初中动态几何问题类型与规律分析

合集下载

中考数学“动态几何探究”题型解析

中考数学“动态几何探究”题型解析以三角形、四边形为背景的动态几何问题均以动态几何的形式来考查三角形、四边形的性质，判定，全等三角形、相似三角形的性质及判定，本节将对此类问题归类如下：一、在平面直角坐标系中探究【例题1】已知直线l 经过A（6,0）和B（0,12）两点，且与直线y = x 交于点C. （1）求直线l 的表达式；（2）若点P（x，0）在线段OA 上运动，过点P 作l 的平行线交直线y = x 于点D，①求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式；②S 有最大值吗？若有，求出当S 最大时x 的值 .【解析】（1）设直线l 的表达式为y = kx + b , 用待定系数法求出k , b 的值即可；（2）①点C 是直线l 与y = x 的交点，从而可求得点C 的坐标 .根据三角形的面积公式及结合平行的性质，可求得S 与x 的函数关系式；②根据二次函数的性质，即可得到S 的最大值 .解：（1）设直线l 的表达式为y = kx + b ,由A（6,0）和B（0,12），得∴直线l 的表达式为y = -2x + 12 .（2）①∴点C 的坐标为（4,4），∴S△COP = 1/2 x ▪4 = 2x .∵PD∥直线l ,∴CD/OC = AP/OA .∵CD/OC = ( 1/2 h ×CD ) / ( 1/2 h ×OC ) = S / S△COP，∴S / S△COP = AP / OA , 即S / 2x = （6 - x）/ 6 ,∴△PCD 的面积S 与x 的函数关系式为S = -1/3 x^2 + 2x .②∵S = -1/3 （x - 3）^2 + 3 ,∴当S 最大时，x = 3 .【例题2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A , C 均在坐标轴上，且OA = 4 ,OC = 3 , 动点M 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；动点N 从点C 出发沿CB 向终点B 以同样的速度移动，当两个动点运动了x 秒（0 < x < 4）时，过点N 作NP⊥BC 交OB 于点P，连接MP .（1）直接写出点B 的坐标，并求出点P 的坐标（用含x 的式子表示）；（2）当x 为何值时，△OMP 的面积最大？并求出最大值 .解：（1）在矩形OABC 中，OA = 4 , OC = 3 ,∴B 点的坐标为（4,3）.如图，延长NP 交OA 于点G，则PG∥AB，OG = CN = x . ∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA .∴PG / BA = OG / OA , 即PG / 3 = x / 4 ,解得PG = 3/4 x .∴点P 的坐标为（x , 3/4 x）.（2）设△OMP 的面积为S .在△OMP 中，OM = 4 - x , OM 边上的高为3/4 x，∴S 与x 之间的函数表达式为配方，得∴当x = 2 时，S 有最大值，最大值为3/2 .二、在几何图形中探究【例题3】如图，在矩形ABCD 中，AB = 3 米，BC = 4 米，动点P 以2 米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1 米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P , Q 两点同时移动的时间为t 秒（0 < t < 2.5）.（1）当t 为何值时，PQ∥AB；（2）设四边形ABQP 的面积为y , 当t 为何值时，y 的值最小？并求出这个最小值 .【解析】（1）首先由勾股定理求得AC = 5 米，然后根据AB∥PQ 可得到PC / AC = QC / BC , 从而得到关于t 的方程，从而可解得t 的值；（2）过点P 作PE⊥BC，由PE∥AB 可得到PC / AC = PE / AB ,从而可求得PE = 3 - 6/5 t , 然后根据y = S△ABC - S△PQC 列出t 与y 的函数关系式，最后利用配方法求得最小值即可 .解：（1）在Rt△ABC 中，由题意，得PC = AC - AP = 5 - 2t , QC = t .如图①，∵AB∥PQ , ∴△CPQ∽△CAB .∴PC / AC = QC / BC , 即（5 - 2t）/ 5 = t / 4 , 解得t = 20/13 .（2）如图②，过点P 作PE⊥BC 于点E .由（1）知，PC = 5 - 2t , QC = t ,∵PE∥AB，∴△CPE∽△CAB .∴PC / AC = PE / AB , 即（5 - 2t）/ 5 = PE / 3 . ∴PE = 3 - 6/5 t .∴当t = 5/4 时，y 的值最小，最小值为81/16 .【例题4】如图，在△ABC 中，∠C = 60°，BC = 4，AC = 2√3，点P 在BC 边上运动，PD∥AB，交AC 于D . 设BP 的长为x , △APD 的面积为y .（1）求AD 的长（用含x 的代数式表示）；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并回答当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）是否存在这样的点P，使得△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 ？若存在，请求出BP 的长；若不存在，请说明理由 .解：（1）∵PD∥AB，∴AD / AC = BP / BC .∵BC = 4 , AC = 2√3 , BP = x ,∴AD / 2√3 = x / 4 ,∴AD = √3/2 x .（2）过点P 作PE⊥AC 于E .∵sin∠ACB = PE / PC , ∠C = 60°，∴PE = PC ×sin60°= √3/2（4 - x ）.∴y 与x 之间的函数关系式为∴当x = 2 时，y 的值最大，最大值是3/2 . （3）存在这样的点P .∵△ADP 与△ABP 等高不等底，∴S△ADP / S△ABP = DP / AB .∵△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 , ∴S△ADP / S△ABP = 2/3 ，∴DP / AB = 2/3 .∵PD∥AB，∴△CDP∽△CAB .∴DP / AB = CP / CB ,∴CP / CB = 2/3 .∴（4 - x）/ 4 = 2/3 ,∴x = 4/3 ,∴BP = 4/3 .。

动态几何问题分类解析PPT

动态几何问题分类解析
• 动态几何问题概述 • 动态几何问题的分类 • 动态几何问题的解析方法 • 动态几何问题的应用实例 • 动态几何问题的挑战与展望
01
动态几何问题概述
定义与特点
定义
动态几何问题是指涉及图形在运动过程中产生的变化和规律的问题。
特点
动态几何问题具有综合性、探索性和应用性，需要学生掌握基本的几何知识和逻辑推理能力，同时还需要具备一定的数学建模和问题解决能力。
02
动态几何问题的分类
点动问题
点在几何图形中运动，引起图形变化的问题。
点动问题是动态几何问题中最基础的一种，主要研究点在运动过程中，与其相关的图形性质和数量关系的变化。例如，点在圆上运动时，研究其与圆心、半径等的关系。
线动问题
线在几何图形中运动，引起图形变化的问题。
线动问题涉及线的移动对图形形状、大小和位置的影响。这类问题通常涉及到线与线、线与点、线与面等之间的关系变化。例如，研究直线在平面内平移时，与平面内其他线的关系。
动态变化的不确定性
在动态几何问题中，形状、大小和位置可能会随时间发生变化，这种不确定性增加了解决问题的难度。
计算效率问题
由于动态几何问题的复杂性，使用传统的几何或数值方法可能无法快速得到精确解，因此需要高效的算法和计算技术。
研究进展与趋势
算法改进
研究者们不断改进算法，以更有效地解决动态几何问题。例如，采用更高级的数值计算方法、引入人工智能和机器学习技术等。
利用几何图形的性质和定理，通过图形变换和构造来解决问题。
VS
详细描述
几何法是解决动态几何问题的另一种常用方法。它利用几何图形的性质和定理，通过图形的平移、旋转、对称等变换以及构造辅助线等方式来解决问题。这种方法适用于解决一些涉及图形位置和形状变化的动态问题。

中考数学压轴题专题十动态几何问题

中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

中考数学专题复习——动态变化问题(经典题型)

中考数学专题复习——动态变化问题（经典题型）【专题点拨】动态型问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。

动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力。

解答动态型试题的策略是：（1）动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；（2）动静互化，抓住静的瞬间。

找到导致图形或者变化规律发生改变的特殊时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律。

【典例赏析】【例题1】（2017黑龙江佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG 交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG ：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG ：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG ：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【例题2】（2017黑龙江佳木斯）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题；（2）①如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，由△BEO≌△ODA即可解决问题；②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°，所以∠ADO+∠BOH=90°，所以OH⊥AD（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．【例题3】（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD 在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B 两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC 交于点F，设AE的长为t（t≥0）．（1）四边形ABCD的面积为20 ；（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；（3）当t=2时，直线EF上有一动点，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据函数解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到结论；（2）①当0≤t≤3时，根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形，于是得到S=AE•OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，求得直线CD的解析式为：y=2x﹣4，直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解方程组得到G（，t﹣7），于是得到S=S四边形ABCD ﹣S△DE′G=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣t2+7t﹣，③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF 的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），求得PM=|（﹣2m ﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，根据全等三角形的判定性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）在y=﹣2x﹣10中，当y=0时，x=﹣5，∴A（﹣5，0），∴OA=5，∴AC=7，把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4∴OC=4，∴四边形ABCD的面积=（3+7）×4=20；故答案为：20；（2）①当0≤t≤3时，∵BC∥AD，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴S=AE•OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，∵C（0，﹣4），D（2，0），∴直线CD的解析式为：y=2x﹣4，∵E′F′∥AB，BF′∥AE′∴BF′=AE=t，∴F′（t﹣3，﹣4），直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解得，∴G（，t﹣7），∴S=S四边形ABCD ﹣S△DE′G=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣t2+7t﹣，③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，综上所述：S关于t的函数解析式为：S=；（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），∵PM⊥直线BC于M，交x轴于n，∴M（m，﹣4），N（m，0），∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴=2，作FK⊥x轴于K，则KF=4，由△TKF∽△PNT得， =2，∴NT=2KF=8，∵PN2+NT2=PT2，∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，此时，P（﹣6，6）；②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴=2，作PH⊥y轴于H，则PH=|m|，由△TFC∽△PTH得，，∴HT=2CF=2，∵HT2+PH2=PT2，即22+m2=4（m+1）2，解得：m=﹣，m=0（不合题意，舍去），∴m=﹣时，﹣2m﹣6=﹣，∴P（﹣，﹣），综上所述：直线EF上存在点P（﹣6，6）或P（﹣，﹣）使点T恰好落在y轴上．【能力检测】1.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AF G=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG 结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．2.（2017乌鲁木齐）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C．D．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x 轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．【解答】解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=DP+DC+CQ+AB=PQ+AB=+=4+2=6，故选：B．3.（2017黑龙江鹤岗）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是 5 ．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．【解答】解：连接AC、AE，∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于直线BD对称，∴AE的长即为PC+PE的最小值，∵CD=4，CE=1，∴DE=3，在Rt△ADE中，∵AE===5，∴PC+PE的最小值为5．故答案为：5．4.（2017黑龙江鹤岗）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=OA，OD=OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴=，∴△AOC′∽△BOD′，∴==，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．5.如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC 的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N 点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为▱BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S﹣S四边形BNN′B′，可分别得到S与t的函数关系式．△OGN′【解答】解：（1）∵|x﹣15|+=0，∴x=15，y=13，∴OA=BC=15，AB=OC=13，∴B（15，13）；（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，∵tan∠CBD=，∴=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，∴∠ONM=∠CBD，∴=，∵DE∥ON，∴==，且OE=3，∴=，解得OM=6，∴ON=8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y=kx+b可得，解得，∴直线BN的解析式为y=x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形BN N′B′为平行四边形，且NN′=t，∴S=NN′•OA=15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，∵NN′=t，∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，令y=0，可得x=3t﹣24，∴OG=24，∵ON=8，NN′=t，∴ON′=t﹣8，∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96；综上可知S与t的函数关系式为S=．。

数轴上的九类动态模型(学生版)--七年级数学几何模型全归纳

数轴上的九类动态模型数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。

解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。

即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解(要检验解是否符合动点的运动时间范围)。

模型1.动态规律(左右跳跃)模型模型2.单(多)动点匀速模型模型3.单(多)动点变速模型模型4.动点往返运动模型模型5.动态中点与n等分点模型模型6.动态定值(无参型)模型模型7.动态定值(含参型)模型模型8.数轴折叠(翻折)模型模型9.数轴上的线段移动模型【知识储备】①若A、B两点在数轴上对应的数字是a、b，则AB两点间的距离AB=a-b；AB的中点对应的数字是：a+b2。

②数轴动点问题主要步骤：1)画图--在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；2)写点--写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；3)表示距离--右-左，若无法判定两点的左右需加绝对值；4)列式求解--根据条件列方程或代数式，求值。

注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。

③分类讨论的思想：(1)数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。

(2)对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。

模型1.动态规律(左右跳跃)模型模型(1)：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可；模型(2)：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。

例1.(23-24七年级上·广西南宁·阶段练习)在数轴上，点O表示原点，现将点A从O点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动2个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动3个单位长度到达点A3，第四次将点A3向右移动4个单位长度到达点A4，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，当n=100时，点A100与原点的距离是个单位．例2.(2023·山东·七年级期中)一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，x n表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3=3；②x5=1；③x108<x104；④x2019>x2020．其中，正确结论的序号是．变式1.(23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习)已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+ 6|+(b+3)2=0，又b，c互为相反数．(1)求a，b，c的值．(2)若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度⋯依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数．变式2.(23-24七年级上·福建泉州·期中)如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，⋯以此类推，移动5次后该点对应的数为．这样移动2023次后该点到原点的距离为．模型2.单(多)动点匀速模型模型(1):动点P从点A(点A在数轴上对应的数是a)出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B 点，B点对应的数是：a+vt。

中考几何-动态试题解法(解析版)

中考几何动态试题解法专题知识点概述一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。

3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。

4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，属于初中数学难点，综合性强，只有完全掌握才能拿高分。

二、动点与函数图象问题常见的四种类型1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

四、动点问题常见的四种类型解题思路1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。

初中数学总复习动态几何问题

在△ABC 中，AB=AC，CG⊥BA 交 BA 的延长线于点 G．一等腰直角三角尺按如
图 15-1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一
条直角边与 AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经
F
G
过点 B．
A
（1）在图 15-1 中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的
长度，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系， B 然后证明你的猜想；
(3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？
B
C
EP
C
M
N
N
B
A
DA
Q
D
4、图形滚动
例10（2006临沂）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为度。
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论．
解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。类比发现法大致可遵循如下步骤：
（1）当t=4时，求S的值．
（2）当 4 t ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
2、图形旋转型
例8（2007资阳）如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点( 不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP； (2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

中考数学动态几何问题

中考数学动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，代数方面的动态问题我们将在第七，第八讲来解决。

由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。

第一部分真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例2】（2010，崇文，一模）在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例3】（2010，怀柔，一模）已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例4】2010，门头沟，一模已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）图3图2图1FEABCDABCDEFGGFED CBA【例5】（2010，朝阳，一模）已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．（1）当CE BE=1 时，CF=______cm ，（2）当CE BE=2 时，求sin ∠DAB ′ 的值；（3）当CEBE= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．A DCB PM Q 60A B第二部分发散思考【思考1】2009，石景山，一模已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+．（1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；（2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．第25题（1）第25题（2）【思考2】2009，西城，二模△A B C 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，B P =B A ，若0︒＜∠P B C ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．【思考3】2009，怀柔，二模如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=35．点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．（1）当BO=AD时，求BP的长；（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。

初中数学动态几何问题常用解题方法探究

详细描述
在解决动态几何问题时，将复杂图形分解为基本图形，例如三角形、正方形等，以便更好地分析图形特征和规律。
构造辅助线
总结词
通过添加辅助线，为解决问题提供新的视角和思路。
详细描述
根据题目的条件和要求，添加适当的辅助线，例如平行线、垂线等，以揭示隐藏在图形中的重要信息和解题思路。
构造方程
总结词
将几何问题转化为方程问题，利用数学方程来寻找等量关系。
详细描述
根据题目条件和要求，构造适当的方程，例如三角形面积公式、勾股定理等，以建立未知量和已知量之间的数学关系。
03 函数思想在动态几何问题中的应用
利用函数解析式描述动态变化
定义变量
根据题意，定义变量表示图形的位置或大小，如角度、长度等。
案例三：利用分类讨论思想解决动态几何问题
总结词
分类讨论思想是一种通过将问题分解为若干个子问题，分别解决每个子问题，从而找到问题的解决方案的方法。
详细描述
分类讨论思想在动态几何问题中的应用通常是通过将问题分解为不同的类型，分别讨论每个类型的情况，从而找到问题的解决方案。例如，在解决某些动态几何问题时，可以通过分类讨论不同情况下的解决方案，从而找到问题的最佳解决方案。
案例四：利用数学模型解决动态几何问题
总结词
数学模型是一种通过建立数学方程或不等式来描述实际问题的方法，常用于解决动态几何问题。
详细描述
数学模型在动态几何问题中的应用通常是通过建立数学方程或不等式来描述实际问题的各种变量之间的关系，从而解决问题。例如，在解决某些动态几何问题时，可以通过建立数学方程或不等式来描述图形中的变量之间的关系，从而找到问题的解决方案。
利用图像性质

中考总复习数学专题复习五动态几何问题

◎针对练 1 (2020·凉山州)如图，点 P，Q 分别是等边△ABC
边 AB，BC 上的动点(端点除外)，点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发．
(1)如图①，连接 AQ，CP.求证：△ABQ≌△CAP； (2)如图①，当点 P，Q 分别在 AB，BC 边上运动时， AQ，CP 相交于点 M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
类型2：线运动型 ►例2已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在△ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动(运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止)，过点 M，N 分别作 AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于 P，Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒．
AB＝CA， ∠ABQ＝∠CAP， BQ＝AP，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)．
(2)点 P，Q 在 AB，BC 边上运动的过程中，∠QMC 不变．理由： ∵△ABQ≌△CAP ， ∴ ∠ BAQ ＝ ∠ACP.∵∠QMC 是△ACM 的外角，∴∠QMC＝∠ACP ＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC.∵∠BAC＝60°， ∴∠QMC＝60°.
动态几何问题，就其运动对象而言有点动、线动、面动；就其运动形式而言有平移、旋转、翻折、滚动等．解决动态几何问题时，我们需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系．
类型1：点运动型 ►例1如图①，已知△ABC 中，AB＝10 cm，AC＝8 cm， BC＝6 cm，如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 2 cm/s，连接 PQ，设运动的时间为 t(单位： s)(0≤t≤4)．解答下列问题： (1)当 t 为何值时，PQ∥BC；

中考数学经典总复习专题动线、动形问题完美全文

的取值范围；
学（2）点P 、 Q在运动的过程中，△PCQ面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。
动点与函数相结合
抛与物y轴线交y于= 点 x122C+，m抛x+n物与线x轴的交对于称A轴、交Bx两轴点于，
合点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．作（1）求抛物线的表达式；
学存在，请说明理由；
y
解析：
C
AO
DB
x
动点与函数相结合
抛与物y轴线交y于= 点 x122C+，m抛x+n物与线x轴的交对于称A轴、交Bx两轴点于，
合点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
作互
（ 3）点E 是线段 BC上的一个动点，过点E 作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积
8
1 2
3
x2+ 2
；
x+2；
∴抛物线的对称轴是x= ∴OD= ．3
32．
∵C（0，2 2），
∴OC=2．
5
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= ．2
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴∴DP1P（1=4．，32 4），P2（
中考数学---动线、动形问题
• 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是中考中必考的内容。
• 本节课重点来探究动态几何中的动线、动形问题。
• 一、关于动线、动形问题的解题方法：
• 1.“以静制动”，把动态问题转化成静态问题；
• 2.图形的运动主要有翻折、平移、旋转，在运动过程中，分清哪些量不变，哪些量发生了变化，以不变的量作为解题基础，以变化中的规律和特点作为解题的关键。

动态几何问题

动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来．动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． 3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”．【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在定直线上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到A ″B ″C ″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A 运动到点A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是．思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．Rt ΔABC 的两次转动，顶点A 所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l 所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作AA ′⊥AB ，BB ′⊥AB ，且AA ′=AP ，BB ′=BP ，连结A ′B ′，当点P 从点A 移到点B 时，A ′B ′的中点的位置( )A ．在平分AB 的某直线上移动B ．在垂直AB 的某直线上移动C ．在AmB 上移动D ．保持固定不移动思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．【例3】如图，菱形OABC 的长⌒为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题：(1)当x=3时，y的值是多少?(2)就下列各种情形：①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系．思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)．(1)当t为何值时，线段EF与BC平行?(2)设1<t<2，当t为何值时，EF与半圆相切?(3)当1≤t<2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于t的方程；对于(3)，点P的位置是否AP是否为一定值．发生变化，只需看PC注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】 ⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点；如图(1)，连结O 2 O 1并延长交⊙O 1于P 点，连结PA 、PB 并分别延长交⊙O 2于C 、D 两点，连结C O 2并延长交⊙O 2于E 点．已知⊙O 2的半径为R ，设∠CAD=α．(1)求：CD 的长(用含R 、α的式子表示)；(2)试判断CD 与PO 1的位置关系，并说明理由； (3)设点P ′为⊙O 1上(⊙O 2外)的动点，连结P ′A 、P ′B 并分别延长交⊙O 2于C ′、D ′，请你探究∠C ′AD ′是否等于α? C ′D ′与P ′O l 的位置关系如何?并说明理由．思路点拨对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P 点虽为OO l 上的一个动点，但⊙O 1、⊙O 2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．学历训练1．如图， ΔABC 中，∠C=90°，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 延长线上的D 处，则AC 边扫过的图形的面积是 cm (π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．2．如图，在Rt Δ ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3 cm ，将ΔABC 绕点B 旋转至ΔA'BC'的位置，且使A 、B 、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm ．⌒3．一块等边三角形的木板，边长为l ，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( ) A ．23π B ．34π C ．4 D ．232π+4．把ΔABC 沿AB 边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12- B ．22 C ．1 D ．215．如图，正三角形ABC 的边长为63厘米，⊙O 的半径为r 厘米，当圆心O 从点A 出发，沿着线路AB —BC —CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动． (1)若r=3厘米，求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r 的取值范围及相应的切点个数；(3)设O 在整个移动过程中，在ΔABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为S ，在S>0时，求关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围．6．已知：如图，⊙O 韵直径为10，弦AC=8，点B 在圆周上运动(与A 、C 两点不重合)，连结BC 、BA ，过点C 作CD ⊥AB 于D ．设CB 的长为x ，CD 的长为y ．(1)求y 关于x 的函数关系式；当以BC 为直径的圆与AC 相切时，求y 的值；(2)在点B 运动的过程中，以CD 为直径的圆与⊙O 有几种位置关系，并求出不同位置时y 的取值范围；(3)在点B 运动的过程中，如果过B 作BE ⊥AC 于E ，那么以BE 为直径的圆与⊙O 能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE 的长．7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=x，ON= (y>x≥0)，ΔAOM的面积为S，若cosα、OA是方程0-z+z的两个根．2522=(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ON·MN；(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S 与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知：如图①，E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF ＝nAE(n 是正整数)的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动．设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S ．(1)当n=l 、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)，探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使ABCDS S矩形21 ；(3)当n=k (k ≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E 从O 点出发，以1个单位／秒的速度沿x 轴正方向运动，点F 从O 点出发，以2个单位／秒的速度沿y 轴正方向运动，B(4，2)，以BE 为直径作⊙O 1． (1)若点E 、F 同时出发，设线段EF 与线段OB 交于点G ，试判断点G 与⊙O 1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB ，几秒时FB 与⊙O 1相切?(3)如图2，若E 点提前2秒出发，点F 再出发，当点F 出发后，E 点在A 点左侧时，设BA ⊥x 轴于A 点，连结AF 交⊙O 1于点P ，试问PA ·FA 的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．参考答案。

附7 探究动态几何问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!

探究动态几何问题【命题趋势】数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。

动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。

随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【满分技巧】1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。

有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。

根据其运动的特点，又可分为(1)动点类(点在线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点；(2)动直线类；(3)动图形问题。

2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的‘变量”和“定量”动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。

解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。

解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注--些不变量和不变关系或特殊关系。

3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等腰(边)三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。

全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等。

【限时检测】A 卷（建议用时：90分钟）1．（2020·江苏南通市·中考真题）如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B ﹣E ﹣D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm /s ．现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是（）A ．96cm 2B ．84cm 2C ．72cm 2D ．56cm 2【答案】C 【分析】过点E 作EH ⊥BC ，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P 与点D 重合，则AD=12，可得出答案．【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P 运动到点E 时，x ＝10，y ＝30，过点E 作EH ⊥BC ，由三角形面积公式得：y ＝11103022BQ EH EH ∙=⨯⨯=，解得EH ＝AB ＝6，∴BH=AE=8,由图2可知当x ＝14时，点P 与点D 重合，∴ED=4,∴BC=AD ＝12，∴矩形的面积为12×6＝72．故选：C ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．2．（2020·四川雅安市·中考真题）已知，等边三角形ABC 和正方形DEFG 的边长相等，按如图所示的位置摆放（C 点与E 点重合），点B C F 、、共线，ABC 沿BF 方向匀速运动，直到B 点与F 点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C 在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．【详解】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，当点C在EF的中点左侧时，设AC交DE于点H，则CE=t，HE=ECtan∠，则S=S△CEH=12×CE×HE=12t=232t，可知图象为开口向上的二次函数，当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE交于点M，=-，则EC=t，BE=a-t，t)∴S=()2222333334224a a t t at a --=-+-，可知图象为开口向下的二次函数；当点C 在F 点右侧且B 在EF 中点的左侧时，S=()2222333334224a t a t at a --=-+-，可知图象为开口向下的二次函数；当点C 在F 点右侧且B 在EF 中点的右侧时，此时BF=2a-t ，MF=3BF 3(2a t)=-，∴22233S (2a t)t 23at 23a 22=-=-+，可知图象为开口向上的二次函数；故选：A【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．3．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（）A ．4B ．245C ．6D ．485【答案】B【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出S ABC 的面积，然后利用面积法，S ABP +S CBP =S ABC ，即可求出PE PF +的值．【详解】解：连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴S ABC =24÷2=12，又S ABC =S ABP +S CBP ∴S ABP +S CBP =12，∴111222AB PF BC PE ∙+∙=，∵AB=BC ，∴()1122AB PE PF ∙+=∵AB=5，∴PE+PF=12×25=245．故选：B ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE 的值．4．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '、D 点的对称点为D ¢，若90FPG Ð=°，A EP ¢△为8，D PH ¢△的面积为2，则矩形ABCD 的长为（）A ．10B ．C ．10+D ．+【答案】D 【分析】设AB=CD=x ，由翻折可知：PA′=AB=x ，PD′=CD=x ，因为△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，推出D′H ＝12x ，由S △D′PH =12D′P·D′H=12A′P·D′H ，可解得，分别求出PE 和PH ，从而得出AD 的长.【详解】解：∵四边形ABC 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，设AB=CD=x ，由翻折可知：PA′=AB=x ，PD′=CD=x ，∵△A′EP 的面积为8，△D′PH 的面积为2，又∵90FPG Ð=°，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP ，∴△A′EP ∽△D′PH ，∴A′P 2：D′H 2=8：2，∴A′P ：D′H=2：1，∵A′P=x ，∴D′H=12x ，∵S △D′PH =12D′P·D′H=12A′P·D′H ，即11222x x ⋅⋅=，∴（负根舍弃），∴，，，，∴=PH==，∴AD=+=+ D.【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．（2020·湖南邵阳市·中考真题）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处，（2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是（）A ．135°B ．120°C ．112.5°D ．115°【答案】C 【分析】由折叠前后对应角相等且190∠= PMA 可先求出145∠=∠=DMP DMA ，进一步求出45ADM ∠= ，再由折叠可求出122.5∠=∠=∠= MDP ADP PDM ，最后在1∆DPM 中由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵折叠，且190∠= PMA ，∴145∠=∠=DMP DMA ，即45ADM ∠= ，∵折叠，∴1122.52∠=∠=∠=∠= MDP ADP PDM ADM ，∴在1∆DPM 中，1=1804522.5112.5∠--= DPM ，故选：C ．【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．6．（2020·重庆中考真题）如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F .若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为()A ．55B ．255C ．5D ．3【答案】B【分析】首先求出 ABD 的面积．根据三角形的面积公式求出DF ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12•BD •h ＝12•BF •DF ，求出BD 即可解决问题．【详解】解：∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折可知， ADB ≌ ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12•（AF +DF ）•BF ＝4，∴12•（3+DF ）•2＝4，∴DF ＝1，∴DB F 到BD 的距离为h ，则12•BD •h ＝12•BF •DF ，∴h ＝255，故选：B ．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．7．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（）．A ．3213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13+C 1-D ．1+【答案】D【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得AB '的长，进而可得B C '的长，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，如图，则四边形B EMF '是矩形，解Rt △B EC '可得B E '的长，即为FM 的长，根据三角形的内角和易得30B DN C '∠=∠=︒，然后解Rt △B DF '可求出DF 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：在Rt ABC △中，∵2AB =，30C ∠=︒，∴AC =2AB =4，∵将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，∴2AB AB '==，∴2B C '=，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点B '作B E BC '⊥于点E ，B F DM '⊥于点F ，交AC 于点N ，如图，则四边形B EMF '是矩形，∴FM B E '=，在Rt △B EC '中，1sin 30212B E BC ''=⋅︒=⨯=，∴FM =1，∵90,DB N CMN B ND MNC ''∠=∠=︒∠=∠，∴30B DN C '∠=∠=︒，在Rt △B DF '中，cos3022DF B D '=⋅︒=⨯=，∴1DM FM DF =+=即点D 到BC 1+．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．8．（2020·浙江九年级一模）如图，已知矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，点E 为AB 边上的中点，点F 在BC 边上，且BF ＝1，动点P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P 第一次回到点E 时，动点P 所经过的路程长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用反射角等于入射角画出动点的运动轨迹，再证四边形OP 5EF 和OP 2P 3P 4为菱形，然后利用等角对等边证出两个菱形的边都相等，再用勾股定理计算即可.【详解】如下图蓝色线为动点的运动轨迹，可发现动点P 第一次回到点E 时共弹出六次.∵入射角等于反射角，AD ∥BC ，AB ∥DC ∴∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8=∠9=∠10，∠11=∠FEB 又∵∠4＋∠5=90°，∠6＋∠7=90°，∠10＋∠11=90°∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠7=∠8=∠9=∠10，∠5=∠6=∠11=∠FEB由∠1=∠8，∠3=∠10∴EF ∥P 5P 4，P 5E ∥P 2PF 所以四边形O P 5EF 为平行四边形，在△P 5AE 和△FBE 中A=B=90AE=BE 11FEB ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△P 5AE ≌△FBE （ASA ）所以AE=EF ∴四边形OP 5EF 为菱形同理可证四边形OP 2P 3P 4为菱形又∵∠2=∠8∴OP 4=OF ∴两个菱形的边都相等，在Rt △EFB 中22EB +BF =10故动点P 所经过的路程长为10故选A【点睛】此题考查的是入射角等于反射角，矩形的性质，菱形的判定及勾股定理.9．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）如图，Rt ABO ∆中，90BAO ∠=︒，6OA =，10OB =，以点O 为圆心3为半径的优弧 MN分布交OA ，OB 于点M ，N 点P 优弧 MN 上的动点，点C 为BP 的中点，则AC 长的取值范围是（）A ．71322AC ≤≤B ．3922AC ≤≤C ．732305210AC ≤≤D ．733145210AC ≤≤【答案】D【分析】首先根据勾股定理求得AB=8，然后根据NOE BOA ∆∆ 的性质求得NE 和OE 的长，当点P 在M处时，AC 有最小值，此时12AC BP =，在Rt PAB ∆中应用勾股定理即可求解；当P 在点N 处时，AC 有最大值，根据CFO BAO ∆∆ 的性质求出CF 、FO 、AF ，然后在Rt ACF ∆中应用勾股定理即可求解．【详解】∵OA=6，OB=10，ON=OM=3∴AM=OA-OM=3∴在Rt ABO ∆中，8AB ==过N 点作NE OA ⊥于点E∴90NEO BAO ∠=∠=︒又∵NOE BOA ∠=∠∴NOE BOA∆∆ ∴NO NE OE BO BA OA ==∴31086NE OE ==∴125NE =，95OE =当点P 在点M 、N 处时，AC 分别有最小值和最大值；当点P 在M 处时，AC 有最小值∵C 是BP 的中点，90BAP ∠=︒∴12AC BP =∴在Rt PAB ∆中，BP ==∴2AC =当P 在点N 处时，AC 有最大值∴90CFO BAO ∠=∠=︒∵COF BOA ∠=∠∴CFO BAO ∆∆ ∴CO CF FO BO BA OA ==∴1722CP BP ==，132OC =∴265CF =，3910FO =∴2110AF =在Rt ACF ∆中，314510AC ==综上所述，733145210AC ≤≤故选D ．【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，题目较为综合，难度较大，根据题意讨论两种情况是本题的关键．10．（2020·洛阳市第二外国语学校九年级二模）如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（）A ．2B ．4C ．D ．【答案】C【分析】点P 、Q 的速度比为3x ＝2，y ＝，确定P 、Q 运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB ＝a ，∠C ＝30°，则AC ＝2a ，BC ，设P 、Q 同时到达的时间为T ，则点P 的速度为3a T ，点Q 的速度为3a T，故点P 、Q 的速度比为3，故设点P 、Q 的速度分别为：3v v ，由图2知，当x ＝2时，y ＝，此时点P 到达点A 的位置，即AB ＝2×3v ＝6v ，BQ ＝v ＝2v ，y ＝12⨯AB ×BQ ＝12⨯6v ×2v ＝，解得：v ＝1，故点P 、Q 的速度分别为：3，AB ＝6v ＝6＝a ，则AC ＝12，BC ＝，如图当点P 在AC 的中点时，PC ＝6，此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ ＝CQ ＝BC ﹣BQ ＝﹣＝2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝，PQ ＝，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．11．（2020·江苏无锡市·九年级其他模拟）如图，动点M 从（0，3）出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点N 从(4,0)出发，沿x 轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点M 移动到O 点时，点M 、N 同时停止移动．点P 在第一象限内，在M 、N 移动过程中，始终有PM PN ⊥，且PM PN =．则在整个移动过程中，点P 移动的路径长为（）ABCD．【答案】A【分析】由题意过P 点作PD ON ⊥交于D 点，作PE OM ⊥交于E 点，并利用全等三角形判定()PEM PDN AAS ≅ ,得出PE PD =，从而分当0t =时，有M （0，3），N (4,0)，设P 点坐标为(,)m m 以及当3t =时，有M 、O （0，0），N 、H (10,0)，设P 点坐标为(,)n n ，求出P 点坐标，继而由点P 移动的路径为一条线段利用两点间距离公式求得点P 移动的路径长.【详解】解：由题意过P 点作PD ON ⊥交于D 点，作PE OM ⊥交于E点，如图，∵PM PN ⊥，∴NPD DPM DPM EPM ∠+∠=∠+∠,∴NPD EPM ∠=∠,∵90NPD EPM PEM PDN PM PN ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴()PEM PDN AAS ≅ ,即有PE PD =,由题意可知03t ≤≤，当0t =时，有M （0，3），N (4,0)，设P 点坐标为(,)m m ，由PE PD =，即有()()()()22220340m m m m -+-=-+-，解得72m =，即此时P 点坐标为77(,22；当3t =时，有M 、O （0，0），N 、H (10,0)，设P 点坐标为(,)n n ，由PM PN =即图上PO PH =，即有()()()()222200100n n n n -+-=-+-，解得5n =，即此时P 点坐标为(5,5)；由图可知点P 移动的路径为一条线段，则点P =.故选：A.【点睛】本题考查平面直角坐标系点的运动问题，熟练掌握全等三角形的性质和判定以及两点间距离公式是解题的关键.12．（2020·安徽）边长为4、中心为O 的正方形ABCD 如图所示，动点P 从点A 出发，沿A B C D A →→→→以每秒1个单位长度的速度运动到点A 时停止，动点Q 从点A 出发，沿A D C B A →→→→以每秒2个单位长度的速度运动一周停止，若点P Q ，同时开始运动，点P 的运动时间为t s ，当016t <<时，满足OP OQ =的点P 的位置有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 【分析】依次取AB BC CD DA ，，，的中点E F G H ，，，，连接OE OF OG OH ，，，．由题意可知，当点P 与点Q 到各自所在边的中点的距离相等时，OP OQ =，则有六种情况，分类列式计算求出t 的值，即可解答本题．【详解】解：依次取AB BC CD DA ，，，的中点E F G H ，，，，连接OE OF OG OH ，，，．根据题意，得点P 运动的路程为t ，当01t <≤时，点Q 运动的路程为2t ．分析题意可知，当点P 与点Q 到各自所在边的中点的距离相等时，OP OQ =．当01t <≤时，显然OP OQ ≠；②当12t <≤时，如图（1），点P 在AE 上，点Q 在BD 上，2QH 22PE t t =-=-，，由222t t -=-，得43t =；③当24t <≤时，如图（2），点P 在EB 上，点Q 在DC 上，2QG 26PE t t =-=-，，由226t t -=-，得4t =或83t =；④当46t <≤时，如图（3），点P 在BF 上，点Q 在BC 上，6210PF t QF t =-=-，，由6210t t -=-，得4t =（舍去）或163t =；⑤当68t <≤时，如图（4），点P 在FC 上，点Q 在AB 上，6214PF t QE t =-=-，，由6214t t -=-，得8t =或203t =；⑥当8t ≥时，点Q 停在点A 处，因此当816t <<时，OQ OA OD ==，只有12t =时满足0OP Q =．综上，满足条件的点P 的位置有7个，故选：B ．【点睛】本题结合动点考查考生空间想象的能力与分析问题、解决问题的综合能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．分析题意时，需注意时间t 的取值范围不含0和16，第8s 后点Q 停止运动，且与点A 重合．13．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．【答案】233【分析】如图，作过A 、B 、F 作⊙O, AFB 为点F 的轨迹，然后计算出, AFB 的长度即可．【详解】解：如图：作过A 、B 、F 作⊙O,过O 作OG ⊥AB ∵等边ABC ∆∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°∵BD CE =∴△BCE ≌△ABC ∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB 是弦AB 同侧的圆周角∴∠AOB=120°∵OG ⊥AB,OA=OB ∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°,BG=12AB=32∴∠OBG=30°设OB=x ，则OG=12x ∴222322x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得（舍）∴ AFB 的长度为12023233603⨯= ．故答案为：233．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F 的轨迹是解答本题的关键．14．（2020·广西中考真题）如图，在边长为ABCD 中，60C ∠=°，点,E F 分别是,AB AD 上的动点，且,AE DF DE =与BF 交于点P .当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为_____．【答案】43π【分析】根据题意证得BFD DEA ≌V V ，推出∠BPE =60︒，∠BPD =120︒，得到C 、B 、P 、D 四点共圆，知点P 的运动路径长为BD 的长，利用弧长公式即可求解．【详解】连接BD ，∵菱形ABCD 中，60C ∠=°，∴∠C=∠A=60︒，AB=BC=CD=AD ，∴△ABD 和△CBD 都为等边三角形，∴BD=AD ，∠BDF=∠DAE=60︒，∵DF=AE ，∴BFD DEA ≌V V ，∴∠DBF=∠ADE ，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF=∠BDP+∠ADE=∠BDF=60︒，∴∠BPD=180︒-∠BPE=120︒，∵∠C=60︒，∴∠C+∠BPD=180︒，∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是CBD的外接圆，∴当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为BD 的长，∴∠BOD=2∠BCD=120︒，作OG⊥BD于G，根据垂径定理得：BG=GD=12BD=3，∠BOG=12∠BOD=60︒，∵sin BOG BG OB∠=，即3sin60OB︒=，∴2OB=，从而P点的路径长为212041801803n Rπππ⨯︒⋅==︒︒．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．15．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由DAM△平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM2HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有_____（把所有正确结论的序号都填上）．【答案】①②③④【分析】①正确．证明∠ADM＝30°，即可得出结论．②正确．证明△DHM是等腰直角三角形即可．③正确．首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DM＞CD即可判断．④正确．证明∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判断．【详解】解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM ＝BE ，∴AB ＝EM ＝AD ，∵四边形ABCD 是正方形，EH ⊥AC ，∴EM ＝AD ，∠AHE ＝90°，∠MEH ＝∠DAH ＝45°＝∠EAH ，∴EH ＝AH ，∴△MEH ≌△DAH （SAS ），∴∠MHE ＝∠DHA ，MH ＝DH ，∴∠MHD ＝∠AHE ＝90°，△DHM 是等腰直角三角形，∴DM 2HM ，故②正确；当∠DHC ＝60°时，∠ADH ＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM ＝45°﹣15°＝30°，∴Rt △ADM 中，DM ＝2AM ，即DM ＝2BE ，故①正确；∵CD ∥EM ，EC ∥DM ，∴四边形CEMD 是平行四边形，∵DM ＞AD ，AD ＝CD ，∴DM ＞CD ，∴四边形CEMD 不可能是菱形，故③正确，∵点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且AM ＜AB ，∴∠AHM ＜∠BAC ＝45°，∴∠CHM ＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②③．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，半径为2cm 的O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(23)cm -的速度向左运动__________秒时，O 与正方形重叠部分的面积为223cm 3π⎛ ⎝．【答案】1或1163+．【分析】将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论．【详解】解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA ，OB ，AB 交OF 于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OAB -S △OAB由题意可知：OA=OB=AB=2，OF ⊥AB ∴△OAB 为等边三角形∴∠AOB=60°，OE ⊥AB在Rt △AOE 中，∠AOE=30°，∴AE=112OA =，∴S 扇形OAB -S △OAB 260π212=2π36023´-创=-∴1+∴点F 向左运动31)2-=-秒②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC ，OD ，CD 交OF 于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OCD -S △OCD由题意可知：OC=OD=CD=2，OF ⊥CD ∴△OCD 为等边三角形∴∠COD=60°，OE ⊥CD在Rt △COE 中，∠COE=30°，∴CE=1OC 12=，∴S 扇形OCD -S △OCD 260π212=2π36023´-创=-∴1+∴点F 向左运动31)4++=++秒综上，当运动时间为1或11+秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为22π)3-故答案为：1或11+．【点睛】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．17．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=，P 为AD 上一个动点，连接BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ，当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平面内扫过的面积为_____．3π-【分析】由矩形的性质求出∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ ≌△DOC ，根据S 阴影部分=S 四边形ABQD﹣S 扇形ABQ =S 四边形ABOD +S △BOQ ﹣S 扇形ABQ 可求出答案．【详解】∵当点P 从点A 运动到点D 时，线段BQ 的长度不变，∴点Q 运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，∵矩形ABCD 中，AB=1，ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°，∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°，∴∠ABQ=120°，由轴对称性得：BQ=BA=CD ，在△BOQ 和△DOC 中，90BOQ DOC Q C BQ CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△DOC ，∴S 阴影部分=S 四边形ABQD ﹣S 扇形ABQ =S 四边形ABOD +S △BOQ ﹣S 扇形ABQ ，=S 四边形ABOD +S △COD ﹣S 扇形ABQ ，=S 矩形ABCD ﹣S △ABQ-212013603ππ⨯=3π．【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．18．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图①，在ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设,PC x PA PE y =+=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．．那么+a b的值为_______．【答案】7【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果.【详解】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，∴PA+PE=PD+PE，当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=∵点E是AB中点，∴BE+BD=3BE=，AB=BD=，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD为等边三角形，∴DE⊥AB，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，即点H的纵坐标为a=3，当点P为DE和BC交点时，∵AB∥CD，∴△PBE∽△PCD，∴PB BE PC CD=，∵菱形ABCD中，AD⊥BC，∴=6，∴6PCPC-=，解得：PC=4，即点H的横坐标为b=4，∴a+b=3+4=7，故答案为：7.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0,3），点A 在x 轴的正半轴上．直线1y x =-分别与边,AB OA 相交于,D M 两点，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点D 并与边BC 相交于点N ，连接MN ．点P 是直线DM 上的动点，当CP MN =时，点P 的坐标是________________．【答案】（1，0）或（3，2）【分析】根据正方形的性质以及一次函数表达式求出点D 和点M 坐标，从而求出反比例函数表达式，得到点N 的坐标，求出MN ，设点P 坐标为（m ，m-1），根据两点间距离表示出CP ，得到方程，求解即可．【详解】解：∵正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0，3），∴B （3，3），A （3，0），∵直线y=x-1分别与边AB ，OA 相交于D ，M 两点，∴可得：D （3，2），M （1，0），∵反比例函数(0)k y x x =>经过点D ，k=3×2=6，∴反比例函数的表达式为6y x=，令y=3，解得：x=2，∴点N 的坐标为（2，3），∴，∵点P 在直线DM 上，设点P 的坐标为（m ，m-1），∴=，解得：m=1或3，∴点P 的坐标为（1，0）或（3，2）．故答案为：（1，0）或（3，2）．【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式.20．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．【答案】2．【分析】过E 点作EH ⊥BC 于H ，证明△ABD 是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt △HED 中使用三角函数即可求出HE 的长．【详解】解：如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，∵BC =7，CD =3，∴BD =BC -CD =4，∵AB =4=BD ，∠B =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB =60°，∴∠ADC =∠ADE =120°，∴∠EDH =60°，∵EH ⊥BC ，∴∠EHD =90°．∵DE =DC =3，∴EH =DE ×sin ∠HDE=3×2=332，∴E 到直线BD 的距离为332．故答案为：332．【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．21．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，AE ＝2，则DF ＝_____，BE ＝_____．【答案】21【分析】先根据矩形的性质得到AD BC =，90ADC B DAE ∠=∠=∠=︒，再根据折叠的性质得到CF BC =，90CFE B ∠=∠=︒，EF BE =，然后根据全等三角形的性质得到2DF AE ==；最后根据相似三角形的性质即可得BE 的值．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AD BC =，90ADC B DAE ∠=∠=∠=︒∵把BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处∴CF BC =，90CFE B ∠=∠=︒，EF BE =∴CF AD =，90CFD ∠=︒∴90ADE CDF FCD CDF ∠+∠=∠+∠=︒∴ADE FCD∠=∠在ADE 和FCD 中，90ADE FCD AD FC DAE CFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴()ADE FCD ASA ≅ ∴2DF AE ==∵90AFE CFD ∠=∠=︒∴90AFE DAE ∠=∠=︒∵AEF DEA ∠=∠∴AEF DEA~ ∴AE EF DE AE =，即AE EF DF EF AE =+∴222EF EF =+解得1=-EF或10EF =<（不符题意，舍去）则1BE EF ==故答案为：21-．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．22．（2020·江西宜春市·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，906, 8,ACB AC cm BC cm ︒∠===，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t <<，连接MN ．若以MN 为直径的O 与Rt ABC ∆的边相切，则t 的值为_______．【答案】1或3241或12873【分析】分当⊙O 与BC 相切、⊙O 与AB 相切，⊙O 与AC 相切时，三种情况分类讨论即可得出结论．【详解】解：设运动时间为t 秒（0<t<2），则BM=5t ，CN=4t ，BN=8-4t ，在直角三角形ABC 中，由勾股定理，得AB=当MN 为直径的O 与Rt ABC ∆的边AB 相切时，∠BMN=90°=∠C ，又因为∠B=∠B ，所以△BMN ∽△BCA ，∴58t =8410t -，解得t=3241；当MN 为直径的O 与Rt ABC ∆的边BC 相切,∠BNM=90°=∠C ，又因为∠B=∠B ，所以△BMN ∽△BAC ，所以510t =848t -，解得t=1;当MN 为直径的O 与Rt ABC ∆的边AC 相切,如图,过点O 作OH ⊥AC 于点H ，交PM 于点Q ，OH=OQ+QH=12PM+PC=12（8t-8）+（8-4t ）=4，∴MN=2OH=8，∴73t 2-128t+64=64解得t 1=0，t 2=12873.故t 的值为1或3241或12873.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及圆的综合知识；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键，此类题目为中考的热点考题之一，应加强训练．23．（2020·江苏无锡市·九年级二模）如图，ABC 为O 的内接三角形，60BC A =∠=︒，点D 为弧BC 上一动点，CE 垂直直线OD 于点,E 当点D 由B 点沿弧BC 运动到点C 时，点E 经过的路径长为_______．【答案】43π【分析】如图，作OH ⊥BC 于H ，设OC 的中点为K ．当E 的运动轨迹是以OC 为直径的圆弧，圆心角为240°，根据弧长公式计算即可．【详解】如图，作OH ⊥BC 于H ，设OC 的中点为K ．。

中考动态几何问题剖析

●
●～一 ●
●
．
４
—
５
—
３
解
（） ‘ ２，．１．Ａ（０）０Ａ＝２．
一
・
一鬲
一
’
作ＢＧ上Ｏ于ＧＡ．
・
．
．
．
Ａ＝十） ÷ ５日５用＝＋），．
点０为Ｆ中点，
０Ｄ＝＿¨ Ｇ＝２ｔ．１Ｅ（ｍ）３
形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体
现了数学中“ ” “ 变 ”“ 般 ” “ 殊 ” 变与不、一与特的辩证思想．
尽管图形的某一元素运动变化，但问题的结论可能改变，也可能保持不变．类题寓动于静，解题时要化变量为常这量，示数学的创造过程．在考查学生能力．展重动态几何题是近几年中考中的热点题型．们必须要我用运动变化的观点来对待它．解它的发展趋势．握它了掌的变化规律．决此类问题时，需要我们树立联系发展的解
专题研究
。
一丫，● 一
气，
鼯移
中考动态凡何问题剖析
◎戴仙红（江省宁波市鄞州区集士港镇中学浙３５０）１１０
现实世界的诸多事物总按一定规律运动、化，学变数是关于现实世界空间形式和数量关系的学科．研究的许它多问题必然都是动态发展的，也就是所谓的动态几何问