2017广州二模理科数学试题

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2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科试题及参考答案

2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科试题及参考答案

2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11A x x =-<,110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭,则A B =∩( ) A .{}12x x ≤< B .{}02x x << C .{}01x x <≤ D .{}01x x <<2.若复数z 满足()34i i 2i z -+=+,则复数z 所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.执行如图所示的程序框图,则输出的S 值为( ) A .4 B .3 C .2- D .3-4.从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为( ) A .15 B .25 C .12 D .355.函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是( )A .B .C .D .6.已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin θ=( ) A .79 B .19 C .19- D .79- 7.已知点()4,4A 在抛物线22y px =(()0p >)上,该抛物线的焦点为F ,过点A 作该抛物线准线的垂线,垂足为E ,则EAF ∠的平分线所在的直线方程为( ) A .2120x y +-= B .2120x y +-= C .240x y --= D .240x y -+=8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱11A D 的中点,过1C ,B ,M 作正方体的截面,则这个截面的面积为( ) A .352 B .358 C .92 D .989.已知R k ∈,点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点,则ab 的最大值为( ) A .15 B .9 C .1 D .53- 10.已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点,则ω的取值范围为( ) A .1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B .913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .[)4,6ππ 11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为( )A .83 B .163 C .323D .16 12.定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数,若m ,n 满足()22f m m -+()220f n n -≥,则当1n ≤32≤时,mn的取值范围为( ) A .2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B .31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知点()00O ,,()1,3A -,()24B -,,2OP OA mAB =+,若点P 在y 轴上,则实数m = . 14.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,传本的《孙子算经》共三卷,其中下卷“物不知数”中有如下问题:“今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?”其意思为:“现有一堆物品,不知它的数目.3个3个数,剩2个;5个5个数,剩3个;7个7个数,剩2个.问这堆物品共有多少个?”试计算这堆物品至少有 个. 15.设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++,则08a a += .16.在平面四边形ABCD 中,连接对角线BD ,已知9CD =,16BD =,90BDC ∠=︒,4sin 5A =,则对角线AC 的最大值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设等比数列{}n a 的前n 项和n S ,已知1238a a a =,(2133n S a a =++)521n a a -+(*N n ∈).(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设n n b nS =,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图,ABCD 是边长为a 的菱形,60BAD ∠=︒,EB ⊥平面ABCD ,FD ⊥平面ABCD ,23EB FD a ==.(Ⅰ)求证:EF AC ⊥;(Ⅱ)求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19.某商场拟对某商品进行促销,现有两种方案供选择,每种促销方案都需分两个月实施,且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据,若实施方案1,预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4,第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5;若实施方案2,预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3,第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数. (Ⅰ)求1ξ,2ξ的分布列;(Ⅱ)不管实施哪种方案,i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表,试比较哪种方案第二个月的利润更大.20.已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设动点M ,N 在椭圆C 上,且433MN =,记直线MN 在y 轴上的截距为m ,求m 的最大值. 21.已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. (Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦,满足()1e 4f x ≤+,求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的普通方程为20x y --=,曲线C 的参数方程为23cos ,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点. (Ⅰ)求线段AB 的长;(Ⅱ)已知点P 在曲线C 上运动,当PAB 的面积最大时,求点P 的坐标及PAB 的最大面积. 23.选修4-5:不等式选讲(Ⅰ)已知1a b c ++=,证明:()()2211a b ++++()21613c +≥; (Ⅱ)若对任意实数x ,不等式x a -+212x -≥恒成立,求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12:BD二、填空题13.2314.23 15.2590- 16.27 三、解答题17.解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列,所以2132a a a =. 因为1238a a a =,所以328a =,解得22a =.因为()2135213n n S a a a a -=++++,所以213S a =,即1213a a a +=. 因为22a =,所以11a =. 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==, 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.(Ⅱ)因为等比数列{}n a 的首项为11a =,公比2q =, 所以()111n n a q S q-==-122112nn -=--. 因为n n b nS =,所以()21n n b n =-=2nn n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯. 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯.所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=()1122n n +-+.因为123+++()12n n n ++=,所以()112n n T n +=-()122n n ++-.所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-. 18.解:(Ⅰ)证明:连接BD , 因为ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥.因为FD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , 所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩,所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ,FD ⊥平面ABCD ,所以EB FD ∥. 所以B ,D ,F ,E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ,所以EF AC ⊥.(Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,分别以DC ,DF 的方向为y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得31,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,31,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,30,0,2F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,()0,,0C a ,31,,322E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以()0,,0AB a =,313,,222AF a a a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =,则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,3130222ay ax ay az =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨取1x =,则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =.因为31,,322CE a a a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭,所以cos,n CEn CEn CE⋅==368.所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为368.19.解:(Ⅰ)依题意,1ξ的所有取值为1.68,1.92,2.1,2.4,因为()11.68Pξ==0.60.50.30⨯=,()11.92Pξ==0.60.50.30⨯=,()12.1Pξ==0.40.50.20⨯=,()12.4Pξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意,2ξ的所有取值为1.68,1.8,2.24,2.4,因为()21.68Pξ==0.70.60.42⨯=,()21.8Pξ==0.30.60.18⨯=,()22.24Pξ==0.70.40.28⨯=,()22.4Pξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为(Ⅱ)令iQ表示方案i所带来的利润,则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5,2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >,所以实施方案1,第二个月的利润更大.20.解:(Ⅰ)双曲线2215x y -=的焦点坐标为()6,0±,离心率为305.因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,所以6a =,且22306a b a -=,解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=. (Ⅱ)因为4323MN =>,所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m-=()22160k m +->,所以221+6m k <.设()11,M x y ,()22,N x y ,根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+,()21226116m x x k -=+.则2121MN kx x =+-()22121214k x x x x =++-()222222411211616m km k k k -⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭. 因为433MN =,即()222222411211616m km k k k -⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭433=. 整理得()42221839791k k m k -++=+.令211k t +=≥,则21k t =-.所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=.等号成立的条件是53t =,此时223k =,253m =满足2216m k <+,符合题意. 故m 的最大值为153. 21.解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪. 因为()ln x f x ax b x =-+,所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--,即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+,比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .(Ⅱ)由()1e 4f x ≤+,即e ln x ax x -+1e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦, 则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x-=()()22ln 2ln 24ln x x x x x x +-.令()ln 2p x x x =-,所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时,有()11p x x x'=-10x x -=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p <ln e 2e 0=-<.所以()0h x '<,即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e =-.所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22.解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为221124x y +=.将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得,230x x -=.解得0x =或3x =.所以点()0,2A -,()3,1B , 所以()()223012AB =-++=32.(Ⅱ)在曲线C 上求一点P ,使PAB 的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得,()2246340x bx b ++-=.令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=,解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=,解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时,PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为2231211d ---=+32=.PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=.23.解:(Ⅰ)证明:因为1a b c ++=,所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥,即证明22213a b c ++≥.因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++,所以()2223a b c ++()2a b c ≥++.因为1a b c ++=,所以22213a b c ++≥.所以()()2211a b ++++()21613c +≥.(Ⅱ)设()f x =21x a x -+-,则“对任意实数x ,不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时,()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-, 要使212x a x -+-≥恒成立,必须122a -≥,解得32a ≤-. 当12a =时,1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时,()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-, 要使212x a x -+-≥恒成立,必须122a -≥,解得52a ≥.综上可知,实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。

2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案

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试卷类型:A 2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)4 本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足 i 2z =,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为A .2-B .2C .2-iD .2i2.若函数()y f x =是函数3x y =的反函数,则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A .2log 3-B .3log 2-C .19D 3.命题“对任意x ∈R ,都有32x x >”的否定是A .存在0x ∈R ,使得3200x x >B .不存在0x ∈R ,使得3200x x >C .存在0x ∈R ,使得3200x x ≤ D .对任意x ∈R ,都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =,则函数()y g x =A .是奇函数B .是偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数,也不是偶函数5.有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是A .16B .13C .12D .38图1俯视图侧视图正视图6.设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线段1PF的中点在y 轴上,若1230PF F ︒∠=,则椭圆C A .16 B .13C7.一个几何体的三视图如图1,则该几何体 的体积为A .6π4+B .12π4+C .6π12+D .12π12+ 8.将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行排列,记ij a 表示第i 行第j 列的数,若2014ij a =,则i j +的值为A .257 B .256C .254D .253表1 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.不等式2210x x --<的解集为 .10.已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为 .11.已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形,若2,2DE EC CF FB == ,则AE AF ⋅的值为 .12.设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8,则ab 的最大值为 .13.已知[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦,当[)0,(x n n ∈∈N *)时,函数()f x 的值域为集合A ,则A 中的元素个数为 .(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切,切点在第一象限,则实数a 的值为 .DCBA15.(几何证明选讲选做题)在平行四边形ABCD 中,点E 在线段AB 上,且12AE EB =,连接,DE AC ,AC 与DE 相交于点F ,若△AEF 的面积为1 cm 2,则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)如图2,在△ABC 中,D 是边AC 的中点, 且1AB AD ==,3BD =. (1) 求cos A 的值; (2)求sin C 的值.图217.(本小题满分12分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为(]5,15,(]15,25,(]25,35,(]35,45,由此得到样本的重量频率分布直方图,如图3. (1)求a 的值;(2)根据样本数据,试估计盒子中小球重量的平均值;CBa 图3重量/克0.0320.02452515O (注:设样本数据第i 组的频率为i p ,第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ,则样本数据的平均值为112233X x p x p x p =+++ (3)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在的小球个数为ξ,求ξ18.(本小题满分14分)如图4,在五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,EF ∥平面ABCD ,1EF =,,90FB FC BFC ︒=∠=,AE =(1)求证:AB ⊥平面BCF ;(2)求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10a =,对任意n ∈N *,都有()11n n na S n n +=++.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.(本小题满分14分)已知定点()0,1F 和直线:1l y =-,过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ,记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ,且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点,直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.(1)求,a b 的值;(2)当1x >时,()0kf x x+<恒成立,求实数k 的取值范围;(3)证明:当n ∈N *,且2n ≥时,22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.9.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10.8 11.2a 12.4 13.222n n -+141 15.3三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(1)解:在△ABD 中,1AB AD ==,BD =, ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分(2)解:由(1)知,1cos 3A =,且0A <<π,∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点,∴22AC AD ==. 在△ABC中,222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯,………8分解得BC =……………10分 由正弦定理得,sin sin BC ABA C=, ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17.(本小题满分12分) (1)解:由题意,得()0.020.0320.018101x +++⨯=, ……………1分解得0.03x =. ……………2分(2)解:50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=(克). ……………3分由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分(3)解:利用样本估计总体,该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2,则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3,……………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3331135125P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ……………10分 为:∴ξ的分布列……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分(或者13355E ξ=⨯=) 18.(本小题满分14分)(1)证明:取AB的中点M,连接EM,则1==,AM MB∵EF∥平面ABCD,EF⊂平面ABFE,平面ABCD 平面=,ABFE AB∴EF∥AB,即EF∥MB. ……………1分∵EF=MB1=∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分∴EM∥FB,EM FB=.在Rt△BFC中,2224=,得FB=+==,又FB FCFB FC BC∴EM=……………3分在△AME中,AE=1AM=,EM=∴222+==,3AM EM AE∴⊥. AM EM……………4分∴AM FB⊥.⊥,即AB FB∵四边形ABCD是正方形,∴⊥. AB BCMO HFEDCB……………5分∵FB BC B = ,FB ⊂平面BCF ,BC ⊂平面BCF , ∴AB ⊥平面BCF . ……………6分(2)证法1:连接AC ,AC 与BD 相交于点O ,则点O 是AC 的中点, 取BC 的中点H ,连接,OH EO ,FH , 则OH ∥AB ,112OH AB ==.由(1)知EF ∥AB ,且12EF AB =,∴EF ∥OH ,且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO∥FH,且1EO FH == .……………7分由(1)知AB ⊥平面BCF ,又FH ⊂平面BCF , ∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥,,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴FH ⊥平面ABCD . (9)分∴EO ⊥平面ABCD .∵AO⊂平面ABCD,∴EO⊥AO. ……………10分∵AO BD⊥,,EO BD O EO=⊂平面EBD,BD⊂平面EBD,∴AO⊥平面EBD. (11)分∴AEO∠是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分在Rt△AOE中,tanAOAEOEO∠==……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为……………14分证法2:连接AC,AC与BD相交于点O取BC的中点H,连接,OH EO,则OH∥AB,112OH AB==.由(1)知EF∥AB,且12EF AB=∴EF∥OH,且EF OH=.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH,且1EO FH==. ……………7分由(1)知AB ⊥平面BCF ,又FH ⊂平面BCF , ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥,,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴FH ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . (8)分以H 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,OH 所在直线为y 轴,HF 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系H xyz -,则()1,2,0A -,()1,0,0B ,()1,2,0D --,()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-,()2,2,0BD =--,()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ,由n 0BD ⋅= ,n 0BE ⋅=,得220x y --=,0x y z --+=,得0,z x y ==-. 令1x =,则平面BDE的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ, 则sin θ=cos , n AE ⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos 3θ==,sintan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE 所成角的正切值为……………14分19.(本小题满分14分)(1)解法1:当2n ≥时,()11n n na S n n +=++,()()111n n n a S n n --=+-,……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--, ……………3分即()112n n n na n a a n+--=+,得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时,21112a S ⨯=+⨯,即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项,公差为2的等差数列. ∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2:由()11n n na S n n +=++,得()()11n n n n S S S n n +-=++, ……………1分整理得,()()111n n nS n S n n +=+++, ……………2分两边同除以()1n n +得,111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项,公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时,()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式, ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分(2)解法1:∵22log log n n a n b +=, ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ,①()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ,② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2:∵22log log n n a n b +=, ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ . 由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- , ……………11分 两边对x取导数得,12123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =,得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20.(本小题满分14分)(1)解法1:由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分解法2:设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+, 即1y =+, ……………1分化简得24x y =. ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,依题意得,2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=,解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--, 故直线AB的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-,得1822x x =-+, ∴点S的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -,则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令x =,得()214y +=,解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2:由(1)得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-,点B 的坐标为()11,x y ,由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ,得2114840x k x k -+-=, 即()()12420x x k --+=,解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-,22111114414y x k k ==-+. ∴点B的坐标为()211142,441kk k --+. ……………5分同理,设直线AC 的方程为()212y k x -=-,则点T 的坐标为222,1k⎛⎫-- ⎪⎝⎭,点C 的坐标为()222242,441kk k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上,∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+,得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--, 化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点,则0SP TP ⋅=, ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ……………10分 整理得,()224410x x y k+-++=. ……………11分 令x =,得()214y +=,解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21.(本小题满分14分)(1)解:∵()ln f x a x bx =+, ∴()a f x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12,且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭, ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分(2)解法1:由(1)得()ln 2xf x x =-.当1x >时,()0k f x x +<恒成立,即ln 02x kx x-+<,等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x=-,则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--,则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时,()0h x '>,函数()h x 在()1,+∞上单调递增,故()()10h x h >=.……………6分从而,当1x >时,()0g x '>,即函数()g x 在()1,+∞上单调递增, 故()()112g x g >=. ……………7分因此,当1x >时,2ln 2x k x x <-恒成立,则12k ≤. ……………8分 ∴所求k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 解法2:由(1)得()ln 2xf x x =-.当1x >时,()0k f x x +<恒成立,即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x k g x x x =-+,则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=(﹡)的判别式48k ∆=-.(ⅰ)当0∆<,即12k >时,则1x >时,2220x x k -+>,得()0g x '<, 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>,则当()1,2x ∈时,()0g x >,即ln 02x k x x-+>,与题设矛盾. …………5分(ⅱ)当0∆=,即12k =时,则1x >时,()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减,则()()10g x g <=,符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>,即12k <时,方程(﹡)的两根为1211,11x x =<=>,则()21,x x ∈时,()0g x '>,()2,x x ∈+∞时,()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增,在()2,x +∞上单调递减, 从而,函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+, 由(ⅱ)知,当1x >时,1ln 022xx x-+<, 得2221ln 022x x x -+<,从而()20g x <. 故当1x >时,()()20g x g x ≤<,符合题意. ……………8分 综上所述,k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分(3)证明:由(2)得,当1x >时,1ln 022x x x -+<,可化为21ln 2x x x -<, …10分又ln 0x x >, 从而,21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式,并相加得,11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。

【广东省广州市】2017届高三12月模拟考试理科数学试卷

【广东省广州市】2017届高三12月模拟考试理科数学试卷

广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷本试卷共4页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合{|||2}A x x =≤,2{|230}B x x x =--≤,则A B =I ( ) A .[2,3]-B .[1,2]-C .[2,1]-D .[1,2](2)设(1i)(i)2x y ++=,其中,x y 是实数,则|2i|x y +=( ) A .1BCD(3)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q =( ) A .1-B .1C .2-D .2(4)已知双曲线C :22221y x a b -=(0a >,0b >)的渐近线方程为12y x =±,则双曲线C 的离心率为( )ABCD(5)若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图像向左平移ϕ个单位,所得图像关于轴对称,则ϕ的最小正值是( )A .π8 B .π4 C .3π8 D .3π4(6)GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目,分A ,B ,C 三期播出,A 期播出两间学校,B 期,C 期各播出1间学校,现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务,不同的选法共有( ) A .140种B .420种C .840种D .1 680种(7)已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧⎪=⎨⎪⎩≥<()()g x f x =--,则函数()g x 的图像是( )A .B .C .D . (8)设0.40.7a =,0.70.4b =,0.40.4c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b a c <<B .a c b <<C .b c a <<D .c b a <<(9)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )yA .7B .9C (10)已知抛物线:C 28y x =的焦点为点,若3PF MF =uu u r uuu r,则||MN =( )A .212 B .323C (11A .25πB .254C .29π D .294(12)若函数()e (sin cos )x f x x a x =+在A .(,1]-∞ B .(,1)-∞ C本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本小题共4题,每小题5分.(13)已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒,则BD CD =u u u r u u u rg ________.(14)按照国家规定,某种大米质量(单位:kg )必须服从正态分布2(10,)N ξσ:,根据检测结果可知(9.910.1)0.96P ξ=≤≤,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有2000名职工,则分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工数大约为________.(15)已知x ,y 满足约束条件22022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≤,若z x ay =-(0a >)的最大值为4,则a =________.(16)在数列{}n a 中,12a =,28a =,对所有正整数n 均有21n n n a a a +++=,则20171n n a ==∑________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1a =,2cos 2C c b +=.M DE BA(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若12b =,求sin C . (18)(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X 依次为1,2,…,8,其中5X ≥为标准A ,3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B 生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲,乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示:且1X 的数学期望16EX =,求a ,b 的值;(Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数2X ,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数2X 的数学期望;(Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望产品的零售价;②“性价比”大的产品更具可购买性.(19)(本小题满分12分)如图,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,ABC △是等边三角形,2AC AE =,M 是AB 的中点.(Ⅰ)求证:CM EM ⊥,(Ⅱ)若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2,求二面角B CD E --的余弦值. (20)(本小题满分12分) 已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切,且与圆222:(2)1F x y -+=相内切,记圆心P 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于M ,N 两个不同的点,求QMN △面积的最大值. (21)(本小题满分12分)设函数()()ln f x mx n x =+,若曲线()y f x =在点(e,(e))P f 处的切线方程为2e y x =-(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)若a ,b +∈R ,试比较()()2f a f b +与()2a bf +的大小,并予以证明.请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为sin 1cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩(t 为参数,0πϕ<<),曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=.(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,当ϕ变化时,求||AB 的最小值. (23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知()|1|f x ax=-,不等式()3f x ≤的解集是{|12}x x -≤≤. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若()()||3f x f x k +-<存在实数解,求实数k 的取值范围.。

【广东省广州市】2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷-答案

【广东省广州市】2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷-答案

广东省广州市2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷答 案一、选择题 1~5.ABABA 6~10.CDCBC11~12.BD二、填空题 13.2314.23 15.2590- 16.27 三、解答题17.解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列,所以2132a a a =. 因为1238a a a =,所以328a =,解得22a =.因为2135213()n n S a a a a -=++++,所以213S a =,即1213a a a +=. 因为22a =,所以11a =.因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==,所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.(Ⅱ)因为等比数列{}n a 的首项为11a =,公比2q =,所以1(1)1n n a q S q -==-122112nn -=--.因为n n b nS =,所以(21)n n b n =-=2n n n -. 所以123n T b b b =+++1n n b b -++23(1222322)(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯. 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯.所以12342(22222)n n n P n +=⨯-+++++=1(1)22n n +-+.因为123+++(1)2n n n ++=, 所以1(1)2n n T n +=-(1)22n n ++-. 所以数列{b }n 的前n 项和1(1)2n n T n +=-(1)22n n ++-. 18.解:(Ⅰ)证明:连接BD ,因为ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥. 因为FD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , 所以AC FD ⊥. 因为BDFD D =,所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ,FD ⊥平面ABCD ,所以EB FD ∥. 所以B ,D ,F ,E 四点共面. 因为EF ⊂平面BDFE ,所以EF AC ⊥.(Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,分别以DC ,DF 的方向为y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得1,,0)2A a -,1,,0)2B a,)F ,(0,,0)C a,1,)2E a . 所以(0,,0)AB a =,1(,)2AF a =-. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =,则0,0,n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,102ay ay =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1x =,则平面ABF 的一个法向量为(1,0,1)n=. 因为31(,)2CE a =-, 所以|||cos ,|||||n CE n CE n CE <>==所以直线CE 与平面ABF19.解:(Ⅰ)依题意,1ξ的所有取值为1.68,1.92,2.1,2.4, 因为1( 1.68)0.60.50.30P ξ==⨯=,1( 1.92)0.60.50.30P ξ==⨯=,1( 2.1)0.40.50.20P ξ==⨯=,1( 2.4)0.40.50.20P ξ==⨯=.所以1ξ的分布列为依题意,2ξ的所有取值为1.68,1.8,2.24,2.4,因为2( 1.68)0.70.60.42P ξ==⨯=,2( 1.8)0.30.60.18P ξ==⨯=,2( 2.24)0.70.40.28P ξ==⨯=,2( 2.4)0.30.40.12P ξ==⨯=.所以2ξ的分布列为(Ⅱ)令i Q 表示方案i 所带来的利润,则所以1150.30200.50250.2019.5EQ =⨯+⨯+⨯=,2150.42200.46250.1218.5EQ =⨯+⨯+⨯=.因为12EQ EQ >,所以实施方案1,第二个月的利润更大.20.解:(Ⅰ)双曲线2215x y -=的焦点坐标为( 因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,所以a ==1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.(Ⅱ)因为||2MN ,所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得222(16)126(1)0k x kmx m +++-=.因为22(12)24(16)km k ∆=-+2(1)24m -=22(16)0k m +->, 所以221+6m k <. 设11(,)M x y ,22(,)N x y ,根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+,21226(1)16m x x k-=+.则12|||MN x x -==.因为||MN =3=. 整理得4222183979(1)k k m k -++=+. 令211k t +=≥,则21k t =-.所以22187550150752305[75(18)]9993t t m t t t -+--⨯==-+=≤.等号成立的条件是53t =,此时223k =,253m =满足2216m k +<,符合题意.故m 21.解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞.因为()ln xf x ax b x =-+,所以2ln 1()ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线方程为e e e y a b ax --+=--,即e y ax b =-++.已知函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线方程为2e y ax =-+,比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .(Ⅱ)由1()e 4f x +≤,即1e e ln 4x ax x -++≤.所以问题转化为11ln 4a x x-≥在2[e,e ]上有解.令11()ln 4h x x x=-2[e,e ]x ∈,则2222211ln 4()4ln 4ln x x h x x x x x x -'=-==.令()ln p x x =-所以当2[e,e ]x ∈时,有1()0p xx '=. 所以函数()p x 在区间2[e,e ]上单调递减.所以()(e)lne 0p x p <=-.所以()0h x '<,即()h x 在区间2[e,e ]上单调递减.所以22221111()(e )=lne 4e 24e h x h -=-≥. 所以实数a 的取值范围为211[,)24e-+∞.22.解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为221124x y +=.将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得,230x x -=.解得0x =或3x =. 所以点(0,2)A -,(3,1)B ,所以||AB =(Ⅱ)在曲线C 上求一点P ,使PAB △的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+.将y x b =+代入221124x y +=整理得,22463(4)0x bx b ++-=.令22(6)443(4)0b b ∆=-⨯⨯-=,解得4b =±. 将4b =±代入方程22463(4)0x bx b ++-=,解得3x =±. 易知当点P 的坐标为(3,1)-时,PAB △的面积最大.且点(3,1)P -到直线l 的距离为d ==PAB △的最大面积为1||92S AB d =⨯⨯=.23.解:(Ⅰ)证明:因为1a b c ++=,所以222(1)(1)(1)a b c +++++222a b c =++2()3a b c ++++2225a b c =+++.所以要证明22216(1)(1)(1)3a b c +++++≥,即证明22213a b c ++≥.因为222a b c ++=2()a b c ++22222()()2()ab bc ca a b c a b c -++++-++≥ 所以22223()()a b c a b c ++++≥.因为1a b c ++=,所以22213a b c ++≥.所以22216(1)(1)(1)3a b c +++++≥.(Ⅱ)设()f x =|||21|x a x -+-,则“对任意实数x ,不等式|||21|2x a x -+-≥ 恒成立”等价于“min [()]2f x ≥”.当12a <时,()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧⎪-++⎪⎪-+-⎨⎪⎪--⎪⎩<≤≤>此时min 1[()]()2f x f =12a =-,要使|||21|2x a x -+-≥恒成立,必须122a -≥,解得32a -≤.当12a =时,12||23x -≥不可能恒成立.当12a >时,()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++⎪⎪⎪+-⎨⎪--⎪⎪⎩<≤≤>此时()min 1[]()2f x f =12a =-,要使|||21|2x a x -+-≥ 恒成立,必须122a -≥,解得52a ≥.综上可知,实数a 的取范为35(,][,)22-∞-+∞.。

广东省广州市2017届高三12月模拟考试数学(理)试题 含答案

广东省广州市2017届高三12月模拟考试数学(理)试题 含答案

2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学 2016。

12本试卷共4页,23小题, 满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合{}2A x x =≤,{}2230B x xx =--≤,则AB =(A) []2,3- (B) []1,2- (C) []2,1-(D) []1,2(2)设(1i)(i)x y ++2=,其中,x y 是实数,则2i x y += (A )1 (B )2 (3 (D )5(3)等比数列{}na 的前n 项和为nS ,若230aS +=,则公比q =(A) 1- (B) 1 (C ) 2-(D) 2(4)已知双曲线:C 12222=-bx a y (0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=,则双曲线C 的离心率为 (A ) 25(B)5(C)26(D )6(5)若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是(A )8π (B )4π (C )38πyxO (D)34π(6)GZ 新闻台做“一校一特色"访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期,C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有(A )140种 (B )420种 (C)840种 (D )1680种 (7)已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--,则函数()g x 的图象是(8)设0.40.7a =,0.70.4b =,0.40.4c = ,则,,a b c 的大小关系为 (A) b a c <<(B ) a c b << (C) b c a <<(D)c b a <<(9)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(A) 7 (B ) 9 (C) 10 (D) 11(10)已知抛物线:C xy82=的焦点为F,准线为l,P是l上一点,直线PF与曲线C21(A)2(11)如图,锥(A)π25(C) π29(12)范围是(A)(],1-∞(C) [)1,+∞-∞(B)(),1(D) ()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017届广东省高三上学期第二次统测数学(理)试题

2017届广东省高三上学期第二次统测数学(理)试题

高三第二次统测理科数学试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、设A 、B 是非空集合,定义A ×B ={x x A B ∈ 且x A B ∉ },己知 A ={22x x y x -=},B ={22x y y =},则A ×B 等于 ( )A .(2,+∞)B .[0,1]∪[2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) D.[0.1]∪(2,+∞) 2、在ABC ∆中,“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的( ) A .充分必要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件3、已知命题 p :对任意x ∈R ,总有20x ≥;q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是 ( ) A .q p ∧ B .q p ⌝⌝∧ C . q p ∧⌝ D .q p ⌝∧4、已知正方形ABCD 的边长为4,动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动.设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为S ,则函数S =f(x)的图象是 ( )5、已知复数a +3i1-2i为纯虚数,则实数a =( )A .-2B .4C .-6D .66、已知a =5log 2 3.4,b =5log 4 3.6,c =⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 3 0.3,则( )A .a >b >cB .b >a >cC .a >c >bD .c >a >b7、在函数①y =cos|2x |,②y =|cos x |,③y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,④y =tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A .②④B .①③④C .①②③D .①③8、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( ) A .2,3π- B .2,6π-C .4,6π- D .4,3π9、已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示,其中)(x f '为函数)(x f 的导函数,则)(x f y =的大致图象是( )10、已知函数22(1)()714(1)x axx f x a x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若12,x x ∃∈R ,且12x x ≠,使得12()()f x f x =,则实数a 的取值范围是( ) A .[2,3](,5]-∞-B .(,2)(3,5)-∞C .[2,3]D .[5,)+∞11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,若()(1)5,()g x f x g x '=++为()g x 的导函数,对x R ∀∈,总有()2g x x '>,则()24g x x <+的解集为( ) A .(),1-∞- B .(),1-∞ C .R D .()1,-+∞12.如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m ,则河流的宽度BC 等于( )A .240(3-1)mB .180(2-1)mC .120(3-1)mD .30(3+1)m1-1 O yx 11π125π122-2O第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上。

2017年广州二模理科数学选择填空题详解

2017年广州二模理科数学选择填空题详解

2017届广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)选择填空题详解编辑:李志刚 微信&QQ :46890730 微信公众号:华海数学 1.{}{}{}1111102,A x x x x x x =-<=-<-<=<<{}{}11100(1)0001,x B x x x x x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫-=-≥=≥=-≥≠=<≥⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭且或所以{|12}A B x x =≤<2. 22i (2i)i 2i 134i 12i,12i 34i 22i i i 1z z ++⋅--+====-∴=--+=-+-,所以复数z 所对应的点位于第二象限.3.第一次循环:否,否,2,3;S i == 第二次循环:否,是,1,4;S i =-= 第三次循环:否,否,3,5;S i == 第四次循环:否,是,2,6;S i =-= 第五次循环:否,否,4,7;S i ==输出 4.S =4.在个位数上,1,2,3,4,5这5个数字出现的机会是均等的,所以这个恶三位数是偶数的概率是255.当1x >时,()ln(1)f x x x =-+是一个单调递增函数,只有选项A 符合. 6. 241sin cos 2cos 12124299ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭θ7.如图,(1,0),(4,4),(1,4)F A E -,因为AE AF =,所以EAF ∠的平分线l EF ⊥,而4012,112EF l k k -==-∴=--,所以直线l 的方程为14(4)2y x -=-,即240x y -+==19.因为直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+有公共点,所以圆心(0,0)到直线20x y k +-=的距离d 2230k k +-≤,即(3)(1)0k k +-≤,解得31k -≤≤,222()()2a b a b ab +-+=224(23)2k k k --+=2233315()22233k k k =+-=+-,二次函数,开口向上,离对称轴13k =-越远,函数值越大,所以当3k =-时,ab 取得最大值9. 10.()y f x =的最小正周期2T πω=,在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为4πω,第三个最高点的横坐标为17244T ππωω+=,第四个最高点的横坐标为25344T ππωω+=,根据题意,1725144ππωω≤<,解得:172544ππω≤<,即ω的取值范围是1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.该三棱锥的直观图如图所示,其体积1116244323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭12.由22(2)(2)0f m m f n n -+-≥,得22(2)(2)f m m f n n -≥--,又∵()f x 为奇函数,所以22(2)(2)f m m f n n -≥-+,又()f x 为减函数,所以2222m m n n -≤-,所以()(2)0m n m n -+-≤,所以020m n m n -≥⎧⎨+-≤⎩或020m n m n -≤⎧⎨+-≥⎩,考虑到312n ≤≤以n 为横坐标,m 为纵坐标,作可行域如图所示,mn表示动点(,)n m 与原点连线的斜率,当过点31,22⎛⎫⎪⎝⎭时,m n 取得最小值13,当过点(1,1)时,m n 取得最大值113.因为点P 在y 轴上,所以可设(0,)P y ,由2,OP OA m AB =+得 (0,)2(1,3)(3,7)(32,67)y m m m =-+-=--,所以2320,3m m -==14.该数除以3和除以7的余数都是2,可以初步估计这个数为37223⨯+=,经检验,23除以5的余数是3,满足题意,故这堆物品至少有23个.15. 954900(2)(3)2592,2592a y y y y a =-=-∴=-;853344488458(3)(2)2,2a x y x C x y C x y x x y a ⎡⎤=⋅⋅⋅+⋅-⋅=∴=⎣⎦,∴08a a +=2590- 16.解析:如图,因为416,sin 5BD A ==,所以点A 在以BD 为弦的圆弧上,设圆弧半径为R ,则有16220,104sin 5BD R R A ===∴=,设圆心为E ,取BD 中点F ,连接,DE DF ,则8,10,6DF DE EF ===,34sin ,cos 55EDF EDF ∠=∠=,所以 3cos cos(90)sin 5EDC EDF EDF ∠=︒+∠=-∠=-,在ECD △中,由余弦定理得: 22232cos 100812109289,175EC DE CD DE CD EDC EC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=∴=所以AC 的最大值为101727AE EC +=+=。

广州市2017届高三12月模拟考试数学(理)试题及答案

广州市2017届高三12月模拟考试数学(理)试题及答案

2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学本试卷共4页,23小题, 满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2A x x =≤,{}2230B x x x =--≤,则AB =( )(A) []2,3- (B) []1,2- (C) []2,1- (D) []1,2 2.设(1i)(i)x y ++2=,其中,x y 是实数,则2i x y +=( )(A )1 (B(C(D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q = ( ) (A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 24.已知双曲线:C 12222=-b x a y (0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为( )(A)25(B) 5 (C)26(D) 65.若将()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是( ) (A )8π (B )4π(C )38π (D )34π6.GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期,C 期各播出1间学校,现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务,不同的选法共有( ) (A )140种 (B )420种 (C )840种 (D )1680种7.已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--,则函数()g x 的图象是( )8.设0.40.7a =,0.70.4b =,0.40.4c = ,则,,a b c 的大小关系为( )(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << 9.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 1110.已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,直线PF 与曲线C 相交于M ,N 两点,若MF PF 3=,则=MN ( ) (A)221 (B)332 (C) 10 (D) 1111.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是( ) (A) π25 (B)π425 (C) π29 (D) π429 12.若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛ 2,4ππ上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) (A) (],1-∞ (B) (),1-∞ (C) [)1,+∞ (D) ()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案

2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案
4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的 信息点,再作答 . 漏涂、错涂、多涂的,答案无效 . 5.考生必须保持答题卡的整洁 . 考试结束后, 将试卷和答
题卡一并交回 .
参考公式:锥体的体积公式是 V 体的高 .
1 Sh, 其中 S 是锥体的底面积 , h 是锥
3
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题
D
. 12 12
8.将正偶数 2, 4,6,8, 按表 1的方
式进行
排列,记 aij 表示第 i 行第 j 列
的数,若
aij 2014 ,则 i j 的值为
A .257
B
.256
C .254
D
.253
第 1列 第 2列 第 3列 第 4列 第 5列
第 1行
2
4
6
8
第 2行
16
14
12
10
第 3行
18
.3
A .存在 x0 R,使得 x03 x02
B
.不存在 x0 R,使得 x03 x02
C .存在 x0 R,使得 x03 x02
D
.对任意 x R,都有 x3 x2
4. 将函数 f x 后得到函数
3sin 2x cos2x( x R) 的图象向左平移 个单位长度
6
y g x ,则函数 y g x
A .是奇函数
试卷类型: A 2017-2018 年广州市普通高中毕业班综合测
试(二) 数学(理科)
4 本试卷共 4 页, 21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟 .
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的 姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 . 用 2B 铅笔将试卷类型( A)填涂在答题卡相应位置上 .

2017届广东省广州市高三毕业班综合测试(二)理科数学试题及答案

2017届广东省广州市高三毕业班综合测试(二)理科数学试题及答案

试卷类型:A 2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)4 本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.数学(理科)试题A 第 1 页共 29 页数学(理科)试题A 第 2 页 共 29 页参考公式:球的表面积公式24S R =π,其中R 是球的半径.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.命题“若2x =,则2320x x -+=”的逆否命题是A .若2x ≠,则2320x x -+≠B .若2320x x -+=,则2x =C .若2320x x -+≠,则2x ≠D .若2x ≠,则2320x x -+=2.已知0a b >>,则下列不等关系式中正确的是A .sin sin a b> B .22log log a b< C .1122a b<D .1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦A .14B .12C .2D .44.函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π则此函数的解析式为A .3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B .y =C .3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D .3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭图1数学(理科)试题A 第 3 页 共 29 页5.已知函数()223f x x x =-++,若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ,则使()00f x ≥成立的概率为A .425 B .12C .23D .16.如图2,圆锥的底面直径2AB =,母线长3VA =,点C在母线VB 上,且1VC =,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是A C .3D .27.已知两定点()1,0A -,()1,0B ,若直线l 上存在点M ,使得3MA MB +=,则称直线l 为“M 型直线”.给出下列直线:①2x =;②3y x =+;③21y x =--;④1y =;⑤23y x =+.其中是“M型直线”的条数为A .1B .2C .3D .48.设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点,向量()()51,2x =-a ,()1,2y x =-b ,且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列,且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则129a a a ++⋅⋅⋅+=A.0B.9C.18D.36AV CB图2数学(理科)试题A 第 4 页 共 29 页二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.已知i 为虚数单位,复数1i 1iz -=+,则z = .10.执行如图3所示的程序框图,则输出的z 的值是 .11.已知()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 12.5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排2人,则不同的安排方案共有_________种(用数字作答).13.在边长为1的正方形ABCD 中,以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a ,2a ,3a ;以C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c ,2c ,3c .若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值,其中{}{},1,2,3i j ⊆,{}{},1,2,3s t ⊆,则m = .(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)B ACDEFG 图4数学(理科)试题A 第 5 页 共 29 页如图4,在平行四边形ABCD 中,4AB =,点E 为边DC 的中点,AE 与BC 的延长线交于点F,且AE 平分BAD ∠,作DG AE ⊥,垂足为G ,若1DG =,则AF 的长为 . 15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)和24,2x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数),则曲线1C 和2C 的交点有 个. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,且::7:5:3a b c =. (1)求cos A 的值; (2)若△ABC的面积为,求△ABC 外接圆半径的大小.17.(本小题满分12分)某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调份,统计结果如下面的图表所示.数学(理科)试题A 第 6 页 共 29 页(1)分别求出a ,b ,c ,n 的值;(2)从第3,4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人,在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”,记X 为第3组被授予“环保之星”的人数,求X 的分布列与数学期望.18.(本小题满分14分)如图5,已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3,M ,N 分别是棱AB ,1AA 上的点,且1AM AN ==.(1)证明:M ,N ,1E ,D 四点共面;(2)求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值.19.(本小题满分14分)已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l :31y x =+上,1P 是直线l 与y 轴的交点,数列{}n a 是公差为1的等差数列. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)求证:22212131111116n PP PP PP ++++<.C 1ABA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1图5数学(理科)试题A 第 7 页 共 29 页20.(本小题满分14分)已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-,圆D的方程为()2244x y -+=.(1)求圆C 的方程;(2)由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ,B 两点,求AB的取值范围.21.(本小题满分14分)已知函数()ln f x a x =-11x x -+,()e x g x =(其中e 为自然对数的底数). (1)若函数()f x 在区间()0,1内是增函数,求实数a 的取值范围; (2)当0b >时,函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ,(),e b Q b --,过点P ,Q 作图象C 的切线分别记为1l ,2l ,设1l 与2l 的交点为()00,M x y ,证明00x >.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题,满分40分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.数学(理科)试题A 第 8 页共 29 页数学(理科)试题A 第 9 页 共 29 页16.(本小题满分12分) 解:(1)因为::7:5:3a b c =,所以可设7a k=,5b k=,3c k =()0k >, (2)分由余弦定理得,222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-.………………………………………………………………………………………………4分 (2)由(1)知,1cos 2A =-,因为A 是△ABC 的内角, 所以sin A 2=………………6分数学(理科)试题A 第 10 页 共 29 页由(1)知5b k =,3c k =, 因为△ABC的面积为,所以1sin 2bc A =8分即1532k k ⨯⨯= 解得k =……………………10分 由正弦定理2sin aR A=,即72sin k R A ==,…………………………………………………11分解得14R =. 所以△ABC外接圆半径的大小为14. (12)分17.(本小题满分12分)解:(1)根据频率直方分布图,得()0.0100.0250.035101c +++⨯=,解得0.03c =.……………………………………………………………………………………………1分第3组人数为105.05=÷,所以1001.010=÷=n . (2)分数学(理科)试题A 第 11 页 共 29 页第1组人数为1000.3535⨯=,所以28350.8b =÷=. (3)分 第4组人数为2525.0100=⨯,所以250.410a =⨯=. (4)分(2)因为第3,4组答对全卷的人的比为5:101:2=,所以第3,4组应依次抽取2人,4人.…………………………………………………………………5分依题意X的取值为0,1,2.……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===,…………………………………………………………………………………7分()112426C C 81C 15P X ===,………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===,………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为:………………………………………10分数学(理科)试题A 第 12 页所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=. ………………………………………………………………12分 18.(本小题满分14分)第(1)问用几何法,第(2)问用向量法: (1)证明:连接1A B ,11B D ,BD ,11A E , 在四边形1111A B D E 中,1111A E B D 且1111=A E B D , 在四边形11BB D D 中,11BD B D 且11=BD B D , 所以11A E BD 且11=A E BD ,所以四边形11A BDE 是平行四边形.所以11A B E D .………………………………2分 在△1ABA 中,1AM AN ==,13AB AA ==, 所以1AMANABAA =,所以1MN BA .…………………………………………………………………………………………4分 所以1MN DE . 所以M,N,1E ,D四点共分C 1A BA 1B 1D 1CDMNEF E 1F 1数学(理科)试题A 第 13 页 共 29 页(2)解:以点E 为坐标原点,EA ,ED ,1EE 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图的空间直角坐标系,则()B,9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭,()0,3,0D , ()10,0,3E,()M ,…………………………8分则3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,()10,3,3DE =- ,()2,0DM =-.……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量,则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =,z = 所以(=n 是平面1MNE D的一个法向量.………………………………………………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ,则sin BCBCθ=n n116==.故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为数学(理科)试题A 第 14 页 共 29 页116.………………………………………………14分 第(1)(2)问均用向量法:(1)证明:以点E 为坐标原点,EA ,ED ,1EE 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z则()B ,9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭,()0,3,0D , ()10,0,3E ,()M ,()N 所以()10,3,3DE =- ,()0,1,1MN =-. 因为13DE MN =,且MN 与1DE 不重合,所以1DE MN .…………………………………………5分 所以M,N,1E ,D四点共面.………………………………………………………………………6分(2)解:由(1)知3,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()10,3,3DE =-,()2,0DM =-.………………10分(特别说明:由于给分板(1)6分(2)8分,相当于把(1)中建系与写点坐标只给2分在此加2分)设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量,则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩数学(理科)试题A 第 15 页 共 29 页取y =2x =,z = 所以(=n 是平面1MNE D的一个法向量.………………………………………………12分 设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ,则sin BCBCθ=n n==.故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为.………………………………………………14分 第(1)(2)问均用几何法:(1)证明:连接1A B ,11B D ,BD ,11A E , 在四边形1111A B D E 中,1111A E B D 且1111=A E B D , 在四边形11BB D D 中,11BD B D 且11=BD B D , 所以11A E BD 且11=A E BD ,所以四边形11A BDE 是平行四边形.所以11A B E D .………………………………2分 在△1ABA 中,1AM AN ==,13AB AA ==, 所以1AMANABAA =,所以C 1A BA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1数学(理科)试题A 第 16 页 共 29 页1MN BA .…………………………………………………………………………………………4分 所以1MN DE . 所以M,N,1E ,D四点共面.………………………………………………………………………6分(2)连接AD ,因为BC AD ,所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角.…………………7分连接DN ,设点A 到平面DMN 的距离为h ,直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ,则sin hADθ=.……………………………………………………………………………………………8分因为A DMN D AMNV V --=,即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯.…………………………………………9分 在边长为3的正六边形ABCDEF中,DB =6DA =, 在△ADM 中,6DA =,1AM =,60DAM ∠= ,由余弦定理可得,DM =在Rt △DAN 中,6DA =,1AN =,所以DN = 在Rt △AMN 中,1AM =,1AN =,所以MN在△DMN中,DM =DN =MN =数学(理科)试题A 第 17 页 共 29 页由余弦定理可得,cos DMN ∠=,所以sin DMN ∠=所以1sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=.…………………………………………………11分又12AMN S ∆=,……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==………………13分所以sin 116h AD θ==故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为116.………………………………………………14分19.(本小题满分14分)(1)解:因为()111,P a b 是直线l :31y x =+与y 轴的交点()0,1, 所以10a =,11b =.……………………………………………………………………………………2分数学(理科)试题A 第 18 页 共 29 页因为数列{}n a 是公差为1的等差数列, 所以1n a n =-.……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l :31y x =+上, 所以31n n b a =+32n =-.所以数列{}n a ,{}n b 的通项公式分别为1n a n =-,32n b n =-()*n ∈N .………………………6分(2)证明:因为()10,1P ,()1,32n P n n --,所以()1,31n P n n ++. 所以()222211310n PP n n n +=+=.………………………………………………………………………7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.……………………………………8分 因为()()222114411241212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-,……………………………10分所以,当2n ≥时,222121311111n PP PP PP ++++数学(理科)试题A 第 19 页 共 29 页111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ ……………………………………………………………11分15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分16<.又当1n =时,212111106PP =<.………………………………………………………………………13分所以22212131+111116n PP PP PP +++<.……………………………………………………………14分 20.(本小题满分14分)解:(1)方法一:设圆C的方程为:()222x a y r -+=()0r >, (1)分因为圆C 过点()0,0和()1,1-, 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-,1r =.数学(理科)试题A 第 20 页 共 29 页所以圆C的方程为()2211x y ++=.…………………………………………………………………4分方法二:设()0,0O ,()1,1A -,依题意得,圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C . (1)分 因为直线l的方程为1122y x -=+,即1y x =+,……………………………………………………2分 所以圆心C的坐标为()1,0-.…………………………………………………………………………3分 所以圆C的方程为()2211x y ++=.…………………………………………………………………4分(2)方法一:设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y , 则()220044x y -+=, 即()2200440y x =--≥, 解得026x ≤≤.…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知,过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在,数学(理科)试题A 第 21 页 共 29 页设PA 的方程为:()010y y k x x -=-, 则点A 的坐标为()0100,y k x -, 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -, 所以120AB k k x =-,因为PA ,PB 是圆C 的切线,所以1k ,2k1=,即1k ,2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根,………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =……………………………………………9分因为()220044y x =--, 所以AB =………………10分 设()()0020562x f x x -=+,则()()00305222x f x x -+'=+.……………………………………………………………数学(理科)试题A 第 22 页 共 29 页…………………11分由026x ≤≤,可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数,在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数,……………………12分所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭, 所以AB的取值范围为⎦.…………………………………………………………………14分方法二:设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y , 则()220044x y -+=, 即()2200440y x =--≥, 解得026x ≤≤.…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ,()0,B b ,则直线PA :00y a y a x x --=,即()0000y a x x y ax --+=,因为直线PA 与圆C1=,化简得()2000220x a y a x +--=. ① 同理得()2000220x b y b x +--=, ②数学(理科)试题A 第 23 页 共 29 页由①②知a,b为方程()2000220x x y x x +--=的两根,…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…………9分因为()220044y x =--, 所以AB =………………10分=.………………………………………………………………11分 令012t x =+,因为026x ≤≤,所以1184t ≤≤.所以AB ==,…………………………………数学(理科)试题A 第 24 页 共 29 页……12分 当532t =时,max AB =,当14t =时,min AB =所以AB的取值范围为4⎦.…………………………………………………………………14分21.(本小题满分14分) (1)解法一:因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数, 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<.……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<, 即()221xa x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x =++()01x <<, 因为21122x x<++在()0,1x ∈内恒成立,所以12a ≥.故实数a的取值范围为数学(理科)试题A 第 25 页 共 29 页1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………………4分解法二:因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数, 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<.……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<, 即()2210ax a x a +-+≥()01x <<,…………………………………………………………………2分设()()221g x ax a x a =+-+,当0a =时,得20x -≥,此时不合题意.当0a <时,需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥,此时不合题意.当0a >时,需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩解得12a ≥或1a >,所以12a ≥.综上所述,实数a的取值范围为数学(理科)试题A 第 26 页 共 29 页1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………4分(2)证明:因为函数()e x g x =,所以()e x g x '=. 过点(),e b P b ,(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为:1l :()e e b b y x b =-+, 2l :()e e b b y x b --=++,因为1l 与2l 的交点为()00,M x y , 由()()e e ,e e ,b b b by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ ………………………………………………………………………………6分消去y,解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-. ①…………………………………………7分下面给出判定00x >的两种方法: 方法一:设e b t =,………………………………………………………………………………………8分因为0b >,所以1t >,且ln b t =. 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-.…………………………………………………………………………9分数学(理科)试题A 第 27 页 共 29 页设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >, 则()12ln h t t t t t'=-+()1t >.………………………………………………………………………10分令()12ln u t t t t t=-+()1t >,则()212ln 1u t t t '=+-. 当1t >时,ln 0t >,2110t->,所以()212ln 10u t t t '=+->,………………………………11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数, 所以()()10u t u >=,即()0h t '>, (12)分所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数, 所以()()10h t h >=.…………………………………………………………………………………13分因为当1t >时,210t ->, 所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-.…………………………………………………………………14分方法二:由①得0x ()221+e 11e b bb --=--.数学(理科)试题A 第 28 页 共 29 页设2e b t -=,…………………………………………………………………………………………………8分因为0b >,所以01t <<,且ln 2t b =-. 于是21ln bt-=,……………………………………………………………………………………………9分所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭.…………………………………………………………10分由(1)知当12a =时,()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数,…………………………11分所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+, 即ln 2t <11t t -+. …………………………………………………………………………………………12分即210ln 1t t t++>-,………………………………………………………………………………………13分已知0b >, 所以数学(理科)试题A 第 29 页 共 29 页0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭.…………………………………………………………………………14分。

2017年广州市普通高中毕业班综合测试广州二测广州市二测答案(理科数学)

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数学答案(理科)试题B 第 1 页 共 11 页绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1)A (2)B (3)A (4)B (5)A (6)C (7)D (8)C(9)B(10)C(11)B(12)D二.填空题 (13)32(14)23 (15)2590- (16)27三.解答题(17)解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列,所以2132a a a =.因为1238a a a =,所以32=8a ,解得22=a .…………………………………………………………1分 因为()1253123-++++=n n a a a a S ,所以123a S =,即1213a a a =+.………………………………………………………………………2分 因为22=a ,所以11=a .………………………………………………………………………………3分 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==, 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a .…………………………………………………………………4分数学答案(理科)试题B 第 2 页 共 11 页(Ⅱ)因为等比数列{}n a 的首项为11=a ,公比2q =,所以()122121111-=--=--=n nn n q q a S .…………………………………………………………………6分因为n n b nS =,所以()212n nn b n n n =-=⋅-.………………………………………………………7分所以n n n b b b b b T +++++=-1321()()231222322123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++.…………………………………8分设231222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯, 则234+121222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯.所以()+1234222222n n n P n =⨯-+++++()1=122n n +-+.…………………………………10分因为()11232n n n +++++=, ……………………………………………………………………11分所以()()111222n n n n T n ++=-+-. 所以数列{}n b 的前n 项和()()111222n n n n T n ++=-+-.…………………………………………12分(18)(Ⅰ)证明:连接BD ,因为ABCD 是菱形,所以BD AC ⊥.……………………1分因为⊥FD 平面ABCD ,⊂AC 平面ABCD ,所以FD AC ⊥.………………………………………………2分因为D FD BD = ,所以⊥AC 平面BDF .……………3分 因为⊥EB 平面ABCD ,⊥FD 平面ABCD ,所以//EB FD .所以B ,D ,F ,E 四点共面.………………………………………………………………………4分 因为⊂EF 平面BDFE ,所以AC EF ⊥.……………………………………………………………5分FEDCB数学答案(理科)试题B 第 3 页 共 11 页(Ⅱ)解法1:如图,以D 为坐标原点,分别以DC ,DF 的方向 为y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系xyz D -.……6分可以求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23a a A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,23a a B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛a F 23,0,0, ()0,,0a C ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a E 3,21,23.………………………………7分 所以()0,,0a AB =,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a 23,21,23.……………………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0n n即0,10,2ay ay =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1x =,则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1=n .……………………………………………10分 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a 3,21,23, 所以36cos ,8CE CE CE∙==n n n . 所以直线CE 与平面ABF .…………………………………………………12分 解法2:如图,设ACBD O =,以O 为坐标原点,分别以OA ,OB 的方向为x 轴,y轴的正方向,建立空间直角 坐标系O xyz -.…………………………………………6分可以求得,0,02A a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,10,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,0,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 10,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (7)分数学答案(理科)试题B 第 4 页 共 11 页所以1,,02AB a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,1,2AF a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0ABn n即10,210,2ay ay ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨取1x=,则平面ABF 的一个法向量为()=n .………………………………………10分因为31,2CE a ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,所以36cos ,CE CE CE∙==n n n .所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为8.…………………………………………………12分 (说明:若本题第(Ⅰ)问采用向量法证明正确,第(Ⅰ)问给6分,仍将建系、写点的坐标与向量的坐标等分值给到第(Ⅱ)问)(19)解:(Ⅰ)依题意,1ξ的所有取值为68.1,92.1,1.2,4.2,…………………………………1分 因为()30.05.06.068.11=⨯==ξP ,()30.05.06.092.11=⨯==ξP ,()20.05.04.01.21=⨯==ξP ,()20.05.04.04.21=⨯==ξP .………………………………3分 所以1ξ的分布列为依题意,2ξ的所有取值为68.1,8.1,24.2,4.2,…………………………………………………5分 因为()42.06.07.068.12=⨯==ξP ,()18.06.03.08.12=⨯==ξP ,()28.04.07.024.22=⨯==ξP ,()12.04.03.04.22=⨯==ξP ,……………………………7分……………4分数学答案(理科)试题B 第 5 页 共 11 页所以2ξ的分布列为(Ⅱ)令i Q 表示方案i 所带来的利润,则所以1150.30+200.50+250.20=19.5EQ =⨯⨯⨯, 2150.42+200.46+250.12=18.5EQ =⨯⨯⨯. 因为12EQ EQ >,所以实施方案1,第二个月的利润更大.………………………………………………………………12分(20)解:(Ⅰ)双曲线2215x y -=的焦点坐标为(),离心率为5.………………………1分因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221x y a b+=()0a b >>的顶点,且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数,所以a ==,解得1b =. 故椭圆C 的方程为1622=+y x .…………………………………………………………………………3分 (Ⅱ)因为2334>=MN ,所以直线MN 的斜率存在.………………………………………………4分 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为m kx y +=.……………8分…………………………10分……………………………9分数学答案(理科)试题B 第 6 页 共 11 页代入椭圆方程1622=+y x 得0)1(612)61(222=-+++m kmx x k .…………………………………5分 因为()0)61(24)1)(61(241222222>-+=-+-=∆m k m k km ,所以2261k m +<.………………………………………………………………………………………6分 设),(11y x M ,),(22y x N ,根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+,()21226116m x x k-=+.……………………………………7分 则()212212212411x x x x kx x k MN -++=-+== 因为334=MN ,.………………………………8分 整理得()22421973918kk k m +++-=.………………………………………………………………………9分 令112≥=+t k ,则12-=t k .所以2218755015075230575189993t t m t t t -+-⎡⎤-⨯⎛⎫==-+≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.…………………………10分等号成立的条件是35=t ,此时322=k ,253m =满足2261k m +<,符合题意.………………11分故m 的最大值为315.…………………………………………………………………………………12分(21)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞.因为()f x ln x ax b x =-+,所以()f x '2ln 1ln x a x-=-.…………………………………………1分 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为()()e e e y a b a x --+=--,即e y ax b =-++.………………………………………………2分已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+,比较求得e b =.所以实数b 的值为e .……………………………………………………………………………………3分数学答案(理科)试题B 第 7 页 共 11 页(Ⅱ)解法1:由()f x 1e 4?,即1e e ln 4x ax x -+?.……………………………………………4分 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e 轾犏臌上有解.………………………………………………………5分 令()11ln 4h x x x=-()2e,e x 轾Î犏臌, 则()h x '22114ln x x x =-222ln 44ln x x x x-=(22ln ln 4ln x x x x +-=.………………………………7分 令()ln p x x =-,所以当2e,e x 轾Î犏臌时,有()110p x xx'==<.……………………………………………8分 所以函数()p x 在区间2e,e 轾犏臌上单调递减.……………………………………………………………9分 所以()()e ln e 0p x p <=-<. ………………………………………………………………10分所以()0h x '<,即()h x 在区间2e,e 轾犏臌上单调递减. ………………………………………………11分 所以()()22221111eln e4e 24e h x h ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e轹÷ê-+?÷÷êøë.…………………………………………………………12分 解法2:命题“存在x Î2e,e 轾犏臌,满足()f x 1e 4?”等价于“当x Î2e,e 轾犏臌时,有()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4?”.………………………………………4分由(Ⅰ)知,()f x '2ln 1ln x a x -=-=2111ln 24a x 骣÷ç--+-÷ç÷ç桫. (1)当14a ³时,()0f x '≤,即函数()f x 在区间2e,e 轾犏臌上为减函数,…………………………5分 所以()minf x =⎡⎤⎣⎦()2e f 22e e e 2a =-+.由()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4?,得22e 1e e e 24a -+?,解得21124e a ?. 所以21124e a ?.………………………………………………………………………………………6分数学答案(理科)试题B 第 8 页 共 11 页(2)当14a <时,注意到函数()f x '=2111ln 24a x 骣÷ç--+-÷ç÷ç桫在区间2e,e 轾犏臌上的值域为1,4a a 轾犏--犏臌. ……………………………………7分①0a £,()0f x '≥在区间2e,e 轾犏臌上恒成立,即函数()f x 在区间2e,e 轾犏臌上为增函数. 所以()()min e f x f =⎡⎤⎣⎦e e e =2e e a a =-+-.由于()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+,所以2e e a -?1e 4+,解得1104e a ≥->,这与0a ≤矛盾.………8分 ②若104a <<,由函数()f x '的单调性(单调递增)和值域知,存在唯一的()20e,e x ∈,使()00f x '=,且满足当x Î()0e,x 时,()00f x '<,即()f x 为减函数;当x Î()0,e x 时,()00f x '>,即()f x 为增函数.所以()()0min f x f x =⎡⎤⎣⎦000e ln x ax x =-+.…………………………………………………………9分 由()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+,得000e ln x ax x -+?1e 4+,即0001ln 4x ax x -?. 因为()00f x '=,即020ln 10ln x a x --=,所以02ln 1ln x a x -=. 将02ln 1ln x a x -=代入0001ln 4x ax x -?,得0201ln 4x x £,其中()20e,e x ∈.………………………10分 令()h x 2ln x x =,则()h x '3ln 2ln x x-=, 当x Î2e,e 轾犏臌时,()0h x '≤,即()h x 在区间2e,e 轾犏臌上为减函数.所以()()2eh x h ≥()2222e e 1>44ln e ==,与0201ln 4x x £矛盾, 所以不存在10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+成立.………………………………………………11分综上可知,实数a 的取值范围为211,24e轹÷ê-+?÷÷êøë.…………………………………………………12分 (说明:当104a <<时,也可转化为200ln 4x x ≥,其中()20e,e x ∈,从而构造函数()2ln x p x x =解答;还可数学答案(理科)试题B 第 9 页 共 11 页转化为0011ln 4a x x ?,从而构造函数()11ln 4q x x x =-解答;还有其他解法均参照给分!)(22)(Ⅰ)解:曲线C 的普通方程为141222=+y x .……………………………………………………1分 将直线02=--y x 代入141222=+y x 中消去y 得,032=-x x .…………………………………2分 解得0=x 或3=x .………………………………………………………………………………………3分 所以点()2,0-A ,()1,3B ,………………………………………………………………………………4分 所以()()23210322=++-=AB .………………………………………………………………5分(Ⅱ)解法1:在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大.设过点P 且与直线l 平行的直线方程为b x y +=.……………………………………………………6分将b x y +=代入141222=+y x 整理得,()0436422=-++b bx x . 令()()22644340b b ∆=-⨯⨯-=,解得4±=b .…………………………………………………7分将4±=b 代入方程()0436422=-++b bx x ,解得3±=x .易知当点P 的坐标为()1,3-时,△PAB 的面积最大.………………………………………………8分 且点P ()1,3-到直线l 的距离为231121322=+---=d .……………………………………………9分△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219.…………………………………………………………10分 解法2:在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大.设曲线C 上点()θθsin 2,cos 32P ,其中[)π2,0∈θ,………………………………………………6分则点P 到直线l 的距离为22112sin 2cos 32+--=θθd 226πcos 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ.………………………8分 因为[)π2,0∈θ,则6π136π6π<+≤θ, 所以当π6π=+θ,即65π=θ时,23max =d .………………………………………………………9分此时点P 的坐标为()1,3-,△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219.…………………………10分数学答案(理科)试题B 第 10 页 共 11 页(23)(Ⅰ)证明1:因为1=++c b a ,所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a .所以要证明()()()316111222≥+++++c b a , 即证明31222≥++c b a .…………………………………………………………………………………1分 因为()()ca bc ab c b a c b a ++-++=++22222 ……………………………………………………2分 ()()22222c b a c b a ++-++≥,……………………………………………………3分所以()()22223c b a c b a ++≥++.……………………………………………………………………4分因为1=++c b a ,所以31222≥++c b a . 所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分 证明2:因为1=++c b a ,所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a .所以要证明()()()316111222≥+++++c b a , 即证明31222≥++c b a .…………………………………………………………………………………1分 因为21293a a +≥,21293b b +≥,21293c c +≥,……………………………………………………3分 所以()2221233a b c a b c +++≥++.…………………………………………………………………4分因为1=++c b a ,所以31222≥++c b a . 所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分 证明3:因为()()21681193a a ++≥+,()()21681193b b ++≥+,()()21681193c c ++≥+, ……………………………3分所以()()()()()()22216811111133a b c a b c ++++++≥+++++⎡⎤⎣⎦.……………………………4分数学答案(理科)试题B 第 11 页 共 11 页 因为1=++c b a ,所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分 (Ⅱ)解:设()12-+-=x a x x f ,则“对任意实数x ,不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”.…………6分 当21<a 时,()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, 要使+212x a x --≥恒成立,必须221≥-a ,解得23-≤a .……………………………………7分 当21=a 时,3221≥-x 不可能恒成立.………………………………………………………………8分 当21>a 时,()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, 要使+212x a x --≥恒成立,必须221≥-a ,解得25≥a .……………………………………9分 综上可知,实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,2523, .……………………………………………10分。

届广州市普通高中毕业班综合测试二理数.doc

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2017 届广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)本试卷共 4 页, 23 小题,满分150分。

考试用时120 分钟。

注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(共 60 分)一、选择题:本大题共12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A x x 1 1 ,B x 1 1,x则 A∩ B ()A.C.x 1 x 2 B.x 0 x 2 x 0 x 1 D.x 0 x 12z 满足3 4i z i 2 i,则复数 z.若复数所对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C.第三象限 D .第四象限3.执行如图所示的程序框图,则输出的S 值为()A .4B . 3C.2 D.34.从 1, 2, 3, 4,5 这 5 个数字中任取 3 个数字组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为()12C .13A .B .2D .5555.函数 f x ln x 1 x 的大致图象是()6.已知 cos422,则 sin()371C .1D .7A .B .9999y 27.已知点 A 4,4 在抛物线2 px ( p 0 )上,该抛物线的焦点为 F ,过点 A 作该抛物线准线的垂线,垂足为 E ,则 EAF 的平分线所在的直线方程为()A . 2x y 12 0B . x 2 y 12 0C . 2 x y 4 0D . x 2 y 4 08.在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中, M 是棱 A 1 D 1 的中点,过 C 1 , B , M 作正方体的截面,则这个截面的面积为()3 53 599A .B .8C .D .2289.已知 k R ,点 P a,b 是直线 x y 2k 与圆 x 2y 2 k 2 2k 3 的公共点, 则 ab 的最大值为( )A .15B . 9C . 1D .5310.已知函数 fx2sinx(0 )的图象在区间 0,1 上恰有 3 个最高点, 则4的取值范围为( )A .19, 27B . 9 ,13C . 17 , 25D . 4 ,644224411.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某 三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为( )816A .B .3332D . 16C .312 R 上的奇函数 y f x为减函数,若 m , n 满足.定义在f m22m f 2n n20 ,则当 1n 3 时, m的取值范围为()2nA .2,1B . 1,3C . 1 ,3D . 1,1323 23第Ⅱ卷(共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分。

广东省广州市2017届高三12月模拟考试数学理试题(全WORD版)

广东省广州市2017届高三12月模拟考试数学理试题(全WORD版)

yxO 2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学本试卷共4页,23小题, 满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合{}2A x x =≤,{}2230B x x x =--≤,则AB =(A) []2,3- (B) []1,2- (C) []2,1- (D) []1,2 (2)设(1i)(i)x y ++2=,其中,x y 是实数,则2i x y +=(A )1 (B )2 (C )3 (D )5 (3)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 2(4)已知双曲线:C 12222=-b x a y (0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为(A) 25 (B) 5 (C) 26 (D) 6(5)若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 (A )8π (B )4π(C )38π (D )34π(6)GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期,C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 (A )140种 (B )420种 (C )840种 (D )1680种(7)已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--,则函数()g x 的图象是(8)设0.40.7a =,0.70.4b =,0.40.4c = ,则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << (9)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11(10)已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,直线PF 与曲线C 相交于M ,N两点,若MF PF 3=,则=MN (A)221 (B)332 (C) 10 (D) 11(11)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是(A) π25 (B) π425(C) π29 (D) π429(12) 若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛ 2,4ππ上单调递增,则实数a 的取值范围是 (A) (],1-∞ (B) (),1-∞ (C) [)1,+∞ (D) ()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【全国市级联考word】广东省广州市2017届高三4月综合测试(二)理数试题

【全国市级联考word】广东省广州市2017届高三4月综合测试(二)理数试题

2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11A x x =-<,110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭,则A B =∩( ) A .{}12x x ≤< B .{}02x x << C .{}01x x <≤ D .{}01x x <<2.若复数z 满足()34i i 2i z -+=+,则复数z 所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.执行如图所示的程序框图,则输出的S 值为( ) A .4 B .3 C .2- D .3-4.从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为( ) A .15 B .25 C .12 D .355.函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是( )A .B .C .D .6.已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin θ=( ) A .79 B .19 C .19- D .79- 7.已知点()4,4A 在抛物线22y px =(()0p >)上,该抛物线的焦点为F ,过点A 作该抛物线准线的垂线,垂足为E ,则EAF ∠的平分线所在的直线方程为( ) A .2120x y +-= B .2120x y +-= C .240x y --= D .240x y -+=8.在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,M 是棱11A D 的中点,过1C ,B ,M 作正方体的截面,则这个截面的面积为( )A B C .92 D .989.已知R k ∈,点(),P ab 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点,则ab 的最大值为( ) A .15 B .9 C .1 D .53- 10.已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点,则ω的取值范围为( ) A .1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B .913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .[)4,6ππ 11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为( )A .83 B .163 C .323D .16 12.定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数,若m ,n 满足()22f m m -+()220f n n -≥,则当1n ≤32≤时,mn的取值范围为( ) A .2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B .31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知点()00O ,,()1,3A -,()24B -,,2OP OA mAB =+u u u r u u r u u u r,若点P 在y 轴上,则实数m = . 14.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,传本的《孙子算经》共三卷,其中下卷“物不知数”中有如下问题:“今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?”其意思为:“现有一堆物品,不知它的数目.3个3个数,剩2个;5个5个数,剩3个;7个7个数,剩2个.问这堆物品共有多少个?”试计算这堆物品至少有 个. 15.设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++L ,则08a a += .16.在平面四边形ABCD 中,连接对角线BD ,已知9CD =,16BD =,90BDC ∠=︒,4sin 5A =,则对角线AC 的最大值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设等比数列{}n a 的前n 项和n S ,已知1238a a a =,(2133n S a a =++)521n a a -+L (*N n ∈).(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设n n b nS =,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图,ABCD 是边长为a 的菱形,60BAD ∠=︒,EB ⊥平面ABCD ,FD ⊥平面ABCD ,2EB FD ==.(Ⅰ)求证:EF AC ⊥;(Ⅱ)求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19.某商场拟对某商品进行促销,现有两种方案供选择,每种促销方案都需分两个月实施,且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据,若实施方案1,预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4,第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5;若实施方案2,预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3,第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数. (Ⅰ)求1ξ,2ξ的分布列;(Ⅱ)不管实施哪种方案,i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表,试比较哪种方案第二个月的利润更大.20.已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设动点M ,N 在椭圆C 上,且3MN =MN 在y 轴上的截距为m ,求m 的最大值. 21.已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. (Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦,满足()1e 4f x ≤+,求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的普通方程为20x y --=,曲线C 的参数方程为,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点. (Ⅰ)求线段AB 的长;(Ⅱ)已知点P 在曲线C 上运动,当PAB V 的面积最大时,求点P 的坐标及PAB V 的最大面积. 23.选修4-5:不等式选讲(Ⅰ)已知1a b c ++=,证明:()()2211a b ++++()21613c +≥; (Ⅱ)若对任意实数x ,不等式x a -+212x -≥恒成立,求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12:BD二、填空题13.2314.23 15.2590- 16.27 三、解答题17.解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列,所以2132a a a =. 因为1238a a a =,所以328a =,解得22a =.因为()2135213n n S a a a a -=++++L , 所以213S a =,即1213a a a +=. 因为22a =,所以11a =. 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==, 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.(Ⅱ)因为等比数列{}n a 的首项为11a =,公比2q =, 所以()111n n a q S q-==-122112nn -=--. 因为n n b nS =,所以()21n n b n =-=2nn n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++L(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-L ()123n ++++L .设23122232n P =⨯+⨯+⨯2nn ++⨯L . 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯L .所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=L ()1122n n +-+.因为123+++()12n n n ++=L ,所以()112n n T n +=-()122n n ++-.所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-. 18.解:(Ⅰ)证明:连接BD , 因为ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥.因为FD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , 所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩,所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ,FD ⊥平面ABCD ,所以EB FD ∥. 所以B ,D ,F ,E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ,所以EF AC ⊥.(Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,分别以DC u u u r ,DF uuu r的方向为y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得1,,022A a a ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,1,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,0,2F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,()0,,0C a,1,22E a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()0,,0AB a =uu u r,1,2AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r . 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =r,则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r即0,102ay ax ay =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1x =,则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =r.因为1,22CE a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uur ,所以cos ,n CE n CE n CE⋅==r uurr uurruur .所以直线CE 与平面ABF所成角的正弦值为8.19.解:(Ⅰ)依题意,1ξ的所有取值为1.68,1.92,2.1,2.4, 因为()1 1.68P ξ==0.60.50.30⨯=,()1 1.92P ξ==0.60.50.30⨯=,()1 2.1P ξ==0.40.50.20⨯=,()1 2.4P ξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意,2ξ的所有取值为1.68,1.8,2.24,2.4,因为()2 1.68P ξ==0.70.60.42⨯=,()2 1.8P ξ==0.30.60.18⨯=,()2 2.24P ξ==0.70.40.28⨯=,()2 2.4P ξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为(Ⅱ)令i Q 表示方案i 所带来的利润,则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5,2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >,所以实施方案1,第二个月的利润更大.20.解:(Ⅰ)双曲线2215x y -=的焦点坐标为()因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,所以a =6a =,解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.(Ⅱ)因为2MN =>,所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m-=()22160k m +->,所以221+6m k <.设()11,M x y ,()22,N x y ,根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+,()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为3MN =3=整理得()42221839791k k m k -++=+.令211k t +=≥,则21k t =-.所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=. 等号成立的条件是53t =,此时223k =,253m =满足2216m k <+,符合题意.故m . 21.解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪. 因为()ln x f x ax b x =-+,所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--,即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+,比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .(Ⅱ)由()1e 4f x ≤+,即e ln x ax x -+1e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦, 则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x xx x-=(22ln ln 4ln x x x x +-. 令()ln p x x =-,所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时,有()1p x x'=-0=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p <ln e 0=-.所以()0h x '<,即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减. 所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e =-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22.解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得,230x x -=. 解得0x =或3x =.所以点()0,2A -,()3,1B ,所以AB ==(Ⅱ)在曲线C 上求一点P ,使PAB V 的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+.将y x b =+代入221124x y +=整理得,()2246340x bx b ++-=. 令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=,解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=,解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时,PAB V 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为d ==PAB V 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=. 23.解:(Ⅰ)证明:因为1a b c ++=,所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++.所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥,即证明22213a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++,所以()2223a b c ++()2a b c ≥++.因为1a b c ++=,所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. (Ⅱ)设()f x =21x a x -+-,则“对任意实数x ,不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”.当12a <时,()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭12a =-, 要使212x a x -+-≥恒成立,必须122a -≥,解得32a ≤-. 当12a =时,1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时,()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭12a =-, 要使212x a x -+-≥恒成立,必须122a -≥,解得52a ≥.综上可知,实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。

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|1专
A∩ B= 刂 贝
(A){艿 |1≤ 艿<2} (B){凭 |0(多 <2} (C){∝ 丨 0(“ <1} 0(多 ≤ 1} (D){笳 丨 (2)若 复数 z满 足 (3-4i+z)i=2+i,则 复数 z
所对应的点位于 (A)第 一象限 (C)第 三象限
(B)第 二象限
(D)第 四象限 s=s+'
;
+C2汛 ~1)
(18)(本 小题满分 12分 )
如图,⒕ BCD是 边长为 @的 菱形 ,∠ 助V=ω °
,
EB⊥ 平 面 ⒕BCD,FD⊥ 平 面 ABCD, EB=2FD=JG. (I) 求证 :EF⊥ ⒕ C; (Ⅱ )求 直线 CE与 平面 ⒕ BF所 成角的正弦值
.
理科数学试题 B 第 3页 (共 4页 )
(B)争
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C
D
5
2
是 的 大 致图 像
(A)
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(4,4)在 抛物线 尸 =勿 多(p)0)上 ,该 抛物线的焦点为 F, 过点 ⒕作该抛物 (7)已 知点 ⒕ 线准线的垂线 ,垂 足为 E,则 ∠EAF的 平分线所在的直线方程为 (B)多 +2yˉ 12=0 (A)2艿 +yˉ 12:〓0 (D)多 -2y+4=0 (C)‰ -yˉ 4= 0 (8)在 棱长为 2的 正方体 ⒕ BCD-A1B1C1D1中 ,胚 是棱 姓 1D1的 中点 过 C1,B,〃 作 正方体 的截面 ,则 这个截面的面积为
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9
⑼÷
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⑼÷
⑼ -手
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+毋 )(ω >0)的 图像在区间 [0,1]上 恰有 3个 最高点 ,则
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(:)l瞥 ,誓
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)
(D)[4π ,6π )
理科数学试题 B 第 2页 (共 4页 )
(12) 定义在 则当
R上 的奇函数 y=灭 钐 )为 减函数 ,若 m,乃 满足只 m2
试卷类型 :B
⒛ 17年 广州市普 通 高 中毕业班综合 测试 (二 )
理科数 学
2017.4 本试卷 4页 ,⒛ 小题 ,满 分 150分 。考试用 时 120分 钟 。 注意事项
:
己的姓名 、考 生号、考 场 号和座 位 号填 写在 答题 卡 上 。用 2B铅 笔将 试卷 类型 (B)填 涂在 ” “ 息`点 ,修 改 时须用橡皮擦干净。 答题卡相应位置上。用 2B铅 笔在 考 生号 处填涂考 生号信 刂
≤ 汜≤ ÷ 时 ,号 的取值范围为
3~2
l一
2掘 )+灭 2屁 ∵
-「 99)≥
0,
(A)
-:← ,11
(:)I1,÷
l
(D)[÷ ,11
第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选 考题 两 部分 。第
13~21题 为必考题 ,每 个试 题 考 生都 必须作答 。
C
3
第22~⒛ 题为选考题 ,考 生根据要求作答。 二 、填空题 :本 题共 4小 题 ,每 小题 5分 。
'=j+1
(3)执 行如图所示的程序框图 ,则 输出的 s值 为 (B)3 (A)4
(C)-2
(D)-3
理科数学试题 B
第 l页 (共 4页 )
(4)从 1,2,3,4,5这 5个 数字中任取 3个 数字组成没有重复数字的三位数 ,则 这个三位
数是偶数的概率为
3一
1一
(A)昔
(5)函 数 冗 )=1n(|州 ※
(19)(本 小题满分 12分 )
某商场拟对某商 品进行促销 ,现 有两种方案供选择 ,每 种促销方案都需分两个月实 施 ,且 每种方案中第一个月与第 二个月的销售相互独立 .根 据以往促销的统计数据 若实施方案 1,预 计第一个月的销量是促销前 的 1.2倍 和 1.5倍 的概率分别是 0.6和 0.4,第 二个月的销量是第一个月的 1.4倍 和 1.6倍 的概率都是 0.5;若 实施方案 2, 预计第一个月的销量是促销前的 1.4倍 和 1.5倍 的概率分别是 0.7和 0.3,第 二个月 (j〓 1,2)表 示实 氵 的销量是第一个月的 1.2倍 和 1.6倍 的概率分别是 0.6和 0.4 令 纟 施方案 j的 第二个月的销量是促销前销量 的倍数 (I)求 苫 l,占 2的 分布列 (Ⅱ )不 管实施哪种方案 ,f氵 与第二个月的利润之间的关系如下表 ,试 比较哪种方案第 二个月的利润更大 7(占 j<2・ 3 7 刍 ≥ 2・ 3 销量 倍 数 f氵 ≤ 20 25 15 利润 (万 元 )

,
(21)(本 小题满分 12分 )
已知函数只 笳 )=彘 -够
+6在 `点 (e,/le))处 的切线方程为 y=-J/z+2e.
(I)求 实数 b的 值
(Ⅱ
;
)≤ ÷ +e,求 实数 o的 取值范围。 )若 存在 凭∈ [e,e2],满 足灭 艿
请考生在第 ” ~z3题 中任选 -题 做答 ,如 果多做 ,则 按所做的第一题计分。 (22)(本 小题满分 10分 )选 修 4-4:坐 标系与参数方程 o9・ 中,已 知直线 J的 普通方程为 跖一 在平面直角坐标系 艿 /ˉ 2=0,曲 线 C的 参数方程为 ⒄
三、解答题 :解 答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本 小题满分 12分 ) 设等比 项和为 sn,已 知 oI@2c3=8,s2n=3(@1+@3+Gs+… 数列 {G乃 }的 前 尼 (瓦 ∈N扌 ). (I)求 数列 {@″ }的 通项公式 (Ⅱ )设 b尼 〓尼 sn’ 求数列 {乙 n}的 前 乃 项和 飞 . £
,
(9)已 知 拓∈R,点
的最大值为
(10)
(11)如 图,网 格纸上小正方形的边长为 1,粗 线画出的是某三 棱锥的三视图 ,则 该三棱锥的体积为
6
ε
n


(A)手
⑷箩
(A)15
⑷ I暂 ,竿 )
(A)÷
(C)瞥
ο

P(c,犭
3
1一
(B)
(c)-钅
广
(D)
7 9
⑴喾
(B)9
2 n
ω

+y=‰ 与圆′ +尸 )不 等式 艿

;
2凭
-1|≥ 2恒 成立,求 实数 G的 取值范围。
理科数学试题 B 第 4页 (共 4页 )
1.本 试卷分 第 I卷 (选 择 题 )和 第 Ⅱ卷
(非 选择 题 )两 部分 。答卷前 ,考 生务 必将 自
2.作 答选择题 时 ,选 出每 小题 答 案后 ,用 2B铅 笔 在 答题 卡 上 对应题 目选项 的答 案信 点涂 黑 ;如 需要 改动 ,用 橡皮擦 干净后 ,再 选涂其他答案。答案不能答在 试卷 上 。 息‘ 3.非 选择题 必须 用黑 色字迹 的钢笔或签 字笔作 答 ,答 案 必 须 写在 答题 卡各题 目指 定 区 域 内相应 位置上 ;如 需 改动 ,先 划掉原 来 的答案 ,然 后 再写上 新答案 ;不 准使 用铅笔和涂 改
,
这堆物品共有多少个 ?” 试计算这堆物品至少有____个
(跖
,
(15)设
-钞 )5(艿

3y)4〓
o9笫
9+@:“ :y+c7艿 7尸


a1跖 y:+@0`,则
%+吼
=
(16)在 平面 四边形 火 BCD中 ,连 接对角线 BD,已 知 CD=9,BD=16,∠
rlA〓 茁
BDε
=∞ °
,
C的 最大值为____. 对角线 ⒕ 舍 ,则
(13)已 知点 C,(0,0),A(-1,3),B(2,-4)
数掘=
B,若 点 P在 y轴 上,则 实 ,oP=25'+汛 ⒕
(14)《 孙子算经》是我国古代重要的数学著作 ,约 成书于四 ,五 世纪 ,传 本的 《 孙子算经》
” “ 共三卷 ,其 中下卷 物不知数 中有如下问题 :“ 今有物 ,不 知其数 .三 三数之 ,剩 “ 二 ;五 五数之 ,剩 三 ;七 七数之 ,剩 二 .问 :物 几何 ?” 其意思为 : 现有一堆物品 不知它的数 目。3个 3个 数 ,剩 2个 ;5个 5个 数 ,剩 3个 ;7个 7个 数 ,剩 2个 。 问
,
.
;
.
1・
1・
(20)(本 小题满分 12分 )
已知双曲线
-/=1的 肾
.
2
焦J点 是椭圆 C:扫 +扣
2
2
=1(o>6>0)的 顶点 ,且 椭圆与
双曲线的离心率互为倒数 (I)求 椭圆 C的 方程
;
(Ⅱ
)设 动J点 〃,Ⅳ 在椭圆 CL且
求 仍 的最大值
.
|跖 叫 ≡
馘 竽 ,记
删 在 y舭 蹴 呦
11⒊ f扌 (I)求 线段 ⒕ B的 长
(Ⅱ
“ e为 参勤 ,设 直线 J与 嘏
;
C交 于 A,召 两点
.
)已 知点 P在 曲线 C上 运动 ,当 △ 乃B的 面积最大时 ,求 点 P的 坐标及 △Ω4B的
最大面积
.
(23)(本 小题满分 10分 )选 修 4-5:不 等式选讲
2+(♂ +1)2+(c+1)2≥ (I)已 知 +3+c=1,证 明 Ω :(@+1’
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