湖南师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试文科数学试题

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2017-2018学年湖南师大附中高二上学期期末考试化学(文) PDF版

湖南师大附中学年度高二第一学期期末考试
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为了维持我们的中! 文科试题%# " # $ % ! " # &学年度高二第一学期期末考试化学
下列物质既可以作防腐剂% 又可以作调味剂的是 & 味精食盐 ./ 亚硝酸钠苯甲酸 )0金属材料一直发挥着重要的作用& 人类历史上使用最早的金 5 属是铜铁铝钛 ./ )0下列有关硅及其化合物的描述中% 不正确的是 # " .6 7 8 ! 可用于制造光导纤维 / ( 6 7 8 ! 1 可以用二氧化硅和水反应制得普通玻璃是以纯碱$ 石灰石和石英为原料制成的 )盛装 * 09 8( 溶液的试剂瓶不用玻璃塞的原因是因为玻璃塞与* 9 8( 溶液反应在垃圾分类处理和利用的标志中% 右图属于 # # 厨余垃圾标志 .危险废物标志 / 可回收物标志 )其他垃圾标志 0发展) 绿色食品 * 是提高人类生活质量的重要措施& 绿色食品 # ! 是指绿颜色的营养食品 .含叶绿素的营养食品 / 植物类营养食品 )安全无公害的营养食品 0下列说法正确的是 # 1 为了使婴儿对食品有更浓厚的兴趣% 应在婴儿食品中加入大 .量的着色剂为了使火腿肠颜色更鲜红% 可多加入一些亚硝酸钠 / 蛋白质在人体内经消化后生成碳酸 $ 硫酸 $ 尿酸等 % 故属于酸 )性食物常用的抗酸药有氢氧化铜$ 氢氧化铝$ 柠檬酸钠$ 碳酸钙等 0油脂能增加食物的滋味% 增进食欲% 保证机体的正常生理功能& # + 但摄入过量脂肪% 可能引起肥胖$ 高血脂$ 高血压等& 下列食品中富含油脂的是苹果大米白菜花生 ./ )0中国有句名言 # 药补不如食补& 碘是人体必需的微量元素% 有 # , ) 智力元素* 之称&下列食物中含碘较多的是鸡蛋橙汁葡萄海带 ./ )0为防止碳素钢菜刀生锈% 在使用后特别是切过咸菜后% 应将其 # ' 洗净 $ 擦干浸泡在水中 ./ 浸泡在食醋中 )直接置于空气中 0-

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试语文试题答案

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试语文参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试语文参考答案1．A(被看作中国最早的“环保法”的应为《田律》，而不是《秦律十八种》。

)2．C(山虞所辖当为山林之事，而“伐崇令”所言不局限于山林之事。

且“虞”是山林川泽资源保护的监督机构，而不是执行机构。

)3．B(“虞官们制定的种种环保条款对当时的生态环境保护都起到非常积极的作用”的说法过于绝对。

)4．BE(A项，“心平气和，毫不在乎”有误，“丝毫不抱希望”太绝对。

C项，“目的就是为了体现善良的村民们对马小菊的同情和关心”有误。

D项，“她一定会原谅丈夫，过上幸福生活”太绝对。

)(答对一项给3分，答对两项给6分)5．①善良孝顺。

在丈夫有外遇长期不归家的情况下，马小菊仍然毫无怨言、无微不至地照顾婆婆，表现了善良和孝顺的本性。

②坚强隐忍。

面对丈夫的出轨和众人的闲言碎语，马小菊外表平静，内心其实非常痛苦，但她隐忍不发，用柔弱的双肩担起家庭的责任，表现出坚强隐忍的一面。

(每点2分，意思对即可。

如有其他答案，只要言之成理，可酌情给分) 6．①设置背景，渲染氛围。

“下雨”为故事的发生提供了特定的自然环境，通过反复描写“下雨”交代故事发生的背景，渲染人物活动的氛围。

②烘托人物复杂的内心世界。

面对向午的出轨，马小菊内心极其痛苦，密集的雨滴看似打在她的身上，其实是在敲打着她的心。

作者借下雨来烘托人物复杂的内心世界，刻画人物性格。

③推动情节发展。

“下雨”与小说情节的发展密切关联，起到了推动情节发展的作用。

④深化小说主题。

自然界的“雨”与马小菊婚姻中的“雨”互相交织，隐喻主人公的生活进入“雨季”，进一步表现小说主题。

(以上四点，答出一点给2分，任答出其中的三点即给6分)7．B(祭祀用的牲畜。

)8．D(凯旋：古今义都是胜利归来。

A项，人事：古义指人之作为，今义为工作人员的录用、培养、调配等工作。

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)Word版含答案

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试数学(文科)时量：120分钟满分：150分得分：______________一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是 A ．－ 3 B.3i C ．±3i D ．±3 2．命题“若p ，则q 或r ”的否命题是A ．若p ，则綈q 或綈rB ．若p ，则綈q 且綈rC ．若綈p ，则綈q 或綈rD ．若綈p ，则綈q 且綈r 3．tan 690°＝A ．－33 B.33 C. 3 D ．－ 34．利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f (x )＝lg 1－x1＋x的图象关于坐标原点对称．那么，这个三段论的小前提是A ．f (x )是增函数B ．f (x )是减函数C ．f (x )是奇函数D ．f (x )是偶函数5．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 A ．2 B.13 C ．－3D ．－126．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能的是7.若抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝－1，则实数a 的值是 A.14 B.12 C ．－14 D ．－128．设0＜x ＜1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是A ．aB ．bC ．cD ．不能确定9．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝ A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB → C.16AC →＋12AB → D.16AC →＋32AB → 10．已知命题p ：直线l 1：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0与直线l 2：x ＋my ＋6＝0平行，命题q ：方程x 2＋y 2－22x ＋my ＋(m ＋2)＝0表示圆，则命题p 是命题q 成立的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．对数列{a n }，如果k ∈N *及λ1，λ2，…，λk ∈R ，使a n ＋k ＝λ1a n ＋k －1＋λ2a n ＋k －2＋…＋λk a n 成立，其中n ∈N *，则称{a n }为“k 阶递归数列”．给出下列结论：①若{a n }是等比数列，则{a n }为“1阶递归数列”； ②若{a n }是等差数列，则{a n }为“2阶递归数列”；③若{a n }的通项公式为a n ＝n 2，则{a n }为“3阶递归数列”．其中正确的结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．若直线l ：y ＝－x 2＋m 与曲线C ：y ＝12|4－x 2|有且仅有三个交点，则m 的取值范围是A ．(2－1，2＋1)B ．(1，2)C ．(1，2＋1)D ．(2，2＋1)选择题答题卡二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．)13．过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程为____________．14．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________．15．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2 cm ，AD ＝1 cm ，则异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值为____________．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－kx 有零点，则实数k 的取值范围是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)湖南师大附中的科技节中有一个传统挑战项目——“奇思妙想闯七关”．为了调查参加此活动的学生情况，现从我校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名学生中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图所示．(Ⅰ)根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下认为(Ⅱ)，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．参考数据：18．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在单位圆上，∠xOA＝α，∠AOB＝π3，且α∈⎝⎛⎭⎫π6，π3.(Ⅰ)若x1＝277，用α表示x2并求其值；(Ⅱ)过点B作x轴的垂线，垂足为C，记△BOC的面积为S，设S＝f(α)，求函数f(α)的值域．已知三棱锥P－ABC的直观图及其三视图如图所示．(Ⅰ)求三棱锥P－ABC的体积；(Ⅱ)求二面角P—AB—C的平面角的正切值．已知等差数列{}a n 的首项a 1＝1，公差d ＞0，且其第2项、第5项、第14项成等比数列． (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝2a n ＋1a n ＋2，求数列{}b n 的前n 项和T n ，并证明：215≤T n <13.21．(本小题满分12分)设椭圆C 的中心在原点，两焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 的坐标为(2，1)，已知F 1P →·F 2P →＝3，且椭圆C 的离心率为22.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如图，设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点M 是椭圆C 上位于x 轴上方的一个动点，直线AM ，BM 分别与直线x ＝3相交于点D ，E ，求|DE |的最小值．22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a (x －1)2＋ln x ＋1.(Ⅰ)若函数f (x )在区间[2，4]上是减函数，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当x ∈[1，＋∞)时，函数y ＝f (x )图象上的点都在⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y －x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试数学(文科)参考答案一、选择题1．D 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知a ＝1，∴1＋b 2＝4，∴b 2＝3，∴b ＝±3.故选D.2．D 【解析】否命题既要否定条件，又要否定结论. 同时，“或”的否定是“且”，选D.3．A 4．C5．D 【解析】对应于计数变量i 的S 呈周期性，最小正周期为4，前4个数依次是：－3，－12，13，2，而2 018＝4×504＋2，故选D.6．B 【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，故选B.7．A 【解析】将抛物线y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，由条件知14a ＝1，∴a ＝14，故选A.8．C 【解析】由于0＜x ＜1，所以b ＝1＋x >21·x ＝2x ＝2·2x ＝2a >a ，又b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x<0b <c ，所以c 最大；故选C.9．C 【解析】如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →，故选C. 10．B 【解析】因为两直线平行，所以(m －2)·m －1×3＝0，∴m ＝3或m ＝－1，经检验m ＝3时，两直线重合，∴m ＝－1，方程表示圆，所以(22)2＋m 2－4(m ＋2)>0，∴m >4或m <0.故命题p 是命题q 成立的充分条件．故选B. 11．D 【解析】对于①：若k ＝1，因为{a n }是等比数列，则有a n ＋1＝λ1a n 满足条件，故①正确；对于②：若k ＝2，因为{a n }是等差数列，则有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，存在λ1＝2，λ2＝－1满足a n ＋2＝λ1a n ＋1＋λ2a n ，故②正确；对于③：若k ＝3，因为数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，a n ＋3＝(n ＋3)2＝3(n ＋2)2－3(n ＋1)2＋n 2，故存在λ1＝3，λ2＝－3，λ3＝1满足a n ＋3＝λ1a n ＋2＋λ2a n＋1＋λ3a n ，故③正确．故选D.12．B 【解析】由题意得，曲线C 是由椭圆x 24＋y 2＝1上半部分和双曲线x 24－y 2＝1上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为y ＝－12x ，与直线l ：y ＝－12x ＋m 平行；当直线l 过右顶点时，直线l 与曲线C 有两个交点，此时，m ＝1；当直线l 与椭圆相切时，直线l 与曲线C 有两个交点，此时m ＝2；由图象可知，m ∈(1，2)时，直线l 与曲线C 有三个交点，故选B.二、填空题13．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 【解析】设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)或y －⎝⎛⎭⎫－18＋1＝⎝⎛⎭⎫34－2⎝⎛⎭⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.14.13 【解析】在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，要使cos x 的值介于0到12之间，需使－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，区间长度为π3，由几何概型知cos x 的值介于0到12之间的概率为π3π＝13.15.55【解析】设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE ∥D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角．在△C 1OE 中，OC 1＝12A 1C 1＝52，OE＝12BD 1＝12·22＋22＋1＝32， C 1E ＝B 1C 21＋B 1E 2＝12＋12＝2，所以cos ∠C 1OE ＝OC 21＋OE 2－C 1E 22OC 1·OE＝55.16.⎝⎛⎦⎤－∞，1eln 2 【解析】由f (x )－kx ＝0得f (x )＝kx ，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝kx 的图象，易知当k <0时，两函数图象有两个交点，当k ≥0时，考察由原点引f (x )的图象的切线，设切点是(x 0，log 2x 0)，f ′(x )＝1x ln 2，则1x 0ln 2＝log 2x 0x 0x 0＝e ，故切线的斜率等于1eln 2，即k ∈⎣⎡⎦⎤0，1eln 2时，两图象恰有一个公共点，综上k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，1eln 2. 三、解答题17．【解析】(Ⅰ)2×2列联表(2分)K 2＝100（15×20－20×45）235×65×60×40≈6.593<6.635.(3分)所以，不能在犯错误的概率不超过1%的情况下认为“愿意接受挑战与性别有关”．(5分) (Ⅱ)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的学生中选取7名挑战者，故男生抽取7×1535＝3名，女生7×2035＝4名，(7分)从中抽取2人参加挑战，共有6＋5＋4＋…＋1＝21种方法，全是女生的方法有3＋2＋1＝6种，(9分)所以，抽取的2人中至少有一名男生的概率为P ＝1－621＝57.(10分) 18．【解析】(Ⅰ)由三角函数定义，得x 1＝cos α，x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.(2分)由已知，cos α＝277，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3，则sin α＝1－cos 2α＝217.(4分) 所以x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12cos α－32sin α＝2714－3714＝－714.(6分)(Ⅱ)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3，则α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3，故x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3<0，y 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3>0，所以S ＝12|x 2|y 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3.即f (α)＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3.(9分)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3，则2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3<32，(10分)所以f (α)＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－38，0.(12分)19．【解析】(Ⅰ)由俯视图知，点P 在底面ABC 内的射影在BC 边上，所以平面PBC ⊥平面ABC .作PD ⊥BC ，垂足为D ，则PD ⊥平面ABC .由侧视图知，PD ＝2.(2分) 在底面ABC 内作AE ⊥BC ，垂足为E ，由正视图知，E 为BC 的中点．由侧视图知，AE ＝4.(4分)由正视图知，BC ＝4，则三棱锥P －ABC 的体积 V ＝13×12×BC ×AE ×PD ＝16×4×4×2＝163.(6分)(Ⅱ)在底面ABC 内作DF ⊥AB ，垂足为F ，则AB ⊥平面PDF ，所以∠PFD 为二面角P －AB －C 的平面角．(8分) 因为AE ＝4，BE ＝2，则AB ＝AE 2＋BE 2＝2 5.(9分)因为Rt △BFD ∽Rt △BEA ，则DF BD ＝AEAB.由俯视图知，BD ＝1. 所以DF ＝AE ×BD AB ＝4×125＝25.(11分)在Rt △PDF 中，tan ∠PFD ＝PDDF＝ 5. 故二面角P －AB －C 的平面角的正切值为 5.(12分) 20．【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，()a 1＋d()a 1＋13d ＝()a 1＋4d 2()d >0.(3分)整理：3d 2＝6a 1d ()d >0，∴d ＝2a 1＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(5分) ∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(6分)(Ⅱ)b n ＝2a n ＋1·a n ＋2＝2（2n ＋3）（2n ＋1）＝12n ＋1－12n ＋3，(8分)∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝13－12n ＋3<13.(10分) ∵T n ＋1－T n ＝b n ＝2()2n ＋1()2n ＋3>0，数列{T n }是递增数列．∴T n ≥T 1＝b 1＝215.(11分)∴215≤T n <13.(12分) 21．【解析】(Ⅰ)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(1分)则F 1P →＝(2＋c ，1)，F 2P →＝(2－c ，1)．(2分)因为F 1P →·F 2P →＝3，则(2＋c )(2－c )＋1＝3，即c 2＝2，所以c ＝ 2.(3分) 因为c a ＝22，则a ＝2c ＝2，从而b ＝a 2－c 2＝ 2.(4分)故椭圆C 的标准方程是x 24＋y 22＝1.(5分)(Ⅱ)法一：由题设，点A (－2，0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)．联立x ＝3，得点D (3，5k )．(6分)将y ＝k (x ＋2)代入x 24＋y 22＝1，得x 2＋2k 2(x ＋2)2＝4，即(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(7分)设点M (x 0，y 0)，则x 0和－2是方程的两根，所以－2x 0＝8k 2－42k 2＋1，即x 0＝2－4k 22k 2＋1，从而y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋2＝4k2k 2＋1，所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.(9分)又点B (2，0)，则直线BM 的方程为y －04k 2k 2＋1－0＝x －22－4k 22k 2＋1－2，即y ＝－12k(x －2)．联立x ＝3，得点E ⎝⎛⎭⎫3，－12k .(11分) 所以|DE |＝5k ＋12k≥25k ·12k ＝10，当且仅当5k ＝12k >0，即k ＝1010时取等号．故|DE |的最小值为10.(12分)法二：由题设，点A (－2，0)，点B (2，0)，设点M (x 0，y 0)，则x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4. 所以(x 0－2)(x 0＋2)＝－2y 20，即y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－12，所以k AM ·k BM ＝－12.(8分)设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)，则直线BM 的方程为y ＝－12k (x －2)．分别联立x ＝3，得点D (3，5k )，点E ⎝⎛⎭⎫3，－12k .(11分) 所以|DE |＝5k ＋12k≥25k ·12k ＝10，当且仅当5k ＝12k >0，即k ＝1010时取等号．故|DE |的最小值为10.(12分)22．【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝2a (x －1)＋1x，∵函数f (x )在区间[2，4]上单调递减，∴f ′(x )＝2a (x －1)＋1x ≤0在区间[2，4]上恒成立，即2a ≤1－x 2＋x在[2，4]上恒成立，只需2a 不大于1－x 2＋x 在[2，4]上的最小值即可．(2分)而1－x 2＋x ＝1－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(2≤x ≤4)，则当2≤x ≤4时，1－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤－12，－112， ∴2a ≤－12，即a ≤－14，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－14.(5分) (Ⅱ)因f (x )图象上的点在⎩⎨⎧x ≥1，y －x ≤0所表示的平面区域内，即当x ∈[1，＋∞)时，不等式f (x )≤x恒成立，即a (x －1)2＋ln x －x ＋1≤0恒成立，设g (x )＝a (x －1)2＋ln x －x ＋1(x ≥1)，只需g (x )max ≤0即可．由g ′(x )＝2a (x －1)＋1x －1＝2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x，(7分)(ⅰ)当a ＝0时，g ′(x )＝1－xx ，当x ≥1时，g ′(x )≤0，函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，故g (x )≤g (1)＝0成立．(8分)(ⅱ)当a >0时，由g ′(x )＝2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x ＝2a （x －1）⎝⎛⎭⎫x －12a x，令g ′(x )＝0，得x 1＝1或x 2＝12a， ①若12a <1，即a >12时，在区间[1，＋∞)上，g ′(x )≥0，函数g (x )在[1，＋∞)上单调递增，函数g (x )在[1，＋∞)上无最大值g (x )≥g (1)＝0，不满足条件；(10分)②若12a ≥1，即0<a ≤12时，函数g (x )在⎣⎡⎭⎫1，12a 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，同样g (x )在[1，＋∞)上无最大值，且g ⎝⎛⎭⎫1＋1a =a ⎝⎛⎭⎫1＋1a －12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1a －⎝⎛⎭⎫1＋1a ＋1＝1a ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1－1a＋1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1a >0，不满足条件．(11分) (ⅲ)当a <0时，由g ′(x )＝2a （x －1）⎝⎛⎭⎫x －12a x ，因x ∈[1，＋∞)，故g ′(x )<0，则函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，故g (x )≤g (1)＝0成立．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0]．(12分)。

2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) word版含解析

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos600°=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：cos600°=cos=cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．2．设集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则A∩B=（）A．B． C． D．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，3），故选：C．3．复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）【解答】解：==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．4．已知数列，则a2016=（）A．1 B．4 C．﹣4 D．5【解答】解：数列，∴a3=a2﹣a1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1，a8=5，…，21·世纪*教育网可得an+6=an．则a2016=a335×6+6=a6=﹣4．故选：C．5．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段长度都不小于1.5m的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：记“两段的长都不小于1.5m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1.5，所以事件A发生的概率P（A）=．6．已知==2，且它们的夹角为，则=（）A． B． C．1 D．2【解答】解：根据条件：==12；∴．故选A．7．给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a2＞b2；④a＞b⇒a3＞b3其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：①a＞b⇒ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|⇒|a|＞|b|⇒a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b⇒a3＞b3，故④正确；故选：D8．如图所示的程序的输出结果为S=1320，则判断框中应填（）A．i≥9 B．i≤9 C．i≤10 D．i≥10【解答】解：首先给循环变量i和累积变量S赋值12和1，判断12≥10，执行S=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10，执行S=12×11=132，i=11﹣1=10；判断10≥10，执行S=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9＜10，输出S的值为1320．故判断框中应填i≥10．故选：D．9．定义在R上的函数f（x）在（6，+∞）上为增函数，且函数y=f（x+6）为偶函数，则A ．f （4）＜f （7）B ．f （4）＞f （7）C ．f （5）＞f （7）D ．f （5）＜f （7）【解答】解：根据题意，y=f （x+6）为偶函数，则函数f （x ）的图象关于x=6对称， f （4）=f （8），f （5）=f （7）；故C 、D 错误；又由函数在（6，+∞）上为增函数，则有f （8）＞f （7）；又由f （4）=f （8），故有f （4）＞f （7）；故选：B ．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=×2=，故体积V==，故选：C ．11．气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，现在甲、乙、丙三地连续五天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：21教育名师原创作品甲地：五个数据的中位数是24，众数为22；乙地：五个数据的中位数是27，平均数为24；丙地：五个数据中有一个数据是30，平均数是24，方差为10．则肯定进入夏季的地区有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解答】解：气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，由此得到：甲地肯定进入夏季，∵五个数据的中位数是24，众数为22，∴22℃至少出现两次，若有一天低于22℃，中位数就不是24℃，故甲地进入夏季；乙地不一定进处夏季，如13，23，27，28，29，故乙地不一定进入夏季；丙地不一定进入夏季，10×5﹣（30﹣24）2≥（24﹣x ）2， ∴（24﹣x ）2≤14，x=21时，成立，故丙地不一定进入夏季．故选：B ．12．已知圆O 的半径为2，PA 、PB 为圆O 的两条切线，A 、B 为切点（A 与B 不重合），则的最小值为（）2·1·c ·n ·j ·yA ．﹣12+4B ．﹣16+4C ．﹣12+8D ．﹣16+8【解答】解：设PA 与PO 的夹角为α，则|PA|=|PB|=，y=•=||||cos2α=•cos2α=•cos2α=4记cos2α=μ．则y=4=4[（﹣μ﹣2）+]=﹣12+4（1﹣μ）+≥﹣12+8．当且仅当μ=1﹣时，y 取得最小值：8．即•的最小值为8﹣12．故选：C ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f （x ）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a= 0 ．【解答】解：∵f （x ）为偶函数 ∴f （﹣x ）=f （x ）恒成立即x2﹣|x+a|=x2﹣|x ﹣a|恒成立即|x+a|=|x ﹣a|恒成立所以a=0故答案为：0．14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 5 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43 b=34第二圈k=4 a=44 b=44第三圈k=5 a=45 b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．15．若平面向量，满足||≤1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是．【解答】解：∵以向量，为邻边的平行四边形的面积为，∴．∵平面向量，满足||≤1，||≤1，∴，∵θ∈（0，π），∴．∴与的夹角θ的取值范围是．故答案为：．16．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．【解答】解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BA C=θ，a=4．（1）求bc的最大值；（2）求函数的值域．【解答】解：（1）∵=bc•cosθ=8，由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16，∴b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16，当且仅当b=c=4，θ=时取得最大值；（2）结合（1）得，=bc≤16，∴cosθ≥，又0＜θ＜π，∴0＜θ≤，∴=2sin（2θ+）﹣1∵0＜θ≤，∴＜2θ+≤，∴sin（2θ+）≤1，当2θ+=，即θ=时，f（θ）min=2×，当2θ+=，即θ=时，f （θ）max=2×1﹣1=1，∴函数f （θ）的值域为[0，1]18．已知函数的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若存在，使f （x0）=0，求λ的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）=sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣λ=2sin （2ωx ﹣）﹣λ，∵函数f （x ）的图象关于直线x=π对称，∴解得：2ωx ﹣=kπ+，可得：ω=+（k ∈Z ），∵ω∈（，1）．可得k=1时，ω=，∴函数f （x ）的最小正周期T==…6分（2）令f （x0）=0，则λ=2sin （﹣），由0≤x0≤，可得：﹣≤﹣≤，则﹣≤sin （﹣）≤1，根据题意，方程λ=2sin （﹣）在[0，]内有解，∴λ的取值范围为：[﹣1，2]…12分19．向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t ），||在t0时取得最小值，当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围是．【解答】解：由题意可得=2×1×co sθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t ）﹣t，∴||2==（1﹣t ）2+t2﹣2t （1﹣t ）=（1﹣t ）2+4t2﹣4t （1﹣t ）cosθ =（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案为：20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，PD ⊥DC ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD= （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，=λ，试确定 λ的值使得二面角Q ﹣BD ﹣P 为60°．【解答】（1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PDC ，图1所示．∴AD ⊥PD ，AD ⊥DC ，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH ⊥CD 于H ，在△BCH 中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB 中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°， ∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC ⊥BD ． ∵PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，AD ∩DC=D ． AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，∵BD ∩PD=D ，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ． ∴BC ⊥平面PBD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）解：过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ，过点M 作MN ⊥BD 于点N ，连QN ．由（1）可知BC ⊥平面PDB ，∴QM ⊥平面PDB ，∴QM ⊥BD ， ∵QM ∩MN=M ，∴BD ⊥平面MNQ ，∴BD ⊥QN ，图2所示． ∴∠QNM 是二面角Q ﹣BD ﹣P 的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．21教育网（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．22．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．。

湖南师大附中20172018学年度高二第1学期期末考试

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试物理(理科)时量：90分钟总分值：150分得分____________第Ⅰ卷(总分值100分)一、单项选择题(每题5分，共50分)1．以下物理量是矢量的是A．电流 B．电势差 C．磁通量 D．电场强度2．关于磁感应强度，以下说法中正确的选项是A．依照磁感应强度概念式B＝FIL可知，磁感应强度B与F成正比，与IL成反比B．一小段通电直导线放在磁感应强度为零的地址，它所受到的磁场力必然为零C．一小段通电直导线在某处不受磁场力作用，那么该处的磁感应强度必然为零D．磁场中某处磁感应强度的方向，与通电导线在该处所受磁场力的方向相同3．如下图，在真空中把一绝缘导体向带电(负电)的小球P缓慢地靠近(不相碰)，以下说法中正确的选项是A．B端感应出正电荷B．导体内电场强度愈来愈大C．导体的感应电荷在M点产生的电场强度恒大于在N点产生的电场强度D．导体的感应电荷在M、N两点的电场强度相等4．在真空中，两个等量异种点电荷电荷量数值均为q，相距r，两点电荷连线中点处的电场强度为A．05．如下图，a、b、c、d是四根长度相同，等间距地被竖直固定在同一平面上的通电长直导线，当它们通以大小相等、方向如图的电流时，各导线所受磁场力的合力是A．导线a受力方向向右B．导线b受力方向向左C．导线c受力方向向右D．导线d受力方向向右6．如下图，回旋加速器是用来加速带电粒子使它取得专门大动能的装置．其核心部份是两个D形金属盒，置于匀强磁场中，两盒别离与高频电源相连．那么以下说法正确的选项是A．带电粒子从磁场中取得能量B．带电粒子加速所取得的最大动能与加速电压的大小有关C．带电粒子加速所取得的最大动能与金属盒的半径有关D．带电粒子做圆周运动的周期随半径增大7．如下图，用静电计能够测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，静电计指针张角会随电势差U的变大而变大，现使电容器带电并维持总电量不变，以下哪次操作能让静电计指针张角变大A．仅将A板略微上移B．仅减小两极板之间的距离C．仅将玻璃板插入两板之间D．条件不足无法判定8．如下图，质量为m的铜质小闭合线圈静置于粗糙水平桌面上．当一个竖直放置的条形磁铁切近线圈，沿线圈中线由左至右从线圈正上方等高、快速通过时，线圈始终维持不动．那么关于线圈在此进程中受到的支持力N和摩擦力f的情形，以下判定正确的选项是A．N先小于mg，后大于mgB．N一直大于mgC．f一直向左D．f先向左，后向右9．如下图，一段长方体形导电材料，左右两头面的边长都为a和b，内有带电量为q的某种自由运动电荷．导电材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为B.当通以从左到右的稳恒电流I时，测得导电材料上、下表面之间的电压为U，且上表面的电势比下表面的低．由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负别离为，正，负，正，负10．矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直．规定磁场的正方向垂直于纸面向里，磁感应强度B随时刻t转变的规律如下图．假设规定顺时针方向为感应电流i的正方向，那么以下i－t图象中正确的选项是答题卡题号12345678910得分答案11．(6分)读出以下游标卡尺和螺旋测微器的示数：游标卡尺的示数为________mm；螺旋测微器的示数为________mm.12．(15分)在“测定金属的电阻率”的实验中，用螺旋测微器测量金属丝直径，用米尺测出金属丝的长度L，金属丝的电阻大约为5 Ω，先用伏安法测出金属丝的电阻R，然后依照电阻定律计算出该金属材料的电阻率．为此取来两节新的干电池、开关和假设干导线及以下器材：A．电压表0～3 V，内阻10 kΩB．电压表0～15 V，内阻50 kΩC．电流表0～0.6 A，内阻ΩD．电流表0～3 A，内阻ΩE．滑动变阻器，0～10 ΩF．滑动变阻器，0～100 Ω(1)要求较准确地测出其阻值，电压表应选______，电流表应选______，滑动变阻器应选______．(填序号)(2)实验中某同窗的实物接线如下图，请指出该同窗实物接线中的两处明显错误．错误1：________________________________________________________________________；错误2：________________________________________________________________________.三、计算题(共29分．解许诺写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分)13．(9分)用绝缘细线将质量m＝4×10－3 kg的带电小球P悬挂在O点，空间有方向为水平向右，大小E＝1×104N/C的匀强电场，小球偏转θ＝37°后处于静止状态．(g取10 m/s2，sin 37°＝，cos 37°＝求：(1)分析小球的带电性质；(2)小球的电荷量q的大小；(3)细线的拉力F的大小．14. (10分)如下图，MN、PQ为滑腻金属导轨(金属导轨电阻忽略不计)，MN、PQ相距L＝50 cm，导体棒AB在两轨道间的电阻为r＝1 Ω，且能够在MN、PQ上滑动，定值电阻R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，整个装置放在磁感应强度为B＝ T的匀强磁场中，磁场方向垂直于整个导轨平面，现用外力F拉着AB棒向右以v ＝5 m/s的速度做匀速运动．求：(1)导体棒AB产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流方向；(2)导体棒AB两头的电压U AB.15. (10分)如图，一个质子和一个α粒子从容器A下方的小孔S，无初速地飘入电势差为U的加速电场．然后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向外，MN为磁场的边界．已知质子的电荷量为e、质量为m，α粒子的电荷量为2e、质量为4m.求：(1)质子进入磁场时的速度v；(2)质子在磁场中运动的时刻t；(3)质子和α粒子在磁场中运动的轨道半径之比r H∶rα.第Ⅱ卷一、多项选择题(每题6分，共30分，每题给出的四个选项中，有多个选项正确，全数选对的得6分，部份正确的得3分，选错或不选的得0分)16．位于同一水平面上的两根平行导电导轨，放置在斜向左上方、与水平面成60°角范围足够大的匀强磁场中，现给出这一装置的侧视图．一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动，在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的进程中，金属棒始终维持匀速运动，那么磁感应强度B 的大小转变可能是A ．始终变大B ．始终变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大17．如下图，一个电荷量为＋Q 的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O 点，电荷量为－q 、质量为m 的点电荷乙从A 点以初速度v 0沿它们的连线向甲运动，到B 点时速度最小且为v. 已知静电力常量为k ，点电荷乙与水平面的动摩擦因数为μ，AB 间距离为L.那么A ．OB 间的距离为kQqμmgB ．从A 到B 的进程中，电场力对点电荷乙做的功为W ＝μmgL＋12mv 20－12mv 2C ．从A 到B 的进程中，电场力对点电荷乙做的功为W ＝μmgL＋12mv 2－12mv 2D ．在点电荷甲形成的电场中，AB 间电势差U AB ＝μmgL＋12mv 2－12mv 2q18．如下图电路中，电源内电阻为r ，R 1、R 3、R 4均为定值电阻，电表均为理想电表．闭合开关S ，将滑动变阻器R 2的滑片向左滑动，电流表和电压表示数转变量的大小别离为ΔI 、ΔU ，以下结论中正确的选项是A ．电流表示数变大，电压表示数变小B ．电阻R 1被电流表短路＜r＞r19．用一段截面半径为r 、电阻率为ρ、密度为d 的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环，圆环竖直向下落入如下图的径向磁场中．圆环的圆心始终在N 极的轴线上，圆环所在的位置的磁感应强度大小均为B ，当圆环在加速下落时某一时刻的速度为v ，则A ．现在整个环的电动势为E ＝2Bv πRB ．现在圆环的加速度a ＝B 2vρdC ．忽略电感的阻碍，现在圆环中的电流I ＝2B πRvρD ．若是径向磁场足够长，那么圆环的最大速度v m ＝ρgdB220．如下图，EF 和MN 两平行线将磁场分割为上、下两部份，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里．现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子(不计重力)从EF 线上的A 点以速度v 斜向下射入EF 下方磁场，速度与边界成30°角，通过一段时刻后正好通过C 点，通过C 点时速度方向斜向上，与EF 也成30°角，已知A 、C 两点间距为L ，两平行线间距为d ，以下说法中正确的选项是A ．粒子不可能带负电B ．磁感应强度大小可能知足B ＝mvqLC ．粒子抵达C 点的时刻可能为7πm 3Bq ＋4dvD ．粒子的速度可能知足v ＝（L －23nd ）Bqm(n ＝0，1，2，3，…)答题卡题号 16 17 18 19 20 得分答案二、填空题(每空221．某爱好小组要精准测定电源的电动势和内阻，他们找来了如下器材： A ．电流表G(量程为30 mA 、内阻未知) B ．电阻箱R(0～ Ω)C ．滑动变阻器R 1(0～20 Ω)D ．滑动变阻器R 2(0～1 k Ω)E ．开关、导线假设干F ．电源E(电动势约10 V)(1)要完成实验，第一需测量电流表G 的内阻．测量电流表G 内阻的实验电路如图甲所示： ①将下述实验进程补充完整．a ．选择器材，滑动变阻器R′应该选取______(选填“R 1”或“R 2”)；b ．连接好电路，R ′的滑片应调到______(选填“a”或“b”)端；c ．断开S 2，闭合S 1，调剂R′，使电流表G 满偏；d ．维持R′不变，闭合S 2，调剂电阻箱R 的阻值，当R ＝10 Ω时，电流表G 的示数为20 mA ； ②若是以为闭合S 2前后干路上电流不变，那么电流表G 的内阻R g ＝________Ω.(2)在测出电流表内阻R g 后，测定该电源的电动势和内阻的电路如图乙所示．闭合开关S ，调整电阻箱R ，读取相应的电流表示数I ，记录多组数据(R ，I)，取得如图丙所示的1I －R 图线，那么电源的电动势E＝________V ，内阻r ＝________Ω.三、计算题(共10分．解许诺写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分)22．如下图，一面积为S 单匝圆形金属线圈与阻值为R 的电阻连结成闭合回路，不计圆形金属线圈及导线的电阻．线圈内存在一个方向垂直纸面向内、磁感应强度均匀增加且转变率为k的磁场B t.电阻两头并联一对平行金属板M、N，N板右边xOy坐标系(坐标原点O在N板的下端)的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OA和y轴的夹角∠AOy＝45°，AOx区域为无场区．在靠近M板处的P点由静止释放一质量为m，带电量为＋q的粒子(不计重力)，通过N板的小孔，从Q(0，a)点垂直y轴进入第Ⅰ象限，经OA上某点离开磁场，最后垂直x轴离开第Ⅰ象限．求：(1)平行金属MN取得的电压U；(2)yOA区域匀强磁场的磁感应强度B；(3)假设只改变Ⅰ象限内磁感应强度的大小，带电粒子进入磁场偏转后能打到N板的右边，设粒子与N 板碰撞前后电量维持不变并以相同的速度反弹，不计粒子与N板碰撞的作历时刻，那么带电粒子在磁场中运动的极限时刻是多少？湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试物理(理科)参考答案第Ⅰ卷一、单项选择题(每题5分，共50分)二、填空题11． ±(都可) 12．(1)A C E(2)导线连接在滑动变阻器的滑片上采纳了电流表内接法【解析】(1)因两节新的干电池的电动势为3 V ，电压表应选0～3 V ，应选A ；因金属丝的电阻大约为5 Ω，流过电流表金属丝的电流大约I ＝U R x ＝35 A ＝0.6 A ，电流表应选C ；由I ＝ER ＋r ，结合电流表读数原理，应知足13I A ≤E R ＋r ≤23I A ，可求得15 Ω≤R ≤30 Ω，可见滑动变阻器能够用限流式，应选E ；(2)因R V R x >R xR A，因此电流表应用外接法，因此该同窗实物接线中的两处明显错误1采纳了电流表内接法，2导线连接在滑动变阻器的滑片上．三、计算题(共29分．解许诺写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分)13．(9分)(1)正(3分) (2)3×10－6C(3分) (3)5×10－2 N(3分)14．(10分)【解析】(1)导体棒AB 产生的感应电动势E ＝BLv ＝ V(2分) 由右手定那么，AB 棒上的感应电流方向向上，即沿B →A 方向(2分) (2)R 并＝R 1×R 2R 1＋R 2＝2 Ω(2分)I ＝E R 并＋r ＝56 A(2分) U AB ＝I·R 并＝53V(2分)15．(10分)【解析】(1)质子在电场中加速，依照动能定理得 eU ＝12mv 2(2分)v ＝2eUm(1分)(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动evB ＝m v2r (2分)T ＝2πr v (1分)t ＝12T ＝πmeB (1分) (3)r ＝mv eB ＝1B2mUe(2分) r H r α＝12(1分) 第Ⅱ卷一、多项选择题(每题6分，共30分)16．AD 【解析】以金属棒为研究对象，受重力、安培力、弹力和摩擦力．安培力F ＝BIL两角的关系θ＝90°－α f ＝μN由平稳条件得：G ＝N ＋BILsin θ，f ＝BILcos θ 解得：B ＝μG IL （cos θ＋μsin θ）在B 转过30°的进程中，安培力与沿顺时针转动，因此θ从30°减小到0°，由数学知识可知：磁感应强度可能始终变大，也可能先变小后变大，故AD 对．17．AC 【解析】当速度最小时有：μmg＝F 库＝k Qqr2，因此解得：r ＝kQqμmg，A 正确，点电荷从A 运动B 进程中，依照动能定理有：U AB q －mgμL 0＝12mv 2－12mv 20，解得，W ＝μmgL＋12mv 2－12mv 20，B 错误，C 正确，U AB ＝μmgL＋12mv 2－12mv 2－q，电荷带负电，D 错误．18．AC 【解析】设R 1、R 2、R 3、R 4的电流别离为I 1、I 2、I 3、I 4，电压别离为U 1、U 2、U 3、U 4.干路电流为I 总，路端电压为U ，电流表电流为I.当滑动变阻器R 2的滑动触头P 向左滑动时，R 2变小，外电路总电阻变小，I 总变大，由U ＝E －I总r 知，U 变小，那么电压表示数变小．U 变小，I 3变小，由I 总＝I 3＋I 4且I 总变大知，I 4变大，U 4变大，而U 1＝U －U 4，U 变小，则U 1变小，I 1变小，I 总变大，又I 总＝I ＋I 1，I 变大，故A 正确；由图可知电阻R 1与R 2并联后再与R 4串联，然后再与R 3并联，明显R 1未被电流表短路，B错误；电源的内电阻r ＝ΔU ΔI 总，I 总＝I ＋I 1，I 总变大，I 变大，I 1变小，因此ΔI 总＜ΔI ，则ΔU ΔI 总＞ΔUΔI ，故C 正确；D 错误，应选AC.19．AD 【解析】圆环落入径向磁场中，垂直切割磁感线，磁感应强度为B ，那么产生的感应电动势E ＝Blv ＝B·2πRv ，选项A 正确；圆环的电阻为R 电＝ρ2πR πr 2，圆环中感应电流为I ＝E R 电＝B πr 2vρ，选项C 错误；圆环所受的安培力大小为F ＝BI·2πR ，现在圆环的加速度为a ＝mg －F m ，m ＝d ·2πR ·πr 2，得a＝g －B 2vρd ，选项B 错误；当圆环做匀速运动时，安培力与重力相等时速度最大，即有mg ＝F ，那么得d·2πR ·πr 2g ＝B·B πr 2v m ρ·2πR ，解得v m ＝ρgdB2，选项D 正确．20．BCD 【解析】假设粒子带负电，粒子可沿图甲轨迹通过C 点，因此选项A 错误；若是粒子带正电，且直接偏转通过C 点，如图乙所示，则R ＝L ，由Bqv ＝mv 2R 得B ＝mvqL ，因此选项B 正确；在图丙所示情形中粒子抵达C 点所历时刻正好为7πm 3Bq ＋4dv ，那么选项C 正确；由于带电粒子能够多次偏转通过C 点，如图丁所示，由几何知识可得，L ＝2ndtan 60°＋2Rsin 30°，则R ＝L －23nd ，依照R ＝mvBq可得，v ＝（L －23nd ）Bqm(n ＝0，1，2，3，……)，选项D 正确．二、填空题(每空2分，共10分) 21．(1)①R 2 a ②5 (2)9 40【解析】(1)电源的电动势约为10 V ，电流表的满偏电流为30 mA ，那么电路总电阻的最小值为R min＝EI ＝错误! Ω＝ Ω，那么滑动变阻器应选择R 2；闭合开关S 1前，应将滑动变阻器接入电路的电阻值调到最大，因此连接好电路后，滑动变阻器的滑片应调到a 端；闭合S 2后，由并联电路的特点可知，(I g －I)R ＝IR g ，则R g ＝5 Ω.(2)依照题图乙，由闭合电路欧姆定律可知E ＝I(R ＋r ＋R g )，则1I ＝1E R ＋r ＋R gE ，那么图象的斜率k ＝1E ，图象的截距为b ＝r ＋R g E ，又由图象可得k ＝19、b ＝5，由以上可解得E ＝9 V 、r ＝40 Ω.22．【解析】(1)依照法拉第电磁感应定律，知感应电动势为 E ＝ΔΦΔt ＝ΔBΔtS ＝kS ①1分(2)因平行金属板M ，N 与电阻并联，故M 、N 两板间的电压为 U ＝E ＝kS ②1分带电粒子在M 、N 间做匀加速直线运动，有 qU ＝12mv 2③1分带电粒子进入磁场区域的运动轨迹如下图，有 qvB ＝m v2r ④1分由几何关系可得r ＋rcot 45°＝a ⑤1分联立②③④⑤得B ＝2a 2mkSq⑥1分 (3)设粒子运动圆周半径为r′，r ′＝mvqB ，当r′越小，最后一次打到N 板的点的越靠近O 点，在磁场中圆周运动积存路越大，时刻越长，当r′为无穷小，通过n 个半圆运动，最后一次打到O 点，有：n ＝a2r′⑦1分圆周运动周期：T ＝2π·r ′v ⑧1分最长的根限时刻：t m ＝n T2 ⑨1分由②③⑦⑧⑨式得：t m ＝π·a 2v ＝π·a2m2qkS⑩1分。

湖南师大附中高二上学期考试试题(数学文)

湖南师大附中高二第一学期数学(文科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷(共100分)一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分) 1．已知sin α＝52，则cos 2α＝ A.257 B ．－257 C.2517 D ．－25172．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝c ＝2a ，则cos B ＝ A.81 B.41 C.21D ．14．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b c<cos A ，则△ABC 为 A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形5．已知点(a ，b ) 在函数y ＝－x ＋1的图象上，则a 1＋b 4的最小值是A ．6B ．7C ．8D ．96．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则从上往下数第6节的容积为A.3337B.6667C.1110D.33237．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和， 27a 4＋a 7＝0，则S2S4＝A ．10B ．9C ．－8D ．－58．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，则数列{a n }的前20项的和为 A ．－100 B ．100 C ．－110 D ．1109．若x ，y 满足约束条件x －2y ≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．已知0<x <1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为 A.31 B.21 C.32 D.4311．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n ，若对所有的n (n ∈N *)，都有S n ≥S 10，则A ．a n ≥0B ．a 9·a 10<0C ．S 2<S 17D ．S 19≤0二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12．在等比数列{a n }中，a 4·a 6＝2 018，则a 3·a 7＝ ________ . 13．在△ABC 中，a ＝，b ＝1，∠A ＝3π，则cos B ＝________．14．对于实数a 、b 、c ，有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a ab >b 2；④若c >a >b >0，则c －a a >c －b b ；⑤若a >b ，a 1>b 1，则a >0，b <0.其中正确的是________．(填写序号)三、解答题(本大题共3小题，共30分) 15．(本小题满分8分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求角C ；(2)若c ＝，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．16.(本小题满分10分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在A 、B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h ，2 h ，加工一件乙产品所需工时分别为2 h ，1 h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h ，分别用x ，y 表示计划每月生产甲、乙产品的件数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．17.(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{a n }满足：a 3＋a 8＝20，且a 5是a 2与a 14的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝anan ＋11，求数列{b n }的前n 项和S n .第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18．(本小题满分6分) 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若→FP ＝4→FQ，则|QF|等于( )A .27B .25C ．3D ．2 二、填空题19．(本小题满分6分)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：4x2＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是__________．三、解答题20．(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AD ＝BC ＝.沿EF 将梯形AFED 折起，使得∠AFB ＝60°，如图．(1)若G 为FB 的中点，求证：AG ⊥平面BCEF ； (2)求二面角C －AB －F 的正切值．21.(本小题满分13分)已知二次函数f(x)＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数q 的取值范围； (2)是否存在常数t(t ≥0)，当x ∈[t ，10]时，f(x)的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t(视区间[a ，b]的长度为b －a)．22.(本小题满分13分)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e ＝21.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足→OM ＋→ON ＝λ→OC，求实数λ的取值范围．湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(文科)参考答案第Ⅰ卷(共100分)一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CBBADAAABBD1.C 【解析】cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×52＝2517.故选C .2．B 【解析】由数列前几项可知a n ＝，令a n ＝＝3得n ＝23.故选B . 3．B4．A 【解析】由正弦定理可得sin C<sin B cos A ，sin (A ＋B)<sin B cos A ，即sin A cos B<0，所以∠B 是钝角，选A .5．D 【解析】a ＋b ＝1，∴a 1＋b 4＝b 4(a ＋b)＝5＋b 4a ≥9，当且仅当b ＝2a ＝32时取等号．故选D .6．A 【解析】根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n }，设其公差为d ，且d ＞0，由题意可得：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，则4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解可得a 1＝2213，d ＝667，则第6节的容积a 6＝a 1＋5d ＝6674＝3337. 故答案为A .7．A 【解析】由27a 4＋a 7＝0，得q ＝－3，故S2S4＝1－q21－q4＝1＋q 2＝10.故选A .8．A 【解析】由a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，得a 2＋a 1＝－1，a 3＋a 4＝－3，a 5＋a 6＝－5，…，a 19＋a 20＝－19.∴a n 的前20项的和为a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝－1－3－…－19＝－21＋19×10＝－100，故选A .9．B 【解析】由x ，y 满足约束条件x －2y ≥0.x ＋y －3≤0，作出可行域如图，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－21x ＋2z.要使z 最大，则直线y ＝－21x ＋2z的截距最大，由图可知，当直线y ＝－21x ＋2z过点A 时截距最大．联立x ＋y ＝3x ＝2y ，解得A(2，1)， ∴z ＝x ＋2y 的最大值为2＋2×1＝4.故答案为B .10．B 【解析】∵0<x<1,∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3·2x ＋1－x ＝43，当且仅当x ＝21时取等号． ∴x(3－3x)取最大值43时x 的值为21. 故选B .11．D 【解析】由 n ∈N *，都有S n ≥S 10, ∴a 10≤0，a 11≥0， ∴a 1＋a 19＝2a 10≤0， ∴S 19＝219（a1＋a19）≤0，故选D. 二、填空题 12．2 01813.23 【解析】∵a ＝，b ＝1，∠A ＝3π，∴由正弦定理可得：sin B ＝a bsin A ＝2＝21，∵b <a ，B 为锐角，∴cos B ＝＝23.故答案为：23.14．②③④⑤ 【解析】当c ＝0时，若a >b ，则ac ＝bc ，故①为假命题；若ac 2>bc 2，则c ≠0，c 2>0，故a >b ，故②为真命题；若a ab 且ab >b 2，即a 2>ab >b 2，故③为真命题；若c >a >b >0，则a c c －b b，故④为真命题；若a >b ，a 1>b 1，即ab b >ab a，故a ·b <0，则a >0，b <0，故⑤为真命题．故答案为②③④⑤. 三、解答题15．【解析】(1)∵在△ABC 中，0<C <π，∴sin C ≠0，已知等式利用正弦定理化简得：2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，整理得：2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，即2cos C sin(π－(A ＋B ))＝sin C ， 2cos C sin C ＝sin C ， ∴cos C ＝21， ∴C ＝3π.4分(2)由余弦定理得7＝a 2＋b 2－2ab ·21，∴(a ＋b )2－3ab ＝7， ∵S ＝21ab sin C ＝43ab ＝23， ∴ab ＝6，∴(a ＋b )2－18＝7， ∴a ＋b ＝5，∴△ABC 的周长为5＋.8分16．【解析】(1)设甲、乙两种产品月产量分别为x ，y 件，约束条件是y ≥0，x ≥0，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分.5分 (2)设每月收入为z 千元，目标函数是z ＝3x ＋2y ，由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－23x ＋21z ，截距最大时z 最大．结合图象可知，直线z ＝3x ＋2y 经过A 处取得最大值由x ＋2y ＝4002x ＋y ＝500，可得A (200，100)，此时z ＝800.故安排生产甲、乙两种产品的月产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元.10分17．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3＋a 8＝20，且a 5是a 2与a 14的等比中项，∴（a1＋4d ）2＝（a1＋d ）（a1＋13d ），2a1＋9d ＝20，解得a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.6分 (2)b n ＝（2n －1）（2n ＋1）1＝212n ＋11，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝212n ＋11＝212n ＋11＝2n ＋1n. 12分第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18．C 【解析】∵→FP ＝4→FQ， ∴|→FP |＝4|→FQ |，∴|PF||PQ|＝43.如图，过Q 作QQ′⊥l ，垂足为Q′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF|＝4，∴|AF||QQ ′|＝|PF||PQ|＝43，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3，故选C . 二、填空题19. 【解析】|F 1F 2|＝2.设双曲线的方程为a2x2－b2y2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a. 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2， ∴a ＝，∴e ＝a c ＝23＝26. 三、解答题20．【解析】(1)因为AF ＝BF ，∠AFB ＝60°，△AFB 为等边三角形．又G 为FB 的中点，所以AG ⊥FB.2分在等腰梯形ABCD 中，因为E 、F 分别是CD 、AB 的中点，所以EF ⊥AB.于是EF ⊥AF ，EF ⊥BF ，则EF ⊥平面ABF ，所以AG ⊥EF.又EF 与FB 交于一点F ，所以AG ⊥平面BCEF.5分 (2)连接CG ，因为在等腰梯形ABCD 中，CD ＝2，AB ＝4，E 、F 分别是CD 、AB 中点，G 为FB 的中点，所以EC ＝FG ＝BG ＝1，从而CG ∥EF. 因为EF ⊥平面ABF ，所以CG ⊥平面ABF.过点G 作GH ⊥AB 于H ，连结CH ，据三垂线定理有CH ⊥AB ，所以∠CHG 为二面角C －AB －F 的平面角.8分因为Rt △BHG 中，BG ＝1，∠GBH ＝60°，所以GH ＝23. 在Rt △CGB 中，CG ⊥BG ，BG ＝1，BC ＝，所以CG ＝1.在Rt △CGH 中，tan ∠CHG ＝33，故二面角C －AB －F 的正切值为33.12分21．【解析】(1)∵函数f(x)＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f(x)在区间[－1，1]上是减函数．∵函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有f （－1）≥0，f （1）≤0，即1＋16＋q ＋3≥0，1－16＋q ＋3≤0，∴－20≤q ≤12.6分(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且对称轴是x ＝8. ①当0≤t ≤6时，在区间[t ，10]上，f(t)最大，f(8)最小， ∴f(t)－f(8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝217，∴t ＝217；9分②当6<t ≤8时，在区间[t ，10]上，f(10)最大，f(8)最小， ∴f(10)－f(8)＝12－t ，解得t ＝8；11分③当8<t<10时，在区间[t ，10]上，f(10)最大，f(t)最小， ∴f(10)－f(t)＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，解得t ＝8，9， ∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝217，8，9满足条件.13分22．【解析】(1)设椭圆的标准方程为a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得：c2＝a2－b2，，解得b2＝6，a2＝8，所以椭圆的标准方程为8x2＋6y2＝1.4分(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以1＋k2|t ＋k|＝1 2k ＝t 1－t2(t ≠0)，6分把y ＝kx ＋t 代入8x2＋6y2＝1并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－3＋4k28kt， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝3＋4k26t， 8分因为λ→OC＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C （3＋4k2）λ6t，又因为点C 在椭圆上，所以，（3＋4k2）2λ28k2t2＋（3＋4k2）2λ26t2＝1 λ2＝3＋4k22t2＝＋11，11分因为t 2＞0，所以t21＋t21＋1＞1，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为(－，0)∪(0，).13分。

湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x＝y＝1，则|x+yi|＝|1+i|＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．【分析】∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈R．且f（a）不在区间[1，2]内．f′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈Rf′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．x＝a时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（a）＝lna﹣1．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），可得f（a）不在区间[1，2]内．∴a∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．【分析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ﹣ρcosθ＝1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l与圆C公共点的极坐标．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，∴ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG 为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

湖南师大附中数学文科

湖南师大附中2017届高三摸底考试数学(文科)得分：______________本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{}1，2，3，4，5，M ＝{}2，3，4，N ＝{}4，5，则()∁U M ∪N ＝ A.{}1 B.{}1，5 C.{}4，5 D.{}1，4，52．若复数z 满足z ＋2－3i ＝－1＋5i ，则z －＝ A ．3－8i B ．－3－8i C ．3＋8i D ．－3＋8i3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为A.13B.12C.23D.344．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b ＝6，A ＝π3，则角B 等于A.π4B.3π4C.π4或3π4D ．以上都不对 5．己知直线l 的斜率为k ，它与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若AF →＝2FB →，则|k |＝A ．2 2 B. 3 C.24 D.336．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 的图象 A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位7．若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是A ．24πB ．24π＋82πC ．24π＋42πD ．32π8．设a ＝7－12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17－13，c ＝log 712，则下列关系中正确的是A ．c 5B ．k >6C ．k >7D ．k >811．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为A.14 B ．－14 C.12 D ．－1212．已知a ，b ∈R ，直线y ＝ax ＋b ＋π2与函数f ()x ＝tan x 的图象在x ＝－π4处相切，设g ()x ＝e x ＋bx 2＋a ，若在区间[]1，2上，不等式m ≤g ()x ≤m 2－2恒成立，则实数mA ．有最大值eB ．有最大值e ＋1C ．有最小值－eD ．有最小值e二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知向量a ＝(－1，1)，向量b ＝(3，t )，若b ∥(a ＋b )，则t ＝________．14．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________． 15．已知直线l 经过点P ()－4，－3，且被圆()x ＋12＋()y ＋22＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________________．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x －5y ＋10≤0x ＋y －8≤0所表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)，使x 0＋ay 0＋2≤0成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)数列{}a n 的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1()n ≥1. (1)求{}a n 的通项公式； (2)求S n .18.(本小题满分12分)某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50，60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间矩形的高；(3)若要从分数在[80，100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100)之间的概率．19．(本小题满分12分)如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．已知函数f ()x ＝ln ()e x＋a (a 为常数，e 为自然对数的底数)是实数集R 上的奇函数，函数g ()x ＝λf ()x ＋sin x 在区间[]－1，1上是减函数．()1求实数a 的值；()2若g ()x ≤t 2＋λt ＋1在x ∈[]－1，1上恒成立，求实数t 的取值范围；()3讨论关于x 的方程ln x f ()x ＝x 2－2e x ＋m 的根的个数．选做题(请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号)22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲.如图，AB 是圆O 的一条弦，过点A 作圆的切线AC ，作BC ⊥AC ，与该圆交于点D ，若AC ＝23，CD ＝2.(1)求圆O 的半径；(2)若点E 为AB 中点，求证：O ，E ，D 三点共线.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2αy ＝sin 2α(α是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1sin θ－cos θ.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 1上的任意一点P 到曲线C 2的最小距离，并求出此时点P 的坐标.24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲．设函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2) 在(1)的条件下，若存在实数n ，使得f (n )≤m －f (－n )恒成立，求实数m 的取值范围.湖南师大附中2017届高三摸底考试数学(文科)参考答案一、选择题1．D 2.B 3.C 4.A5．A 【解析】设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，与抛物线y 2＝4x 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立y ＝kx ＋m (k ≠0)，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，所以 Δ＝(2km －4)2－4k 2m 2＝16－16km ，由Δ>0得km <1，x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m2k2，由y 2＝4x 得其焦点F (1，0)，由AF →＝2FB →得(1－x 1，－y 1)＝2(x 2－1，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝2x 2－2，①－y 1＝2y 2，②，由①得， x 1＋2x 2＝3，③.由②得， x 1＋2x 2＝－3m k ，所以m ＝－k ，再由AF →＝2FB →得|AF →|＝2|FB →|，所以x 1＋1＝2(x 2＋1)，即x 1－2x 2＝1，④.联立③④得x 1＝2，x 2＝12，所以x 1＋x 2＝4－2km k 2＝52，把m ＝－k 代入得4＋2k 2k 2＝52，解得||k ＝22，满足mk ＝－8<1，所以||k ＝22，故选A.6．D 【解析】y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x ，∴需向右平移π6个单位，故选D.7．C 【解析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个球的表面积、圆锥的侧面积的和．圆柱的侧面积为S 1＝2π×2×4＝16π，半球的表面积为S 2＝2π×22＝8π，圆锥的侧面积为S 3＝12×2π×2×22＝42π，所以几何体的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＝24π＋42π.8．B 【解析】由题意得，c ＝log 712<0，又b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17－13＝713>7－12＝a >0，所以c <a 0，所以函数为单调递增，故选D.10．B 【解析】第一次执行完循环体得到：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二次执行完循环体得到：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三次执行完循环体得到：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四次执行完循环体得到：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5；第五次执行完循环体得到：S ＝95＋15×6＝116，k ＝6；第六次执行完循环体得到：S ＝116＋16×7＝137，k ＝7；输出结果为137，因此判断框中应该填的条件是k >6.11．A 【解析】延长BA 到D ，使得AD ＝AC ，则四边形ADA 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥A 1D ，∴∠DA 1C 就是异面直线AB 1和A 1C 所成的角，又△ABC 为等边三角形，设AB ＝AA 1＝1，∠CAD ＝120°，则CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ＝1＋1－2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3， A 1C ＝A 1D ＝2，在△A 1CD 中，cos ∠DA 1C ＝22＋22－322×2×2＝14.故选A. 12．B 【解析】f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，所以a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝1cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1在直线y ＝ax ＋b ＋π2上，求出b ＝－1，∴g (x )＝e x －x 2＋2，令h (x )＝g ′(x )＝e x －2x ，则h ′(x )＝e x －2，∵1≤x ≤2，∴h ′(x )≥e－2>0，故h (x )在[]1，2上为增函数，h (x )≥h (1)＝e －2>0，所以g ′(x )>0，g (x )在[]1，2上为增函数，所以g (x )∈[]1＋e ，e 2－2，由不等式m ≤g ()x ≤m 2－2恒成立有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤e ＋1m 2－2≥e 2－2m ≤m 2－2，解得m ≤－e 或e ≤m ≤e ＋1，m 最大值为e ＋1，故选B.二、填空题 13．－314．－79 【解析】因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.15．x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0【解析】圆心()－1，－2，半径r ＝5，弦长为m ＝8，设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22，得d ＝3，若直线l 斜率不存在，则直线l 的方程为x ＋4＝0，此时圆心到l 的距离是3，符合题意；若直线l 斜率存在，则设直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，所以圆心到l 的距离是d ＝||－k ＋2＋4k －3k 2＋1＝3，解得k ＝－43，此时直线l 的方程是4x ＋3y ＋25＝0.综上，直线l 的方程是x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.所以答案应填：x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.16．(－∞，－1] 【解析】如下图所示阴影部分为不等式组所表示的平面区域：当a >0时，不等式x 0＋ay 0＋2≤0所表示的平面如图所示直线l 1下方部分，显然不符合题意；当a <0时，不等式x 0＋ay 0＋2≤0所表示的平面如图所示直线l 2上方部分，要使不等式组所表示的平面区域存在点(x 0，y 0)使x 0＋ay 0＋2≤0成立，则不等式所表示直线斜率必须满足－1a≤k BD ＝1即a ≤－1，故应填入(－∞，－1]．三、解答题17．【解析】(1)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1()n ≥2，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n＋1＝3a n ()n ≥2，(3分)又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴a n ＝3n －1.(7分)(2) S n ＝1×（1－3n）1－3＝3n2－12.(12分)18．【解析】(1)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)由茎叶图知：分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(4分)(2)分数在[80，90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.(7分)(3)将[80，90)之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90，100)之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80，100)之间的试卷中任取两份的基本事件为： (a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)共10个，(10分) 其中，至少有一个在[90，100)之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100)之间的概率是710.(12分)19．【解析】(1)取CE 的中点P ，连结FP 、BP . ∵F 为CD 的中点，∴FP ∥DE ，且FP ＝12DE .又AB ∥DE ，且AB ＝12DE ，∴AB ∥FP ，且AB ＝FP ，∴四边形ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP . 又∵AF 平面BCE ，BP 平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(4分)(2)∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，∴DE ⊥平面ACD ，又AF 平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又AF ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE .又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE .又∵BP 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .(8分)(3)法一：由(2)，以F 为坐标原点，AF ，FD ，FP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴(如图) 建立空间直角坐标系F －xyz .设AC ＝2，则C (0，－1，0)，B (－3，0，1)，E (0，1，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BCE 的法向量，∴n ·CB →＝0，n ·CE →＝0，∴⎩⎨⎧－3x ＋y ＋z ＝02y ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(0，－1，1)显然，m ＝(0，0，1)为平面ACD 的法向量．设面BCE 与面ACD 所成锐二面角为α，则cos α＝|m·n ||m|·|n|＝12＝22.∴α＝45°.即平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小为45°.(12分)法二：延长EB 、DA ，设EB 、DA 交于一点O ，连结CO . 则面EBC ∩面DAC ＝CO .由AB 是△EDO 的中位线，则DO ＝2AD .在△OCD 中，∵OD ＝2AD ＝2AC ，∠ODC ＝60°. ∴OC ⊥CD ，又OC ⊥DE .∴OC ⊥面ECD ，而CE 面ECD ，∴OC ⊥CE ，∴∠ECD 为所求二面角的平面角，在Rt △EDC 中，∵ED ＝CD ，∴∠ECD ＝45°，即平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角为45°.(12分) 20．【解析】(1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ， ① 又因为以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝622＋（2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝k （x －2）得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k2，(8分)根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得 EA →2＋EA →·AB →＝EA →·(EA →＋AB →)＝EA →·EB →为定值，则有EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )·(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2) ＝(k 2＋1)·12k 2－61＋3k 2－(2k 2＋m )·12k 21＋3k2＋(4k 2＋m 2)＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）3k 2＋1.(10分) 要使上式为定值，即与k 无关，则应使3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，即m ＝73，此时EA →·EB →＝m 2－6＝－59为定值，定点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.(12分) 21．【解析】(1)∵f (x )＝ln(e x＋a )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即ln(e －x ＋a )＝－ln(e x＋a )恒成立，∴(e －x ＋a )(e x ＋a )＝1，∴1＋a e －x ＋a e x ＋a 2＝1.即a (e x ＋e －x＋a )＝0恒成立，故a ＝0.(2分)(2)由(1)知g (x )＝λf (x )＋sin x ＝λx ＋sin x ，∴g ′(x )＝λ＋cos x ，x ∈[]－1，1， ∴要使g (x )＝λf (x )＋sin x 是区间[]－1，1上的减函数，则有g ′(x )≤0恒成立，∴λ≤－1.又∵g (x )max ＝g (－1)＝－λ－sin 1，∴要使g (x )≤t 2＋λt ＋1在x ∈[]－1，1上恒成立，只需－λ－sin 1≤t 2＋λt ＋1在λ≤－1时恒成立即可．∴(t ＋1)λ＋t 2＋sin 1＋1≥0(其中λ≤－1)恒成立．令h (λ)＝(t ＋1)λ＋t 2＋sin 1＋1≥0(λ≤－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≤0，h （－1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≤0，t 2－t ＋sin 1≥0，而t 2－t ＋sin 1≥0恒成立，∴t ≤－1.(7分) (3)由(1)知方程ln x f （x ）＝x 2－2e x ＋m ，即ln x x＝x 2－2e x ＋m ，令f 1(x )＝ln x x，f 2(x )＝x 2－2e x ＋m .∵f ′1(x )＝1－ln x x2，当x ∈(]0，e 时，f ′1(x )≥0，∴f 1(x )在(]0，e 上为增函数；当x ∈[e ，＋∞)时，f ′1(x )≤0，∴f 1(x )在[e ，＋∞)上为减函数；当x ＝e 时，f 1(x )max ＝1e.而f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ＝(x －e)2＋m －e 2当x ∈(]0，e 时f 2(x )是减函数，当x ∈[e ，＋∞)时，f 2(x )是增函数，∴当x ＝e 时，f 2(x )min ＝m －e 2.故当m －e 2>1e ，即m >e 2＋1e 时，方程无实根；当m －e 2＝1e ，即m ＝e 2＋1e 时，方程有一个根；当m －e 2<1e ，即m <e 2＋1e时，方程有两个根．(12分)22．【解析】(1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，OF //AC ，OF ＝AC .∵AC 为圆O 的切线，BC 为割线，∴CA 2＝CD ·CB ，∵AC ＝23，CD ＝2，∴BC ＝6，BD ＝4，BF ＝2.在Rt △OBF 中，由勾股定理得，r ＝OB ＝OF 2＋BF 2＝4.(5分) (2) 由(1)知，OA //BD ，OA ＝BD ，所以四边形OADB 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点，所以OD 与AB 交于点E ，所以O ，E ，D 三点共线．(10分)23．【解析】(1) 由题意知，C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1. C 2的直角坐标方程为y ＝x ＋1.(5分)(2) 设P (1＋cos 2α，sin 2α)，则P 到C 2的距离d ＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－1，即2α＝3π4＋2k π(k ∈Z )时，d 取最小值2－1，此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－22，22.(10分) 24．【解析】(1) 由f (x )≤6，得a －6≤2x －a ≤6－a (a <6)，即其解集为{x |a －3≤x ≤3}，由题意知f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a ＝1.(5分)(2) 原不等式等价于m ≥f (n )＋f (－n )，存在实数n ，使得m ≥f (n )＋f (－n )＝|1－2n |＋|1＋2n |＋2恒成立，即m ≥(|1－2n |＋|1＋2n |＋2)min ，而由绝对值三角不等式，|1－2n |＋|1＋2n |≥2，从而实数m ≥4.(10分)。

湖南省师大附中高二数学上学期期末试卷文(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4} 2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：b＜m，则m=b；第三步：若c＜m，则m=c；第四步：输出m．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值4．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题6．（5分）若幂函数f（x）图象经过点P（4，2）．则它在P点处的切线方程为（）A．8x﹣y﹣30=0 B．x﹣4y+4=0 C．8x+y﹣30=0 D．x+4y+4=07．（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．299．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°10．（5分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值X围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．15．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b 的取值X围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数y A B CA 7 20 5B 9 18 6C a 4 b若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C 等级的人数少的概率．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S=a n（S n﹣）（1）求S n的表达式（2）设b n=，T n是{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．18．（12分）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）在棱FC上是否存在M，使得OM∥平面DAF？（3）求点A到平面BDF的距离．19．（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD 为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）20．（13分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值X围．21．（13分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN 为锐角．某某师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}=[1，4]，∴A∩B=[1，2]，故选：B．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．解答：解：∵==﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选D点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值X围，得到结果．3．（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：b＜m，则m=b；第三步：若c＜m，则m=c；第四步：输出m．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值考点：顺序结构；算法的概念．专题：算法和程序框图．分析：逐步分析各步算法，根据赋值语句的功能，即可得解．解答：解：逐步分析算法中的各语句的功能，第一步是把a的值赋值给m，第二步是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量m中，第三步是比较c与a，b中的较小值的大小，并将两数的较小值保存在变量m中，故变量m的值最终为a，b，c中的最小值．故选：D．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案，本题属于基本知识的考查．4．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．解答：解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正确；C中，写出该命题的否定命题，从而判断C是否正确．D中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性．解答：解：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C错误．对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，∴D正确．故选：D．点评：本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题．6．（5分）若幂函数f（x）图象经过点P（4，2）．则它在P点处的切线方程为（）A．8x﹣y﹣30=0 B．x﹣4y+4=0 C．8x+y﹣30=0 D．x+4y+4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先设出幂函数，利用点P确定幂函数的解析式，然后利用导数求出切线方程．解答：解：设幂函数的方程为f（x）=xα，因为f（x）图象经过点P（4，2），即f（4）=4α=22α=2，即2α=1，解得，所以幂函数方程为，幂函数的导数为，所以切线斜率．所以切线方程为，即x﹣4y+4=0．故选B．点评：本题的考点是利用导数研究曲线上切线方程，先利用条件求出幂函数是解决本题的关键．7．（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数的图象的平移变换规律，可得结论．解答：解：将x=tan3x的图象上的所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数y=tan3（x+）=tan（3x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象的平移变换规律，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．解答：解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故选C．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．解答：解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．10．（5分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值X围为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y=x．设右焦点F （c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得，可得c2≤2a2，离心率满足．得到正确答案．解答：解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（，btanθ），其中为θ锐角，∴直线OP的斜率为k==，可得直线OP方程为y=x，设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），∴，消去y1得：…（*），接下来讨论方程（*）的根的问题，当x1=0时，，将此方程进行变量分离，得：∵0＜sin2θ＜1∴而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足（*）式成立．综上所述，可得，即，可得c2≤2a2，离心率∵双曲线中，c＞a∴离心率e＞1，可得．故选C点评：本题给出双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值X围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．解答：解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．点评：本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是（2，8]考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据对数函数的真数大于0建立不等关系，然后结合图形求出函数的定义域即可．解答：解：要使函数有意义则f（x）＞0结合图象可知当x∈（2，8]时，f（x）＞0∴函数的定义域是（2，8]故答案为：（2，8]点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及数形结合的思想，同时考查了识图能力，属于基础题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=﹣1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值．解答：解：∵向量=（1，2），﹣=（3，1），∴﹣=（3，1）﹣（1，2）=（2，﹣1），∴=﹣2（2，﹣1）=（﹣4，2）；∴2+=2（1，2）+（﹣4，2）=（﹣2，6）；又=（x，3），（2+）∥，∴﹣2×3﹣6x=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．考点：概率的基本性质；几何概型．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为：点评：本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．15．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b 的取值X围为（﹣，0）．考点：带绝对值的函数．专题：计算题．分析：由题意可得|4a﹣3|=|2b+3|，故4a﹣3和2b+3互为相反数，解得b=﹣2a，代入要求的式子可得 T=3a2+b=3﹣．此函数T在（0，）上是减函数，所以T（）＜T＜T（0），由此求得T=3a2+b的取值X围．解答：解：∵f（x）=|2x﹣3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a﹣3|=|2b+3|．因为 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a﹣3＜2b+3，所以必须有4a﹣3和2b+3互为相反数．∴4a﹣3+2b+3=0，故 b=﹣2a．再由0＜2a＜b+1可得 0＜2a＜﹣2a+1，即 0＜a＜．∴T=3a2+b=3a2 ﹣2a=3﹣．此函数T在（0，）上是减函数，所以T（）＜T＜T（0），即﹣＜T＜0，故答案为（﹣，0）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数y A B CA 7 20 5B 9 18 6C a 4 b若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C 等级的人数少的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）由题意x与y由所给的表格可以知道数学与地理成绩均为B等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；（2）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，数学成绩的优秀得人数为7+20+5，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；（3）由题意知a+b=31，且a≥10，b≥8，然后列举出所求满足条件的（a，b），找出数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的个数，最后利用古典概型的概率公式解之即可．解答：解：（1）依题意，=0.18，得n=100；（2）由=0.3，得a=14．∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），，（21，10），（22，9），（23，8）共14组．其中数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少有：：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组∴数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的概率为=点评：本题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式，属于基础题．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S=a n（S n﹣）（1）求S n的表达式（2）设b n=，T n是{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得2S n﹣1S n=S n﹣1﹣S n，从而=2，由此得到数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列，从而能求出S n=．（2）由b n===（），利用裂项求和法能求出使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值．解答：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣），即2S n﹣1S n=S n﹣1﹣S n，…①由题意S n﹣1•S n≠0，将①式两边同除以S n﹣1•S n，得=2，∴数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）∵b n===（），∴T n=（）=（1﹣）＜．∵T n＜，∴，∴使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值为10．点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）在棱FC上是否存在M，使得OM∥平面DAF？（3）求点A到平面BDF的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，则AF⊥CB，而AF⊥BF，满足定理所需条件；（2）M为FC的中点，OM∥平面DAF．欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM与平面DAF内一直线平行即可，设DF的中点为N，则MNAO为平行四边形，则OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF，满足定理所需条件；（3）过A做AH⊥DF于H，根据面面垂直的性质可知AH⊥平面BDF，AH为点A到平面BDF的距离，即可得出结论．解答：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF∴AF⊥CB又AF⊥BF，CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF；（2）M为FC的中点，OM∥平面DAF．证明：设DF的中点为N，则MN平行且等于CD又AO平行且等于CD．∴MN平行且等于AO，∴MNAO为平行四边形∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF∴OM∥平面DAF；（3）解：过A做AH⊥DF于H，∵AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF，∵AF⊥BF，AD∩AF=A，∴BF⊥平面ADF，∴平面ADF⊥平面BDF，∴AH⊥平面BDF，∴AH为点A到平面BDF的距离．在△ADF中，AD=AF=1，∴AH=．点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和A到平面BDF 的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD 为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）考点：圆方程的综合应用．专题：应用题；解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC 中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径；（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．解答：解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0°，180°），故∠ABC=60°．S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）；（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=AD•CD•sin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=xy•sin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号．∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，∴当P为圆弧ABC的中点时，四边形APCD的面积最大，且为9万平方米．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．20．（13分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值X围．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h （t）的最值，从而求出k的值．解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1∵m＞0依题意得，即，解得∴g（x）=x2﹣2x+1，（Ⅱ）∵∴，∵f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，即在x∈[﹣3，3]时恒成立∴在x∈[﹣3，3]时恒成立只需令，由x∈[﹣3，3]得设h（t）=t2﹣4t+1∵h（t）=t2﹣4t+1=（t﹣2）2﹣3∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2当t=8时，取得最大值33．∴k≥h（t）max=h（8）=33∴k的取值X围为[33，+∞）．点评：本题考察了二次函数的性质，函数恒成立问题，求最值问题，换元思想，是一道综合题．21．（13分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN 为锐角．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）利用椭圆的离心率，及点在该椭圆上满足椭圆的方程与a2=b2+c2即可求出；（2）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），由A（﹣2，0），PQ=HP，得到Q（x0，2y0），进而得到直线AQ的方程为．令x=4即可得到点M的坐标；再根据向量共线即可得到点N的坐标，只要证明且三点O，Q，N不共线即可得到∠OQN为锐角．解答：解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得，又a2=b2+c2，∴4b2=a2．∵椭圆C经过，代入椭圆方程有，解得b2=1．∴a2=4，故椭圆C的方程为．（2）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），∵A（﹣2，0），∵PQ=HP，∴Q（x0，2y0），∴直线AQ的方程为．令x=2，得．∵B（2，0），，∴．∴，．∴∵，∴∴．∵﹣2＜x0＜2，∴．又O、Q、N不在同一条直线，∴∠OQN为锐角．点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、向量相等于共线及夹角等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．。

湖南省师大附中高二数学上学期期末考试(文) 新人教版【会员独享】

湖南师大附中高二年级文科数学(选修1—1)模块结业考试及答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知椭圆方程为2212332x y +=，则这个椭圆的焦距为( A ) A ．6 B ．2 C． D．2、下列命题为真命题的是（ B ）A.若b a >，则bc ac >B.若0>>b a ，则22b a >C.若|3|1x ->，则24x <<D.2x <，则24x >3、双曲线2216436x y -=上的点P 到它的右焦点的距离是10，那么点P 到它的右准线的距离是（ D ）A 6B 12C 10D 8 4、:p 30α=是:q 1sin 2α=成立的（ B ） A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件5、过点(0,2)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有（ C ）A 1条B 2条C 3条D 无数多条 6、下列求导运算正确的是（ B ）'''2'22111(log )(cos )sin (4)24ln 2A B x C x x D x x x x ===+=+、（）、、、x7、如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( D ) A 34m < C 732m << D 742m <<8、下图是导函数'()y f x =的图像，则原函数()y f x =的图像可能为（ C ）二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）9、若p:2000,220x R x x ∃∈++≤,则p ⌝为_______2,220x R x x ∀∈++>_____________. 10、抛物线4x = y 2的准线方程为 . (x= —1)11、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是____5_____m/s12、一条渐近线方程为y=x ，且过点（2，4）的双曲线标准方程为____y 2-x 2=12_______。

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期中数学(文)试题(解析版)

湖南师大附中2017-2018学年度高二第一学期期中考试数学(文科)一､选择题(本大题共12个小题)1.设集合{}|43=-<<A x x ，{}|2=≤B x x ，则A B =U （） A. ()4,3- B. (]4,2C. (],2-∞D. (),3-∞【答案】D 【解析】【分析】按照并集定义直接求解即可.【详解】因为{}|43=-<<A x x ，{}|2=≤B x x ，所以(),3A B ⋃=-∞. 故选：D .【点睛】本题考查并集的运算，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.2.对于任意实数a b c d ,,,，下列结论： ①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >；④若a b >，则11a b<；正确的结论为（） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】C 【解析】若 0,c ac bc <<所以①错误；若220,c ac bc ==所以②错误；③正确；若110,a a b=<无意义所以④错误，故选C.3.已知等差数列{}n a 中，14754a a a π++=，那么()35cos a a +=（）A.B.C.2D. 【答案】B 【解析】的【分析】根据等差数列的性质可得1742a a a +=，3542a a a +=，再结合诱导公式即可得解. 【详解】∵等差数列{}n a 中，14754a a a π++=， ∴1474534a a a a π++==， ∴4512a π=， ∴354526a a a π+==，∴()355cos cos cos 662a a ππ+==-=-. 故选：B .【点睛】本题考查等差数列的性质，考查诱导公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 4.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示，则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭A. 1B.12C. 1-D. 12-【答案】A 【解析】试题分析：由图知，2A =，且35346124πππT =-=，则周期πT =，所以2ω=．因为212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2122ππϕ⨯+=，从而3πϕ=．所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故52sin 146f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，选A ．考点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象．【易错点晴】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解），但计算量稍大，速度较慢.本题可以采用排除法解题速度较快，即先由,T π=可排除A 、C ，再由()06f π-=可排除B ，即可得正确答案D. 故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解）；2、排除法（抓住部分特征进行排除）.5.若x ，y 满足约束条件1040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx 的最大值为（） A.13B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】先作出可行域，再利用目标函数的几何意义，最后利用数形结合确定yx的最大值即可. 【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点()1,3A 与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3. 故选：D .【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查数形结合思想，属于常考题. 6.设 1.4a =，323b =，3ln2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a b c >> B. b c a >>C. c a b >>D. b a c >>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数和幂函数的性质，分别求出a ，b ，c 的范围，即可比较出三者的大小关系. 【详解】3ln12c =<，33 1.42232)1b a =>>=>，从而b a c >>.【点睛】本题考查利用利用指数函数、对数函数和幂函数的性质比较代数式大小的问题，考查学生分析和解答问题的能力，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A.252(41)3- B.252(41)3- C. 5021-D. 5121-【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图可得，当1k =时，进入程序框图运算得到2,3S k ==．对3k =进行判断50k ≥是否成立．接着又进入循环结构得到322,5S k =+=．再进行判断50k ≥,接着得到35222,7S k =++=,直到35492222,51S k =+++⋅⋅⋅+=．在进行50k ≥成立所以退出循环，所以输出的()35492522222413S =+++⋅⋅⋅+=-．故选A ．考点：1、程序程图的循环结构；2、等比数列求和.8.已知函数()()()()2log 1,11,13xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，则351log 42f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（）A. 12-B. 32-C. 2D.52【答案】B 【解析】由分段函数的定义和指对数的运算性质直接求解即可. 【详解】∵2222551log 1log log 22444f -⎛⎫⎛⎫=-===-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵133xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴31log 2311log 322f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴3513log 422f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查分段函数的求值问题，考查指、对数的运算性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.9.在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是（）A. 16-B.C. 1D.【答案】B 【解析】分析】利用几何概型知识进行分析计算即可得解.【详解】以A ､B ､C 为圆心，以1为半径作圆，与ABC ∆相交出三个扇形(如图所示)，当P落在阴影部分时符合要求.∴21121622P π⨯⨯==⨯.故选：B .【点睛】本题考查与几何图形的面积有关的的几何概型，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 10.设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“m 1≥”是“命题p 为真命题”（）【A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】命题p ：x ∈R ，x 2﹣4x +2m ≥0（其中m 为常数），由△＝16﹣8m ≤0，解得m 范围即可判断出结论．【详解】若命题p 为真，则对任意x ∈R ，2420x x m -+≥恒成立，所以1680m ∆=-≤，即21m m ≥⇒≥.因为2m ≥，则“m 1≥”是“命题p 为真”的必要不充分条件，选B .【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.函数()y f x =是R 上的增函数，函数()2017y f x =-的图象关于点()2017,0对称，若实数x ，y 满足不等式()()2268240f x x f y y -+-+<，则22xy +的取值范围是（）A. ()0,4B. ()4,6C. ()16,36D. ()0,36【答案】C 【解析】【分析】首先依题意判断出函数的奇偶性，然后根据单调性及()()2268240f x x f y y -+-+<，得出()()226824f x x f y y -<-+-，进而得到2268240x x y y -+-+<，转换成圆的方程，把不等式转换成点到原点的距离，得出答案.【详解】因为函数()2017y f x =-的图象关于点()2017,0对称，所以函数()y f x =的图象关于点()0,0对称，即()y f x =是R 上的增函数且是奇函数. 所以()()2268240f x x f y y -+-+<等价于()()226824f x x f y y -<-+-，化简为2268240x x y y -+-+<，实数(),x y 表示以点()3,4为圆心，1为半径的圆内的所有点，而22xy +表示此圆内点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，由数形结合可知，221636x y <+<，故选：C .【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，考查转化思想和数形结合思想，属于常考题.12.定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A ､B ，(),M x y 是()f x 的图象上任意一点，其中()1x a b λλ=+-，([]0,1λ∈)，向量()1ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（）A. 32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C. [)0,+∞D. [)1,+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由题意易知点M ，N 的横坐标相等，MN k ≤恒成立，即max k MN ≥，将恒成立问题转化为函数的最值问题，进而求解.【详解】由题意知，点M ，N 的横坐标相等，由MN k ≤恒成立，即max k MN ≥，因为向量()1ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，所以点A ､B ､N 三点共线.由N 在线段AB 上，得()1,0A ，32,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此AB 的方程为()312y x =-，由图象可知：()13311222x MN x x x x ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭32≤32k ≥ 故选：A .【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.二､填空题(本大题共4个小题)13.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__________.【答案】380003cm 【解析】【分析】根据三视图可得这是一个四棱锥，求出底面积和高即可求得体积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，底边正方形边长20，锥体高为20，所以锥体体积为31800020202033cm ⨯⨯⨯=. 故答案为：380003cm 【点睛】此题考查根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别几何体的特征，准确计算. 14.设1sin 43πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2θ等于________. 【答案】79- 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式可得1(sin cos )23θθ+=，平方得11(1sin 2)29θ+=，进而求出sin 2θ的值.【详解】由1sin 43πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭得1cos )23θθ+=，两边平方得11(1sin 2)29θ+=，所以7sin 29θ=-. 故答案为：79-. 【点睛】本题考查二倍角的正弦，考查两角和的正弦，考查计算能力，属于基础题.15.已知平面向量a r ，b r ，若a =r 2b =r ，a r 与b r 的夹角6πθ=，且()a mb a -⊥r r r ，则m =________.【答案】1 【解析】【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定理，求得m 的值即可.【详解】∵()a mb a -⊥r r r，∴()0a mb a -⋅=r r r ，即20a mb a -⋅=r r r，又23a =r ，cos 2cos 36a b a b πθ⋅=⋅=⨯=r r r r ，∴330m -=， ∴1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查向量垂直和数量积的应用，考查计算能力，属于常考题.16.已知函数()23f x x =-，若021a b <<+，且()()23f a f b =+，则23T a b =+的取值范围是_________．【答案】5,016⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】函数()23f x x =-，由()()23f a f b =+得4323a b -=+. 得4323a b -=+或43230a b -++=. 即23a b -=（舍）或20a b +=.由021a b <<+，得0221a a <<-+，解得104a <<. 且222113323()33T a b a a a =+=-=--，此函数在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()104T T T ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即5016T -<<. 故答案为5,016⎛⎫- ⎪⎝⎭.三､解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知函数()()234f x x a x =+-+，其中a 为实数. 命题p ：()f x 在区间[)1,+∞上是增函数，命题q ：0x R ∃∈，()00f x ≤.（1）判断“2a <”是“p ⌝为真命题”的什么条件，并说明理由；（2）若“()p q ∧⌝”为真命题，求a 的取值范围.【答案】（1）“2a <”是“p ⌝为真命题”的必要不充分条件，理由见解析；（2）[)1,7. 【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象和性质，结合充要条件的定义，可得出答案；（2）根据二次函数恒成立的充要条件进行分析，进而可得a 的取值范围.【详解】（1）若p ⌝为真命题，则p 为假命题，即()f x 在区间[)1,+∞上不是增函数，所以312a -->，即1a <.所以p ⌝为真命题1a ⇔<. 因为12a a <⇒<，所以“2a <”是“p ⌝为真命题”的必要不充分条件；（2）若p 为真命题，则312a --≤，即1a ≥. 若q ⌝为真命题，则x R ∀∈，()2340x a x +-+>恒成立. 所以()23160a ∆=--<，即17a -<<.因为“()p q ∧⌝”为真命题，则p 和q ⌝都为真命题，所以117a a ≥⎧⎨-<<⎩，即17a ≤<.故a 的取值范围是[)1,7.【点睛】本题主要考查复合命题真假与简单命题真假之间的关系及命题的否定，考查分析和计算能力，属于常考题.18.为推行“新课堂”教学法，某老师在甲､乙两个班分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式进行教学实验.为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图(如下图所示)，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.（1）分别计算甲､乙两班20个样本中，分数前十的平均分，并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）甲､乙两班40个样本中，成绩在60分以下的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率.【答案】（1）80.9x =甲，89.4x =乙，“新课堂”教学方式；（2）815. 【解析】【分析】（1）分别求出甲班样本中分数前十的平均分和乙班样本中分数前十的平均分，由甲班样本中分数前十的平均分低于乙班样本中分数前十的平均分，得出“新课堂”教学方式的教学效果更佳；（2）样本中成绩60分以下的学生中甲班有4人，记为：a ，b ，c ，d ，乙班有2人，记为：1，2.然后利用列举法能求出结果.【详解】（1）甲班样本中成绩前十的平均分为 ()17274747979808185899680.910x =+++++++++=甲. 乙班样本中成绩前十的平均分为 ()17880818586939697999989.410x =+++++++++=乙. 甲班样本成绩前十的平均分远低于乙班样本成绩前十的平均分，大致可以判断“新课堂”教学方式的教学效果更佳；（2）样本中成绩60分以下学生中甲班有4人，记为：a ，b ，c ，d ，乙班有2人，记为：1，2.则从a ，b ，c ，d ，1，2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下：ab ，ac ，ad ，1a ，2a ，bc ，bd ，1b ，2b ，cd ，1c ，2c ，1d ，2d ，12，一共有15个基本事件，设A 表示“这2人来自不同班级”有如下：1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c ，1d ，2d ，一共有8个基本事件，所以()815P A =. 【点睛】本题考查样本平均数的计算，考查利用列举法计算基本事件数及事件发生的概率的问题，考查计算能力，属于常考题.19.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD AC BD O ∠=⋂=o ，．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC的中点，DM =．（1）求证：OD ⊥面ABC ；（2）求M 到平面ABD 的距离．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）要证直线垂直于平面，需证直线垂直于平面中的两条相交直线，本题中证明OD OM ⊥，OD AC ⊥（2）求点到面的距离可以过点做面的垂线，求垂线段长度，当垂足不容易确定时可采用等体积转化法求解试题解析：（1）由题意，3OM OD ==，，DM =，90DOM ∠=o ，OD OM ⊥．又，菱形ABCD ，，OD AC ⊥．，OM AC O =I ，，OD ⊥平面ABC（2）由（1）知3OD =为三棱锥D ABM -的高．ABM ∆的面积为=ABM S∆11sin120632222BA BM ⨯⨯=⨯⨯⨯=o ，又6,AB AD BD ===所以122ABD S ∆=⨯= ，M ABD D MABV V --=11..33ABD AMB S d S OD =V V，.7AMB ABD S OD d S ==V 考点：1．线面垂直的判定和性质；2．等体积法求点面距20.等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264b S =，2213b a +=.（1）求n a 与n b ；（2）若不等式1211120104n m S S S -++⋅⋅⋅+<对*n N ∈成立，求最小正整数m 的值. 【答案】（1）21n a n =+，18n n b -=；（2）2013.【解析】分析】（1）由条件建立方程组即可求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）利用裂项相消法求出数列的和，然后再解不等式即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正数，()11n a a n d +-=，1n n b q -=. ∵2264b S =，2213b a +=.∴22222(6)64440313b S d q d d b a q d =+=⎧⇒-+=⎨+=++=⎩，解得28d q =⎧⎨=⎩，故()32121n a n n =+-=+，18n n b -=；（2）∵()()35212n S n n n =++⋅⋅⋅+-=+， ∴121111111132435(2)n S S S n n ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ 1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 32342(1)(2)n n n +=-++，而3233201042(1)(2)44n m n n +--<≤++，解得2013m ≥.∴所求m 的最小正整数是2013.【点睛】本题考查数列与不等式的综合问题，考查裂项相消法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.【21.已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，点1F ､2F 分别为椭圆的左､右焦点，过右焦点2F.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆左焦点1F 作直线l ，交椭圆于P ､Q 两点，若222F P F Q ⋅=u u u u r u u u u r ，求直线l 的倾斜角.【答案】（1）2212x y +=；（2）倾斜角是45︒或135︒. 【解析】【分析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，利用已知条件及a ，b ，c 的关系列出方程，进一可得出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =+，点()11,P x y ，()22,Q x y ，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用数量积222F P F Q ⋅=u u u u r u u u u r 进行分析计算，即可得出2271221k k -=+，进而得到斜率和倾斜角. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，因为2e =，所以2c a =.据题意，点,2c ⎛ ⎝⎭在椭圆上，则222121c a b +=，于是2112112b b+=⇒=，因为a =，2221a c b -==，则1c =，a =故椭圆的方程为2212x y +=；（2）由椭圆方程知，点()11,0F -，()21,0F ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =-，代入椭圆方程得212y =，不妨设点2P ⎛- ⎝⎭､1,Q ⎛- ⎝⎭，则2272,2,2222F P F Q ⎛⎛⋅=-⋅--=≠ ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+，点()11,P x y ，()22,Q x y .由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222214220k x k x k +++-=，所以2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -=+，于是()()()212121212111y y k x k x k x x x x =+⋅+=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222241212121k k k k k k k ⎛⎫-=-+=- ⎪+++⎝⎭. 又()2111,F P x y =-u u u u r ，()2221,F x y Q =-u u u u r ， ()()2211221,1,F P F Q x y x y ⋅=-⋅-u u u u r u u u u r ()()121211x x y y =--+()1212121x x x x y y =-+++2222222222471121212121k k k k k k k k --=++-=++++，由2271221k k -=+，得21k =，所以1k =±.此时直线l 与椭圆相交，故直线l 的倾斜角是45︒或135︒.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的标准方程的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22.已知函数()f x =()3g x ax =-. （1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）(][),44,-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）令()0h x =，可得则()2110x a x +-+=，简单判断0x ≠，则11a x x-=+，作出函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，然后讨论a 的范围进而得解；（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5；当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意得[]3,5M ⊆，然后讨论a 的范围进而得解.【详解】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+作函数1y a =-与()102y x x x =+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点，则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点，则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5；当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-；综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要考查函数零点个数的求法，考查函数值域的相关知识，考查分析能力和转化能力，属于中档题.。

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期第二次段考数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年湖南师大附中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠52．“x＞a”是“x＞﹣1”成立的充分不必要条件（）A．a的值可以是﹣8 B．a的值可以是C．a的值可以是﹣1 D．a的值可以是﹣33．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．4．若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内5．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．过椭圆内一点R（1，0）作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线7．已知函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B．C．2 D．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=19．已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1=0被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3]D．[3，+∞）12．在平面上，，，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式的解是．14．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为．15．设x，y满足约束条件，向量=（y﹣2x，m），=（1，﹣1），且∥，则m的最小值为．16．椭圆的离心率，右焦点F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）与圆x2+y2=2的位置关系是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对变分别为a，b，c，且满足．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=5，求a的值．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点F的距离为5，（1）求p及m的值．（2）过焦点F的直线L交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，求直线L的方程．19．设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．20．已知数列{a n}是递增的等比数列，满足a1=4，且是a2、a4的等差中项，数列{b n}=b n+1，其前n项和为S n，且S2+S4=a4．满足b n+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{a n}的前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n对一切n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点A（，）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）试探究|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．22．如图，A，B是双曲线﹣y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．（1）求点E的轨迹W的方程；（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k＞0）与W 的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值．2015-2016学年湖南师大附中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5【考点】全称命题；命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，故选：D．2．“x＞a”是“x＞﹣1”成立的充分不必要条件（）A．a的值可以是﹣8 B．a的值可以是C．a的值可以是﹣1 D．a的值可以是﹣3【考点】充要条件．【分析】“x＞a”是“成立的充分不必要条件：即x＞a推出x＞﹣1，x＞﹣1不能推出x＞a，从而得到a的范围为a＞﹣1，对照选择支即可求解【解答】解：∵“x＞a”是“x＞﹣1”成立的充分不必要条件∴x＞a推出x＞﹣1，x＞﹣1不能推出x＞a∴a＞﹣1∵{﹣8，﹣，﹣1，﹣3}中只有﹣＞﹣1∴a的值可以是故选B3．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为，又b2=c2﹣a2，代入得4a2=3c2，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为，又b2=c2﹣a2，代入得4a2=3c2，解得，即，故选D．4．若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f （c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选A．5．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．过椭圆内一点R（1，0）作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】椭圆的简单性质．【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），代入椭圆方程可得：，，两式相减并将代入化简即可得出．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），代入椭圆方程可得：，，两式相减得4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，将代入可得： +=1．其轨迹为椭圆，故选：B．7．已知函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B．C．2 D．1【考点】基本不等式．【分析】根据指数函数的性质，可以求出定点，把定点坐标代入一次函数y=mx+n，得出m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．【解答】解：∵函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，可得定点坐标（1，1），∵定点在一次函数y=mx+n的图象上，∴m+n=1，∵m，n＞0，∴m+n=1≥2，∴mn≤，∴+==≥4（当且仅当n=m=时等号成立），∴+的最小值为4，故选A；8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0），利用e=，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上∴，∵e=，∴，∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为+=1．故选D．9．已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1=0被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正方体与外接球的关系：正方体的对角线长即为球的直径，再由球的体积公式即可判断①；根据平均数和方差的公式即可判断②；根据直线与圆相交的弦长公式：a=2，先求出圆心到直线的距离d，应用公式即可判断③．【解答】解：①设正方体的外接球的半径为r，则2r=2，r=，则球的体积为==4，故①正确；②设一组数据为x1，x2，…，x n，它的平均数为a，方差为b，则另一组数据x1+c，x2+c，…，x n+c（c≠0），运用公式即可得，其平均数为a+c，方差为b，故②错；③圆（x﹣1）2+y2=4的圆心为（1，0），半径为2，直线x﹣y+1=0到圆的距离为=1，则直线被圆截得的弦长为2，故③正确．故正确的序号为①③．故选C．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得a8＞0，a9＜0，d＜0，即a n递减，前8项中S n递增，即当S n最大且a n取最小正值时，有最大值，从而可得答案．【解答】解：∵等差数列前n项和S n=•n2+（a1﹣）n，由S15=15a8＞0，S16=16×＜0可得：a8＞0，a9＜0，d＜0；故Sn最大值为S8．又d＜0，a n递减，前8项中S n递增，故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，即最大．故选：C．11．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3]D．[3，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g （x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选D12．在平面上，，，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知作出图形，设出点O（x，y），|AB1|=a，|AB2|=b，则点P（a，b），结合求出x2+y2的范围得答案．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设点O（x，y），|AB1|=a，|AB2|=b，则点P（a，b），由，得，则，∵，∴，∴，得，∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1．同理x2≤1，∴x2+y2≤2．综上可知，，则．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．【考点】其他不等式的解法．【分析】解分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题，建立关系，解之即可．【解答】解：∵，∴或，解得0＜x＜1，∴不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．故答案为：0＜x＜1（或（0，1））．14．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为815．设x，y满足约束条件，向量=（y﹣2x，m），=（1，﹣1），且∥，则m的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】由向量共线的坐标表示得到m=2x﹣y，再由约束条件作出可行域，数形结合求得m 的值．【解答】解：∵=（y﹣2x，m），=（1，﹣1），且∥，∴﹣1×（y﹣2x）﹣1×m=0，即m=2x﹣y．由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，8）．由m=2x﹣y，得y=2x﹣m，∴当直线y=2x﹣m在y轴上的截距最大时，m最小，即当直线y=2x﹣m过点C（1，8）时，m的最小值为2×1﹣8=﹣6．故答案为：﹣6．16．椭圆的离心率，右焦点F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）与圆x2+y2=2的位置关系是点在圆内．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==．由此可知点P（x1，x2）与圆x2+y2=2的位置关系．【解答】解：∵离心率，∴a=2c．∵方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1，x2，∴，，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2===＜2．∴点P（x1，x2）在圆x2+y2=2内．故答案为：点在圆内．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对变分别为a，b，c，且满足．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=5，求a的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左边，将cosA的值代入求出bc的值，由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（2）由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA，利用完全平方公式变形后，将b+c，bc及cosA 的值代入，开方即可求出a的值．【解答】解：（1）∵cosA=，且A为三角形的内角，∴sinA==，…又•=bccosA=2，∴bc=6，…则S△ABC=bcsinA=×6×=2；…（2）∵b+c=5，bc=6，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=25﹣12﹣4=9，…则a=3．…18．已知抛物线y2=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点F的距离为5，（1）求p及m的值．（2）过焦点F的直线L交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，求直线L的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由抛物线y2=2px（p＞0）上的点到焦点的距离公式d=x+，可求得p，从而求得m的值；（2）直线L斜率存在，可设为k，L的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得x1+x2，x1x2；再由弦长公式|AB|=|x1﹣x2|=8，可求得k的值，从而求得直线L的方程．【解答】解：（1）由题意知，∴p=2．∵m2=2×2×4，∴m=±4（2）由题意知直线L的斜率存在，设为k，则直线L的方程为：y=k（x﹣1），代入抛物线方程：y2=4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），∴；又∵|AB|=|x1﹣x2|=8，；∴所求直线方程为：x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．19．设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．【考点】二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】根据函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n，因此该函数解析式可表示为F（x）=a（x﹣m）（x﹣n），（1）m=﹣1，n=2时，对a＞0，或a＜0．进行讨论，写出不等式的解集即可；（2）要比较f（x）与m的大小，做差，即有f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax﹣an+1），根据a＞0且0＜x＜m＜n＜，分析各因式的符号，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意知，F（x）=f（x）﹣x=a（x﹣m）（x﹣n）当m=﹣1，n=2时，不等式F（x）＞0即为a（x+1）（x﹣2）＞0．当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1，或x＞2}；当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（2）f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax﹣an+1）∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，即0＜ax＜am＜an＜1；∴x﹣m＜0，an＜1，∴1﹣an+ax＞0∴f（x）﹣m＜0，即f（x）＜m．20．已知数列{a n}是递增的等比数列，满足a1=4，且是a2、a4的等差中项，数列{b n}=b n+1，其前n项和为S n，且S2+S4=a4．满足b n+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{a n}的前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n对一切n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知得，由等差中项性质得2q2﹣5q+2=0，由此能求出数列{a n}的通项公式；由题意，数列{b n}为等差数列，公差d=1，再由S2+S4=32，得b1=2，由此能求出数列{b n}的通项公式．（2）由已知，从而对一切n∈N+恒成立，由此能求出结果．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则q＞1，，∵是a2和a4的等差中项，∴，即2q2﹣5q+2=0．∵q＞1，∴q=2，∴…依题意，数列{b n}为等差数列，公差d=1，又S2+S4=32，∴，∴b1=2，∴b n=n+1．…（2）∵，∴．不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1）…∵n∈N+，∴对一切n∈N+恒成立．而，当且仅当即n=2时等式成立．∴λ≤3…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点A（，）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）试探究|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）通过将点A（，）代入椭圆方程可知+=1，结合a=2b计算即得结论；（Ⅱ）记A（x1，y1）、B（x2，y2），通过设直线l的方程为y=kx+m，并与椭圆方程联立可知x1+x2=﹣、x1x2=，通过k2=k1k2计算可知k=±，进而化简可知x1+x2=±2m、x1x2=2m2﹣2，利用完全平方公式化简计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a=2b，且+=1，解得：b2=1，a=2，所以椭圆的方程为： +y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∵k1、k、k2恰好构成等比数列，∴k2=k1k2==，即k2=k2++，化简得：﹣4k2m2+m2=0，∵m≠0，∴k2=，k=±，此时△=16（2﹣m2）＞0，即m∈（﹣，），∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2，故|OA|2+|OB|2=+++=（+）+2= [﹣2x1x2]+2=5，于是|OA|2+|OB|2是定值为5．22．如图，A，B是双曲线﹣y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．（1）求点E的轨迹W的方程；（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k＞0）与W 的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则，由两点式分别得直线AC，BD的方程为直线AC：，直线BD：，由此能求出点E的轨迹W的方程．（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，由此利用弦长公式结合已知条件能求出四边形MPNQ的面积取最大值．【解答】解：（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则，①由两点式分别得直线AC，BD的方程为：直线AC：，直线BD：，两式相乘，得，②由①，得﹣=，代入②，得：，整理，得﹣4y2=x2﹣4，∴点E的轨迹W的方程（x≠±2、0）．（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k 2+1）x 2=4，∴P （），Q （﹣），四边形MPNQ 的面积S=S △QOM +S △DMP +S △NOP +S △NOQ=2（S △QMP +S △QNP ），∴S==2y P +x P==2=2==2，∵k ＞0，∴4k +≥4，故当且仅当，即k=时，四边形MPNQ 的面积取最大值为2．2016年11月14日。

湖南师大附中高三摸底考试(高二上学期期末考试)文数试卷Word版含答案

炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(文科)得分：______________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－4≤x－1≤4}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．2个B．3个C．1个D．无穷多个2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设i为虚数单位，m∈R，“复数z＝(m2－1)＋(m－1)i是纯虚数”是“m＝±1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A．22y±x＝0 B．22x±y＝0C．8x±y＝0 D．x±8y＝05．下列函数的最小正周期为π的是 A ．y ＝cos 2x B ．y ＝|sin x2|C ．y ＝sin xD ．y ＝tan x26．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为A.33 B.32C.233D. 37．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝A ．2 B.154 C.174D ．a 28．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝ A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－19．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是A ．y ＝x 3B ．y ＝13xC ．y ＝3xD ．y ＝3－x10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为 A ．4 B.83 C.113 D.25611．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2＋()y －t ＋22＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、B ，则P A →·PB →的最小值为A.103B.403C.214D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ln x ＋()x －b 2x (b ∈R )．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝⎛⎭⎫－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫－∞，94 D.()－∞，3 选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．14．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________．15．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧||x ，x ≤mx 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b 有三个不同的零点，则m 的取值范围是________．16．给出如下定理：“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ，则有1h 2＝1CA 2＋1CB 2”．在空间四面体P －ABC 中，若P A 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，类比上述定理，得到的正确结论是________________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(2π－x )．(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )＋cos2x 的最大值和最小值．18.(本小题满分12分)若数列{a n}是递增的等差数列，其中的a3＝5，且a1、a2、a5成等比数列．(Ⅰ)设b n＝1（a n＋1）（a n＋1＋1），求数列{b n}的前n项的和T n.(Ⅱ)是否存在自然数m，使得m－24<T n<m5对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离．已知圆M：(x＋5)2＋y2＝36，N(5，0)，点P是圆M上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.(Ⅰ)当点P在圆M上运动时，试证明|QM|＋|QN|为定值，并求出点Q的轨迹C的方程；(Ⅱ)若圆x2＋y2＝4的切线l与曲线C相交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )对任意实数x ，都有x ≤f (x )≤14(x ＋1)2恒成立．(Ⅰ)证明：f (1)＝1；(Ⅱ)若f (－1)＝0，求f (x )的表达式；(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )＝f (x )－m2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y＝－34的上方，求实数m 的取值范围。

湖南省高二上学期期末考试数学(文) Word版含答案

湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学命题人：高二文科数学备课组(内容：必修3，选修1－1，选修1－2，选修4－4)时量：120分钟满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)得分：____________必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i ＋1i ＝A ．－2iB .12i C ．0 D ．2i2．下列选项叙述错误的是A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．若命题p ：x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则綈p ：x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0C ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件 3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件4．“k >4”是“方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为6．在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是A.12B.13C.14D.157．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 A ．870 B ．30 C ．6 D ．38．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A ．5x 2－4y 25＝1 B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y 24＝1 10．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋2x ＋1，若f (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(－∞，－22)D ．(－∞，－22]号后的横线上．11．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000](元)月收入段应抽出________人．13．对于定义域为R 的函数f (x )，若函数f (x )在()－∞，x 0和()x 0，＋∞上均有零点，则称x 0为函数f (x )的一个“给力点”．现给出下列四个函数：①f ()x ＝3||x－1＋12；②f ()x ＝2＋lg ||x －1；③f ()x ＝x 33－x －1；④f ()x ＝x 2＋ax －1(a ∈R )．则存在“给力点”的函数是________．(填序号)三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ－6cos θ＋2sin θ＋1ρ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点P(3，3)，倾斜角α＝π3.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学生进行了问卷调查得到如下列联表：()已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有2名女生)，抽取2人参加竞技运动，则正好抽到一男一女的概率是多少？(参考公式：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交抛物线C于点H.(1)求|OH| |ON|；(2)除H以外，直线MH与抛物线C是否有其他公共点？说明理由．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．已知函数f(x)＝x 2＋x sin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．19．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a i j 为图乙三角形数阵中第i 行第j 个数，若a mn ＝2 017，则实数对(m ，n)为____________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分10分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．21.(本小题满分12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点且||OA＝||OF＝2(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ 的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．22.(本小题满分13分)已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝a ln x .(1)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0成立，求实数a 的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5.C A 、D ；从适合f′(x)＝0的点可以排除B .10．C 【解析】f′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a<⎝⎛⎭⎫x ＋2x max＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．三角形三个内角都大于60° 12．2513．②④ 【解析】对于①， f ()x ＝3||x －1＋12>0，不存在“给力点”；对于②，取x 0＝1，f ()x 在(－1，1)上有零点x ＝99100，在(1，＋∞)上有零点x ＝101100，所以f ()x 存在“给力点”为1；对于③，f ′(x)＝(x ＋1)(x －1)，易知f(x)只有一个零点．对于④，f(x)＝x 2＋ax －1(a ∈R )定义域为R ，因为判别式a 2＋4>0，则一定存在“给力点”．综上可得，②④正确．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．【解析】(1)曲线C 化为：ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，再化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0，化为标准方程是(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos π3y ＝3＋t sin π3.(t 为参数)(5分)(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：t 2＋43t ＋7＝0，Δ＝(43)2－4×7＝20>0，则t 1＋t 2＝－43，t 1·t 2＝7，所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝48－28＝2 5.(11分)15．【解析】(1)设常喝碳酸饮料中肥胖的学生有x 人，由x ＋230＝415，即得x ＝6.(2分)补充列联表如下：(5分)(2)由已知数据可求得：K 2＝30（6×18－2×4）210×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(8分)(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者中男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种基本事件．设抽中一男一女为事件A ，事件A 含有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF, DE ，DF 这8个基本事件．故抽出一男一女的概率是p ＝815.(12分)16．【解析】(1)由已知得M(0，t)，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t .(2分) 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ，(3分) 所以ON 的方程为y ＝ptx ，(4分)代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，(5分)因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .(6分)所以N 为OH 的中点，即|OH||ON|＝2.(8分)(2)直线MH 与抛物线C 除H 以外没有其他公共点．(9分) 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，(10分)即x ＝2tp (y －t)．代入y 2＝2px 得：y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，(11分)即直线MH 与抛物线C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与抛物线C 没有其他公共点．(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．D 【解析】f′(x)＝x(2＋cos x)，令f′(x)＝0，得x ＝0.∴当x>0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f ′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)．二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18.53【解析】连接PF 1，QO ，显然|OF 1|＝|OF 2|，由已知点Q 为线段PF 2的中点，则PF 1∥QO ，故|PF 1|＝2b ，又根据椭圆的定义得：|PF 2|＝2a －2b ，在直角三角形PF 2F 1中，(2c)2＝(2b)2＋(2a －2b)2b a ＝23e ＝53. 19．(45，41) 【解析】分析乙图，可得(1)第k 行有k 个数，则前k 行共有k （k ＋1）2个数；(2)第k 行最后一个数为k 2；(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；(4)从第二行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列．又442＝1 936，452＝2 025，则442<2 017<452，则2 017出现在第45行，第45行第1个数是442＋1＝1 937，这行中第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，前44行共有44×452＝990个数，则2 017为第990＋41＝1 031个数，则实数对(m ，n)为(45，41)．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．【解析】(1)因为f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，所以f′(x)＝2a(x －5)＋6x .令x ＝1，得f(1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a)(x －1)，由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(4分)(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x>0)，f ′(x)＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f′(x)＝0，解得x ＝2或3.(6分)当0<x<2或x>3时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f ′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数．(8分) 由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)，f(x)的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.(10分)21．【解析】(1)由已知：b ＝c ＝2，∴a 2＝4，故所求椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2)由(1)知，C(－2，0)，D(2，0)，由题意可设CM ：y ＝k(x ＋2)，P(x 1，y 1)，M(2，4k)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝k （x ＋2），整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(6分)方程显然有两个解，由韦达定理：x 1x 2＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，y 1＝4k 1＋2k 2.精品所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设Q(x 0，0)，(8分) 若存在满足题设的Q 点，则MQ ⊥DP ，由MQ →·DP →＝0，整理，可得8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，所以x 0＝0.(12分) 故存在定点Q(0，0)满足题设要求．22．【解析】(1)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0，设x 1>x 2，则h(x 1)－h(x 2)>0，问题等价于函数h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x 在()0，＋∞上为增函数．(2分)所以h′(x)＝x ＋a x≥0在()0，＋∞上恒成立，即a ≥－x 2在()0，＋∞上恒成立．∵－x 2<0，所以a ≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．(6分)(2)不等式f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0等价于x 0＋1x 0<a ln x 0－a x 0，整理得x 0－a ln x 0＋1＋a x 0<0.设m ()x ＝x －a ln x ＋1＋a x，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(7分) 由m′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2. 因为x>0，所以x ＋1>0，即令m′()x ＝0，得x ＝1＋a.①当1＋a ≤1，即a ≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增，只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值．令m ()1＋a ＝1＋a －a ln (1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<a ln (a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln (a ＋1)．考查式子t ＋1t －1<ln t ，因为1<t<e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(11分)③ 当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减，只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1. 综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(13分)。

湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m ﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab ≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x ＝y ＝1，则|x +yi |＝|1+i |＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f （x ）＝ln x ﹣（a ＞0），若∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），则实数a 的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．【分析】∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），⇔f （x ）max ＜f （t ）max ，其中x ∈[1，2]，t ∈R ．且f （a ）不在区间[1，2]内．f ′（x ）＝﹣＝（a ＞0，x ＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），⇔f （x ）max ＜f （t ）max ，其中x ∈[1，2]，t ∈Rf ′（x ）＝﹣＝（a ＞0，x ＞0）．可得：函数f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，+∞）上单调递减．x ＝a 时，函数f （x ）取得极大值即最大值，f （a ）＝lna ﹣1．∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），可得f （a ）不在区间[1，2]内．∴a ∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ+sin θ，直线l 的极坐标方程为ρsin （）＝．（1）求圆C 和直线l 的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆C 公共点的极坐标．【分析】（1）圆C 的极坐标方程转化为ρ2＝ρcos θ+ρsin θ，由此能求出圆C 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程转化为ρsin θ﹣ρcos θ＝1，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l 与圆C 公共点的极坐标．【解答】解：（1）∵圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ+sin θ，∴ρ2＝ρcos θ+ρsin θ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m ﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B （x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

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