分子动理论5

zH p( z ) p(0) exp( 1) p(0) e
（2）设把整个大气分子都压缩为环绕地球表面的、 密度与海平面处大气密度相等的一层假想的均匀大气 层，则这一层大气的厚度是H。
n( z ) n(0) exp( z ) H


0
n( z )dz n(0) e
0


z H
p dp
M 2 r
达到平衡时应有
r
r dr
p
[ p( r ) dp]A p(r ) A ( r ) Adr 2 r
即
dp r ( r ) dr
2
( r ) n( r ) m
dp m 2 rdr p kT
积分后可得
p( r ) n( r ) kT
n2 k ln( ) n1
T
1 2
n2 k ln( ) n1
它表示处于平衡态的系统，在（无相互作用）粒 子的两个不同能量的状态上的粒子数的比值与粒子的 能量之差之间有确定的关系。我们就可利用这一关系 来确定系统的温度。 第一章中己讲到关于温度的另一微观定义式
平 大小的度量）。
3 kT ，说明温度是微观粒子热运动平均能量 2
一、等温大气压强公式 （isothermal barometric formula）
假设大气是等温的且处 于平衡态。并设重力加速度 g不随高度而变。 考虑在大气中垂直高度 为z到z+dz，面积为A的一薄 层气体，如图。 平衡时有：
Z
z dz
p dp
z
gdz
p A ( p dp) A ( z) gAdz
m2r 是坐标系取在回转体上的惯性离心力，它 是一种保守力，而保守力所作负功等于势能的增加。
取r = 0处的势能为0，即 Ep（0）=0，则
E p (r )
r 0
1 m rdr m 2 r 2 2
2
E p (r )
r
0
1 m rdr m 2 r 2 2
n( x , y , z ) n(0) exp( Ep kT )
—— 玻尔兹曼（密度）分布 n (0) 为势能 Ep=0 处的粒子数密度 玻尔兹曼（密度）分布表示了粒子按势能（空 间）的分布。
4. 麦克斯韦 — 玻尔兹曼分布
dN f (v x , v y , v z )dv x dv y dv z N 2 2 2 m(v x v y v z ) m 3/ 2 ( ) exp( ) dv x dv y dv z 2kT 2kT
无论是大气分子还是悬浮微粒，它们之间的相互 作用均忽略不计，因而它们随高度的分布都可视为自 由粒子在重力场中的分布。 1908年法国科学家Perrin首次观测到各种胶体中 悬浮微粒随高度的变化，从实验上测出了阿伏伽德罗 常量NA，并由此定出波尔兹曼常量k ，他于1926年 获得诺贝尔物理奖。
§2.6.2
玻尔兹曼分布是一种普遍的规律。对于处于平衡 态的气体中的原子、分子、布朗粒子，以及液体、固 体中的很多粒子，一般都可应用玻尔兹曼分布，只要 粒子之间相互作用很小而可忽略。 注意： 玻尔兹曼分布 n1 n2 exp( 提供用来表示温度的另一表达式
T
1 2
kT
) 能为我们
1 2
z
RT p( z ) ln Mm g p( 0 )
二、等温大气标高
1. 等温大气标高 定义大气标高 H 则
H RT kT Mmg mg
z p( z ) p(0) exp( ) H
2. 大气标高的物理意义
z p( z ) p(0) exp( ) H
（1） 在高度z=H 处的大气压强为z=0 处大气压强的1/e。
（1）
2. 玻尔兹曼（密度）分布 将上式对所有可能的速度积分，考虑到麦克斯 韦速度分布的归一化
k m 32 ( 2kT ) exp( kT ) dvx dv y dvz 1

则（1）式可以写成
dN n0 exp(
p
kT
) dxdydz
（2）
dN n0 exp(
（1）
麦克斯韦——玻尔兹曼分布描绘了粒子按速度和空 间的分布。 注意： （1） = Ek+Ep 为粒子的总能量，其中动能项Ek 既包 括粒子的平动动能，也包括粒子内的转动和振动动能。 （2） 势能项 Ep 既包括外力场势能，也包括分子内原子 之间的相互作用势能。
m 32 dN n0 ( ) exp( ) dv x dv y dvz dxdydz 2kT kT
旋转体中悬浮粒子径向分布
在如图所示实验装置中， 当玻璃管以角速度 旋转时竖 直管中水面上升h 高度。 将坐标系取在旋转体上 ， 设管的横截面积为A。以水平 管中距旋转中心轴r到 r+dr 的 一段气体作为研究对象，设 其密度为(r)，而受力如图。
p( r dr ) p( r ) dp
由于势能为一相对量，故玻尔兹曼分布可以有更 一般的表述。 若n1和n2分别是在温度为T 的系统中处于粒子能 量为1的某一状态与粒子能量为 2 的另一状态上的粒 子数密度。则玻尔兹曼分布可表示为
n1 n2 exp(
1 2
kT
)பைடு நூலகம்
玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同的各状态 上的概率是相同的；粒子处于能量不同的各状态的概 率是不同的，粒子处于能量高的状态上的概率反而小。
2
m 2 r 2 n( r ) n(0) exp 2kT
与 kT 之比的负值。
m2 r 2 故上式中指数是粒子的惯性离心力势能 E p 2
2. 等温大气重力场中分布
mgz n( z ) n(0) exp( ) kT
上式中指数上是粒子的重力势能 Ep=mgz 与 kT 之比的负值。
p
p A ( p dp) A ( z ) gAdz
dp ( z ) gdz
由理想气体方程可得
（1）
pM m RT p dp z M mg 对（1）式积分，则有 dz p0 p 0 RT
积分得 z 处的气压：
M m gz mgz p( z ) p(0) exp( ) p(0) exp( ) RT kT
§2.6 外力场中自由粒子的分布 玻尔兹曼分布
按照分子混沌性假设，处于平衡态的气体其分子 数密度 n 处处相等， 但这仅在无外力场条件下才成
立。若分子受到重力场、惯性力场等作用，气体分子
数密度将有一定的空间分布，这类分布均可看作玻尔 兹曼分布的某种特例。
§2.6.1 等温大气压强公式 悬浮微粒按高度分布
p
kT
) dxdydz
（2）
dN' 是分布于坐标区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内 的各种速度的粒子总数。
令 dN n dxdydz 则
n n0 exp(

p
kT
)
这就是前面所讲玻尔兹曼（密度）分布率，它是 粒子按势能（空间）的分布，也是麦—玻分布的常用 形式，故有时也将麦—玻分布称为玻兹曼分布。
m 2 r 2 p(r ) p(0) exp 2kT
m 2 r 2 n(r ) n(0) exp 2kT
§2.6.3 玻尔兹曼分布 （Bortzmann distribution）
1. 回转气体中粒子数密度沿径向的分布
m 2 r 2 n( r ) n(0) exp 2kT
麦克斯韦速度分布描绘了粒子在速度空间中的分
布，其指数因子上的 1 mv 2 Ek 为粒子的平动动能。
2
n( x , y , z ) n(0) exp(
Ep kT
)
玻尔兹曼密度分布描绘了粒子在位形空间的分布， 其指数因子上的Ep 为粒子的势能。
力学里把速度和位置合起来称为“运动状态” 或 “相” ，统计物理里把速度空间和位形空间合起来称 为“相空间”。
对于粒子只能取两个能级的系统，设在这两能级
上的粒子数密度分别为 n1及n2 。
T
1 2
n2 k ln( ) n1
若 在 1 > 2 情况下，n1＜n2，则T ＞0。 若 在 1 > 2 情况下，n1＞n2（这称为粒子数反 转），这时T＜0，我们就称该粒子系统处于负温度状 态。
负温度仅存在于由两个能级所单独组成的子系中； 且仅出现在短暂的时间中。
产生激光的系统，就处于粒子数反转（population inversion）的负温度状态。
p（0）：高度 z = 0 处的大气压强。
( 2 )
M m gz mgz p( z ) p(0) exp( ) p(0) exp( ) RT kT
（2）
把（2）式改写为气体分子数密度随高度分布公式：
M m gz n( z ) n(0) exp( ) RT
（3）
则
由于粒子的速度和位置是相互独立的，故可以 将麦克斯韦速度分布和玻尔兹曼密度分布相乘得到 粒子在相空间的分布。
1. 麦克斯韦——玻尔兹曼分布的表述 当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标位于区 间 x~x+dx，y ~y+dy，z ~z+dz 内，同时速度介于区间 vx~vx+dvx , vy~vy+dvy , vz~vz+dvz内的粒子数为
3. 玻尔兹曼（密度）分布
实际上，对于处在任意保守力场中的微粒，其势 能不一定仅是高度 z 或 r 的函数，而应为位置坐标的 函数，记作 Ep( r ) 或 Ep( x, y, z ) 。若将上述公式中指 数中的 mgz 代之以Ep( x, y, z )，就得到了任意保守力 场中粒子数密度按空间的分布。