勾股定理证明评鉴
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理的三种验证方法
学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 第 1 页 共 1 页勾股定理的三种验证方法1．赵爽“弦图”验证法三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为c 的正方形中有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为a ，b ．你能利用这个图形验证勾股定理吗？验证：大正方形可以看成边长为c 的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为(a －b )．S 大正方形=21ab ×4＋(a －b )2，同时也有S 大正方形=c 2，所以21ab ×4＋(a －b )2＝c 2 ． 整理得a 2＋b 2＝c 2．2．火柴盒推倒验证法一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图2，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到D C B A '''的位置，连接C C '，设AB = a ，BC = b ，AC = c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理：a 2 + b 2 = c 2.验证：因为四边形D C BC ''为直角梯形，所以S 梯形BCC ′D ′ =21(BC +2)()2b a D B D C +='⋅''. 因为Rt △ABC ≌ Rt △AB ′C ′，所以∠BAC =∠B ′AC ′.所以∠CAC ′ = ∠CAB ′ +∠B ′AC ′ =∠CAB ′ +∠BAC = 90°. 所以S 梯形BCC ′D ′ = S △ABC + S △CAC ′ + S △D ′AC ′ =21ab +21c 2 +21ab =222ab c +. 所以222)(22ab c b a +=+，所以a 2 + b 2 = c 2. 3．面积割补验证法如图3，可以用面积割补法来验证勾股定理．因为S 正方形CDEF ＝S 正方形MNOP ，而S 正方形CDEF ＝2142c ab +⨯，S 正方形MNOP ＝22142a b ab ++⨯，所以222=a b c +．b 图1a c 图2图3。
勾股定理证明评鉴-
勾股定理证明评鉴勾股定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000年！又据记载，现时世上一共有超过 300个对这定理的证明！我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。
故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的历史背境。
证明一图一在图一中，ABC为一直角三角形，其中∠A为直角。
我们在边AB、BC和AC之上分别画上三个正方形ABFG、BCED和ACKH。
过A点画一直线AL使其垂直于DE并交DE于L，交BC于M。
不难证明，FBC全等于∆ABD（S.A.S.）。
所以正方形ABFG的面积 = 2 ⨯∆FBC的面积 = 2 ⨯∆ABD的面积 = 长方形BMLD的面积。
类似地，正方形ACKH的面积 = 长方形MCEL的面积。
即正方形BCED的面积 = 正方形ABFG的面积+正方形ACKH的面积，亦即是AB2 + AC2 = BC2。
由此证实了勾股定理。
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。
不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以ML将正方形分成BMLD和MCEL的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在于它的出处。
这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生于公元前325年，卒于约公元前265年。
他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。
《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。
而书中的第一卷命题47，就记载着以上的一个对勾股定理的证明。
证明二图二图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。
勾股定理几何证明方法
勾股定理几何证明方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊那个超厉害的勾股定理的几何证明方法呀！你说勾股定理，那可真是数学里的大明星啊！它就像是一把神奇的钥匙，能打开好多几何难题的大门呢。
那怎么证明它呢？咱先来说说常见的一种方法，就是用正方形来证明。
想象一下，有一个大正方形，里面再放上四个直角三角形，这四个直角三角形的两条直角边分别是 a 和 b，斜边就是 c 啦。
然后你看，大正方形的面积可以分成几个部分来算呀，一方面是边长为 a+b 的正方形的面积，另一方面呢，又可以看成是四个直角三角形的面积加上小正方形的面积。
这么一对比，嘿，勾股定理不就出来啦！是不是很有意思？还有一种方法呢，是用拼图的方式。
就好像我们在玩拼图游戏一样，把不同的图形拼来拼去，突然就发现了勾股定理的奥秘。
把几个直角三角形和一些其他图形巧妙地组合在一起，就能得出那个神奇的等式。
这就像是变魔术一样，让人惊叹不已！再想想看，勾股定理就像是几何世界里的一条隐藏的线索，一旦我们找到了它，那些看似复杂的图形就变得清晰明了。
它让我们能更好地理解几何图形之间的关系，就好像是给我们配上了一副特殊的眼镜，能看到别人看不到的东西。
我们在生活中不也常常会遇到类似的情况吗？有时候看似一团乱麻的事情，只要我们找到了那个关键的“勾股定理”，就能迎刃而解啦！比如解一道难题，或者处理一个复杂的人际关系。
几何证明勾股定理的方法可不止这几种哦，还有好多好多呢！每一种方法都像是一颗璀璨的星星，照亮了我们探索数学奥秘的道路。
我们可以在这个神奇的几何世界里尽情遨游，不断发现新的惊喜。
所以啊，朋友们，可别小瞧了这勾股定理的几何证明方法呀！它们就像是一把把开启智慧大门的钥匙，让我们能更深入地了解数学的奇妙之处。
让我们一起加油，去探索更多的几何奥秘吧！这就是我对于勾股定理几何证明方法的一些看法，你们觉得呢？。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的多种证明方法比较
勾股定理的多种证明方法比较勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它在几何学和三角学中都有广泛应用。
勾股定理的原始形式是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。
本文将比较勾股定理的多种证明方法，探讨它们的优缺点。
一、几何证明方法几何证明方法是最经典的一种证明方式，它通过图形和几何推理来证明勾股定理的成立。
这种方法常用的证明手段有相似三角形证明、面积相等证明等。
1. 相似三角形证明相似三角形证明勾股定理的思路是利用直角三角形中两个角相等的性质，将问题转化为求解两个相似三角形的边长比例。
例如，可以假设直角三角形ABC的两条直角边分别为a和b，斜边为c，通过角度追踪可以推出三角形ABC和三角形ACD相似，进而得到a/c=b/c，最终推导得到a^2 + b^2 = c^2，即勾股定理成立。
2. 面积相等证明面积相等证明利用了三角形的面积公式S=1/2 * 底边 * 高。
通过将形状相同但比例不同的两个直角三角形进行比较，可以得到它们的面积之间的关系。
例如，可以构造两个直角三角形ABC和DEF，其中BC=EF，AC=FD，角B和角E相等。
由于直角三角形的面积公式为S=1/2 * 底边 * 高，通过比较两个三角形的面积公式可以得到S(ABC) = S(DEF)，进而推导出a^2 + b^2 = c^2。
几何证明方法的优点是直观易懂，符合几何直觉，有助于对定理的理解。
然而，这种方法往往需要一定的几何推理能力和想象力，有时候比较繁琐，对初学者来说有一定的难度。
二、代数证明方法代数证明方法是通过代数运算和方程推导来证明勾股定理的成立。
这种方法通常通过代数方程的变换和等式的推导来得到证明结果。
1. 平方和公式证明平方和公式是一种常用的证明勾股定理的代数方法。
该方法利用了(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 这个公式，将直角三角形中的两条直角边分别记为a和b，斜边记为c。
代入公式并整理得到(a+b)^2 = c^2 + 2ab，进一步简化得到a^2 + b^2 = c^2，即勾股定理成立。
(人教版)八年级数学下册 17.2 勾股定理的逆定理 观评记录
第十七章勾股定理
勾股定理逆定理
观评记录：
通过学习各位老师的观评及本人的反思，我对本节内容又有了更进一步的认识。
勾股定理的逆定理的学习是勾股定理的延续和深化，同时也是直角三角形有关性质的再延伸，是用代数的方法解决几何问题的很好的范例，也是解析几何问题解决思想建构。
在这节课中通过学习自主探究，学生们体会到了重要数学思想和数学方法。
1、重视教学目标的达成
学生对所学知识是否掌握是检测学生对本课学习目标是否达成的标志。
我通过加强对题目的变形训练，从不同角度加深学生对知识的理解和掌握。
让学生能全方位、立体式的理解和掌握所学知识，最终达到能灵活运用。
2、重视归纳，强化知识间的联系
师生间加强交流，适时地总结，提升学生学习的综合能力，特别是不同的知识点之间的相互联系。
生生间进行合作交流，学生通过自我评价及形成性评价，逐渐形成正确的价值观和科学的学习观，同时也养成良好的反思习惯，充分体现课堂学习中学生的主体地位。
勾股定理的证明 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思 人教版
从学生角度分 学生能否通过观察、猜想，将实际问题转化为数学
析为什么难 问题，准确挖掘图中的隐含条件，并用不同的方法
论证勾股定理
探究法，拼图法，通过拼图验证并证明勾股定理
教学环节 导入
知识讲解 （难点突 破）
教学过程 以生活中涉及到勾股定理运用的问题以及相传在 2500 年以前，数学 家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映 了直角三角形的三边的某种数量关系。现在请你一观察一下，你能 发现什么？
教师姓名 学科 课题名称 难点名称
难点分析
教学难点 方法
杨靖 单位名称 广西学 年级/册
八年级下册教 教材版本 人教版
17.1 勾股定理的证明
勾股定理的证明
从知识角度分 勾股定理的证明主要是通过图形的拼接、分割，利
析为什么难 用面积的关系，通过数学的计算来验证。
课堂巩固 练习
小结
勾股定理的验证方法笔记
勾股定理的验证方法笔记嘿，咱今儿来聊聊勾股定理的验证方法。
这勾股定理啊，那可是数学里的大宝贝呀！你想想看，直角三角形里那三条边，它们之间有着神奇的关系呢。
就好像是一个小秘密，等着我们去揭开。
先说一种简单的验证方法吧，拼图法。
就跟咱小时候玩拼图似的。
把几个图形拼来拼去，嘿，就能发现勾股定理的奥秘啦。
比如用四个完全相同的直角三角形，把它们拼成一个边长为(a+b)的正方形，然后通过计算不同部分的面积，就能得出 a²+b²=c²啦。
这不是很奇妙吗？你说这数学咋就这么有意思呢。
还有一种方法叫测量法。
咱拿个尺子去量量直角三角形的三条边，然后算一算它们之间的关系。
虽然这种方法可能没那么精确，但也能让咱直观地感受一下勾股定理呢。
这就好比你要知道一个东西好不好吃，总得先尝一口不是？再来说说赵爽弦图法。
这个名字是不是听着就挺有意思？就通过那么一个图，就能清楚地看到直角三角形三边的关系。
就好像是打开了一扇通往数学奇妙世界的大门，让你能在里面尽情探索。
那为啥要研究勾股定理的验证方法呢？这可不是闲得没事干呀。
这就像你要去一个地方，你得知道走哪条路最方便，最快捷。
研究这些方法，能让我们更好地理解数学，更好地运用数学呀。
你想想，如果没有勾股定理，那我们盖房子的时候怎么保证墙角是直角呢？工程师们设计大桥的时候又该怎么计算呢？这可都是实实在在的用处啊。
勾股定理的验证方法还有很多很多呢，每一种都有它独特的魅力。
就像是一颗颗闪亮的星星，照亮了我们数学学习的道路。
咱学习勾股定理，不能只是死记硬背那些公式，得去真正理解它，感受它的神奇之处。
这就好比交朋友，你得了解他的性格、爱好，才能成为真正的好朋友呀。
所以啊，大家可别小瞧了勾股定理的验证方法，它们可是数学世界里的宝贝呢。
咱可得好好琢磨琢磨，说不定哪天就能派上大用场呢！这可不是我瞎说，你自己好好想想是不是这么个理儿！。
勾股定理各种证明方法
勾股定理各种证明方法勾股定理是数学中的一条基本定理，它揭示了直角三角形边长之间的关系。
在几何学中，勾股定理有许多不同的证明方法，每一种方法都能够帮助我们更好地理解这个定理。
本文将介绍勾股定理的一些主要证明方法。
一、几何证明法：几何证明法是最常见的勾股定理的证明方法之一。
它基于对直角三角形的几何性质进行推理和推导。
最简单的几何证明法可以通过绘制一个直角三角形和相应的三条边来实现。
以直角三角形ABC为例，其中∠C为直角。
假设a、b、c分别为三条边的长度，根据勾股定理，可以得到a² + b² = c²。
二、代数证明法：代数证明法通过代数运算和方程推导来证明勾股定理。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
可以将直角三角形的三个边长的平方进行展开，得到：a² + b² = c²进一步，可以进行变形运算，通过加减乘除等代数运算，将表达式转化为等式，从而证明勾股定理。
代数证明法主要依靠方程推导和代数运算的技巧，对于喜欢数学的人来说，这种证明方法既简单又有趣。
三、相似三角形证明法：相似三角形证明法是一种基于相似三角形性质的证明方法。
它利用了直角三角形内角和外角之间的关系，以及直角三角形的边比例。
假设直角三角形ABC中∠C为直角，根据相似三角形性质，可以得到∆ABC与∆ACD和∆BCD相似。
因此，利用相似三角形的性质，可以通过边长的比例关系来证明勾股定理。
四、解析几何证明法：解析几何证明法是一种基于坐标几何和代数的证明方法。
假设直角三角形ABC中∠C为直角，可以在一个平面直角坐标系中取点A(0,0)，B(b,0)，C(0,c)。
通过计算点A、B和C之间的距离，可以得到边长a、b和c之间的关系。
利用距离公式以及勾股定理的性质，可以进行代数推导和计算，从而证明勾股定理。
五、三角函数证明法：三角函数证明法是一种基于三角函数理论的证明方法。
通过定义三角函数的关系，例如正弦、余弦和正切函数，可以将直角三角形中的边长和角度之间的关系转化为三角函数间的等式式或方程。
勾股定理的多种证法
勾股定理的多种证法勾股定理，以其简洁而精确的表达方式，成为数学中最重要的定理之一。
它是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
虽然勾股定理有很多种证法，但其中的几种方法是最为经典和常用的。
本文将从多角度对勾股定理展开讨论，并逐步深入探究这一定理的原理和应用。
一、几何证明法几何证明法是最直观且易于理解的证明方法之一。
通过对直角三角形进行逐步推导和演算，我们可以清晰地看到勾股定理的几何意义。
假设一个直角三角形，其中直角边的长度为a，另一直角边的长度为b，斜边的长度为c。
根据勾股定理的表达式，即a² + b² = c²，我们可以通过构造几何图形、使用相似三角形、运用勾股定理等方法，逐步推导出该式成立。
这一证明方法直观明了，能够帮助我们更好地理解和应用勾股定理。
二、代数证明法代数证明法是一种基于代数运算的证明方法。
我们可以通过运用代数方法，将勾股定理的表达式进行转换和计算，以证明这一定理的成立。
假设一个直角三角形，其中直角边的长度为a，另一直角边的长度为b，斜边的长度为c。
我们可以将勾股定理的表达式a² + b² = c²转换为c²- a² - b² = 0，并应用一些代数运算定理，如平方差公式、因式分解等，将其进行简化和转换。
我们可以得到一个等式成立的结果，从而证明了勾股定理的正确性。
三、三角函数证明法三角函数证明法是一种基于三角函数关系的证明方法。
通过运用三角函数的定义和性质，我们可以推导出勾股定理的几何含义。
假设一个直角三角形，其中直角边的长度为a，另一直角边的长度为b，斜边的长度为c。
我们可以将直角边和斜边的关系表示为sinθ = a/c，cosθ= b/c，其中θ表示直角的角度。
通过运用三角函数定义和性质，我们可以推导出sin²θ + cos²θ = 1的三角恒等式。
进一步运用勾股定理的几何意义，我们可以得出a² + b² = c²的结果，从而证明了勾股定理的正确性。
勾股定理的五种验证方法
勾股定理的五种验证方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊勾股定理那超有趣的五种验证方法呀！
你说勾股定理像不像一个神秘的宝藏，等着我们去挖掘它的秘密呢？
第一种方法，拼图法。
就好像我们在玩拼图游戏一样，把不同的图形拼在一起，突然！哇塞，就发现了勾股定理的奥秘。
你看，把几个直角三角形和正方形巧妙地组合，就像变魔术一样，神奇地得出了那个经典的关系。
这难道不令人惊叹吗？
第二种方法呢，是面积法。
这就好像我们在比较不同区域的大小，通过计算各种图形的面积，嘿，勾股定理就冒出来啦！是不是很有意思呀？
再来说说第三种，相似三角形法。
这就好比在一群人中找到相似的小伙伴，然后从他们的关系中发现了勾股定理这个大秘密。
还有第四种，射影定理法。
哎呀呀，就像是一束光照射下来，影子中隐藏着勾股定理的线索呢。
最后一种，赵爽弦图法。
这可是咱老祖宗的智慧结晶呀！看着那复杂又精美的图案，就知道里面蕴含着多么深刻的道理。
你想想，这些方法就像一把把钥匙，打开了勾股定理这个神秘宝盒。
每一种方法都有它独特的魅力和乐趣，不是吗？我们可以通过拼图感受创造的快乐，可以通过面积计算体会数学的严谨，可以从相似三角形中找到规律的美妙，可以在射影定理中探索光与影的奇妙联系，还可以从赵爽弦图中领略古人的智慧。
数学的世界就是这么神奇呀！勾股定理不仅仅是一个定理，更是人类智慧的结晶。
它在我们的生活中无处不在，从建筑设计到航天工程，都有它的身影呢。
所以呀，别小看了这小小的勾股定理和它的验证方法，它们可是有着大大的能量呢！让我们一起在数学的海洋里尽情遨游，去发现更多的奇妙之处吧！。
勾股定理的验证及简单应用
上去探宝旅游，按照探宝图（如图） 他们登陆后先往东走８千米，又往 北走２千米， 遇到障碍后又往西走 了３千米，再折向北走到６千米处 往东一拐，仅走１千米就找到宝藏， 问登陆点Ａ到宝藏埋藏 点Ｂ的直线 距离是多少千米？ １
教 学 内 容
教 学 目 标 的 确 定
教 学 方 法 的 选 择
教 学 程 序 的 整 体 设 想
教学目标的确定： 教学目标的确定：
教学目标是一堂课的中心任务，它只有在 丰富多彩的数学活动中才能充分实现。 一堂课的教学目标应全面、适度、明确、 具体，便于检测。
教学目标： 教学目标：
知识目标： （１）经历用拼图法验证勾股定理的过程，进一步理解掌 握勾股定理； （２）了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应 用。 能力目标： 经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发 展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系， 体会形数结合的思想； 情感目标： （１）通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股 定理的文化价值。 （２）通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学 学习的信心。
教学重、 教学重、难点的确定
关注学生是否能与同伴进行有效的合作 交流； 交流； 关注学生是否积极的进行思考； 关注学生是否积极的进行思考； 关注学生能否探索出解决问题的方法。 关注学生能否探索出解决问题的方法。
教学重、难点： 教学重、难点：
重点： 重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应 用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流 用过程， 的方法经验。 的方法经验。 难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。 难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。
勾股定理评课稿（通用9篇）
勾股定理评课稿勾股定理评课稿（通用9篇）评课是指评者对照课堂教学目标,对教师和学生在课堂教学中的活动以及由此所引起的变化进行价值的判断。
以下是小编收集整理了勾股定理评课稿，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
勾股定理评课稿篇13月22日，在学校理科教研组的组织安排下，我组全体教师观摩了柏老师的八年级数学课——《勾股定理的应用》。
作为一名上岗不到两年的年轻教师，柏老师的进步非常大。
这节课中，表现出的优点有如下几点：1、教师对教材吃的透，对教学内容理得清，教学设计思路清晰，重难点突出，教学环节齐全，有讲有练。
2、在教学中注重对学生的引导、启迪，且讲授详细。
3、板书美观，能展现课堂教学的重难点。
4、在新授前能给学生出示本节课的学习目标，让学生明确本节课的学习任务，在后面的学习中能做到有的放矢。
当然，本节课也有一些美中不足的地方和值得探讨的问题，如：1、未在预定时间内完成教学内容，造成拖堂现象。
2、教师在问题的引导上包办过多，用自己的讲授代替了学生的自主思考。
3、本节课有尺规作图内容，但教师未在课前提醒学生准备作图工具，因此课堂上出现了个别同学“闲坐”的现象。
4、值得探讨的问题：课本上有的练习题在课件制作时有无必要做成幻灯片。
总体来说，柏老师是这一节课是比较成功的，是值得我们观摩学习的。
勾股定理评课稿篇2本节课教学目标明确，教学设计合理，通过国际数学家大会的会徽图片激起了学生认识和学习勾股定理的兴趣。
教学过程中，学生通过老师设计的引导题目一步步进行了自主探索，合作交流，得出结论的过程。
在用拼图法证明勾股定理的过程中，动画的设计使学生更直观的掌握定理的内容。
在合作交流过程中，学生参与度高，学习气氛热烈，通过课后练习发现学生对知识点的把握到位，能很好的运用勾股定理来解决实际问题，有效地实现了本节课的知识目标。
在讲课过程中，教师引导学生自己观察图形，猜测结论，得出命题，并合作讨论一起验证了命题的准确性，最终得出结论。
proof_py勾股定理证明评鉴
a c (a + b)2 = c2 + 4(½ab) a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2
證明二
c
c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab c2 = a2 + b2
弦圖
• 趙爽 • 東漢末至三國時代吳 國人 • 為《周髀算經》作注， 並著有《勾股圓方圖 說》。
證明二及證明三的比較
• 兩個證明基本上完全相同！
證明二及證明三的「缺點」
• 兩個證明都需要到以下恆等式： • (a b)2 = a2 2ab + b2
證明四
a2
b2
證明四
證明四
證明四
證明四
a2 + b2 = c2 c2
出入相補
• 劉徽（生於公元三世紀） • 三國魏晉時代人。 • 魏景元四年（即 263 年）為 古籍《九章算術》作注釋。 • 在注作中，提出以「出入相 補」的原理來證明「勾股定 理」。後人稱該圖為「青朱 入出圖」。
勾股定理證明評鑑
梁子傑 香港道教聯合會青松中學
子吉註曰：
• 本人獲教育署數學組之邀請，於 2001 年 6 月 28、29 及 7 月 3 日，就著新的數學課程而舉辦 的研討會中，發表了約半小時的演講。 • 演講的目的主要是總結幾個重要的勾股定理證 明，並和與會的老師一同欣賞這些證明妙趣之 處，與及瞭解一下有關證明的歷史。 • 本檔為當時輔助演講的演示檔。 • 本人強調：這檔案祇為當時演講而設計，絕不 適宜一般課堂中使用，敬請讀者留意！
證明六
I
II III
注意：
公开课勾股定理的评语
公开课勾股定理的评语勾股定理的证明，证法的名称以及第一个证出来的人的名字，越多越好~谢谢了，公开课要用勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有着名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。
这两个正方形全等，故面积相等。
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。
从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。
左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。
右图剩下以c为边的正方形。
于是a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。
既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，ABA’≌△AA’’C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。
由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。
同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即 a2+b2=c2。
利用拼图验证勾股定理的评价量规
只能完成1种拼图验证的方法。
信息技术的运用能力
（25分）
能够独立地通过网络搜集利用拼图验证勾股定理的知识及图片，搜集的信息数目超过3个（不含）；能够独立地运用数学软件几何画板制作用来验证的拼图，且制作时间不超过30分钟（含），图案直观。
3. 小组ห้องสมุดไป่ตู้有同学根本没有参与探讨。
思维能力
（30分）
能够明确拼图的含义；得出拼图的条件，可以验证并能正确表述；在规律探究中使用了公式、计算等数学方法。
能够得出拼图的条件，但时间较长；能知道部分验证方法，但不够完整，或得出完整结论但不能准确表述。
没有得出拼图的条件，需别人帮助
动手操作能力
（25分）
能够通过观察分析、操作、交流、研讨等活动完成2种以上的拼图验证方法，能画出或用五巧板拼摆出可用来验证的拼图。
3.解决问题时，除完成各自分工后，同学间还能相互帮助，最后达成解决问题方案。
1.小组有计划，有分工，但不明确。
2.小组汇报的探讨结果是主要是由一两位同学完成的。汇报内容较具体，研究方法科学，有一定的学习价值。
3.小组内有个别同学没有积极参与探讨。
1.小组无计划，无分工。
2.小组汇报的探讨结果是主要是由一两位同学完成的。汇报内容不具体，学习价值一般。
能够独立地通过网络搜集利用拼图验证勾股定理的知识，搜集的信息数目超过1个，不超过3个；课件制作耗费时间超过30分钟，不超过50分钟，图案不够直观。
需别人的大力帮助才能搜集利用拼图验证勾股定理的知识，且不主动或独立搜集的信息数目仅为1个；需别人的大力帮助才能够制作出课件，图案不够直观．
总分及评语
“利用拼图验证勾股定理”的能力评价量规
勾股定理证明评鉴PPT共42页
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
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勾股定理证明评鉴勾股定理（又叫「勾股定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过4000 年！又据记载，现时世上一共有超过300 个对这定理的证明！我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。
故此，我在这篇文章中，为大家选出了7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的历史背境。
证明一图一在图一中，D ABC为一直角三角形，其中Ð A为直角。
我们在边AB、BC和AC之上分别画上三个正方形ABFG、BCED和ACKH。
过A点画一直线AL使其垂直于DE并交DE于L，交BC于M。
不难证明，D FBC全等于D ABD（S.A.S.）。
所以正方形ABFG 的面积= 2 ´ D FBC的面积= 2 ´ D ABD的面积= 长方形BMLD的面积。
类似地，正方形ACKH的面积= 长方形MCEL的面积。
即正方形BCED的面积= 正方形ABFG的面积+ 正方形ACKH的面积，亦即是AB2 + AC2 = BC2。
由此证实了勾股定理。
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。
不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以ML将正方形分成BMLD和MCEL的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在于它的出处。
这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生于公元前325 年，卒于约公元前265 年。
他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。
《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。
而书中的第一卷命题47，就记载着以上的一个对勾股定理的证明。
证明二图二图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。
设直角三角形的斜边长度为c，其余两边的长度为a和b，则由于大正方形的面积应该等于4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有(a + b)2= 4(1/2 ab) + c2展开得a2 + 2ab + b2= 2ab + c2化简得a2 + b2= c2由此得知勾股定理成立。
证明二可以算是一个非常直接了当的证明。
最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：图三由面积计算c2= 4(1/2 ab) + (b - a)2可得展开得= 2ab + b2 - 2ab + a2化简得c2= a2 + b2（定理得证）图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元3 世纪的时候）吴国的赵爽。
赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。
证明三图四图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。
不难看出，整个图就变成一个梯形。
利用梯形面积公式，我们得到︰1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2展开得1/2 a2 + ab + 1/2 b2= ab + 1/2 c2化简得a2 + b2= c2（定理得证）有一些书本对证明三十分推祟，这是由于这个证明是出自一位美国总统之手！在1881 年，加菲（James A. Garfield；1831 - 1881）当选成为美国第20 任总统，可惜在当选后5 个月，就遭行刺身亡。
至于勾股定理的有关证明，是他在1876 年提出的。
我个人觉得证明三并没有甚么优胜之处，它其实和证明二一样，祇不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式(a ±b)2 = a2 ± 2ab + b2了。
虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由于以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。
证明四(a) (b) (c)图五证明四是这样做的：如图五(a)，我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。
又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。
接着，以斜边的长度画一个正方形，如图五(b)。
我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等于以斜边画出来的正方形面积。
留意在图五(b)中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。
现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来。
同时，在斜边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。
现在依照图五(c)的方法，将超出范围的三角形，移入未有填色的地方。
我们发现，超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！由此我们发现，图五(a)中，红色和蓝色两部分面积之和，必定等于图五(c)中斜边正方形的面积。
由此，我们就证实了勾股定理。
这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。
在魏景元四年（即公元263 年），刘徽为古籍《九章算术》作注释。
在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。
由于他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。
亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。
在历史上，以「出入相补」的原理证明勾股定理的，不祇刘徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在欧洲，都有出现过类似的证明，祇不过他们所绘的图，在外表上，或许会和刘徽的图有些少分别。
下面的图六，就是将图五(b)和图五(c)两图结合出来的。
留意我经已将小正方形重新画在三角形的外面。
看一看图六，我们曾经见过类似的图形吗？图六其实图六不就是图一吗？它祇不过是将图一从另一个角度画出罢了。
当然，当中分割正方形的方法就有所不同。
顺带一提，证明四比之前的证明有一个很明显的分别，证明四没有计算的部分，整个证明就是单靠移动几块图形而得出。
我不知道大家是否接受这些没有任何计算步骤的「证明」，不过，我自己就非常喜欢这些「无字证明」了。
图七在多种「无字证明」中，我最喜欢的有两个。
图七是其中之一。
做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成4 分。
之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。
事实上，以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多，但在这里就未有打算将它们一一尽录了。
另一个「无字证明」，可以算是最巧妙和最简单的，方法如下：证明五(a) (b)图八图八(a)和图二一样，都是在一个大正方形中，放置了4个直角三角形。
留意图中浅黄色部分的面积等于c2。
现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位，成为图八(b)。
明显，图八(b)中两个浅黄色正方形的面积之和应该是a2 + b2。
但由于(a)、(b)两图中的大正方形不变，4 个直角三角形亦相等，所以余下两个浅黄色部的面积亦应该相等，因此我们就得到a2 + b2 = c2，亦即是证明了勾股定理。
对于这个证明的出处，有很多说法：有人说是出自中国古代的数学书；有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明，因而宰杀了一百头牛来庆祝。
总之，我觉得这是众多证明之中，最简单和最快的一个证明了。
不要看轻这个证明，它其实包含着另一个意义，并不是每一个人都容易察觉的。
我现在将上面两个图「压扁」，成为图九：(a) (b)图九图九(a)中间的浅黄色部分是一个平行四边形，它的面积可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中m和n分别是两个直角三角形斜边的长度。
而图九(b)中的浅黄色部分是两个长方形，其面积之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。
正如上面一样，(a)、(b)两图浅黄色部分的面积是相等的，所以将两式结合并消去共有的倍数，我们得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，这就是三角学中最重要的复角公式！原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的！在证明二中，当介绍完展开(a + b)2的方法之后，我提出了赵爽的「弦图」，这是一个展开(a - b)2的方法。
而证明五亦有一个相似的情况，在这里，我们除了一个类似(a + b) 的「无字证明」外，我们亦有一个类似(a - b) 的「无字证明」。
这方法是由印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，见图十。
(a) (b)图十证明六图十一图十一中，我们将中间的直角三角形ABC以CD分成两部分，其中Ð C为直角，D位于AB之上并且CD ^ AB。
设a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。
留意图中的三个三角形都是互相相似的，并且D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以= 和=由此得a2= cx和b2= cy将两式结合，得a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。
定理得证。
证明六可以说是很特别的，因为它是本文所有证明中，唯一一个证明没有使用到面积的概念。
我相信在一些旧版的教科书中，也曾使用过证明六作为勾股定理的证明。
不过由于这个证明需要相似三角形的概念，而且又要将两个三角形翻来覆去，相当复杂，到今天已很少教科书采用，似乎已被人们日渐淡忘了！可是，如果大家细心地想想，又会发现这个证明其实和证明一（即欧几里得的证明）没有分别！虽然这个证明没有提及面积，但a2 = cx 其实就是表示BC 上正方形的面积等于由AB 和BD 两边所组成的长方形的面积，这亦即是图一中黄色的部分。
类似地，b2 = cy 亦即是图一中深绿色的部分。
由此看来，两个证明都是依据相同的原理做出来的！证明七(a) (b) (c)图十二在图十二(a)中，我们暂时未知道三个正方形面积之间有甚么直接的关系，但由于两个相似图形面积之比等于它们对应边之比的平方，而任何正方形都相似，所以我们知道面积I : 面积II : 面积III = a2 : b2 : c2。
不过，细心地想想就会发现，上面的推论中，「正方形」的要求是多余的，其实祇要是一个相似的图形，例如图十二(b)中的半圆，或者是图十二(c)中的古怪形状，祇要它们互相相似，那么面积I : 面积II : 面积III 就必等于a2 : b2 : c2了！在芸芸众多的相似图形中，最有用的，莫过于与原本三角形相似的直角三角形了。