江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学Word版含答案
江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题高三数学(WORD版含答案)
扬州市2018—2019学年度第一学期期末检测试题高三数学2019．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ．3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ．5．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 7．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝ ．9．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．10．已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ⋅＝ ．11．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为．12．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝ ．13．已知函数4()3f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为 ．14．若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则xy的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-，R x ∈． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解． 16．（本题满分14分）如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）BB 1⊥AC ．17．（本题满分14分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．19．（本题满分16分）已知函数()(3)xf x x e =-，()(R)g x x a a =+∈．（e 是自然对数的底数，e≈2.718…）（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()()y f x g x =在区间[1，2]上单调递增，求a 的取值范围； （3）若函数()()()f x g x h x x+=在区间(0，+∞)上既存在极大值又存在极小值，并且()h x 的极大值小于整数b ，求b 的最小值．20．（本题满分16分）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求n B ；（2）若数列{}n b 是等差数列，试问数列{}n a 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若2100nn b n =-，求n A ．第一部分（附加题）21．（本题满分10分）已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值． 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=--⎩（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为)4πρθ=+，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．（本题满分10分）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD ．（1）若AE DE 与直线BC 所成角； （2）若二面角A —BE —D 的大小为3π，求AE 的长度．24．（本题满分10分）已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．参 考 答 案2019．1第 一 部 分1． 234．10 5． 6．78．1 910．0 11．1213．或 14． 15．解： (4)分 （1）由，解得：∴函数的单调增区间为 …………8分（2）由得，解得：，即 ∵ ∴或． …………14分 16．证明：（1）∵三棱柱 ∴四边形，四边形均为平行四边形∵分别是侧面，对角线的交点 ∴分别是，的中点 ∴ ………………4分 ∵平面，平面∴平面 ………………8分 （2）∵四边形为矩形 ∴∵平面平面，平面，平面平面∴平面 ………………12分 ∵平面 ∴………………14分17．解：（1）在中，由，得，又………………2分 ∵∴{2}-2-499m ≤1161-2e 22()cos cos sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-+=+222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x [,],36k k k Z ππππ-++∈()0f x =2sin(2)06x π+=26x k ππ+=,122k x k Z ππ=-+∈(0,]x π∈512x π=1112x π=111ABC A B C -11AA B B 11BB C C ,E F 11AA B B 11BB C C ,E F 1AB 1CB //EF AC EF ⊄ABC AC ⊂ABC //EF ABC 11AA B B 1BB AB ⊥11AA B B ⊥ABC 1BB ⊂11ABB A 11ABB A ABC AB =1BB ⊥ABC AC ⊂ABC 1BB ⊥AC ABD △2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅214BD θ=-cos =θ-BD =(,)2πθπ∈sin θ=由，解得：， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴ ………………5分在中，，解得：………………7分 （2）由（1）得：， ，此时，且 (10)分当时，四边形的面积最大，即，此时∴，即…………13分 答：当cos =θ-小路百米；草坪的面积最大时，小路的百米．…………14分18．解：由题意得，解得，∴2223b a c =-=∴椭圆M的方程是且(2,0),(2,0)A B - …………3分（1）方法一：设，，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为， 同理：直线BC 的方程为． sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sin ADB =∠3sin 5ADB ∠=BCD △D 3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-ACD △2222232cos 2()375AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=+--=AC =214BD θ=-2113sin 7sin 22ABCD ABDBCDS S SBD θθθ=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθφ=+-=+-sin φφ=(0,)2πφ∈2πθφ-=ABCD 2πθφ=+sin θθ==21414(26BD θ=-=-=BD =AC ABCD BD 1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩12c a =⎧⎨=⎩22143x y +=00(,)P x y 002PA y k x =+02(2)x y x y +=-+002(2)x y x y -=--联立方程，解得，又∵， ∴点C 的坐标为， (6)分∵点的横坐标为1- ∴，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分（2）设(,)Q Q Q x y ∵AC AQ λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Qx x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =- 整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………14分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………16分方法二：（1）设的斜率为，， ∵P 为椭圆上第一象限内一点∴0k << ∵ ∴的斜率为． 联立方程，解得，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵，∴，则AC 的方程为 ∵，∴，则BC 的方程为． 由，得，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………6分∵点的横坐标为1- ∴，解得：00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩02004x x x y y=-⎧⎪-⎨=⎪⎩22000004444433y x y y y ---==-004(,)3x y --C 01x =032y =P AP k 00(,)P x y M 2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--BP 34k-(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1l PA ⊥1AC k k =-1(2)y x k =-+2l PB ⊥43BCk k =4(2)3y k x =-1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩C 2286143k k -=-+12k =±∵0k <<∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：联立方程221(2)143y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQλ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………14分∵0k <<∴ …………16分 19．解：（1），，令，解得，列表：∴当时，函数取得极大值，无极小值 …………3分 （2）由，得∵0x e >，令，∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立 ∴，解得3a ≥-． …………8分（3）， 令，∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根． …………10分∵12k =P 1(2)y x k=-+2516(,)189λ∈()(3)x f x x e =-'()(2)x f x x e =-'()0f x =2x =2x =()f x 2(2)f e =()()(3)()xy f x g x x x a e ==-+22'[(3)32(3)][(1)23]x x y e x a x a x a e x a x a =-+-+-+-=-+-++2()(1)23m x x a x a =-+-++()()y f x g x =[1,2][1,2]x ∈()0m x ≥(1)0(2)0m m ≥⎧⎨≥⎩()()(3)()x f x g x x e x a h x x x +-++==22(33)'()x e x x a h x x -+--=2()(33)x r x e x x a =-+--()h x (0,)+∞'()0h x =(0,)+∞2()(33)0x r x e x x a =-+--=(0,)+∞1212,()x x x x <22'()(3323)()(1)x x x r x e x x x e x x x x e =-+--+=-+=-∴当时，，单调递增，当时，，单调递减 则，∴，解得，∴∵()r x 在(0,)+∞上连续且3(0)(1)0,(1)()02r r r r ⋅<⋅<∴()0r x =在(0,1)和3(1,)2上各有一个实根∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值1()f x ，在区间上存在极大值2()f x ．∴，且 ，…………13分令()(2),'()(1)x x H x e x H x e x =-=-，当时，'()0H x <，()H x 单调递减∵，∴23()()(1)2h h x h <<，即3221()(1,1)2h x e e ∈++，则32131142e e <+<+<∵()h x 的极大值小于整数b ，∴满足题意的整数的最小值为． …………16分20．解：（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，则，∴ (4)分（2）方法（一）若数列是等差数列，设其公差为 ∵11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-根据的定义，有以下结论：，，且两个不等式中至少有一个取等号， …………6分①若，则必有，∴，即对，都有 ∴，， ∴，即为等差数列；(0,1)x ∈'()0r x >()r x (1,)x ∈+∞'()0r x <()r x 101x <<(0)0(1)0r r <⎧⎨>⎩3a e -<<-3322333()30244r e a e =--<-+<()h x (0,)+∞3a e -<<-(0,1)3(1,)222222(3)()x x e x a h x x -++=2222222(33)'()0x e x x ah x x -+--==2222(33)x a e x x =-+-22222222222(3)(33)()(2)1x x x x e x e x x h x e x x -++-+-==-+(1,)x ∈+∞23(1,)2x ∈b 4{}n a 2n n a =2n m =2n n n M a ==122122n n n b -+==+1212112n n n B n n -=+⨯=-+-{}n b 'd 11'22n n n n M M m m d ----=+=,n n M m 1n n M M -≥1n n m m -≤'0d >1n n M M ->11n n n n a M M a --=>≥2,*n n N ≥∈1n n a a ->n n M a =1n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222n n n n a a a a a a d --++-=-==12'n n a a d --={}n a②当时，则必有，所以，即对，都有∴，，所以，即为等差数列； ③当， ∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即，，∴为常数数列，所以为等差数列，综上，数列也一定是等差数列． …………10分 方法（二）若数列是等差数列，设通项公式为，则．对于数列：，增加时，有下列情况：①若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数列． …………7分 ②若时，则， ∴ ∵数列是等差数列且 ∴， ∴ ∴，即，即为常数数列 ∴数列是公差为0的等差数列． ③若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数'0d <1n n m m -<11n n n n a m m a --=<≤2,n n N ≥∈1n n a a -<1n M a =n n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222nn nn a a a aaad --++-=-==12'n n a a d --={}n a '0d =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-11022n n n n M M m m ----=+=1n n M M --1n n m m --1n n M M -=1n n m m -={}n a {}n a {}n a {}n b (,n b p n q p q R =+∈1n n b b p +-={}n a 12,,,n a a a 1n a +1n n a M +>111,n n n n M a m m +++==11n n n n a M M a ++=>≥1n n a a +>*n N ∈n nM a =11n n m m a +==111111122222n n n n n n nnn n M m M m a a a a a a b b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a 1n nn m a M +≤≤11,n n n n M M m m ++==1n n b b +={}n b n b p n q =+0p =n b q =111111,n n nnnn M M M Ma q m m mm a q+-+-============1n q a q +≤≤n a q ={}n a {}n a 1n n a m +<11,n n n n M M m +++==11n n n n a m m a ++=<≤1n n a a +<*n N ∈11n n M M a +==n nm a =111111122222n n n n n nnnn n M m M m a a a a a ab b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a列． …………10分 （3）∵， ∴当时，，即，当时，，即．以下证明：，当7n <时，若1n n n m a M +≤≤，则1n n M M +=，1n n m m +=，所以1n n b b +=，不合题意； 若1n n a M +>，则11n n M a ++=，1n n m m +=，则1122n n n n M m M m ++++<，得：1n n b b +<，与1n n b b +>矛盾，不合题意；∴1n n n a m a +<≤，即；同理可证：，即时，．①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴∴ …………13分②当时，，且∴，则n M 为1a 或n a ．若n M 为1a ，则n b 为常数，与题意不符∴ ∴ ∴ ∴9797892(12)(8)(7)249001442001046(7)122n n n n n A A a a a n --+-=++++=---+-⨯+--2221009466640n n n +=-+-∴2222210024,7*21009466640,8n n n n n n A n N n n n ++⎧---≤⎪=∈⎨-+-≥⎪⎩，． …………16分第二部分（加试部分）21．（B ）解：∵ ∴ …………5分 11[2100(1)][2100]2100n n n n n b b n n ++-=-+--=-7n <10n n b b +-<1267b b b b >>>>7n ≥10n n b b +->789b b b <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<7,*n n N ≥∈1n n a a +<7n ≤1n M a =n n m a =12nn a a b +=12n n a b a =-1198a b ==-2100n n b n =-1220098n n a n +=-+224(12)(1)20098210024122n n n n n A n n n +-+=-⨯+=----7n >1267a a a a >>>>789a a a <<<8722007981046n m a ==-⨯+=-n n M a =72n n a a b +=17222001046n n n a b a n +=-=-+1113632368a a A b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦32a b =⎧⎨=⎩矩阵A 的特征多项式为231()(3)(2)254022f λλλλλλλ--==---=-+=--， 令，解得矩阵的特征值为或． …………10分 21．（C ）解：将直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩化为方程：240x y ++= …………2分圆C的方程为)4πρθ=+化为直角坐标系方程：24(cos sin )ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，22(2)(2)8x y -++=，其圆心(2,2)-，半径为…………5分∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线被圆截得的弦长为． …………10分 22．解：∵正方形边长为2 ∴，， 又⊥平面∴以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 作，垂足为∵平面⊥平面，平面，平面平面 ∴平面∵ ∴点为的中点，…………2分 （1）∵∴，，，，∴ ∴ ∴ ∴直线与直线所成角为； …………5分 （2）设的长度为，则∵AD ⊥平面ABE∴平面ABE 的一个法向量为1(0,1,0)n = …………6分 设平面的法向量为，又∴ ∴，解得：，取，则∴平面的一个法向量为 …………8分 ∴121212cos ,||||n n n n n n a ⋅<>===()0f λ=A 14l C ABCD AB AD ⊥CB CD ⊥2AB AD CD BC ====AE ABD A ,,AB AD AE ,,x y z CF BD ⊥F ABD CBD CF ⊂CBD ABD CBD BD =CF ⊥ABD 2CB CD ==F BD CF AE =E (2,0,0)B (0,2,0)D (1,1,0)F C (0,2,2),(1,1DE BC =-=-0DE BC ⋅=DE BC ⊥DE BC 2πAE (0)a a >(0,0,)E a BDE 2111(,,)n x y z =(2,0,),(2,2,0)BE a BD =-=-22,n BE n BD ⊥⊥21121120220n BE x az n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩11112a x z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩12z =11x y a ==BDE 2(,,2)n a a =∵二面角A BE D --的大小为12=，解得：a ∴的长度为 …………10分23．解：（1）设点，则 ∴∵ ∴，即 …………2分 （2）设，直线与轴交点为，内切圆与的切点为．设直线的方程为：，则联立方程，得： ∴且120x x << ∴ ∴直线的方程为：，与方程联立得：，化简得：解得：或 ∵ ∴轴 设的内切圆圆心为，则在轴上且……5分 方法（一）∴2211()|2|22MBD S x y =⋅+⋅△，且MBD △的周长为：22||y∴2221112||]()|2|222MBD S y r x y =⋅=⋅+⋅△∴221()||x y r +=== ……8分方法（二）设，直线的方程为：，其中 直线的方程为：，即，且点H 与点O 在直线AB 的同侧3πAE (,)P x y (2,)Q y -(,),(2,)OP x y OQ y ==-0OP OQ ⋅=220OP OQ x y ⋅=-+=22y x =112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y BD x E AB T AM 1()2y k x =+21()22y k x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2222(2)04k k x k x +-+=1214x x =1212x x <<AN 111()122y y x x =--22y x =222221111111(+22)024y x y x x x y --++=22111112(2)022x x x x x -++=114x x =1x x =32114x x x ==BD x ⊥MBD △HHx HT AB ⊥2(,0)H x r -BD 2x x =2222y x =AM 221()22y y x x =++22211()022y x x y y -++=∴22222211|()|()x r y y x r y y r -+-+=，解得：2221x y y r +==…8分方法（三）∵ ∴，解得：…8分令，则∴在上单调增，则，即的取值范围为．……10分MTHMEB △△MH HT MB BE=221||x rr y +-=2222111()||x y x x r +++===212t x =+1t >r =(1,)+∞r r 1,)+∞。
2019届高三开学模拟数学理试题答案Word版2.1doc
江苏省扬州中学2019届高三开学数学I 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I ð＝ ．2.己知复数iz -=12，则z 的虚部为 ． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5． 函数22log (32)y x x =--的定义域为 ．6.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为 ． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。
下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 ．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，直线B0与双曲线C 的右支交于点M 。
若直线AB 的斜率为3,直线AM 的斜率为1，则双曲线C 的离心率为 ．10.已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(27)2019m m a b +-=，则m 的值为 ．11.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+= 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是 ．13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ．14.设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111D C B A A B C D -中，已知平面⊥C C AA 11平面,A B C D 且3===CA BC AB ,1==CD AD .(1)求证：;1AA BD ⊥(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .1A E CD BA1D 1B 1C 第15题16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC ＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值； （2）若x ∈[0，2π]，向量BC m =，n =(1cos x -，sin 2cos x x -)，求m n ⋅的最小值及对应的x 值．17. 如图，一楼房高AB为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌BC 边与水平方向的夹角为60︒，安装过程中，米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值．18. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(32-,0)，F 2(32，0)，点E 在椭圆C 上，且∠F 1EF 2=60°， 124EF EF ⋅=u u u v u u u v .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过x 轴正半轴上一点M 作直线l ，交椭圆C 于A B 两点。
江苏省扬州2019届高三第一学期开学测试数学试题及答案
（时间：120 分钟 满分 160 分）
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分. 1.命题“若 lg x 0 ，则 x 1 ”的逆否命题是 （填“真” 或“假” ）命题. 2.已知一组数据：1,3,7,10,12，则该组数据的平均数是 . 2 则 AI B _. 3. A x x 5 x 14 0 ， B x log x f 1 ，
1 2 1 z (2 x y, xy ) ( , ) 的最小值是 x y xy
.
二．解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分） 已知 f x
3 sin x cos x
（1）若 x 0, ，解不等式： f x 1 ； （2）求 f x 的单调递增区间.
概率是 . 11.已知等比数列 {an } 满足 a1 1 ，且 a2 , a1 , a3 是公差不为 0 的等差数列，则 {an } 的前 5 项和为
2
.
.
12.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 P 是抛物线 C : y 2 x 上一点，F 是抛物线的焦点，l 是抛物线的准 线， 过 P 作 l 的垂线，垂足为 Q ，若 △PQF 是正三角形，则 P 的坐标是 . 13.已知 f x , g x 都是定义在 , 上的函数，若 f x 是奇函数， g x 是偶函数，则下列函数中 一 定是偶函数的是 （填序号） ① y f x g x ② y g f x ③ y f g x ④ y f f x 14.对两个实数对 a, b 和 c, d 定义运算： a, b c, d ad bc .若 x 0, y 0 ，则
江苏扬州中学2019届高三数学1月月考试卷(带答案)
江苏扬州中学2019届高三数学1月月考试卷（带答案）2019届高三上1月考一.填空题（共14题，每题5分，共70分）：1．已知集合，集合，则 = ． 2．命题“ ，”的否定是． 3.已知，其中为虚数单位，则 = . 4.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按 000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 . （下面摘取了一随机数表的第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 79 73 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 5.若数据的平均数是，则这组数据的标准差是． 6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面．①若，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则．上述命题中为真命题的是．（填写所有真命题的序号）． 7．某学校的数学课外小组有2个女生，3个男生，要从他们中挑选2人组成代表队去参加比赛，则代表队男生、女生都有的概率为． 8.等比数列中，，前项和为，满足，则． 9.若圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为． 10.已知实数，满足，则目标函数的最小值为． 11.已知正五边形，，则 = . 12.在中，，，则角的大小为 . 13.若关于的方程有且仅有唯一的实数根，则实数的取值范围为 . 14.已知点为圆上一个动点，为坐标原点，过点作圆的切线与圆相交于两点，则的最大值为 . 二.解答题（共6题，共90分）： 15．（本小题满分14分）一副直角三角板按下左图拼接，将折起，得到三梭锥（下右图）．（1）若分别为的中点，求证：平面；（2）若平面平面，求证：平面平面．16．（本小题满分14分）如图，在圆内接中，角所对的边分别为，满足．（1）求的大小；（2）若点是劣弧上一点，，求四边形的面积．17．（本小题满分15分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B 处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．18.（本小题满分15分）如图，椭圆的顶点为，焦点为，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B两点的直线，| |=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试+物理+Word版含答案
2019届高三年级第一次模拟考试物 理本试卷共8页，包含选择题(第1题～第9题，共9题)、非选择题(第10题～第16题，共7题)两部分．本卷满分为120分，考试时间为100分钟．一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个．．．．选项符合题意．1.真空中静止点电荷的电场中，A 处电场强度为E ，若该点电荷电荷量减半，则A 处场强为( )A.E 4B.E 2C.ED.4E 2.2018年11月16日第26届国际计量大会通过“修订国际单位制”决议，正式更新包括国际标准质量单位“千克”在内的4项基本单位定义．研究发现，声音在空气中的传播速度v 与空气的密度ρ以及压强p 有关，k 为无单位的常数．下列关于空气中声速的表达式中可能正确的是( )A.v ＝k p ρB.v ＝kp ρC.v ＝k ρpD.v ＝kpρ 3.足球运动员掷界外球，第一次以速度v 1斜向下抛出，第二次在同一高度处以速度v 2水平抛出，v 1<v 2.忽略空气阻力，足球从抛出到落地，在空中的运动时间分别为t 1、t 2，落地点到运动员的水平距离分别为x 1、x 2.则( )A.t 1>t 2；x 1>x 2B.t 1<t 2；x 1<x 2C.t 1>t 2；x 1<x 2D.t 1<t 2；x 1>x 24.如图所示，理想变压器原线圈接入正弦交流电，图中电压表和电流表均为理想交流电表，R 1为定值电阻，R 2为负温度系数的热敏电阻(温度升高时阻值减小)，C 为电容器．下列说法正确的是( )A.通过R 1的电流为零B.滑片P 向上滑动，电压表示数变大C.R 2处温度升高时，电压表的示数不变D.减小电容器C的电容，电流表的示数变大5.航母上飞机弹射起飞是利用电磁驱动来实现的．电磁驱动原理如图所示，在固定线圈左右两侧对称位置放置两个闭合金属圆环，铝环和铜环的形状、大小相同，已知铜的电阻率较小，则合上开关S的瞬间()A.两个金属环都向左运动B.两个金属环都向右运动C.铜环受到的安培力小于铝环受到的安培力D.从左侧向右看，铝环中感应电流沿顺时针方向二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6.2018年12月8日我国成功发射了嫦娥四号探测器，它实现了人类首次月球背面着陆探测.12日16时39分，探测器在距月面129km处成功实施发动机点火，约5分钟后，探测器顺利进入距月面100km的圆形轨道，运行一段时间后择机着陆月球表面，下列说法正确的有()A.探测器发射速度大于7.9km/sB.探测器在距月面129km处发动机点火加速C.从点火到进入圆轨道，探测器位移是29kmD.若已知引力常量、圆形轨道半径及探测器在其上运行周期，可估算月球质量7.如图所示，在等量异种电荷形成的电场中有一正方形ABCD，其对角线AC与两点电荷的连线重合，两对角线的交点位于电荷连线的中点O.下列说法中正确的有()A.A、B两点的电场强度方向相同B.B、D两点的电势相同C.质子由C点沿C→O→A路径移至A点，电场力对其先做负功后做正功D.电子由B点沿B→C→D路径移至D点，电势能先增大后减小8.去年底，我省启动“263”专项行动，打响碧水蓝天保卫战．暗访组在某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，匀强磁场方向竖直向下，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经测量管时，a、c两端电压为U，显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)．则()A.a侧电势比c侧电势高B.污水中离子浓度越高，显示仪器的示数将越大C.若污水从右侧流入测量管，显示器显示为负值，将磁场反向则显示为正值D.污水流量Q与U成正比，与L、D无关9.如图所示，三角形传送带以1m/s的速度逆时针匀速转动，两边传送带与水平方向的夹角均为37°.两个相同的物块A、B与传送带间的动摩擦因数是0.5，从传送带顶端均以1m/s 的初速度沿传送带下滑．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列说法中正确的有()A.A、B所受摩擦力沿传送带向上B.滑至底端，A用时较少C.滑至底端时A所受重力的瞬时功率较大D.下滑过程A与传送带间产生的热量较少三、简答题：本题分必做题(第10、11、12题)和选做题(第13题)两部分，共计42分．【必做题】10.(8分)某同学通过实验测量玩具上的小直流电动机转动的角速度大小，如图甲所示，将直径约为3cm的圆盘固定在电动机转动轴上，将纸带的一端穿过打点计时器后，固定在圆盘的侧面，圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘的侧面上，打点计时器所接交流电的频率为50Hz.甲乙(1) 实验时，应先接通________(选填“电动机”或“打点计时器”)电源．(2) 实验得到一卷盘绕在圆盘上的纸带，将纸带抽出一小段，测量相邻2个点之间的长度L1，以及此时圆盘的直径d1，再抽出较长的一段纸带后撕掉，然后抽出一小段测量相邻2个点之间的长度L2，以及此时圆盘的直径d2，重复上述步骤，将数据记录在表格中，其中一段纸带如图乙所示，测得打下这些点时，纸带运动的速度大小为________m/s.测得此时圆盘直径为5.60cm，则可求得电动机转动的角速度为________rad/s.(结果均保留两位有效数字)(3) 该同学根据测量数据，作出了纸带运动速度(v)与相应圆盘直径(d)的关系图象，如图丙所示．分析图线，可知电动机转动的角速度在实验过程中________(选填“增大”“减小”或“不变”)．丙11.(10分)某同学测量0.5mm自动铅笔笔芯的电阻．(1) 先用欧姆表估测笔芯的电阻，在测量前发现电表指针位置如图甲所示，该同学应该调节________(选填“T”或者“S”)．用“×10”挡和“×1”挡按正确步骤分别测量，指针指在图乙所示位置．则笔芯电阻的测量值较为准确的是________Ω.甲乙(2) 再用如图丙所示的电路测定笔芯电阻，相关器材的规格已在图中标出，请根据实验要求在图丙中用笔画线代替导线完成实物电路连接．(3) 正确连接电路后，调节滑动变阻器，多次测量，将数据描在UI坐标纸上，请根据图丁中描出的点画出UI图线．并求笔芯接入电路的电阻为________Ω.丙丁12. [选修3－5](12分)(1) 在光电效应实验中，用同一种单色光，先后照射锌和银的表面，都能产生光电效应．对于这两个过程，可能相同的物理量是________．A.遏止电压B.饱和光电流C.光电子的最大初动能D.逸出功(2) 验证动量守恒定律装置如图所示．在气垫导轨上给滑块A向右的速度，通过光电门1后与静止的滑块B相碰并粘合在一起通过光电门2.计时器显示滑块A、B通过光电门1和2的时间分别为Δt1和Δt2.测得滑块A、B的质量分别为m1、m2，A、B滑块上的遮光片宽度分别为d1、d2.碰撞过程中，滑块A对B的冲量大小________(选填“>”“<”或“＝”)滑块B对A的冲量大小，碰撞过程中验证动量守恒定律的表达式为__________________________(用题中所给的字母表示)．(3) 假设两个氘核在一直线上相碰发生聚变反应生成氦的同位素和中子，已知氘核的质量是m1，中子的质量是m2，氦核同位素的质量是m3，光在真空中速度为c.①写出核聚变反应的方程式；②求核聚变反应中释放出的能量ΔE.13.【选做题】本题包括A、B两小题，请选定其中一小题．．．．．．．．，并作答．若多做，则按A小题评分．A.[选修3－3](12分)(1) 关于分子力，下列说法正确的有________．A.分子间距离增大时，分子力减小B.液体的表面张力是液体表面层分子力表现为引力的宏观表现C.金刚石中碳原子间相互作用力很强，所以金刚石十分坚硬D.布朗运动中的花粉微粒在不停地做无规则运动，这是分子间存在斥力的宏观表现(2) 如图所示，用导热性能良好的汽缸和活塞将一定质量的理想气体密封在汽缸内(活塞与汽缸壁之间无摩擦)．在活塞上缓慢地加沙子，在此过程中，密闭气体________(选填“吸热”“放热”或“无热传递”)，单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数________(选填“增多”“减少”或“不变”)．(3) 如图所示，一定质量的理想气体从状态A经等温过程到状态B.此过程中，气体温度为0℃.已知阿伏加德罗常数N A＝6.02×1023mol－1，1mol气体在1atm、0℃时的体积为22.4L．(结果保留两位有效数字)①气体在状态A的体积V A；②气体分子数N.B.[选修3－4](12分)(1) 下列说法中正确的有________．A.摆钟偏快时可增加摆长进行校准B.做简谐运动的物体，其振动能量与振动的频率有关C.“隔墙有耳”现象是指声波发生了干涉现象D.光经过大头针尖儿时，针尖边缘轮廓会模糊不清，这是光的衍射现象(2) 如图所示，在某一均匀介质中，A、B是振动情况完全相同的两个波源，其简谐运动表达式均为x＝0.3sin(200πt)m，两波源形成的简谐横波分别沿AP、BP方向传播，波速都是500m/s，则简谐横波的波长为________m，某时刻两列波的波峰在P点相遇，则介质中P点的振幅为________m.(3) 如图所示的装置可以测量棱镜的折射率，ABC表示待测直角棱镜的横截面，棱镜的顶角为α，紧贴直角边AC是一块平面镜．一光线SO射到棱镜的AB面上，适当调整SO的方向，当SO与AB成β角时，从AB面射出的光线与SO重合，则棱镜的折射率n为多少？四、计算题：本题共3小题，共计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14.(15分)如图所示，足够长的两光滑水平导轨间距为L，导轨间所接电阻的阻值为R.质量为m的金属棒ab阻值也为R、金属棒在大小为F的水平恒力作用下沿导轨由静止开始滑动，其他电阻忽略不计．整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.(1) 求金属棒ab速度的最大值v m；(2) 画出电阻R两端的电压U与金属棒速度v的关系图象(要求写出作图依据)；(3) 经过时间t，金属棒运动距离为x，速度为v1，求该过程金属棒产生的焦耳热Q.15.(16分)如图所示，半径为R 的半圆形管道ACB 固定在竖直平面内，倾角为θ的斜面固定在水平面上，细线跨过小滑轮连接小球和物块，细线与斜面平行，物块质量为m ，小球质量M ＝3m ，对物块施加沿斜面向下的力F 使其静止在斜面底端，小球恰在A 点．撤去力F后，小球由静止下滑．重力加速度为g ，sinθ＝2π≈0.64，不计一切摩擦．求： (1) 力F 的大小；(2) 小球运动到最低点C 时，速度大小v 以及管壁对它弹力的大小N ；(3) 在小球从A 点运动到C 点过程中，细线对物块做的功W.16.(16分)如图所示为电子发射器原理图，M处是电子出射口，它是宽度为d的狭缝．D 为绝缘外壳，整个装置处于真空中，半径为a的金属圆柱A可沿半径向外均匀发射速率为v 的电子；与A同轴放置的金属网C的半径为2a.不考虑A、C的静电感应电荷对电子的作用和电子之间的相互作用，忽略电子所受重力和相对论效应，已知电子质量为m，电荷量为e.(1) 若A、C间加速电压为U，求电子通过金属网C发射出来的速度大小v C；(2) 若在A、C间不加磁场和电场时，检测到电子从M射出形成的电流为I，求圆柱体A在t时间内发射电子的数量N.(忽略C、D间的距离以及电子碰撞到C、D上的反射效应和金属网对电子的吸收)(3) 若A、C间不加电压，要使由A发射的电子不从金属网C射出，可在金属网内环形区域加垂直于圆平面向里的匀强磁场，求所加磁场磁感应强度B的最小值．2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)物理参考答案1. B2. A3. B4. C5. D6. AD7. ABD8. AC9. AD10. (1) 打点计时器(2) 1.864(3) 不变(每空2分)11. (1) T (1分)18(或18.0)(2分)(2) 分压式、外接法(3分，错一条线得1分)(3) 过原点的倾斜直线(2分)14(13～15)(2分)12. (1) B(3分)(2) ＝m1d1Δt1＝(m1＋m2)d2Δt2(每空2分)(3) ①核反应方程式为21H＋21H→32He＋10n.(2分)②核反应过程中的质量亏损Δm＝2m1－(m2＋m3)(1分)氘核聚变时放出的能量ΔE＝Δmc2＝(2m1－m2－m3)c2.(2分)13. A．(1) BC(3分，漏选得1分)(2) 放热增多(每空2分)(3) ①p A V A＝p B V B(1分)解得V A＝2.5×10－2 m3. (1分)②N＝VV A N A (2分)解得N＝1.3×1023.(1分)B．(1) AD(3分，漏选得1分)(2) 50.6(每空2分)(3) 入射角i＝90°－β(1分)要使从AB面射出的光线与SO重合，则AB面上折射光线必须与AC面垂直，由几何知识得到，折射角r＝α(2分)根据折射定律得n＝sin isin r＝sin()90°－βsin α＝cos βsin α.(2分)14. (1) 金属棒中产生的感应电动势E＝BLv(1分)由闭合电路欧姆定律I＝ER＋R(1分)金属棒受到的安培力F安＝BIL(1分) 由牛顿第二定律F－F安＝ma(1分)以上各式联列可得F－B2L2v2R＝ma当a ＝0时，金属棒ab 速度的最大值v m ＝2FRB 2L 2.(1分) (2) 电阻R 两端的电压U ＝IR ＝12BLv ∝v (1分)且U m ＝12BLv m ＝FRBL (1分)Uv 关系图象如图所示：(2分)(3) 金属棒速度达到v 1的过程中，由动能定理可得 Fx －W 克安＝12mv 21－0(2分)解得回路中产生的总热量Q 总＝W 克安＝Fx －12mv 21 (2分)金属棒产生的焦耳热Q ＝Q 总2＝12Fx －14mv 21.(2分)15. (1) 对小球：细线上的拉力T ＝3mg(1分) 对物块：mgsin θ＋F ＝T(2分) 解得F ＝2.36mg.(1分)(2) 小球在C 点时速度与物块速度大小相等．(1分)对小球和物块组成的系统，由机械能守恒定律3mgR －mg 12πRsin θ＝12(3m ＋m)v 2(2分)解得v ＝gR(1分)在C 点：对小球，由牛顿第二定律N －3mg ＝3m v 2R (2分)解得N ＝6mg.(1分)(3) 在小球从A 点运动到C 点过程中，对物块，由动能定理W －mg 12πRsin θ＝12mv 2－0(3分)解得W ＝32mgR.(2分)16. (1) 对电子经CA 间的电场加速时，由动能定理得Ue ＝12mv 2C －12mv 2(2分)解得：v C ＝2eU m＋v 2.(2分) (2) 设时间t 内从A 中发射的电子数为N ，由M 口射出的电子数为n, 则 I ＝net (2分)n ＝d 2π×2a N ＝dN 4πa (2分)解得N ＝4πaIted.(2分)(3) 电子在CA 间磁场中做圆周运动时，其轨迹圆与金属网相切时，对应的磁感应强度为B.设此轨迹圆的半径为r ，则(2a －r)2＝r 2＋a 2 解得r ＝34a(3分)Bev ＝m v 2r解得B ＝4mv3ae.(3分)。
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷
2019年10月09日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1.已知集合{}2,1,0M =--，102xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则MN ＝___________．2.已知i 是虚数单位，且复数z 满足()1Z 2i +=，则Z ＝________．3.底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是__________．4.某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为__________．5.根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为________． Re ad x 0If x Then ≥sin y x ← Else21y x ←- End If Print y6.甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a ，乙抽出的卡片上的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为___________．7.若直线1:240l x y -+=与2:430l mx y -+=平行，则两平行直线1l ，2l 间的距离为________．8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝________．9.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=,则该双曲线的离心率为__________.10.已知直线:4l y x =-+与圆()()22:211C x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ ⋅＝__________.11.已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为________．12.设a ，b 是非零实数，且满足ππsincos 10π77tan ππ21cos sin 77a b a b +=-，则b a ＝__________． 13.已知函数()43f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．14.若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln eyx z z-=，则x y 的最小值为________．二、解答题15.已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-，R x ∈. (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)求方程()0f x =在(]0,π上的所有解．16.如图，在三棱柱111ABCA B C 中，四边形11AA B B 为矩形，11AA B B ABC ⊥平面平面，E ，F 分别是侧面11AA B B ，11BB C C 对角线的交点．求证：(1)EF ABC //平面； (2)1BB AC ⊥.17.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中3AB =百米，AD BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD (路的宽度忽略不计)，设π,,π2BAD θθ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭.(1)当cos θ=时，求小路AC 的长度； (2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作1l PA ⊥，2l PB ⊥，直线1l ，2l 交于点C .(1) 若点C 的横坐标为-1，求点P 的坐标；(2) 直线1l 与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围． 19.已知函数()()3x f x x e =-，()()R g x x a a =+∈ (e 是自然对数的底数， 2.718e ≈)．(1) 求函数()f x 的极值；(2) 若函数()()y f x g x =在区间[]1,2上单调递增，求实数a 的取值范围； (3) 若函数()()()f xg xh x x+=在区间()0,+∞上既存在极大值又存在极小值，并且函数()h x 的极大值小于整数b ，求b 的最小值．20.记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B .(1)若数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求n B ；(2)若数列{}n b 是等差数列，试问数列{}n a 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明； (3)若n n 2100b n =-，求n A . 21.按要求回答下列问题： (1) [选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，满足1638A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵A 的特征值． (2) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩(t 为参数)．在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C 的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长．22.如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得ABD CBD ⊥平面平面，又AE ABD ⊥平面.(1)若AE =，求直线DE 与直线BC 所成的角； (2)若二面角ABED 的大小为π3，求AE 的长度． 23.已知直线2x =-上有一动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于y 轴，动点P 在1l 上，且满足0OP OQ ⋅= (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求MBD △的内切圆半径r 的取值范围．。
2019年扬州市高考数学模拟试题(带答案)
使用寿命/材料 1 个月
类型
2 个月
3 个月
4 个月
总计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？
6
6
参考数据： yi 96 xi yi 371
i 1
i 1
n
n
xi x yi y xi yi nxy
参考公式：回归直线方程 yˆ bˆx aˆ ，其中 bˆ i1 n
11．设双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a
0 ， b 0 ）的渐近线与抛物线
y
x2
1 相切，则该双曲
线的离心率等于（ ）
A． 3
B． 2C． 6源自D． 512．已知非零向量
AB
与
AC
满足
AB AB
AC AC
BC 0 且
AB AB
AC AC
1 2
，则
ABC
的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．不存在 x∈R，都有 x2＜0
C．存在 x0∈R，使得 x02≥0
D．存在 x0∈R，使得 x02＜0
4． 1
1 x2
1
x6 展开式中
x2
的系数为（
）
A．15
B．20
C．30
D．35
5．设双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b 0 )的左、右焦点分别为 F1，F2
，过 F1 的直线分别
2019 年扬州市高考数学模拟试题(带答案)
一、选择题
2019年江苏省扬州市高三一模考试数学试题及答案
高三上学期期末考试数学试题一、填空题 （70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿3、命题P ：“2,230x R x x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿ 9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：3x +＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿ 11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿ 13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 学科网的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿ 二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。
江苏省扬州市高考数学一模试卷(理科)
江苏省扬州市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·全国Ⅱ卷理) 设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=（）A . (-∞，1)B . (-2，1)C . (-3，-1)D . (3，+∞)2. （2分）复数的虚部是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·清城期末) 等比数列{an}中，a3=5，a8=2，则数列{lgan}的前10项和等于（）A . 2B . 5C . 10D . lg504. （2分） P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，且，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·天津理) 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分）从集合A={2，3，﹣4}中随机选取一个数记为k，则函数y=kx为单调递增的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）为得到函数y=sin（π﹣2x）的图象，可以将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A . 向左平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向右平移个单位8. （2分） (2016高一下·鞍山期中) 执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A . ﹣B .C . ﹣D .9. （2分）已知等差数列{an}中，有a4=18﹣a5 ，则S8=（）A . 18B . 36C . 54D . 7210. （2分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A . cm3B . cm3C . 2000cm3D . 4000cm311. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值（）A .B .C .D . 212. （2分）函数y=﹣x2+1，﹣1≤x＜2的值域是（）A . （﹣3，0]B . （﹣3，1]C . [0，1]D . [1，5）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·东北三省模拟) 若是偶函数，当时，，则=.________.14. （1分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=________15. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 若满足则的最小值为________．16. （1分） (2016高二上·上海期中) 数列{an}满足a1=2016，前n项和Sn=（1+2+…+n）•an ，对任意n∈N*成立，则a2015=________．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共70分)17. （10分） (2017高一下·双流期中) 设．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求△ABC面积的最大值．18. （10分） (2016高二下·丰城期中) 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）的时间（分钟）总人数203644504010将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女20110合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819. （10分） (2016高二下·佛山期末) 梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE= BD，BD=BC=CD= AB= AD=2，DE⊥BC．（1）求证：DE⊥平面ABCD；（2）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨月考) 在直角坐标系中，点到两点和的距离之和为4，设点的轨迹为曲线，经过点的直线与曲线C交于两点．（1）求曲线的方程；（2）若 ,求直线的方程.21. （10分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a（1）求f（x）的极值（2）曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，求a的取值范围．22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（θ为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）求C1及直线l的直角坐标方程（2）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求出此最大值．23. （10分）设函数 f（x）=|3x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＜0（2）若f（x）+4|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学答案解析
2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)数学参考答案1. {－2}2. 23. 22π34. 105. －26. 497. 52 8. 1 9. 52 10. 0 11. (－∞，9] 12.3 13.116或－1－33214. e 2 15. f(x)＝cos 2x ＋23sin xcos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 . (4分) (1) 由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ]，k ∈Z .(8分)(2) 由f(x)＝0得2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0， 解得2x ＋π6＝kπ，即x ＝－π12＋kπ2，k ∈Z .因为x ∈(0，π]，所以x ＝5π12或x ＝11π12.(14分)16. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以四边形AA 1B 1B ，四边形BB 1C 1C 均为平行四边形． 因为E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点， 所以E ，F 分别是AB 1，CB 1的中点 ， 所以EF ∥AC.(4分)因为EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.(8分)(2) 因为四边形AA 1B 1B 为矩形， 所以BB 1⊥AB.因为平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ， 所以BB 1⊥平面ABC.(12分) 因为AC ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥AC.(14分)17. (1) 在△ABD 中，由BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos θ，得BD 2＝14－65cos θ， 又cos θ＝－55， 所以BD ＝2 5.(2分) 因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以 sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫－552＝25. 由BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB ，得2525＝3sin ∠ADB ， 解得sin ∠ADB ＝35.因为△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以∠CDB ＝π2且CD ＝BD ＝25，所以cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠ADB ＋π2＝ －sin ∠ADB ＝－35.(5分)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DCcos ∠ADC ＝(5)2＋(25)2－2×5×25×⎝⎛⎭⎫－35＝37, 所以AC ＝37.(7分)(2) 由(1)得BD 2＝14－65cos θ，S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×5×sin θ＋12×BD 2＝7＋352sin θ－35cos θ＝7＋352(sin θ－2cos θ)＝7＋152sin (θ－φ)，此时sin φ＝25，cos φ＝15且φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，(10分) 当θ－φ＝π2时 ，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ＋π2，此时sin θ＝15，cos θ＝－25，所以BD 2＝14－65cos θ＝14－65×(－25)＝26，即BD ＝26，(13分) 所以当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为26百米. (14分) 18. (1) 设直线AP 的斜率为k ，P(x 0，y 0)， 由题意得2a ＝4，c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.因为点P 在椭圆M 上，且位于第一象限，所以0<k<32，x 204＋y 203＝1，直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)．因为k AP ·k BP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝－34，所以k BP ＝－34k，所以直线BP 的方程为y ＝－34k(x －2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y ＝－34k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－8k 24k 2＋3，y ＝12k 4k 2＋3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3.因为l 1⊥PA ，所以k AC ＝－1k ，则直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．因为l 2⊥PB ，所以k BC ＝43k ，则直线BC 的方程为y ＝43k(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－1k（x ＋2），y ＝43k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－64k 2＋3，y ＝－16k 4k 2＋3，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－64k 2＋3，－16k 4k 2＋3.(6分)因为点C 的横坐标为－1， 所以8k 2－64k 2＋3＝－1，解得k ＝±12.因为0<k<32， 所以k ＝12，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.(8分) (2) 设Q(x Q ，y Q )，C(x C ，y C )，又直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．联立⎩⎨⎧y ＝－1k（x ＋2），x 24＋y23＝1，消去 y ，整理得(3k 2＋4)x 2＋16x ＋16－12k 2＝0，所以－2x Q ＝16－12k 23k 2＋4，解得x Q ＝6k 2－83k 2＋4.因为AC → ＝λAQ → ，所以λ＝x C ＋2x Q ＋2＝8k 2－64k 2＋3＋26k 2－83k 2＋4＋2＝16k 2（3k 2＋4）12k 2（4k 2＋3）＝1＋712k 2＋9.(14分)因为0<k<32， 所以λ∈⎝⎛⎭⎫2518，169.(16分)19. (1) f(x)＝(3－x)e x ，f′(x)＝(2－x)e x ， 令f′(x)＝0，解得x ＝2，列表如下：所以当x ＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e 2，无极小值．(3分) (2) 由y ＝f(x)g(x)＝(3－x)(x ＋a)e x ，得y′＝e x [－x 2＋(3－a)x ＋3a －2x ＋(3－a)]＝e x [－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3]． 因为e x >0，令m(x)＝－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3，所以函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x ∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m （1）≥0，m （2）≥0，解得a ≥－3，(8分)故a 的取实范围是[－3，＋∞)．(3) 由题意得h(x)＝f （x ）＋g （x ）x ＝（3－x ）e x ＋x ＋a x ，则h′(x)＝e x （－x 2＋3x －3）－ax 2.令r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a,因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值， 所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根， 即r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a ＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)．(10分)因为r′(x)＝e x (－x 2＋3x －3－2x ＋3)＝e x (－x 2＋x)＝x(1－x)e x ，所以当x ∈(0，1)时，r′(x)>0，r(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，r′(x)<0，r(x)单调递减，则0<x 1<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧r （0）<0，r （1）>0，解得－3<a<－e ，所以r ⎝⎛⎭⎫32＝－34e 32－a<－34e 32＋3<0. 因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)<0，r(1)·r ⎝⎛⎭⎫32<0， 所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间⎝⎛⎭⎫1，32上各有一个实数根， 所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3<a<－e ，并且在区间(0，1)上存在极小值f(x 1)，在区间⎝⎛⎭⎫1，32上存在极大值f(x 2)， 所以h(x 2)＝（3－x 2）ex 2＋x 2＋a x 2，且h′(x 2)＝ex 2（－x 22＋3x 2－3）－ax 22＝0，所以a ＝ex 2(－x 22＋3x 2－3)， 所以h(x 2)＝[(3－x 2)ex 2＋x 2＋ex 2(－x 22＋3x 2－3)]×1x 2＝ex 2(2－x 2)＋1，(13分) 令H(x)＝e x (2－x)，则H′(x)＝e x (1－x)，当x ∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减， 因为x 2∈⎝⎛⎭⎫1，32， 所以h ⎝⎛⎭⎫32<h(x 2)<h(1)， 即h(x 2)∈⎝⎛⎭⎫12e 32＋1，e ＋1，则3<12e 32＋1<e ＋1<4.因为h(x)的极大值小于整数b ，所以满足题意的整数b 的最小值为4.(16分)20. (1) 因为数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以m n ＝2，M n＝a n ＝2n ，则b n ＝2＋2n 2＝1＋2n －1，所以 B n ＝n ＋1－2n1－2×1＝2n －1＋n.(4分)(2) 若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′. 因为b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －12＝d′. 根据M n ，m n 的定义，有以下结论：M n ≥M n －1，m n ≤m n －1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分) ①若d′>0，则必有M n >M n －1， 所以a n ＝M n >M n －1≥a n －1，即对n ≥2，n ∈N *都有a n >a n －1， 所以M n ＝a n ，m n ＝a 1，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a n ＋a 12－a n －1＋a 12＝a n －a n －12＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列；②当d′<0时，则必有m n <m n －1，所以a n ＝m n <m n －1≤a n －1，即对n ≥2，n ∈N *都有a n <a n －1， 所以M n ＝a 1，m n ＝a n ，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列； ③当d′＝0时，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12，M n －M n －12＋m n －m n －12＝0， 因为M n －M n －1，m n －m n －1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即M n ＝M n －1，m n ＝m n －1，所以{a n }为常数数列，所以{a n }为等差数列， 综上，数列{a n }也一定是等差数列．(10分)(3) 因为b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－100(n ＋1)]－[2n －100n]＝2n －100， 所以当n<7时，b n ＋1－b n <0，即b 1>b 2>…>b 6>b 7， 当n ≥7时，b n ＋1－b n >0，即b 7<b 8<b 9<…. 以下证明：a 1>a 2>…>a 6>a 7，a 7<a 8<a 9<…. 当n<7时，若m n ≤a n ＋1≤M n ，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝m n ， 所以b n ＋1＝b n ，不合题意；若a n ＋1>M n ，则M n ＋1＝a n ＋1，m n ＋1＝m n ，则M n ＋m n 2<M n ＋1＋m n ＋12，得b n <b n ＋1，与b n >b n ＋1矛盾，不合题意；所以a n ＋1<m n ≤a n ，即a 1>a 2>…>a 6>a 7；同理可证：a 7<a 8<a 9<…，即n ≥7，n ∈N *时，a n <a n ＋1. ①当n ≤7时，M n ＝a 1，m n ＝a n ， 所以b n ＝a 1＋a n2，所以a n ＝2b n －a 1，a 1＝b 1＝－98， 因为b n ＝2n －100n ，所以a n ＝2n ＋1－200n ＋98，所以A n ＝4（1－2n ）1－2－200×n （n ＋1）2＋98n ＝2n ＋2－100n 2－2n －4；(13分)②当n>7时，a 1>a 2>…>a 6>a 7，且a 7<a 8<a 9<…，所以m n ＝a 7＝28－200×7＋98＝－1 046，则M n 为a 1或a n .若M n 为a 1，则b n 为常数，与题意不符，所以M n ＝a n ，所以b n ＝a n ＋a 72，所以a n ＝2b n －a 7＝2n ＋1－200n ＋1 046，所以A n ＝A 7＋a 8＋a 9＋…＋a n ＝29－4 900－14－4＋29（1－2n －7）1－2－200×（n ＋8）（n －7）2＋1 046(n －7) ＝2n ＋2－100n 2＋946n －6 640，所以A n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2－100n 2－2n －4， n ≤7，2n ＋2－100n 2＋946n －6 640， n ≥8，n ∈N *.(16分)21. A ．因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋3b ＋6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤68，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，(5分)所以矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－2λ－2＝(λ－3)(λ－2)－2＝λ2－5λ＋4＝0.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为1或4.(10分)B ．将直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t 化为普通方程为x ＋2y ＋4＝0.(2分)将圆C 的极坐标方程ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝8，其圆心(2，－2)，半径为22，(5分) 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－4＋4|5＝25，所以直线l 被圆C 截得的弦长为 2（22）2－⎝⎛⎭⎫252＝1255.(10分)22. (1) 因为正方形ABCD 的边长为2，所以AB ⊥AD ，CB ⊥CD ，AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝2. 又AE ⊥平面ABD ，所以以点A 为原点，AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F.因为平面ABD ⊥平面CBD ，CF ⊂平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD ＝BD ， 所以CF ⊥平面ABD. 因为CB ＝CD ＝2，所以F 为BD 的中点，CF ＝ 2.(2分) 因为AE ＝2，所以E(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，F(1，1，0)，C(1，1，2)， 所以DE →＝(0，－2，2)，BC →＝(－1，1，2)， 所以DE →·BC →＝0， 所以DE →⊥BC →，所以直线DE 与直线BC 所成的角为π2.(5分)(2) 设AE 的长度为a(a>0)，则E(0，0，a)． 因为AD ⊥平面ABE,所以平面ABE 的一个法向量为n 1＝(0，1，0)．(6分) 设平面BDE 的法向量为n 2＝(x 1，y 1，z 1)． 因为BE →＝(－2，0，a)，BD →＝(－2，2，0)， 所以n 2⊥BE →，n 2⊥BD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝－2x 1＋az 1＝0，n 2·BD →＝－2x 1＋2y 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝a 2z 1，x 1＝y 1，取z 1＝2，则x 1＝y 1＝a ，所以平面BDE 的一个法向量为n 2＝(a ，a ，2)，(8分)所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝a a 2＋a 2＋4×1＝a 2a 2＋4.因为二面角ABED 的大小为π3，所以a 2a 2＋4＝12，解得a ＝2， 所以AE 的长度为 2.(10分)23. (1) 设点P(x ，y)，则Q(－2，y)， 所以OP →＝(x ，y)，OQ →＝(－2，y)． 因为OP →·OQ →＝0，所以OP →·OQ →＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x.(2分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 3，y 3)，直线BD 与x 轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T.设直线AM 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12，则联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，所以x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，所以x 1<12<x 2，所以直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝⎛⎭⎫x －12， 与方程y 2＝2x 联立得y 21x 2－(y 21＋2x 21－2x 1＋12)x ＋14y 21＝0， 化简得2x 1x 2－⎝⎛⎭⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0， 解得x ＝14x 1或x ＝x 1.因为x 3＝14x 1＝x 2，所以BD ⊥x 轴，设△MBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT ⊥AB.(5分) 令t ＝x 2＋12，则t>1，所以r ＝112t －1＋1t 2＋1t在区间(1，＋∞)上单调递增，则r>12＋1，即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．(10分)。
江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题 Word版含解析
扬州中学2019届高三数学考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合10x A xx -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}lg(21)B x y x ==-，则A B =______. 【答案】112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】 解不等式10xx-≥，化简集合A 的表示，求函数lg(21)y x =-的定义域，化简集合B 的表示，然后求出A B .【详解】{}100101xx A x x x -≥∴<≤∴=<≤，函数lg(21)y x =-有意义时12x >，所以12B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,因此112A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了不等式的解法、函数的定义域、集合的交集运算，解题的关键是正确理解集合元素的属性特征和正确解出不等式的解集.2.已知复数(13)1i i z i-=+，则复数z 的虚部为______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数z 的值，然后求出复数z 的共轭复数z ，最后写出z 的虚部. 【详解】(13)(13)(1)221(1)(1)i i i i i z i z i i i i ---===-∴=+++-,所以复数z 的虚部为1. 【点睛】本题考查了复数的除法运算、求一个复数的共轭复数的虚部，解题的关键是掌握复数除法的运算法则、复数的共轭复数的概念、以及复数虚部的概念.3.执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值__________．【答案】4 【解析】 【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，a 的值，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可．【详解】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2 满足条件i 2≤ ，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案：4．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，属于基础题．4.某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查 活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 人． 【答案】8 【解析】试题分析：在足球兴趣小组中应抽取40248120⨯= 考点：分层抽样5.抛物线2y ax =的焦点是直线10x y +-=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是______.【答案】1y =- 【解析】 【分析】抛物线2y ax =的焦点在纵轴上，所以先求出直线10x y +-=与纵轴的交点坐标，从而可以求出抛物线的准线方程.【详解】因为抛物线2y ax =的焦点在纵轴上，而直线10x y +-=与纵轴的交点的坐标为(0,1)，因此抛物线准线方程是1y =-.【点睛】本题考查了抛物线准线方程，正确求出直线与纵轴的交点坐标是解题的关键.6.数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式，可以把等式4101615a a a λ++=变形为关于,d λ的等式，可以转化为()f d λ=的形式，利用函数的单调性求出实数λ的最大值. 【详解】41153a a aaλλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t tλ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了闭区间上求函数的最大值问题，解题的关键是根据已知函数的单调性，判断所给区间上的单调性.7.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为_______.【答案】3【解析】 【分析】通过展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，可以求出圆锥的母线、圆锥的底面周长及半径，这样可以求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出圆锥的体积. 【详解】因为展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，所以圆锥的母线3l =，圆锥的底面的周长为2323ππ⨯=，因此底面的半径1r =，根据勾股定理，可知圆锥的高h =所以圆锥的体积为21133π⋅⨯=. 【点睛】本题考查了求圆锥的体积问题，解题的关键是熟知圆锥侧面展开图与圆锥之间的关系.8.设21,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩，0.50.50.70.7,log 0.7,log 5a b c -===，则比较(),(),()f a f b f c 的大小关系_______.【答案】()()()f a f b f c >> 【解析】 【分析】先判断出函数()f x 的单调性，然后判断,,a b c 之间的大小关系，利用单调性比较出(),(),()f a f b f c 之间的大小关系.【详解】当0x ≥时，()1f x x =+是单调增函数，所以有()(0)1f x f ≥=，当0x <时，2()1f x x =--是单调增函数，所以有()1f x <-，所以函数()f x 是R 上的增函数.0.500.50.50.50.70.70.70.71,0log 1log 0.7log 0.51,log 5log 10a c -=>==<<==<=,所以有1,01,0a b c a b c ><<<⇒>>，而函数()f x 是R 上的增函数，所以(),(),()f a f b f c 的大小关系为()()()f a f b f c >>.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值之间的大小关系，解题的关键是判断函数的单调性、以及三个自变量取值之间的大小关系.9.己知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点作一条倾斜角为3π直线分别交双曲线左、右两支,P Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ,则双曲线离心率为______.1 【解析】 【分析】可以求出原点作一条倾斜角为3π直线方程，与双曲线方程联立，求出,P Q 两点坐标，已知线段PQ 为直径的圆过右焦点F ,所以有0FP FQ ⋅=,结合222c a b =+，求出双曲线的离心率. 【详解】过原点作一条倾斜角3π直线方程为y =，解方程组：2222,1x y x yy a b ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设(P Q ，(c,0)F ，因为线段PQ 为直径的圆过右焦点F ,所以0FP FQ ⋅=，因此有)()0ab c c --+=，222c a b =+，化简得4224840c c a a -+=，所以有42840e e -+=，解得241e e =+⇒=.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，解题的关键是利用已知条件构造向量式，利用222c a b =+求出双曲线的离心,考查了数学运算能力.其时本题也可以根据平面几何图形的性质入手，由双曲线和直线的对称性，可设P 在第一象限，线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，显然OP OQ OF c ===，直线PQ 的倾斜角为3π，这样可以求出P 的坐标，代入双曲线方程中，也可以求出双曲线的离心率.10.已知函数sin(),2,2()2223sin(),2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.【答案】1- 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合函数图象的特点，利用导数求出曲线的切线方程，可以求出44(2)tan x x +的值.【详解】函数的图象如下图所示：直线(2)(0)y m x m =+>过定点(2,0)-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x x =-，()sin f x x '=，由图象可知切点坐标为()44,cos x x -， 切线方程为：()444cos sin y x x x x +=-，又因为切线过点(2,0)-，则有()444cos sin 2x x x =--，即44(2)tan 1.x x +=-【点睛】本题考查了三角函数图象的画法，以及利用导数求曲线切线方程，考查了数形结合思想.11.已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且2AB AC AO →→→+=，|AB||AO|→→=，则CA CB →→⋅=______.【答案】12 【解析】 【分析】由2AB AC AO →→→+=可知，点O 是线段BC 的中点，O 是ABC ∆外接圆的圆心，可以判断ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，又|AB||AO|→→=，可得030ACB ∠=,4,CB =AC =利用向量数量积的定义求出CA CB →→⋅的值.【详解】因为2AB AC AO →→→+=，所以点O 是线段BC 的中点，O 是ABC ∆外接圆的圆心，因此ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，又因为|AB||AO|→→=，所以2,4AB BC ==,因此030ACB ∠=,AC =所以cos 412.CA CB CA B CB AC →→→→∠=⋅==⋅⋅ 【点睛】本题考查了平面向量的加法几何意义、考查了平面向量数量积运用，解题的关键是对ABC ∆形状的判断.12.已知函数310()2ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是______．【答案】0a <或2a > 【解析】 【分析】分类讨论函数的单调性，计算()f x 在(0,)+∞上的最小值，根据函数经过的象限得出最小值与零的关系，从而求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩…，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'…， ①若1a -…时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <， 当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；213a ≥⇒≥，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为2f =，显然20<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.【点睛】本题考查了函数单调性的判断和最值计算，考查了数学运算能力.13.已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【答案】【解析】 【分析】将正切化成正余弦，化简得出b ，c 和sinA 之间的关系，结合面积公式即可得出b 2关于A 的函数式，再根据A 的范围计算b 的最小值，即可得AC 的最小值． 【详解】∵431tan tan A B +=，∴cos cos 431sin sin A BA B+=，∴4cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB ， ∴3cosAsinB+3cosBsinA＝sinAsinB ﹣cosAsinB ，即3sin （A+B ）＝sinB （sinA ﹣cosA ），即3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ）， ∴3c＝b （sinA ﹣cosA ），即c (sin cos )3b A A -=，∵△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝2(sin cos )sin 6b A A A-＝26b （sin 2A ﹣cosAsinA ）＝212b （1﹣sin2A ﹣cos2A 1，∴b 2＝1)1)1sin 2cos 2124A AA π=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵3c＝b （sinA ﹣cosA ）＞0，且0＜A ＜π， ∴39A ,2A+4444πππππ<<∴<<，∴当32A+42ππ=即A ＝58π时，b 2取得最小值12，∴b 的最小值为AC 最小值为故答案：【点睛】本题考查了同角三角函数关系、正弦定理、面积公式、两角和的正弦公式、以及正弦型三角函数的性质，属于中档题.14.各项均为正偶数的数列1234a a a a ,,,中，前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=,则q 的所有可能的值构成的集合为________. 【答案】5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 【解析】 【分析】先假设数列的前三项，使这三项是等差数列，再根据4188a a -=，确定第四项，根据后三项依次成公比为q 的等比数列，确定公差为(0)d d >的取值范围，最后求出q 的所有可能的值构成的集合.【详解】因为前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，4188a a -=，所以这四项可以设为1111,,2,88a a d a d a +++，其中1,a d 为正偶数，后三项依次成公比为q 的等比数列，所以有()()()2111288a d a d a +=++，整理得14(22)0388d d a d -=>-，得(22)(388)0d d --<，88223d <<，1,a d 为正偶数，所以24,26,28d =当24d =时，1512,3a q ==；当26d =时，12085a =，不符合题意，舍去；当28d =时，18168,7a q ==，故q 的所有可能的值构成的集合为5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的性质，考查了数学运算能力.二、解答题：共 6 小题，共90 分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥ .若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC P 平面α.求证:（1）∥EH FG ； （2）AB FG ⊥.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出∥EH FG ； （2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出AB FG ⊥. 【详解】证明（1）因为PC P 平面α，平面α平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有PC EH ,同理可证出PC FG ,根据平行公理，可得∥EH FG ；（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH ,所以AB FG ⊥.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,)m a b →=，(cos ,cos )n A B →=,,2sin )2B C p A →+=，若m n →→∥，|p|3→=. （1）求角,,A B C 的值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()sin sin cos cos f x A x B x =+的最大值与最小值. 【答案】（1）3π；（2）12， 1. 【解析】 【分析】（1）由m n →→∥，可以得到等式，利用正弦定理进行化简，可以得到A B =，再由|p|3→=，利用二倍角降幂公式、同角三角函数关系，可以求出A 的大小，最后求出其它二个内角的大小； （2）逆用两角和的正弦公式，对函数()sin sin cos cos f x A x B x =+的解析式，进行化简，利用正弦函数的性质求出在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数的最大值和最小值. 【详解】（1）//m n ，cos cos a B b A ∴=，由正弦定理，得sin cos sin cos A B B A =，sin()0A B ∴-=，又A B ππ-<-<，A B ∴= 而22||p p =228sin 4sin 2B CA +=+=9, 228cos 4sin 92AA ∴+=，()24(1cos )41cos 9A A ∴++-=，24cos 4cos 10A A ∴-+=，2(2cos 1)0A ∴-=， 1cos 2A ∴=，又0A π<<，3A π∴=，3A B C π∴===.（2）()sin coscos sin66f x x x ππ=+sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,663x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 0x ∴=时，min 1()(0)2f x f ==， 3x π=时，max ()13f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量共线向量的坐标表示、三角恒等变换、正弦定理，以及正弦函数的最值问题.17.某公司航拍宣传画报，为了凸显公司文化，选择如图所示的边长为2百米的正三角形ABC 空地进行布置拍摄场景，在BC 的中点D 处安装中央聚光灯，,E F 为边,AB AC 上得可以自由滑动的动点，其中,DE DF 设置为普通色彩灯带(灯带长度可以自由伸缩)，线段,AE AF 部分需要材料M (单位:百米)装饰用以增加拍摄效果因材料M 价格昂贵，所以公司要求采购M 材料使用不造成浪费.（1）当45BDE ∠=︒，DF 与AC 垂直时，采购部需要采购多少百米材料M ？（2）为了增加拍摄动态效果需要，现要求点,E F 在,AB AC 边上滑动，且60EDF ∠=︒，则购买材料M 的范围是多少才能满足动态效果需要又不会造成浪费.【答案】（1）9(2-（百米）；（2）3[,2]2（单位为百米）. 【解析】 【分析】（1）因为DF 与AC 垂直，所以三角形CDF 是直角三角形，利用锐角三角函数，可以求出CF 的长，这样可以求出AF 的长，在BDE ∆中，利用正弦定理可以求出BE 的长，这样可以求出AE 的长,这样可以求出采购部需要采购材料M 的数量;（2）设,CF x BE y ==，根据60EDF ∠=︒，可以求出x 的取值范围，由60EDF ∠=︒和三角形ABC 等边三角形，可以证明出EBD ∆与DCF ∆相似,这样可以得到,x y 之间的关系,这样AE AF +可以用关于x 的式子表示，构造函数，利用函数的单调性，求出()AE AF +的取值范围.【详解】（1）三角形ABC 等边三角形，D 是BC 的中点，因此60B C ==∠∠,1BD DC ==,因为DF 与AC 重直，所以三角形CDF 是直角三角形，因此有cos CFC CD=, 所以11122CF =⨯=,因此32AF =，在BDE ∆中，由正弦定理可知： sin sin BE BD BDE BED=∠∠, 114BE ⨯⇒==，因此3AE =所以采购部需要采购材料M为393(22AE AF +==（百米）； （2）设,CF xB E y ==，当E 与A 重合时,由60ADF ∠=︒，可求得32AF =，所以1[,2]2x ∈，因为60EDF ∠=︒，所以120EDB FDC ∠+∠=,而120FDC CFD ∠+∠=, 所以EDB CFD ∠=∠,60B C ==∠∠，因此EBD ∆与DCF ∆相似， 所以有11BE CD xy y BD CF x =⇒=⇒=，设AE AF z +=，144z x y x x=--=--， '221(1)(1)1x x z x x -+=-+=-，当1[,1)2x ∈时，'z >，函数14z x x =--单调递增，当(1,2]x ∈时，'0z <，函数14z x x=--单调递减，故当1x =时，z 有最大值2， 133(),(2)222z z ==，所以3[,2]2z ∈，购买材料M 的范围是3[,2]2（单位为百米）.【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，主要考查了正弦定理、相似三角形的判定，构造函数，利用函数的单调性，解决实际问题的能力.18.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，离心率12e =，A 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，1AF =，直线m ：4x =-. （1）求椭圆C 方程；（2）直线l 过点F 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线PA 、QA 分别与直线m 交于M 、N 两点，试问：以MN 为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）以MN 为直径的圆能过两定点(1,0)-、(7,0)- 【解析】 【分析】 （1）根据1,12e a c =-=以及222a b c =+，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（2）当直线l 斜率存在时，设出直线l 的方程，,P Q 两点的坐标，根据直线,PA QA 的方程求得,M N 两点的坐标，由此求得以MN 为直径的圆的方程.联立直线l 的方程和椭圆的方程，利用韦达定理写出,P Q 两点坐标的关系，代入圆的方程进行化简，由此求得圆和x 轴交点的坐标.当直线l 斜率不存在时，求得,,,P Q M N 点的坐标，求得MN 为直径的圆的方程，由此求得该圆也过直线l 斜率存在时的两个点.由此判断出圆MN 过定点，并得到定点的坐标.【详解】（1）121c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y +=.（2）当直线l 斜率存在时，设直线l ：()()10y k x k =+≠，()11,P x y 、()22,Q x y ， 直线PA ：()1122y y x x =++，令4x =-，得1124,2y M x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，同理2224,2y N x ⎛⎫--⎪+⎝⎭， 以MN 为直径的圆：()()12122244022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()()2121222121212121214422402424x x x x x x x y k y k x x x x x x x x ⎡⎤++++++++-+=⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦① ()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +++-=， 2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+ ② 将②代入①整理得：226870x y x y k++-+=，令0y =，得1x =-或7x =-. 当直线l 斜率不存在时，31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()4,3M --、()4,3N ， 以MN 为直径的圆：()2249x y ++=也过点()1,0-、()7,0-两点， 综上：以MN 为直径的圆能过两定点()1,0-、()7,0-.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆交点的求法，考查已知圆直径端点的坐标求圆的方程的方法，综合性较强，需要一定的运算求解能力.直线和圆锥曲线联立方程，消元后得到的一元二次方程往往含有参数，此时一般考虑用韦达定理表示两根之间的关系.19.设定义在R 上的函数()()xf x e ax a R =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在[)01,x ∈+∞，使得0()f x e a <-成立，求实数a 的取值范围；（3）定义:如果实数,,s t r 满足|s-r||t-r|≤， 那么称s 比t 更接近r .对于（2）中的a 及1x ≥，问:ex和1x e a -+哪个更接近ln x ？并说明理由. 【答案】（1）()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，减区间为(,ln )a -∞；（2）(,)e +∞；（3）e x比1x e a -+更接近ln x . 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 求导，根据a 的取值范围，分类讨论函数的单调性；（2）存在0[1,)x ∈+∞，使得()0f x e a <-成立，即min ()f x e a <-成立.根据（1）的分类情况进行讨论分析，最后求出实数a 的取值范围； （3）构造函数：()ln ep x x x=-，1()ln (1)x q x e a x x -=+-≥，分别求导，求出函数的单调区间，根据单调区间进行分类讨论：()|()||()|n x p x q x =-，判断函数()n x 的正负性，从而判断出ex和1x e a -+哪个更接近ln x . 【详解】（1）()xf x e a '=-当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '>，得0x e a ->，即ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <.∴函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，减区间为(,ln )a -∞；（2）存在0[1,)x ∈+∞，使得()0f x e a <-成立，即min ()f x e a <-成立. 由（1）知，当0a ≤时，()f x 在[1,)+∞上为增函数，则min ()(1)f x f e a ==-， 不满足min ()f x e a <-成立,当0a >时，若ln 1a ≤，则()f x 在[1,)+∞上为增函数，则min ()(1)f x f e a ==-， 不满足min ()f x e a <-成立,若ln 1a >，即a e >，则()f x 在(1,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，min ()(ln )(1)f x f a f e a ∴=<=-.∴实数a 的取值范围是(,)e +∞； （3）令()ln ep x x x=-，1()ln (1)x q x e a x x -=+-≥21()0e p x x x'=--<，()p x 在[1,)+∞上单调递减， 故当1x e ≤≤时，()()0p x p e ≥=，当x e >时，()0p x <； 11()x q x e x -'=-，121()0x q x e x-''=+>，()q x '在[1,)+∞上单调递增， 故()(1)0q x q ''≥=，则()q x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)10q x q a ≥=+>. ①当1x e ≤≤，令1()|()||()|()()x e n x p x q x p x q x ee a xx -=-=--==---. 12()0x em x e x-'∴=-<，故()m x 在[]1,e 上单调递减， ()(1)10m x m e a ∴≤=--<，即 |()||()|p x q x <，∴ex比1x e a -+更接近ln x ； ②当x e >时，令()|()||()|n x p x q x =- ()()p x q x =--12ln x ex e a x-=-+--，11223()0x e e n x e e x x e '--∴=+-<-<，故()n x 在[),e +∞上单调递减，()()0n x n e ∴≤<，即|()||()|p x q x <，∴ex比1x e a -+更接近ln x . 综上，当a e >及1x ≥时，ex比1x e a -+更接近ln x .【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性问题，考查了不等式成立存在问题，函数值正负性判断问题，解题的关键是利用导数，分类讨论.20.已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列.（1）若12a =，且234,,1a a a +成等比数列，求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）在（1）的条件下，数列{}n a 的前n 和为n S ，设12111...2n n nb S n S +=++++，若对任意的n *∈N ，不等式k b k ≤恒成立，求突数k 的最小值:（3）若数列{}n a 中有两项可以表示位某个整数(1)c c >的不同次冪，求证:数列{}n a 中存在无穷多项构成等比数列.【答案】（1）{}n a 的通项公式2n a n =．（2）实数k 的最小值为16． （3）有等比数列{}n b ，其中1,r t s rb c q c c -===．【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的综合运用。
2019届江苏省扬州市高三第一次模拟考试 数学(文)
2019届高三第一次模拟考试数 学 文 科(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. 已知集合M ＝{－2，－1，0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x >2，则M ∩N ＝________． 2. 已知i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i)z ＝2，则||z ＝________．3. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．Read xIf x ≥0 Theny ←sin xElsey ←x 2－1End IfPrint y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为________．5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为________．6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a ，乙抽出的卡片上的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为________．7. 若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________．8. 已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________．9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．10. 已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ，Q 两点，则CP →·CQ →＝________.11. 已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．12. 设a ，b 是非零实数，且满足asin π7＋bcos π7acos π7－bsin π7＝tan 10π21，则b a ＝________． 13. 已知函数f(x)＝a ＋3＋4x－||x ＋a 有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．14. 若存在正实数x ，y ，z 满足3y 2＋3z 2≤10yz ，且ln x －ln z ＝ey z ，则x y的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝cos2x＋23sin xcos x－sin2x，x∈R.(1) 求函数f(x)的单调增区间；(2) 求方程f(x)＝0在(0，π]上的所有解．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BB1⊥AC.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.(1) 当cos θ＝－55时，求小路AC 的长度； (2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C.(1) 若点C 的横坐标为－1，求点P 的坐标；(2) 直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC →＝λAQ →，求λ的取值范围．已知函数f(x)＝(3－x)e x，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)．(1) 求函数f(x)的极值；(2) 若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f（x）＋g（x）x在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．记无穷数列{}a n 的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝M n ＋m n 2，数列{}a n 的前n 项和为A n ，数列{}b n 的前n 项和为B n .(1) 若数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列，求B n ；(2) 若数列{}b n 是等差数列，试问数列{}a n 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；(3) 若b n ＝2n －100n ，求A n .2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)数学参考答案1. {－2}2. 23. 22π34. 105. －26. 497.52 8. 1 9. 52 10. 0 11. (－∞，9] 12. 3 13. 116或－1－33214. e 2 15. f(x)＝cos 2x ＋23sin xcos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 . (4分) (1) 由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ， 解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z ， 所以函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ]，k ∈Z.(8分) (2) 由f(x)＝0得2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0， 解得2x ＋π6＝kπ，即x ＝－π12＋kπ2，k ∈Z. 因为x ∈(0，π]，所以x ＝5π12或x ＝11π12.(14分) 16. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以四边形AA 1B 1B ，四边形BB 1C 1C 均为平行四边形．因为E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点，所以E ，F 分别是AB 1，CB 1的中点 ，所以EF ∥AC.(4分)因为EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(8分)(2) 因为四边形AA 1B 1B 为矩形，所以BB 1⊥AB.因为平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ， 所以BB 1⊥平面ABC.(12分)因为AC ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AC.(14分)17. (1) 在△ABD 中，由BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos θ，得BD 2＝14－65cos θ， 又cos θ＝－55， 所以BD ＝2 5.(2分)因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以 sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫－552＝25. 由BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB ， 得2525＝3sin ∠ADB， 解得sin ∠ADB ＝35. 因为△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠CDB ＝π2且CD ＝BD ＝25， 所以cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠ADB ＋π2＝ －sin ∠ADB ＝－35.(5分) 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DCcos ∠ADC ＝(5)2＋(25)2－2×5×25×⎝⎛⎭⎫－35＝37, 所以AC ＝37.(7分)(2) 由(1)得BD 2＝14－65cos θ，S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×5×sin θ＋12×BD 2 ＝7＋352sin θ－35cos θ ＝7＋352(sin θ－2cos θ)＝7＋152sin (θ－φ)， 此时sin φ＝25，cos φ＝15且φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，(10分) 当θ－φ＝π2时 ，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ＋π2，此时sin θ＝15，cos θ＝－25， 所以BD 2＝14－65cos θ＝14－65×(－25)＝26，即BD ＝26，(13分) 所以当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为26百米. (14分)18. (1) 设直线AP 的斜率为k ，P(x 0，y 0)，由题意得2a ＝4，c a ＝12， 所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1. 因为点P 在椭圆M 上，且位于第一象限，所以0<k<32，x 204＋y 203＝1，直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)． 因为k AP ·k BP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝－34， 所以k BP ＝－34k， 所以直线BP 的方程为y ＝－34k(x －2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y ＝－34k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－8k 24k 2＋3，y ＝12k 4k 2＋3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 因为l 1⊥PA ，所以k AC ＝－1k， 则直线AC 的方程为y ＝－1k(x ＋2)． 因为l 2⊥PB ，所以k BC ＝43k ， 则直线BC 的方程为y ＝43k(x －2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－1k （x ＋2），y ＝43k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－64k 2＋3，y ＝－16k 4k 2＋3， 即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－64k 2＋3，－16k 4k 2＋3.(6分) 因为点C 的横坐标为－1，所以8k 2－64k 2＋3＝－1，解得k ＝±12. 因为0<k<32， 所以k ＝12， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.(8分) (2) 设Q(x Q ，y Q )，C(x C ，y C )，又直线AC 的方程为y ＝－1k(x ＋2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－1k （x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去 y ，整理得(3k 2＋4)x 2＋16x ＋16－12k 2＝0，所以－2x Q ＝16－12k 23k 2＋4， 解得x Q ＝6k 2－83k 2＋4. 因为AC → ＝λAQ → ，所以λ＝x C ＋2x Q ＋2＝8k 2－64k 2＋3＋26k 2－83k 2＋4＋2＝16k 2（3k 2＋4）12k 2（4k 2＋3）＝1＋712k 2＋9.(14分) 因为0<k<32， 所以λ∈⎝⎛⎭⎫2518，169.(16分)19. (1) f(x)＝(3－x)e x ，f′(x)＝(2－x)e x ，令f′(x)＝0，解得x＝2，列表如下：所以当x ＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e 2，无极小值．(3分)(2) 由y ＝f(x)g(x)＝(3－x)(x ＋a)e x ，得y′＝e x [－x 2＋(3－a)x ＋3a －2x ＋(3－a)]＝e x [－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3]．因为e x >0，令m(x)＝－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3，所以函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x ∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m （1）≥0，m （2）≥0，解得a ≥－3，(8分) 故a 的取实范围是[－3，＋∞)．(3) 由题意得h(x)＝f （x ）＋g （x ）x ＝（3－x ）e x ＋x ＋a x， 则h′(x)＝e x （－x 2＋3x －3）－a x 2. 令r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a,因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根，即r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a ＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)．(10分)因为r′(x)＝e x (－x 2＋3x －3－2x ＋3)＝e x (－x 2＋x)＝x(1－x)e x ，所以当x ∈(0，1)时，r′(x)>0，r(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，r′(x)<0，r(x)单调递减，则0<x 1<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧r （0）<0，r （1）>0，解得－3<a<－e ， 所以r ⎝⎛⎭⎫32＝－34e 32－a<－34e 32＋3<0. 因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)<0，r(1)·r ⎝⎛⎭⎫32<0，所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间⎝⎛⎭⎫1，32上各有一个实数根， 所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3<a<－e ，并且在区间(0，1)上存在极小值f(x 1)，在区间⎝⎛⎭⎫1，32上存在极大值f(x 2)， 所以h(x 2)＝（3－x 2）ex 2＋x 2＋a x 2，且h′(x 2)＝ex 2（－x 22＋3x 2－3）－a x 22＝0， 所以a ＝ex 2(－x 22＋3x 2－3)， 所以h(x 2)＝[(3－x 2)ex 2＋x 2＋ex 2(－x 22＋3x 2－3)]×1x 2＝ex 2(2－x 2)＋1，(13分) 令H(x)＝e x (2－x)，则H′(x)＝e x (1－x)，当x ∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减，因为x 2∈⎝⎛⎭⎫1，32， 所以h ⎝⎛⎭⎫32<h(x 2)<h(1)，即h(x 2)∈⎝⎛⎭⎫12e 32＋1，e ＋1， 则3<12e 32＋1<e ＋1<4. 因为h(x)的极大值小于整数b ，所以满足题意的整数b 的最小值为4.(16分)20. (1) 因为数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以m n ＝2，M n ＝a n ＝2n ，则b n ＝2＋2n 2＝1＋2n －1， 所以 B n ＝n ＋1－2n1－2×1＝2n －1＋n.(4分) (2) 若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′.因为b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －12＝d′. 根据M n ，m n 的定义，有以下结论：M n ≥M n －1，m n ≤m n －1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分)①若d′>0，则必有M n >M n －1，所以a n ＝M n >M n －1≥a n －1，即对n ≥2，n ∈N *都有a n >a n －1，所以M n ＝a n ，m n ＝a 1，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a n ＋a 12－a n －1＋a 12＝a n －a n －12＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列；②当d′<0时，则必有m n <m n －1，所以a n ＝m n <m n －1≤a n －1，即对n ≥2，n ∈N *都有a n <a n －1，所以M n ＝a 1，m n ＝a n ，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列；③当d′＝0时，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12，M n －M n －12＋m n －m n －12＝0， 因为M n －M n －1，m n －m n －1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0，即M n ＝M n －1，m n ＝m n －1，所以{a n }为常数数列，所以{a n }为等差数列，综上，数列{a n }也一定是等差数列．(10分)(3) 因为b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－100(n ＋1)]－[2n －100n]＝2n －100，所以当n<7时，b n ＋1－b n <0，即b 1>b 2>…>b 6>b 7，当n ≥7时，b n ＋1－b n >0，即b 7<b 8<b 9<….以下证明：a 1>a 2>…>a 6>a 7，a 7<a 8<a 9<….当n<7时，若m n ≤a n ＋1≤M n ，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝m n ，所以b n ＋1＝b n ，不合题意；若a n ＋1>M n ，则M n ＋1＝a n ＋1，m n ＋1＝m n ，则M n ＋m n 2<M n ＋1＋m n ＋12，得b n <b n ＋1，与b n >b n ＋1矛盾，不合题意； 所以a n ＋1<m n ≤a n ，即a 1>a 2>…>a 6>a 7；同理可证：a 7<a 8<a 9<…，即n ≥7，n ∈N *时，a n <a n ＋1.①当n ≤7时，M n ＝a 1，m n ＝a n ，所以b n ＝a 1＋a n 2， 所以a n ＝2b n －a 1，a 1＝b 1＝－98，因为b n ＝2n －100n ，所以a n ＝2n ＋1－200n ＋98，所以A n ＝4（1－2n ）1－2－200×n （n ＋1）2＋98n ＝2n ＋2－100n 2－2n －4；(13分) ②当n>7时，a 1>a 2>…>a 6>a 7，且a 7<a 8<a 9<…，所以m n ＝a 7＝28－200×7＋98＝－1 046，则M n 为a 1或a n .若M n 为a 1，则b n 为常数，与题意不符，所以M n ＝a n ，所以b n ＝a n ＋a 72， 所以a n ＝2b n －a 7＝2n ＋1－200n ＋1 046，所以A n ＝A 7＋a 8＋a 9＋…＋a n ＝29－4 900－14－4＋29（1－2n －7）1－2－200×（n ＋8）（n －7）2＋1 046(n －7) ＝2n ＋2－100n 2＋946n －6 640， 所以A n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2－100n 2－2n －4， n ≤7，2n ＋2－100n 2＋946n －6 640， n ≥8， n ∈N *.(16分)。
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学含答案
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. 已知集合M ＝{－2，－1，0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x >2，则M ∩N ＝________． 2. 已知i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i)z ＝2，则||z ＝________．3. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．Read xIf x ≥0 Theny ←sin xElsey ←x 2－1End IfPrint y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为________．5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为________．6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a ，乙抽出的卡片上的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为________．7. 若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________．8. 已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________．9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．10. 已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ，Q 两点，则CP →·CQ →＝________.11. 已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．12. 设a ，b 是非零实数，且满足asin π7＋bcos π7acos π7－bsin π7＝tan 10π21，则b a ＝________． 13. 已知函数f(x)＝a ＋3＋4x－||x ＋a 有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．14. 若存在正实数x ，y ，z 满足3y 2＋3z 2≤10yz ，且ln x －ln z ＝ey z ，则x y的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝cos2x＋23sin xcos x－sin2x，x∈R.(1) 求函数f(x)的单调增区间；(2) 求方程f(x)＝0在(0，π]上的所有解．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BB1⊥AC.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.(1) 当cos θ＝－55时，求小路AC 的长度； (2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C.(1) 若点C 的横坐标为－1，求点P 的坐标；(2) 直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC →＝λAQ →，求λ的取值范围．已知函数f(x)＝(3－x)e x，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)．(1) 求函数f(x)的极值；(2) 若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f（x）＋g（x）x在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．记无穷数列{}a n 的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝M n ＋m n 2，数列{}a n 的前n 项和为A n ，数列{}b n 的前n 项和为B n .(1) 若数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列，求B n ；(2) 若数列{}b n 是等差数列，试问数列{}a n 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；(3) 若b n ＝2n －100n ，求A n .2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡a b⎦⎥⎤12，满足A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤68，求矩阵A 的特征值．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t (t 为参数)．在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C的极坐标方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，求直线l 被圆C 截得的弦长．22. (本小题满分10分)如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD.(1) 若AE ＝2，求直线DE 与直线BC 所成的角；(2) 若二面角ABED 的大小为π3，求AE 的长度．23. (本小题满分10分)已知直线x ＝－2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 已知定点M ⎝⎛⎭⎫－12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，0，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)数学参考答案1. {－2}2. 23.22π3 4. 10 5. －2 6. 49 7.52 8. 1 9. 52 10. 0 11. (－∞，9] 12. 3 13. 116或－1－33214. e 2 15. f(x)＝cos 2x ＋23sin xcos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 . (4分) (1) 由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ， 解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z ， 所以函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ]，k ∈Z .(8分) (2) 由f(x)＝0得2sin ⎝⎛⎫2x ＋π6＝0， 解得2x ＋π6＝kπ，即x ＝－π12＋kπ2，k ∈Z . 因为x ∈(0，π]，所以x ＝5π12或x ＝11π12.(14分) 16. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以四边形AA 1B 1B ，四边形BB 1C 1C 均为平行四边形．因为E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点，所以E ，F 分别是AB 1，CB 1的中点 ，所以EF ∥AC.(4分)因为EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(8分)(2) 因为四边形AA 1B 1B 为矩形，所以BB 1⊥AB.因为平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ， 所以BB 1⊥平面ABC.(12分)因为AC ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AC.(14分)17. (1) 在△ABD 中，由BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos θ，得BD 2＝14－65cos θ， 又cos θ＝－55， 所以BD ＝2 5.(2分)因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以 sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫－552＝25. 由BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB ， 得2525＝3sin ∠ADB， 解得sin ∠ADB ＝35. 因为△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠CDB ＝π2且CD ＝BD ＝25， 所以cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠ADB ＋π2＝ －sin ∠ADB ＝－35.(5分) 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DCcos ∠ADC ＝(5)2＋(25)2－2×5×25×⎝⎛⎭⎫－35＝37, 所以AC ＝37.(7分)(2) 由(1)得BD 2＝14－65cos θ，S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×5×sin θ＋12×BD 2 ＝7＋352sin θ－35cos θ ＝7＋352(sin θ－2cos θ)＝7＋152sin (θ－φ)， 此时sin φ＝25，cos φ＝15且φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，(10分) 当θ－φ＝π2时 ，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ＋π2，此时sin θ＝15，cos θ＝－25， 所以BD 2＝14－65cos θ＝14－65×(－25)＝26，即BD ＝26，(13分)所以当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为26百米. (14分) 18. (1) 设直线AP 的斜率为k ，P(x 0，y 0)， 由题意得2a ＝4，c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.因为点P 在椭圆M 上，且位于第一象限，所以0<k<32，x 204＋y 203＝1，直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)．因为k AP ·k BP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝－34，所以k BP ＝－34k，所以直线BP 的方程为y ＝－34k(x －2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y ＝－34k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－8k 24k 2＋3，y ＝12k 4k 2＋3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.因为l 1⊥PA ，所以k AC ＝－1k ，则直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．因为l 2⊥PB ，所以k BC ＝43k ，则直线BC 的方程为y ＝43k(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－1k（x ＋2），y ＝43k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－64k 2＋3，y ＝－16k 4k 2＋3，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－64k 2＋3，－16k 4k 2＋3.(6分)因为点C 的横坐标为－1， 所以8k 2－64k 2＋3＝－1，解得k ＝±12.因为0<k<32， 所以k ＝12，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.(8分) (2) 设Q(x Q ，y Q )，C(x C ，y C )，又直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．联立⎩⎨⎧y ＝－1k（x ＋2），x 24＋y23＝1，消去 y ，整理得(3k 2＋4)x 2＋16x ＋16－12k 2＝0，所以－2x Q ＝16－12k 23k 2＋4，解得x Q ＝6k 2－83k 2＋4.因为AC → ＝λAQ → ，所以λ＝x C ＋2x Q ＋2＝8k 2－64k 2＋3＋26k 2－83k 2＋4＋2＝16k 2（3k 2＋4）12k 2（4k 2＋3）＝1＋712k 2＋9.(14分) 因为0<k<32， 所以λ∈⎝⎛⎭⎫2518，169.(16分)19. (1) f(x)＝(3－x)e x ，f′(x)＝(2－x)e x ， 令f′(x)＝0，解得x ＝2，列表如下：所以当x ＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e 2，无极小值．(3分)(2) 由y ＝f(x)g(x)＝(3－x)(x ＋a)e x ，得y′＝e x [－x 2＋(3－a)x ＋3a －2x ＋(3－a)]＝e x [－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3]． 因为e x >0，令m(x)＝－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3，所以函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x ∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m （1）≥0，m （2）≥0，解得a ≥－3，(8分)故a 的取实范围是[－3，＋∞)．(3) 由题意得h(x)＝f （x ）＋g （x ）x ＝（3－x ）e x ＋x ＋a x，则h′(x)＝e x （－x 2＋3x －3）－ax 2.令r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a,因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值， 所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根， 即r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a ＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)．(10分)因为r′(x)＝e x (－x 2＋3x －3－2x ＋3)＝e x (－x 2＋x)＝x(1－x)e x ，所以当x ∈(0，1)时，r′(x)>0，r(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，r′(x)<0，r(x)单调递减，则0<x 1<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧r （0）<0，r （1）>0，解得－3<a<－e ，所以r ⎝⎛⎭⎫32＝－34e 32－a<－34e 32＋3<0. 因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)<0，r(1)·r ⎝⎛⎭⎫32<0， 所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间⎝⎛⎭⎫1，32上各有一个实数根， 所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3<a<－e ，并且在区间(0，1)上存在极小值f(x 1)，在区间⎝⎛⎭⎫1，32上存在极大值f(x 2)， 所以h(x 2)＝（3－x 2）ex 2＋x 2＋a x 2，且h′(x 2)＝ex 2（－x 22＋3x 2－3）－ax 22＝0，所以a ＝ex 2(－x 22＋3x 2－3)，所以h(x 2)＝[(3－x 2)ex 2＋x 2＋ex 2(－x 22＋3x 2－3)]×1x 2＝ex 2(2－x 2)＋1，(13分) 令H(x)＝e x (2－x)，则H′(x)＝e x (1－x)，当x ∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减， 因为x 2∈⎝⎛⎭⎫1，32， 所以h ⎝⎛⎭⎫32<h(x 2)<h(1)， 即h(x 2)∈⎝⎛⎭⎫12e 32＋1，e ＋1，则3<12e 32＋1<e ＋1<4.因为h(x)的极大值小于整数b ，所以满足题意的整数b 的最小值为4.(16分)20. (1) 因为数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以m n ＝2，M n＝a n ＝2n ，则b n ＝2＋2n 2＝1＋2n －1，所以 B n ＝n ＋1－2n1－2×1＝2n －1＋n.(4分)(2) 若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′. 因为b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －12＝d′. 根据M n ，m n 的定义，有以下结论：M n ≥M n －1，m n ≤m n －1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分) ①若d′>0，则必有M n >M n －1，所以a n ＝M n >M n －1≥a n －1，即对n ≥2，n ∈N *都有a n >a n －1， 所以M n ＝a n ，m n ＝a 1，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a n ＋a 12－a n －1＋a 12＝a n －a n －12＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列；②当d′<0时，则必有m n <m n －1， 所以a n ＝m n <m n －1≤a n －1，即对n ≥2，n ∈N *都有a n <a n －1， 所以M n ＝a 1，m n ＝a n ，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列； ③当d′＝0时，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12，M n －M n －12＋m n －m n －12＝0， 因为M n －M n －1，m n －m n －1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即M n ＝M n －1，m n ＝m n －1，所以{a n }为常数数列，所以{a n }为等差数列， 综上，数列{a n }也一定是等差数列．(10分)(3) 因为b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－100(n ＋1)]－[2n －100n]＝2n －100， 所以当n<7时，b n ＋1－b n <0，即b 1>b 2>…>b 6>b 7， 当n ≥7时，b n ＋1－b n >0，即b 7<b 8<b 9<…. 以下证明：a 1>a 2>…>a 6>a 7，a 7<a 8<a 9<…. 当n<7时，若m n ≤a n ＋1≤M n ，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝m n ， 所以b n ＋1＝b n ，不合题意；若a n ＋1>M n ，则M n ＋1＝a n ＋1，m n ＋1＝m n ，则M n ＋m n 2<M n ＋1＋m n ＋12，得b n <b n ＋1，与b n >b n ＋1矛盾，不合题意；所以a n ＋1<m n ≤a n ，即a 1>a 2>…>a 6>a 7；同理可证：a 7<a 8<a 9<…，即n ≥7，n ∈N *时，a n <a n ＋1. ①当n ≤7时，M n ＝a 1，m n ＝a n ，所以b n ＝a 1＋a n2，所以a n ＝2b n －a 1，a 1＝b 1＝－98， 因为b n ＝2n －100n ，所以a n ＝2n ＋1－200n ＋98，所以A n ＝4（1－2n ）1－2－200×n （n ＋1）2＋98n ＝2n ＋2－100n 2－2n －4；(13分)②当n>7时，a 1>a 2>…>a 6>a 7，且a 7<a 8<a 9<…，所以m n ＝a 7＝28－200×7＋98＝－1 046，则M n 为a 1或a n .若M n 为a 1，则b n 为常数，与题意不符，所以M n ＝a n ，所以b n ＝a n ＋a 72，所以a n ＝2b n －a 7＝2n ＋1－200n ＋1 046，所以A n ＝A 7＋a 8＋a 9＋…＋a n ＝29－4 900－14－4＋29（1－2n －7）1－2－200×（n ＋8）（n －7）2＋1 046(n －7) ＝2n ＋2－100n 2＋946n －6 640，所以A n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2－100n 2－2n －4， n ≤7，2n ＋2－100n 2＋946n －6 640， n ≥8， n ∈N *.(16分)21. A ．因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋3b ＋6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤68，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，(5分)所以矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－2λ－2＝(λ－3)(λ－2)－2＝λ2－5λ＋4＝0.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为1或4.(10分)B ．将直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t 化为普通方程为x ＋2y ＋4＝0.(2分)将圆C 的极坐标方程ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝8，其圆心(2，－2)，半径为22，(5分)所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－4＋4|5＝25，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2（22）2－⎝⎛⎭⎫252＝1255.(10分)22. (1) 因为正方形ABCD 的边长为2，所以AB ⊥AD ，CB ⊥CD ，AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝2. 又AE ⊥平面ABD ，所以以点A 为原点，AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F.因为平面ABD ⊥平面CBD ，CF ⊂平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD ＝BD ， 所以CF ⊥平面ABD. 因为CB ＝CD ＝2，所以F 为BD 的中点，CF ＝ 2.(2分)因为AE ＝2，所以E(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，F(1，1，0)，C(1，1，2)， 所以DE →＝(0，－2，2)，BC →＝(－1，1，2)， 所以DE →·BC →＝0， 所以DE →⊥BC →，所以直线DE 与直线BC 所成的角为π2.(5分)(2) 设AE 的长度为a(a>0)，则E(0，0，a)． 因为AD ⊥平面ABE,所以平面ABE 的一个法向量为n 1＝(0，1，0)．(6分) 设平面BDE 的法向量为n 2＝(x 1，y 1，z 1)． 因为BE →＝(－2，0，a)，BD →＝(－2，2，0)， 所以n 2⊥BE →，n 2⊥BD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝－2x 1＋az 1＝0，n 2·BD →＝－2x 1＋2y 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝a 2z 1，x 1＝y 1，取z 1＝2，则x 1＝y 1＝a ，所以平面BDE 的一个法向量为n 2＝(a ，a ，2)，(8分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝a a 2＋a 2＋4×1＝a 2a 2＋4.因为二面角ABED 的大小为π3，所以a 2a 2＋4＝12，解得a ＝2， 所以AE 的长度为 2.(10分)23. (1) 设点P(x ，y)，则Q(－2，y)， 所以OP →＝(x ，y)，OQ →＝(－2，y)． 因为OP →·OQ →＝0，所以OP →·OQ →＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x.(2分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 3，y 3)，直线BD 与x 轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T.设直线AM 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12，则联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，所以x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，所以x 1<12<x 2，所以直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝⎛⎭⎫x －12， 与方程y 2＝2x 联立得y 21x 2－(y 21＋2x 21－2x 1＋12)x ＋14y 21＝0， 化简得2x 1x 2－⎝⎛⎭⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0， 解得x ＝14x 1或x ＝x 1.因为x 3＝14x 1＝x 2，所以BD ⊥x 轴，设△MBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT ⊥AB.(5分) 令t ＝x 2＋12，则t>1，所以r＝112t－1＋1t2＋1t在区间(1，＋∞)上单调递增，则r>12＋1，即r的取值范围为(2－1，＋∞)．(10分)。
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试 数学试卷及解析
○…………装…………○…学校:___________姓名：___________班级：_○…………装…………○…江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试 数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题（题型注释）1.已知集合M={−2,−1,0}，N ={x |(12)x>2 }，则M ∩N =________．2.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i 2z +=，则z =_____．3.底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是_______．4.某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．5.根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为________．6.甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a ，乙抽出的卡片上的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为________．7.若直线l 1：x−2y +4=0与l 2：mx −4y +3=0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为_______．8.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则a 1＝_______．9.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x −2y =0，则该双曲线的离心率为_______．答案第2页，总19页…………○………要※※在※※装※※订※※线※…………○………10.已知正实数x ，y 满足x+4y −xy =0，若x +y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为_______．11.设a ，b 是非零实数，且满足asin π7+bcos π7acos π7−bsin π7=tan 10π21，则ba＝_______． 12.已知函数f(x)=a +3+4x−|x +a |有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为_______．13.若存在正实数x ，y ，z 满足3y 2+3z 2≤10yz ，且lnx −lnz =ey z，则xy 的最小值为_______．二、解答题（题型注释）14.已知函数f (x )=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x ，x ∈R ．（1）求函数f (x )的单调增区间； （2）求方程f (x )=0在(0，π]内的所有解．15.如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．求证：（1）EF//平面ABC ； （2）BB 1⊥AC .16.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(π2，π)．…………○…………………线…………○…名：___________班级：_______…………○…………………线…………○…（1）当cos θ＝−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 17.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C .（1）若点C 的横坐标为-1，求点P 的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，求λ的取值范围． 18.已知函数f(x)＝(3－x)e x ，g(x)＝x ＋a(a∈R)(e 是自然对数的底数，e≈2.718…)． (1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)若函数h(x)＝f (x )+g (x )x在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b ，求b 的最小值．19.记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n =M n +m n2，数列{a n }的前n 项和为A n ，数列{b n }的前n 项和为B n ．（1）若数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求B n ；（2）若数列{b n }是等差数列，试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说答案第4页，总19页明； （3）若b n=2n −100n ，求A n ．20.已知矩阵A ＝[a b 12]，满足A [13]＝[68]，求矩阵A 的特征值．21.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2t y =−2−t（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为ρ=4√2cos(θ+π4)，求直线l 被圆C 截得的弦长．22.已知直线x=−2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0（O为坐标原点），记点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M (−12,0)，N (12,0)，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求ΔMBD 的内切圆半径r 的取值范围．参数答案1.{−2}【解析】1.结合指数的性质，易得N ，进而由集合的交集运算计算可得答案． N 为不等式(12)x>2的解集，由指数函数的性质，可得(12)x>(12)−1，即x ＜-1，则M ∩N ＝{﹣2}； 故答案为{−2}． ；【解析】2.解：由题意可知： 21z i =+ ，则21z i ===+ 3.2√2π3【解析】3.先求得圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，计算即可． 如图，OA ＝1，PA ＝3，则OP =√32−12=2√2．又圆锥的底面积S ＝π×12＝π， ∴体积V =13×π×2√2=2√2π3．故答案为：2√2π3． 4.10【解析】4.根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． ∵高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名∴若在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为n ，答案第6页，总19页则n50=840，即n ＝10， 故答案为：10． 5.−2【解析】5.由题意可得算法的功能是求y={sinx,x ≥0x 2−1,x <0的值，根据输出y 的值为3 ,分别求出当x ≥0时和当x <0时的x 值，即可得解.由程序语句知：算法的功能是求y ={sinx,x ≥0x 2−1,x <0的值，当x ≥0时，y =sinx =3，无解；当x<0时，y =x 2−1=3⇒x =−2或2（舍去），综上所述，x 的值为−2，故答案为−2. 6.49【解析】6.基本事件总数n ＝3×3＝9，a 与b 的积为奇数包含的基本事件个数m ＝2×2＝4，由此能求出a 与b 的积为奇数的概率．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3． 两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ， 基本事件总数n ＝3×3＝9，又因为奇数×奇数=奇数， 所以a 与b 的积为奇数包含的基本事件个数m ＝2×2＝4， ∴a 与b 的积为奇数的概率为p =m n=49．故答案为：49． 7.√52【解析】7.利用两条直线平行的性质求得m 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 若直线l 1：x ﹣2y +4＝0与l 2：mx ﹣4y +3＝0平行，则有 m1=−4−2≠34，求得m ＝2，两直线即 l 1：2x ﹣4y +8＝0与l 2：2x ﹣4y +3＝0 则两平行直线l 1，l 2间的距离为√2+(−4)=√52，故答案为：√52．8.1【解析】8.由题意可得，公比q ≠1，则a 1(1−q 3)1−q=7，a 1(1−q 6)1−q=63，相除可得公比q ，即得a 1的值．由题意可得，公比q ≠1，∴a 1(1−q 3)1−q=7，a 1(1−q 6)1−q=63， 相除可得 1+q 3＝9，∴q ＝2，∴a 1＝1． 故答案为：1. 9.√52【解析】9.根据题意，由双曲线的渐近线方程可得b a=12，即a ＝2b ，进而由双曲线的几何性质可得c =2+b 2=√5b ，由双曲线的离心率公式计算可得答案．根据题意，双曲线x 22−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，又由该双曲线的一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，即y =12x ， 则有ba=12，即a ＝2b ， 则c =2+b 2=√5，则该双曲线的离心率e =c a=√5b 2b=√52；故答案为：√52． 10.m ≤9【解析】10.由等式x +4y ﹣xy ＝0，变形得4x +1y =1，将代数式x +y 与代数式4x +1y 相乘并展开，利用基本不等式可答案第8页，总19页求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围．由于x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，4x +1y =1， 由基本不等式可得x+y =(x +y)(4x+1y)=4y x+x y+5≥2√4y x⋅xy+5=9，当且仅当4yx=x y ，即当x ＝2y=6时，等号成立，所以，x +y 的最小值为9． 因此，m ≤9． 故答案为：m ≤9． 11.√3【解析】11.先把已知条件转化为tan 10π21=tan π7+ba 1−b a tan π7=tan(π7+θ)．利用正切函数的周期性求出θ=kπ+π3，即可求得结论． 因为tan10π21=tan π7+ba 1−b a tan π7=tan(π7+θ)，（tanθ=ba）∴π7+θ=kπ+10π21∴θ=kπ+π3．tanθ＝tan （k π+π3）=√3．∴ba =√3 故答案为：√3． 12.116或−1−32√3【解析】12.利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，结合分段函数的性质进行转化求解即可． 函数f(x)=a +3+4x−|x +a|=0，得|x +a |−4x−a ＝3，设g （x ）＝|x +a |−4x−a ，h （x ）＝3，则函数g （x ）={−x −4x−2a ，x ≤−a x −4x ，x ＞−a，不妨设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3， 当x ＞﹣a 时，由f （x ）＝0，得g （x ）＝3，即x −4x=3，得x 2﹣3x ﹣4＝0，得（x +1）（x ﹣4）＝0， 解得x ＝﹣1，或x ＝4；若 ①﹣a ≤﹣1，即a ≥1，此时 x 2＝﹣1，x 3＝4，由等差数列的性质可得x 1＝﹣6， 由f （﹣6）＝0，即g （﹣6）＝3得6+46−2a ＝3，解得a =116，满足f （x ）＝0在（﹣∞，﹣a ]上有一解．若②﹣1＜﹣a ≤4，即﹣4≤a ＜1，则f （x ）＝0在（﹣∞，﹣a ]上有两个不同的解，不妨设x 1，x 2，其中x 3＝4，所以有x 1，x 2是﹣x −4x−2a ＝3的两个解，即x 1，x 2是x 2+（2a +3）x +4＝0的两个解．得到x 1+x 2＝﹣（2a +3），x 1x 2＝4，又由设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3成差数列，且x 1＜x 2＜x 3，得到2x 2＝x 1+4， 解得：a ＝﹣1+3√32（舍去）或a ＝﹣1−3√32．③﹣a ＞4，即a ＜﹣4时，f （x ）＝0最多只有两个解，不满足题意； 综上所述，a =116或﹣1−3√32．13.e 2【解析】13. 由y z +zy ≤103⇒y z ∈[13，3]，又ln x y =ln （x z ⋅z y ）＝ln x z +ln z y =e ⋅yz−ln y z ，令y z =t ，t ∈[13，3]，则ln xy =e ⋅y z−ln y z=et ﹣lnt ，t ∈[13，3]，f （t ）＝et ﹣lnt ，利用函数求导求最值．∵正实数x ，y ，z 满足3y 2+3z 2≤10yz ， ∴yz +zy ≤103⇒yz ∈[13，3]， ∵lnx−lnz =ey z，∴ln xz =e ⋅y z ∈[e3，3e]，ln x y =ln （x z ⋅zy ）＝ln xz +ln zy =e ⋅yz−ln y z，答案第10页，总19页令y z=t ，t ∈[13，3]，则ln xy =e ⋅y z−ln y z=et ﹣lnt ，t ∈[13，3]， f （t ）＝et ﹣lnt ， f ′（t ）＝e −1t=0，则t =1e∈[13，3e]，可得f （t ）在（13，1e ）递减，在（1e ，3）递增， ∴f （t ）min ＝f （1e）＝1﹣（﹣1）＝2， 即（ln xy ）min ＝2， ∴xy 的最小值为e 2， 故答案为：e 2． 14.（1）[−π3+kπ,π6+kπ],k ∈Z ；（2）x =5π12或x =11π12【解析】14.先将f(x)进行恒等变换化为正弦型函数，（1）直接利用正弦函数的单调增区间得到−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ,k ∈Z ，解得x 的范围即可.（2）令f(x)=0，解得x 的值，对k 进行赋值，使得x 落在(0,π]内，即得结果.f(x)=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x =√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)（1（（−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ,k ∈Z （（（（−π3+kπ≤x ≤π6+kπ,k ∈Z .∴函数f(x)（（（（（（（[−π3+kπ,π6+kπ],k ∈Z（2）由f(x)=0得2sin(2x +π6)=0，解得：2x +π6=kπ，即x =−π12+kπ2,k ∈Z∵x∈(0,π]，∴x =5π12或x =11π12．15.（1）见解析；（2）见解析【解析】15.(1)由已知结合平行四边形的性质可得E ，F 分别是AB 1，CB 1的中点 ，利用中位线定理可得EF//AC ,根据线面平行的判定定理即可证明；(2)由矩形的性质可得BB 1⊥AB ,利用面面垂直的性质可得BB1⊥平面ABC ,根据线面垂直的性质可求BB1⊥AC.（1）因为三棱柱ABC−A1B1C1，所以四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形．因为E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF//AC.因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF//平面ABC.（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.因为平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，所以BB1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.16.（1）AC=√37；（2）BD=√26【解析】16.（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB=35，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．（2）由（1）得：BD2＝14﹣6√5cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．S ABCD＝7+152sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ=π2时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ+π2，此时cosφ=−√5，sinφ=√5，从而可求BD的值．（1）在ΔABD中，由BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcosθ，得BD2=14−6√5cosθ，又cosθ=−√55，∴BD=2√5．∵θ∈(π2,π)∴sinθ=√1−cos2θ=√1−(−√55)2=√5由BDsin∠BAD =ABsin∠ADB得：2√525=3sin∠ADB，解得：sin∠ADB=35，∵ΔBCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形∴∠CDB=π且CD=BD=2√5答案第12页，总19页∴cos∠ADC=cos(∠ADB +π2)=−sin∠ADB =−35在ΔACD 中，AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DCcos∠ADC =(√5)2+(2√5)2−2×√5×2√5×(−35)=37，解得：AC=√37（2）由（1）得：BD 2=14−6√5cosθ，S ABCD =S ΔABD +S ΔBCD =12×3×√5×sinθ+12×BD 2 =7+3√52×sinθ−3√5cosθ=7+3√52(sinθ−2cosθ)=7+152sin(θ−ϕ)，此时sinϕ=√5，cosϕ=√5，且ϕ∈(0,π2)当θ−ϕ=π2时，四边形ABCD 的面积最大，即θ=ϕ+π2，此时sinθ=√5，cosθ=√5∴BD 2=14−6√5cosθ=14−6√5×√5)=26，即BD =√26答：当cosθ=−√55时，小路AC 的长度为√37百米；草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为√26百米．17.（1）(1,32)；（2）λ∈(2518,169)【解析】17.(1)先求出椭圆的方程，设直线AP 的方程为y =k(x +2).分别表示出直线AC 与BC 的方程，联立方程组，求出点C 的坐标,利用点C 的横坐标为−1，求出k=12，进而可求出点P 的坐标；(2 )联立{y =−1k(x +2)x 24+y 23=1消去y ，整理得(3k 2+4)x 2+16x +16−12k 2=0，求得x Q =6k 2−83k 2+4.由AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得λ=x C +2x Q +2=8k 2−64k 2+3+26k 2−83k 2+4+2 =1+712k 2+9,结合0<k <√32即可求出λ的取值范围.（1）设直线AP 的斜率为k ，P(x 0,y 0)， 由题意得2a =4，ca =12， 所以a=2，c =1，b =√3，所以椭圆M 的方程为x 24+y 23=1.因为点P 在椭圆M 上，且位于第一象限，所以0<k <√32，x 024+y 023=1，直线AP 的方程为y =k(x +2). 因为k AP ⋅k BP =y 0x 0+2⋅y 0x 0−2=y 02x 02−4=−34， 所以k BP=−34k ，所以直线BP 的方程为y =−34k(x −2).联立{y =k(x +2)y =−34k (x −2) ，解得{x =6−8k24k 2+3y =12k4k 2+3， 即P (6−8k 24k +3,12k4k +3).因为l 1⊥PA ，所以k AC =−1k，则直线AC 的方程为y =−1k (x +2).因为l 2⊥PB ，所以k BC =43k . 则直线BC 的方程为y=43k(x −2).联立{y =−1k (x +2)y =43k(x −2) ，解得{x =8k 2−64k 2+3y=−16k 4k 2+3，即C (8k 2−64k 2+3,−16k4k 2+3).因为点C 的横坐标为-1， 所以8k 2−64k 2+3=−1，解得k =±12.因为0<k <√32，所以k=12.将k =12代入P (6−8k 24k +3,12k4k +3)可得，点P 的坐标为(1,32).（2）设Q(x Q ,y Q )，C(x C ,y C )，又直线AC 的方程为y =−1k(x +2).联立{y =−1k(x +2)x 24+y 23=1消去y ，整理得(3k 2+4)x 2+16x +16−12k 2=0，所以−2x Q=16−12k 23k +4，答案第14页，总19页解得x Q=6k 2−83k 2+4.因为AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以λ=x C +2x Q +2=8k 2−64k 2+3+26k 2−83k 2+4+2 =16k 2(3k 2+4)12k (4k +3)=1+712k +9.因为0<k <√32，所以λ∈(2518,169).18.（1）见解析；（2）a ≥−3；（3）4【解析】18.（1）对f(x)求导，通过f′(x)的正负，列表分析f(x)的单调性进而求得极值. （2）先求得f(x)g(x)的解析式，对其求导，原题转化为导函数≥0在x ∈[1,2]上恒成立，令m(x)=−x 2+(1−a)x +2a +3，求得a 的范围.（3）由题意知ℎ′(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根，即r(x)=e x (−x 2+3x −3)−a =0在(0,+∞)上有两个不等实根，对r (x )求导分析可得r(x)=0在(0,1)和(1,32)上各有一个实根，从而得到极大值ℎ(x 2)，将ℎ(x 2)视为关于x 2的函数，求导得到ℎ(x 2)∈(12e 32+1,e +1)，又因为3<12e 32+1<e +1<4，得到整数b 的最小值.（1）f(x)=(3−x)e x ，f′(x)=(2−x)e x ，令f′(x)=0，解得x =2，列表：∴当x=2时，函数f(x)取得极大值f(2)=e 2，无极小值（2）由y=f(x)g(x)=(3−x)(x +a)e x ，得y′=e x [−x 2+(3−a)x +3a −2x +(3−a)] =e x [−x 2+(1−a)x +2a +3]∵e x>0，令m(x)=−x 2+(1−a)x +2a +3，∴函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增等价于对任意的x ∈[1,2]，函数m(x)≥0恒成立 ∴{m(1)≥0m(2)≥0，解得a ≥−3． （3）ℎ(x)=f(x)+g(x)x=(3−x)e x +x+ax，ℎ′(x)=e x (−x 2+3x−3)−ax 2令r(x)=e x(−x2+3x−3)−a，∵ℎ(x)在(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值，∴ℎ′(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根，即r(x)=e x(−x2+3x−3)−a=0在(0,+∞)上有两个不等实根x1,x2(x1<x2)．∵r′(x)=e x(−x2+3x−3−2x+3)=e x(−x2+x)=x(1−x)e x∴当x∈(0,1)时，r′(x)>0，r(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，r′(x)<0，r(x)单调递减则0<x1<1，∴{r(0)<0r(1)>0，解得−3<a<−e，∴r(32)=−34e32−a<−34e32+3<0∵r(x)在(0,+∞)上连续且r(0)⋅r(1)<0，r(1)⋅r(32)<0∴r(x)=0在(0,1)和(1,32)上各有一个实根∴函数ℎ(x)在(0,+∞)上既存在极大值又存在极小值时，有−3<a<−e，并且在区间(0,1)上存在极小值ℎ(x1)，在区间(1,32)上存在极大值ℎ(x2)．∴ℎ(x2)=(3−x2)e x2+x2+ax2，且ℎ′(x2)=ex2(−x22+3x2−3)−ax22=0a=e x2(−x22+3x2−3)（ℎ(x2)=(3−x2)e x2+x2+e x2(−x22+3x2−3)x2=e x2(2−x2)+1令H(x)=e x(2−x)，H′(x)=e x(1−x)，当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减∵x2∈(1,32)，∴ℎ(32)<ℎ(x2)<ℎ(1)，即ℎ(x2)∈(12e 32+1,e+1)，则3<12e32+1<e+1<4∵ℎ(x)的极大值小于整数b，∴满足题意的整数b的最小值为4．19.（1）B n=2n−1+n；（2）见解析；（3）A n={2n+2−100n2−2n−4, n≤72n+2−100n2+946n−6640,n≥8，n∈N∗【解析】19.（1）由题意求得m n和M n，即得b n，利用等比数列求和公式可得结果.（2）若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，b n+1﹣b n=M n+1+m n+12−M n+m n2=M n+1−M n2+m n+1−m n2=d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n＝a1，进而得出．同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．（3）由题意可得b1>b2>...>b6>b7<b8<b9<...，根据定义可以分析得到当n<7时，a n+1<m n≤a n，即得a1>a2>...>a6>a7；同理可得n≥7时，a7<a8<a9<...．，答案第16页，总19页所以当n≤7时，M n =a 1，m n =a n 得到b n =a 1+a n2可得a n =2n+1−200n +98，求得A n =2n+2−100n 2−2n −4 ；当n >7时，m n =a 7，M n =a n 得到a n =2n+1−200n +1046，求得A n =2n+2−100n 2+946n −6640，分段写出结果即可.（1）∵数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n =2n ，∴m n =2，M n =a n =2n（b n=2+2n 2=1+2n−1（（B n=n +1−2n1−2×1=2n −1+n（2）若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′ ∵b n −b n−1=M n +m n2−M n−1+m n−12=M n −M n−12+m n −m n−12=d′根据M n ，m n 的定义，有以下结论：M n ≥M n−1，m n ≤m n−1，且两个不等式中至少有一个取等号，①若d′>0，则必有M n >M n−1，∴a n =M n >M n−1≥a n−1，即对n ≥2，n ∈N ∗，都有a n >a n−1∴M n=a n ，m n =a 1，b n −b n−1=M n +m n2−M n−1+m n−12=a n +a 12−a n−1+a 12=a n −a n−12=d′∴a n −a n−1=2d′，即{a n }为等差数列；②当d′<0时，则必有m n <m n−1，所以a n =m n <m n−1≤a n−1，即对n ≥2，n ∈N ∗，都有a n <a n−1∴M n=a 1，m n =a n ，b n −b n−1=M n +m n 2−M n−1+m n−12=a 1+a n2−a 1+a n−12=a n −a n−12=d′所以a n −a n−1=2d′，即{a n }为等差数列；③当d′=0，b n −b n−1=M n +m n 2−M n−1+m n−12=M n −M n−12+m n −m n−12=0∵M n −M n−1，m n −m n−1中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即M n=M n−1，m n =m n−1，∴{a n }为常数数列，所以{a n }为等差数列，综上，数列{a n }也一定是等差数列． （3）∵b n+1−b n =[2n+1−100(n +1)]−[2n −100n]=2n −100，∴当n<7时，b n+1−b n <0，即b 1>b 2>...>b 6>b 7，当n ≥7时，b n+1−b n >0，即b 7<b 8<b 9<...．以下证明：a 1>a 2>...>a 6>a 7，a 7<a 8<a 9<...当n<7时，若m n≤a n+1≤M n ，则M n+1=M n ，m n+1=m n ，所以b n+1=b n ，不合题意；若a n+1>M n，则M n+1=a n+1，m n+1=m n，则M n+m n2<M n+1+m n+12，得：b n<b n+1，与b n>b n+1矛盾，不合题意；∴a n+1<m n≤a n，即a1>a2>...>a6>a7；同理可证：a7<a8<a9<...，即n≥7，n∈N∗时，a n<a n+1．①当n≤7时，M n=a1，m n=a n∴b n=a1+a n2∴a n=2b n−a1，a1=b1=−98∵b n=2n−100n∴a n=2n+1−200n+98∴A n=4(1−2n)1−2−200×n(n+1)2+98n=2n+2−100n2−2n−4②当n>7时，a1>a2>...>a6>a7，且a7<a8<a9<...∴m n=a7=28−200×7+98=−1046，则M n为a1或a n．若M n为a1，则b n为常数，与题意不符，∴M n=a n∴b n=a n+a72∴a n=2b n−a7=2n+1−200n+1046∴A n=A7+a8+a9+...+a n=29−4900−14−4+29(1−2n−7)1−2−200×(n+8)(n−7)2+1046(n−7)=2n+2−100n2+946n−6640，∴A n={2n+2−100n2−2n−4, n≤72n+2−100n2+946n−6640,n≥8，n∈N∗.20.1或4【解析】20.由矩阵的乘法首先求得实数a，b的值，然后求解矩阵的特征值即可．∵A[13]=[a1b2][13]=[a+3b+6]=[68]∴{a=3b=2矩阵A的特征多项式为f(λ)=|λ−3−1−2λ−2|=(λ−3)(λ−2)−2=λ2−5λ+4=0，令f(λ)=0，解得矩阵A的特征值为1或4．21.12√55【解析】21.将直线的参数方程及圆的极坐标方程化为普通方程，求得圆心到直线的距离，利用垂径定理求得弦长.将直线l（（（（（（{x=2ty=−2−t化为方程：x+2y+4=0答案第18页，总19页圆C 的方程为ρ=4√2cos(θ+π4)化为直角坐标系方程：ρ2=4ρ(cosθ−sinθ)，（x 2+y 2−4x +4y =0（(x −2)2+(y +2)2=8（（（（(2,−2)（（（（2√2 ∴圆心C 到直线l 的距离为d=√5=√5∴直线l 被圆C 截得的弦长为2√(2√2)2−(√5)2=12√55．22.（1）y 2=2x ；（2）(√2−1,+∞)【解析】22.(1 )设点P 的坐标为(x,y) ，结合题意得出点Q 的坐标，再利用OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0可得出点P 的轨迹方程；(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3) ，设直线AM 的方程为y=k (x +12) ，将该直线方程与曲线C 的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点B ，和点D 的横坐标相等,于是得出BD ⊥x 轴，根据几何性质得出ΔMBD 的内切圆圆心H 在x 轴上，且该点与切点的连线与AB 垂直，计算出ΔMBD 的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式，通过化简得到r 关于x 2的函数表达式，并换元t=x 2+12>1，将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系式，然后利用单调性可求出r 的取值范围.（1）设点P(x,y)，则Q(−2,y)， 所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x,y)，OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,y). 因为OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−2x +y 2=0，即y 2=2x .（2）设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)，直线BD 与x 轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T .设直线AM 的方程为y =k (x +12)，则联立方程组{y =k (x +12)y 2=2x得k 2x 2+(k 2−2)x +k 24=0，所以x 1x 2=14且0<x 1<x 2，所以x 1<12<x 2， 所以直线AN 的方程为y =y 1x 1−12(x −12)，与方程y 2=2x 联立得y 12x 2−(y 12+2x 12−2x 1+12)x +14y 12=0，化简得2x 1x 2−(2x 12+12)x +12x 1=0，解得x =14x 1或x=x 1.因为x 3=14x 1=x 2，所以BD ⊥x 轴，设ΔMBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT⊥AB .∴S △MBD =12⋅(x 2+12)|2y 2|，且ΔMBD 的周长2√(x 2+12)2+y 22+2|y 2|， ∴S △MBD =12[2√(x 2+12)2+y 22+2|y 2|]⋅r =12⋅(x 2+12)⋅|2y 2|，∴r =(x +12)|y ||y 2|+√(x 2+2)2+y 22=1x 2+12+√1y 22+1(x 2+12)2=√12x 2+1(x 2+12)2+1x 2+12，令t=x 2+12，则t >1，所以r =√12t−1+1t 2+1t在区间(1,+∞)上单调递增，则r >√2+1=√2−1，即r 的取值范围为(√2−1,+∞).。
扬州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题(含答案)
（2）假设直线 l： =y kx + m 与椭圆 C 交于 A，B 两点．①若 A 为椭圆的上顶点，M 为线段
AB 中点，连接 OM 并延长交椭圆 C 于 N，并且 ON =
6
OM
，求
OB
的长；②若原点
O
到直线
l
2
的距离为
1，并且
OA
⋅
OB
= λ ，当
4
≤
λ
2
…14 分
17．解：∵直线 x − 3y −10 = 0 与圆 O : x2 + y2 = r2 (r > 0) 相切
∴圆心 O 到直线 x − 3y −10 = 0 的距离= 为 r = |10 | 10 ． 1+ 9
…2 分
（1）记圆心到直线 l 的距离为 d ，所以 d= 10 − 6= 2 ．
扬州市 2018—2019 学年度第一学期期中调研测试试题
高三数学
2018．11
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 z = 1+ i ，则复数 z＝
．
1− 2i
2．函数=y 4 − 2x 的定义域为
+ 4y
−10 = 0
…6 分
综上，直线 l 的方程为 x = 2 或 3x + 4 y −10 = 0 ．
7
…7 分
（2）设 P(x0 , y0 ) ．∵直线 y = 3 与圆 O 交于 A 、 B 两点，不妨取 A(1,3), B(−1,3) ，
∴直线 PA 、 PB 的方程分别为= y − 3 y0 − 3 (x −1) ，= y − 3 y0 − 3 (x + 1)
江苏省扬州市2019届高三上学期期末检测数学试题(解析版)
扬州市2019届高三上学期期末检测试题数 学2019．01第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．答案：{2}-考点：集合的运算，指数运算。
解析：N ＝111()()22x x -⎧⎫>⎨⎬⎩⎭＝{}1x x <-，所以，MN ＝{2}-2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ． 答案：2考点：复数的运算，复数的模。
解析：211z i i==-+，所以，z ＝2 3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ． 答案：223π考点：圆锥的几何结构，体积计算。
解析：圆锥的高为h ＝223122-=， 圆锥的体积V ＝211223π⨯⨯⨯＝223π4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ． 答案：10考点：分层抽样方法。
解析：设高一抽取x 人，则84050x =，解得：x ＝105．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．答案：－2考点：算法初步。
解析：y ＝sinx 不可能等于3，所以，y ＝x 2－1＝3，又x ＜0，所以，x ＝－2。
6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 答案：49考点：古典概型。
解析：设甲乙抽出的卡片为（a ，b ），则所有可能为：（1，0），（1，1），（1，3），（2，0），（2，1），（2，3），（3，0），（3，1），（3，3），共9种，积为奇数的有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种，所以，所示概率为：497．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ． 答案：52考点：直线平行的性质，两平行线之间的距离。
2019届江苏省扬州市高三上学期期末考试数学试卷及答案
∴ 在 和 上各有一个实根
∴函数 在 上既存在极大值又存在极小值时，有 ，并且在区间 上存在极小值 ，在区间 上存在极大值 ．
∴ ，且
， …………13分
令 ，当 时， ， 单调递减
∵ ，∴ ，即 ，则
∵ 的极大值小于整数 ，∴满足题意的整数 的最小值为 ．…………16分
20．解：（1）∵数列 是首项为2，公比为2的等比数列，∴ ，∴ ，
（2）由 ，得
∵ ，令 ，
∴函数 在区间 上单调递增等价于对任意的 ，函数 恒成立
∴ ，解得 ．…………8分
（3） ，
令 ，
∵ 在 上既存在极大值又存在极小值，∴ 在 上有两个不等实根，
即 在 上有两个不等实根 ．…………10分
∵
∴当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减
则 ，∴ ，解得 ，∴
即 ， ，∴ 为常数数列，所以 为等差数列，
综上，数列 也一定是等差数列．…………10分
方法（二）若数列 是等差数列，设通项公式为 ，则 ．
对于数列 ： ，增加 时，有下列情况：
①若 时，则 ，此时 ，∴ 对 恒成立
则 ， ，∴
即 为常数，则数列 是等差数列．…………7分
②若 时，则 ，∴
∵数列 是等差数列且 ∴ ，
∴ ，即 ；
同理可证： ，即 时， ．
①当 时， ， ∴ ∴ ，
∵ ∴
∴ …………13分
②当 时， ，且
∴ ，则 为 或 ．若 为 ，则 为常数，与题意不符
∴ ∴ ∴
∴
∴ ．…………16分
第二部分（加试部分）
21．（B）解：∵ ∴ …………5分
矩阵A的特征多项式为 ，
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2019 届高三第一次模拟考试 数学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟 )
一、 填空题：本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 计 70 分． 1x
1. 已知集合 M ＝ { － 2，－ 1， 0} ， N＝ x 2 >2 ，则 M ∩ N＝ ________．
2. 已知 i 是虚数单位，且复数 z 满足 (1＋i)z ＝ 2，则 |z|＝ ________．
8
名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ________．
5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为________．
6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字 1、 3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为 则 a 与 b 的积为奇数的概率为 ________．
________．
m 的取值范围为
12. 设 a， b 是非零实数，且满足
asinπ7＋
bcosπ 7 ＝
tan10
π，则
b＝
________．
acos7π－
bsinπ 7
21
a
13. 已知函数 f(x) ＝ a＋ 3＋4x－ |x＋ a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，
则实数 a 的值为 ________．
1 拿到试卷：熟悉试卷 刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道 题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效 措施，也从根本上防止了“漏做题”。 2 答题顺序：从卷首依次开始 一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。所以，正确的做法是从卷首开始依次做 题，先易后难， 最后难， 但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先 做好有保证的题，才能尽量多得分。 3 答题策略 答题策略一共有三点： 1. 先易后难、先熟后生。先做简单的、熟悉的题，再做综 合题、难题。 2. 先小后大。先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。 3. 先 局部后整体。把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就 能得到一步的分数。 4 学会分段得分 会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分。”不会做的题 目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对， 立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处。如”果题目 有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。 5 立足中下题目，力争高水平 考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中 要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些 题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。 6 确保运算正确，立足一次性成功 在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。不 能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。试题做完后要认真做好 解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。 7 要学会“挤”分 考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把 要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做 几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。 8 检查后的涂改方式要讲究 发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。如果对现有的题 解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。有的同学先把原来写的题解涂抹了，写 新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。考试期间遇到这些事，莫慌乱！不管 是大型考试还是平时的检测，或多或少会存在一些突发情况。遇到这些意外情况应该怎么办？ 为防患于未然，老师家长们应该在考前给孩子讲清楚应急措施，告诉孩子遇事不慌乱，沉重冷 静，必要时可以向监考老师寻求帮助。
3. 底面半径为 1，母线长为 3 的圆锥的体积是 ________． Read x
If x ≥ 0 Then y← sin x
Else y← x2－ 1
End If
Print y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有
50 名、 40 名、 40
名．现用分层抽样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了
x2 y2 9. 已知双曲线 a2－ b2＝ 1(a＞ 0， b＞0)的一条渐近线方程为
x－ 2y＝ 0，则该双曲线的离心
率为 ________．
10. 已知直线 l： y＝－ x ＋ 4 与圆 C： (x －2) 2＋ (y －1)2＝ 1 相交于 P， Q 两点，则 C→P·C→Q ＝
________. 11. 已知正实数 x， y 满足 x＋ 4y－ xy ＝ 0，若 x＋ y≥ m 恒成立，则实数
14. 若存在正实数 x ，y ，z 满足 3y2＋ 3z2≤ 10yz，且 ln x － ln z ＝ ezy，则 xy的最小值为 ________．
二、解答题：本大题共 6 小题 ， 共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．
15. (本小题满分 14 分 ) 已知函数 f(x) ＝ cos2x＋ 2 3sin xcos x － sin2x， x∈ R. (1) 求函数 f(x) 的单调增区间； (2) 求方程 f(x) ＝ 0 在 (0， π上］的所有解．
1、 2、 3，乙的卡片分别标有数字 0、 a，乙抽出的卡片上的数字记为 b，
7. 若直线 l 1： x － 2y＋ 4＝ 0 与 l2： mx － 4y＋3＝ 0 平行，则两平行直线 l 1， l2 间的距离为
________．
8. 已知等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 S3＝ 7， S6＝ 63，则 a1＝ ________．