33_计数综合(二)

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三年级数学思维训练[1]1

50-三年级期末复习与检测4
整数计算综合
还原问题
数阵图初步
竖式问题
几何图形简拼
路程、时间、速度
01-整数计算综合（1）
02-整数计算综合（2）
03-还原问题（1）
04-还原问题（2）
05-数阵图初步（1）
06-数阵图初步（2）
07-竖式问题（1）
08-竖式问题（2）
09-竖式问题（3）
10-竖式问题（4）
37-长度计算1
38-长度计算2
39-长度计算3
40-角度的计算1
41-角度的计算2
42-角度的计算3
43-找位置1
44-找位置2
火柴棍算式与生活趣题
三年级期末复习与检测
45-火柴棍算式与生活趣题1
46-火柴棍算式与生活趣题2
47-三年级期末复习与检测1
48-三年级期末复习与检测2
49-三年级期末复习与检测3
11-几何图形简拼（1）
12-几何图形简拼（2）
13-几何图形简拼（3）
14-几何图形简拼（4）
15-路程、时间、速度（1）
16-路程、时间、速度（2）
17-路程、时间、速度（3）
18-路程、时间、速度（4）
行程中的线段图
简单抽屉原理
基本直线形面积公式
底、高的选取与组合
变倍问题
和差倍中的分组比较
19-行程中的线段图（1）
复杂数阵图
有特殊要求的挑选
捆绑法与插空法
最值问题一
40-多次往返相遇与追与1
41-多次往返相遇与追与2
42-多次往返相遇与追与3
43-多次往返相遇与追与4
44-从洛书到幻方1
45-从洛书到幻方2

学而思计数的综合性题目精讲(下)4

本讲重点：计数常用技巧总结：标数法、递推法如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按图中箭头所示方向有______种不同的方法拼出英文单词“Einstein”A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，比对方多胜三局的一方赢得比赛。

如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有_____种。

(例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列)用10个1×2的小长方形去覆盖2×10的方格网，一共有______种不同的覆盖方法。

有20个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有_____种不同的方法取完这堆棋子。

计数的综合性题目精讲（下）(★★)(★★★★)(★★★☆)(★★★)10个圆最多将平面分成几个部分？在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有条。

A．15 B．16 C．17 D．182．2008北京奥运会闭幕后，有很多人由于没能到鸟巢现场观看比赛而感到遗憾，北京市政府为了满足大家需求，决定面向公众开放鸟巢场馆，门票价格为50元，而且规定每人限购1张门票，现有10人排队购票。

其中5人均手持50元面值的钞票，另5人均手持100元面值的钞票，而售票员只带了门票，没有准备零钱，那么共有( )种购票序列是不需要售票处另外找零的。

A．120 B．14400 C．400880 D．604800 3．用10个13⨯的小长方形去覆盖310⨯的方格网，一共有( )种不同的覆盖方法。

A．26 B．27 C．28 D．29 (★★★★☆)4．有30个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有( )方法取完。

石子之间不作区分，即只考虑石子个数。

A．365 B．730 C．1095 D．18255．4个圆最多可以把平面分成( )部分。

五年级第二十三讲计数综合二教师版

第23讲计数综合二〔教师版〕内容概述涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式．典型问题兴趣篇1．同时能被6、7、8、9整除的四位数有多少个？答案：18个。

详解：6、7、8、9的最小公倍数是504，9999以内504的倍数有19个，1000以内504的倍数有1个，因此满足条件的四位数有19—1=18个。

2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问：(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？答案：〔1〕12种；〔2〕21种。

解析：〔1〕分情况讨论：第一种情况，取出的两个数都是3的倍数有3种；第二种情况，取出的两个数都不是3的倍数，那么必一个除以3余1，另一个除以3余2，有9种。

因此共有3+9=12种。

〔2〕两数之积是3的倍数，那么至少有一个数是3的倍数，有3+18=21种。

3．在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？答案：24个。

解析：3的倍数特征是数字和是3的倍数。

这5个数中选出的3个数可能有4种情况，因此共有4*6=24个4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？答案：216个。

解析：能被5整除的数的特征是个位数字是0或5.当个位是0时，有5*4*3*2=120个，个位是5时，有4*4*3*2=96个，因此共有120+96=216个。

5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？答案：36个，84个。

解析：十位为1时，个位有8种可能，十位为2时，个位有7种可能，依此下去，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个。

和第一问方法相同，共有28+21+15+10+6+3+1=84个。

6．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数〞，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数〞？答案：56个。

第9讲计数问题综合选讲 B版教师版 (2)

+计数问题综合选讲9对计数问题的复习.排列组合进阶——五年级秋季（第9级下）图形计数综合——五年级秋季（第9级下）1. 学校某天上午要排数学、语文、英语、体育四节课．数学只能排第一、二节，语文只能排二、三节，英语必须排在体育的前面．满足以上要求的课表有＿＿＿＿种排法．2. 如果我们需要将8块相同的巧克力分给四个小朋友，并确保每个小朋友至少得到一块巧克力，请问共有多少种不同的分法?3. 下图是一个33 的正方形钉子阵，其中拔掉一个钉子（如图所示），用皮筋去套剩下的8个钉子，最多能产生_________个三角形．____________________________________________________________________课前加油站后续知识前铺知识本讲内容____________________________________________________________________知识GPS 预习用若干个1分、2分、5分的硬币组成一角钱(不要求每种硬币都有)，共有多少种不同的方法?A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种?书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法? （2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法? （3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?知识剖析排列与组合模块2-------------------------------------------------------------------------------------------练一练-------------------------------------------------------------------------------------------例2-------------------------------------------------------------------------------------------练一练-------------------------------------------------------------------------------------------例1基本计数原理与方法枚举法：枚举的分类标准要清晰，确保做到有序枚举，不重不漏；加法原理：分类，各类相互独立，均可完成目标；乘法原理：分步，共同完成目标，缺一不可．知识剖析基本计数问题模块1甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：（1）如果要求站成两排，前排两人，后排四人，一种有多少种站法? （2）如果丙不能站在队伍两端，一共有多少种站法? （3）如果甲、乙相邻，一共有多少种站法? （4）如果丁、戊不相邻，一共有多少种站法?（5）如果甲、乙相邻且丁、戊不相邻，一共有多少种站法? （6）如果甲必须站在乙的前面，一共有多少种站法?在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法?（1）有3名内科医生和2名外科医生；（2）既有内科医生，又有外科医生；（3）至少有一名主任参加.数一数，下图中一共有多少个三角形?-------------------------------------------------------------------------------------------例5计数原理综合应用问题模块3-------------------------------------------------------------------------------------------例4-------------------------------------------------------------------------------------------例3排列组合公式：1. 排列数公式：(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+2. 全排列公式：!(1)(2)21nnA n n n n ==⨯-⨯-⨯⨯⨯3. 组合数公式：(1)(2)(1)!m nn n n n m C m ---+=4. 关于组合数的几个重要结论：01n n n C C == m n m n n C C -= 0122nn nn n n C C C C ++++=例6-------------------------------------------------------------------------------------------薇儿和艾迪比赛下军旗，两人水平相当，约定赛7局，先赢4局者胜．现在已经比了3局，薇儿胜了2局，艾迪胜了1局．请问：薇儿获得最后胜利的概率有多少?笔记整理1.基本计数原理与方法：枚举法：有序枚举，不重不漏；加法原理：分类，各类相互独立，均可完成目标；乘法原理：分步，共同完成目标，缺一不可．2.排列组合常见题型及解决方法：题型方法说明分排排列全排列与一排无差异特殊元素/位置优限法特殊元素/位置优先考虑元素相邻捆绑法捆绑元素；内部排列元素不相邻插空法不相邻元素插空定序问题大除法相同元素不同分配插板法正难则反排除（减法）正面考虑复杂，可从反面排除多重条件问题分类讨论本讲巩固1．甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况?2．五面不同颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号?3．甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，如果：（1）甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法?（2）甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法?4.有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出多少种不同的质量? 5．图中有______个三角形，______个梯形，梯形与三角形个数差为________．6．约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．。

计数综合

计数综合1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出一些钞票（至少取1张），可能凑出多少种不同的总钱数？2．一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码．这本书共有多少页？3．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩．他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法？4．有13个球队参加篮球比赛．比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队．各组内先进行单循环赛（即每队都要与本组中其他各队比赛一场），然后由两组的第1名再比赛一场决定冠亚军．请问：一共需要比赛多少场？5．从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法？6．从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法？7．从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法？8．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？9．用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数？10．在所有不超过1000的自然数中，数字5一共出现了多少次？二、拓展篇11．把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008．请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少？12．商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红色的、黄色的和绿色的球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出3个球，如果3个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖．已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少．问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢？13．工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？14．如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？15．6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共有多少种分队的方法？16．10个人围成一圈，从中选出3个人．要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同选法？17．用1、2、3、4、5这五个数字组成不含重复数字的四位数，其中偶数有个．18．用l、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？19．用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数？20．5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：（1）5个人站成一排；（2）5个人站成一排，小强必须站在中间；（3）5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；（4）5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；（5）5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．21．6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排．若A，B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？22．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？三、超越篇23．有6种不同颜色的小球，请问：（1）如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法？（2）如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法？（3）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法？（4）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法？24．有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0．这样的四位数有几个？25．用l、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234、1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数？26．四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：（1）如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？（2）如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？27．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？28．有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1“的有1张；标有数码“2“的有2张；标有数码“3“的有3张；标有数码“4“的也有3张．把这9张圆形纸片如图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在→起，问：（1）如果M位上放置标有数码“3“的纸片，一共有种不同的放置方法．（2）如果M位上放置标有数码“2“的纸片，一共有种不同的放置方法．29．从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？30．8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？计数综合一参考答案与试题解析1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出一些钞票（至少取1张），可能凑出多少种不同的总钱数？【分析】钱的总额是28元，张数是6张．如果是取1～6张的话，最多可能是从1元到28元，一共是28种可能；由于1元币是3张，5元的有1张，可以组成的数字有1、2、3、4、5、6、7、8，最多是8元；所以不可能组成9元，19元这两种情况，所以共有不同的钱数为：28﹣2=26种．【解答】解：1×3+5×1+10×2=28（元），以1作为进率，28共有的不同的钱数种数：28÷1=28（种），减去不能组成的9元、19元两种钱数，所以可以配成的不同的钱数有：28﹣2=26（种）；答：可能凑出26种不同的总钱数．【点评】从钱数的角度考虑此题，较简单一些；若从分步排列组合采用乘法原理来解决此题，重复出现的钱数很多，使问题复杂化了．2．一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码．这本书共有多少页？【分析】本题根据自然数的排列规律及数位知识进行分析完成即可．【解答】解：在这本书的页码中，个位数1～9共需要9个数码；两位数10～99共需要2×90=180个数码；此时还剩下1983﹣9﹣180=1794个数码，1794个数码可组成三位数1794÷3=598个，100～697共有598个页码，即这本书共有697页．答：这本书共有697页．【点评】根据数位知识进行分析计算是完成此类题目的关键．3．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩．他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法？【分析】去掉费叔叔，排在第一的有3种排法；排在第二的有2种排法；排在第三的有1种排法；所以共有：3×2×1=6（种）；费叔叔要站在最左边或者最右边两种，所以一共有6×2=12种不同的站法．【解答】解：3×2×1×2=12（种）答：一共有12种不同的站法．【点评】本题考查了排列组合中的乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有M n种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×M n种不同的方法．4．有13个球队参加篮球比赛．比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队．各组内先进行单循环赛（即每队都要与本组中其他各队比赛一场），然后由两组的第1名再比赛一场决定冠亚军．请问：一共需要比赛多少场？【分析】由题意，各组内先进行单循环赛，根据比赛场数=参赛队数×（队数﹣1）÷2先分别求得两个组各比赛多少场，二者相加后再加上两组的第1名再比赛的那一场即得一共需要比赛多少场；据此解答．【解答】解：6×（6﹣1）÷2=6×5÷2=15（场）；7×（7﹣1）÷2=7×6÷2=21（场）；15+21+1=37（场）；答：一共要比赛37场．【点评】此类赛制为单循环赛制，比赛场数=参赛队数×（队数﹣1）÷2．5．从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法？【分析】（1）先取纯净水5种，后取可乐或果汁8种；（2）先取可乐2种，后取果汁6种；进一步根据乘法原理和加法原理解决问题．【解答】解：5×（6+2）+2×6=40+12=52（种）答：共有52种不同的选法．【点评】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．6．从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法？【分析】本题需要采用科学分类计数法，如果离子电视有1台，那么液晶电视就有2台，共有4×（5×4÷2）=40种取法；如果离子电视有2台，那么液晶电视就有1台，共有（4×3÷2）×5=30种取法；两类情况一共有：40+30=70种取法．【解答】解：4×（5×4÷2）+（4×3÷2）×5=4×10+6×5=40+30=70（种）；答：共70种取法．【点评】本题考查了排列组合中的两个方法：科学分类计数原理和分步计数原理；本题应先采用科学分类计数法把这件事情分两类情况，然后再采用分步计数原理把每种情况又分两步完成；所以本题先用加法原理，再用乘法原理去考虑问题．7．从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法？【分析】因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，去掉2个和是36，也就是去掉的2个数的和是45﹣36=9，逐一分析列举得出答案即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45﹣36=9，因为1+8=2+7=3+6=4+5=9，所以7个不同数的和是36的取法有4种．如下：1+2+3+6+7+8+9=362+3+4+5+6+7+9=361+2+4+5+7+8+9=361+3+4+5+6+8+9=36答：共有4种不同的取法．【点评】利用枚举法来解决一下排列组合问题，也是一种常用的方法．8．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？【分析】首先最高位不能为0，有4种选择方法，以此类推从左往右第二位有4种选择方法，第三位有3种选择方法，第四位有2种选择方法，第五位有1种选择方法，根据乘法原理解决问题．【解答】解：4×4×3×2×1=96（个）答：组成96个没有重复数字的五位数．【点评】此题考查乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×m n种不同的方法．9．用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数？【分析】先确定两个1的位置，有=10种方法，剩下3个位置确定2的位置有3种方法，则3的位置有2种方法，4的位置有1种方法，再利用乘法原理解决问题．【解答】解：×3×2×1=10×3×2×1=60（个）答：组成60个不同的五位数．【点评】此题考查乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×m n种不同的方法．10．在所有不超过1000的自然数中，数字5一共出现了多少次？【分析】本题根据数位知识及自然数的排列规律分析即可：5出现在个位上的：5、15、25、35….995，每相隔10个数出现一次，共1000÷10=100次5出现在十位上的：50、150、250…950，每相隔100个数出现一次，每次连续有10个（50、51、52…59）共1000÷100×10=100次．5出现在百位上的：500、501、502…599共100次所以，从1到1000中所有自然数中，数字5出现了100+100+100=300次．【解答】解：在所有不超过1000的自然数中，5出现在个位上的：5、15、25、35….995，每相隔10个数出现一次，共1000÷10=100次5出现在十位上的：50、150、250…950，每相隔100个数出现一次，每次连续有10个（50、51、52…59）共：1000÷100×10=100次．5出现在百位上的：500、501、502…599共100次所以，从1到1000中所有自然数中，数字5出现了100+100+100=300次．【点评】0至9这些数字在在所有不超过1000的自然数中：1、除数字0、1外，2～9这些数字均都出现了300次，2、数字“0“出现的次数一共是9+180+3=192次3、不超过1000的自然数即小于或等于1000．数字“1“出现了300+1=301次二、拓展篇11．把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008．请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少？【分析】本题根据数位知识及自然数的排列规律分析完成即可：（1），求出这个数由多个数码组成即得这个多位数一共有多少位：个位数1﹣﹣9共有9个数码组成，两个数10﹣﹣99共有90×2=180个数码组成，三位数100﹣﹣999共有900×3=2700个数码组成，四位数1000﹣2008共有（2008﹣1000+1）×4=4036个组成．所以这个多位数9+180+2700+4036=6925（位）．（2）同理可知，个位数1﹣﹣9共有9个数码组成，两个数10﹣﹣99共有90×2=180个数码组成，到2008个数字还差2008﹣9﹣180=1819个数，1819÷3=606…1，即1819组成606个三位数还多1个数，606+9=605，所以第2008个数字是606的开头数6．【解答】解：（1）个位数1﹣﹣9共有9个数码组成，两个数10﹣﹣99共有90×2=180个数码组成，三位数100﹣﹣999共有900×3=2700个数码组成，四位数1000﹣2008共有（2008﹣1000+1）×4=4036个组成．所以这个多位数9+180+2700+4036=6925（位）．（2）个位数1﹣﹣9共有9个数码组成，两个数10﹣﹣99共有90×2=180个数码组成，2008﹣9﹣180=1819，1819÷3=606…1，606+99=605，所以第2008个数字是606的开头数6．【点评】根据位知识及自然数的排列规律进行分析是完成此类题目常用方法．12．商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红色的、黄色的和绿色的球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出3个球，如果3个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖．已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少．问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢？【分析】先画树状图展示所有10种等可能的结果，其中同时摸出两个颜色一样占4种，然后利用概率的定义计算即可．【解答】解：画树状图：，，，，，，共有10种等可能的结果，其中同时摸出三个颜色一样占3种，完全不同的是一种，因为一等奖比二等奖少，所以完全不同的设为一等奖．答：完全不同的颜色的一等奖，完全相同颜色的是二等奖．【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再找出某事件所占有的可能数，然后利用概率的定义求出这个事件的概率．13．工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？【分析】（1）10件产品，从中任意抽出3件检查，共有种不同的抽法；（2）事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从8件正品中抽取2件正品，根据乘法原理计算求得；（3）利用间接法，从中任意抽出3件种数，排除全是正品的种数，得到至少有一件是次品的抽法种数．【解答】解：（1）=120（种）答：一共有120种不同的抽法．（2）×=2×28=56（种）答：抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有56种．（3）﹣=120﹣56=64（种）答：抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有64种．【点评】本题考查计数原理及应用，考查排列组合的实际应用，解题时要认真审题．14．如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？【分析】首先分三种情况：①直径一点不取，属于5个点选3个点的组合，共有种方法；②直径上取一点，分两步直径上4选1，半圆环上5个点选2个点，用乘法原理解答，共有×种方法；③直径上取二点，分两步直径上4选2，半圆环上5个点选1个点，用乘法原理解答，共有×种方法；最后利用加法原理解决问题．【解答】解：+×+×=10+4×10+6×5=10+40+30=80（个）答：以这些点为顶点可画出80个三角形．【点评】解答此题的关键是先分类，再进一步利用加法原理和乘法原理解决问题．15．6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共有多少种分队的方法？【分析】首先从6名学生中选出3人有=20种方法，从4名老师中选出2人有=6种方法，进一步由乘法原理得一共有20×6=120种分队的方法．【解答】解：×=20×6=120（种）答：一共有120种分队的方法．【点评】此题考查排列组合的实际运用，注意两种计数原理的灵活运用．16．10个人围成一圈，从中选出3个人．要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同选法？【分析】先选两个相邻的人，有10种不同的选法，当这样的两个人选定后，再选另一个与之不相邻的人，有6种选法，最后得出总共的10×6=60种不同选法．【解答】解：10个人围成一圈，选两个相邻的人，有10种不同的选法，再选另一个与之不相邻的人，有6种选法，一共有10×6=60（种）答：一共有60种不同选法．【点评】此题考查排列组合的实际运用，注意两种计数原理的灵活运用．17．用1、2、3、4、5这五个数字组成不含重复数字的四位数，其中偶数有48个．【分析】要使组成的数是偶数，个位上必须是2或4，所以先排个位，有2种排法；再排千位，有4种排法；再排百位，有3种排法；再排十位，有2种排法；共有2×4×3×2=48种．【解答】解：根据乘法原理可得，共有：2×4×3×2，=8×6=48（个）；答：其中偶数有48个．故答案为：48．【点评】本题考查了乘法原理，关键是先排列特殊的个位上的数字，然后在确定其它数位上的情况就比较容易了．18．用l、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？【分析】首先从百位开始，四个数字有4种选法，十位有3种选法，个位有2种选法，根据乘法原理得出共有4×3×2=24种方法；每一个数位上的数字出现的机会相同，都有6次，由此求得这些三位数的和即可．【解答】解：4×3×2=24（种）（4+3+2+1）×6×100+（4+3+2+1）×6×10+（4+3+2+1）×6×1=6000+600+60=6660答：l、2、3、4这四个数字可以组成24个没有重复数字的三位数，这些三位数的和是6660．【点评】此题考查简单的排列组合种乘法原理的运用，注意分步计数的方法．19．用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数？【分析】先将该六位数的每个位想象成一个位置，就是把6个数放到6个位置中：先放两个1，有6个位置，就有=15种可能；选定1的位置后，从剩下的4个位置里面选2个放2，=6种方案；剩下的2个位置放3，有=1种即可．所以不同的六位数一共有15×6×1=90个．【解答】解：××=15×6×1=90（个）答：可以组成90个不同的六位数．【点评】解答此题注意相同数字的考虑方法与不同数字的区别，灵活运用乘法原理解决问题．20．5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：（1）5个人站成一排；（2）5个人站成一排，小强必须站在中间；（3）5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；（4）5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；（5）5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．【分析】（1）也就是求5个人的全排列；（2）也就是求4个人的全排列；（3）小强、大强必须有一人站在中间有两种方法，再把剩余的4个人的全排列；（4）小强、大强必须站在两边有两种方法，再把剩余的3个人的全排列；（5）小强、大强都没有站在边上有=3种方法，再把剩余的3个人的全排列．【解答】解：（1）=5×4×3×2×1=120（种）答：有120种站法．（2）=4×3×2×1=24（种）答：有24种站法．（3）×=2×4×3×2×1=48（种）答：有48种站法．（4）×=2×3×2×1=12（种）答：有12种站法．（5）×=3×3×2×1=18（种）答：有18种站法．【点评】此题考查简单的排列组合，注意两种计数原理的灵活运用．21．6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排．若A，B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？【分析】把AB两人看做一个整体．相当于只有5个人站成一排．根据乘法原理有5×4×3×2×1种，但是AB两人站位顺序可以颠倒，所以再乘2即可得出结果；不能相邻就用总的种数﹣相邻的种数，总的种数根据乘法原理得有6×5×4×3×2×1=720种，进一步求得结果即可．【解答】解：若A，B两人必须相邻有：5×4×3×2×1×2=240（种）若A、B两人不能相邻有：6×5×4×3×2×1﹣240=720﹣240=480（种）答：若A，B两人必须相邻，一共有240种不同的站法；若A、B两人不能相邻，一共有480种不同的站法．【点评】此题考查乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×m n种不同的方法．22．（2012•海淀区校级自主招生）学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？【分析】（1）要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里，因为有3名女生，考虑到两端也可以放人，所以一共有4个空位；然后根据乘法原理求出一共有多少站法；（2）根据题意，采取捆绑法，将所有的女生看成一个整体，那么3个女生就有种排法；男生有4人，就有5个空位可以让3个女生占；再根据乘法原理，它们的积就是全部的站法．【解答】解：（1）×=6×24=144（种）；答：男生不能相邻，一共有144种不同的站法．（2）×=6×120=720（种）；答：女生都站在一起，一共有720种不同的站法．【点评】本题的难点是先用捆绑法将两女生当成一个，然后利用插空法算出一共有多少种可能．三、超越篇23．有6种不同颜色的小球，请问：（1）如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法？（2）如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法？（3）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法？（4）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法？【分析】（1）首先从6个小球中取出3个，有=20种方法，再把取出的3个球全排列有=6种方法，再进一步由乘法原理求得答案；（2）从6个小球中取出3个装到袋中，有=20种方法；（3）数量足够多就是说取到每种颜色球的概率是相等的，它们均为等可能事件，每取一个球有6种方法，根据乘法原理解答即可；（4）数量足够多就是说取到每种颜色球的概率是相等的，它们均为等可能事件，3个一袋没有顺序，也就是每取一个球有6种方法，再除以3个球的全排列即可．【解答】解：（1）×=20×6=120（种）答：共有120种方法．（2）=6×5×4÷（3×2×1）=20（种）答：共有20种方法．（3）6×6×6=216（种）答：共有216种方法．（4）6×6×6÷（3×2×1）=36（种）答：共有36种方法．【点评】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．24．有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0．这样的四位数有几个？【分析】首先找出奇数数字有1、3、5、7、9五个，偶数数字有2、4、6、8四个，先从五个奇数取两个数字有=10种情况，再从四个偶数取两个数字有=6种情况，再把选出的四个数字随机排列有=24种情况；再进一步利用乘法原理解决问题．【解答】解：××=10×6×24=1440（个）答：这样的四位数有1440个．【点评】此题考查排列组合的运用以及乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×m n种不同的方法．25．用l、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234、1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数？【分析】首先考虑全不重复有=24个，再考虑第一位和后面三位的一位重复×=72个，第二位和后面两位的一位重复×=48，第三位和第四位重复=24；最后所有的可能就是将上述四种情况求和得出答案即可．【解答】解：+×+×+=24+3×24+2×24+24=24+72+48+24=168（个）答：一共能组成168个满足条件的四位数．【点评】此题考查排列组合的运用以及加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，…，第N类方式有M（N）种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+…+M（N）种．26．四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：。

33 计数综合(二)

利用对应法求解的计数问题.所谓对应法,即建立起所考察对象和另一类对象之间的对应关系,通过对后者的计数而求得问题的答案.与平面和立体图形相关的复杂计数问题,其他具有相当难度的计数综合题．1. 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里,允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法?【分析与解】注意到橘子是没有区别的,所以不能简单使用乘法原理为310．我们将10个橘子从左到右排成一列,其中有9个间隙,在间隙内插入2个“木棍”,即可将10个橘子分成3个部分．但是,题中允许有盘子空着,这又为计数造成了障碍,于是做如下变换：“借来”三个同样的橘子,每个盘中各放一个,这样每个盘子就不会空着,而且这种变换得出的分配方法与原来的分配方法一一对应．即现在将10+3=13个橘子分成3部分,每部分不少于1个．将13个橘子从左至右排成一列,在12个间隙中插入2个“木棍”,每个间隙最多插入一个“木棍”,共有212c =66种分配方法．评注:这类问题可以与不定方程解的组数联系起来:有X l +X 2+X 3+…+x n =k(k 为自然数),其自然数(可以取0)解就有11n n k c -+-组,其非零自然数的解有11n k c --组(要求k ≥n).大家可以利用上面的方法来解释．2. 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?[分析与解] 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO 块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．3. 若一个自然数中至少有两个数字,且每个数字小于其右边的所有数字,则称这个数是“上升的”.问一共有多少个“上升的”自然数?【分析与解】我们知道,如果选好了数字,那么“上升数”的排列顺序也就确定了,如选好3,6,2,那么对应的“上升的”自然数只能是236．又因为0不能作为首位,所以不能取0,即只能从9个数字中选取．我们知道9个数字任意选择(一个不选也算一种),则每个数字可选可不选,故共有29=512种选法．但是,“上升的”自然数至少2位,则不能9个数字一个不选,也不能只选1个,即有1+1c=10种不同的9选法是不满足的．所以,共有512-10=502种不同的选择数字方法,对应有502个“上升的”自然数．4. 在8×8的方格表中,取出一个如图33-1所示的由3个小方格组成的“L”形,一共有多少种不同的方法?【分析与解】观察发现,对于每个“L”形,都有一个点M与其对应,而每个2×2的方格中,M点都对应4个不同的“L”.在8×8的方格中,类似M点的交叉点有7×7=49个(不包括边上的交叉点)．所以共有“L”形4×49=196种不同的取法．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．5. 从10到4999这4990个自然数中,其数字和能被4整除的数有多少个?【分析与解】我们知道对于一个任意的三位数()()2!!1!n nn⨯＋***,1***、2***、3***、4***,有且只有1个数的数字和是4的倍数,即1000～4999这4000个数中有4000÷4=1000个数的数字和是4的倍数．而对于一个任意的两位数**,9**、8**、7**、6**中必有1个数的数字和是4的倍数,也就是说999～600这400个数中有400÷4=100个数的数字和是4的倍数．同理在599～200之间有100个数的数字和是4的倍数．剩下的10～199之间,160～199,120～159,这两组数各有10个数的数字和是4的倍数．而60～99，20～59,这两组数也各有10个数的数字和是4的倍数.而100～119,10～20中只有13,17,103,107,112,116这6个数的数字和是4的倍数．所以10～4999之间共有1000+100+100+10×4+6=1246个数的数字和能被4整除．6. 有一批规格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂.问可以得到多少种着色方式不同的圆棒?【分析与解】如图每根原棒的5节记为A、B、C、D、E,特别得注意到原棒可以左右倒置，即有可能与是同种情况．不难得知,当原棒上的5节对称时,即与是同种情况.①,其中A有3种颜色可选,B也有3种颜色可选,C还是有3种颜色可选,故有3×3×3=27种不同的染法．②考虑不对称时则A有3种原色可选，B、C、D、E也各有3种颜色可选,于是有3×3×3×3×3=243种不同的染法．所以,其中不对称有243-27=216种,不对称的与重复计算了,而对称的没有重复计算．所以,共有216÷2+27=135种实质不同的着色方式．7. 用剪刀沿图33-2中小方格的边界把4×4正方形格纸.剪开成形状、大小都相同的两部分,共有多少种不同的剪法?(凡经过旋转和翻转能重合的剪法视为相同的剪法．)【分析与解】因为必须剪成形状、大小都相同的两部分,所以剪刀必定通过正方形的中心,即得到的两部分在原图中为中心对称．中粗实线是剪刀必须通过的两条边,然后就不难得到下面的6种情况(不考虑旋转的情况)．8. 如图33-3,八面体有12条棱,6个顶点.一只蚂蚁从顶点A出发,沿棱爬行,要求恰好经过每个顶点一次.问共有多少种不同的走法?【分析与解】 A→B,A→D,A→E,A→F,这4类走法,每类走法的种数一样多，所以只用考察A→B 的后续步骤有多少种：B→E→C→D→F，B→E→C→F→D,B→E→D→F→C,B→E→D→C→F,B→F→D→E→C，B→F→D→C→E，B→F→C→E→D，B→F→C→D→E,B→C→E→D→F，B→C→F→D→E(从B→C后三步只能是顺时针或逆时针,只用2种).共10种．所以从A点出发共有10×4=40种不同的满足题中条件的走法9. 纸上画有一个4×4的方格表,在它的四条边的旁边分别写有东、南、西、北这4个字.现在要用8个1×2的长方形将它盖住,共有多少种不同的覆盖方法?【分析与解】在4×4的方格内,横着放的长方形必然是偶数个,于是一一列出：第一种情况：有8个横着放,0个竖着放,只有1种方法：第二种情况：有6个横着放,2个竖着放,竖着放的这两个长方形必须在同两行内,如下图可知,这时只有3种方法；上图是当这两行在第一、二行时情况,这两行还可以在第二、三行,还可以在第三、四行．于是.共有3×3=9种不同的方法．第三种情况有4个横着放,4个竖着放,这时又可以分成三种不同的情况来考虑,第一种,为4个竖着的长方形占据两行；第二种,为4个竖着的长方形占据三行；第三种,为这4个竖着的长方形有两个占据前两行,另两个占据后两行；前两行有如上的3种方法,后两行也有如上的3种方法,所以共有3×3=9种不同的方法,如下所示．所以,4个横着放,4个竖着放共有3+4+9=16种方法；第四种情况:有2个横着放,6个竖着放,因为可以由第二种情况旋转得到,所以也是有9种方法第五种情况:有0个横着放,8个竖着放,因为可以由第一种情况旋转得到,所以也是有1种方法．所以共有1+9+16+9+1=36种不同的方法．10. 某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木,每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每色各涂两个面.当两个积木经过适当的翻动以后,能使各种颜色的面所在位置相同时,它们就被看作是同一种积木块.试说明:最多能涂成多少种不同的积木块?【分析与解】总可以使下底面为红色．如果上底面也是红色,通过翻过,可以使前面为黄色,左面不是黄色,这时后面可以是黄色,也可以是蓝色,有2种．如果上底面不是红色,通过旋转,可以使后面为红色.这时又分两种情况：(1)前面与上面同色,可以同为黄色,也可以同为蓝色,有2种．(2)前面与上面不同色,通过翻动,可以使上面为黄色,前面为蓝色这时右面可以是黄色,也可以是蓝色，有2种．因此,共可涂成2+2+2=6种不同的积木块．11. 10人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同的选法?【分析与解】我们先从10人中选出一个人,有10种选法；再在与此人不相邻的7人中选择连续的两个人,有6种选法,所以满足题意的选法共有10×6=60种．12.有8个队参加比赛,采用如图33-4所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时,可以得到多少种实质不同的比赛安排表?【分析与解】我们标上字母,如下图．如果全排列为8P=8！因为A,B；B,A实质赛程一样；同理C/D,E/F,G/H,I/J,K/L,M/N均是,所以除以78个2．于是,共有8！÷27=315种实质不同的赛程安排．13. 4个数如果具有下面两个特点:①它们都是非零的一位数,②两两之差恰好是1,2，3,4,5,6,那么就称这4个数组成了一个好数组.好数组中的数不计顺序.问共有多少个不同的好数组?【分析与解】设a>b>c>d为满足题意的“好数组”中的四个数,有两两数的差为(a-b)+(a-C)+(a-d)+(b-d)+(b-c)+(c-d)=3(a-d)＋(b-C)=1+2+3+4+5+6=21,因为a-d是最大数减去最小数,所以应为6．b-c=3好数组中最小和最大的数只有3种可能:1和7,2和8,3和9．即好数组在不计顺序下,共有6组,依次为(7,6,3,1)；(7,5,2,1)；(8,7,4,2)；(8,6,3,2)；(9,8,5,3)；(9,7,4,3)．14. 游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?【分析与解】方法一:按第一个带2元钞票的小朋友前面有几个小朋友来确定排队的方案,共有五个方案：①带1元的5个小朋友都排在前边,即1111l22222,只有1种情况；⑦带1元的小朋友有4个排在前面,即1111212222,1111221222,1111222122,1111222212，共有4种情况；③带1元的小朋友有3个排在前边,如1112112222,…，共有9种情况；④带1元的小朋友有2个排在前边,如1121112222,…，共有14种情况；⑤带1元的小朋友只有1个排在前边,如1211112222，…，共有14种情况．五个方案共有1+4+9+14+14=42(种)情况．因为10个小朋友互不相同,所以每种情况有5！×5！=14400(种)排队方法,总共有42×14400=604800种排队方法,使售票员总能找得开零钱．方法二:如下左图,先将拿1元的小朋友看成相同的,2元的小朋友看成相同的.在下图中,每条小横线代表拿l元的小朋友,每条小竖线代表拿2元的小朋友．从A到B的不论在网格中的何点均有横线数不小于竖线数．相当于求A到B的走法：我们再由上右图知:从A→B的走法有42种．因为各个小朋友都是不同的,所以共有42×5！×5！=42×120×120=604800种情况．评注:游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中n个小朋友只有1元的钞票,另外n个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.则有()()2!!1!n nn⨯＋种排队方法,使售票员总能找得开零钱．15. 有一只表没有秒针,时针和分针无法辨别.在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间,但有时也会出现两种可能,使你判断不出正确时间.请问从中午12时到夜里12时这段时间会遇到多少次无法判断的情况(不包括中午12点和夜里12点)？【分析与解】方法一:凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间．从12点到1点这段时间里,分针在0分到5分时恰有1次判断不出,分针在5分到10分时恰有1次判断不出,……．所以在12点到1点这段时间里恰有11次判断不出．同理,在其余每一个小时里都恰有11次判断不出．所以一共有12×11=132次无法判断的情况．方法二:时针走一圈时(12小时),分针走12圈,时针与分针相交时,这个相对应的分针要走(12×12)圈．当这个分针与原来的时针所走的位置可以互换时,不能判断出正确的时间．这样的情况在12小时中可能发生(12×12-2)次.只有在分针、时针重合在一起时,即使分不出长短,也能判断出正确的时间,这种情况会发生(12—2)次，因此.把判断不出的次数减去这个次数,即可找到答案：(12×12-2)-(12-2)=132(次)．方法三:凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间．两针位置互换,当时针、分针共走60格,由于时针走1格,分针走12格,所以两针位置互换的时间间隔是125605512113⨯=+(分),可以出现在中午12点多至1点多,1点多至2点多,2点多至3点多,……,夜里10点多至11点多,共11次(注意12点是可以判断的)．同样可以算出两针位置互换时针、分针共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格时,可以出现两针位置互换的次数分别是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次,所以分辨不出正确时间的次数共有(11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)×2=132次．。

【高中数学】计数原理的综合应用(第二课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

4. 高三年级的三个班级到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中
工厂甲必须有班级要去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案
有( )
A．27种
B．36种
C．54种
D．81种
解：根据题意，甲工厂必须有班级去，可能有一个，也有可能两个或三个，直接讨论比较麻烦，我们采用间接法：若不加以限制，每个班级都有4种选择，共有4×4×4种，其中甲工厂没有班级去的方案有3×3×3种，所以满足题意的有64-27=37种.
对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素) 优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位．
1. 在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼
解：(1)首先填百位数字，不能是0，所以有1，2，3三种选择，然后，十位和个位都有0，1，2，3四种选择，根据乘法原理可组成 3 4 4 48 个三位数； (2)没有重复数字，首先填百位数字，不能是0，有三种选择，然后填十位数字，在余下的数字中选择，包括0有三种选择，最后填个位数字，在余下的两个数字中选择，只有两种可能，根据乘法原理可组成 3 3 2 18 个不同的三位数； (3)没有重复数字，且百位大于十位大于个位，当百位数是3时有：321， 320，310；当百位数是2时有：210.所以满足条件的有 3 1 4 个三位数.
6.1 计数原理的综合应用
(第二课时)
1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别. 2.会正确应用这两个计数原理解决组数问题、选取与分配问题、涂色问题．

五年级奥数.计数综合.概率（ABC级）.学生版

五年级奥数.计数综合.概率（ABC级）.学⽣版⼀、概率的古典定义如果⼀个试验满⾜两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是⼀样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表⽰该试验中所有可能出现的基本结果的总数⽬，m 表⽰事件A 包含的试验基本结果数．⼩学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们⽤枚举、加乘原理、排列组合等⽅法求出．⼆、对⽴事件对⽴事件的含义：两个事件在任何⼀次试验中有且仅有⼀个发⽣，那么这两个事件叫作对⽴事件如果事件A 和B 为对⽴事件（互斥事件），那么A 或B 中之⼀发⽣的概率等于事件A 发⽣的概率与事件B 发⽣的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独⽴事件事件A 是否发⽣对事件B 发⽣的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独⽴事件．如果事件A 和B 为独⽴事件，那么A 和B 都发⽣的概率等于事件A 发⽣的概率与事件B 发⽣的概率之积，即：()()()P A B P A P B ?=?．【例 1】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中⾄少有1次硬币的正⾯向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较⼤（请填汤姆或约翰）．例题精讲知识结构概率【巩固】⼀个⼩⽅⽊块的六个⾯上分别写有数字2、3、5、6、7、9，⼩光、⼩亮两⼈随意往桌⾯上扔放这个⽊块．规定：当⼩光扔时，如果朝上的⼀⾯写的是偶数，得1分．当⼩亮扔时，如果朝上的⼀⾯写的是奇数，得1分．每⼈扔100次，______得分⾼的可能性⽐较⼤．【例 2】⼀个骰⼦六个⾯上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰⼦，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停⽌不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【巩固】有两个骰⼦A和B,骰⼦的六个⾯分别标有1,2,3,4,5,6掷出的两枚骰⼦朝上的数字之和不是12的可能性是＿＿＿。

(完整)五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).教师版

一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L （）（）（），即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L （）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L （）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有mn C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯L L （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

五年级奥数.计数综合.计数方法与技巧(ABC级).教师版

（1）归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．（2）整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．（3）对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．（4）递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．【例 1】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n =()12n n ++1个部分．方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k +1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k +1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分例题精讲知识结构计数方法与技巧为11+5=16个部分．一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=()12k k++1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．【答案】16【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，……a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11……故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【答案】5051部分【例 2】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k个圆最多能将平面分割成ka个部分．从图中可以看出，12a =，24221a ==+⨯，38422a ==+⨯，414823a ==+⨯，…… 可以发现k a 满足下列关系式：()121k k a a k -=+-．实际上，当平面上的(1k -)个圆把平面分成1k a -个区域时，如果再在平面上出现第k 个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前()1k -个圆之间的交点．这样，第k 个圆与前面()1k -个圆共产生2(1)k ⨯-个交点，如下图：这2(1)k ⨯-个交点把第k 个圆分成了2(1)k ⨯-段圆弧，而这2(1)k ⨯-段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2(1)k ⨯-个部分．所以，()121k k a a k -=+-．那么，10987292829272829a a a a =+⨯=+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯=12122...272829a =+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯()2212...78992=+⨯+++++=．故10个圆最多能将平面分成92部分．【答案】92【巩固】 10个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】设n 个三角形最多将平面分成n a 个部分．1n =时，12a =；1413121110987654321876521344312212n =时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236⨯=（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a =+⨯．3n =时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a =+⨯+⨯． ……一般地，第n 个三角形与前面()1n -个三角形最多有()213n -⨯个交点，从而平面也增加()213n -⨯个部分，故()()222343213224213332n a n n n n ⎡⎤=+⨯+⨯++-⨯=++++-⨯=-+⎣⎦；特别地，当10n =时，2103103102272a =⨯+⨯+=，即10个三角形最多把平面分成272个部分．【答案】272【例 3】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．【小结】n 个图形最多可把平面分成部分数：直线：()112n n ⨯++；圆：()21n n +⨯-；三角形：()231n n +⨯⨯- ；长方形：()241n n +⨯⨯-．【答案】26【巩固】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】5星【题型】解答【解析】先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．【答案】32【例4】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【考点】计数之整体法【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．【答案】可剪成3994个三角形，需剪5989刀【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【考点】计数之整体法【难度】4星【题型】解答【解析】整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成()⨯+÷=个小三角形．360100180180201【答案】201个小三角形【例 5】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一⨯长方形68296个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 6】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有41010987210 4321C⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 7】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，第一届，学而思杯，5年级，第7题【解析】方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：----，34521----，53421----，----，3542154321----，45321----，24531----，52431----，----，2543154231----，45231----，54312----，----，23451----，23541----，2534152341----，54132----，34512----，----，3541245312----，53412----，51342----，14532----，----，5143245132----，15432----，45123----，----，54123----，13452----，1354215342----，12543----，----，51243----，14523----，5142315423----，15234----，12534----，----，1235415243----，12453----，12345----。

2018五年级奥数.计数综合.容斥原理(ABC级).学生版

知识结构一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B = (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+ ．图示如下：容斥原理1．先包含——A B+重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B+- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C -- 计算时都被减掉了．3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+ ．【例2】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例3】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【例4】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【巩固】有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【例5】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【巩固】四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例6】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【例7】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【例8】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴三种都带了的有几人？⑵只带了一种的有几个？【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【例9】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？C BA10【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【例10】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【例11】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【例12】某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．课堂检测【随练1】四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？【随练2】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【随练3】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．家庭作业【作业1】四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人。

小学奥数六年级上第19讲《计数综合二》教学课件

例题讲解
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例题2：一种电子表在6时24分30秒的显示为6:24:30，那么从6时到7时这段时间里，此表的 5个数字都不相同的时刻一共有多少个? 分析：分钟的十位和秒钟的十位可能性比较少，所以，应优先确定. 答案：1260个
例题讲解
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练习2：现在我们规定一种记日期的方式，把“2012年05月12日”写作“120512”，即只需写出后面六位数，那么在2013年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数字互不相同? 答案：30天
例题5： NBA总决赛在洛杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用7局题4胜制，比赛分为主场和客场，第1、第2、第6、第7场均在洛杉矶进行，第3~5场在波士顿进行，最终湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛中的胜负结果有多少种可能? 分析：由7局4胜制及主场获胜两个要求你可得出什么？通过分析寻找一下解决这道题目
的突破口. 答案：30种
极限挑战
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例题6：各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个? 分析：99的整除特性是什么，在这道题目中有何应用？答案：575个
巩固提升
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作业1：8个同学排成一排照相，其中4个人要站在一起，共有多少种站法? 答案：2880种
几个常用公式：C1m
m；C0m
1；
C
n m
Cmmn；C0m
C1m
C2m
Cmm
2m.
数学知识点
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知识精讲六、一些常用的计数技巧和方法: 1.捆绑法：对于要求必须站在一起的人，可以采用事先捆绑的方法来处理； 2插空法：对于不能相邻的情况，先把其他人排好，再把不能相邻的人分别插入其他人之间的空隙(包括两端)中； 3.有重复数字的数字排列问题，可以用“数字挑位置”的方法解决； 4.数字0不能作为多位数的首位，在计数时需要特别注意； • Culture 5.对挑出的对象有特殊要求的计数问题，一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位置，尽可能地让余下的对象或位置的确定变得简单. 6.当满足要求的情况很多时，可以尝试用排除法计算不满足要求的情况，再从所有可能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案.

五年级高斯奥数之计数综合二含答案

第22讲计数综合二内容概述涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式．典型问题兴趣篇1．同时能被6、7、8、9整除的四位数有多少个？2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问：(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？3．在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？6．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？7．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第1997个“回文数”是什么？8．一个四位数ABCD，它与逆序数DCBA之和的末两位为56，这样的四位数ABCD有多少个？9．把2005、2006、2007、2008、2009这5个数分别填人图23-1的东、南、西、北、中5个方格内，使横、竖3个数的和相等，一共有多少种不同的填法？10．从1至7中选出6个数字填入图23.2的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？拓展篇1．分子小于6，分母小于20的最简真分数共有多少个？2．从l、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问：(1)要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？(2)要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？3．小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1，2，3，…，10.现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的选法共有多少种？（注：9不能颠倒当作6来使用，6也不能颠倒当作9来使用）4．六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个能被1 1整除的六位数？5．三个2，两个1和一个0可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和．6．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789.请问：此列数中的第100个数是多少？7．有一些三位数的相邻两位数字为2和3，例如132、235等等，这样的三位数一共有多少个？8．在图23—3的方框内填入3、4、5、6中的一个数字，使得竖式成立．请问：所填的九个数字之和是多少？一共有多少种填法？9．在1000，1001，…，2000这1001个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？10．将1至7分别填入图234中的7个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的填法？11．在图23。

人大附中分班考试班部分答案

人大附中分班考试班第四讲部分答案第四讲计数问题一. 加法原理与乘法原理例1.满足下面性质的数称为好数，它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且相邻两位数字差不超过2．例如1346为好数，3579为好数，但1456就不是好数．那么有四位好数．答案：36 ．例2.用3种颜色把一个3´3的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有________种不同的染色法例3.□□□+□□=□□+□□，把数字1~9填入上面的方框中，使等式成立．每个数字只能填1次，一共有多少种不同的填法？例4.如图，把A、B、C、D、E这5个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。

那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？解析：4×3×2×2×2＝96。

例5.有一种四位数，它与它的逆序四位数和为9999．例如7812+2187=9999，3636+6363=9999等．那么这样的四位数一共有多少个？二. 排列组合例6.3个男生，3个女生排成一排，要求男生不能相邻，求一共有多少种排法？如果女生也不能相邻，求一共有多少种排法？解析：72。

只可能是“男女男女男女”和“女男女男女男”。

例7.从10个人中挑出5人，求满足下列条件的选法有多少种。

(1)A，B必须入选；(2)A，B 至少有一个人入选；(3)A，B，C中恰好有一个人入选；(4)A，B，C不能同时入选。

例8.用数字1，2组成一个8位数，其中至少有连续4位都是数字1的有多少个？例9.从1、2、3、…、9中选取若干互不相同的数字（至少一个），使得其和是3的倍数，共有多少种选法？解析：按取出数的个数分类，总共有175种取法。

例10.老师要将20个相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分得3个苹果，那么共有_____种分配方法.三. 计数综合例11.各位数字之和为33，而且能够被33整除的五位数有多少个？解析：288个。

计数原理2(含答案)

试卷第1页，总11页绝密★启用前高中数学2019年12月18日单元测试试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( ) A ．360 B ．300 C ．240 D ．180 【答案】B 【解析】【分析】分为有0和没0两类求解. 【详解】当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：45120A =种；当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：1335180A A =种,两类相加一共有300种，故选B. 【点睛】本题考查排列组合与分类加法计数原理，考查分类讨论思想，属于基础题.2．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种 A ．36 B ．48 C ．60 D ．16【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.试卷第2页，总11页【详解】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有244362C ⨯==种方式，所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有23436321=36C A ⋅=⨯⨯⨯种方式.故选：A 【点睛】本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.3．高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（） A ．2454C A B ．2456CC ．2454A AD ．2456A【答案】D 【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有25A 种，剩余4个班的安排方式有46种，所以共有2456A 各安排方式，故选D ．考点：计数原理．4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 A ．18 B ．24 C ．28 D ．36【答案】D 【解析】分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。

五年级奥数.计数综合.容斥原理(ABC级)

一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：知识结构容斥原理1．先包含——A B + 重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分AB 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【例 2】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这C BA C BA 例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分AB 、BC 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了．个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【例 3】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【例 4】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【巩固】有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？BA两门都不在95分以上的数学95分以上的两门95分以上的语文95分以上的【例 5】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【巩固】四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【例 6】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【例 7】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【例 8】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴ 三种都带了的有几人？⑴ 只带了一种的有几个？【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【例 9】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【例 10】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三CBA10张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【例 11】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【例 12】某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．ABC课堂检测【随练1】四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴问语文数学都写完的有多少人？⑴只写完语文作业的有多少人？【随练2】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【随练3】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．家庭作业【作业1】四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人。

2.计数综合一

1．若有A 、B 、C 、D 、E 、F 共6人排队，要求E 和F 两人不站在一起，则有多少种排队方法?2．若有A 、B 、C 、D 共4人排队，要求C 和D 两人不站在一起，则有多少种排队方法? 3．C C 081111+=________ 。

4．C C 77011+=________ 。

5．C 199201=________ 。

6．4个女生和3个一模一样的人偶排成一队，人偶不能相邻，有几种排法？7．5个学生和2个一模一样的人偶排成一队，人偶不能相邻，有几种排法？8．C 99199=________ 。

9．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去4个不连在一起的节目，则不同的添加方法共有多少种?10．21人进行羽毛球单打比赛，每两人之间就比一场，一共需要赛多少场？11．4个女生和3个一模一样的人偶排成一队，人偶不能相邻，有几种排法？12．5个学生和2个一模一样的人偶排成一队，人偶不能相邻，有几种排法？13．C 99100=________ 。

14．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个不连在一起的节目，则不同的添加方法共有多少种?15．20人进行乒乓球单打比赛，每两人之间就比一场，一共需要赛多少场？16．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去4个不连在一起的节目，则不同的添加方法共有多少种?17．21人进行羽毛球单打比赛，每两人之间就比一场，一共需要赛多少场？18．在一张节目单中原有7个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个不连在一起的节目，则不同的添加方法共有多少种?19．16人进行网球单打比赛，每两人之间就比一场，一共需要赛多少场？20．5个一模一样的红球和3个一模一样的黑球排成一列，黑球不能相邻，共有几种排法？21．鹿宝宝和小山羊分10张不同的积分卡。

若鹿宝宝先拿6张，之后小山羊拿了4张，则一共有多少种不同的拿法？22．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但关掉的灯不能相邻，则所有不同的关灯方法有多少种？23．阿土伯去射击场打靶，连开7枪，命中4枪。