=653312,112411210B A ，解矩阵方程B AX '=．解：因为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-120730001210010411100112010411001210 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→123100247010235001123100001210011201，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-1232472351A 所以='=-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----123247235⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13729161813635132． 7设矩阵⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A1）1111021121110211423532211=---=---=---=A（2）利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211 →-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511 即A-=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215118 .,3221,5231X B ，XA B A 求且=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Ｘ．．，B A B ，AX ．BA X，A AI 求且己知例于是得出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--18305210738525312341112353221123513251001132510011021130110015321)(119．设矩阵⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A 解：（1）因为210110132-=--=A12111210211110210211321-=-===B所以 2==B A AB ．（2）因为[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1011012/32/11A ．10．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→110100121010120001110100011110010101即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--11121120)(1A I所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X 11．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组． 解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→11770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00200011002341 所以，r (4321,,,αααα) = 3． 它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）．1⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎦⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC 13写出4阶行列式：0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a14求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-000000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R15．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-31000101001001020001310004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x xA2．求线性方程组 的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131方程组的一般解为x x x x x x14243415=+==-⎧⎨⎪⎩⎪ （其中x 4为自由未知量） 令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中x 4为自由未知量）令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为 10kX X X +=（其中k 为任意常数）2.当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---19102220105111021211114796371221211λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1000010511108490110000105111021211λλ 由此可知当1≠λ时，方程组无解。
2017年数三考研真题_附答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若函数1cos ,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是()(A)A 与B 相互独立(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独立(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1，∴A
可相似对角化，且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2
)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛，所以1 k 0 k 1 .选 C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
（ A ） E T 不可逆 （ B ） E T 不可逆 （ C ） E 2 T 不可逆 （ D ） E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
（D） n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1)，C 正确， i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1：
f
(x)
f
'(x)
【山东省】2017学年高考数学年(理科)算法初步、复数、推理与证明专题练习答案
山东省2017年高考数学（理科）专题练习算法初步、复数、推理与证明[A 组高考题、模拟题重组练] 一、程序框图(流程图)1．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图21-1是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的22x n ＝，＝，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝ ( )图21-1 A ．7 B ．12 C ．17D ．342．(2016·全国乙卷)执行如图21-2所示的程序框图，如果输入的0,1,1x y n ＝＝＝，则输出x ，y 的值满足( )图21-2 A ．2y x ＝ B ．3y x ＝ C ．4y x ＝D ．5y x ＝3．(2016·全国丙卷)执行如图21-3所示的程序框图，如果输入的46a b ＝，＝，那么输出的n ＝ ( )图21-3 ．4 ．6所示的程序框图，若输入的a图21-4 在复平面内对应的点在第四象限，B ．(13)－， D ．()3∞－，－图21-5B．2 015D．2 017所示，则输出的S的值为(图21-6B．3 2D．32 -所示的程序框图，若输出的S＝图21-7B．7k＞？D．8k＜？56789}，，，，，，，，，在集合Aa，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为219129I A D＝，则（）＝，（图21-8B．693D．495的所有正约数之和可按如下方法得到：因为22＋＝＋＋⨯23122)(图21-92013B．图21-10丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，学生了解考试情况．四名学生回答如下：”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．观察下列等式：图21-11从第2行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，。
2017年工科数分(A)答案
b f 2 (x)dx+2t
b
f (x)g(x)dx
b g 2 (x)dx
a
a
a
a
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 分
（2） f (x) dx f (x) C ;
（3）
d dx
x2 a
f (t)dt
f (x2 );
A. (1)(3);
B.(2)(4);
（4） d
b
f (x)dx
0.
dx a
C.(1)(4);
D.(2)(3) .
4. 下列广义积分中，发散的是（ C ）
A.
1
x x2
2
dx
；
C.
42
2
4
2
建议：分部 2 分，积分计算各 4 分。
3. 3 (x2017 arctan2 x 2018) 9 x2 dx 3
解 由对称性： 3 x2017 arctan2 x dx 0 3
原 式 2018 3 9 x2 dx= 2018 9 =9081 .
3
2
（其中 3 9 x2 dx= 9 可以看做圆心在原点，半径为 3 的上半圆的面积）
使得 f ( ) f ( ).
证明： 构造辅助函数 F (x) xf (x) ，则 F (x) 在[0,1] 上可微。且
F (1) f (1) 2
1 2
xf
(x) d
x
f
()
F (),
[0,
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合 31x< 则 {|0}AB x x =< A B =R {|1}A B x x => A B =∅如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14 π8 12 π4设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R其中的真命题为13,p p 14,p p 23,p p 24,p p．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 ．．．．．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是．[2,2]-． [1,1]-． [0,4]． [1,3]621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 ，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为右面程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在和两个空白框中，可以分别填入和 和 ≤ 和 ≤ 和已知曲线 ： ， ：2π3，则下面结正确的是 把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线把 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线把 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线已知 为抛物线 ： 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 、两点，直线 与 交于 、 两点，则 的最小值为． ． ． ． 设 为正数，且235xyz==，则． ． ． ．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了 解数学题获取软件激活码 的活动 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推 求满足如下条件的最小整数 ：且该数列的前 项和为 的整数幂 那么该款软件的激活码是二、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
《山东大学数学分析2007-2017年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题 (2)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题 (3)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题 (5)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题 (6)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题 (7)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题 (8)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题 (10)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题 (12)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题 (14)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (16)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (16)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (22)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (34)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)Ⅰ历年考研真题试卷山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题科目代码：651科目名称：数学分析（答案必须写在答卷纸上，写在试卷上无效）1.求()sin 0lim cot xx x →2.求222222222222(),: 1.Vx y z x y z dxdydz V a b c a b c ++++=⎰⎰⎰3.求211.n n n x ∞-=∑()0,1x ∈4.证明：20lim sin 0.n n xdx π→∞=⎰5.()()0,()f a f b f x ''==有二阶导数，证明：存在,ξ满足24()()().()f f b f a b a ξ''≥--6.22220(,)0,0.x y f x y x y +≠=+≠⎩，证明：(,)f x y 在（0，0）连续，有有界偏导数,x y f f ''在（0，0）不可微。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(山东卷,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 （A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q （4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 （6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 . （15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2017高考数学山东卷理(附参考答案及详解)
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$$%当 "$'(#"&'$时#求二面角 07"J7% 的大小!
第 !2 题 图
年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学 理
!.!$本小题满分 !$ 分%在 心 理 学 研 究 中#常 采 用 对 比 试 验 的 方 法 评价不同心理暗 示 对 人 的 影 响#具 体 方 法 如 下&将 参 加 试 验 的 志愿者随机分成 两 组#一 组 接 受 甲 种 心 理 暗 示#另 一 组 接 受 乙 种心理暗示#通过对比这两组志 愿 者 接 受 心 理 暗 示 后 的 结 果 来 评 价 两 种 心 理 暗 示 的 作 用 !现 有 & 名 男 志 愿 者 "!#"$#"(#"-# ""#"& 和 - 名 女 志 愿 者 $!#$$#$(#$-#从 中 随 机 抽 取 " 人 接 受 甲 种 心 理 暗 示 #另 " 人 接 受 乙 种 心 理 暗 示 ! $!%求接受 甲 种 心 理 暗 示 的 志 愿 者 中 包 含 "! 但 不 包 含 $! 的 概率' $$%用 8 表示接受乙种心理暗 示 的 女 志 愿 者 人 数#求 8 的 分 布 列与数学期望08 !
(完整版)2017年高考山东文科数学试题及答案(word解析版),推荐文档
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年山东，文1，5分】设集合{}{}11x 2M x x N x =-<=<，，则M N =I （ ）（A ）()1,1- （B ）()1,2- （C ）()0,2 （D ）()1,2 【答案】C【解析】:02M x <<，2N x <：，所以(0,2)M N =I ，故选C ． （2）【2017年山东，文2，5分】已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则²z =（ ）（A ）2i - （B ）2i （C ）2- （D ）2 【答案】A【解析】1i1i iz +==-，所以22(1i)2i z =-=-，故选A ．（3）【2017年山东，文3，5分】已知x y 、满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【答案】D【解析】可行域如图，在点()1,2A -z 取最大值：max 3z =，故选D ．（4）【2017年山东，文4，5分】已知cos 34x =，则cos2x =（ ） （A ）14- （B ）14 （C ）18- （D ）18【答案】D【解析】2231cos22cos 12()148x x =-=⨯-=，故选D ．（5）【2017年山东，文5，5分】已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <。
下列命题为真命题的是（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧ 【答案】B【解析】22131()024x x x -+=-+>，p 真；22a b a b <⇔<，q 假，故命题p q ∧，p q ⌝∧，p q ⌝⌝∧均为假命题；命题p q ⌝∧为真命题，故选B ． （6）【2017年山东，文6，5分】执行右侧的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤ 【答案】B【解析】解法一：当4x =，输出2y =，则由2log y x =输出，需要4x >，故选B ．解法二：若空白判断框中的条件3x >，输入4x =，满足43>，输出426y =+=，不满足，故A 错误，若空白判断框中的条件4x >，输入4x =，满足44=，不满足3x >，输 出2log 42y ==，故B 正确；若空白判断框中的条件4x ≤，输入4x =，满足44=， 满足4x ≤，输出426y =+=，不满足，故C 错误，若空白判断框中的条件5x ≤， 输入4x =，满足45<，满足5x ≤，输出426y =+=，不满足，故D 错误，故选B ．（7）【2017年山东，文7，5分】函数3sin 2cos 2y x x =+最小正周期为（ ）（A ）2π （B ）23π （C ）π （D ）2π【答案】C【解析】3sin 2cos22sin(2)6y x x x π=+=+，所以22, T πωπω===，故选C ．（8）【2017年山东，文8，5分】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。
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2017 年ft东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本题共10 小题，每小题5 分，共50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）2．（5 分）已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi=1+i，则z2=（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．23．（5 分）已知x，y 满足约束条件则z=x+2y 的最大值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．（5 分）已知cosx=，则cos2x=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5 分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q6．（5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4 时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3 B．x＞4C．x≤4D．x≤57．（5 分）函数y=sin2x+cos2x 的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π8．（5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，79．（5 分）设f（x）=若f（a）=f（a+1），则f（）=（）A．2 B．4 C．6 D．810．（5 分）若函数e x f（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=x2C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分11．（5 分）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（5 分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b 的最小值为．13．（5 分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，则f（919）= ．15．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．三、解答题16．（12 分）某旅游爱好者计划从3 个亚洲国家A1，A2，A3和3 个欧洲国家B1，B2，B3中选择2 个国家去旅游．（Ⅰ）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1 个，求这2 个国家包括A1但不包括B1的概率．17．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S△ABC=3，求 A 和a．18．（12 分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A1E⊥ 平面ABCD，（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；（Ⅱ）设M 是OD 的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．19．（12 分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；（2）{b n} 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n，已知S2n+1=b n b n+1，求数列的前n 项和T n．20．（13 分）已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2 时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C 截直线y=1 所得线段的长度为2 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C 于A，B 两点，交y 轴于点M．点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO|．设D 为AB 的中点，DE，DF 与⊙N 分别相切于点E，F，求∠EDF 的最小值．2017 年ft东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10 小题，每小题5 分，共50 分。
2017年考研数学一真题及答案全
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f xf z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx x x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=. (2)构造()()'F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2017年数学真题及解析_2017年山东省高考数学试卷(理科)
2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=22.5，y i=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成（x n+1的区域的面积T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选：D．【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选：A．【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选：B．【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=22.5，y i=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选：C．【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础题．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=4．【分析】利用通项公式即可得出．=（3x）r=3r x r．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．【分析】把①②代入e x f（x），变形为指数函数判断；把③④代入e x f（x），求导数判断．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z 1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z 2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【分析】（1）利用组合数公式计算概率；（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成（x n+1的区域的面积T n．【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【分析】（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a ﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=．由题意设知．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin=．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．。
电大《工程数学》期末真题(含31套历年真题：2002年至2017年)
） 。
D． D． 秩（A）<n 或秩（B）<n
三、计算题（每小题 10 分，共 30 分）
2
一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分） 1． 1． B 2． 2． D 3． 3． B 4． 4． D 5． 5． C 6． 6． A 7． 7． C 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1． 1． 相等 2． 2． t，s（答对一个给 2 分） 3． 3． P（A）P（B） 4． 4． p（1-p）
1
中央广播电视大学 2001—2002 学年度第一 学期“开放本科”期末考试土木专业工程数 学（本）试题
2002 年 1 月
一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分）
4．设 A，B 均为 n 阶方阵，若 AB=0，是一定有（ A． A． A=0 或 B=0 B． B． 秩（A）=0 或秩（B）=0 C． C． 秩（A）=n 或秩（B）=n
０ ００
， 则｛ Ａ｝ 今（
０ ０
Ａ ． ２ ４
１ ３ ． 一 ２ ４
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Ｕ ． １ ２
’，口“ ｚ ＋ ＂ ＋ ａ ． ｝ ， 若有 Ｏ ａ ， 十Ｏ ａ ｚ － ｝ － ． ． ． ０ ａ ． ＝ ０ ， 则向量组 ａ ｝ ， ａ ｚ ・， 对 于向量组 ａ ＇ ，ａ
（含 31 套历年真题）2002 年 1 月至 2017 年 7 月 国家开放大学（中央电大）“开放本科”期末考 试《工程数学》（本）试题及参考答案（含 15 年 31 套真题）
试卷代号：1080
《工程数学》真题目录（31 套）
1、2002 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 2、2003 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 3、2003 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 4、2004 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 5、2004 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 6、2005 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 7、2005 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 8、2006 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 9、2006 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 10、2007 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 11、2007 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 12、2008 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 13、2008 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 14、2009 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 15、2009 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 16、2010 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 17、2010 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 18、2011 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 19、2011 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 20、2012 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 21、2012 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 22、2013 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 23、2013 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 24、2014 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 25、2014 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 26、2015 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 27、2015 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 28、2016 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 29、2016 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 30、2017 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 31、2017 年 6 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案
2017年考研数学三真题及答案解析
2017年考研数学三真题及解析一、选择题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．分．1．若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0011cos12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++®®®-===，0lim ()(0)x f x b f -®==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =Þ=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶，232z x x xy y¶=--¶，2222222,2,32z z z z y x x xyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y x z x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x ¢>，则，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ¢¢=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ¥=éù--êúëûå收敛，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设a 为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则（A ）TE aa -不可逆不可逆 （B ）TE aa +不可逆不可逆（C ）2TE aa +不可逆不可逆 （D ）2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,1,1,1,,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE aa -存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø，210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø，100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø，则，则（A ）,A C 相似，,B C 相似相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===．是否可对解化，只需要关心2l =的情况．的情况．对于矩阵A ，0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（条件是（ ）（A ）,A B 相互独立相互独立 （B ）,A B 互不相容互不相容 （C ）,AB C 相互独立相互独立 （D ）,AB C 互不相容互不相容【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本，若11ni i X X n==å，则下列结论中不正确的是（正确的是（ ）（A ）21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 （B ）()2212n X X -服从2c 分布分布（C ）21()nii XX =-å服从2c 分布分布（D ）2()n X m -服从2c 分布分布 解：（1）显然22()~(0,1(0,1))()~1(1),),1,2,i i X N X i n m m c -Þ-= 且相互独立，所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布，也就是（A ）结论是正确的；）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n SXXn S n c s=--=-=-å，所以（C ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-，所以（D ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22nn n X XX X N N X X c --ÞÞ-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9．322(sin)x x dx pp p -+-=ò ．解：由对称性知332222(sin)22x x dx x dx ppp pp p -+-=-=òò． 10．差分方程122tt tyy+-=的通解为的通解为． 【详解】齐次差分方程120t tyy+-=的通解为2xy C =；设122t t tyy+-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =；启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研所以差分方程122t t ty y+-=的通解为12 2.2tty C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -¢=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y ydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø，123,,a a a 为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A a a a 的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，知矩阵A 的秩为2，由于123,,a a a 为线性无关，所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题三、解答题15．（本题满分10分）分） 求极限03lim xt x x te dt x+®-ò启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，xxtx ux te dt uedu --=òò33300002lim lim limlim 332xxxtxuu x x x x x x te dt eue du ue du xe xx x x ++++---®®®®-====òòò 16．（本题满分10分）分） 计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++òò，其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域．轴为边界的无界区域．【详解】【详解】332422422424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDx y y dxdy dxdyxy x y d x y dx x y dxx x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17．（本题满分10分）分）求21lim ln 1nnk k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò 18．（本题满分10分）分） 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+，则，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x xf x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-=启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+，所以()g x ¢在(0,1)上单调减少，上单调减少，由于(0)0g ¢=，所以当(0,1)x Î时，()0)0g x g ¢¢<=，也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少，当(0,1)x Î时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．上单调减少．0011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）分） 设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数0n n n a x ¥=å的和函数的和函数（1）证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1． （2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-，并求出和函数的表达式．，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n aa a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+ 1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!n k n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nn nn n nna e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ，所以收敛半径1R ³ （2）所以对于幂级数nn n a x ¥=å， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x ¥-=¢=å，所以，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n n nn n n n nnn n n nn nn n n n n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+==¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-．解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1x e S x x-=-．20．（本题满分11分）分）设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值，且3122.a a a =+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,b a a a =+，求方程组Ax b =的通解．的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ³．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ³，又因为31220a a a -+=，也就是123,,a a a 线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220a a a -+=，所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø； 又由123,b a a a =+，得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø；方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，其中k 为任意常数．为任意常数．21．（本题满分11分）分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Q y =下的标准形为221122y y l l +，求a 的值及一个正交矩阵Q ． 【详解】二次型矩阵21411141A a -æöç÷=-ç÷ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+---令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==．通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø，属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷ç÷èø，30l =的特征向量311261x æöç÷=ç÷ç÷èø， 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵．为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他．（1）求概率P Y EY £（）；（2）求Z X Y =+的概率密度．的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +¥-¥===òò所以{}23024239P Y EY P Y ydy ìü£=£==íýîþò（2）Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23．（本题满分11分）分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量m 是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数s ． （1）求i Z 的概率密度；的概率密度；（2）利用一阶矩求s 的矩估计量；的矩估计量； （3）求参数s 最大似然估计量．最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ 当0z <时，显然()0ZF z =； 当0z ³时，{}{}()21iZ i i X zz F z P Z z P X z P mm sssì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ；所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î．（2）数学期望222022()z i EZ z f z dz zedz s s -+¥+¥===òò，22p p12(2)ne ps å=21ln(222n s--å令3ln ()1d L n d s s s s =-+å211n i i z n ==å．。
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3.（10
分）（1）．用
2
段
Simpson
公式（5
节点）计算
5
∫1
1 x
dx
的近似值（取五位有效数字）；
（2）.若使误差不超过10−6 ，用复化梯形公式计算上述积分至少应取多少个节点？
4.（10 分）（1）．用 Newton 迭代法（取 x0 = 1.5 ）求方程 x3 − 3x − 2 =0 在[1.5, 2.5]内的根使 |xk +1 − xk |< 10−2 ；（2）.证明简单迭代格式= xk+1 3 3xk + 2 对于任意的初始值 x0 ∈[1.5, 2.5] 都是收敛的。
a(a + b −1)! = a (a + b)! a + b
解法 2：只考虑前 k 个位置：
aPk −1 a + b −1
=
a
Pk a+b
a+b
7.
(10 分) （1）.
x
方向边缘分布函数：
FX (x)=F (x, + ∞) =
lim F (x, y) =
y→∞
1 − e−0.5x
,
同理：
FY
(
−∞
2π
0 2π
2 t +∞ −t2
2
2
∫ = = e 2 d ( )
π0
2π
V (Z ) =E(Z 2 ) − [E(Z )]2 =E(T 2 ) − 2 =1− 2 . 其中：E(T 2 )=V (T ) + E2 (T ), 而 E(T ) = 0, V (T ) = 1. ππ
方法 2：
X，Y
摸得黑球的概率.
7. （10 分） 设某仪器由两个部件构成，X,Y分别表示两部件的寿命(单位：千小时）, 已
知(X
,
Y ) 的联合分布函数为：F (x,
y)
=
1 −
e −0.5 x
−
e−0.5 y
+
e , −0.5( x+ y)
x ≥ 0, y ≥ 0,
0,
其它
求：（1）.边缘分布函数和边缘密度函数；（2）.两个部件寿命都超过 100 小时的概率.
x4 − = x3 0.0019 < 10−2 ，所以方程在[1.5, 2.5]内的近似根为 x ≈ 2.0000
（2）简单迭代格式= xk +1
3 3xk + 2 的迭代函数为ϕ= (x)
3 3x + 2 ，ϕ′(x) = 1 ， 3 (3x + 2)2
明显的ϕ(x) 在[1.5, 2.5]上具有连续的一阶导数，当 x ∈[1.5, 2.5] 时，ϕ(x) ∈[1.5, 2.5] ，
2(n −1)
所以：
V (S 2 ) = 2σ 4 . n −1
本题 n = 16 , 所以最后得到： V (S 2 ) = 2 σ 4. 15
（2）. 设在总体 N (µ, σ 2 ) 中抽取一容量为 16 的样本，其中 µ, σ 2 均为已知，求方差V (S 2 ) .
《工程数学》试题答案
1. （10 分）解：
2 0 0
1 −1/ 2 1/ 2
(1). L= 1 3 / 2
0
,
U= 0
1
1/ 3
1 3 / 2 − 3
y
)
=
1 − 0,
e−0.5
y
,
y ≥ 0, 其它
所以，FX
(
x)
=
1 − 0,
e−0.5
x
,
x ≥ 0, 其它
联合密度函数f
(x,
y)
=
∂2F ∂x∂y
=
0.25e−0.5( x + 0,
y)
,
x ≥ 0, y ≥ 0, 其它.
边缘密度函数：f
X
(x)
=
FX′
(
拟合曲线为 y =13.5 −16.7x + 3.5x2
3. （10 分）解:
1．
S
2=
1 3
[1+4×(1/2
+1/4)+2×1/3
+1/5]=1.6222；
2.
∣
RTn
∣≤∣ 43 12n 2
× 2 ∣≤10−6
,n≥3266,需 3267 个节点。
4.
（10 分）解:
（1）牛顿迭代格式为： xk+1
0 0 1
,
（要有分解求的过程）
0
1
y
=
−
2 / 3
，解为
x
=
0
；
− 2
− 2
(2).
x (k +1) 1
x (k +1) 2
= (x2(k ) − x3(k ) ) / 2
=
− x1(k +1)
−
x(k) 3
−1
x3( k
8. （10 分） 设 X , Y 是两个相互独立且服从正态分布N (0 , 1) 的随机变量，
2
求：E( X − Y )，V ( X − Y )
9. （20 分）
（1）．设
X1,
X
2
,
,
Xn
为来自泊松分布P(λ) 的一个样本，X
,
S2
为其样本均值和样本方差,
求 E( X ), V ( X ), E(S 2 )
x)=
0.5e −0.5 x 0,
,
x ≥ 0, 其它
fY
(
y)
=
FY′(
y)=
0.5e−0.5 0,
y
,
y ≥ 0, 其它
(2).
∫∫ ∫ ∫ 方法 1： P ((X= ,Y ) ∈G)
f (= x, y)dxdy
+∞
(
+∞ 0.25e−0.5(x+ y)dy)dx
0.1 0.1
且|= ϕ′(x) |
1 3 (3x + 2)2
< 0.3 < 1，所以该迭代格式对于任意的初始值 x0 ∈[1.5, 2.5] 都是收
敛的。
5. (10 分) 由于被积函数含有 (x − a) ，令 f (x) =1, x − a, (x − a)2, (x − a)3 , 分别代入所给的
近似积分公式, 使公式精确成立, 得:
G
= e−0.1 ≈ 0.9048.
方法 2： 利用分布函数 P(0.1 < X , 0.1 < Y ) = 1− FX (0.1) − FY (0.1) + F (0.1, 0.1) = 1− (1− e−0.05 ) − (1− e−0.05 ) + (1− e−0.05 − e−0.05 + e−0.1)
1 (b − a)6 ； 右端等于 − 3 (b − a)6 ， 左右端不再相等，所以公式具有 3 次代数精确度。
6
20
6. (10 分) 解法 1：把球编号，按摸的次序把球排成一列，样本点总数就是 a +b 个球的 全排列数 (a +b)! ． 所考察的事件相当于在第 k 位放黑球，共有 a 种放法，每种放法又 对应其它 a+b－1 个球的(a+b－1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为 a(a+b－1)!。
+∞ 1 ρ 2e−ρ2 d ρ
= 2
0
0π
π
V (Z ) =E(Z 2 ) −[E(Z )]2 =E(T 2 ) − 2 =1− 2 . ππ
9. （20 分）每个 5 分 (1) 因为 Xi P(λ), 所以E( X=i ) V ( X=i ) λ= , i 1, 2,n.
∑ ∑ ∑ E(X )
5. （10 分）确定求积公式
∫ b (x − a) f (x) dx ≈ (b − a)2 [ Af (a) + Bf (b)] + (b − a)3[Cf ′(a) + Df ′(b) ] a
的待定系数 A, B, C, D 使其代数精确度尽量地高，并求其代数精确度.
6. （10 分）口袋中 a 只黑球， b 只白球． 随机地一只一只摸，摸后不放回．求第 k 次
= xk −
f (xk ) f ′(xk )
= xk −
xk3 − 3xk − 2 3xk2 − 3
= 2(xk2 − xk +1) ， 3(xk −1)
取 x0 = 1.5 代 入 迭 代 公 式 = 得 ： x1 2= .3333, x2 2= .0555, x3 2= .0019, x4 2.0000 ，
x(0) = (0, 0, 0)T ，求 x(3) ；并判定 Gauss-Seidel 迭代的收敛性.
2.（10 分）已知函数 y = f (x) 的观测数据为：
x
1
2
3
4
f (x)
0
−5
−6
3
（1）．构造差商表，并写出牛顿插值多项式；
（2）．用最小二乘法求形如 y =a + bx + cx2 的经验公式使与题目数据拟合；
= e−0.1 ≈ 0.9048
8. (10 分)
方法 1： T = X − Y N (0,1), Z = | T |,
+∞
+∞
∫ ∫ = E(Z ) = g(t) f (t)dt | t | f (t)dt
−∞
−∞