直线与圆的方程的应用人教版数学必修二全册课件

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人教版高中数学必修二导学：直线与圆的方程的应用 .ppt

26
命题方向3 ⇨直线与圆的位置关系的实际应用
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西 70 km 处，受到影响的范围半径为 30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？导学号 09025034
2019/5/30
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28
• 『规律方法』解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
2019/5/30
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29
〔跟踪练习 3〕已知台风中心从 A 地以每小地 20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 km 处，求 B 城市处于危险区内的时间．导学号 09025035
设圆心为 C，水面所在弦的端点为 A、B，则由已知得 A(6，－2)．设圆的半径为 r，则 C(0，－r)，即圆的方程为 x2＋(y＋r)2＝r2.①
2019/5/30
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22
将点 A 的坐标(6，－2)代入方程①，得 36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10. ∴圆的方程为 x2＋(y＋10)2＝100.② 当水面下降 1 m 后，可设点 A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，将 A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得 x0＝ 51. ∴水面下降 1 m 后，水面宽为 2x0＝2 51 m.
2019/5/30
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23
• 『规律方法』解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．

高中数学人教版必修2课件：4.2.2 3-圆与圆的位置关系-直线与圆的方程的应用

a＝0， b＝ 2
或ab＝＝45
2， 2，
由实际意义知 a＝0，b＝
2，
∴圆的方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在 B 景点在小路的投影处．
坐标法解决平面几何问题 [例 4] 如图所示，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆 O 交于点 E，F，且 EF 与 CD 相交于 H.求证：EF 平分 CD. [解] 证明：以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系．如图所示，设 |AB|＝2r，D(a,0)，则|CD|＝ r2－a2，
[活学活用]
求与圆 C：x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 l：x＋ 3y＝0 相切于点
M(3，－ 3)的圆的方程．解：圆 C 的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心 C(1,0)，半径为 1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
[类题通法] 平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下： (1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题． (2)通过代数运算，解决代数问题． (3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论．
[活学活用] 在平行四边形 ABCD 中，用坐标法证明：|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋ |DA|2＝|AC|2＋|BD|2. 证明：以 CA 所在的直线为 x 轴，线段 CA 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设 A(a,0)，B(b，c)，则 C(－a,0)，D(－b，－c)． |AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝2(|AB|2＋|BC|2) ＝2[(b－a)2＋c2＋(－a－b)2＋(－c)2]＝4a2＋4b2＋4c2， |BD|2＋|AC|2＝(－b－b)2＋(－c－c)2＋(－a－a)2 ＝4a2＋4b2＋4c2. |AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＋|BD|2.

人教版高中数学必修二《直线与圆的方程的应用》教学课件

5/27/2020
赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程.
解：建立如图所以的直角坐标系
y
|OP|=7.2m，|AB|=37.4m. 即有
P
A(-18.7，0)，B(18.7，0)，P(0，7.2).
A
B 设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
O.
x
C
(a+18.7)2+b2=r2,
长的
1 6
为单位长，建立如图所示的坐标系.
则有：
y
A
A(3，3 3)，B(0，0)，C(6，0)，
由已知，得D(2，0)，E(5， 3).
直线AD的方程为y=3 3(x-2).
BP
E
直线BE的方程为y= 53(x-5)+ 3 . O D
Cx
5/27/2020
等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且
所以：
y
y= 14.52-(-2)2-10.5
P2 P
≈14.36-10.5 =3.86(m).
A A1 A2 O A3 A4 B x
答：支柱A2P2的高度为3.86m.
5/27/2020
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
证明：以四边形ABCD互相垂直的对
直线与圆的方程的应用
5/27/2020
直线与圆有几种位置关系？给出直线方程和圆的方程你怎样确定它们之间的关系呢？
l
5/27/2020
l
l
直线与圆的方程有哪些应用？
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个
圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间

高中数学必修二《直线与圆的方程的应用》PPT

2k(k 2)
∴x1+x2= k 2 1
得
x y
k(k 2)
2
k2
1
kx
,
1
(k
为参数).
∴消去 k 得 P 点的轨迹方程为 x2+y2-x-2y=0,
当 k 不存在时，中点 P(1,0)的坐标也适合方程。
1
5
∴P 的轨迹是以点( 2 ,1)为圆心, 2 为半径的圆.
思维升华
思路一，数形结合,利用平面几何知识等，有时能使求解过程变得非常简洁。
作业:习题4.2 B组2、3、5。
分析：建立直角坐标系→求出 P2 的纵坐标 →支柱 A2P2 的高度
应用示例
解：建立图 4.2-6 所示的直角坐标系，则 P（0，4），B（10，0）都在圆上。
设圆的方程为： x2 y b2 r 2
02 4 - b2 r 2
b 10.5
得
10
2
0 b2
r2
解得 r 2
14.52
∴点
P
的轨迹是以点(
1 2
,1)为圆心,
5 2
为半径的圆。
应用示例
思路二:参数法设 MN 所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，P(x，y)，
x 2 y 2 9,
则
y
kx
(2
k),消
y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.
思路二,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即
f (x, y) 0,
g(x, y) 0, 消 y(或 x)得关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解。

【数学必修2课件】4.2.3 直线与圆的方程的应用

2
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四边形外接圆O的圆心分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．

高中数学人教版必修2直线、圆的位置关系课件PPT

规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
练习
4:已知圆x2+y2=8，定点P(4,0)，问过P点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与圆 (1)相切，(2)相交，(3)相离
4.2.1
直线与圆的位置关系
1.圆的标准方程
题型二切线问题例3:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切
线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1. 因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 k 1 .
k1
当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
2.求圆的切线方程的常用方法
判断直线与圆位置关系的方法
几何方法
计算圆心到直线的距离d
代数方法
比较d与半径r的大小
消去y（或x）
px2 qx r 0
应用举例
例1. 如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标.
y l B
参考答案
C. A
O
x
练习
1. 求以C(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0 相切的圆的方程.
2. 判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系.
3.以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离, 则圆C的半径r的取值范围是____________. 解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的

数学423直线与圆的方程的应用课件新人教版A版必修2 优质课件

y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
y B C oM
N
D
A x
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的
坐标如何？
y
B
C
A
oM
x
N
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得，b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
M
O1 o
N
O2
x
练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得的弦长.
2、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过?
P
5
MO
N
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
思考3:如图所示建立直角坐标系，取10km为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？
y
港口
x
台o

精选教育人教A版高中数学必修二导42.3直线与圆的方程的应用公开课教学PPT课件

You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
P2 P
A
A1
A2 o
A3
A4
B
？如果不建立坐标系你能解决这个问题吗？
试比较建系与不建系哪个更简单
问题二：直线与圆的方程在平面几何中的应用
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
y (0,b) B
(c,0)
M
CO
NQ
E
(0, d ) D
(a,0)
A x 1 、如何建立恰当的直角坐标系？
y
14.52 22
14.36 10.5
的10.5 三步
第三步:把代数运算结果3.8“6翻m
曲
答：译支”柱成A几2P何2的结高论度.约为3.86m。
问题一：直线与圆的方程在实际生活中的应用
如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆拱跨度AB=20ｍ,拱高 OP=4ｍ，由于年久失修,现需要对该桥进行加固，每隔4ｍ需要用一个支柱支撑,求支柱A2P2 的长度(精确到0.01m, 82528.72）
所以，QE 1 BC 2
即:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半
能力提升：
在Rt∆ABC中,斜边BC为m, 以BC的中点O为圆心, 作半径为 m 2
n(n< ) 的圆,分别交BC于P , QA 两P点2,求AQ 证2：PQ2

人教版数学必修二课件：4-2-3直线与圆的方程的应用

∴|OM|＝
2 ＝2 5
5 5，|OB|＝2，
∴|MB|＝45
5，∴|AB|＝8
5
5 .
解法 2：将 A、B 两点坐标求出，再用两点间距离公式求解，但运算量较大，一般采用解法 1.
【变式训练 2】 (2019 年山东省聊城市高三模拟)已知直线 ax＋y－1＝0 与圆 C：
(x－1)2＋(y＋a)2＝1 相交于 A，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为
【变式训练 3】已知圆的方程为 x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点 A(－3，－5)的直线交圆的弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程．
解：设所求轨迹上任一点 M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为 C(3，3)．因为 CM⊥AM，所以 kCM·kAM＝－1.
图6
【解析】以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在的直线为 x 轴，建立如图 7 所示的直角坐标系，则 O1(－2，0)，O2(2，0)．
由已知|PM|＝ 2|PN|， ∴|PM|2＝2|PN|2. ∵两圆的半径均为 1，
图7
∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或 x2＋y2－12x＋3＝0)．
相切于 A、B 两点，则四边形 PAOB(O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )
A．24
B．16 C．8 D．4
【解析】由题意得 PA＝PB，PA⊥OA，PB⊥OB， SPAOB＝2S△PAO＝2×12PA·PO＝PA·PO 又∵在 Rt△PAO 中， PA2＝PO2－4，当 PO 最小时，PA 最小此时所求面积最小

人教课标版高中数学必修2《直线与圆的方程应用》名师课件

知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
<2>几何方法
过点P2作P2H⊥OP.由已知，
在
中，有
,
设拱圆所在的半径为r，则有
.
解得r=14.5.在RT△CP2H中，有
.
根据图形我们可以知道
=2，
又下列结论，结论如下：
，于是有我们可以很容易得到
所以支柱A2P2的长度约为3.86cm.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测【例题】请使用两种方法——代数法和几何法解决以下问题：该圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，每隔4米有一根支柱，求A2P2高度.（书上例题4）
【答案】<1>代数方法（解析法）第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论；
所以P点的轨迹是以点
(1 ，1) 为圆心，
2
为半径的圆.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知OP⊥PA,故点P的轨迹是以AO为直径的圆.
【思路点拨】求轨迹的常见方法
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
知识梳理
（1）用建立直角坐标系的方法求解直线和圆的应用性问题，关键是运用数学建模的思想，对问题进行分析、建系、抽象出数学问题. （2）利用数形结合和线性规划的方法解决与圆有关的最值问题. （3）中点弦问题的解决方法.
如何使用代数方法求解最值问题呢？这里引入一个新的概
念——线性规划. 具体做法我们用一道例题来看一看.

人教A版高中数学必修二 4.2.3直线与圆的方程的应用课件

4.2.3 直线与圆的方程的应用
探究点一直线与圆的方程的应用
例1 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB＝20 m,拱高OP＝4 m,建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
解建立如图所示的直角坐标系,使圆心在y轴上. 设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r, 那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2. 下面确定b和r的值. 因为P、B都在圆上, 所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.
答支柱A2P2的高度约为3.86 m.
反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤为： (1)审题：从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
3.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC,BD,则四边形ABCD的面积为________.
4．已知集合 M＝{(x，y)|y＝ 9－x2，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若 M∩N≠∅ ，则实数 b 的取值
范围是( )
A．[－3 2，3 2] B．[－3，3]
C．(－3，3 2] D．[－3 2，3)
5．已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝1，则y＋2的取值范围为________． x＋1
又|BC|＝ b2＋c2, 所以|O′E|＝12|BC|.
反思与感悟用坐标方法解决平面几何问题的步骤：第一步：建立
适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

《直线与圆的方程的应用》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.2.3课时)

点(D)斜(kDG) 式求中垂线DG方程
中点公式求D, kDG kMN 1 kMN ( yM yN ) /(xM xN )
C
N
DG
O
x
M
新知探究
求圆 C : x2 y2 x 2 y 0 关于直线 l : x y 1 0 对称的圆的方程。
C : (x 1)2 ( y 1)2 5
的方程如何？ M
y A
o
x
B
x0x+y0y=r2
新知探究
解:设两个切点为A,B以OP为直径的圆过A,B两点,设圆上任一点C (x ,y ),必有OC⊥PC,根据此条
件必有 y • y y0 1, x x x0
故得此圆的方程为
x(x-x0)+y(y-y0)=0.过A,B两点的圆的方程为 x(x-x0)+y(y-y0)+λ(x2+y2-r2)=0.
人教版高中数学必修二
第4章圆与方程
4.2.3直线与圆的方程的应用
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
新知探究
问题：这个圆的圆拱跨AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱
A2P2的高度（精确到0.01m）
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度TH COUNSELING PPT
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P2 P
A
A1
A2 O A3
A4
B
新知探究
圆心(0,b)
y P2 P (0,4)
-2 x
A
A1 A2 A3 A4 B (10,0)
新知探究
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用问题:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

人教版2017高中数学(必修二)4.2.3 直线与圆的方程的应用PPT课件

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重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型一
用坐标法证明几何问题
【例1】如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.
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重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①
4.2.3 直线与圆的方程的应用
-1-
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重难聚焦
典例透析
1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.
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重难聚焦
典例透析
解决与圆相关的实际问题的步骤剖析:解决此类问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实现应用问题向数学问题的转化.
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重难聚焦
典例透析
(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计算做准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果. (4)翻译成具体问题.
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