线性代数5.7节(3学分)
线性代数》课程教学大纲
线性代数》课程教学大纲本章主要介绍行列式的概念、性质、计算方法及其应用。
包括行列式的定义、性质、初等变换及其对行列式的影响、行列式按行（列）展开式、克拉默法则和行列式在几何中的应用等内容。
第二章矩阵与向量(8学时)教学内容：本章主要介绍矩阵、向量及其基本运算，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的转置、矩阵的乘法、矩阵的逆、向量的定义、向量的运算、向量的线性相关与线性无关、向量组的秩等内容。
第三章线性方程组(8学时)教学内容：本章主要介绍线性方程组及其解法，包括线性方程组的基本概念、线性方程组的解法、齐次线性方程组、非齐次线性方程组、矩阵方程等内容。
第四章矩阵的特征值和特征向量(6学时)教学内容：本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量及其应用，包括特征值和特征向量的定义、性质、计算方法、相似矩阵、对角化、二次型及其标准型等内容。
二）学时分配第一章行列式(6学时)第二章矩阵与向量(8学时)第三章线性方程组(8学时)第四章矩阵的特征值和特征向量(6学时)三、考核方式考核方式包括平时成绩和期末考试成绩两部分。
平时成绩包括课堂表现、作业和小测验等，占总成绩的30%；期末考试为闭卷笔试，占总成绩的70%。
考试内容覆盖全部课程内容，注重考查学生的基本概念、基本理论和基本方法的掌握，以及应用能力的培养。
本章主要介绍矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵、二次型与对称矩阵等内容。
其中，重点包括矩阵的特征值与特征向量的概念、性质与求法，实对称矩阵对角化的方法，以及用正交变换法和配方法化二次型为标准形。
难点则在于n阶矩阵与对角矩阵相似的条件和利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。
本课程的教学时数为56学时，其中，课内学时32分配如下表所示。
重点内容的理论课时较多，需要学生认真听讲和思考，同时也需要大量的题课时进行练和巩固。
在行列式方面，学生需要掌握行列式的定义和性质，熟练运用行列式的计算方法，并能够用克拉默法则求解线性方程组。
在矩阵方面，学生需要理解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算和性质，熟练求解逆矩阵和利用分块矩阵讨论线性代数问题。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲一、课程信息二、课程目标通过本课程的学习，学生应具备以下几方面的目标：1、使学生掌握与行列式、线性方程组和矩阵有关的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生抽象思维和逻辑推理能力。
2、使学生获得一定的线性代数的基础知识,为进一步学习后继课程打下基础。
3、通过线性代数中基本概念的建立，基本理论的证明，基本方法的运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
4、掌握数学中的分析方法结合统计学、计量经济以及计算机信息技术等知识，具有对现实金融、贸易、管理、财务等问题进行数理分析的能力。
课程目标对毕业要求的支撑关系表三、教学内容与预期学习成效四、教学目标达成度评价（根据教学目标分项说明达成度考评方式）（1）教学目标1、2的达成度通过课后作业、单元测试和期末闭卷考试综合考评。
（2）教学目标3的达成度通过课后作业、课后拓展和期末闭卷考试综合考评。
（3）教学目标4的达成度通过课堂讨论与课后拓展进行考评。
五、成绩评定（具体说明课程成绩由几种考评方式组成与所占比例，以及每一种方式的具体考评要求）课程成绩包括4个部分，分别为出勤及课堂表现、课后作业和期末考试。
具体要求及成绩评定方法如下：（1）出勤及课堂表现（10%）设此考核项目，目的是控制无故缺课和课堂懒散无纪律情况，具体方案为：总分为100分，无故旷课一次扣5分；无故旷课超过3次数者，此项总分记0分；无故旷课超过学校规定次数者，按学校有关规定处理；上课睡觉、玩手机、吃零食者被老师发现一次扣5分。
（2）课后作业（10%）每章布置一次课后作业，作业包括课后思考题和计算题，评分以答题思路的规范性、整洁性、整体性、逻辑性、正确性为依据，每次满分为100分，最后取平均分。
作业缺少一次扣5分，总计缺少超过三分之一，作业成绩记0分。
（3）期末考试（80%）期末进行综合闭卷考试，总分为100分，期末考试卷面成绩未达总分50%者，该门课程成绩作不及格处理。
六、课程教材及主要参考书1. 建议教材[1] 陈伏兵.应用线性代数.北京:科学出版社,2011.2. 主要参考书[1] 同济大学数学教研室.线性代数. 北京:高等教育出版社,2004.[2] 张禾瑞.高等代数.北京:高等教育出版社. 2004.制订人：审核人：2020年12月8。
《线性代数》课程简介
《线性代数》课程简介本课程是高等学校理工科各专业（非数学专业）学生的一门必修的重要基础理论课，其内容为行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等，这些内容是进一步学习各类专业相关课程的必备知识，其中二次型部分为自学内容。
通过本课程的教学，使学生牢固掌握本课程中的基本理论和基本方法，能够准确地进行计算，严密地进行推理，并且要求学生能应用线性代数的知识去发现问题、分析问题、解决问题，使之成为其相应专业有关课程有力的基础工具。
本课程使用教材：同济大学数学教研室编. <<线性代数>>. 北京 :高等教育出版社 , 2007年5月（第五版）本课程使用参考书：[1]朱金寿编.线性代数. 武汉 : 武汉理工大学出版社, 2000年7月[2] 俞正光等编. 线性代数与空间解析几何 . 北京: 清华大学出版社, 1998年[3] 赵树嫄编. 线性代数. 北京: 中国人民大学出版社 ,2001年[4] 谢国瑞编. 线性代数及应用（面向21世纪课程教材）.北京: 高等教育出版社,2000年[5]S.K.JAIN,A.D.GUNAWARDE. Linear Algebra:AN Interative Approach. 北京 :机械工业出版社, 2003本课程承担单位：理学院数学系代数几何教研室《线性代数》教学大纲适用专业：适合理工科各专业（非数学专业）学制：4年总学时：48 学分：3制定者：余世群审核人：一、说明1、课程的性质、地位和任务：线性代数课程是高等学校理工科各专业（非数学专业）学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。
尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。
线性代数是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
线性代数教学大纲
《线性代数》教学大纲课程编码：1511022课程性质：专业必修课学 时：32学 分：2适用专业：计算机系一、课程性质、目的和要求线性代数是代数学的一门基础课程，作为《工程数学》的主要组成部分，它也是高等学校工科各专业的一门重要的公共基础课。
随着现代科学技术，尤其是计算机科学的发展，线性代数这门课程的作用与地位显得格外重要。
通过教学，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础二、教学内容、要点和课时安排第一章 行列式（7课时）教学目的：通过对本章的学习使学生了解n阶行列式的定义。
掌握用行列式的性质计算行列式。
掌握行列式按行按列展开的法则。
掌握克拉默法则，会用其求线性方程组的解教学重点与难点：重点是行列式的计算、克拉姆法则及用克拉姆法则求解线性方程组。
难点是高阶行列式的计算。
授课内容：§1.1二阶与三阶行列式§1.2全排列及其逆序数§1.3 n阶行列式定义§1.4对换§1.5行列式的性质§1.6行列式按行（列）展开§1.7克拉默法则思考题：1、已知多项式，则函数的单调情况为 。
2、 = 。
第二章 矩阵及其运算（7课时）教学目的：通过对本章的学习使学生理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算方法，理解逆矩阵的概念，掌握求逆矩阵的方法，了解矩阵的分块法。
教学重点与难点：重点是矩阵乘法的计算，逆矩阵的定义及求法。
难点是分块矩阵的计算。
授课内容：§2.1 矩阵§2.2矩阵的运算§2.3 逆矩阵§2.4 矩阵分块法思考题：1、设 ，证明：当且仅当。
2、试问下列矩阵是否可逆？如果可逆，求出其逆矩阵，，第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（5课时）教学目的：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。
理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲【课程编码】181****0006【课程类别】专业必修课【学时学分】54学时，3学分【适用专业】物流管理一、课程性质和目标课程性质：《线性代数》是高等学校物流管理专业的重要基础课。
由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现我院物流管理专业培养目标的必备前提。
教学目标：本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。
使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。
从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高数学思维能力打下必要的数学基础。
二、教学内容、要求和学时分配（一）第一章行列式10学时（理论讲授）教学内容：1.行列式的定义、性质和运算2.克莱姆法则。
教学要求：1.了解行列式的定义2.熟练掌握行列式的性质，掌握二、三、四阶行列式的计算法，会计算简单的n阶行列式，理解并会应用克莱姆法则。
教学重点：1行列式的概念2.计算及克莱姆法则的结论。
教学难点：1.行列式的性质的证明。
其它教学环节：交流与讨论对行列式本质的理解（二）第二章矩阵及其运算10学时（理论讲授）教学内容：1矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质2.矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的塞，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵3.矩阵的初等变换和初等矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩4.初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
教学要求：1了解矩阵的概念，理解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质2.了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念3.了解方阵的事、方阵乘积的行列式4.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，理解逆矩阵的概念5.掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆6.掌握矩阵的初等变换，理解矩阵的秩的概念7.掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法教学重点：1.矩阵的概念及其各种运算和运算规律2.逆矩阵的概念、矩阵可逆的判断及逆矩阵的求法3.矩阵秩的概念、矩阵的初等变换，以及用矩阵的初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法教学难点：1.矩阵可逆的充分必要条件的证明2.初等矩阵及其性质3.分块矩阵及其运算其它教学环节：交流与讨论对矩阵实际运用的理解（三）第三章矩阵的初等变换与线性方程组10学时（理论讲授）教学内容：1.线性方程组解的性质和解的结构2.线性方程组有解的充分必要条件3.齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念4.非齐次线性方程组的通解，用行初等变换求解线性方程组的方法教学要求：1.理解线性方程组有解的充分必要条件教学重点：1线性方程组解的性质和解的结构2.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
线性代数教学大纲(最新版)
《线性代数》教学大纲课程中文名称：线性代数课程英文名称：Linear Algebra课程代码：16200031学时数：51学分数：3先修课程：无适用专业：金融学、会计学、经济学、财政学、保险学、国际经济与贸易、工商管理、管理科学、公共事业管理、计算机科学与技术等全校范围内经济、管理类相关专业。
一、课程的性质和任务1.课程性质《线性代数》是全校经济类和管理类各本科专业的学科基础课。
本课程运用行列式、矩阵等知识研究线性空间、线性方程组及矩阵特征值的理论，其概念、性质及理论具有较强的抽象性和严密的逻辑性。
2.课程任务通过本课程的学习，使学生掌握《线性代数》的基本理论与方法，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，使学生获得应用科学中常用的行列式与矩阵方法、线性方程组、矩阵特征值、二次型等理论知识，并具有熟练的运算能力和解决实际问题的能力，为学生学习后续课程奠定必要的数学基础。
二、本课程与其他课程的联系与分工本课程不仅是现代数学的基础，而且其理论和方法在物理学、计算机科学、经济管理以及工程技术科学中都有重要应用。
本课程是我校《概率论与数理统计》、《投入产出分析》、《运筹学》、《计量经济学》等课程的先修课程。
三、课程教学内容第一章行列式教学目的与要求：1.了解排列、逆序、逆序数和奇、偶排列的定义；了解排列的奇偶性与对换的关系。
2.理解n阶行列式的定义,能用定义计算一些特殊的行列式。
3.掌握行列式的基本性质和计算方法。
4.理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开法则。
5.掌握克莱姆(Cramer)法则。
教学重点与难点：重点：行列式的概念与性质，行列式按行（列）展开法则，行列式的计算，利用克莱姆法则求解线性方程组。
难点：n阶行列式的概念，高阶行列式的计算。
第一节n阶行列式一、二阶、三阶行列式1.二阶行列式的定义与计算2.三阶行列式的定义与计算二、n级排列与逆序数n级排列的定义，逆序及逆序数的定义，奇排列与偶排列，对换与排列的奇偶性的关系。
《线性代数》课程标准
课程标准课程名称：线性代数适用专业：经济、管理类财经大学应用数学学院根底数学教研室目录第一局部课程性质 (3)第二局部课程目标 (3)第三局部教学容与根本要求 (3)第四局部教学方案 (8)第五局部课程作业与考核评价 (9)第六局部教材与教学参考书 (10)第一局部课程性质一、课程性质线性代数是高等院校经济类、管理类专业的一门重要的根底课，是为培养适应四个现代化需要的本科层次的经济、管理类专业人员而设的一门必修课，通过该课程的学习，不仅使学生了解有关线性代数的根本概念，掌握线性代数的根本计算方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理能力，而且使学生会应用线性代数知识分析、解决实际问题，并为后续课程作好必要的准备。
二、课程根本情况课程名称：线性代数适用专业：财经。
管理类各专业总学时数：54学时修课方式：必修三、课程说明本课程共六章，由于我校线性代数课实行普通班与快班分级教学，根据教学计划〔每周3课时〕，因此，第一至四章为必学容，主要掌握矩阵、线性方程组理论、n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量及其有关的根本知识，第五章为快班必学容，普通班为选学容，第六章为普通班和快班选学容。
第二局部课程目标通过本课程的教学，使学生系统地掌握矩阵及线性方程组理论，n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量，二次型理论知识，并能解决一些实际问题，培养学生独特的代数思维模式及逻辑推理能力，并为进一步学习后继课程和现代化科学技术打下坚实的数学根底。
第三局部教学容与根本要求第一章行列式〔8学时〕【教学容】§1.1 阶行列式的定义二、三阶行列式的定义、排列的逆序数、n阶行列式的定义。
§1.2 行列式的性质行列式的性质§1.3行列式的展开定理余子式和代数余子式的概念、行列式按行(列)展开定理。
§1.4 行列式的计算§1.5 克莱姆法那么克莱姆法那么。
【根本要求】1、了解排列与逆序的概念。
2、理解n 阶行列式的定义、性质。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲第一篇：《线性代数》课程教学大纲《线性代数》课程教学大纲课程编码：414002（A）课程英文名称：Linear Algebra 先修课程：微积分适用专业：理科本科专业总学分：3.5 总学时：56讲课学时 56 实验学时 0实习学时 0一、课程性质、地位和任务课程名称：线性代数线性代数是我校计算机科学与技术专业的一门重要基础课。
它不但是其它后继专业课程的基础，而且是科技人员从事科学研究和工程设计必备的数学基础。
通过本课程的教学，使学生获得矩阵、行列式、向量、线性方程组、二次型等方面的基本知识，掌握处理离散问题常用的方法，增强学生“用”数学的意识，培养学生“用”数学的能力。
二、课程基本要求1.了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及展开法则，掌握三、四阶行列式的计算法，会计算简单的n阶行列式；理解和掌握克拉默（Cramer）法则。
2.理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，掌握求逆矩阵的方法；掌握对称矩阵的性质；了解分块矩阵及其运算。
3.理解n维向量、向量组线性相关与线性无关的概念；了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论；理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩的概念；了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件；会求齐次线性方程组的基础解系、通解；掌握非齐次线性方程组的解的结构，会求非齐次线性方程组的通解；了解向量的内积、正交和向量的长度等概念；会利用施密特（Schmidt）方法把线性无关的向量组正交规范化。
4.掌握Gauss消元法；掌握用Gauss消元法求线性方程组通解的方法；掌握用初等变换求齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的方法。
5.掌握矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量；理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充要条件。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲课程编号：课程类别：学分数：学时数：适用专业：应修基础课程：一、本课程的地位和作用《线性代数》在高等学校的教学计划中是一门必修的基础理论课，是计算机专业的重要基础课之一，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。
所以该课程的地位与作用也更为重要。
通过该课程的学习，使学生掌握该课程的理论与方法，可以培养和提高学生的抽象思维能力、创新能力和解决实际问题的能力，并为为后续课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
二、本课程的教学目标通过该课程的学习，要求学生把握线性代数的基本内容。
如：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等。
把握线性代数的体系结构。
从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维。
并且要求学生掌握线性代数的基本计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、课程内容和基本要求按教学顺序提出课程各部分教学内容，并具体到知识点，用“*”明确难点内容，用“Δ”明确重点。
“*”或“Δ”一律写在课程内容的前面。
“*”与“Δ”可以并用，表明此内容既是重点又是难点。
在各部分课程内容的前面，首先写明该部分内容须要了解、理解、熟练掌握、应用等层次的教学基本要求。
其格式为：第一章预备知识1、教学基本要求（1）了解集合与映射的基本概念及有理系数多项系的有理根的求法（2）理解数域的概念及排列与对换2、教学内容（1）集合与映射（2）数域（3）Δ排列与对换（4）*有理系数多项系的有理根第二章n阶行列式1、教学基本要求（1）了解全排列、行列式、代数余子式概念（2）理解n阶行列式的定义；（3）掌握行列式性质，会应用行列式的性质计算行列式；（4）理解行列式按行（列）展开定理并应用于行列式计算与证明；（5）掌握克莱姆法则。
线性代数§5.7
单位向量及n 维向量间的夹角 (1)当|| x ||=1时, 称x为单位向量. (2)当|| x || 0, || y || 0 时, [ x, y] arccos || x || || y || 称为n维向量x与y的夹角.
三、正交向量组的概念及求法
1. 正交的概念 当[x, y]=0时, 称向量 x 与 y 正交. 由定义知, 若x=0, 则x与任何向量都正交. 2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质 定理1: 若向量组1, 2, · · ·,r 是n维正交向量组, 则1, 2, · · ·,r 线性无关. 定义: 设n维向量组e1, e2, · · · , en是向量空间VRn 的一组正交基, 且都是单位向量, 则称e1, e2, · · · , en是向 量空间V的一组规范正交基.
它的各阶主子式: 5 2 1 0, 5 0, 2 1 故上述二次型是正定的.
5 2 4 2 1 2 1 0, 4 2 5
例2: 判别二次型 f(x1, x2, x3)=2x12+4x22+5x32–4 x1x3 是否正定. 解: 用特征值判别法. 二次型 f 的矩阵为: 2 0 2 A 0 4 0 , 2 0 5 令| A–E | = 0, 得1=1, 2=4, 3=6. 即知A是正定矩阵, 故此二次型 f 为正定二次型.
4. 求规范正交基的方法 设 a 1, a 2, · · · , ar 是向量空间V 的一组基. (1) 正交化(施密特正交化过程)
取 b1 = a1, [b1 , a 2 ] b2 a 2 b1 , [b1 , b1 ] [b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 , [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] · · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明BT AB正定 R ( B ) = n.
证: 要证R ( B) = n, 只要证BX = 0只有零解.
若BT AB正定, 则对任何X 0 ≠ 0 ∈ R n , X 0T BT ABX 0 > 0; 所以对任何X 0 ≠ 0 ∈ R n , BX 0 ≠ 0. 所以BX = 0只有零解. 所以R( B) = n. 反之, 若R( B) = n, 则BX = 0只有零解, 所以对任何X 0 ≠ 0 ∈ R n , BX 0 ≠ 0. T T T 因为A正定, BX 0 ≠ 0, 所以X 0 ( B AB ) X 0 = ( BX 0 ) A ( BX 0 ) > 0.
(4) 不妨设a1 ≠ 0. 对λ1 = L = λn 1 = 0, 求解方程组AX = 0. a12 a1a2 L a1an a2 L an a1 2 1 2 r1 a2 a1 a2 L a2 an a2 a1 a2 L a2 an a1 A= → L L L L L L L L 2 2 an a1 an a2 L an an a1 an a2 L an a1 a2 L an 0 0 L 0 r2 a2r1 所以a1 x1 + L an xn = 0. → L L L L L rn anr1 0 0 L 0 an a2 0 a 1 所以AX = 0的基础解系是p1 = 0 ,L pn1 = 0 . M M 0 a 1
所以0作为矩阵A的代数重数 = 0的几何重数=n 1. 2 2 Aα = α (α T α ) = (a12 + a2 + L + an )α . 2 2 所以a12 + a2 + L + an 是A的非零特征值, α 是对应的特征向量. 2 2 所以矩阵A的所有特征值为λ1 = L = λn 1 = 0, λn = a12 + a2 + L + an .
所以g (Y0 ) = f (CY0 ) = f ( X 0 ) > 0. 所以g正定.
因为C可逆, 所以反过来也是一样的.
定理. 定理 f ( x1 ,L, xn ) = X T AX 正定(A对称) A的n个特征值全为正数
f 的正惯性指数为n.
矩阵语言: A正定 A的n个特征值全为正数 A与E合同.
小结: 小结 掌握正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 顺序主子式判别法; (重点) (3) 特征值判别法.
例. (3学分)(参考Ex24) 设α = (a1 , a2 ,L , an )T (n ≥ 2)为非零向量.
(1) 证明 A = αα T 为对称矩阵. (2)证明R( A) = 1. (3)求矩阵A的所有特征值. (4)求可逆矩阵P, 使得P 1 AP = Λ为对角矩阵. T T T T T = (α ) α T = αα T = A. 证: (1) A = (αα ) (2) R ( A) = R (α ) = 1. (3) 因为R( A) = 1, 所以AX = 0的解集的秩为n 1. 所以0作为矩阵A的特征值的几何重数是n 1. 因为A是对称矩阵, 所以A可对角化.
令X = CY (C可逆) 引理. 引理 f ( X ) = X T AX ( A对称) → g (Y ) = Y T ( C T AC ) Y . 则f 正定 g正定.
矩阵语言 : 设A对称, C可逆, 则A正定 C T AC正定. 要证Y0 ≠ 0 ∈ R n , g (Y0 ) > 0. 证: n 则X 0 ≠ 0 ∈ R n . 对Y0 ≠ 0 ∈ R , 令X 0 = CY0 .
其中λ1 ,L , λn是A的所有特征值.
2 2 记g (Y ) = f ( PY ) = λ1 y12 + λ2 y2 + L + λn yn .
因为正交变换保持向量的长度, 所以 || X ||=|| PY ||= 1 || Y ||= 1. 所以要求f ( X )在 || X ||= 1时的最大值和最小值相当于是要求
> 0, 且 A = a (5a + 4) > 0
例. (Ex30). 证明: 二次型f = X T AX (A对称)在 || X ||= 1时的最大值 (最小值)为矩阵A的最大(最小)特征值.
2 2 2 证: 存在正交变换X = PY , 使得 f ( PY ) = λ1 y1 + λ2 y2 + L + λn yn ,
T n 定义. 设有二次型f ( X ) = X AX , 若对X 0 ≠ 0 ∈ R , 有f ( X 0 ) > 0, 定义
则称f 为正定二次型, 并称对称矩阵A是正定的. 如果对 X 0 ≠ 0 ∈ R n , 有f ( X 0 )<0, 则称f 为负定二次型, 并称对称 矩阵A是负定的.
d1 0 n 对角矩阵 O 正定 f ( X ) = ∑ di xi2正定 i =1 0 dn di > 0, (1 ≤ i ≤ n).
对称矩阵A为负定 A正定.
例. 判别二次型f = 5 x 2 6 y 2 4 z 2 + 4 xy + 4 xz的正定性.
5 2 2 5 2 2 解: f 的矩阵为A = 2 6 0 . A = 2 6 0 . 2 0 4 2 0 4 5 2 A的顺序主子式为5 > 0, = 26 > 0, | A |= 80 > 0. 2 6
所以BT AB正定.
பைடு நூலகம்
证:
2 设f 的标准形为g (Y ) = λ1 y12 + L + λn yn ,
其中λ1 ,L , λn是矩阵A的所有特征值. 则f 正定 g正定 λ1 > 0,L , λn > 0. f 的正惯性指数为n.
定理. 定理 对称矩阵A正定 A的各阶顺序主子式为正数, 即
a11 a11 > 0, a21 a12 a22 a11 > 0, a21 a31 a12 a22 a32 a13 a11 L a1n a23 > 0,L , M M > 0. a33 an1 L ann
§7 正定二次型
惯性定理. 惯性定理 设有二次型f = X T AX , 它的规范形为y12 + L + y 2 p
y 2 +1 L yr2 . 则p是唯一确定的. 称之为二次型 p f 的正惯性指数, r p称为f 的负惯性指数.
根据惯性定理我们知道虽然二次型的标准形不唯一, 但是二 次型的规范形是唯一确定的.
2 2 记pn = α . 则α 是属于特征值a12 + a2 + L + an的特征向量.
令P = ( p1 , p2 , L , pn ).
0 O 0 1 则P AP = . 0 0 2 2 a12 + a2 + L + an
例. (3学分) 设A为m阶正定矩阵, B为m × n矩阵.
所以 A正定,所以A负定.
2 2 例. (EX32). 设f = x12 + x2 + 5 x3 + 2ax1 x2 2 x1 x3 + 4 x2 x3为正定
二次型. 求a.
1 解: 二次型的矩阵为A = a 1 1 a A正定 1 > 0, = 1 a2 a 1 4 < a < 0. 5 a 1 1 2 . 2 5