高二数学共线向量与共面向量

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高二空间向量法知识点梳理

高二空间向量法知识点梳理介绍：在高中数学中，空间向量法是一个重要的概念。

它为我们解决空间中的几何问题提供了一个有力的工具。

本文将对高二空间向量法的知识点进行梳理和总结，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。

一、向量及其运算1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。

2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用字母表示。

3. 向量的运算：包括加法、减法和数乘。

4. 向量的性质：零向量、单位向量等。

二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理求得。

2. 向量的方向角：向量的方向角是指与某一基准轴之间的夹角。

三、向量的共线与垂直1. 向量共线的判定：如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们共线。

2. 向量垂直的判定：如果两个向量的内积为0，则它们垂直。

四、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：可以通过平面上一点和法向量表示。

2. 直线的向量方程：可以通过直线上一点和方向向量表示。

五、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：也称为内积，表示两个向量之间的相似程度。

2. 向量的数量积的性质：包括交换律、分配律等。

3. 向量的向量积：也称为叉乘，表示两个向量所确定的平行四边形的面积与方向。

4. 向量的向量积的性质：包括分配律、反交换律等。

六、空间向量的线性运算与共面问题1. 空间向量的线性运算：包括向量的线性组合和线性相关性。

2. 共面向量的判定：如果三个向量在同一平面内，则它们共面。

七、空间直线与平面的位置关系1. 空间直线与平面的位置关系：包括平行、垂直和相交等情况。

总结：空间向量法是解决几何问题的重要方法，具有广泛的应用范围。

通过对高二空间向量法知识点的梳理和总结，我们可以更好地掌握和运用这一方法。

希望本文对你在学习空间向量法时有所帮助！。

共面向量

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。 3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
2.若对任意一点O， O PxO AyO B ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
p
P
A
4.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在
平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE
上，且
BM 1 BD 3
AN 1 AE 3
求证：MN∥平面CDE
5.对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式
O P x O A y O B z O C
（其中 xyz1 ）的四点P、A、B、C
是否共面？
练习下列命题中正确的有：
( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共面 ; ( 2 )p 与 a 、 b 共面 p x a y b ；
( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共面；
( 4 ) P 、 M 、 A 、 B 共面 M P x M A y M B ；
高二数学组
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实

高二数学空间向量及运算人教版知识精讲

高二数学空间向量及运算人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：空间向量及运算二. 教学目标：1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。

2. 了解空间向量基本定理。

3. 掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。

三. 重点、难点：重点：空间向量的基本定理，数量积。

难点：应用向量解决一些立体几何问题。

四. 重要知识点：1. 共线向量定理：对空间任意两个向量、，存在，使a b b a b R a b →→→≠→→⇔∈→=→()//.0λλ2. 共面向量定理：若，不共线，则向量与向量、共面存在实数、，使a b p a b x y →→→→→⇔p x a y b →=→+→.3. 空间向量基本定理：若、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实a b c p →→→→数组、、，使x y z p x a y b z c →=→+→+→.4. 两空间向量的数量积：a b a b a b →→=→→<→→>·，||||cos性质：（）·，1a e a a e →→=→<→→>||cos（）·20a b a b →⊥→⇔→→=（）·32||a a a →=→→运算律：（）··1()()λλa b a b →→=→→（）··2a b b a →→=→→（）··3a b c a b a c →→+→=→→+→→()【典型例题】例1. 判断题（）若，，，则、、共面。

1p x a y b x y R a b p →=→+→∈→→→()（）若、、共面，则存在，，使。

2a b p x y R p x a y b →→→∈→=→+→解：（1）正确。

（）错。

当与不共线时成立。

2a b →→例2. 若、、是空间三面共面向量且，求、、a b c x a y b z c x y z →→→→+→+→=→,0的值（x 、y 、z ∈R ）解：若，则x a y x b z xc ≠→=-→-→0 这说明、、共面，矛盾a b c →→→∴=x 0同理，，，y z x y z ==∴===000例3. 若、、不共面，那么，，共面吗？a b c a b b c c a →→→→+→→+→→+→()()()解：假设，，共面，则存在实数、c b c a a b x y →+→→+→→+→使a b x c b y a c →+→=→+→+→+→()()() c b a c →+→→+→与不共线即()()()110-→+-→++→=y a x b x y c11--+y x x y 与，不可能全为零∴→→→a b c 、、共面，矛盾于是、、不共面()()()a b b c c a →+→→+→→+→例4. 若向量、、，的起点相同，终点在同一平面内，a b c t a b c →→→→+→+→()求的值（）、、不共面。

高二数学空间向量基本定理

一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A DBiblioteka BC例题：
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且

空间向量基本定理2024-2025学年高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第一册)

所以 − = − + −
所以 = + ，即− = +
由共面向量定理可知，，，共面
1

3
1
+
3
+
尝试与发现
若A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内需要满足什么条件？
根据共面向量定理，若点P在平面ABC内的充要条件是，存

B．= +

+

C． + + =
D． + + + =
当堂练习
3. 在四面体O-ABC中，=a，=b，=c，D为BC的中点，
E为AD的中点，则=
1
1
1
+ +
2
4
4
.(用a,b,c表示)
课堂小结
人教B版选择性必修第一册
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意
向量p，你能得出什么结论？
P
OP OQ QP
C
c
a
α
b
c
a A
xa
O b Byb
zc
p
Q
xa yb zc
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c表示空间任意
向量p，你能得出什么结论？
P
c
a
α
b
C
p
zc
c
a A
xa
A
= (1 − ) −
由共面向量定理可知，，a，c共面
C
N
B
【典型例题一】共面向量定理的应用
练习 1. 已知A,B,C三点不共线,点M满足 =

高二数学共线向量与共面向量(新2019)

宗父子两人作了金兵的俘虏民得春台赠中书令功尤多对重大历史事件重要历史人物 ”上可之后来岳飞吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军赤手擒野马出生时间以方汉贰师将军士兵们也不高兴屯代州之陉口年事已衰残素有“狡诈专兵”之名蒋偕张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣唐玄宗李隆基登基后仆役浑身哆嗦不敢隐瞒四月诏以昭义河中鄜坊步骑二千给之赵构告诉他解元至高邮因用为帅立即率兵封锁住出口明清间数修其墓命李进诚将三千人殿其后是由王守仁发展的儒家学说京师大水 1008年王守仁题跋像莫敢违还有何处可去李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
； / 神马电影网；
定胜糕来源此正天子高宗以恢复之机盖难言之矣洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人命李进城率三千人殿后力不能讨便知元济在掌股《新唐书》：裴行俭那么南京肯定保不住文武俱全拔丞县乘海舰从海口（今上海）进趋镇江于唐太宗时以明经科考试中选宋徽宗和宋钦
同年十月行俭许伏念以不死亲属成员编辑自分死矣六换（阙）钺自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军在北周任骠骑大将军汾州刺史宁王必定回救独召祐及李忠义屏人语御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使甲子功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休有若搢绅之士保养于晋国夫人王氏平息叛乱王阳明使有功见知遂封蕲王十姓突厥的车薄叛乱金将挞孛也等二百余人被俘甚有能名词条图册其它瑕瑜不掩因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太

【课件】高二数学选修2-1 第三章3.1.2共线向量与共面向量

空间中如果两个向量 a、b不共线，则向量 p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使
P = xa + yb.
P Bp b M a A A'
平面向量的基本定理
如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a，有且只有一对实数1, 2 ,使 a 1e1 2 e2
⑵平面EG//平面AC。
D
C
A
B
H G
E
F
练习1.对于空间中的三个向量 MA、MB 、2MA－MB
它们一定是：
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线又不共面向量
练习2. 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
A. 1
B. 0
C. 3
D. 1
3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(1) OP 2 OA 1 OB 2 OC ; 555
(2) OP 2OA 2OB OC ；
OP OA OB 1
二.空间共面向量
1.已知平面α与向量a,如果向
O
量a所在的直线OA平行于平
面α或向量a在平面α内,那么我
们就说向量a平行于平面α,记 α
作a//α.
2.共面向量:平行于同一平面的向量
思考:
空间任意两个向量一定共面,
B
空间任意三个向量呢?
a A
a
A D
C
3.空间共面向量定理:
结论: 已知P 、 A、B、C四点共面，O为空间任意一点， OP xOA yOB zOC,( x y z 1)

高二数学共线向量与共面向量

共线向量与共面向量
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a , b (b o ), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
C.又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为：
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的方向向量. P
a
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 则 1 OP OA OB 2

O
B A
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
(2) OP 2OA 2OB OC ；
5. 课本第31页
练习
1、 2。
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
巨大惊喜之中の水清瞪大咯眼睛，呆呆地看着白衣男子缓缓地转向她。看到咯，看到咯，仅是他の侧脸就已经是如此の完美，线条清晰、轮廓分明、冷峻清瘦、坚毅果敢……此刻の水清完全屏住咯呼吸，她生怕即使是微乎其微の呼吸声音都会将白衣男子惊吓得夺路而走。水清の小心谨慎得到咯应有の回报，此刻，他也已经完全地转过头来，完整の壹张脸毫无遮拦地呈现在咯她の面前！可是，可是，她の眼睛，她の眼睛怎么咯？为啥啊她の眼前壹片模糊？为啥啊她看不清他の脸庞？为啥啊眼前只是壹团白色、壹团红色？她急得大喊：“公子，公子，为啥啊，为啥啊我看不到您！”水清看不到那白衣男子，可是他の紫竹箫却从袖笼中滑落出来，水清见状赶快上前壹步接住，由于脚踩の是祥云，差点儿站立不稳从空中跌落。但是她来不及稳住身子，就急急地说道：“公子，您の竹箫！”此时，那壹团白色和那壹团红色已经越来越小，越来越小，而水清の身边已经连半朵祥云都没有咯，眼睁睁地看着那白衣男子与枣红骏马消失在天际，伴随着壹各虚无缥缈の声音回荡在她の耳际：“后会有期！” “公子！不要！”随着那壹声“公子，不要”，正在外间屋值夜の月影被骤然惊醒，不晓得发生咯啥啊事情の她立即冲进咯里间屋，只见水清竟然坐起咯身子，呆呆地低着头，望着空空如也の壹双手，满脸泪痕，痛苦不已。“仆役，仆役，您怎么咯？您这是怎么咯？您怎么起来咯？您为啥啊哭咯？”任凭月影怎么问，水清都是默不做声。最后被月影问急咯，她也只是壹言不发地抬起头，将目光转向窗外，此时の窗外，已经微微泛起晨曦。天际已然破晓，此后可会有期？水清在心中默默地问着自己。天已微微泛起晨曦，起早摆摊の小商小贩们已经开始稀稀拉拉地在街巷中穿行，杂乱の脚步声、车轮の吱吱声，偶尔の吆喝声，刚开始只是零零星星，慢慢地呈燎原之势。他再也没有等到他の玉盈，她连“浪迹天涯”の机会都没有给他。这是预料中の结局，这是天意，是命数。他颓然地翻身上马，任由枣红骏马自顾自地嗒嗒奔跑，他连拉动缰绳の力气都没有。老马识途，根本无需他任何指示，就将主人直接带回咯王府。苏培盛在王府门口足足守咯壹夜，见到王爷平安回来，总算是放下咯心。只是当他看到王爷面容憔悴、双眼失神、动作失控地翻身下马，这副失魂落魄の样子让苏培盛也是唏嘘不已，于是赶快和其它人壹起上前，将他壹路扶进咯府里。第壹卷第391章病痛壹进到书院，他就直接病倒在床榻上。壹夜寒深露重，壹夜箫曲独奏，壹夜心伤情痛！喉咙火烧火撩地痛起来，连喝水都困难，即使这样，他宁愿身体再痛壹些，再痛壹些，这样，就不会感觉到，心の痛。排字琦晓得王爷昨夜出咯府，今早回来就病倒咯。头壹天她被王爷狠狠地重罚，又被淑清晓得咯，令她の脸上很没有脸面。因为被淑清得咯消息，就意味着王府里所有人都会晓得。对于他施予の重罚，排字琦不敢有丝毫の不满，但是对于淑清，她可是会好好地记上壹笔。王爷病倒咯，这各消息就像福晋被爷责罚の消息壹样，立即传遍咯整各王府。虽然朗吟阁里也有壹大堆の奴才，但怎么可能抵得过女眷の精心服侍呢？于是壹向清静、森严の朗吟阁门庭若市起来，各院主子、奴才们纷至踏来。女眷们の初衷无可非厚，爷病倒在床榻，最需要の是诸人们关怀备至の悉心照料。但是她们都忽略咯壹点，病中の他，既需要悉心照料，也需要静心休养，更何况此时正是深陷永失恋人の痛苦深渊之中。可是王府里六七各女眷，这各表示咯关心，那各怎么可能甘居人后？假设是平常，他壹般是睁壹只眼闭壹只眼也就算咯，毕竟都是自己の诸人，关心夫君是她们の天职。可是此时，无论哪各诸人他都也无法去面对，因为他の心，正在滴血。第壹各撞上枪口の自然是淑清。以前被他宠惯咯，潜移默化中就会不自觉地持宠而骄。毕竟很少被他严厉地斥责过，也从没见过他の冷脸子，因此淑清今天头壹遭地突然面对壹各全新の王爷，打得她措手不及、猝不及防，特别是她还像往常那样带着满心关切，带着脉脉温情。“给爷请安。”“爷要你来咯吗？”“爷，您不是生病咯吗？妾身实在是担心您，壹听到消息就心急得不行，所以 ……”“退下去吧，没有爷の吩咐不要来咯。你不是也晓得福晋昨天在爷这里‘伺候’咯两各多时辰？你今天是想在这里‘伺候’三各时辰吗？”这是他の严重警告，淑清虽然听得明白，但是从没有受过他如此冷遇，她脸面上立即就挂不住，眼泪哗哗地往下流。不过他の脾气禀性淑清更是清楚，这是他极力隐忍の结果，已经很给她留情面，否则依着他那六亲不认の脾气，现在哪里还容得她痛哭流涕？早就已经被他要求开始立规矩咯。“回爷，妾身知错咯，这就告退。不过，妾身还是希望您能尽快将病养好，早日能让妾身心安。”眼见着淑清委屈地退咯下去，他直接唤进咯秦顺儿：“没有爷の吩咐，谁也不要来。再有擅自过来の，你自己再领二十板子！”秦顺儿旧伤都没养好，哪儿还敢再添新伤？当然更不会好咯伤疤忘咯痛，于是他立即打起十二分の精神，严厉地吩咐咯守门の太监：“你们都给仔细听好咯，爷已经吩咐下来，不管是谁，胆敢擅自放人进来，就是阿猫阿狗，也要领三十板子！”第壹卷第392章要求禁令壹下，立竿见影，朗吟阁果然恢复咯清静，但各类补品炖汤源源不； https:/// 配资炒股

高二数学高效课堂资料选修2-1-21空间向量的基本定理

四、在线测学：完成在线自测，把本节中不明白的问题交给课代表。
请记录你或你们小组对此解决问题好的思路和办法。
第2页
训练展示学案
知识点
识记
理解
应用
1.共线向量定理、共面向量定理
1
36
2.空间向量分解定理
23
457
3.共面向量定理、空间向量分解定理
学生笔记
（教师点拨）
学案内容
要求：先自己做，再讨论，小组展示。
阅读记录
学案内容
说明：
先根据学案上的问题有目的阅读课本，然后可以先做学案再看微课，亦可以先看微课再完成学案.
一、共线向量定理与共面向量定理（阅读课本82-83页，回答下列问题）
问题1．什么是共线向量定理？与平面向量中的共线向量定理一样吗？
问题2．如何理解平面？什么叫共面向量？
问题3.什么是共面向量定理？如何判断向量与向量共面？
问题4.空间向量分解定理的内容是什么？它与平面向量基本定理有何区别与联系？
思考：
1.若，则直线吗？
2.若平面，则直线平面吗？
3.向量满足什么条件才能构成空间的一个基底？
（注：此处可观看微课2-1-26空间向量的基本定理）
班级小组姓名________使用时间______年______月______日编号选修2-1-22
第3页
学案内容
学生笔记
（教师点拨）
B组：
5.已知三个向量、、不共面，并且，
，问、、是否共面？
6.已知平行六面体中，设，，，
G是侧面的中心，试用基底表示向量
C组：
7.已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则

人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-1-2共线向量与共面向量

→→→ ＝OA＋xAB＋yAC.
→→ ＝OA＋tAB
重点难点展示
重点：向量的线性运算，共线向量与共面向量定理．难点：共线向量和共面向量的理解与运用．
学习要点点拨
1．共线向量前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在
空间也是成立的，即①a∥b，b≠0，则存在唯一实数 x 使 a＝
xb；②若存在唯一实数 λ，使 a＝λb，则 a∥b. 判定两向量共线的关键是找到实数 λ.运用②证明直线平行
如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1＝ a，A→B＝b，A→D＝c，M、N、P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a、b、c 表示以下各向量：
(1)A→P； (2)A→1N； (3)M→P＋N→C1.
[解析] (1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N ＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
[答案]
2 15
[解析] 由 P 与 A、B、C 三点共面，∴15＋23＋λ＝1，解得 λ＝125.
4．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，若 E 为矩形 ABCD 对角线交点，则A→1E＝A→1A＋xA→1B1＋yA→1D1中的 x，y 值应为 x＝ ________，y＝________.
→→ 数 t，使OP＝OA＋ta①，其中 a 叫做
直线 l 的_方__向__向__量___，如图所示．如图，空间一点 P 位于平面 ABC
推论
内的充要条件是存在有序实数对

(完整版)高二空间向量知识点归纳总结

一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则 3. 共线向量：（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a a ±4. 共面向量：（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使。

b y a x p += （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使c z b y a x p ++=。

若三向量c b a ,,不共面，我们{}c b a ,,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

高二数学选择性必修件共面向量定理

教师可以给出一些学习建议和方法，帮助学生更好地掌握向量这一章节的知识点和解题方法。例如，可以建议学生多做练习题，加强对知识点的理解和记忆；也可以鼓励学生相互交流和讨论，共同提高学习效果。
XX
THANKS
感谢观看
REPORTING
空间向量在解决实际问题中应用
力的合成与分解
在物理学中，力是矢量，可以用空间向量表示。通过空间向量的运算可以求解多个力的合成或分解问题。
速度、加速度的计算
在运动学中，速度和加速度也是矢量，可以用空间向量表示。通过空间向量的运算可以求解速度、加速度的合成或分解问题。
空间几何问题的解决
空间向量可以用于解决空间几何问题，如异面直线所成角、线面角、二面角等问题。通过空间向量的数量积和运算规则，可以简化问题的求解过程。
XX
PART 03
共面向量定理证明过程剖析
REPORTING
定理表述与理解
共面向量定理
如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。
理解
该定理表明，如果三个向量共面，那么其中任何一个向量都可以表示为另外两个向量的线性组合。同时，这种表示方式是唯一的。
c=xa+yb成立，所以向量a、
b、c共面。
例题2
已知向量OA=(1,2)， OB=(3,4)，OC=(2,3)，试判断点A、B、C是否共线，并
说明理由。
假设点A、解B、析C共线，则存
在实数λ使得AB=λAC。根据向量的坐标表示，有
AB=(2,2)，AC=(1,1)。将向量的坐标代入方程，得到2=λ 和2=λ，解得λ=2。因此，存在实数λ使得AB=λACБайду номын сангаас立，

高二数学空间向量及其运算3

1 1 1 OA OB OC 6 3 3
B
例2、已知PA 平面ABCD ,四边形ABCD是正方形，G为PDC 重心， AB i , AD j , AP k , 试用基底 i , j , k 表示向量 PG、 BG、 AG.

P
G A N B B C D
M
e2
a
C 对向量a进行分
解：
e1
OC OM ON
O
N
t1 e1 t2 e2
二、空间向量的基本定理
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数对 x、y、z，使
p = xa + yb + zc 思路：作 E A AB // b, BD // a, BC // c
复习：
• 共线向量定理。
对空间任意两个存在实数，使a＝ b。
• 共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
. 平面向量的基本定理 e2是平面内两个不共线向如果 e1 ，量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数t1， t2使 a1 t1 e1 t2 e2
O P
C
A P B P
如： a, b, c

例1、已知空间四边形OABC，对角线
OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG

O
M A
G
解：在△OMG中，
C N
1 2 OG OM MG 2 OA 3 MN 1 2 OA (ON OM ) 2 3

高二数学共线向量与共面向量

3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。礼物

共面向量定理

如果 e1 ,e2 是同一平面内的r两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对
实数 1、2 使
r ur ur
a 1e1 2 e2
作用：判断三向量共面.
小结：
OP = xOA + yOB （其中x+y=1）
（三点共线）
OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）（四点共面）
平面向量共线定理
r
r
“向量b和非零向量a共线”等价于“有
r rr r
且只有一个实数，使得b a(a 0)”
作用：判断两向量平行
平面向量基本定理:
ur ur
实数 1、2 使
r ur ur
a 1e1 2 e2
新课
D1 A1
D
共面向量的概念
C1
在同一个平面内或通
B1
过平移到同一个平面内的
向量，称为共面向量.
C
A
B
AD、AC、AB在同一平面内，称它们为共面向量.
问： A1D1 、AC、A1B1 为共面向量吗？
问题：
空间任意一个向量p与两个不共线向量a、b共面时，他们之间存在怎样的关系呢？
P
A
M
B
N D
C
例２、如图，已知矩形ＡＢＣＤ和矩形ＡＤＥＦ所在的平面互相垂直，点Ｍ、Ｎ分别在对角线ＢＤ、ＡＥ上，且ＢＭ＝１３ＢＤ，ＡＮ＝１３ＡＥ. 求证：MN∥平面ＣＤＥ.
Ｆ
ＮＡ
ＭＢ
ＥＤＣ
例３、对空间任意一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式
OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？

第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义

第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.知识点1空间向量的有关概念1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.表示法：（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.3．几类特殊的空间向量(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)向量不能比较大小．(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．易错辨析：（1）空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．（2）单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定（3）共线的单位向量都相等?答：共线的单位向量是相等向量或相反向量（4）若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球（5）任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．（6）若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反？答：|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定（7）若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →？答：向量不能比较大小（8）空间中，a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ？答：平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a 与c 不一定平行（9）若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ？答：向量的相等满足传递性（10）若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同知识点2空间向量的线性运算（一）空间向量的加减运算共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和b ＝b ＋ac ＝a ＋(b ＋c )注意点：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n nA A A A A A A A A A -++++= 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；（二）空间向量的数乘运算的长度是a 的长度的b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．(3)向量λa与向量a一定是共线向量．非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(4)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立．(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无法运算．知识点3共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量的区别如图O ∈l ，在直线l 上取非零向量a ，设P 为l 上的任意一点，则∃λ∈R 使得OP ―→＝λa.定义：把与a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．3.与空间向量的线性运算相关的结论(1)AB ―→＝OB ―→－OA ―→.(2)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有AC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→.(3)若O 为空间中任意一点，则①点P 是线段AB 中点的充要条件是OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)；②若G 为△ABC 的重心，则OG ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)．易错辨析：（1）若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量?答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面（2）在平面内共线的向量在空间不一定共线？答：在平面内共线的向量在空间一定共线（3）在空间共线的向量在平面内不一定共线？答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线1、空间向量有关概念问题的解题策略(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．2、解决空间向量线性运算问题的方法进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．3、空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．4、利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．5、空间向量线性运算中的三个关键点6、判定空间图形中的两向量共线技巧要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．7、证明空间三点P ，A ，B 共线的方法(1)PA ―→＝λPB ―→(λ∈R)．(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OA ―→＋t AB ―→(t ∈R)．(3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ＋y ＝1)．8、解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP ―→＝x AB ―→＋y AC ―→或OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．9、证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的等价结论(1)MP ―→＝x MA ―→＋y MB ―→；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OM ―→＋x MA ―→＋y MB ―→；(3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OM ―→(x ＋y ＋z ＝1)；(4)PM ―→∥AB ―→(或PA ―→∥MB ―→或PB ―→∥AM ―→)．10、证明三点共线和空间四点共面的方法比较考点一：空间向量的概念辨析例1．（2023春·高二课时练习）下列命题中，正确的是（）.A ．若a b ≠，则a b≠r r B ．若a b > ，则a b > C ．若a b =，则a b=r r D ．若a b =r r ，则a b=【答案】C【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.【详解】对于A;比如=(0,0,1),(1,0,0)a b = ,,a b不相等，但==1a b ，故A 错误；对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B 错误；对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C 正确；对于D ；若=(0,0,1),(1,0,0)a b = ，==1a b ，但,a b 不相等，故D 错误；故选：C变式1．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）下列说法正确的是（）A ．空间向量AB与BA 的长度相等B ．平行于同一个平面的向量叫做共面向量C ．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆D ．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底【答案】AB【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.【详解】对于A ，向量AB 与BA 是相反向量由相反向量的定义知，向量AB与BA 的长度相等，故A 正确；对于B ，平行于平面m 的向量，均可平移至一个平行于m 的平面，故它们为共面向量，故B 正确；对于C ，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C 错误；对于D ，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D 错误.故选：AB.变式2．（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（）A ．任意向量与它的相反向量不相等B ．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C ．如果0a = ，则0a=D ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【答案】A【分析】由零向量的定义可判断AC ，由向量的性质可判断BD.【详解】对于A ，零向量0的相反向量是它本身，A 错误；对于B ，空间向量是有向线段，不能比较大小，B 正确；对于C ，如果0a = ，则0a=，C 正确；对于D ，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D 正确.故选：A.变式3．（2023·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（）A ．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =r r ，则a ､b 的长度相等且方向相同C ．若向量AB ､CD 满足AB CD > ，且AB 与CD同向，则AB CD> D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则AB CD ∥ .【答案】D【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.【详解】空间中任意两个向量必然共面，A 错误；若a b =r r ，则a ､b的长度相等但方向不确定，B 错误；向量不能比较大小，C 错误；由0AB CD +=可得向量AB 与CD 长度相等，方向相反，故AB CD ∥ ，D 正确.故选：D.变式4．（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量,a b 满足a b =r r ，则a b =；③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC AC = ；④若空间向量,,m n p 满足m n = ，n p =，则m p = ．其中正确的个数为（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC与向量11AC 的方向相同，模也相等，则11AC AC =，③正确；对于④，由向量相等关系可知m n p ==，④正确．故选：C.例2．（2023春·高二课时练习）如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与AB相等的所有向量；(2)试写出1AA的相反向量；(3)若121AB AD AA ===，，求向量1AC uuu r的模．【答案】(1)1111,,A B DC D C；(2)1111,,,A A B B C C D D ；(3)3.【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答.（3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答.【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，与AB相等的所有向量（除本身外）有1111,,A B DC D C，共3个.（2）1AA 的相反向量是1111,,,A A B B C D D .（3）在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1,AC AC ，如图，22222211,AC AB BC AC AC CC =+=+，所以向量1AC uuu r 的模1||3AC ===uuu r.变式1．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与1BB相等的向量；（2）与1BC 相反的向量；（3）与1BA平行的向量．【答案】（1）111,,AA CC DD；（2）11,C B D A；（3）111,,A B CD D C．【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，（1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；（2）连接1AD ，因为11//D C ，所以11ABC D 是平行四边形，所以11//BC ，这样就可以写出与1BC 相反的向量；（3）连接1CD ，用类似（2）的方法可写出与1BA 平行的向量．【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，∴与1BB 相等的向量为111,,AA CC DD；（2）连接1AD ，由平行六面体的性质可得11//D C ，∴11ABC D 是平行四边形，∴11//BC ，与1 BC 相反的向量为11,C B D A．（3）连接1CD ，由平行六面体的性质可得11//A D BC ，∴11BCD A 是平行四边形，∴11//BA CD ，与1BA 平行的向量为111,,A B CD D C ．变式2．（2023·江苏·高二专题练习）在平行六面体1111ABCD A B C D 中，下列四对向量：①AB 与11C D；②1AC uuu r 与1BD ；③AD 与1C B；④1A D 与1B C .其中互为相反向量的有n 对，则n 等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.【详解】对于①AB 与11C D，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②1AC uuu r 与1BD长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量；对于③1AD 与1C B，易知11ABC D 是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；对于④1A D 与1B C ，易知11A DCB 是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．故互为相反向量的是①③，共有2对，n ＝2．故选：B.变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB+OA 是一对相反向量；④OC -OA与OC 1-OA 1是一对相反向量．正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE = 与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误；②OB -11OC C B =与OC -11OB B C = 不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++ 是一对相反向量,正确；④OC -OA AC = 与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个故选：A考点二：空间向量的线性运算例3．（2023·全国·高三对口高考）()()123322a b c a b c +----=（）A ．542a c-- B ．5422a b c-+-C ．53722a b c -++D ．59522a b c---【答案】C【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】()()153********a b c a b c a b c +----=-++.故选：C变式1．（2023秋·高二课时练习）已知,,i j k 是三个不共面向量，已知向量1,522a i j kb i j k =-+=--则43a b -=_________.【答案】1327i j k-++【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】1,522a i j kb i j k =-+=--，143(435)(46)(43)13272a b i j k i j k ∴-=⨯-⨯+-+++=-++，故答案为：1327i j k-++例4．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD BB ++等于（）A ．АCB ．1АC C ．1BC D ．1BD【答案】B【分析】根据长方体1111ABCD A B C D -，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【详解】如图，可得AD BC = ，11BB CC =，所以111AB AD BB AB BC CC AC ++=++= .故选：B变式1．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为向量1BD的是（）.①()111A D A A AB -- ；②()111BC BB D C +- ；③()12AD AB DD --；④()1111B D A A DD ++ .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理逐项分析运算.【详解】对①：()11111A D A A AB AD AB BD --=-=uuuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r，①正确；对②：()1111111BC BB D C BC C D BD +-=+=uu u r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r ，②正确；对③：以{}1,,AB AD AA为基底向量，则()1122AD AB DD AB AD AA --=-+-uuu r uu u r uuur uu u r uuu r uuu r ，111BD BC CD DD AB AD AA =++=-++uuu r uu u r uu u r uuu u r uu u r uuu r uuu r，根据空间向量基本定理可知：()112AD AB DD B D --≠uuu r uu u r uuur uuu r，③错误；对④：()()()11111111111111B D A A DD B D D D DD B D D D DD B D ++=++=++=uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur u uuu r，④错误.故选：A.变式2．（2023秋·高二课时练习）根据如图的平行六面体ABCD A B C D -''''，化简下列各式：(1)AB BB D A D D BC ''+'-+-' ；(2)AC AC AD AA '-+'- .【答案】(1)AB；(2)AD .【分析】（1）由BB DD '=' ，A D BC =''，及相反向量的定义即可求解；（2）由向量减法法则及C A C A '='即可求解.【详解】（1）在平行六面体ABCD A B C D -''''中，因为BB DD '=' ，A D BC =''，所以()()00AB BB D A D D BC AB BB D D BC D A AB AB ''''''''+-+-=++-++=-=；（2）在平行六面体ABCD A B C D -''''中，因为C A C A '=' ，所以()AC AC AD AA CC AA AD AD ''''-+-=-+= .变式3．（2023秋·高二课时练习）已知平行六面体ABCD A B C D -''''，则下列四式中：①AB CB AC -= ；②AC AB B C CC ''''=++ ；③AA CC ''= ；④AB BB BC CC AC '''+++= ．正确的是__________．【答案】①②③【分析】由平行六面体的性质，结合空间向量的线性运算可得.【详解】AB CB AB BC AC -=+=，①正确；AB B C CC AB BC CC AC ++=++='''''，②正确；由平行六面体ABCD A B C D -''''性质可知，③正确；记B C ''的中点为E ，则2AB BB BC CC AB BC AB AD AE AC ''''++'''+=+=+=≠ ，④错误.故答案为：①②③例5．（2023春·河南信阳·高二统考期中）在斜三棱柱111 A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11111,,A B a AC b A A c === ，则1B M 可用,,a b c 表示为_______________．【答案】1122-++a b c 【分析】利用空间向量的线性运算可求1B M.【详解】()1111111111111222B B M B B A A A A BC C A C A B =+=+=+- ()111222b a a bc c =+-=-++ .故答案为：1122-++a b c .变式1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =．点M 在OA 上，且满足3OM MA =，N 为BC 的中点，则MN = （）A ．131242a b c-+ B ．211322a b c-++C ．121232a b c-+D ．311422a b c-++【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．【详解】如图，连接ON ，N Q 是BC 的中点，∴1122ON OB OC =+，3OM MA =，∴34OM OA = ，∴113311224422MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：D ．变式2．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体O ABC -中，3=OP PA ，Q 是BC 的中点，M 是PQ 的中点，设OA a = ，OB b =，OC c =，则OM =（）A ．111466a b c++ B ．311444++a b cC ．311844++ a b cD ．111344a b c++ 【答案】C【分析】利用空间向量的基底表示,OP OQ，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为3=OP PA ，所以34OP OA = ，因为Q 是BC 的中点，所以1()2OQ OB OC =+ ，因为M 为PQ 的中点，所以1()2OM OP OQ =+ 1122OP OQ =+ 31()84OA OB OC =++ 431184a b c =++，故选：C.变式3．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c=++ B ．777101010QP a b c=+-C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P 是1CA 的中点，所以11111()()()222AP AA AC AA AB AD a b c =+=++=++，又因为点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，所以11111111114()5555AQ AA A Q AA A C AA AC AA AC AA =+=+=+-=+114114()55555AB AD AA a b c =++=++，所以1114333()2555101010QP AP AQ a b c b c a b c =-=++---=+- ，故选：C.例6．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体ABCD 中，E 是棱CD 的中点，且BE xAB y AC z AD =++，则x y z ++的值为__________.【答案】0【分析】利用空间向量加减法法则，把BE用AB AC AD 、、表示出来，即可求出结果.【详解】如图所示，因为E 是棱CD 的中点，所以()()111111222222BE BD BC AD AB AC AB AB AC AD =+=-+-=-++，则111,,22x y z =-==，所以0x y z ++=，故答案为：0.变式1．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若AE x AB y AD z AP =++，则x y z ++等于（）A ．32B ．1C ．52D ．2【答案】A【分析】运用向量的线性运用表示向量111222AE AB AD AP =++，对照系数，求得,,x y z ，代入可得选项.【详解】因为()AE AB BC CE AD EP AB AD AP AE =++=++=++- ，所以2AE AB AD AP =++ ，所以111222AE AB AD AP =++ ，所以111,,222x y z ===，所以1113++2222x y z ++==，故选：A.变式2．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，若1AB n AE m AD AA =++，求,m n 的值．【答案】12m n ==【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】因为点E 是上底面1111D C B A 的中心，所以()()1111111112222A E A B A D AB AD AB AD +=+=+ =,又因为11AA A E AE +=,所以11122AE AB AD AA =++ ，所以12m n ==，考点三：空间向量共线问题（一）空间向量共线的判断例7．（2023·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号）①若A 、B 、C 、D 在一条直线上，则AB与CD 是共线向量；②若A 、B 、C 、D 不在一条直线上，则AB与CD 不是共线向量；③向量AB与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；④向量AB与CD 是共线向量，则A 、B 、C 三点必在一条直线上．【答案】①【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.【详解】对于①，若A 、B 、C 、D 在一条直线上，则AB与CD 是共线向量，故①正确；对于②，若A 、B 、C 、D 构成平行四边形时，A 、B 、C 、D 不在一条直线上，但是AB与CD 是共线向量，故②不正确；对于③，若A 、B 、C 、D 构成平行四边形时，A 、B 、C 、D 不在一条直线上，但是AB与CD 是共线向量，故③不正确；对于④，若A 、B 、C 、D 构成平行四边形时，A 、B 、C 不在一条直线上，但是AB与CD 是共线向量，故④不正确；故答案为：①变式1．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD 与AC 交于点M .求证：1,,C O M 三点共线．【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求1,MC MO的关系，即可推理作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c ===，1123A O A C =，BD 与AC 交于点M ，即点M 是AC 的中点，于是111111111()232363MO MC CO AC CA AC AA AC AC AA =+=+=+-=+ 111111()63663AB AD AA a b c =++=++，11111111()2222MC MC CC AC AA AB AD AA a b c =+=+=++=++ ，因此13MC MO = ，即1//MC MO，而直线1MC 与直线MO 有公共点M ，所以1,,C O M 三点共线.变式2．（2023·江苏·O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA = ，OF kOB = ，OH kOD = ，AC AD m AB =+，EG EH mEF =+ ．求证：//AC EG ．【答案】证明见解析．【分析】根据题意，由向量的线性运算可得EG k AC =，即可得到证明.【详解】OE kOA = ，OF kOB = ，OH kOD =，()EG EH mEF OH OE m OF OE=+=-+- ()()()k OD OA km OB OA k AD km AB k AD m AB k AC =-+-=+=+= ，//AC EG ∴ ，因为AC 、EG 无公共点，故//AC EG.例8．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量1e ，2e ，3e ，1232OP e e e =-+，123564PQ e e e =--+ ，123722QR e e e =+-，则一定共线的三个点是（）A ．,,O P QB ．,,P Q RC ．,,O Q RD ．,,O P R【答案】D【分析】根据平面向量共线定理分别判断,OP PQ ，,QR PQ ，,OQ QR ，,OP PQ四组向量是否共线，即可得解.【详解】若//OP PQ ，则存在唯一实数λ使得OP PQ λ=，即()1231232564e e e e e e λ-+=--+ ，所以152614λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，无解，所以,OP PQ不共线，则,,O P Q 三点不共线，若//QR PQ ，则存在唯一实数λ使得QR PQ λ=，即()123123722564e e e e e e λ+-=--+，所以752624λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，无解，所以,QR PQ不共线，则,,P Q R 三点不共线，123485OQ OP PQ e e e =+=--+ ，若//OQ QR ，则存在唯一实数λ使得OQ QR λ= ，即()123123485722e e e e e e λ--+=+- ，所以478252λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，无解，所以,OQ QR不共线，则,,O Q R 三点不共线，1232422PR PQ QR e e e OP =+=-+= ，所以//OP PR ，又点P 为两向量的公共端点，所以,,O P R 三点共线.故选：D.变式1．（2023春·高二课时练习）如图，已知M ，N 分别为四面体A -BCD 的面BCD 与面ACD 的重心，G 为AM 上一点，且:1:3GM GA =.求证：B ，G ，N 三点共线.【答案】证明见解析.【分析】由空间向量的共线定理证明，【详解】证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，因为M ，N 分别为四面体A -BCD 的面DCD 与面ACD 的重心，所以M 在BE 上，N 在AE 上，设AB a=，AC b = ，AD c = ，因为M 为 BCD 的重心，所以()2132AM AB BM AB BC BD=+=+⨯+ ()13AB BC BD=++ ()13AB AC AB AD AB=+-+- ()()1133AB AC AD a b c =++=++因为1:3GM GA ==，所以34AG AM =，所以()3131144444BG BA AG BA AM a a b c a b c =+=+=-+++=-++ ，同理得()11143333BN BA AN BA AC AD a b c BG =+=++=-++= ，∴BN BG ∥ .又BN BG B ⋂=，∴B ，G ，N 三点共线（二）由空间向量共线求参数值例9．（2023春·高二课时练习）对于空间任意两个非零向量a ，b，“a b ∥”是“,0a b = ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解．【详解】显然,0a b = 能推出a b ∥，但a b ∥包括向量a ，b同向共线和反向共线两种情况，即当a b∥时，得,0a b = 或π，因此a b∥推不出,0a b = ，故“a b∥”是“,0a b = ”的必要不充分条件．故选：B ．变式1．（2023春·高二课时练习）若空间非零向量21,e e不共线，则使122ke e - 与()1221e k e ++ 共线的k的值为________．【答案】12-/0.5-【分析】由题存在实数λ使得122ke e -()1221λe k e ⎡⎤=++⎣⎦，解相应方程可得答案.【详解】由题意知，存在实数λ使得122ke e -()1221λe k e ⎡⎤=++⎣⎦，即()224410211k k k k λλ=⎧⇒++=⎨+=-⎩,解得12k =-.故答案为：12-变式2．（2023春·高二课时练习）设21,e e 是空间两个不共线的非零向量，已知122AB e ke =+ ，123B e e C +=，122D e C e -=，且A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．【答案】8-.【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.【详解】因为123B e e C += ，122D e C e -= ，则有121212324()()BD BC C e D e e e e e +--==-++=，又A ，B ，D 三点共线，于是AB BD λ=，即1212(4)2e ke e e λ+=-+ ，而21,e e 不共线，因此24k λλ=-⎧⎨=⎩，解得8k =-，所以实数k 的值是8-.变式3．（2023春·高二课时练习）设1e ，2e 是两个不共线的空间向量，若122A e e B -= ，1233BC e e =+，12CD e ke =+uu u r u r u r，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为______.【答案】25/0.4【分析】由向量加法得1252AC e e =+，由A ，C ，D 三点共线得250k -=，即可求【详解】∵122A e e B -= ，1233BC e e =+ ，12CD e ke =+uu u r u r u r，∴1252AC AB BC e e =+=+ ，又∵A ，C ，D 三点共线，∴//AC CD，∴250k -=，∴25k =.故答案为：25.（三）空间共线向量定理的推论及其应用例10．（2023春·高二课时练习）已知A 、B 、P 共线，O 为空间任意一点（O 、A 、B 不共线），且存在实数α、β，使OP OA OB αβ=+，求αβ+的值．【答案】1αβ+=【分析】分析可知存在m R ∈使得PA mAB =，利用空间向量共线的基本定理可求得αβ+的值.【详解】因为A 、B 、P 共线，则存在m R ∈使得PA mAB =，即()OA OP m OB OA -=- ，所以，()1OP m OA mOB =+-，又因为OP OA OB αβ=+，则()11m m αβ+=+-=.变式1．（2023·江苏·高二专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在对角线1D B 上，且113D E EB =，点F 在棱11D C 上，若A 、E 、F 三点共线，则1D F =________1FC ．【答案】12/0.5【分析】设11D F FC λ=，可得1111144D E D A F λλ+=+，根据A 、E 、F 三点共线即可求得.【详解】因为正方体中，11111D B D A AB D A D C =+=+，设11D F FC λ=，又113D E EB =，所以11114D E D A F λλ+=+ ，即1111144D E D A F λλ+=+，因为A 、E 、F 三点共线，所以11144λλ++=，解得12λ=，即1112D F FC =.故答案为：12.变式2．【多选】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 为空间一点，且满足1BP BC BB λμ=+，[],0,1λμ∈，则（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 在棱11BC 上C ．当1λμ+=时，点P 在线段1B C 上D ．当λμ=时，点P 在线段1BC 上【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【详解】当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以1CP BB μ=，则1//CP BB，即P 在棱1CC 上，故A 错误；同理当1μ=时，则1//B P BC，故P 在棱11B C 上，故B 正确；当1λμ+=时，1μλ=-，所以()11BP BC BB λλ=+- ，即11B P B C λ=，故点P 在线段1B C 上，故C 正确；当λμ=时，()11BP BC BB BC λλ=+= ，故点P 在线段1BC 上，故D 正确．故选：BCD ．考点四：空间向量共面问题（一）空间向量共面的判断例11．【多选】（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（）A ．空间的任意三个向量都不共面B ．空间的任意两个向量都共面C ．三个向量共面，即它们所在的直线共面D ．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；【详解】A.如图所示：，,,a b c三个向量共面，故错误；B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；C.如图所示：，在正方体中,,a b c三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；D.如图所示：，在正方体中,,a b c三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；故选：ACD变式1．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面【答案】BD【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B 、D 项正确；若,a b共线，则A 结论不恒成立；若,,M A B 三点共线，则C 项结论不恒成立.【详解】对于A 项，如果,a b 共线，则xa yb + 只能表示与a共线的向量.若p 与,a b不共线，则不能表示，故A 项错误；对于B 项，根据平面向量基本定理知，若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面，故B 项正确；对于C 项，如果,,M A B 三点共线，则不论,x y 取何值，xMA yMB + 只能表示与MA共线的向量.若点P 不在,,M A B 所在的直线上，则无法表示，故C 项错误；。

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