2018届一轮复习人教A版(文科数学)正弦定理和余弦定理单元测试 Word版含答案

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人教版高考总复习一轮数学精品课件主题二函数第五章三角函数、解三角形-第七节正弦定理和余弦定理

1
4
π
2
π
2
15
,
8
解因为cos = − ,所以 < < π,故0 < < ,又sin =
sin 2 = 2sin cos =
cos 2 =
2cos2
−1=
15
2×
×
4
1
2× −1
16
1
−
4
=
=−
7
− .而sin
8
=
故sin 2 − = sin 2cos − cos 2 ⋅ sin = −
=− −

,
,
移项得 + = ,
所以△ 一定为直角三角形.

.又因为A, ∈ , ,
［对点训练2］（1）在△ 中,内角,,所对的边分别是,,,若
− cos = 2 − cos ,则△ 的形状为() D
A.等腰三角形
B.直角三角形
由
=

+

− ⋅ = + − × × × = ,得 = .故选D.
（2）在△ 中,角,,的对边分别为,,.若 = 2, = 30∘ , = 105∘ ,则 =()
A.1B. 2C.2 2D.2 3
[解析]∵ = ∘ , = ∘ , + + = ∘ ,∴ = ∘ ,∴由正弦定理可知
6 = 4 2 + 2 + 2 ,解得 = 1（负值舍）.
②求sin 的值；
解由①可求出 = 2,而0 < < π,所以sin = 1 − cos 2 =

数学(理)一轮复习题库：第四章第讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝错误!,BC＝错误!，那么A等于（)．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以sin A＝错误!，又由题知,BC＜AB，∴A＝45°。

答案C2．已知a，b,c是△ABC三边之长,若满足等式(a＋b－c）(a＋b＋c）＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)（a＋b＋c）＝ab，得（a＋b）2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－错误!，∴C＝120°。

答案C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b,c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝错误!，则S△ABC＝( )．A。

错误! B.错误!C。

错误!D．2解析∵A，B,C成等差数列,∴A＋C＝2B,∴B＝60°.又a＝1，b＝3,∴错误!＝错误!，∴sin A＝a sin Bb＝错误!×错误!＝错误!，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!。

答案C4．在△ABC中,AC＝错误!，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（)．A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°,即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3（负值舍去）．又h＝c·sin 60°＝3×错误!＝错误!，故选B.答案B5．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ,b＝错误!λ（λ〉0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是（)A．0 B．1C．2 D．无数个解析直接根据正弦定理可得错误!＝错误!，可得sin B＝错误!＝错误!＝错误!〉1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0。

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．考点二判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________．课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。

2018年高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第四篇第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )．A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得 cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a ＝－24.答案－24三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解(1)因为0＜A＜π，cos A＝2 3，得sin A＝1－cos2A＝5 3.又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C.所以tan C＝ 5.(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16.于是sin B＝5cos C＝5 6 .由a＝2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝ 3.设△ABC的面积为S，则S＝12ac sin B＝52.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4. 答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3D.332解析由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]．答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①若ab >c 2，则C <π3 ②若a ＋b >2c ，则C <π3 ③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2 ④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2 ⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C 是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2aba ＋b ≤2ab2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误．答案 ①②③ 三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上． (1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8. 由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8 ＝ 2cos π8sin π8＝12.。

高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件

[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，

高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版

由A,B∈(0,π)得0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形

2018高考一轮通用人教A版数学文练习第3章第6节正弦定理和余弦定理含答案精品

第六节正弦定理和余弦定理———————————————————————————————— [考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)； (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( ) (4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C .( )[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A .(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c2R ＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A.2B. 3 C ．2D ．3D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.π3或2π3[由正弦定理asin A＝bsin B，代入可求得sin B＝32，故B＝π3或B＝2π3.]5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[由题意及余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2＋16－122×4×c＝12，解得c＝2，所以S＝12bc sin A＝12×4×2×sin 60°＝2 3.]在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【导学号：31222129】[解]设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.6分又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.9分在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.12分[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．[变式训练1] (1)(2017·郑州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.(1)A (2)2113 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.(2)在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.](1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)(2016·安徽安庆二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)D (2)A [(1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A.][规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．[变式训练2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形B [法一：由已知得2sin A cos B ＝sinC ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .](2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.2分又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.5分(2)由(1)知b2＝2ac.7分因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.9分所以△ABC的面积为12×2×2＝1.12分[规律方法]三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[变式训练3](2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解](1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，3分故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.5分(2)由已知得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6.9分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.12分[思想与方法]1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.[易错与防范]1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：2.课时分层训练(二十二)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()【导学号：31222130】A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()【导学号：31222131】A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.34C.32D.32B [依题意得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34，故选B.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310B.1010C.55D.31010D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a 3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a，在△ABC 中，由正弦定理得asin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010，故选D.] 二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532＝10sin B ，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63.] 7．(2016·青岛模拟)如图3-6-1所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3-6-13 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3， ∴BD ＝ 3.]8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________. 【导学号：31222132】32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.] 三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35. 【导学号：31222133】(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.5分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，7分由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C ，所以sin C ＝41717.12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sin B sin C5.3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc5，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. ∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.6分 (2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc5， ∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.8分又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4， ∴△ABC 的面积S 的最大值为4.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3 C.π4D.π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C . 又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2. 由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0， ∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．如图3-6-2，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．图3-6-2562 [在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB＝ADsin B ，所以AB ＝562.]3．在△ABC 中，cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根． (1)求角C ；(2)当a ＋b ＝10时，求△ABC 周长的最小值．[解] (1)因为2x 2－3x －2＝0，所以x 1＝2，x 2＝－12.2分又因为cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5分(2)由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(a ＋b )2－ab ，7分则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75，当a ＝5时，c 最小且c ＝75＝53，此时a ＋b ＋c ＝10＋53，所以△ABC 周长的最小值为10＋5 3.12分。

高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第六节正弦定理和余弦定理(课件)

答案：B
直角三角形
等腰三角形或直角三角形
反思感悟判定三角形形状的常用技巧
[提醒] 注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形” 的区别．
【对点训练】
1．[2023·四川省内江市第六中学测试]若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝7∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
关键能力—考点突破
答案：B
答案：A
答案：A
答案：D
反思感悟用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
考点二判断三角形的形状 [基础性、综合性] [例1] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C ＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
第六节正弦定理和余弦定理
必备知识—基础落实微专题
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握余弦定理、正弦定理．
·考向预测·
考情分析：利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题．
微专题19 计算三角形中的未知量
数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．
学科素养：通过利用正、余弦定理解三角形考查数学运算的核心素养．
必备知识—基础落实
sin A∶sin B∶sin C c＝2R sin C

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)

【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .

第四章 §4.8 正弦定理、余弦定理-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§4.8正弦定理、余弦定理课标要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C2；cosA ＋B 2＝sin C 2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .(6)三角形中的面积S ＝12(a ＋b ＋自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．(×)(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则a >b .(√)(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．(×)2．(必修第二册P44T2改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是()A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案C解析由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即此三角形无解．4．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝.答案22解析由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝2 2.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)(2023·榆林模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋(b ＋λa )sin B ＝c sin C ，则λ的取值范围为()A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．[－2,2]D ．[0,2]答案A解析因为a sin A ＋(b ＋λa )sin B ＝c sin C ，由正弦定理得c 2＝a 2＋b 2＋λab ，由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以λ＝－2cos C ，因为C ∈(0，π)，所以cos C ∈(－1,1)，故λ∈(－2,2)．(2)(2024·兰州模拟)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围成一个三角形(允许连接，不允许折断)，则其中某个三角形外接圆的直径可以是(写出一个答案即可)．答案301111(答案不唯一)解析4根细木棒围成的三角形的三边长可以为5,8,9，设边长为9的边所对的角为θ，该三角形外接圆的半径为R ，由余弦定理知，cos θ＝25＋64－812×5×8＝110，因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝1－cos 2θ＝31110，由正弦定理知，2R ＝9sin θ＝931110＝301111，所以其中某个三角形外接圆的直径可以是301111.思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练1(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，a ＝1，c ＝62，A ＝45°，则C 等于()A ．30°B ．60°C ．120°D ．60°或120°答案D解析因为a ＝1，c ＝62，A ＝45°，所以由正弦定理可得sin C ＝c sin A a ＝62×221＝32，又因为0°<C <180°，c >a ，A ＝45°，所以C ＝60°或120°.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于()A ．2B ．3 C.2D.3答案D解析由正弦定理及b sin 2A ＝a sin B ，得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得ab ＝ 3.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形的形状判断例2(2023·临沂模拟)在△ABC 中，已知sin A ＋sin C sin B ＝b ＋ca且满足条件①a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )；②b cos A ＋a cos B ＝c sin C 中的一个，试判断△ABC 的形状，并写出推理过程．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解由sin A ＋sin C sin B ＝b ＋ca及正弦定理得a ＋cb ＝b ＋c a ，即a 2＋ac ＝b 2＋bc ，∴a 2－b 2＋ac －bc ＝0，∴(a －b )(a ＋b ＋c )＝0，∴a ＝b .若选①，则△ABC 为等边三角形．推理如下：由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．若选②，则△ABC 为等腰直角三角形．推理如下：∵b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，∴△ABC 为等腰直角三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(10分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知在△ABC 中，A ＋B ＝3C ，2sin(A －C )＝sin B .(1)求sin A ；[切入点：由A ，B ，C 关系求角C 及代换sin B ](2)设AB ＝5，求AB 边上的高．[关键点：由A ，B ，C 关系求sin B ][思路分析](1)由A ，B ，C 关系求角C →B ＝π－(A ＋C )代入化简→tan A →sin A (2)由角C ，sin A →sin B →AC →等面积法求高解(1)∵A ＋B ＝3C ，∴π－C ＝3C ，即C ＝π4，(1分)①处由A ，B ，C 关系求角C又2sin(A －C )＝sin B ＝sin (A ＋C )，(2分)②处由B 与A ，C 关系代换sin B ∴2sin A cos C －2cos A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin A cos C ＝3cos A sin C ，∴sin A ＝3cos A ，③处两角和差公式化简即tan A ＝3，(4分)∴0<A <π2，∴sin A ＝310＝31010.(5分)④处由正切求正弦(2)由(1)知，cos A ＝110＝1010，分)⑤处由B 与A ，C 关系求sin B 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，可得(8分)⑥处正弦定理求AC∴12AB ·h ＝12AB ·AC ·sin A ，⑦处等面积法求高∴h ＝AC ·sin A ＝210×310106.(10分)思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4(2023·梅州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋b ＝2c cos B .(1)求角C ；(2)若CD 是角C 的平分线，AD ＝27，DB ＝7，求CD 的长．解(1)由2a ＋b ＝2c cos B ，根据正弦定理可得2sin A ＋sin B ＝2sin C cos B ，则2sin(B ＋C )＋sin B ＝2sin C cos B ，所以2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ＝2sin C cos B ，整理得(2cos C ＋1)sin B ＝0，因为B ，C 均为三角形内角，所以B ，C ∈(0，π)，sin B ≠0，因此cos C ＝－12，所以C ＝2π3.(2)因为CD 是角C 的平分线，AD ＝27，DB ＝7，AC ＝5×25522＝210，所以在△ACD 和△BCD 中，由正弦定理可得，AD sin π3＝CD sin A ，BD sinπ3＝CDsin B ，因此AD BD ＝sin Bsin A＝2，即sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ，又由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即(37)2＝a 2＋4a 2＋2a 2，解得a ＝3，所以b ＝6，又S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，即12ab sin ∠ACB ＝12b ·CD ·sin ∠ACD ＋12a ·CD ·sin ∠BCD ，即18＝9CD ，所以CD ＝2.思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)(2024·西安模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝217，b ＝52，cos A ＝45，则△ABC 的面积为()A ．362B ．183C ．27D ．36答案C解析∵a ＝217，b ＝52，cos A ＝45，∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得c 2－82c －18＝(c －92)(c ＋2)＝0，解得c ＝92(负值舍去)．∵cos A ＝45，∴sin A ＝1－cos 2A ＝35，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×52×92×35＝27.(2)(2023·聊城模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a －b ＝c cos B －c cos A ，则△ABC 的形状一定是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案D解析因为a －b ＝c cos B －c cos A ，所以由正弦定理得sin A －sin B ＝sin C cos B －sin C cos A ，因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C －sin A cos C －cos A sin C ＝sin C cos B －sin C cos A ，整理得sin B cos C －sin A cos C ＝0，所以(sin B －sin A )cos C ＝0，所以sin B ＝sin A 或cos C ＝0，因为A ，B ，C ∈(0，π)，所以A ＝B 或C ＝π2，即△ABC 的形状一定是等腰或直角三角形．(3)(2023·宝鸡统考)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，D 为BC 的中点，AD ＝5，则BC 等于()A ．23B ．43C ．22D ．42答案B 解析方法一设BC ＝2x ，则BD ＝CD ＝x .在△ACD 中，由余弦定理的推论可得，cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝25＋x 2－4910x .在△ABD 中，由余弦定理的推论可得，cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝25＋x 2－2510x .又∠ADC ＋∠ADB ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠ADB ，所以有25＋x 2－4910x ＝－25＋x 2－2510x ，整理可得x 2＝12，解得x ＝23，所以BC ＝4 3.方法二AD →＝12(AB →＋AC →)，则AD →2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)，即25＝14(25＋49＋2×5×7×cos ∠BAC )，解得cos ∠BAC ＝1335，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝25＋49－2×5×7×1335＝48，所以BC ＝4 3.课时精练一、单项选择题1．在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于()A.35B.31C ．6D ．5答案B解析因为sin A ＝6sin B ，则由正弦定理得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝62＋12－2×6×1×12，解得c ＝31.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，且B ＝π3，则△ABC 的形状为()A ．等边三角形B ．直角边不相等的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形答案A解析因为a ，b ，c 依次成等差数列，所以b ＝a ＋c2.由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，将b ＝a ＋c2代入上式整理得(a －c )2＝0，所以a ＝c .又B ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．3．(2023·红河模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为12b (b sin B －a sin A －c sin C )，则B 等于()A.π6B.5π6C.π3D.2π3答案D 解析由题知，△ABC 的面积为12b (b sin B －a sin A －c sin C )，所以12ab sin C ＝12b (b sin B －a sin A －c sin C )，即a sin C ＝b sin B －a sin A －c sin C ，所以由正弦定理得ac ＝b 2－a 2－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝－12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π3.4．(2023·宜宾模拟)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .点D 为BC的中点，AD ＝1，B ＝π3，且△ABC 的面积为32，则c 等于()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A 解析∵B ＝π3，∴在△ABD 中，由余弦定理得c 2－2c ×a 2cos π3＝1，即a 2＋4c 2－2ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝32，解得ac ＝2，①∴a 2＋4c 2－2ac ＝4＝2ac ，即4c 2－4ac ＋a 2＝0，∴(2c －a )2＝0，即a ＝2c ，②将②代入①得2c 2＝2，解得c ＝1或c ＝－1(舍去)．5.(2023·潍坊模拟)如图，平面四边形ABCD 的内角B ＋D ＝π，AB ＝6，DA ＝2，BC ＝CD ，且AC ＝27.则角B 等于()A.π6B.π4C.π3D.5π12答案C解析设BC ＝CD ＝x >0，在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝36＋x 2－2×6x cos B ＝28，即x 2＋8＝12x cos B ，①又在△ACD 中，由余弦定理，得AC 2＝4＋x 2－2×2x cos D ＝28，即x 2－24＝4x cos D ，②因为B ＋D ＝π，则cos D ＝cos(π－B )＝－cos B ，联立①②可得x ＝4，cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.6．(2022·乐山统考)已知△ABC 中，AB →·AC →＝－3，AB ＝2，cos 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝1，D 是边BC 上一点，∠CAD ＝3∠BAD .则AD 等于()A.65B.334C.62D.637答案B 解析设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，∵cos 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝1，即sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 2A ，∴b 2＋c 2＋bc ＝a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3，又AB →·AC →＝－3，AB ＝2，∴AB →·AC →＝2b cos A ＝2b 3，即b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＋bc ＝32＋22＋3×2＝19，故a ＝19，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝19＋9－4619＝419，sin C ＝319，tan C ＝34，又∠CAD ＝3∠BAD ，A ＝2π3，∴∠CAD ＝π2，AD ＝AC tan C ＝3×34＝334.二、多项选择题7．(2024·南京模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则B 的值为()A.π6B.π3C.5π6D.2π3答案BD 解析根据余弦定理可知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，代入(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，可得2ac cos B ·sin B cos B ＝3ac ，即sin B ＝32，因为0<B <π，所以B ＝π3或B ＝2π3.8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是()A ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形B ．若b cosC ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形C ．若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是等边三角形D ．若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 是直角三角形答案BC 解析对于A ，若a cos A ＝b cos B ，则由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，即A ＝B 或A ＋B ＝90°，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故A 错误；对于B ，若b cos C ＋c cos B ＝b ，则由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ＝sin B ，即A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形，故B 正确；对于C ，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C，则tan A ＝tan B ＝tan C ，即A ＝B ＝C ，即△ABC 是等边三角形，故C 正确；对于D ，由于B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，故△ABC 是等边三角形，故D 错误．三、填空题9．(2023·上饶模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos A bc ＝cos B ab ＋cos C ac，则A ＝.答案π3解析因为2cos A bc ＝cos B ab ＋cos C ac 所以2a ·cos A ＝c ·cos B ＋b ·cos C ，由正弦定理得2sin A cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，即2sin A cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A ，因为sin A >0，所以cos A ＝12，因为A 为三角形内角，则A ＝π3.10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为平方里．答案84解析由题意画出△ABC (图略)，且AB ＝13里，BC ＝14里，AC ＝15里，在△ABC 中，由余弦定理得，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝132＋142－1522×13×14＝513，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1213，则该沙田的面积S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×13×14×1213＝84(平方里)．11．已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为．答案等腰直角三角形解析依题意，△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)，则12bc sin A ＝14(b 2＋c 2)，即2bc sin A ＝b 2＋c 2，由于0<A <π，所以0<sin A ≤1，所以0<2bc sin A ≤2bc ，由基本不等式可知b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以sin A ＝1，A ＝π2，△ABC 是等腰直角三角形．12．(2023·沈阳模拟)在△ABC 中，∠BAC ＝120°，D 在BC 上，AD ⊥AC ，AD ＝1，则1AC ＋2AB ＝.答案3解析在△ADC 中，AD ⊥AC ，AD ＝1，所以1AC ＝AD AC＝tan C ，因为B ＝180°－∠BAC －C ＝60°－C ，在△ABC 中，由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ，则AB ＝AC sin C sin B ＝1tan C ·sin C sin (60°－C )＝cos C 32cos C －12sin C ，所以1AB ＝32－12·sin C cos C ＝32－12tan C ，所以1AC ＋2AB＝tan C ＋(3－tan C )＝ 3.四、解答题13．记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sin C ＝c sin B 2.(1)求角B 的大小；(2)若点D 在边AC 上，BD 平分∠ABC ，a ＝2，b ＝7，求线段BD 的长．解(1)已知b sin C ＝c sin B 2，由正弦定理，得sin B sin C ＝sin C sinB 2，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，故sin B ＝sin B 2，即2sin B 2cos B 2＝sin B 2，因为B 2∈sin B 2≠0，则cos B 2＝12，所以B 2＝π3，则B ＝2π3.(2)依题意，得12a ·BD ·sin π3＋12c ·BD ·sin π3＝12ac sin 2π3，即a ·BD ＋c ·BD ＝ac ，即2BD ＋c ·BD ＝2c ，所以BD ＝2c 2＋c.在△ABC 中，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos2π3＝a 2＋c 2＋ac ，即7＝4＋c 2＋2c ，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以BD ＝2c 2＋c ＝23.14．(2023·新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3，D 为BC 的中点，且AD ＝1.(1)若∠ADC ＝π3，求tan B ；(2)若b 2＋c 2＝8，求b ，c .解(1)方法一在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，∠ADC ＝π3，AD ＝1，则S △ADC ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×1×12a ×32＝38a ＝12S △ABC ＝32，解得a ＝4.在△ABD 中，∠ADB ＝2π3，由余弦定理得c 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD cos ∠ADB ，即c 2＝4＋1－2×2×17，解得c ＝7.在△ABD 中，则cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝7＋4－127×2＝5714，sin B ＝1－cos 2B ＝2114，所以tan B ＝sin B cos B ＝35.方法二在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，∠ADC ＝π3，AD ＝1，则S △ADC ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×1×12a ×32＝38a ＝12S △ABC ＝32，解得a ＝4.在△ACD 中，由余弦定理得b 2＝CD 2＋AD 2－2CD ·AD cos ∠ADC ，即b 2＝4＋1－2×2×1×12＝3，解得b ＝3，又AC 2＋AD 2＝4＝CD 2，则∠CAD ＝π2，C ＝π6，过A 作AE ⊥BC 于点E ，如图所示，于是CE ＝AC cos C ＝32，AE ＝AC sin C ＝32，BE ＝52，所以在Rt △AEB 中，tan B ＝AE BE ＝35.(2)方法一在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理得2＝14a 2＋1－2×12a ×1×cos (π－∠ADC )，2＝14a 2＋1－2×12a ×1×cos ∠ADC ，整理得12a 2＋2＝b 2＋c 2，而b 2＋c 2＝8，则a ＝23，又S △ADC ＝12×3×1×sin ∠ADC ＝32，解得sin ∠ADC ＝1，而0<∠ADC <π，于是∠ADC ＝π2，所以b ＝c ＝AD 2＋CD 2＝2.方法二在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，则2AD →＝AB →＋AC →，又CB →＝AB →－AC →，于是4AD →2＋CB →2＝(AB →＋AC →)2＋(AB →－AC →)2＝2(b 2＋c 2)＝16，即4＋a 2＝16，解得a ＝23，又S △ADC ＝12×3×1×sin ∠ADC ＝32，解得sin ∠ADC ＝1，而0<∠ADC <π，于是∠ADC ＝π2，所以b ＝c ＝AD 2＋CD 2＝2.15.(2023·渝中模拟)如图，设在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，从顶点A 连接对边BC 上两点D ，E ，使得∠DAE ＝30°，若BD ＝16，CE ＝5，则边长AB 等于()A ．38B ．40C ．42D ．44答案B 解析方法一设AB ＝x ，∠BAD ＝α，在△BAD 中，由正弦定理得x sin (60°＋α)＝16sin α，可以化简得x 16＝32cos αsin α＋12，在△EAC 中，由正弦定理得x sin (90°＋α)＝5sin (30°－α)，可以化简得5x ＝－32sin αcos α＋12，＝－34，可以化简得x2－42x＋80＝0，解得x＝40，x＝2(舍去)．方法二设AB＝x，利用余弦定理得AD2＝x2＋162－16x，AE2＝x2＋52－5x，而△ADE的面积S＝12DE·AB×sin60°＝12(x－21)32x＝12AD·AE×sin30°，则AD·AE＝3x(x－21)，则在△ADE中，由余弦定理得(x－21)2＝AD2＋AE2－2AD·AE cos30°，x2－42x＋212＝x2＋162－16x＋x2＋52－5x－3x(x－21)，化简整理得x2－42x＋80＝0，即x＝40，x＝2(舍去)．16．(2024·大庆模拟)设△ABC的三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，若tan A2＝ab＋c，tan B 2＝ba＋c，则△ABC是() A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．以上说法都不对答案B解析利用tan A2＝sin A1＋cos A，tanB2＝sin B1＋cos B及正弦定理和题设条件，得sin A1＋cos A＝sin Asin B＋sin C，①sin B1＋cos B＝sin Bsin A＋sin C，②所以1＋cos A＝sin B＋sin C，③1＋cos B＝sin A＋sin C，④由③和④得1＋cos A－sin B＝1＋cos B－sin A，即sin A＋cos A＝sin B＋cos B，因为A，B为三角形内角，所以A＋π4＝B＋π4或A＋π4＝π－B－π4，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.(1)若A ＝B ，由C ＝π－A －B ＝π－2A ，将其代入③，得1＋cos A ＝sin A ＋sin 2A.变形得(sin A －cos A )2－(sin A －cos A )＝0，即(sin A －cos A )(sin A －cos A －1)＝0，⑤由A ＝B 知A 为锐角，从而知sin A －cos A －1≠0.所以由⑤，得sin A －cos A ＝0，即A ＝π4，从而B ＝π4，C ＝π2.因此，△ABC 为等腰直角三角形．(2)若A ＋B ＝π2，即C ＝π2，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．。

2018届人教A版正弦定理和余弦定理单元测试

2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形 4.7 正弦定理和余弦定理真题演练集训理新人教A 版1．[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1 ，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案：B解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1 ，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案： 3解析：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.答案：2113解析：解法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113.解法二：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113.解法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113.解法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113.4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ，C ∈(0，π)．可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.5. [2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[审题视角] (1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab ，再结合余弦定理联立方程求出a ＋b ，进而求得△ABC 的面积．[解] (1)由已知及正弦定理得，2cos C sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C ，①2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7. 故a 2＋b 2＝13，从而 a ＋b 2＝25.②所以△ABC 的周长为5＋7. 满分心得1．(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类． (2)题中②处不能结合余弦定理将(a ＋b )视为整体进行求解而走入误区．2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．。

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)考点一有关三角形面积的计算例、(1)(△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________. 变式练习1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考点二平面图形中的计算问题例、如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路：求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．跟踪训练1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．考点三三角形中的最值、范围问题例、(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A的取值范围为( ) A.]6,0(πB.]4,0(πC.]4,6[ππD.]3,6[ππ (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．跟踪训练1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C.(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换例、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝ac os ⎪⎭⎫⎝⎛-6πB . (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质例、已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．跟踪训练1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．课后作业1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．2 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( ) A.33 B.32C.3 D ．23 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋2C ．3D ．3＋2 7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎪⎭⎫⎝⎛-6πA 的值．提高训练1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则2ba的取值范围是()A．(2，2)B．(2，6)C．(2，3)D．(6，4)2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋bc os2A＝2a，则角A的取值范围是________．3．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．。

人教高中数学必修二A版《余弦定理、正弦定理》平面向量及其应用说课复习(余弦定理)

c＝2，cos A＝23，则 b＝( )
A． 2
B． 3
C．2
D．3
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第六章平面向量及其应用
【解析】 (1)因为 cos C＝2cos2 C2－1＝2×15－1＝－35，所以由余
弦定理，得 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 2AC·BCcos C ＝ 25 ＋ 1 －
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第六章平面向量及其应用
在△ABC 中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
解：根据余弦定理得，课件
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b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－2×2 3×( 6＋
2)×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 又因为 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝8＋2（×26＋2×2（）26－＋（22）3）2＝12，
所以 A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
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第六章平面向量及其应用
已知三边(三边关系)解三角形
(1)在△ABC 中，已知 a＝3，b＝5，c＝
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【步步高】高考数学大一轮复习 4.6 正弦定理和余弦定理试题(含解析)新人教A版

4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )． A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°解析由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知，BC＜AB ，∴A ＝45°. 答案 C2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )．A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝－12，∴C ＝120°.答案 C3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：直接根据正弦定理可得asin A ＝bsin B，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1解析根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A.2 B. 2C. 12D. 12-解析 2122cos 2222222=+-≥-+=ba c c abc b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A.答案 A 二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2.答案29. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________. 解析：根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得a sin A ＝c32，∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3. 答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ，得x ＋2＋y 2＝ 2x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2.答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．解析法一取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tanC tan B＝4.法二由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab，即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c2a 2＋b 2－c 2＝4.答案 4 三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，法一如图(1)，图(1)a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解析 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin Csin A＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2.。

高中数学第一章解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理达标检测(含解析)新人教A

余弦定理A 级基础巩固一、选择题1．(多选)在△ABC 中，以下结论正确的是() A ．若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形 B ．若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为120° C ．若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形 D ．若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3解析：对于A 项，由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，可知角A 为钝角，则△ABC 为钝角三角形，故正确．对于B 项，由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，结合余弦定理可知cos A ＝－12，所以A ＝120°，故正确．对于C 项，由a 2＋b 2>c 2，结合余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，只能判断角C 为锐角，不能判断角A ，B 的情况，所以△ABC 不一定为锐角三角形，故错误．对于D 项，由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，则a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝12∶32∶1≠1∶2∶3，故错误．答案：AB2．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的X 围是() A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10) D ．(10，8)解析：只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2－322×1×a>0，12＋32－a22×1×3>0，1＋3>a ，1＋a >3，解得22<a <10.答案：B3．若三角形三边长分别为5，7，8，则其最大角和最小角的和为() A ．90°B．120°C．135°D．150°解析：中间的角设为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，因为0°<θ<180°，所以θ＝60°，所以最大角和最小角之和为120°. 答案：B4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B 等于()A.14B.34C.24D.23解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋（2a ）2－ac 2a ·2a ＝5a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是() A ．等腰直角三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2·a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．答案：C 二、填空题6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为________．解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.答案：π37．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可．由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.答案：－148.如图所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析：因为sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，所以在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ，所以BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，所以BD ＝ 3. 答案： 3 三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos Aa＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得：sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)解：由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)可知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知和正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.因为0°<A <180°，所以A ＝120°. (2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ．① 由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1.② 由①②及sin A ＝32，得sin B sin C ＝14，所以sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <60°，0°<C <60°，所以B ＝C ，所以△ABC 是等腰三角形．B 级能力提升1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状是()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ＝ac ，所以(a －c )2＝0，所以a ＝c ，因为B ＝π3，所以△ABC 的形状是等边三角形．答案：D2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，所以sin C ＝22，所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案： 33．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝c cos A ＋a sin C . (1)求角C ；(2)若AC 边上的高为13b ，求cos B .解析：(1)因为b ＝c cos A ＋a sin C ，所以由正弦定理得sin B ＝sin C cos A ＋sin A sinC ，所以sin(A ＋C )＝sin C cos A ＋sin A sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ＋sin A sin C ，即sin A cos C ＝sin A sin C ，因为sin A ≠0，且cos C ≠0，所以tan C ＝1，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)由题意可得13b ＝a sin π4＝22a ，则b ＝322a .在△ABC 中，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＝a 2＋92a 2－3a 2＝52a 2，则c ＝102a .易得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋52a 2－92a 22×102a ×a ＝－1010.。

人教A版高考总复习文科数学精品课件第4章三角函数、解三角形第6节余弦定理、正弦定理及应用举例

tan A= 3.又因为 0<A<π,所以
π
A=3 .由余弦定理可得
a2=b2+c2-bc.因为
sin B,sin A,sin C 成等比数列,所以 sin2A=sin Bsin C,即 a2=bc,所以(b-c)2=0,
所以 b=c.所以△ABC 为等边三角形.
方案三:选条件③.由 4S= 3(b2+c2-a2),可得 2bcsin A=2 3bccos A,所以
+

+

sin 2 =cos2 ;cos 2 =sin2 .
研考点精准突破
考点一
利用正弦、余弦定理解三角形
例 1(2022 新高考Ⅱ,18)记△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,以
a,b,c 为边长的三个正三角形的面积分别为 S1,S2,S3,且
(1)求△ABC 的面积;
tan A= 3.又因为 0<A<π,所以
π
A=3 .因为
2bcos C=2a- 3c,所以 2sin Bcos C
=2sin A- 3sin C,即 2sin Bcos C=2sin(B+C)- 3sin C,可得 cos
π
B= 6 ,所以
π
C=2 .所以△ABC
为直角三角形.
3
B= ,所以
2
规律方法 1.判定三角形形状的两种常用途径
为a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且cos B·cos C+cos A=sin2A,则△ABC的形状是
.
答案:等边三角形
解析:cos
2 + 2 - 2
A=
2

2018届一轮复习人教A版(文科数学)正弦定理和余弦定理单元测试 Word版 含答案

人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第五章三角函数、解三角形-第七节 正弦定理和余弦定理

数学(理)一轮复习题库：第四章 第讲 正弦定理和余弦定理