数值分析第三次作业

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数值分析第三次作业

26.解：(1).J 法：J ∴法收敛.GS 法：()11102210221101110122100210G B D L U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦022023002-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()212322det 0232020,2,21G G I B B λλλλλλλλλρ--=-=--∴===∴=GS ∴法不收敛.()2.J 法：()()131231*********()12202101121101212012125det 412125550,,,1222J J J B D L U I B i i B λλλλλλλλλρ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--==+--∴===-∴=J ∴法不收敛.GS 法：()()()1312310220221101101122022022det 11002201J J J B D L U I B B λλλλλλλλρ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦--===⇒===∴=()1120111200011220212120021120014120G B D L U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦01212012120012-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()()()21231212det 01212120120,12,121G G I B B λλλλλλλλλρ--=+=+=+∴===-=GS ∴法收敛27.解：()1010911102,702106A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A 为严格对角占优阵，J ∴法和GS 法均收敛.J 法的分量形式为：()()()11111,1,2,,i nk k k ii ij j ij j j j i ii x b a x a x i n a -+==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑J ∴法的迭代格式为：(1)()12(1)()()213(1)()321(9)101(72)101(62)10k k k k k k k x x x x x x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩取初值(0)0x =，J 法的数值结果是：迭代次数k()1k x ()2k x ()3kx 1 0.900000 0.700000 0.600000 2 0.970000 0.910000 0.740000 3 0.991000 0.945000 0.782000 4 0.994000 0.955500 0.789000 50.9955500.9572500.791100GS 法的分量形式为：()()()111111,1,2,,i nk k k ii ij j ij j j j i ii x b a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑GS ∴法的迭代格式为：(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(9)101(72)101(62)10k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩取初值(0)0x =，GS 法的数值结果是：迭代次数k ()1k x()2k x()3kx10.900000 0.790000 0.758000 2 0.979000 0.949500 0.789900 3 0.994950 0.957475 0.791495 4 0.9957475 0.9578738 0.7915748 50.9957874 0.95789370.7915787()123210,99,950A∆=∆=∆=∴对称正定，()1110000101001011100102010105020110000105J B D L U -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭212,310101111det()()00,10520201051()20J J I B B λλλλλλλλρ-∴-=--=-=⇒==±-∴=∴SOR 法的最优松弛因子为：[]2221.01282111/2011()opt J B ωρ==≈+-+-()10.01282opt opt L ρωω=-=对应的渐近收敛率为：R=-ln ()() 4.35654opt opt R L L ωρω=SOR 法的分量形式为：()()()()()111111,1,2,,i nk k k k iii ij j ijjj j i ii x x b a x a xi n a ωω-++==+⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭∑∑∴SOR 法（ω取最佳松弛因子）的迭代格式为：(1)()()112(1)()(1)()2213(1)()(1)3321.012820.01282(9)101.012820.01282(72)101.012820.01282(62)10k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x +++++⎧=-++⎪⎪⎪=-+++⎨⎪⎪=-++⎪⎩取初值(0)0x =，SOR 法的数值结果是：迭代次数k ()1k x()2k x()3kx10.911538 0.801296 0.770006 2 0.981009 0.954035 0.791074 3 0.995588 0.957822 0.791571 4 0.995785 0.957894 0.791579 50.9957890.9578950.79157928.一定收敛.证明：对于11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，A 对称正定，()212211122122111221201,2,,det()0,iia i a a A a a a a a a a ∴===-对于J 法：121111121121222221000()01000J a aa a B D L U a a a a -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122211212121,2121122112222det()0J a a a a I B a a a a a a λλλλλ-==-=⇒=22121122121122()1J a a a a B a a ρ∴=∴J 法收敛. GS 法：12221112121221122112212112222121122121122det()00,0()1G G a a a a I B a a a a a a a a a a a B a a λλλλλλλρ⎛⎫-==-=⇒==⎪⎝⎭-∴=∴GS 法收敛.∴对于系数矩阵对称正定的2阶线性方程组，J 法和GS 法一定收敛. 30.证明：由线性代数知识知：∃可逆矩阵使121s J J p B P J J -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中,i in n iJ R ⨯∈对应于特征值()121,2,,i s i s n n n nλ=++=()0B ρ=∴B 的所有特征值为0，120101,1,2,,10i i r r i s J R i s r r r n⨯⎛⎫⎪⎪⎪∴=∈=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1i r =时，11i J R ⨯∈1i r 时， 0,i i r r i i J J R ⨯=∈12kkkk s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦最多迭代到第n 次，即k=n 时，10,0k k k J B PJ P -=== 设x *是Ax b =的精确解，误差向量()()k k e x x *=-()()()()()()110k k k k ke x x B x x B e B e--**=-=-===所以最多迭代到第n 次时，()()()00,k k k e B e x x *===所以结论成立31．解：（1）根据迭代公式(1)()()()k k k x x Ax b α+=--，有： (1)()()k k xI A x b αα+=-+ ∴迭代矩阵13212B I A ααααα--⎛⎫=-= ⎪--⎝⎭ 12132det()(1)(14)0121,14I B λααλλαλααλαλαλα-+∴-==-+-+=-+∴=-=-当{}()max 1,141B ραα=--时，迭代收敛111110121411141ααααα⎧---⎧⎪⇒⇒⎨⎨---⎪⎩⎩012α∴时，此迭代方法收敛{}()()m a x 1,141,00.441,0.40.5B B ρααααραα=---⎧∴=⎨-≤⎩ 0.4α∴=时，()Bρ最小，迭代收敛最快()12,n λλ为A 的特征值，11,1n αλαλ∴--为I A α-的特征值{}1()m a x 1,1n I A ρααλαλ∴-=--必要性：迭代收敛()1I A ρα⇒-111110211nαλαλαλ-⎧-⎪∴⇒⎨-⎪⎩所以必要性成立充分性：()1111102022,1,2,11,1,2,()max 11i i ini i i ni nI A αλαλλλαλρααλ--=∴≤=∴-=∴-=-所以此迭代法收敛，充分性成立（3） 1102αλ-时，111121,0()21,2n n in I A αλαλλρααλαλλλ-⎧-≤⎪+⎪-=⎨⎪-⎪+⎩根据图像，12nαλλ=+时，()I A ρα-最小33.解：()()()()()()()()()()()()()()()1()1121()111211111(1)()11111,k k k k k k x D L Ux D L b x L D U x L b x D U L D L Ux D U L D L b D U bC D U L D L U g D U L D L b D U b+--++-------+-----⎧=-+-⎪⎨⎪=--⎩⇒=--+--+-∴=--=--+-分析收敛性：()()()()()1111L D L D L DD LI D D L----=--+-=-+-⎡⎤⎣⎦()()()1111D D L I D L D D D L LD ----⎡⎤=---=-⎣⎦()()111C D U D D L LD U---∴=--()()()()()11112D L D D U L D U D L I DL D U L D U D L U-------=----=--=()()111I C I D L D D U LD U ---⎡⎤∴-=---⎣⎦()()()()111I D L D D U D L D D U A ---⎡⎤⎡⎤=------⎣⎦⎣⎦()()()()1111I I D L D D U A D L D D U A ----⎡⎤⎡⎤=-+--=--⎣⎦⎣⎦ 令()()1M D L D DU -⎡⎤=--⎣⎦1C I M A -∴=-因为A 对称正定，所以D 也正定令 1111222,()D D D W D D U ----==-TM W W ∴=()()11111112222TWCW D D L LD D D L LD -----⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 令()11122P DD L LD--=-1T W C W P P -∴=所以C 与T PP 相似，其特征值均为非负实数1111()T I WCW W I C W WM AW W AW -------=-==所以 1I WCW --为对称正定矩阵，其特征值()110WCW λ--C ⇒的特征值()C λ满足()01C λ≤，故该迭代法收敛35.解：1112112111122212Ax Bx b x A Bx A b Bx Ax b x A Bx A b ----⎧+==-+⎧⎪⇒⎨⎨+==-+⎪⎩⎩∴J 法的迭代公式为：(1)()111111(1)()1222110000k k k k J x x A b A B A Bx x A b A B C A B +---+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∴=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-∴= ⎪-⎝⎭若λ为矩阵1A B --的特征值，对应的特征向量为11111,0n x R x A Bx x λ-∈≠∴-= 11111111111111111111J J x x x A B x C x x x A B x x x x A B x C x x x A B x λλλλλλ----⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴若n 阶矩阵1A B --有特征值12,,,n λλλ，则2n 阶矩阵J C 有特征值12,,,nλλλ±±±38.（1）解：因为系数矩阵A 对称正定，所以可以运用共轭梯度法（CG ）解此方程组取()()00,0Tx =,()()()()000r p b Ax 0,1T∴==-=-，()()()()()()00r ,r 12p ,Ap α==()()()0,-T10001x xp2α⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，()()(),0T10003r rAp2α⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,()()()()()(),11r ,r 94r r β==()()(),-T110039p r p 24β⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()()()()()11111r ,r 12p ,Ap α==,()()()()1,-2T2111x x p α=+=()2x 即为所求方程的精确解。

北航数值分析大作业三

一、题目：关于x, y, t, u, v, w 的下列方程组0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩1、试用数值方法求出f(x, y)在区域 {(,)|00.8,0.5 1.5}D x y x y =≤≤≤≤上的一个近似表达式,0(,)kr s rsr s p x y cx y ==∑要求(,)p x y 一最小的k 值达到以下的精度10202700((,)(,))10i j i j i j f x y p x y σ-===-≤∑∑其中，0.08,0.50.05i j x i y j ==+。

2、计算****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, …，8；j = 1, 2,…，5）的值，以观察(,)p x y 逼近(,)f x y 的效果，其中，*i x =0.1i , *j y =0.5+0.2j 。

说明：1、用迭代方法求解非线性方程组时，要求近似解向量()k x 满足()(1)()12||||/||||10k k k x x x --∞∞-≤2、作二元插值时，要使用分片二次代数插值。

3、要由程序自动确定最小的k 值。

4、打印以下内容：●算法的设计方案。

●全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。

●数表：,,i j x y (,)i j f x y （i = 0,1,2,…,10；j = 0,1,2,…,20）。

●选择过程的,k σ值。

●达到精度要求时的,k σ值以及(,)p x y 中的系数rs c （r = 0,1,…,k;s = 0,1,…,k ）。

●数表：**,,i j x y ****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, ...,8；j = 1, 2, (5)。

数值分析第三次作业

数值分析第三次上机作业算法设计1、求解非线性方程组采用牛顿法解非线性方程组,将题目中给出的(,)i i x y 当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求出与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j]，u[i][j]2、分片二次代数插值对所求出的数组t[i][j]，u[i][j]，通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21]，u[11][21]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y ，二次插值采用教材给出的分片二次代数插值。

3、曲面插值利用x[11]，y[21]，z[11][21]建立二维函数表，进行曲面插值计算，逐步提高k 值，计算其精度，看其是否满足要求，条件满足则循环结束，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]，算法采用教材给出的曲面拟合算法，求出所需矩阵给出，然后按公式进行计算。

4、比较),(j i y x p 逼近(,)i i f x y 的效果观察和),(j i y x p 逼近(,)i i f x y 的效果时，只需要利用新的点列(,)i i x y 重复计算二次代数插值，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，求解(,)i i p x y 事可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 值。

源程序(在CodeBlock C/C++集成开发环境下编译通过)程序输出1.数表(xi,yj)和f(xi,yj)x=0 y=0.5 f(x,y)=4.46504018481E-001 x=0 y=0.55 f(x,y)=3.24683262928E-001 x=0 y=0.6 f(x,y)=2.10159686683E-001 x=0 y=0.65 f(x,y)=1.03043608316E-001 x=0 y=0.7 f(x,y)=3.40189556268E-003 x=0 y=0.75 f(x,y)=-8.87358136380E-002 x=0 y=0.8 f(x,y)=-1.73371632750E-001 x=0 y=0.85 f(x,y)=-2.50534611467E-001 x=0 y=0.9 f(x,y)=-3.20276506388E-001 x=0 y=0.95 f(x,y)=-3.82668066110E-001 x=0 y=1 f(x,y)=-4.37795766738E-001x=0 y=1.05 f(x,y)=-4.85758941444E-001 x=0 y=1.1 f(x,y)=-5.26667254884E-001 x=0 y=1.15 f(x,y)=-5.60638479797E-001 x=0 y=1.2 f(x,y)=-5.87796538768E-001 x=0 y=1.25 f(x,y)=-6.0826*******E-001 x=0 y=1.3 f(x,y)=-6.22189452876E-001x=0 y=1.35 f(x,y)=-6.29688378186E-001x=0 y=1.4 f(x,y)=-6.30899760003E-001x=0 y=1.45 f(x,y)=-6.25956152545E-001x=0 y=1.5 f(x,y)=-6.14988546609E-001x=0.08 y=0.5 f(x,y)=6.38015226511E-001 x=0.08 y=0.55 f(x,y)=5.0661*******E-001 x=0.08 y=0.6 f(x,y)=3.82176369277E-001 x=0.08 y=0.65 f(x,y)=2.64863491154E-001 x=0.08 y=0.7 f(x,y)=1.54780200285E-001 x=0.08 y=0.75 f(x,y)=5.199********E-002 x=0.08 y=0.8 f(x,y)=-4.34680402049E-002 x=0.08 y=0.85 f(x,y)=-1.31601056789E-001 x=0.08 y=0.9 f(x,y)=-2.12431088309E-001 x=0.08 y=0.95 f(x,y)=-2.86004551058E-001 x=0.08 y=1 f(x,y)=-3.52386078979E-001x=0.08 y=1.05 f(x,y)=-4.11655456522E-001 x=0.08 y=1.1 f(x,y)=-4.63904911519E-001 x=0.08 y=1.15 f(x,y)=-5.09236724701E-001 x=0.08 y=1.2 f(x,y)=-5.47761117962E-001 x=0.08 y=1.25 f(x,y)=-5.79594388339E-001 x=0.08 y=1.3 f(x,y)=-6.04857258890E-001 x=0.08 y=1.35 f(x,y)=-6.23673421332E-001 x=0.08 y=1.4 f(x,y)=-6.36168248413E-001 x=0.08 y=1.45 f(x,y)=-6.42467656690E-001 x=0.08 y=1.5 f(x,y)=-6.42697102700E-001 x=0.16 y=0.5 f(x,y)=8.40081395767E-001 x=0.16 y=0.55 f(x,y)=6.99764165673E-001 x=0.16 y=0.6 f(x,y)=5.66061442352E-001 x=0.16 y=0.65 f(x,y)=4.39171608118E-001 x=0.16 y=0.7 f(x,y)=3.19242138041E-001 x=0.16 y=0.75 f(x,y)=2.06376192387E-001 x=0.16 y=0.8 f(x,y)=1.00638523891E-001 x=0.16 y=0.85 f(x,y)=2.06074006784E-003 x=0.16 y=0.9 f(x,y)=-8.93540247670E-002 x=0.16 y=0.95 f(x,y)=-1.73626968865E-001 x=0.16 y=1 f(x,y)=-2.50799956160E-001x=0.16 y=1.05 f(x,y)=-3.20932269445E-001 x=0.16 y=1.1 f(x,y)=-3.84097735005E-001 x=0.16 y=1.15 f(x,y)=-4.40382175418E-001 x=0.16 y=1.2 f(x,y)=-4.89881152313E-001 x=0.16 y=1.25 f(x,y)=-5.32697965534E-001 x=0.16 y=1.3 f(x,y)=-5.68941879292E-001 x=0.16 y=1.35 f(x,y)=-5.98726549515E-001 x=0.16 y=1.4 f(x,y)=-6.22168629750E-001x=0.16 y=1.45 f(x,y)=-6.39386535697E-001 x=0.16 y=1.5 f(x,y)=-6.50499350788E-001 x=0.24 y=0.5 f(x,y)=1.0515*******E+000 x=0.24 y=0.55 f(x,y)=9.029********E-001 x=0.24 y=0.6 f(x,y)=7.60580266860E-001 x=0.24 y=0.65 f(x,y)=6.24715198146E-001 x=0.24 y=0.7 f(x,y)=4.95519756001E-001 x=0.24 y=0.75 f(x,y)=3.73134042775E-001 x=0.24 y=0.8 f(x,y)=2.57656748872E-001 x=0.24 y=0.85 f(x,y)=1.49150559410E-001 x=0.24 y=0.9 f(x,y)=4.76469867734E-002 x=0.24 y=0.95 f(x,y)=-4.68493232015E-002 x=0.24 y=1 f(x,y)=-1.34356760385E-001x=0.24 y=1.05 f(x,y)=-2.14913344927E-001 x=0.24 y=1.1 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f(x,y)=-4.46638204599E-001 x=0.32 y=1.35 f(x,y)=-4.97324951768E-001 x=0.32 y=1.4 f(x,y)=-5.41664032699E-001 x=0.32 y=1.45 f(x,y)=-5.79756479795E-001 x=0.32 y=1.5 f(x,y)=-6.11706288148E-001x=0.4 y=0.55 f(x,y)=1.33499863207E+000 x=0.4 y=0.6 f(x,y)=1.177********E+000x=0.4 y=0.65 f(x,y)=1.025********E+000 x=0.4 y=0.7 f(x,y)=8.78960023174E-001x=0.4 y=0.75 f(x,y)=7.39145108704E-001 x=0.4 y=0.8 f(x,y)=6.0574*******E-001x=0.4 y=0.85 f(x,y)=4.78883861067E-001 x=0.4 y=0.9 f(x,y)=3.58650625882E-001x=0.4 y=0.95 f(x,y)=2.45102236196E-001 x=0.4 y=1 f(x,y)=1.38268350928E-001x=0.4 y=1.05 f(x,y)=3.81548654070E-002 x=0.4 y=1.1 f(x,y)=-5.52528211681E-002 x=0.4 y=1.15 f(x,y)=-1.41986880814E-001 x=0.4 y=1.2 f(x,y)=-2.22094439096E-001 x=0.4 y=1.25 f(x,y)=-2.95635232460E-001 x=0.4 y=1.3 f(x,y)=-3.62679511503E-001 x=0.4 y=1.35 f(x,y)=-4.23306164224E-001 x=0.4 y=1.4 f(x,y)=-4.77601036132E-001 x=0.4 y=1.45 f(x,y)=-5.25655426667E-001 x=0.4 y=1.5 f(x,y)=-5.67564743655E-001 x=0.48 y=0.5 f(x,y)=1.73189274038E+000 x=0.48 y=0.55 f(x,y)=1.56203457721E+000 x=0.48 y=0.6 f(x,y)=1.39721691821E+000 x=0.48 y=0.65 f(x,y)=1.23780100674E+000 x=0.48 y=0.7 f(x,y)=1.0840*******E+000 x=0.48 y=0.75 f(x,y)=9.36322772315E-001 x=0.48 y=0.8 f(x,y)=7.94704449054E-001 x=0.48 y=0.85 f(x,y)=6.59387198028E-001 x=0.48 y=0.9 f(x,y)=5.30487586840E-001 x=0.48 y=0.95 f(x,y)=4.08088685454E-001 x=0.48 y=1 f(x,y)=2.92244201230E-001x=0.48 y=1.05 f(x,y)=1.82982206854E-001 x=0.48 y=1.1 f(x,y)=8.03084940354E-002 x=0.48 y=1.15 f(x,y)=-1.57904130516E-002 x=0.48 y=1.2 f(x,y)=-1.0534*******E-001 x=0.48 y=1.25 f(x,y)=-1.88398090610E-001 x=0.48 y=1.3 f(x,y)=-2.65007149319E-001 x=0.48 y=1.35 f(x,y)=-3.35237838904E-001 x=0.48 y=1.4 f(x,y)=-3.99164503887E-001 x=0.48 y=1.45 f(x,y)=-4.56868143302E-001 x=0.48 y=1.5 f(x,y)=-5.08434993278E-001 x=0.56 y=0.5 f(x,y)=1.97122178640E+000 x=0.56 y=0.55 f(x,y)=1.79532959950E+000x=0.56 y=0.65 f(x,y)=1.45783058271E+000 x=0.56 y=0.7 f(x,y)=1.29695464975E+000 x=0.56 y=0.75 f(x,y)=1.14171810545E+000 x=0.56 y=0.8 f(x,y)=9.92349533324E-001 x=0.56 y=0.85 f(x,y)=8.49032663329E-001 x=0.56 y=0.9 f(x,y)=7.11911352264E-001 x=0.56 y=0.95 f(x,y)=5.81094158922E-001 x=0.56 y=1 f(x,y)=4.56658513233E-001x=0.56 y=1.05 f(x,y)=3.38654496139E-001 x=0.56 y=1.1 f(x,y)=2.27108255770E-001 x=0.56 y=1.15 f(x,y)=1.22025089193E-001 x=0.56 y=1.2 f(x,y)=2.33922196376E-002 x=0.56 y=1.25 f(x,y)=-6.88187019710E-002 x=0.56 y=1.3 f(x,y)=-1.54649344213E-001 x=0.56 y=1.35 f(x,y)=-2.34152666459E-001 x=0.56 y=1.4 f(x,y)=-3.0739*******E-001 x=0.56 y=1.45 f(x,y)=-3.74434862348E-001 x=0.56 y=1.5 f(x,y)=-4.35360556536E-001 x=0.64 y=0.5 f(x,y)=2.21566786369E+000 x=0.64 y=0.55 f(x,y)=2.03420113361E+000 x=0.64 y=0.6 f(x,y)=1.85695514362E+000 x=0.64 y=0.65 f(x,y)=1.68435816416E+000 x=0.64 y=0.7 f(x,y)=1.51677635240E+000 x=0.64 y=0.75 f(x,y)=1.35451904115E+000 x=0.64 y=0.8 f(x,y)=1.19784408667E+000 x=0.64 y=0.85 f(x,y)=1.04696304942E+000 x=0.64 y=0.9 f(x,y)=9.020********E-001 x=0.64 y=0.95 f(x,y)=7.63226477663E-001 x=0.64 y=1 f(x,y)=6.30604821954E-001x=0.64 y=1.05 f(x,y)=5.04252814597E-001 x=0.64 y=1.1 f(x,y)=3.84216715546E-001 x=0.64 y=1.15 f(x,y)=2.70520476641E-001 x=0.64 y=1.2 f(x,y)=1.63168572400E-001 x=0.64 y=1.25 f(x,y)=6.21485581168E-002 x=0.64 y=1.3 f(x,y)=-3.25666193968E-002 x=0.64 y=1.35 f(x,y)=-1.21016534844E-001 x=0.64 y=1.4 f(x,y)=-2.03251399623E-001 x=0.64 y=1.45 f(x,y)=-2.79330359558E-001 x=0.64 y=1.5 f(x,y)=-3.49319957540E-001 x=0.72 y=0.5 f(x,y)=2.46468422266E+000 x=0.72 y=0.55 f(x,y)=2.27805897940E+000 x=0.72 y=0.6 f(x,y)=2.0952*******E+000 x=0.72 y=0.65 f(x,y)=1.91671812800E+000x=0.72 y=0.75 f(x,y)=1.57399842733E+000 x=0.72 y=0.8 f(x,y)=1.41043483523E+000 x=0.72 y=0.85 f(x,y)=1.25240175061E+000 x=0.72 y=0.9 f(x,y)=1.10009440963E+000 x=0.72 y=0.95 f(x,y)=9.53669851261E-001 x=0.72 y=1 f(x,y)=8.132********E-001x=0.72 y=1.05 f(x,y)=6.78930742966E-001 x=0.72 y=1.1 f(x,y)=5.50774848504E-001 x=0.72 y=1.15 f(x,y)=4.28825676973E-001 x=0.72 y=1.2 f(x,y)=3.131********E-001 x=0.72 y=1.25 f(x,y)=2.03615514033E-001 x=0.72 y=1.3 f(x,y)=1.00345478241E-001 x=0.72 y=1.35 f(x,y)=3.26856518657E-003 x=0.72 y=1.4 f(x,y)=-8.76530659133E-002 x=0.72 y=1.45 f(x,y)=-1.72467247819E-001 x=0.72 y=1.5 f(x,y)=-2.51230220752E-001 x=0.8 y=0.5 f(x,y)=2.71781110947E+000x=0.8 y=0.55 f(x,y)=2.52639950126E+000 x=0.8 y=0.6 f(x,y)=2.33841138686E+000x=0.8 y=0.65 f(x,y)=2.15432937728E+000 x=0.8 y=0.7 f(x,y)=1.97457455665E+000x=0.8 y=0.75 f(x,y)=1.79951057910E+000 x=0.8 y=0.8 f(x,y)=1.62944822055E+000x=0.8 y=0.85 f(x,y)=1.46465004375E+000 x=0.8 y=0.9 f(x,y)=1.30533496765E+000x=0.8 y=0.95 f(x,y)=1.151********E+000 x=0.8 y=1 f(x,y)=1.00383741991E+000x=0.8 y=1.05 f(x,y)=8.61912337228E-001 x=0.8 y=1.1 f(x,y)=7.25992371111E-001x=0.8 y=1.15 f(x,y)=5.96137711520E-001 x=0.8 y=1.2 f(x,y)=4.72386627914E-001x=0.8 y=1.25 f(x,y)=3.54758095898E-001 x=0.8 y=1.3 f(x,y)=2.43254184181E-001x=0.8 y=1.35 f(x,y)=1.37862222525E-001 x=0.8 y=1.4 f(x,y)=3.85567703264E-002x=0.8 y=1.45 f(x,y)=-5.46985959345E-002 x=0.8 y=1.5 f(x,y)=-1.41949659709E-001 2.选择过程的k和sigma值k=0 sigma=1.44288077184E+002k=1 sigma=3.22090897364E+000k=2 sigma=4.65996003327E-003k=3 sigma=1.72117537914E-004k=4 sigma=3.30953429925E-006k=5 sigma=2.54137838641E-0083.达到精度时的k值和sigma的值k=5 sigma=2.54137838641E-008C[5][0]=2.021********E+000C[5][1]=-3.66842675949E+000C[5][2]=7.09248533937E-001C[5][3]=8.48605489559E-001C[5][4]=-4.158********E-001C[5][5]=6.74320038241E-002C[5][0]=3.19190900764E+000C[5][1]=-7.41110369687E-001C[5][2]=-2.69712461395E+000C[5][3]=1.63118341965E+000C[5][4]=-4.84719981485E-001C[5][5]=6.06142831635E-002C[5][0]=2.56889815804E-001C[5][1]=1.57991865457E+000C[5][2]=-4.63408110240E-001C[5][3]=-8.134********E-002C[5][4]=1.020********E-001C[5][5]=-2.10152340394E-002C[5][0]=-2.69260339427E-001C[5][1]=-7.30247654151E-001C[5][2]=1.07614506737E+000C[5][3]=-8.0701*******E-001C[5][4]=3.028********E-001C[5][5]=-4.59726340229E-002C[5][0]=2.17459756299E-001C[5][1]=-1.78372378542E-001C[5][2]=-7.24058095248E-002C[5][3]=2.43330475719E-001C[5][4]=-1.41334739775E-001C[5][5]=2.65102413037E-002C[5][0]=-5.59032661772E-002C[5][1]=1.43199241737E-001C[5][2]=-1.36270366628E-001C[5][3]=4.0719*******E-002C[5][4]=3.77503355870E-003C[5][5]=-2.66770140049E-0034.数表(xi,yj)、f(xi,yj)、p(xi,yj)以及它们的差值x[0]=0 y[0]=0.5p(x,y)=1.94730355285E-001 f(x,y)=1.94720407918E-001 deta=9.94736690521E-006x[0]=0 y[1]=0.7p(x,y)=-1.83041842880E-001 f(x,y)=-1.83037079189E-001 deta=-4.76369108796E-006x[0]=0 y[2]=0.9p(x,y)=-4.45500048680E-001 f(x,y)=-4.45497646915E-001 deta=-2.40176486183E-006x[0]=0 y[3]=1.1p(x,y)=-5.97558867846E-001 f(x,y)=-5.97566707641E-001 deta=7.83979486330E-006x[0]=0 y[4]=1.3p(x,y)=-6.46446127384E-001 f(x,y)=-6.46459593901E-001 deta=1.34665171766E-005x[1]=0.1 y[0]=0.5p(x,y)=4.0598*******E-001 f(x,y)=4.0597*******E-001 deta=1.03485281598E-005x[1]=0.1 y[1]=0.7p(x,y)=-2.25211197537E-002 f(x,y)=-2.25159583746E-002 deta=-5.16137912467E-006x[1]=0.1 y[2]=0.9p(x,y)=-3.38224028576E-001 f(x,y)=-3.38220816040E-001 deta=-3.21253640911E-006x[1]=0.1 y[3]=1.1p(x,y)=-5.44430460440E-001 f(x,y)=-5.44437831522E-001 deta=7.37108182258E-006x[1]=0.1 y[4]=1.3p(x,y)=-6.47348025306E-001 f(x,y)=-6.47361338568E-001 deta=1.33132616271E-005x[2]=0.2 y[0]=0.5p(x,y)=6.34787451208E-001 f(x,y)=6.34777195151E-001 deta=1.025********E-005x[2]=0.2 y[1]=0.7p(x,y)=1.58796292931E-001 f(x,y)=1.58801168839E-001 deta=-4.87590857656E-006x[2]=0.2 y[2]=0.9p(x,y)=-2.0736*******E-001 f(x,y)=-2.0736*******E-001 deta=-2.89120630045E-006x[2]=0.2 y[3]=1.1p(x,y)=-4.65349931137E-001 f(x,y)=-4.65357906898E-001 deta=7.97576078648E-006x[2]=0.2 y[4]=1.3p(x,y)=-6.20257150733E-001 f(x,y)=-6.20270953075E-001 deta=1.38023420141E-005x[3]=0.3 y[0]=0.5p(x,y)=8.78969863913E-001 f(x,y)=8.78960023174E-001 deta=9.84073838783E-006x[3]=0.3 y[1]=0.7p(x,y)=3.58646040897E-001 f(x,y)=3.58650625882E-001 deta=-4.58498525391E-006x[3]=0.3 y[2]=0.9p(x,y)=-5.52554407260E-002 f(x,y)=-5.52528211681E-002 deta=-2.61955789865E-006x[3]=0.3 y[3]=1.1p(x,y)=-3.62671068876E-001 f(x,y)=-3.62679511503E-001 deta=8.44262724292E-006x[3]=0.3 y[4]=1.3p(x,y)=-5.67550591485E-001 f(x,y)=-5.67564743655E-001 deta=1.41521698724E-005x[4]=0.4 y[0]=0.5p(x,y)=1.136********E+000 f(x,y)=1.136********E+000 deta=9.44199507047E-006x[4]=0.4 y[1]=0.7p(x,y)=5.74975840930E-001 f(x,y)=5.74980340948E-001 deta=-4.50001736119E-006x[4]=0.4 y[2]=0.9p(x,y)=1.159********E-001 f(x,y)=1.159********E-001 deta=-3.0579*******E-006x[4]=0.4 y[3]=1.1p(x,y)=-2.38560423010E-001 f(x,y)=-2.38568304012E-001 deta=7.88100251645E-006x[4]=0.4 y[4]=1.3p(x,y)=-4.91420905751E-001 f(x,y)=-4.91434393656E-001 deta=1.34879048772E-005x[5]=0.5 y[0]=0.5p(x,y)=1.40605068621E+000 f(x,y)=1.40604179891E+000 deta=8.88730304549E-006x[5]=0.5 y[1]=0.7p(x,y)=8.0593*******E-001 f(x,y)=8.0594*******E-001 deta=-4.19333468360E-006x[5]=0.5 y[2]=0.9p(x,y)=3.04425830753E-001 f(x,y)=3.04429221045E-001 deta=-3.39029184432E-006x[5]=0.5 y[3]=1.1p(x,y)=-9.50089472511E-002 f(x,y)=-9.50161300996E-002 deta=7.182********E-006x[5]=0.5 y[4]=1.3p(x,y)=-3.93889839003E-001 f(x,y)=-3.93902307746E-001deta=1.24687429454E-005x[6]=0.6 y[0]=0.5p(x,y)=1.68579121671E+000 f(x,y)=1.68578351531E+000deta=7.70140288742E-006x[6]=0.6 y[1]=0.7p(x,y)=1.04987773874E+000 f(x,y)=1.04988115306E+000deta=-3.41432028650E-006x[6]=0.6 y[2]=0.9p(x,y)=5.08291044733E-001 f(x,y)=5.08293783940E-001deta=-2.73920670368E-006x[6]=0.6 y[3]=1.1p(x,y)=6.61563563891E-002 f(x,y)=6.61487967065E-002deta=7.55968266807E-006x[6]=0.6 y[4]=1.3p(x,y)=-2.76822040919E-001 f(x,y)=-2.76834341778E-001deta=1.23008586507E-005x[7]=0.7 y[0]=0.5p(x,y)=1.97458126094E+000 f(x,y)=1.97457455665E+000deta=6.70428833205E-006x[7]=0.7 y[1]=0.7p(x,y)=1.30533200403E+000 f(x,y)=1.30533496765E+000deta=-2.96362120045E-006x[7]=0.7 y[2]=0.9p(x,y)=7.25989311831E-001 f(x,y)=7.25992371111E-001deta=-3.0592*******E-006x[7]=0.7 y[3]=1.1p(x,y)=2.43260793658E-001 f(x,y)=2.43254184181E-001deta=6.60947631989E-006x[7]=0.7 y[4]=1.3p(x,y)=-1.41938782303E-001 f(x,y)=-1.41949659709E-001deta=1.0877*******E-005遇到的问题及解决办法1.在编写程序的时候要有足够的耐心和细心，否则一时疏忽输错了一个字符，都会造成输出结果错误，我是因为在输入数表时，输错了一个符号，导致程序总是输出错误，在检查了很久之后才找出问题所在。

BUAA数值分析大作业三

北京航空航天大学2020届研究生《数值分析》实验作业第九题院系：xx学院学号：姓名：2020年11月Q9:方程组A.4一、算法设计方案（一）总体思路1.题目要求∑∑===k i kj s r rsy x cy x p 00),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。

),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。

2.),(**j i y x f 与1使用相同方法求得，),(**j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(**j i y x 求得。

1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。

将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。

再将),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。

2.乘积型最小二乘曲面拟合2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i i k x x x x B 0000 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k j jk y y y y G 0000数表矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为：11-)(-=G G UG B B B C T TT ）（通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。

UG B G G C B B T T T =)()(2.2计算),(),,(****j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。

数值分析第三次作业解答

数值分析第三次作业解答思考题：1：（a ）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange 插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。

×;(b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。

√(c) 高次的Lagrange 插值多项式很常用。

×(d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。

√3．以0.1,0.15,0.2为插值节点，计算()f x = Lagrange 插值多项式 2()P x ，比较2(0)P 和(0)f ，问定理4.1的结果是否适用本问题？解：构造插值多项式：0122022(0.15)(0.2)()0.050.1(0.1)(0.2)()0.050.05(0.1)(0.15)()0.10.05()()()()(0)0;(0)0.1403x x l x x x l x x x l x P x x x x f P --=⨯--=⨯--=⨯=++==在（0，2）区间，5''''''23()(0.2)118.585458f x x f -=≤=从而，对任意的 '''3()(0,0.2),(0)0.05933!f ξξω∈≤ 不存在'''32()(0,0.2),(0)(0)(0)0.14033!f f P ξξω∈=-=。

演示程序：x=0:0.01:0.2; y=x.^(1/2);plot(x,y,'r')pause,hold onx0=[0.1,0.15 ,0.2]; y0=x0.^(1/2); x=0:0.01:0.2; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1,'b')5：（a ）求()f x x =在节点123452,0.5,0, 1.5,2x x x x x =-=-=== 的三次样条插值（150M M ==）。

中科院研究生院信息工程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案

数值分析第三次作业及答案1．（P201(4)）用梯形方法解初值问题 '0;(0)1,y y y ⎧+=⎨=⎩ 证明其近似解为2,2nn h y h -⎛⎫= ⎪+⎝⎭并证明当0h →时，它收敛于原初值问题的准确解.xy e -=111112111000 [(,)(,)]2(,)()22222222 1,.2,.lim l n n n n n n n n n n n n n n nn n n h hy y f x y f x y hf x y y y y y y h h h y y y y h h h h y y h h n y nh x y +++++++-→=++=-⇒=+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=⇒= ⎪+⎝⎭=⇒=证：梯形公式为由因用上述梯形公式以步长经步计算到故有0022im lim 22x nhx h h h h e h h -→→--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2． (P202(6)) 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：''3,01;,01;(1)1)2)(0)1;(0) 1.y y x y x y x x y y ⎧=<<⎧=+<<⎪+⎨⎨=⎩⎪=⎩ 12113224330.2(,)(,) 1.1()0.1 22221)(,) 1.11()0.112222(,) 1.n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n h k f x y x y h h h h k f x y k x y k x y h h h h k f x y k x y k x y k f x h y hk x h y hk ===+=++=+++=++=++=+++=++=++=+++=解：令1123412132431222()0.222(22)0.2214 1.22140.021463/(1)3(0.1)/(10.1)2)3(0.1)/(10.1)3(0.2)/(10.2)0.2(6n n n n n n n n n nn n n n n n x y hy y k k k k x y k y x k y k x k y k x k y k x y y k ++⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪++⎩=++++=++=+⎧⎪=+++⎪⎨=+++⎪⎪=+++⎩=+123422).k k k +++3． (P202(7)) 证明对任意参数t ，下列龙格库塔－公式是二阶的：12312131();2(,);(,);((1),(1)).n n n nn n n n h y y K K K f x y K f x th y thK K f x t h y t hK +⎧=++⎪⎪⎪=⎨⎪=++⎪=+-+-⎪⎩'''2'''31'123'2'()()()()[(,())(,())(,())]23!()[((,)(,)22(,)(,)())((,)(,n n n n x n n y n n n n n n n n n x n n y n n n n n n x n n y h y x y x hy x f x y x f x y x f x y x hh hy y K K y f x y f x y th f x y thf x y O h f x y f x y ζ++=++++=++=++++++证：由一元函数的泰勒展开有又由二元函数的泰勒展开有'22''32''311)(1)(,)(1)(,)())](,)[(,)(,)(,)]()2(),(,())[(,())(,())(,())]()2()y n n n n n n n x n n y n n n n n n n n n n x n n y n n n n n n t h f x y t hf x y O h h y hf x y f x y f x y f x y O h y y x h y y hf x y x f x y x f x y x f x y x O h y x y +++-+-+=++++==++++为考虑局部截断误差，设上式有比较与31111 ()()n n n R y x y O h t +++=-=两式，知其局部误差为故对任意参数，公式是二阶的。

(完整word版)数值分析作业-三次样条插值..0001

数值计算方法作业实验4.3三次样条差值函数实验目的：掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数：求和的近似值实验内容:(1) 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件；(2) 计算各插值节点的弯矩值；(3) 在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线比较插值结果。

实验4.5三次样条差值函数的收敛性实验目的：多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。

对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。

实验内容：按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

实验要求：(1)随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；(2)三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。

作为工业应用的例子，考虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一段数据X k 0 1 23 4 5678910y k 0.00.79 1.532.19 2.713.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29y k0.80.2算法描述:拉格朗日插值：错误！未找到引用源。

n(x _ X ) 其中错误！未找到引用源。

是拉格朗日基函数，其表达式为：h(x)」j=0 (x i- X j )牛顿插值：N n (x) =f (X g ) f[X o ,X i ](X -xO) f[X o ,X i ,X 2〕(X - xO)(x - X i ) •…f[X g ,X i ...X n ] =(f[X i ,X 2,...X n ] - f [ X 。

，为，..人」)/(X . - X g )三样条插值:所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a<X0<X1……<Xn<b)分成的每个小区间［x i-i ,x i ］上是三次多项式，其在此区间上的表达式如下：f[X °,X i ,X 2,...X n ](X -X °)(X -X i )...(X-Xn J )f [X i , X j ]f (X i ) - f (X j ) X i -X jf [X i , X j ,X k]=其中*.f[X j ,X k ] - f[K ,X j ]X k -X iS(x)二 M 3(X i -x) 6h i.Mi (x —Xy )3 . [ y i - y i4 h i (M i - My)6h i h i 6 h ih i M i 4 h i M iy i- 6)( 6*,皿"]因此，只要确定了 Mi 的值，就确定了整个表达式,Mi 的计算方法如下:i 4式中 Mi= S (X i ).则Mi 满足如下n-1个方程:7 M i 」■ 2M i …冷 M i i = di , i =1,2,...n —'1 常用的边界条件有如下几类：(1)给定区间两端点的斜率 m o ,m n ,即s(x 0) = y 0 =m 0,S(x n ) = y n = m n(2) 给定区间两端点的二阶导数 MO ,Mn,即S (XcH y 。

数值分析第三课本习题及答案

第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 以下各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求以下各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),假设0 1.41y ≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用以下等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.假设开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?假设改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,假设函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,假设用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 假设2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 假设1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有以下性质: i)假设()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 假设()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 假设[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 假设()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最正确一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最正确一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-到达极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最正确一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最正确一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最正确逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最正确逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最正确逼近多项式为()n L x ,假设nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最正确逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使以下积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最正确平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最正确平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最正确平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与以下数据拟合,并求均方误差.27.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改良FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改良FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定以下求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h--≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f xf x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算以下积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1x e dx-⎰并计算误差.5. 推导以下三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7.用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用以下方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改良的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

清华大学高等数值分析_第三次作业答案

高等数值分析第三章作业参考答案1.考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.用Galerkin原理求解方程K=L=Span(v),这里v是一个固定的向量.e0=x∗−x0,e1=x∗−x1证明(e1,Ae1)=(e0,Ae0)−(r,v)2/(Av,v),(∗)其中r=b−Ax0.v应当取哪个向量在某种意义上是最佳的?证明.令x1=x0+αv,那么r1=r−αAv,e1=e0−αv.由Galerkin原理,有(r1,v)=0,因此α=(r,v)/(Av,v).注意到r1=Ae1,r=Ae,有(Ae1,v)=0.于是(e1,Ae1)=(e0−αv,Ae1)=(e0,Ae1)=(e0,Ae0)−α(e0,Av)=(e0,Ae0)−α(r,v)即(∗)式成立.由(∗)式知当v=e0时, e1 A=0最小,即近似解与精确解的误差在A范数意义下最小,算法一步收敛(但是实际中这个v不能精确找到);在最速下降意义下v=r时最佳.2.求证：考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.取K=L=Span(r,Ar).用Galerkin方法求解,其中r是上一步的残余向量.(a)用r和满足(r,Ap)=0的p向量构成K中的一组基.给出计算p的公式.解.设p=r+αAr,(r,Ap)=0等价于(Ar,p)=0.解得α=−(Ar,r)/(Ar,Ar).(b)写出从x0到x1的计算公式.解.设x1=x0+β1r+β2p,那么r1=r−β1Ar−β2Ap,再由Galerkin原理,有(r1,r)=(r1,p)=0,解得β1=(r,r)/(Ar,r),β2=(r,p)/(Ap,p).(c)该算法收敛吗?解.该算法可描述为：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=0,1,2,...直到 r k <εαk=−(r k,Ar k) (Ar k,Ar k);p k=r k+αAr k;βk=(r k,r k) (Ar k,r k);γk=(r k,p k) (Ap k,p k);r k+1=r k−βk Ar k−γk Ap k;x k+1=x k+βk r k+γk p k.此算法本质上是由CG迭代一步就重启得到的,所以是收敛的,下面给出证法.设用此算法得到的x k+1=x k+¯p1(A)r k,那么e k+1 A=minp1∈P1e k+p1(A)r k A≤ e k+¯p1(A)r k A= e k−¯p1(A)Ae k A≤max1≤i≤n|˜p(λi)| e k A其中0<λ1≤...≤λn为A的特征值,˜p(t)=1−t¯p1(t)是过(0,1)点的二次多项式.当˜p满足˜p(λ1)=˜p(λn)=−˜p(λ1+λn2)时可使max1≤i≤n|˜p(λi)|达到最小.经计算可得min ˜p max1≤i≤n|˜p(λi)|≤(λ1−λn)2(λ1−λn)2+8λ1λn<1故若令κ=λ1/λn,则e k+1 A≤(κ−1)2κ2+6κ+1e k A,方法收敛.3.考虑方程组D1−F−E−D2x1x2=b1b2,其中D1,D2是m×m的非奇异矩阵.取L1=K1=Span{e1,e2,···,e m},L2= K2=Span{e m+1,e m+2,···,e n}.依次用(L1,K1),(L2,K2)按讲义46和47页公式Az∗=r0r0−Az m⊥LW T AV y m=W T r0x m=x0+V(W T AV)−1W T r0各进行一步计算.写出一个程序不断按这个方法计算下去,并验证算法收敛性.用L i=AK i重复上述各步骤.解.对任意给定x0=x(0)1x(0)2,令r=b−Ax0,V1=[e1,e2,...,e m],V2=[e m,e m+1,...,e n].对L i=K i情形,依次用(L1,K1),(L2,K2)各进行一步计算：(L1,K1)(L2,K2)z(1) 1=V1y1z(2)1=V2y2r0−Az(1)1⊥L1r0−Az(2)1⊥L2(V T1AV1)y1=V T1r0,D1y1=V T1r0(V T2AV2)y2=V T2r0,−D2y2=V T2r0x(1)1=x(1)+V1D−11V T1r0x(2)1=x(2)−V2D−12V T2r0得如下算法：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=1,2,...直到 r k <ε求解D1y1=r k−1(1:m);求解−D2y2=r k−1(m+1:n);x k=x k−1+V1y1+V2y2;r k=r k−1−AV1y1−AV2y2.收敛性:r k=r k−1−AD−11−D−12rk−1=0−F D−12ED−11rk−1Br k−1算法收敛⇔ρ(B)<1⇔ρ(ED−11F D−12)<1.对L i=AK i情形,依次用(L1,K1),(L2,K2)各进行一步计算:(L1,K1)(L2,K2)z(1) 1=V1y1∈K1z(2)1=V2y2∈K2r0−Az(1)1⊥L1=AK1r0−Az(2)1⊥L2=AK2(V T1A T AV1)y1=V T1A T r0(V T2A T AV2)y2=V T2A T r0(D T1D1+E T E)y1=V T1A T r0(D T2D2+F T F)y2=V T2A T r0x(1) 1=x(1)+(D T1D1+E T E)−1V T1A T r0x(2)1=x(2)+(D T2D2+F T F)−1V T2A T r0得如下算法：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=1,2,...直到 r k <ε求解(D T1D1+E T E)y1=(A T r k−1)(1:m);求解(D T2D2+F T F)y2=(A T r k−1)(m+1:n);x k=x k−1+V1y1+V2y2;r k=r k−1−AV1y1−AV2y2.收敛性:r k=r k−1−A(D T1D1+E T E)−1(D T2D2+F T F)−1A T rk−1(I−B)r k−1算法收敛⇔ρ(I−B)<1⇔0<λ(B)<2.4.令A=3−2−13−2...............−2−13,b=1...2用Galerkin原理求解Ax=b.取x0=0,V m=W m=(e1,e2,···,e m).对不同的m,观察 b−Ax m 和 x m−x∗ 的变化,其中x∗为方程的精确解.解.对于 b−Ax m 和 x m−x∗ ,都是前n−1步下降趋势微乎其微,到第n步突然收敛。

北航数值分析大作业3

数值分析第三次作业1. 设计方案对Fredholm 积分方程，用迭代法进行求解：()'(())u x A u x =，其中11(())()(,)()A u x g x K x y u y dy -=-⋅⎰对于公式中的积分部分用数值积分方法。

复化梯形积分法，取2601个节点，取迭代次数上限为50次。

实际计算迭代次数为18次，最后算得误差为r= 0.97E-10。

复化Simpson 积分法，取迭代次数上限为50次，取2*41+1，即83个节点时能满足精度要求。

实际计算迭代次数为17次，最后的误差为 r= 0.97E-10。

Guass 积分法选择的Gauss —Legendre 法，取迭代次数上限为50次，直接选择8个节点，满足精度要求。

实际计算迭代次数为24次，最后算得误差为r= 0.87E-10。

2. 全部源程序 module integral implicit none contains!//////////复化梯形 subroutine trapezoid(m) implicit none integer :: i,j,k,mreal*8 :: x(m+1),u(m+1) real*8 :: sum,sum1,g,r,h real*8 :: e=1.0e-10h=2./m do i=1,m+1x(i)=-1.+(i-1)*h end dou=0.02 do k=1,50 do i=1,m+1 sum1=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.) do j=2,m sum1=sum1+dexp(x(i)*x(j))*u(j) end do sum=h/2.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(m+1)+2*sum1) u(i)=g-sum end dor=h/2.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(m+1)*4)-u(m+1))**2) do i=2,mr=r+h*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(1,file="trapezoid.txt")do i=1,m+1write(1,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(1,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(1)returnend subroutine trapezoid!///////////复化simpsonsubroutine simpson(m)implicit noneinteger :: i,j,k,mreal*8 :: x(2*m+1),u(2*m+1)real*8 :: sum,sum1,sum2,g,r,hreal*8 :: e=1.0e-10h=2./(2.*m)do i=1,2*m+1x(i)=-1.+(i-1)*hend dou=0.02do k=1,50do i=1,2*m+1sum1=0.sum2=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum1=sum1+dexp(x(i)*x(2*j))*u(2*j)end dodo j=1,m-1sum2=sum2+dexp(x(i)*x(2*j+1))*u(2*j+1)sum=h/3.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(2*m+1)+4*sum1+2*sum2) u(i)=g-sumend dor=h/3.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(2*m+1)*4)-u(2*m+1))**2)do i=1,mr=r+4.*h/3.*(dexp(x(2*i)*4)-u(2*i))**2end dodo i=1,m-1r=r+2.*h/3.*(dexp(x(2*i+1)*4)-u(2*i+1))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(2,file="simpson.txt")do i=1,2*m+1write(2,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(2,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(2)returnend subroutine simpson!///////////Gauss_Legendre法subroutine Gaussimplicit noneinteger,parameter :: m=8integer :: i,j,kreal*8 :: x(m),u(m),a(m)real*8 :: sum,g,rreal*8 :: e=1.0e-10data x /-0.9602898565,-0.7966664774,-0.5255324099,-0.1834346425,&0.1834346425,0.5255324099,0.7966664774,0.9602898565/data a /0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834,&0.3626837834,0.3137066459,0.2223810345,0.1012285363/u=0.02do k=1,50do i=1,mg=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum=sum+dexp(x(i)*x(j))*u(j)*a(j)end dou(i)=g-sumend dor=0.do i=1,mr=r+a(i)*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(3,file="Gauss.txt")do i=1,mwrite(3,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(3,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(3)returnend subroutine Gaussend module!//////////主程序program mainuse integralimplicit noneinteger :: code1=2600integer :: code2=41call trapezoid(code1)call simpson(code2)call Gaussend program3.各种积分方法的节点和数值解（由于数据太多，在打印时用了较计算时少的有效数字）复化Simpson法4.各方法所得曲线（由于所取节点太多，且精度高，所以图中很难看出各曲线的区别。

数值分析课第三作业课后答案answer

第七章方程求根 1. 用二分法求方程 x2 − x − 1 的正根，要求误差 < 0.05。答案：1.609375。
2. 为求方程 x3 − x2 − 1 在 x0 = 1.5 附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
（1）x = 1 + 1/x2，迭代公式 xk+1 =√1 + 1/x2k；
4x1 − x2 = 1;
−x1
+ 4x2 − x3 −x2 + 4x3
= 4; = −3.
精确解
x∗
=
(
1 2
,
1,
−
1 2
)。要求当
∥x∗
−
x(k)∥∞
<
5
×
10−6
时迭代终止。并
且对每一个 ω 值确定迭代次数。
答案：ω = 1.03 时迭代 5 次达到精度要求，
1
x(5) = (0.5000043, 1.000001, −0.4999999)T ； ω = 1 时迭代 6 次达到精度要求， x(6) = (0.5000038, 1.000002, −0.4999995)T ； ω = 1.1 时迭代 6 次达到精度要求， x(6) = (0.5000035, 0.9999989, −0.5000003)T 。
4. 用下列方法求 f (x) = x3 − 3x − 1 = 0 在 x0 = 2 附近的根，根的准确值 x∗ = 1.87938524 · · · ，要求计算结果准确到四位有效数字。
（1）用牛顿法；
（2）用弦截法，取 x0 = 2，x1 = 1.9；
（3）用抛物线法，取 x0 = 1，x1 = 3，x2 = 2；

清华大学高等数值分析(李津)所有作业答案合集

20130917题目求证：在矩阵的LU 分解中，111n n Tn ij i j j i j L I e e α-==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑证明：在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。

对矩阵A 进行LU 分解，()()()()()1111111L M n M M M n ---=-=∙∙-………… ，其中()1n Tn ij i j i j M j I e e α=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。

()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n Tn ij i j i j I e e α=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑。

故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∑上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次向下乘法叠加的初等变换。

由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故11nn Tn ij i j j i j L I e e α==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑。

数学证明：1nTi j i ji j ee α=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑具有,000n j jA -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和1,1000n j n j B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭ 的形式，且有+1,-11,10000=000n j j n j n j AB --+-+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而11n n T ij i j j k i j e e α-==+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑具有1,1000n k n k B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭的形式，因此：1311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T Tk n ik i kk k i k e I e e α--===+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑#20130924题目一问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上三角矩阵，为什么？解：不能用逐次householder 相似变换变A 为上三角矩阵，原因如下：A 记作：()12=,,n A a a a ……，，存在householder 阵1H s.t. 1111H a e α= ，则()()()111111111111111111111,,,0T Th H AH H a A H e H A H e H A H h H A H ααα⎛⎫'''=== ⎪⎪'⎝⎭⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭11H A H ''第一列的元素不能保证为1e 的倍数，故无法通过householder 变换实现上三角化。

数值分析第三章作业

i 1
5
1
1
5
2
5
4
xi i
5 1
7277699
( 0 , 1) ( 0 , y ) (1 , y )
得
xi i
5
2
5327
i 1
5
yi
2 1
271 .4
xi i
y i 369321 .5
5a 5327b 271 .4 5327a 727699 b 369321 .5
1 2
18.在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：时间 t/s 浓度 y/(x10 -4 ) 0 0 5 10 15 20
1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求 y f(t )
b
解：将给定数据点画出草图，可见曲线近似指数函数，故设 y ae t ，两边取对数得
1
2
0.06232136
i
( 0 ,1 ) ( 0 ,1 )
11
1
i
0.6039755
i t i
1 11
( 0 ,y )
i 1
y i 13.639649 ，(1 ,y )
y
0.5303303
i
从而解得法方程为
11A 0.60397556 b 13.639649 0.6039755 A 0.062321366 b 0.5303303
xi yi
19
25
31
38
44
19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式，并计算均方误差. 解：由题意 span 1, x 2 ,0(x ) 1,1(x ) x 2 ，

北航数值分析第三次大作业

{ if(temp<fabs(dx[l])) temp=fabs(dx[l]);
} fx=temp;
temp=0; for(l=0;l<=3;l++)
{ if(temp<fabs(X[l])) temp=fabs(X[l]);
} fX=temp;
if(fabs(fx/fX)<Epsilon1)
{ t[i][j]=X[0]; u[i][j]=X[1];
A = (BT B)−1 BTU ， DT = G(GTG)−1
对上面两式进行变形，得到如下两个线性方程组：
(BT B)A = BTU ， (GTG)D = GT
通过解上述两个线性方程组，则有： C = ADT
kk
3）对于每一个 (xi , y j ) ， p*(xi , y j ) =
Crs (xi )r ( y j )s 。
xi yj
−h 2
− 2

x xi y y
+ h, 2
j
+
2
2i ,2
j
n
−2 m−
2
则选择 (xk , yr )(k = i −1,i,i +1;r = j −1, j, j +1) 为插值节点。 2）计算
lk
(x)
=
i +1 t =i−1
x − xt xk − xt
/*高斯选主元消去法求解Δx*/ for(k=0;k<3;k++)
{ ik=k; for(l=k;l<=3;l++) {if(dF[ik][k]<dF[l][k]) ik=l; } /*选主元*/

数值分析_第三次上机

4.求f(x)=sin x 在[0,π/2]上的最佳一次逼近多项式。

解：设P 1(x)=a 0+a 1x 是f(x) 的最佳一次逼近多项式，则P 1(x)在[0,π/2]上有三个交错点，满足0<=x 1<x 2<x 3<=π/2。

由于 [f(x)- P 1(x)]’’=(cos x-a 1)’= -sin x 在[0,π/2]上小于0，定号，故(cos x-a 1)’在[0,π/2]上单调递减，且仅有一个驻点。

故f(x)- P 1(x)在[0,π/2]上只有一个偏差点x 2，满足[f(x)- P 1(x)]’|x=x2 =cos x 2-a 1=0 (1)。

另外两个偏差点x 1=0 ，x 3=π/2 .于是sin 0-a 0 =sin π/2-a 0-π/2a 1 (2)， sin x 2 –a 0-a 1x 2= -( sin 0-a 0) (3) 由（1）（2）（3）式得：a 1=2/π x 2=arccos 2/π=0.88 a 0=-1.18 所以P 1= -1.18+2/π x 。

6.求f(x)=2x 4+3x 3-x 2+1在[-1,1]上的三次最佳一致逼近多项式。

解：设f(x)的三次最佳一致逼近多项式为P 3(x)，由切比雪夫多项式的极性可得 1/2[f(x)- P 3(x)]=1/8T 4(x)=1/8(8x 4-8x 2+1)所以P 3(x)=f(x)-1/4(8x 4-8x 2+1)= 2x 4+3x 3-x 2+1-2x 4+2x 2-1/4 =3x 3+x 2+3/49.求函数f(x)在指定区间上关于Φ(x)=span{1,x}的最佳平方逼近多项式。

(3)f(x)=cosπx, x ∈[0,1]；(4)f(x)=ln x, x ∈[1,2].解：(3)在[0,1]上，经计算得 d 0= ⎰1)(f dx x =0 ，d 1=⎰1)(x dx x f = -2/π2得到法方程组为a 0+1/2a 1=0 ，1/2a 0+1/3a 1= -2/π2 由上面两式解得 a 0=12/π2 ，a 1= -24/π2所以f(x)=cosπx 在[0,1]上的最佳平方逼近多项式为 S 1*=12/π2 -24/π2 x 。

三次样条插值法《数值分析》上机实验作业

昆明理工大学研究生《数值分析》上机实验作业姓名：学号：专业：一、课题名称课题七三次样条插值法1、问题提出设已知数据如下：求f(x)的三次样条插值函数S(x)。

2、要求（1）满足自然边界条件0)0.1()2.0(=''=''s s ；（2）满足第一类边界条件20271.0)2.0(='s ，55741.1)0.1(='s 。

（3）打印输出用追赶法解出的弯曲向量(0M ,1M ,2M ,3M ,4M )和)1.02.0(i S + （i=0,1,2,3,4,5,6,7,8）的值。

并画出)(x S y =的图形。

二、班级、姓名、学号三、目的和意义由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，而且具有较好的稳定性。

今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越广泛地应用。

其中，尤以三次样条插值函数应用最为广泛，如在高速飞机的机翼形体和船体放样等方面的应用，同时在计算机作图方面更是大有作为。

它能够解决一些既有二阶光滑度，又有二阶连续导数的方程，具有良好的收敛性和稳定性。

1. 通过本次实验进一步了解三次样条插值函数，并通过求解三弯矩方程组得出曲线函数组；2. 通过MATLAB 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件，同时用追赶法解出弯曲向量和)1.02.0(i S + （i=0,1,2,3,4,5,6,7,8）的值。

四、计算公式首先我们利用)(x S 的二阶导数值),,2,1,0()(j n j M x S j ==''表达)(x S ,因为在区间]x ,[x 1j j +上)()(j x S x S =是不高于三次的多项式，其二阶导数)(x S ''必是线性函数，所以可表示为：]x ,[x x ,h x x M h x x M (x)S 1j j jj1j j1j j+++∈-+-=''对)(x S ''积分两次并利用1j 1j j j y )(x S ,y )(x S ++==，可定出积分常数，于是得三次样条表达式。