东城区2016届高三二模数学(理)试题及答案(word版)

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2016年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，4} 2．（5分）若命题p：∃x∈R，sin x≥1，则￢p为（）A．∀x∈R，sin x≤1B．∀x∈R，sin x＜1C．∃x∈R，sin x＜1D．∃x∈R，sin x≤13．（5分）如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1＝2AA1＝2，AB＝CC1＝3AA1，则多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为（）A．B．C．9D．4．（5分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣15．（5分）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n＝2n﹣1B．b n＝3n﹣1C．b n＝2n﹣2D．b n＝3n﹣2 6．（5分）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元7．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）A．24B．16C．12D．88．（5分）集合A＝{（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：①任意x，y∈A有x*y＝y*x②任意x，y，z∈A有（x+y）*z＝x*z+y*z（其中x+y＝（x1+x2，y1+y2））③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y＝a（x*y）④任意x∈A有x*x≥0，且x*x＝0成立的充分必要条件是x＝（0，0）为向量，如果x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）A．x*y＝x1y1+2x2y2B．x*y＝x1y1﹣x2y2C．x*y＝x1y1+x2y2+1D．x*y＝2x1x2+y1y2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为．11．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y＝5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|＝．12．（5分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是．13．（5分）若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为．14．（5分）已知函数f n（x）＝（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F 分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．17．（13分）在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息：（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．18．（14分）已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．19．（13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．20．（13分）数列{a n}中，定义：d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），a1＝1．（Ⅰ）若d n＝a n，a2＝2，求a n；（Ⅱ）若a2＝﹣2，d n≥1，求证此数列满足a n≥﹣5（n∈N*）；（Ⅲ）若|d n|＝1，a2＝1且数列{a n}的周期为4，即a n+4＝a n（n≥1），写出所有符合条件的{d n}．2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，4}【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，∴A∩B＝{1，2，3}，故选：B．2．（5分）若命题p：∃x∈R，sin x≥1，则￢p为（）A．∀x∈R，sin x≤1B．∀x∈R，sin x＜1C．∃x∈R，sin x＜1D．∃x∈R，sin x≤1【考点】2J：命题的否定．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，sin x≥1，则﹣p为：∀x∈R，sin x＜1，故选：B．3．（5分）如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1＝2AA1＝2，AB＝CC1＝3AA1，则多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为（）A．B．C．9D．【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【解答】解：根据题意，多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影是几何体的正视图，如图所示；所以该投影面的面积为3×3﹣×2×1.5﹣×1×1.5＝．故选：A．4．（5分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：∵向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1），∴3﹣＝（1，﹣1），又3﹣与共线，∴x•（﹣1）﹣1×1＝0，解得x＝﹣1．故选：D．5．（5分）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n＝2n﹣1B．b n＝3n﹣1C．b n＝2n﹣2D．b n＝3n﹣2【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：设成等差数列的三个正数为a﹣d，a，a+d，即有3a＝6，解得a＝2，由题意可得2﹣d+3，2+6，2+d+13成等比数列，即为5﹣d，8，15+d成等比数列，即有（5﹣d）（15+d）＝64，解得d＝1（﹣11舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列{b n}的通项公式为b n＝b3•2n﹣3＝4•2n﹣3＝2n﹣1．故选：A．6．（5分）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．他购买的商品的标价为219元，优惠劵1减免21.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免21.42元；标价为239元，优惠劵1减免23.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免25.02元；故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）A．24B．16C．12D．8【考点】3P：抽象函数及其应用．【解答】解：由f（x）＝，由2+log23＜4，可得f（2+log23）＝f（3+log23），由3+log23＞4，可得f（3+log23）＝＝23•2log23＝8•3＝24．故选：A．8．（5分）集合A＝{（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：①任意x，y∈A有x*y＝y*x②任意x，y，z∈A有（x+y）*z＝x*z+y*z（其中x+y＝（x1+x2，y1+y2））③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y＝a（x*y）④任意x∈A有x*x≥0，且x*x＝0成立的充分必要条件是x＝（0，0）为向量，如果x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）A．x*y＝x1y1+2x2y2B．x*y＝x1y1﹣x2y2C．x*y＝x1y1+x2y2+1D．x*y＝2x1x2+y1y2【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由题意，若x＝（2，﹣2），y＝（1，1），A，x*y＝﹣2，y*x＝﹣7，不满足①；B，x*y＝﹣5，y*x＝5，不满足①；C，x*x＝﹣7，不满足④；D中运算均适合．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为．．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：∵复数＝＝+i又∵z在复平面内所对应的点位于第一象限，∴＞0且＞0解得．故答案为：．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，﹣1），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x，结合图象直线过A（3，﹣1）时，z最大，z的最大值是5，故答案为：5．11．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y＝5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|＝．【考点】IR：两点间的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：由，得4x+3y﹣10＝0，由解得，即B（，0），所以|AB|＝＝，故答案为：．12．（5分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为0.4；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是13．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：由直方图可知：生产该产品数量在[55，65）的频率＝1﹣（0.005+0.0100+0.020+0.025）×10＝0.4∴生产该产品数量在[55，75）的人数＝20×（0.04+0.025）×10＝13，故答案为：0.4 1313．（5分）若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（1，+]．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，∴c＝，则c2＝a2+1＝2，则a2＝1，即双曲线方程为x2﹣y2＝1，设P（x，y），则x≥1，则＝＝＝＝1++•（）2，则x≥1，∴1++•（）2＞1，又1++•（）2＝•（+）2，∵x≥1，∴0＜≤1，即当＝1时，1++•（）2＝•（+）2取得最大值为•（1+）2＝+，故的取值范围为（1，+]，故答案为：（1，+]，14．（5分）已知函数f n（x）＝（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①②④①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：∵函数f n（x）＝（n∈N*），∴①f n（x+2π）＝f n（x）（n∈N*），f n（x）为周期函数，正确；②f n（﹣x）＝＝，f n（x）＝（n∈N*）是偶函数，∴f n（x）＝（n∈N*）有对称轴，正确；③n为偶数时，f n（）＝＝0，∴（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心，不正确；④∵|sin nx|≤|n sin x|，∴|f n（x）|≤n（n∈N*），正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx），所以，又f（x）的最小正周期为，所以＝，即＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，因为，所以．由正弦函数的性质可知，当，即时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（）＝3；当时，即时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（）＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分16．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F 分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】证明：（Ⅰ）因为△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°，E，F分别为AC，BC的中点，所以EF⊥AE，EF⊥C'E．又因为AE∩C'E＝E，所以EF⊥平面AEC'．由于EF∥AB，所以有AB⊥平面AEC'．4分解：（Ⅱ）（i）取AC'中点D，连接DE，EF，FG，GD，由于GD为△ABC'中位线，以及EF为△ABC中位线，所以四边形DEFG为平行四边形．直线GF与AC'所成角就是DE与AC'所成角．所以四棱锥C'﹣ABFE体积取最大值时，C'E垂直于底面ABFE．此时△AEC'为等腰直角三角形，ED为中线，所以直线ED⊥AC'．又因为ED∥GF，所以直线GF与AC'所成角为．10分（ii）因为四棱锥C'﹣ABFE体积取最大值，分别以EA、EF、EC'所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则C'（0，0，a），B（a，2a，0），F（0，a，0），C'B（a，2a，﹣a），C'F（0，a，﹣a）．设平面C'BF的一个法向量为＝（x，y，z），由得，取y＝1，得＝（﹣1，1，1）．平面C'AE的一个法向量＝（0，1，0）．所以cos ＜＞＝＝，故平面C'AE与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为．14分17．（13分）在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息：（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是．在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是．3分（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B2．则P（A）＝P（B1）+P（B2）＝＝．7分（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，X的分布列如下表：∵X～B（3，），∴EX＝3×＝．18．（14分）已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，所以x2+3x+1＜0，解得﹣2＜x，当f′（x）＜0时，解得，所以f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）＝，令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）＝，当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t（x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．19．（13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（Ⅰ）由题意，以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形，所以b＝c，a2＝2b2，则椭圆C的方程为．又因为椭圆C：过点A（，1），所以，故a＝2，b＝.所以椭圆的标准方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）|MP|2＝（x﹣p）2+y2．因为M（x，y）是椭圆C上的动点，所以，故．所以．因为M（x，y）是椭圆C上的动点，所以|x|≤2．（1）若|2p|≤2，即|p|≤1，则当x＝2p时，|MP|取最小值，此时M．（2）若p＞1，则当x＝2 时，|MP|取最小值|p﹣2|，此时M（2，0）．（3）若p＜﹣1，则当x＝﹣2 时，|MP|取最小值|p+2|，此时M（﹣2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分20．（13分）数列{a n}中，定义：d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），a1＝1．（Ⅰ）若d n＝a n，a2＝2，求a n；（Ⅱ）若a2＝﹣2，d n≥1，求证此数列满足a n≥﹣5（n∈N*）；（Ⅲ）若|d n|＝1，a2＝1且数列{a n}的周期为4，即a n+4＝a n（n≥1），写出所有符合条件的{d n}．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：（Ⅰ）∵a n＝d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），∴a n+2﹣2a n+1＝0（n≥1）；又∵a1＝1，a2＝2，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故数列{a n}的通项公式为；（Ⅱ）证明：∵d n≥1，∴a n+2+a n﹣2a n+1≥1，令c n＝a n+1﹣a n，则c n+1﹣c n≥1，叠加得，c n≥n﹣4；即a n+1﹣a n≥n﹣4，叠加可得，≥﹣5．（Ⅲ）由于|d n|＝1，a1＝1，a2＝1，若d1＝1，则可得a3＝2，若d1＝﹣1可得a3＝0；同理，若d2＝1可得a4＝4或a4＝2，若d2＝﹣1可得a4＝0或a4＝﹣2；具体如下表所示，1，1，；所以{a n}可以为1，1，2，2；1，1，2，2；1，1，2，2；…或1，1，0，0；1，1，0，0；1，1，0，0；…此时相应的{d n}为1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，…或﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，…．。

2016东城区高三数学理期末试题及答案

东城区2015-2016学年度第一学期期末教学统一检测本试卷共5贞.150分•芳试时K 120分钟•考住务必将答至答在答題卡上■仗试卷I：作答无效•考试结束后•将本试总和答題卞一并交何.第一部分（选择题共40分）一■选择理（共8小0 ■毎小& 5分，共40分•在毎小題列出的囚个选项中■选出符合求的一项）1 •已知集合1丿=（1・2・3出几集合A»n>3>4h B={2・4}・那么集合（CM）nB-3•设i为谨数烦位.如果复数z满足（l-2i）z=5i^那么厂的虚邪为A. - IB. IC. •D.-i4•已知刃€«0・1〉・令a = b肛2. h二4『=2-・那么之树的大小关系为A. b<c<aB. b<a<cC. a<b<cD. c<u<b5・Ci知克线/的倾斜角为i斜卒为点.那么"a>y M是7A®的A.充分而不必耍条件B.必耍而不充分条件C.充分必姿条件D.既不充分也不必耍条件高三數学（现科）第1页（共5页）高三数学（理科）2016. 1側（左）现图A.⑵B・{4}C. {1.3} I). 24}11 9 cm Jf 1i ~ +1 • 0V#£26•已知旳数x •如果关丁丄的方程/Cr〉=A有两个不同的实根•那* lnx» x>2么实数百的取值范隔2A・(l.+vo〉B・[^・ + oo) C・[e+.+8) D.[ln2・+8)7.过抛物线;/=2仇r(p>0)的魅点F的f[线交粗物线于A・B丙点•点O泉坐标原点.如架I BF| =3, | BF|>|AF| ・ZBFO=¥・那么 | AF| 的伙为、夕A. 1B.yC.2 I). |&如图所示•正方体AHCD-A f B，C，D,的梭长为1, F・F分别圧梭八人'・CC'的中点.过血线EF的平面分別与梭BB'.DD'交丁M,M设BM-小.* (0・1〉，给出以卜四个命题：①四边形MENF为平行四边形I②若四边形MENF血枳Sr /(X). x€(0,l).则/(z)冇九小侑；③若四棱锥人一MENF的体积V=-p(x). ze<0.1>.则p(“为恋瓯数；④若多而体AHCD-MENF^J体枳V = A(.r),苏I),则AQ)为单浏函数. 只中假命题为• • •A.①B•②C•③D•④高三敷爭(瓦科)第2页(拱$员)第二部分（G选择&兵110 分〉二、填空11（共6小逊■毎小JR 5分，共30分）9•在△ ABC中・a・6分别为角八•〃的对边.如果〃一30°«： - IO5S a " •那么b .0在平而向M Q.b中・已知a = （】・3）・ b=（2.y）・如果a • b = 5・那么y= ___ ；如果|a + b| = |a — b|・那么y= ____ •丁一yWlO.11. 已知『q海足约束条件1—，£2・那么的歧大值为・才$312. 如來險数/Cr）-rsiar+«的图象过点GJ〉. R /（z）-2.那么•13. 如來平面直角坐标系中的f»iAA（«-l.a+D.B（a.a）X于虫线，对称.那么直线？的方程为•M•数列｛“.｝満足：如和+“…>2如5>lmWN・）,给出卜•述命吆*①若数列2」溝足:如 >尙・则a>“. ,（”>】・”€'•）皿立；②存在甜数c使扫a.>r（W€N->成立：③若 /> + q>m + /t（其中）•则a»+y>“.=a. i④存在席数/使得“A心? 5-】>d3€N・）郁成立.上述命題正珂的是_.（吗出所冇正晞结论的*仍〉三、解答题（共6小麵，共80分.解答虫禹出文字说明，演算步廉或证明过程）15•（本小題共13分）设S.、#一个公比为曲>0心\）的等比数列•巾，・3“八2心成等力数列.且它的询4项和S< = 15.< I〉求数列"・>的通项公式：< 11〉令6=a. + 2”・5=l・2・3……）•求敷列仏｝的前肪项和.高三软竽（理科〉第3页〈共5页）16. （4-小题共13分〉已知函数/（x） = sin2x+2 73sinTcosi* —cos:^（^6 R）.＜I ）求/4〉的皿小正周期和在Co.xZJ：的单训递减区间；（【I）若a为第四欽限角，且cosa-y,求/（f+ jf）的fft.17. （本小题典14分）如图.在P-ABCD中.底丽ABCD为正方形，PA丄底面ABCD・AB=AP.E为披PD的中点.（I ）证明:AELCD；（II）求il^AE弓平而PHD所成卅的正弦值；（山）若尸为人3中点，棱PC上是否存在一点M・使得FM丄八（：・若存在.求出耀的值.若不存在，说明埋山.18. （本小題共13分〉已知桶圆$ I话=讥＞〃＞0》的焦点是斤・幵，H. |F,F?| = 2、离心率为*・（I ＞求椭B0C的方程；（II〉若过椭圆右很点丘的直线/交椭圆FA,B两点•求\AF Z\• IF屮I的取值范国.高三散学〈理科）第4页（共5贞）19. (4：小題从I I分)(2知西数/<-r) -- ----- a(.r —< [)当a亠1时.试求/(j->/t(U/(D)处的切线方程(<n)当“wo时，试求/a》的单河风何：(111)若/<x)ft(OJ)内有极(TL试求"的取值范用.20•(本小聽共13分》已知初线(・.的方程为：i^r 11〉・1・=】>.<【〉分別求出”二1・” =2时.曲线C.所冊成的图形的滴枳,< II〉若5(”€2〉衣朋曲线C.所阳成的图形的面积.求证：S.(N€N-以于”是递增的;'5)若方程上・+>*=^5A2・”W?OdwHO・没右正整数解.求证：曲线C.(W>2>M6N*〉上任一点对应的坐标(x.y). .r.y不能全尺有理数.高三做孕(理科)事5页(*S M>东城区2015-2016学年度第-学期期末教学统一检测裔三数学（理科）参考答案及评分标准2016. 1 一、选择題二■填空超9. 2 72. 10. U- ・】1・5& 12. X0. 14•①④.三、廉答1915•解：（I圈为一个公比为g（g>0・</工1）的等比数列.所以= “I矿'・心*0・因为4““3“，・2山成等矗数列.所以6g = 4® +2“）•即—34/4-2=0.H得g=2或gh】（含）.乂它的询 4 项和S,工15.1!）^^- = !5（v>0.<?#l）.解冯5^1.所以2・'• .......................................................................................................... 9分(II )W 为九FT.+2机所以i^ = ia. + V2； = 2- + n(w4 1)-1. ............................................................... 13 分•—1 •* I •—>16. 解” 1〉由己知 /<x）^>ii/ar4 2 ySsiiurcosx—co>\r IX>52X—2sin（2x~b所以故小正周期丁守一几3 Z由計2*n<2r-矜蓼亠2虹""•得手卜后W/W罟+及irMW龙.故旳数“ 0在[0・O上的单调递滥区间泉石7：・|■町. ...............9分<l] ）W为a为第四徐琨用・H cose二g •所以0g--£・浙三啟学（仗科〉冬脅怎案第I页（*50所以 /(号讨辔〉三f -|-) = — 2sina —y. 13分17. ( I )证明：因为卩人丄磺面ABCD.CDC平A AHCD.所以”人丄(。

北京市东城区2016届高三第二学期综合练习一数学理试题WORD版,含解析

东城区2021-2016 学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共5 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题（本大题共8 小题，每题5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知复数(1)i ai +为纯虚数，那么实数a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．22．集合{}|A x x a =≤，{}2|50B x x x =-<，若AB B =，那么a 的取值范围是 A ．a ≥5 B ．a ≥4C ．a ＜ 5D ．a ＜43．某单位共有职工150 名，某中高级职称45 人，中级职称90 人，低级职称15 人，现采纳分层抽样方式从中抽取容量为30 的样本，那么各职称人数别离为A ．9，18，3B ．10，15，5C ．10，17，3D ．9，16，54．执行如下图的程序框图，输出的S 值为A ．12B ．1C ．2D ．45．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=1截得的线段长为A ．12B ．22C ．1D ．26．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的最长棱长为A ．2B ．22C ．3D．10 7．已知三点P （5，2），F 1（－6，0），F 2 （6，0 ），那么以F 1，F 2 为核心且过点P 的椭圆的短轴长为A ．3B ．6C ．9D ．128．已知e 1，e 2为平面上的单位向量， e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，e 1与e 2的夹角为3π，平面区域D 由所有知足12OP e e λμ=+的点P 组成，其中100λμλμ+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么平面区域D 的面积为A ．12B ．3C ．32D ．34 第II 卷（非选择题共110 分）二、填空题（本大题共6 小题，每题5 分，共30 分）9．在51(2)4x x+的展开式中，x 3项的系数为（用数字作答） 10．已知等比数列{}n a 中，2342,32a a a ==，那么a 8的值为．11．如图，圆O 的半径为1， A ， B ，C 是圆周上的三点，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ．假设CP ＝AC ，那么∠COA ＝； AP ＝．12．假设sin ()4πα-＝35，且(0,)4πα∈，那么sin 2α的值为． 13．某货运员拟输送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润和运输限制如下表：在最合理的安排下，取得的最大利润的值为．14．已知函数 f (x ) ＝｜ln x ｜，关于x 的不等式f (x ) －f (x 0 )≥c (x －x 0)的解集为(0，＋∞)，c 为常数．当x 0＝1时，c 的取值范围是；当x 0＝12时， c 的值是．三、解答题（本大题共6 小题，共80 分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程）15．（本小题共13 分）在△ABC 中，BC ＝22，AC ＝2，且cos( A＋B) ＝－22。

东城区2016届高三期中理科数学

东城区2016届高三期中理科数学东城区2022年届高三上学期期中考试数学理试卷一、选择题（60分）1、已知集合A＝x R| 1 x 1 ，B＝x R|(x 2)(x 1) 0 ，则A B ＝A、（0,2）B、（－1,1）2、下列函数为奇函数的是1 A、y lgx B、y sinx C、y D、y x23、已知函数yx1，那么x 1A、函数的单调递减区间为（－，1），（1，＋）B、函数的单调递减区间为（－，1］（1，＋）C、函数的单调递增区间为（－，1），（1，＋）D、函数的单调递增区间为（－，1］（1，＋）4、函数y cos2x的图象的一条对称轴方程是A、x2B、x8C、x8D、x45、在等差数列an 中，，前n项和Sn＝100，则公差d和项数n为A、d＝12，n＝4B、d＝－18，n＝2C、d＝16，n＝3D、d ＝16，n＝4 6、若，则的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、不充分不必要条件7、定义在R上的函数f(x)满足f( x) f(x)，对于任意则8、函数y＝A、周期为是的函数B、周期为的函数32C、周期为的函数D、周期为2 的函数，则下列关9、设系式中正确的是A、N＝R＜MB、N＝R＞MC、M＝R＜ND、M＝R＞N 10、曲线A、x＝1B、y＝处的切线方程是1C、x＋y＝1D、x－y＝1 2的解集为11、已知定义在R上的函数f(x)的图象如图，则12、已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、则下列说法中正确的是( ) ①买小包装实惠②买大包装实惠③卖3小包比卖1大包盈利多④卖1大包比卖3小包盈利多A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（30分）13、函数－2）的定义域是14、已知15、在数列an 中，16、若过曲线17、将函数原点对称，则m的最小值是＿＿上的点P的切线的斜率为2，则点P的坐标是的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于18、设函数f（x）＝,当a＝0时，f（x）的值域为＿＿＿，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是＿＿＿三、解答题（60分）19、（本小题满分15分）如图所示，函数f（x）的定义域为［－1,2］，f（x）的图象为折线AB、BC。

北京市东城区20162017学年度第二学期高三综合练习

北京市东城区学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）第一部分（选择题共分）一、选择题共小题，每小题分，共分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（）已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ð（）{|2x x ?或2}x ³ （）{|2x x <-或2}x >（）{|22}x x -<< （）{|22}x x -＃（）下列函数中为奇函数的是（）cos y x x =+ （）sin y x x =+ （）y x =（）||e x y -=（）若,x y 满足10,00,x y x y y ì-+?ïï+?íï³ïî，则2x y +的最大值为（）1- （）0 （）12（）2 （）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的（）充分而不必要条件（）必要而不充分条件（）充分必要条件（）既不充分也不必要条件（）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S （）2716 （）278 （）634 （） 632APAPPAxyl2O否是1v v x =?1ii =- 结束输出v1i n =-0i ³开始输入 ,,n v x AP（）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（）5432222221+++++ （）5432222225+++++ （）654322222221++++++ （）43222221++++（）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（）（）（）（）CAB D（）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（）若A B p ，B C p ，则A C p（）若A B p ，B C p 同时不成立，则A C p 不成立（）A B p ，B A p 可同时不成立（）A B p，B A p 可同时成立第二部分（非选择题共分）二、填空题共小题，每小题分，共分。

2016年北京高三二模解析大题理科

2016年北京高三二模解析大题（理科）1 ．（2016年北京市海淀区高三二模理）已知点1122(,),(,)(A x y D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点,,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C ,且||2BC =.(Ⅰ)当点B 的坐标为(1,0)时,求直线AD 的斜率;(Ⅱ)记OAD ∆的面积为1S ,梯形ABCD 的面积为2S ,求证:1214S S <.2 ．（2016年北京市西城区高三二模理）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为24. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设过点)0)(,0(>m m B 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,点B 关于原点的对称点为D ,若点D 总在以线段EF 为直径的圆内,求m 的取值范围.3 ．（2016年北京市东城区高三二模理）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点(2,1),且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设M ,)x y （是椭圆C 上的动点,P ,0)p （是X 轴上的定点,求MP 的最小值及取最小值时点M 的坐标. 4 ．（2016年北京市朝阳区高三二模理）在平面直角坐标系O x y 中,点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上,过点P 的直线l 的方程为0012x xy y +=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点,试求OAB ∆面积的最小值;(Ⅲ)设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ,2F ,点Q 与点1F 关于直线l 对称,求证:点2,,Q P F三点共线.5 ．（2016年北京市丰台区高三二模理）已知椭圆C :22143x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)若椭圆C 与直线y x m =+交于N M ,两点,且=||MN ,求m 的值; (Ⅲ)若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上,且点A 在第一象限,点P 在第二象限,点B 与点A 关于原点对称,求证:当22124x x +=时,三角形PAB ∆的面积为定值.6 ．（2016年北京市房山区高三二模理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,1),且长轴长. 过椭圆左焦点F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,O 为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线AB 垂直于x 轴,判断点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)若点O 在以线段AB 为直径的圆内,求直线AB 的斜率k 的取值范围.7 ．（2016年北京市昌平区高三二模理）已知椭圆M :()222210x y a b a b+=>>的焦距为2,点(0,D在椭圆M上,过原点O作直线交椭圆M于A、B两点,且点A不是椭圆M的顶点,过点A作x 轴的垂线,垂足为H,点C是线段AH的中点,直线BC交椭圆M于点P,连接AP.(Ⅰ)求椭圆M的方程及离心率;(Ⅱ)求证:AB AP.答案1. 略2. 1222=+y x(Ⅱ)解:(方法一)当直线l 的斜率不存在时,由题意知l 的方程为0=x , 此时E ,F 为椭圆的上下顶点,且2=EF , 因为点(0,)D m -总在以线段EF 为直径的圆内,且0m >,所以10<<m . 故点B 在椭圆内当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=, 因为点B 在椭圆内, 所以直线l 与椭圆C 有两个公共点,即0)22)(12(4)4(222>-+-=∆m k km .设),(),,(2211y x F y x E ,则122421km x x k -+=+,21222221m x x k -=+设EF 的中点),(00y x G ,则12222210+-=+=k kmx x x ,12200+=+=k m m kx y , 所以)12,122(22++-k m k km G所以2222)12()122(m k m k km DG ++++-=124124224+++=k k k m , 2122124)(1x x x x k EF -++=12121222222+-++=k m k k因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内, 所以2EF DG <对于k ∈R 恒成立. 所以 1212121241242222224+-++<+++k m k k k k k m . 化简,得1323722422242++<++k k m k m k m , 整理,得31222++<k k m , 而2221221()113333k g k k k +==--=++≥(当且仅当0=k 时等号成立).所以312<m , 由0>m ,得330<<m . 综上,m 的取值范围是330<<m (方法二)则122421kmx x k -+=+,21222221m x x k -=+ 因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内, 所以0DE DF ⋅<因为11(,)DE x y m =+ ,22(,)DF x y m =+ , 所以2121212()DE DF x x y y m y y m ⋅=++++2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++ 221212(1)2()4k x x km x x m =++++22222224(1)2402121m km k km m k k --=+++<++,整理,得31222++<k k m (以下与方法一相同,略)3. 解:(Ⅰ)椭圆的的标准方程为12422=+y x(Ⅱ)222)(y p x MP +-=.因为 M(x,y)是椭圆C 上的动点,所以12422=+y x , 故 22)41(2222x x y -=-=.所以 222222211()222(2) 2.222x MP x p x px p x p p =-+-=-++=--+ 因为M(x,y)是椭圆C 上的动点, 所以 2≤x .(1) 若22≤p 即1≤p ,则当2x p =时MP 取最小值22p -, 此时M (2,p .(2)若1p >,则当2x =时,MP 取最小值2-p ,此时M )0,2(. (3)若1p <-,则当2x =-时,MP 取最小值2+p ,此时M )0,2(- 4. 解:(Ⅰ)e == (Ⅱ)因为直线l 与x 轴,y 轴分别相交于,A B 两点,所以000,0x y ≠≠.令0y =,由0012x x y y +=得02x x =,则02(,0)A x .令0x =,由0012x x y y +=得01y y =,则01(0,)B y .所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上,所以220012x y +=.所以220012x y =+≥.即002x y ≤,则001x y ≥所以00112OAB S OA OB x y ∆==≥当且仅当22002x y =,即001,x y =±=时,OAB ∆(Ⅲ)①当00x =时,(0,1)P ±.当直线:1l y =时,易得(1,2)Q -,此时21F P k =-,21F Q k =-. 因为22F Q F P k k =,所以三点2,,Q P F 共线. 同理,当直线:1l y =-时,三点2,,Q P F 共线. ②当00x ≠时,设点(,)Q m n ,因为点Q 与点1F 关于直线l 对称,所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++. 又因为200(1,)F P x y =- ,220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++ , 且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++ 2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+222200000002222220000008484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++. 所以2//F P 2F Q.所以点2,,Q P F 三点共线.5. 解:(Ⅰ)因为2,a b ==所以1c =,离心率12e =(Ⅱ)22,3412y x m x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 的并化简得22784120x mx m ++-= 2226428(412)16(213)0m m m ∆=--=->,设1122(,),(,)M x y N x y ,则||7MN ==,解得2m =±,且满足0∆>(Ⅲ)直线AB 的方程为11y y x x =,即110y x x y -=. 点22(,)P x y 到直线AB的距离d =,||AB =21211||||2PAB S AB d y x x y ∆===-,因为12120,0,0,0x x y y ><>>,2222112233(4),(4)44y x y x =-=-,12y y ==所以21212112||||||y x x y y x y x -=+21||)x x =2221)x x =+,=所以当22124x x +=时,三角形△PAB的面积为定值(Ⅲ)方法二:设直线AB 的方程为y kx =,即0kx y -=. 220,3412kx y x y -=⎧⎨+=⎩,解得2121234x k =+. 1||2|AB x ==点22(,)P x y )到直线AB的距离d =11221|||||||2PAB S AB d x x kx y ∆===-,因为12120,0,0,0x x y y ><>>,则0k >.所以1x =,2x ==21y x ===22kx y k -=⨯-=122||||PAB S x kx y ∆=-==. 所以三角形△PAB 的面积为定值6. 解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为:2212x y +=(Ⅱ)由(Ⅰ)得(1,0)F -, 当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 的方程是1x =- 由22112x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得y =所以2AB y ==,又1OF c == 因为2AB OF < 所以点O 在以线段AB 为直径的圆外方法二:点,A B的坐标为((1,22---11cos ((1,1022OA OB OA OB AOB ⋅=∠=-⋅-=-=>所以 cos 0AOB ∠>,即AOB ∠为锐角.所以点O 在以线段AB 为直径的圆外 (Ⅲ)设直线AB 的方程为(1)y k x =+,11(,)A x y ,22(,)B x y ,由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +++-= 所以22121222422,2121k k x x x x k k -+=-=++ 方法一:因为点O 在以线段AB 为直径的圆内, 所以AOB ∠为钝角,所以0OA OB⋅<121212122221212224222(1)(1)(1)()2(1)(1)402121OA OB x x y y x x k x k x k x x k x x k k k k k k k⋅=+=+++=++++-+-=++<++ 整理得 22k <所以k <<方法二:线段AB 的中点00(,)M x y ,则212022221x x k x k +==-+,20222(1)2121k k y k k k =-+=++AB ==22121k k +==+OM == 因为点O 在以线段AB 为直径的圆内,所以2AB OM >所以224AB OM>所以22228(1)(21)k k ++42224(4)(21)k k k +>+ 422320k k --< 202k ≤<所以k <<7. 解:(I)所以椭圆M 的方程为22143x y +=,椭圆M 的离心率为12(II)设0011(,),(,)A x y P x y ,则0000(,),(,).2yB x yC x --由点,A P 在椭圆上,所以2200143x y +=① 2211143x y += ②点A 不是椭圆M 的顶点,②-①得 2210221034y y x x -=-- . 法一:又01001000332,,24PB BC y y y y k k x x x x +===+且点,,B C P 三点共线,所以10010034y y y x x x +=+, 即 0100104().3()y y y x x x +=+所以,22010101010220101010104()4()43()1,3()3()34AB PA y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====⨯-=--+--即 AB AP ⊥法二: 由已知AB 与AP 的斜率都存在,2210101022101010PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+- 221022103()344x x x x --==--又003,4PB BC yk k x ==得00,PA x k y =-则0000()1AB PA y xk k x y -==- , 即 AB AP ⊥。

2016届东城区高三期末数学(理)试卷

m 东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）2016.1学校班级姓名考号_本试卷共 5 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合U = {1, 2,3, 4}，集合 A = {1,3, 4}， B ={2, 4}，那么集合(C A )B =U（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2, 4}（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于3 33 正（主）视图1侧（左）视图13 俯视图3（A ）2cm 3（B ） 2 cm 3（C ） 3 cm 3（D ） 9 cm 3（3）设i 为虚数单位，如果复数 z 满足(1- 2i )z = 5i ，那么 z 的虚部为（A ） -1（B ）1（C ） i（D ） -i（4）已知m ∈(0,1) ，令a = log 2 ，b = m 2， c = 2m，那么a ,b , c 之间的大小关系为（A ）b < c < a （B ）b < a < c （C ）a < b < c （D ）c < a < b（5）已知直线l 的倾斜角为α ，斜率为k ，那么“α >π”是“ k > 3（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3 ”的（6）已知函数f (x) =⎪x1⎧1+1, 0 <x ≤ 2⎨，如果关于x 的方程f (x) =k 有两个不同的实根，⎪⎩ln x,那么实数k 的取值范围是x > 23 3（A）(1, +∞)（B）[ , +∞)2（C）[e2 , +∞) （D）[ln 2, +∞)（7）过抛物线y2 = 2 px（p > 0) 的焦点F 的直线交抛物线于A, B 两点，点O 是原点，如果BF = 3 ，BF >AF，∠BFO =2π，那么AF 的值为3( A) 1 (B)32(C) 3 （D） 6（8）如图所示，正方体ABCD -A'B'C'D'的棱长为1, E, F 分别是棱AA'，CC'的中点，过直线E, F 的平面分别与棱BB'、DD'交于M ,N ，设BM =以下四个命题：① 四边形MENF 为平行四边形；x ，x ∈(0,1) ，给出② 若四边形MENF 面积s =值；f (x) , x ∈(0,1) ,则f (x) 有最小③ 若四棱锥A MENF 的体积V =p(x)p(x) 常函数；，x ∈(0,1) ，则④ 若多面体ABCD -MENF 的体积V =h(x) ，x ∈( ,1) ，2则h(x) 为单调函数．其中假．命．题．为( A) ①(B)②(C) ③（D）④⎨ ⎩n n -1 n +1 n n 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9）在∆ABC 中， a 、b 分别为角 A 、B 的对边，如果 B = 300， C = 1050， a = 4 ，那么 b = .（10）在平面向量a,b 中，已知 a = (1,3) ， b = (2,y) .如果 a ⋅ b = 5，那么 y= ；如果a +b = a -b ，那么 y= .⎧x +y ≤ 10 ,（11）已知 x , y 满足满足约束条件⎪x - y ≤ 2, ，那么 z = x 2 + y 2 的最大值为 .⎪x ≥ 3 （12）如果函数 f (x ) = x2sin x + a 的图象过点(π,1) 且 f (t ) = 2 ．那么a = ；f (-t ) = ．（13）如果平面直角坐标系中的两点 A (a -1, a +1) ，B (a , a ) 关于直线l 对称，那么直线l的方程为 .（14）数列{a } 满足： a + a > 2a (n >1, n ∈ N *) ，给出下述命题：①若数列{a } 满足： a > a ，则a > a(n > 1, n ∈ N *) 成立；n21n n -1②存在常数c ，使得a > c (n ∈ N *) 成立；③若 p + q > m + n (其中p , q ,m ,n ∈ N *)，则a+ a > a + a ；pqmn④存在常数d ，使得a n > a 1 + (n -1)d (n ∈ N *) 都成立．上述命题正确的是．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共 13 分）设{a n }是一个公比为q (q > 0, q ≠ 1) 等比数列，4a 1 ,3a 2 4 项和 s 4 = 15 .（Ⅰ）求数列{a n } 的通项公式；, 2a 3 成等差数列,且它的前（Ⅱ）令b n = a n + 2n ,(n = 1, 2,3 ..... ) ,求数列{b n }的前n 项和.E D（16）（本小题共 13 分）已知函数 f (x ) = s in 2 x + 2 3sin x cos x - c os 2x(x ∈R ) ．（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期和在[0, π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α 为第四象限角，且cos α = 3 ，求 f (α + 7π) 的值. 52 12P（17）（本小题共 14 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA ⊥ 底面 ABCD ， AB = AP , E 为棱 PD 的中点.C（Ⅰ）证明: AE ⊥ CD ；（Ⅱ）求直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值；AB（Ⅲ）若 F 为 AB 中点，棱 PC 上是否存在一点M ，使得 FM ⊥ AC ，若存在， PM 求出的值，若不存在，说明理由.MC（18）（本小题共 13 分）x 2 y 2 1 已知椭圆 + a 2 b 2= 1（ a > b > 0 ）的焦点是 F 1、F 2 ，且 F 1F 2 = 2 ，离心率为． 2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点 F 2 的直线l 交椭圆于 A ， B 两点，求| AF 2 || F 2 B | 的取值范围．（19）（本小题共 14 分）e x 已知函数f (x ) =- a (x - ln x ) ．x（Ⅰ）当a = 1时，试求 f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）当a ≤ 0 时，试求 f (x ) 的单调区间；（Ⅲ）若 f (x ) 在(0,1) 内有极值，试求a 的取值范围．nn n n n（20）（本小题共 13 分）已知曲线C 的方程为： x n+y n= 1 (n ∈ N *) .（Ⅰ）分别求出n = 1, n = 2 时，曲线C n 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若 S (n ∈ N *) 表示曲线C 所围成的图形的面积，求证：S (n ∈ N *) 关于n 是递增的;(III) 若方程 x n + y n = z n ( n > 2, n ∈ N )， xyz ≠ 0 ，没有正整数解，求证：曲线C (n > 2, n ∈ N * ) 上任一点对应的坐标(x , y ) ， x , y 不能全是有理数.。

2016年东城一模数学(理)带问题详解

市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）学校_____________班级_____________________________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数(1+)i a i ⋅为纯虚数，那么实数a 的值为（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D ）2（2）集合2{},{50}A x x a B x x x =≤=-< | | ，若AB B =，则a 的取值围是（A ）5a ≥ （B ） 4a ≥ （C ） 5a < （D ）4a < （3）某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（A ）9,18,3 （B ） 10,15,5 （C ）10,17,3 （D ）9,16,5 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）21（B ）1 （C ） 2 （D ）4（5）在极坐标系中，直线1cos sin =-θρθρ被曲线1=ρ截得的线段长为（A ）21 （B ）1 （C ）22 （D何体的最长棱长为（A ）2 （B）（C ）3 （D（7）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）那么以1F 、2F 为焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为（A ）3（B ）6（C ）9（D ）12（8）已知12e ,e 为平面上的单位向量，1e 与2e 的起点均为坐标原点O ，1e 与2e 夹角为3π. 平面区域D 由所有满足OP λμ=+12e e 的点P 组成，其中1,0,0λμλμ+≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，那么平面区域D 的面积为（A ）12（B（C）2 （D）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2016年北京东城高三二模数学(理科)试题及答案解析(word版)

北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (理科)一、单选题（共8小题）1．集合，，则=（）A．B．C．D．2．已知命题p：x∈R有sinx1，则﹁p为（）A．B．C．D．3．如图，为正三角形，，底面，若，，则多面体在平面上的投影的面积为（）A．B．C．D．4．若向量，，满足条件与共线，则的值（）A．B．C．D．5．成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．6．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品。

根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%。

若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元7．已知函数则的值为（）A ．B．4C．D．8．集合，若，已知，定义集合中元素间的运算，称为运算，此运算满足以下运算规律：①任意有②任意有(其中)③任意，有④任意有，且成立的充分必要条件是为向量．如果，那么下列运算属于正确运算的是（）A．B．C．D．9.设是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数的取值范围为___．10.设变量x，y满足约束条件,则目标函数的最大值为______11.已知直线与直线相交于点，又点，则______12.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于范围内的频率为_____；这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是______．13.若点和点分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为___．14.已知函数，关于此函数的说法正确的序号是__．①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④．15.已知函数()，且函数的最小正周期为．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．16.如图，是等腰直角三角形，，分别为的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当四棱锥体积取最大值时，(i)若为中点，求异面直线与所成角；(ii)在中交于，求二面角的余弦值．17.在2015-2016赛季联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，表示投篮次数，表示命中次数）,假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息:（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0．5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0．5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0．5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．18.已知，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：对于，恒成立；（Ⅲ）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围．19.已知椭圆过点(，)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点的坐标．20.数列中，定义：，．（Ⅰ）若，，求；(Ⅱ)若，，求证此数列满足；（Ⅲ）若，且数列的周期为4，即，写出所有符合条件的．北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二)数学 (理科)答案1.考点：集合的运算试题解析：故答案为：B答案：B2.考点：全称量词与存在性量词试题解析：因为特称命题的否定为全称命题，所以﹁p为：。

高考专题北京市东城区-16第二学期高三综合练习(二).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．集合{1234}A =，，，，{|3}B x R x =∈≤，则=A B I A.{1234}，，， B. {123}，， C. {23}， D.{14}， 2．已知命题p ：∃x ∈R 有sinx ≥1，则﹁p 为A. sin 1x R x ∀∈≤，B.sin 1x R x ∃∈<，C. sin 1x R x ∀∈<，D.,sin 1x R x ∃∈≤3．如图，ABC V 为正三角形，111////AA BB CC ，1CC ⊥底面ABC V ，若1122BB AA ==，113AB CC AA ==，则多面体111ABC A B C -在平面11A ABB 上的投影的面积为A.274 B. 92 C. 9 D. 2724．若向量=(1,0)a ，=(2,1)b ，=(,1)x c 满足条件3a -b 与c 共线，则x 的值A. 1B. -3C. -2D. -15．成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b ，则数列{}n b 的通项公式为A. 12n n b -= B. 13n n b -= C. 22n n b -=D. 23n n b -=6．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品。

北京市东城区2016届高三上学期期末考试理数试题(解析版)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I （）A.{2}B.{4} C,{1,3} D.{2,4} 【答案】A. 【解析】试题分析：={2}U C A ，∴(){2}U C A B =，故选A ．考点：集合的运算．2.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A.32 cm3 B.3 cm 3 C.3 cm 3 D.9 cm 3【答案】A.【解析】试题分析：由三视图可知，直观图为底面积为133122S =⨯⨯=，高3h =的三棱锥，所以体积为113333322V Sh ==⨯⨯=，故选A ．考点：空间几何体的三视图与直观图．3.设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（） A.1- B.1 C.i D.i - 【答案】B. 【解析】试题分析：5212iz i i==-+-，虚部为1，故选B ．考点：复数综合运算．4.已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（） A.b c a << B.b a c << C.a b c << D.c a b << 【答案】C. 【解析】试题分析：∵(0,1)m ∈，∴log 20m a =<，2(0,1)b m =∈，21m c =>，即a b c <<，故选C ．考点：对数函数与指数函数．5.已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k > ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B. 【解析】试题分析：当2παπ<<时，0k <，当k >32ππα<<，所以“3πα>”是“k >不充分条件，故选B ．考点：充分必要条件．6.已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（）A. (1,)+∞B.3[,)2+∞ C.32[,)e +∞ D.[ln 2,)+∞【答案】B. 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数与的图象（如图），关于x 的方程()f x k =有两个不同的实，等价于直线y k =与图象有两个不同的交点，所以k 的取值范围是3[,)2+∞，故选B ．考点：零点与方程．7.过抛物线220)y px p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为（） A.1 B.32C. 3D.6 【答案】A.【解析】由已知直线的斜率为k =)2p y x =-，联立方程2)22p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2233504x px p -+=，即(23)(6)0x p x p -+=，∵||||BF AF >，所以32B x p =，6A p x =，依题意232B p x p +==，所以32p =，则2123A p AF x p =+==，故选A ．考点：抛物线的标准方程及其性质．8.如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈，则)(x h 为单调函数．其中假命题．．．为（） A. ① B.②C.③D.④【答案】D.过M 作平面'''//MF N E 平面ABCD ，分别交'CC ，'DD ，'AA 于'F ，'N ，'E ，则多面体ABCD MENF -的体积为'''''''ABCD MF N E M E N NE M F FNN V V V V ---=++，而''11ABCD MF N E V x -=⋅⋅，''11111(12)11()32222M E N NE V x x x -=⨯-+-⋅⋅=-， ''11111(12)11()32222M F FMN V x x x -=⨯-+-⨯⨯=-，所以1122V x x =+-=，常数，错，所以错误命题的序号为④，故选D ．考点：立体几何综合．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9.在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b =_____.【答案】【解析】试题分析：4A B C ππ=--=，由正弦定理sin sin a bA B=，所以sin sin a B b A === 考点：解三角形．10.在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b ，.如果5⋅=a b ，那么y =_____；如果-=a +b a b ，那么y =______ 【答案】1，23-. 【解析】试题分析：因为1235a b y ⋅=⨯+=，所以1y =，因为||||a b a b +=- ，所以22||||a b a b +=-，即22a b a b ⋅=-⋅，所以0a b ⋅=，即1230y ⨯+=，所以23y =-．考点：数量积及其应用．11.已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.【答案】58. 【解析】试题分析：做出可行域如图，22z x y =+的几何意义为可行域内的点到原点的距离的平方，当点P 位于点(3,7)，此时OP取得最大值所以z 的最大值为258OP =．考点：线性规划．12.如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ；()f t -= ．【答案】1，0. 【解析】试题分析：由已知2()sin 1f a a πππ=+==，所以1a =，所以2()sin 1f x x x =+ ，而2()sin 12f t t t =+=，所以2sin 1t t =，所以22()()sin()1sin 1110f t t t t t -=--+=-+=-+=．考点：函数的奇偶性．13.如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为_. 【答案】10x y -+=. 【解析】试题分析：直线AB 斜率为111a aa a+-=---，所以l 斜率为1，设直线方程为y x b =+，由已知直线过点(1,)a a -，所以1a a b =-+，即1b =，所以直线方程为1y x =+，即10x y -+=．考点：直线方程．14.数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题： ①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①④.考点：数列综合应用．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）12n n a -=；（2）2(1)1nn n ++-．【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于1a ，q 的方程组，从而求解；（2）n b 可以看作一个等差数列与等比数列的组合，分组求和即可．试题解析：（1）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，所以11n n a a q -=，因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+，即2320q q -+=，解得2q =或1（舍），又它的前4和415S =，得41(1)151a q q-=-，解得11a = 所以12n n a -=；（2）因为2n n b a n =+，所以11122(1)1n n nniii i i b a i n n ====+=++-∑∑∑.考点：等比数列与等差数列的综合运用．16.（本小题共13分）已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（1）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间；（2）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.【答案】（1）5[,]36ππ；（2）85．【解析】试题分析：（1）对()f x 的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值后即可求解．试题解析：（1）由已知22()sin cos cos 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-=-=-，所以最小正周期2T ππω==，由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间5[,]36ππ；（2）因为α为第四象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α=-，所以78()2sin 2125f απα+=-=.考点：三角函数综合． 17.（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点. （1）证明:AE CD ⊥；（2）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（23）13PM MC =．【解析】试题分析：（1）根据条件可证明CD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可求解；（2）建立空间直角坐标系后求得平面PBD 的一个法向量后即可求解；（3）设(01)CM CP λλ=≤≤，利用空间向量建立关于λ的方程即可求解．试题解析：（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，由于AE ⊂平面PAD ，所以有CD AE ⊥；（2）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,0,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E ， (0,1,1)AE =，向量(2,2,0)BD =-，(2,0,2)PB =-，设(,,)n x y z =为平面PBD 的法向量，则n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，可得(1,1,1)n =为平面PBD 的一个法向量.所以 6cos ,AE EF <>=所以，直线EF 与平面PBD 3）向量(2,2,2)CP =--，(2,2,0)AC =，(2,0,0)AB =. 由点M 在棱PC 上，设(01)CM CP λλ=≤≤，故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=，因此(12)2(22)20λλ-⨯+-⨯=，解得34λ=，所以13PM MC =. 考点：立体几何综合．18.（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）9[,3]4．【解析】试题分析：（1）建立关于..a b c 的方程组即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理建立22||||AF F B g 的函数关系式，从而求解．试题解析：（1）因为椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知2221222a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2A ，3(1,)2B -，则229||||4AF F B ⋅=，不符合题意.当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=（*）．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x ，2x 是方程（*）的两个根，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，所以21|||1|AF x =-，所以22|||1|F B x =-,所以2221212291||||(1)|()1|(1)434AF F B k x x x x k⋅=+-++=++，当0k =时，22||||AF F B ⋅取最大值为3，所以22||||AF F B ⋅的取值范围9(,3]4. 又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B ⋅取值为94，所以22||||AF F B ⋅的取值范围9[,3]4. 考点：圆锤曲线综合． 19.（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（1）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（3）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．【答案】（1）1y e =-；（2）单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)；（3）(,)e +∞．【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义求解；（2）求导，研究导函数的取值情况即可求解；（3）问题等价于'()0f x =有解，求导后分析其取值情况即可．试题解析：（1）当1a =时，2(1)1'()1x e x f x x x -=-+，'(1)0f =，(1)1f e =-．方程为1y e =-；（2）022(1)1()(1)'()(1)x x e x e ax x f x a x x x---=--=，当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，0xe ax ->恒成立，所以'()0f x >，1x >；'()0f x <，01x <<，所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)；（3）若()f x 在(0,1)内有极值，则'()0f x =在(0,1)x ∈内有解，令2()(1)'()0x e ax x f x x --==，0xe ax -=，x e a x =，设()x e g x x =，(0,1)x ∈，所以(1)'()x e x g x x-=，当(0,1)x ∈时，'()0g x <恒成立，所以()g x 单调递减，又因为(1)g e =，又当0x →时，()g x →∞，即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(,)e +∞，所以当a e >时，2()(1)'()0x e ax x f x x --== 有解.设()x H x e ax =-，则'()x H x e a =-，(0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减，因为(0)10H =>，(1)0H e a =-<，所以()0H x =在(0,1)x ∈有唯一解0x ，所以有：所以当a e >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一，当a e ≤时，当(0,1)x ∈时，'()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，不成立，综上，a 的取值范围为(,)e +∞．考点：导数的综合运用． 20.（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()nnx y n N +=∈.（1）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（2）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;（3）若方程(2,)nnnx y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.【答案】（1）π；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）画出对应n 的取值的图形，根据图形即可求解；（2）由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．试题解析：（1）当1,2n = 时，由图可知1141122C =⨯⨯⨯=，2C π=；（2）要证(*)n S n N ∈是关于n 递增的，只需证明：*1()n n S S n N +<∈，由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线n C 与1n C +，因为*||||1()nnx y n N +=∈（1）因为 11*||||1()n n x y n N +++=∈，在(1)和(2)中令0x x =，0(0,1)x ∈，当0(0,1)x ∈，存在1y ，2(0,1)y ∈使得011n n x y +=，11011n n x y +++=成立，此时必有21y y >，因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>，所以121n ny y +>，两边同时开n 次方有，1221n ny y y +>>.（指数函数单调性）这就得到了21y y >，从而*()n S n N ∈是关于n 递增的；（3）由于(2,)n n n x y z n n N +=>∈可等价转化为()()1n n x y zz+=，反证：若曲线*(2,)n C n n N >∈上存在一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 全是有理数，不妨设q x p =，t y s=，*,,,p q s t N ∈，且,p q 互质，,s t 互质，则由||||1n nx y +=可得， ||||1n n q tp s+=，即||||||n n n qs pt ps +=，这时qs ，pt ，ps 就是(2,)n n n x y z n n N +=>∈的一组解，这与方程(2,)nnnx y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解矛盾，所以曲线*(2,)n C n n N >∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数. 考点：数列综合运用．：。

北京市东城区2016_2017学年度高中三年级二模理科数学试题与答案(word版)

北京市东城区2016_2017学年度高中三年级二模理科数学试题与答案(word版).word 格式 .北京市东城区 2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校班级姓名考号_________ 本试卷共 5 页， 150 分。

考试时长120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（ 1 ）已知会合 A = { x | x2 - 4 < 0} ，则 e R A =（ A）{ x | x ?2 或x 3 2}（B）{ x | x < - 2或x > 2}（ C）{ x | - 2 < x < 2}（D）{ x | - 2＃x2}（ 2 ）以下函数中为奇函数的是（ A）y x cosx（B）（ C）y =x（D）y x sin x y e |x|ì?x - y +1 ? 0,?（ 3 ）若x, y知足íx + y ? 0，则x + 2 y的最大值为?? y 3 0,（A）-1（B）0（C）1（D）2 2（4 ）设a, b是非零向量，则“a,b共线”是“|a + b |=| a | +| b |”的（A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（C）充足必需条件（D）既不充足也不用要条件.专业资料 . 学习参照..word 格式 .（ 5 ）已知等比数列{ a n } 为递加数列， S n是其前 n 项和.若 a1 + a5 = 17， a2 a4 = 4 ，则2S6 =27 27 63 63 （ A）（ B）（ C）（ D ）16 8 4 2.专业资料 . 学习参照..word 格式 .（6 ）我国南宋期间的数学家秦九韶（约1202- 1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如下图的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的 n = 5 ， v = 1， x = 2 ，则程序框图计算的是（A）25+2 4 +23 +22 +2+1 开始（B）25+ 24+23+22+ 2 +5输入 n, v, x（C）26+25+24+23+22+2+1i = n - 1（ D）24+ 23+22+ 2 +1i = i - 1v = v?x 1i 3 0是否输出 v结束（ 7）动点P 从点 A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，A, P 两点间的距离y 与动点P 所走过的行程x 的关系如下图，那么动点P 所走的图形可能是yO l x2P.专业资料 . 学习参照 A ..word 格式 .P PP A A A（A）（B）（C）（D）.专业资料 . 学习参照..word 格式 .（ 8 ）据统计某商场两种蔬菜A, B 连续 n 天价钱分别为 a1 , a2 , a3 ,L , a n和 b1 ,b2 , b3 ,L , b n，令 M { m | a m b m ,m 1,2,L ,n} ，若M中元素个数大于3n ，则称蔬菜A在这 n 4天的价钱低于蔬菜 B 的价钱，记作：Ap B，现有三种蔬菜A, B, C ，以下说法正确的是（A）若A p B，B p C，则A p C（B）若A p B，B p C同时不可立，则Ap C不可立（C）A p B，B p A可同时不可立（D）Ap B，B p A可同时成立第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

高考专题北京市东城区-16第二学期高三综合练习(二).docx

北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

东城区2016-2017第二学期(理)2.0答案

东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）D （5）B （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9（10）40 （11）6（12）己巳（13）32 （14）11,0,2()10,0.2x g x x x 或⎧≤<⎪⎪=⎨⎪<≥⎪⎩ 4三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设22225c a b ab a ab =++=+，得2b a =．由正弦定理sin sin a b A B =，sin sin b Ba A=，得sin 2sin BA=． ……………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3A B π∠+∠=． sin sin sin sin()3A B A A π⋅=⋅-1sin (cos sin )22A A A =⋅-112cos 2444A A =+- 11sin(2)264A π=+-．因为03A π<∠<，所以当6A π∠=，sin sin A B ⋅取得最大值14．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）5a =．由表1知使用Y 共享单车方式人群的平均年龄的估计值为：Y 方式：2020%3055%+4020%+505%=31?创?.答：Y 共享单车方式人群的平均年龄约为31岁. ……………5分（Ⅱ）设事件i A 为“男性选择i 种共享单车”，12,3i =，设事件i B 为“女性选择i 种共享单车”，12,3i =，设事件E 为“男性使用单车种类数大于女性使用单车种类数”. 由题意知，213132E A B A B A B = . 因此213132()()()()P E P A B P A B P A B =++0.58=.答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为0.58.……11分（Ⅲ）此结论不正确. ……………………………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，因为45ABC ? ，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABC ，CD Ì平面ABC ，所以CD ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以CD ⊥AE ．在等边△PAD 中，AE 为中线，所以AE PD ⊥．因为PD DC D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． ……………………………5分（Ⅱ）在△PAB 中，取AD 中点O ，连接PO ，所以PO AB ^．在平面ABC 中，过O 作CD 的平行线，交AC 于G ．因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ．所以PO OG ^．因为,,OG OB OP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -．设4AB a =，则相关各点坐标为：(0,,0)A a -，(0,3,0)B a ，(2,,0)C a a，)P ，(0,,0)D a ，(0,)2a E ，(,)2a Fa ．(2,2,0)AC a a =u u u r ，(0,,)PA a =-u u r．设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,ACPA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu rn n ，即0,0.x y y+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，则y =x =．所以=n ．平面PAB 的法向量为(2,0,0)DCa=，设,DC n 的夹角为α，所以cos α=由图可知二面角B PA C --为锐角，所以二面角B PA C --的余弦值为7．…………………………10分（Ⅲ）设M 是棱PB 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PB λ=uuu r uu r．因此点(0,3(1))M a λλ-，(2,(3(1))CM a a λλ=---u u u r．由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAB ，AE ⊥PD ．所以CD ⊥PD ．因为EF ∥CD ，所以EF PD ⊥．又AE EF E =，所以PD ^平面AEF ．所以PD 为平面AEF 的法向量．(0,,)PD a =u u u r．因为CM ⊄平面AEF ，所以CM ∥平面AEF 当且仅当0CM PD ⋅=u u u r u u u r，即(2,(31(1))(0,,)0a a a λλ---⋅=．解得23λ=．因为2[0,1]3λ=∈，所以在棱PB 上存在点M ，使得CM ∥平面AEF ，此时23PM PB λ==． …………………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞．当1m =-时，1()2ln f x x x x=++，所以221'()1f x x x=-+．因为(1)2f =且'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为20x y -=．…………4分（Ⅱ）若函数)(x f 在(0,)+∞上为单调递减，则'()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立．即2210m x x --≤在(0,)+∞上恒成立．即221x m x -≤在(0,)+∞上恒成立．设221()(0)g x x x x=->，则max [()]m g x ≥．因为22211()(1)1(0)g x x x x x=-=--+>，所以当1x =时，()g x 有最大值1．所以m 的取值范围为[1,)+∞． ……………………9分（Ⅲ）因为b a <<0，不等式ln ln b ab a -<-ln ln b a -<．即lnb a <(1)t t >，原不等式转化为12ln t t t <-．令1()2ln h t t t t=+-，由（Ⅱ）知1()2ln f x x x x=+-在(0,)+∞上单调递减，所以1()2ln h t t t t=+-在(1,)+∞上单调递减．所以，当1t >时，()(1)0h t h <=．即当1t >时，12ln 0t t t+-<成立．所以，当时b a <<0，不等式ln ln b a b a -<-13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得2222,b caa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == 所以椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．①11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>．射线OM 的方程为002y y x x =+，射线ON 的方程为002yy x x =-，所以01102y y x x =+，02202y y x x =-，且2200142x y +=．过,M N 作x 轴的垂线，垂足分别为'M ，'N ， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ 0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--．由221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得2201102()42y x x x +=+，即2220010222200004(2)4(2)2(2)2(2)4x x x x x y x x ++===+++++-，同理2202x x =-，所以，2222120042x x x y =-=，即120x x =，所以，OMN S ∆=② 11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN………………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）由于{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，所以{6,7,8,9,10}N =，{5,6,7,8,9}N =，{4,5,6,7,8}N ={3,4,5,6,7}N =，{2,3,4,5,6}N =，回答其中之一即可 ………3分（Ⅱ）若集合12{,,,}n A a a a =L ，如果集合A 中每个元素加上同一个常数t ，形成新的集合12{,,,}n M a t a t a t =+++L . ……………5分根据1()||j i i j nT A a a ≤<≤=-∑定义可以验证：()()T M T A =. ……………6分取1nii C a t n=-=∑，此时11112{,,,}nnniiii i i n C a C a C a B a a a nnn===---=---∑∑∑L .通过验证，此时()()T B T A =，且1nii b C ==∑. ……………8分（Ⅲ）由于2m ³21314121()()()()()m T A a a a a a a a a =-+-+-++-L324222()()()m a a a a a a +-+-++-L4323()()m a a a a +-++-LM221()m m a a -+-121212=(21)(23)(23)(21)m m m mm a m a a a m a m a +-------+++-+-L L 212121=(21)()(23)()()m m m m m a a m a a a a -+--+--++-L2121=(21)()(23)()()m m m m b a m a a a a -+--+--++-L ………11分由于2120m a a b a -<-<-，2230m a a b a -<-<-， 2340m a a b a -<-<-，M10m m a a b a +<-<-.所以2(21)()()()m b a T A m b a --<<-.………13分。

东城区2016-2017第二学期高三一模数学(理)

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|13}B x x =<<，则A B =U（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x << （2）已知命题:,2n p n ∀∈>N p ⌝是（A）,2n n ∀∈≤N （B）,2n n ∀∈<N （C）,2n n ∃∈≤N （D）,2n n ∃∈>N （3）已知圆的参数方程为1,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B（C ）2 （D）（4）已知m 是直线，,αβ是两个互相垂直的平面，则“m ∥α”是“m β⊥ ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知向量,a b 满足2+=0a b ，2⋅=-a b ，则(3+)()⋅-=a b a b（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）13 （B ）23 （C ）1 （D ）43（7）将函数sin(26y x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()y f x =图象在区间[,]1212π5π-上单调递减，则m 的最小值为（A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π （8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2016-2017学年度高三二模理科数学试题及答案(word版)

试卷第1页，共8页绝密★启用前北京市东城区2016-2017学年度高三二模理科数学试题及答案（word 版）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：60分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设是向量，则“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A ．若，，则B ．若，同时不成立，则不成立C ．，可同时不成立试卷第2页，共8页D ．，可同时成立3、动点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，两点间的距离与动点所走过的路程的关系如图所示，那么动点所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．4、我国南宋时期的数学家秦九韶（约）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实试卷第3页，共8页例．若输入的，，，则程序框图计算的是A ．B ．C ．D ．5、已知等比数列为递增数列，是其前项和.若，，则A ．B ．C ．D ．6、若满足，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．7、下列函数中为奇函数的是（）试卷第4页，共8页A ．B ．C ．D ．8、已知集合，则A ．或B ．或C ．D ．试卷第5页，共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知函数①若有且只有一个根，则实数的取值范围是_______．②若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是_______．10、在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方．若直线的倾斜角为，则______．11、如图，在四边形中，，，，，，则_________；三角形的面积为___________.12、某校开设类选修课门，类选修课门，每位同学需从两类选修课中共选门．若要求至少选一门类课程，则不同的选法共有____种.（用数字作答）13、在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．试卷第6页，共8页14、复数在复平面内所对应的点的坐标为_________．三、解答题（题型注释）15、对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若, 求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.16、已知椭圆的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与直线交于点，线段的中点为．证明：点关于直线的对称点在直线上．17、设函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；试卷第7页，共8页（Ⅱ）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围．18、如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，∥，为中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19、小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）试卷第8页，共8页20、已知函数()．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若在上单调递减，求的最大值．参考答案1、D2、C3、C4、A5、D6、C7、B8、A9、10、11、12、13、14、15、（1）（2）不存在（3）16、（1）（2）见解析17、（1）．（2）或．18、（1）见解析（2）（3）19、（1）（2）（3）从月日开始连续三天游览舒适度的方差最大．20、（1）（2）【解析】1、试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.2、特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.3、由题意可知：对于、，当位于，图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除、，对于，其图象变化不会是对称的，由此排除，故选C.点睛：本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形以及应用图形的能力．体现了函数图象与实际应用的完美结合，在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给，两点连线的距离与点走过的路程的函数图象即可直观的获得解答.4、∵输入的，，，故，满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；不满足进行循环的条件，故输出的值为，故选A.5、∵数列为等比数列且，∴，又∵且为递增数列，∴，，则公比，故，故选D.6、由约束条件，作出可行域如图：由，解得，化目标函数为直线方程的斜截式，得，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，最大，此时，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7、A和C为非奇非偶函数，为偶函数，令，定义域为，，故为奇函数，故选B.8、由得：，则或，故选A.9、①作出函数的图象，有且只有一个根等价于的图象与有一个交点，故可得，即的取值范围是；②方程有且仅有个不同的实根等价于的图象与的图象有3个交点，而的图象是将的图象向左或向右平移个单位，故可得的取值范围是.10、抛物线的焦点的坐标为，∵直线过，倾斜角为，∴直线的方程为：，即，代入抛物线方程，化简可得，∴，或，∵A在轴上方，故，则，则，故答案为.11、在中，由余弦定理可得：，则；在中，，，由正弦定理可得，则故答案为，面积为.12、可分为以下两类：①选一门类课程：；②选一门类课程：，则至少选一门类课程不同的选法共有种，故答案为.13、直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解得，故答案为1.点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，以及直线与圆的位置关系，难度一般；主要是通过，，将极坐标方程转化为直角坐标方程，即可得圆与直线的方程，圆与直线相切等价于圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离即可得到结果.14、∵，则其在复平面内所对应的点的坐标为，故答案为.15、试题分析：（Ⅰ）根据的定义可求得其值；（Ⅱ）利用反证法，向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，根据，得出矛盾；（Ⅲ）根据题意可得.试题解析：（Ⅰ）由于，，由定义，可得.（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含维向量序列，使得，.因为向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，不妨设的第个分量变化了次之后变成，所以将中所有分量变为共需要次，此数为奇数.又因为，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在维向量.（Ⅲ）此时.16、试题分析：（Ⅰ）由短轴长为，得，结合离心率及可得椭圆的方程；（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”，设出直线的方程为，可解出，的坐标，联立直线与椭圆的方程可得点坐标，分为当轴时，即可求得的角平分线所在的直线方程，可得证，当时，利用点到直线的距离可求出点到直线的距离，即可得结果.试题解析：解：（Ⅰ）由题意得解得，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”．设直线的方程为，则．设点，由得，得①当轴时，，此时．所以．此时，点在的角平分线所在的直线或，即平分．②当时，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以点到直线的距离．即点关于直线的对称点在直线上．17、试题分析：（Ⅰ）由，得出的解析式，求切线方程，即先求在处的值为切线的斜率，由点斜式求出切线方程即可；（Ⅱ）将题意等价于在区间上，的最大值大于或等于的最大值”利用单调性可求出在上的最大值，在利用分类讨论的思想分为，，三种情形，求出其最大值，再进行比较即可.试题解析：解：（Ⅰ）当时，因为，所以，．又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”．因为，所以在上的最大值为．令，得或．①当，即时，在上恒成立，在上为单调递增函数，的最大值为,由，得．②当，即时，当时，，为单调递减函数，当时，，为单调递增函数．所以的最大值为或,由，得；由，得．又因为，所以．③当，即时，在上恒成立，在上为单调递减函数，的最大值为，由，得，又因为，所以．综上所述，实数的值范围是或．点睛：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档；求切线斜率的步骤：第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程；对于任意及存在问题主要转化为最值问题进行比较.18、试题分析：（Ⅰ）取中点，连结，利用面面平行平面∥平面，得到线面平行∥平面；（Ⅱ）取中点，连结，，先证两两垂直，故可以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，求出的方向向量，面的法向量，利用可得结果；（Ⅲ）设是上一点，且，根据共线可得的坐标，结合数量积为0，可得结果.试题解析：（Ⅰ）取中点，连结．因为分别为中点，所以∥．又平面且平面，所以∥平面，因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形．所以∥．又平面且平面，所以∥平面，又，所以平面∥平面．又平面，所以∥平面．（Ⅱ）取中点，连结，．因为，所以．因为平面平面，所以平面，．因为，，所以△为等边三角形．因为为中点，所以．因为两两垂直，设，以为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，．设平面的法向量为，则即令，则，．所以．设直线与平面成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）设是上一点，且，，因此点．．由，解得．所以在棱上存在点使得，此时．点睛：本题主要考查了线面平行的判定，利用空间向量求空间角以及探究性问题在立体几何中的体现，常见的证明线面平行的方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、通过面面平行得到线面平行等；直线的方向向量与平面的法向量所成的角满足，对于线线垂直转化为向量垂直，即数量积为0.19、试题分析：（Ⅰ）设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主题公园”（）且，通过观察上表可知两天都遇上拥挤为，故可得其概率；（Ⅱ）可知的所有可能取值为，计算出，，，求出分布列，运用数学期望求解即可；（Ⅲ）根据方差的意义，仔细观察表即可得结果.试题解析：设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主题公园”（）.根据题意，，且.（Ⅰ）设为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则.所以.（Ⅱ）由题意，可知的所有可能取值为，，，．所以的分布列为故的期望．（Ⅲ）从月日开始连续三天游览舒适度的方差最大．20、试题分析：（Ⅰ）将代入，可得，故而可得的值；（Ⅱ）利用辅助角公式将其化为，故可得其周期，结合三角函数的性质可得该函数在当时，函数最大，故而可求得辅助角的值，进而得到,故可求得函数的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以，所以．（Ⅱ）由题意，其中．所以，且，所以当时，．所以，所以，，所以．所以的最大值为．。

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