第四章,三角形复习(2)

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北师大2013版第四章三角形复习与小结2

试判断AB与ED有什么关系？并说明理由。
课堂小结
交流本节课的收获，说说存在的困惑
布置作业
1、总结第三环节中练习中的错题，对其中的某些题还有什么好的建议或变形 2 、通过交流把自己的总结再完善和改进后粘贴到班级的板报中
C D
（三）回顾“三角形三条重要线段”
1、三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD =S△ADC，则AD为（）. A.高 B.角平分线 C.中线 D.不能确定 2、如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形 ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为＿＿＿＿＿＿．
2、已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，则第三边长x的取值范围是 ;若x是奇数，则x的值是 ; 此三角形的周长p的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
3、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是 9cm ,则这个三角形的周长是 cm 4、一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是 7cm ,则这个三角形的周长是 cm
（二）回顾“三角形内角和”
1、在△ABC中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度；（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= 度；（3）2∠A=∠B+∠C，则∠A= 度。（4） ∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，则∠A = ∠B= ∠C= 。 A 2、如图，已知五角星ABCDE，求 E B ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和为。
C
A D
B
4、如图所示：要说明△ABC≌△BAD，（1）已知∠1=∠2，若要以SAS为依据，则可添加一个条件是；（2）已知∠1=∠2，若要以AAS为依据，则可添加一个条件是；

中考数学精讲篇考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(二) “中点”之六大模型

方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
“中点”模型秘诀：中点问题常用性质及常见辅助线作法
1．多个中点或“平行＋中点”―联―想→构造中位线；联想
2．直角＋斜边中点――→直角三角形斜边中线的性质； 3．等腰＋底边中点―联―想→等腰三角形三线合一；
联想 4．同一边遇垂直＋中点――→垂直平分线性质； 5．中线或与中点有关线段―联―想→倍长中线构造全等； 6．圆＋弦(弧)的中点―联―想→垂径定理．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证 MB＝MD，再由 ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．
7 中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为__ 3 __.
【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD＝5，易证△ABC∽△EBD，则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，从而求得 CE 的长．
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC.∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为__22__cm.
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中，
BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》期末综合复习训练2(附答案)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》期末综合复习训练2（附答案）1．已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．（y≠﹣4a）D．4x＝3y2．下列线段中，能成比例的是（）A．3cm，6cm，8cm，9cm B．3cm，5cm，6cm，9cmC．3cm，6cm，7cm，9cm D．3cm，6cm，9cm，18cm3．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．B．C．D．4．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（）A．3B．6C．D．105．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）A．16倍B．8倍C．4 倍D．2 倍6．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D 作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（）A．12B．16C．12或16D．以上都不对7．附加题：若x＝，则x＝．8．已知线段a＝4，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c＝．9．如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC＝1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC 于F，那么的值为（用n表示）．10．利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为．11．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为m．12．两个相似三角形周长的差是4cm，面积的比是16：25，那么这两个三角形的周长分别是cm和cm13．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD 于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF ∽△ACD，其中一定正确的是．（填序号）14．如图，在直线m上摆放着三个等边三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3＝12，则S2＝．15．如图，数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小华拿一支刻有厘米分划的小尺，站在距旗杆30米的地方，手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住旗杆，已知臂长60cm，则旗杆高为米．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA ＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是．17．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）18．如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且AD2＝AF•AB．求证：EF∥CD．19．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．20．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．21．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．22．已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．（1）如图1，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值；（2）如图2，当OA＝OB，且时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB＝1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．参考答案1．解：A、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；B、∵，∴＝﹣，此选项错误，符合题意；C、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；D、∵，∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；故选：B．2．解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；D、∵3×18＝6×9，故此选项正确；故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴，∴当时，，∴EF∥CD，故C选项符合题意；而A，B，D选项不能得出EF∥CD，故选：C．4．解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE＝CE：ED＝3：5，∵CD＝16．CE+ED＝CD，∴DE＝，故选：D．5．解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4＝16倍．故选：A．6．解：∵∠A＝∠A，分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，∴DE＝12，②∠ADE′＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝＞AB，不合题意，故选：A．7．解：①a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴x＝＝＝﹣1；②a+b+c≠0时，x＝＝＝．综上所述，x＝或﹣1．故答案为：或﹣1．8．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2＝4×1，c＝±2，（线段是正数，负值舍去），故c＝2；故答案为2．9．证明：∵AD：DC＝1：n，∴AD：AC＝1：（n+1）．作DG平行于AF交BC于G，则＝，根据比例的性质知，＝＝，又E是BD的中点，∴EF是△BGD的中位线，∴BF＝FG．∴＝．故答案为：．10．解：因为原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，所以放大前后的两个三角形的周长比为6：8＝14：，故答案为：11．解：设每条纵向小路的宽为xm．∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴，解得，x＝1.8，或，解得x＝25.8（不符合实际意义）故答案为：1.8．12．解：由题意，相似比＝4：5，两个相似三角形周长的比是4：5，可得：5x﹣4x＝4，解得：x＝4，所以这两个三角形的周长分别是16cm，20cm；故答案为：16；2013．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，∵AD＝BC，∴AF＝AD，∴＝；故①正确；∵S△AEF＝4，＝（）2＝，∴S△BCE＝36；故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故答案为：①②③．14．解：设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，∵F、G分别是BC、CE的中点，AB∥HF∥DC∥GN，∴MF＝AC＝BC，PF＝AB＝BC，又∵BC＝CE＝CG＝GE，∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，∴S1＝S，S3＝2S，∵S1+S3＝12，∴S+2S＝12，∴S＝4.8，故答案为：4.8．15．解：由题意可知△ABC是等腰三角形，AG为高，∴BG＝BC，DF＝DE＝×12cm＝0.06m，AF为臂长，即60cm＝0.6m．AG＝30m，由题意可知△AFD∽△AGB，即＝，即＝，解得BG＝3m，∴BC＝2BG＝2×3＝6m．16．解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．故答案为（﹣1，），（﹣，）．17．解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．18．证明：∵DE∥BC，∴，∵AD2＝AF•AB，∴，∴，∴EF∥DC．19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴又∵AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3∴EC＝3.1；（2）∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴BC⊥AD．20．解：（1）△BPQ是等边三角形当t＝2时AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4∴BQ＝BP又∵∠B＝60°∴△BPQ是等边三角形；（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E在Rt△BEQ中，∠BQE＝90°﹣∠B＝30°，QB＝2t，∴BE＝t，QE＝t由AP＝t，得PB＝6﹣t∴S△BPQ＝×BP×QE＝（6﹣t）×t＝﹣t ∴S＝﹣t；（3）∵QR∥BA∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°∴△QRC是等边三角形∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t∵BE＝BQ•cos60°＝×2t＝t∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t∴EP∥QR，EP＝QR∴四边形EPRQ是平行四边形∴PR＝EQ＝t又∵∠PEQ＝90°，∴∠APR＝∠PRQ＝90°∵△APR∽△PRQ，∴，∴解得t＝∴当t＝时，△APR∽△PRQ．21．证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG．22．解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，∵D为OA中点，∴AE＝CE＝，，∵点C为OB中点，∴BC＝CO，，∴，∴PC＝＝，∴＝2；（2）过点D作DE∥BO交AC于E，∵，∴＝＝，∵点C为OB中点，∴，∴，∴PC＝＝，过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD＝a，则AO＝4a，∵OA＝OB，点C为OB中点，∴CO＝2a，在Rt△ACO中，AC＝＝＝2a，又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，∴AF＝，DF＝，PF＝AC﹣AF﹣PC＝2a﹣﹣＝，tan∠BPC＝tan∠FPD＝＝．（3）与（2）的方法相同，设AD＝a，求出DF＝a，PF＝a，所以tan∠BPC＝．。

2022-2023学年北师大版数学七年级下册+第四章+三角形++期末复习题(2)

第四章三角形期末复习（二）一．选择题1．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（）A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm2．如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（）A．4米B．5米C．6米D．7米3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC边上一点，过点A作AH⊥BD交BD延长线于点H，交BC延长线于点M，若满足BD＝2AH，那么∠CBD的度数为（）A．30°B．25°C．22.5°D．20°4．如图，D、E分别是AC、BD的中点，△ABC的面积为12cm2，则△BCE的面积是（）A．6cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm25．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（）A．①B．②C．③D．④6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，S△DEF＝2，则S△ABC＝（）A．16B．14C．12D．107．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE8．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，3，4B．2，3，5C．2，2，4D．2，2，59．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．12B．14C．16D．1810．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm二、填空题36．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∠B＝35°，则∠ADC的度数为°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE．若∠A＝40°，则∠FDE＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B ＝40°，DE交线段AC于点E．下列结论：①∠CDE＝∠BAD；②BD＝CE；③当D为BC中点时，DE⊥AC；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的是（填序号）．三、解答题15．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE．（1）求证：△ABF≌△DCE．（2）已知∠AFC＝80°，求∠DEC的度数．16．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．求证：△ABE≌△CDF．17．如图，已知∠A＝∠EDF，AD＝BE，AC＝DF．求证：BC∥EF．18．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB．求证：AC＝AE．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上（BD＜BE），BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）若∠ADE＝2∠B，BD＝2，求AE的长．20．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①小明发现，此时AC平分∠BCD．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE，证明△ABE≌△ADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分∠BCD．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当∠BAD＝90°时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰△CDE、等腰△ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且∠ABC+∠ADC＝180°．请你判断∠DAE与∠DBE的数量关系，并证明．21．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．22．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：BD＝CE，BD⊥CE．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）．先画出相应图形，再说明理由．4 5 5。

第四章三角形知识点

第四章三角形一、认识三角形●三角形的有关概念1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。

2、三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边，可以用两个大写英文字母表示，也可以用一个小写英文字母表示。

3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。

4、三角形的角：相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。

5、角与边的对应关系：大边对大角。

6、三角形的表示：用符号“△”表示，以A,B,C为顶点的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

●三角形的分类1、按内角的大小分类锐角三角形（三个角都是锐角）直角三角形（最大内角为直角），互相垂直的两条边叫作直角边，最长的边叫作斜边，直角三角形ABC可以用符号“Rt△ABC”表示钝角三角形（最大内角为钝角）注：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。

2、按边的相等关系分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。

等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，即腰和底边相等的等腰三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。

不等边三角形：三边都不相等的三角形。

注：●三角形的三边关系1、三角形的两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

（证明可以依据两点之间线段最短，大角对大边，不等式性质）2、三边关系的运用（1）判断以已知的三条线段为边能否构成三角形（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）●三角形的高1、三角形的高的概念：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高。

2、三角形高的几何语言表达形式AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD垂直BC与点D，或∠BDA=∠CDA=90°3、三角形三条高的位置锐角三角形三条高都在三角形的内部。

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)

得 2cos2α+2 2cos α+1=0,
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则

重庆市中考数学一轮复习(课件)4.第2节三角形及其性质

面积计算公式：S=⑪ 1 ah ，其中a是底边长，
h是底边上的高
2
未完继续
温馨提示 ①对于等腰三角形的边、角、周长的计算，顶点位置的探索，往往由于腰、底的不确定，需分类讨论解决，防止漏解;②等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加解决
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1.三边相等
（2）如图①，若D在BC的延长线上，∠ACD=110°，求∠BAC的度数；
（3）如图②，若D在BC的延长线上，AC=DC， ∠BAC=40°，求∠D的度数；
（4）如图③，若D是AC上一点，且AD=BD=BC，求∠A的度数；
（5）如图④，若E是AC上的点，且BE是△ABC的中线，BE把 △ABC的周长分为12和15两部分，求△ABC的三边长；
等腰三角形(如图⑤)
对称图形，有一条对称轴，即AD

4.顶角的⑩ 角平分线重合(三线合一)
，底边上的高和底边的中线互相
判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形

2.有两角相等的三角形是等腰三角形
作垂线,顶点和垂足之间的线段
高线

图形及性质：如图③,在△ABC中,AD为BC边上的高线,则有AD⊥⑧ BC ,即∠ADB=∠ADC=90°

垂心：三角形的三条高线的交点,该点称为三角形的垂心
返回
定义：连接三角形两边中点的线段
中位

图形及性质：如图④,在△ABC中,D、E分别为AB、
第四章三角形
第2节三角形及其性质
考点特训营
三角形及其边角关系

三角形的分类三角形边角关系

中考数学考点系统复习第四章三角形等腰三角形与直角三角第2课时直角三角形

第2课时直角三角形
1．(2022·永州)在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的
中点，BD＝2，则BC的长为( C )
A. 3
B．2 3
C．2
D．4
2．(2022·广元)如图，在△ABC 中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点 B
为圆心，BC 长为半径画弧，与 AB 交于点 D，再分别以点 A，D 为圆心，
EG，EC，若∠CEF＝∠AFD，求证： 2AF－BE＝CE.
证明：连接 BG，FG，设 GE 交 BC 于点 N，延长 EC 到点 H ，使得 CH＝BE，连接 GH，由题意可得 ∠DEF＝∠DFE＝∠GBC＝∠GCB＝∠DGA＝45°， ∵DG 为△ABC 的中位线，DE＝DF，∠EDF＝90°， AG＝CG，∴DG＝12BC＝BD＝AD，∠ADG＝∠BDG＝∠ABC＝90°， ∴∠ADF＝∠EDG，∠BDE＝∠GDF， ∴△DBE≌△DGF(SAS)，△DGE≌△DAF(SAS)， ∴AF＝GE，BE＝GF，∠DEB＝∠DFG，
又∵AG＝CG，CH＝BE＝GF， ∴△GCH≌△AGF(SAS)，∴GH＝AF，∠H＝∠AFG＝45°， ∴△GEH为等腰直角三角形，由勾股定理得 EH2＝2GH2，即EH＝ 2GH， ∴EC＋CH＝EC＋BE＝ 2AF，即 2AF－BE＝CE.
1 大于2AD 的长为半径画弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN，分别交 AC，AB
于点 E，F，则 AE 的长度为( A )
A.52
B．3
10 C．2 2 D. 3
3．(2022·南充)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，DE∥AB，交 AC 于点 E，DF⊥AB 于点 F，DE＝5，DF＝3，则下列结论中错误的是( A ) A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9

中考数学考点系统复习第四章三角形第二节一般三角形及其性质

15．已知 n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是 n＋2，n＋8，3n，
则满足条件的 n 的值有
( D)
A．4 个
B．5 个
C．6 个 D．7 个
16．如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥BD，垂足为 F.若∠ABC＝35°，
∠C＝50°，则∠CDE 的度数为
( C)
A．35°
B．40°
∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1 的大小为
( B)
A．60° B．70° C．75° D．85°
8．(2021·青海)如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，
对角线 BD 平分∠ABC，则△BCD 的面积为
( B)
A．8
B．7.5 C．15 D．无法确定
9．(2021·绥化)下列命题中是假命题的是
第二节一般三角形及其性质
1．下列图形具有稳定性的是
( A)
2．(2021·南京)下列长度的三条线段与长度为 5 的线段能组成四边形的
是
( D)
A．1，1，1 B．1，1，82020·湘潭)如图，∠ACD 是△ABC 的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝
A．6
B．9
C．12
D．15
6．(2020·宁波)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为中线，延长
CB 至点 E，使 BE＝BC，连接 DE，F 为 DE 中点，连接 BF.若 AC＝8，BC＝6，
则 BF 的长为
( B)
A．2
B．2.5
C．3
D．4
7．(2021·陕西)如图，点 D，E 分别在线段 BC，AC 上，连接 AD，BE.若

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第2节三角形及其性质

(2)猜想∠D,∠C,∠P的数量关系并说明理由.
基础过关
能力提升
能力提升
-19-
4.2 三角形及其性质
解:(1)∵∠CAD与∠CBD的平分线相交于点P,
设∠CAP＝∠PAD＝x,∠CBP＝∠DBP＝y.
由三角形的外角性质得∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD,
即32°+2x＝28°+2y.
①
同理可得∠P+∠PAD＝∠D+∠DBP,即∠P+x＝28°+y.
D.60°
基础过关
基础过关
能力提升
-4-
4.2 三角形及其性质
4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,
F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的三条边中线的交点是
( A )
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
基础过关
基础过关
能力提升
-5-
4.2 三角形及其性质
5.如图,下列说法错误的是( C )
-8-
4.2 三角形及其性质
7.已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a－7|+(b－1)2＝0,c为
奇数,则c＝ 7
.
【解析】∵a,b满足|a－7|+(b－1)2＝0,∴a＝7,b＝1,∴6＜c＜
8.又∵c为奇数,∴c＝7.
基础过关
基础过关
能力提升
-9-
4.2 三角形及其性质
8.如图,BE是△ABC的一条角平分线,在AB上取点D,使∠DEB
)
A.γ＝2α+β
B.γ＝α+2β
C.γ＝α+β
D.γ＝180°－α－β

中考数学考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(二) “角平分线”之五大模型

5．(2021·长沙)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，若 BC＝4，DE＝1.6，则 BD 的长为 2.4 .
6．(2021·成都)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 AC，AB 于点 M，
∠FCD＝∠EBD，∴△DFC≌△DEB(AAS)， DF＝DE， ∴DB＝DC.
应用： 2a
1 N；②分别以 M，N 为圆心，以大于2MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内相交于点 O；③作射线 AO，交 BC 于点 D.若点 D 到 AB 的距离为 1，则 BC 的长为 1＋ 2
7．★(2021·洪山区模拟)如图，四边形 ABDC 中，对角线 AD 平分∠BAC， ∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB 的度数为 46° .
图①
图②
图③
探究：证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 交 AC 的延长线于点 F.
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°.
∵∠EBD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠EBD＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中， ∠F＝∠DEB，
为
( C)
A. 3
B．2
C．3
D．2 3
3．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点
D，连接 BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC 的大小为
(C)
A．64°
B．120°
C．122°
D．128°
4．如图，在△ABC 中，ED∥BC，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交 ED 于点 G，F，若 BE＝6，DC＝8，DE＝20，则 FG＝ 6 .

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形微专题2全等三角形的常见基本图形结构

∵AF＝CD,∴AF＋CF＝CD＋CF,∴AC＝DF.
＝,
在△ABC与△DEF中,ቐ∠＝∠,
＝,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB＝∠DFE,∴BC∥EF.
-9-
微专题
中心对称结构
-10-
微专题
结构三旋转型
典例4 (2021·湖南湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB＝
-16-
微专题
【答案】∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.
∵∠B＋∠BAP＝∠APD＋∠CPD,∠APD＝∠B,
∴∠BAP＝∠CPD.
∠＝∠,
在△BAP和△CPD中,ቐ∠＝∠,
＝,
∴△BAP≌△CPD(AAS),∴PC＝AB＝5,
∴BP＝BC－PC＝8－5＝3.
-17-
微专题
一线三等角结构
微专题
微专题
全等三角形的常见基本图形结构 (必考)
结构一平移型
典例1 (2022·四川乐山)如图,B是线段AC的中点,AD∥BE,
BD∥CE.求证:△ABD≌△BCE.
-2-
微专题
【答案】∵B为线段AC的中点,
∴AB＝BC.
∵AD∥BE,∴∠A＝∠EBC.
∵BD∥CE,∴∠C＝∠DBA.
∠＝∠,
∵∠DAB＝∠DCB＝90°,
∴∠D＋∠ABC＝∠CBE＋∠ABC＝180°,
∴∠D＝∠CBE.
∵∠DCB＝∠ACE＝90°,易得∠ACD＝∠ECB.
又∵CD＝CB,∴△ACD≌△ECB(ASA),
∴AC＝CE,AD＝BE.
∵∠ACE＝90°,∴ AC＝AE＝AB＋BE＝AB＋AD,
即AB＋AD＝ AC.
-24-

高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第二课时解三角形的综合问题

外,再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理,把该量转化为关于某
个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件
的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
[针对训练] (2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边
分别为a,b,c,已知acos B+b·cos A=2ccos C.

-
-
=
=

=

+
+ ( -) +- - +
=

2

=4cos B+ -5≥2
=

·

-5

的最小值.
解:(2)由(1)得 cos(A+B)=sin B,

所以 sin[ -(A+B)]=sin B,

且 0<A+B<,

所以 0<B<,0<-(A+B)<,

所以-(A+B)=B,解得 A=-2B,
由正弦定理得
+

=
+
( -)+
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
以多个三角形为载体的解三角形问题
[例1] (2024·江苏南通质量监测)在△ABC中,点D在边BC上,AB=3,
AC=2.
(1)若AD是∠BAC的平分线,求BD∶DC;
解:(1)法一因为点D在边BC上,AB=3,AC=2,
所以在△ABD和△ACD中,由正弦定理,得

第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件高考数学一轮复习

－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二． 3. 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章三角函数、解三角形
第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标核心体系活动方案备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
内容索引
活动一基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12，所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D

中考数学精讲篇考点系统复习第四章三角形第二节一般三角形及其性质

长的一的一半半．
第三边
③若∠A＝50°，∠AEF＝60°，则∠ABC＝7070°°；
【解题依据】此问用到的中位线的性质为三三角角形形的中的位中线位线平平行行于第． ④若 S△ABC＝6，则△BDC 的面积为 2 2. 于第三边
1．如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，F 是 DE 上一点，连
( A) A.重心 B．外心 C．内心 D．中心
6.(2021·梧州第 6 题 3 分)如图，DE 是△ABC 的边 BC 的垂直平分线，分别交边 AB，BC 于点 D，E，且 AB＝9，AC＝6，则△ACD 的周长是( C ) A.10.5 B．12 C.15 D．18
7.(2021·梧州第 10 题 3 分)如图，在 Rt△ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形 CEDF 的面积是( B ) A.6 B．12 C．24 D．48
命题点 1：三角形的边、角关系(近 6 年考查 12 次),1.(2021·梧州第 7
题 3 分)
在△ABC 中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C 等于
( A)
A.32° B．36° C．40° D．128°
2.(2018·北部湾经济区第 6 题 3 分)如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平
则∠FDG 的度数为 120120°°；
【解题依据】此问用到的垂直平分线的性质为线段线垂段直垂平分直线平上分的点线到
线到段线两段端点两的端距点的离距相离等．
上的点
相等
图③
图④
(3)如图③，若 CF，BE 分别是∠ACB 和∠ABC 的平分线．
①若∠A＝50°，则∠BDC＝11 1155°°；

四川省成都七中育才2021届初一下数学第四章《三角形复习》

第四章三角形单元复习班级：姓名：学号：家长签字：【知识回顾】一、三角形的定义：不在上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形。

二、三角形的重要线段：1、三角形的角平分线：2、三角形的中线：3、三角形的高线：【例1】.对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.A AAB C(1)C B(2)B C(3)练习：1、已知，如图在△ABC 中，∠B＞∠C，AD 是B C 边上的高，AE 平分∠BAC．(1)若∠B＝40°，∠C＝30°，则∠DAE＝；(2)若∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE＝；(3)由(1)、(2)猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系为．2、如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥BC，CF⊥AB，BG⊥AC，垂足分别为D，C，F，G．(1) 是△ABC 中B C 边上的高，是△ABC 中A B 边上的高，是△ABC中A C 边上的高；(2)CF 是△ABC 的高，也是，，，，的高．3、如图, 在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边B C,AD,CE 的中点, 且S△ABC=4cm2,则S阴影的面积= .【例2】如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在D B、DC、BC 的延长线上，BE、CE 分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF 分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= .（例题2）三、三角形的有关性质1、三边关系：三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；确定第三边（未知边）的取值范围时用字母可表示为。

2、角的性质（1）三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角。

（2）三角形按内角的大小可分为、、。

注：判定一个三角形的形状主要看三角形中角的度数。

3、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

中考数学精讲篇考点系统复习第四章三角形微专题(二) 勾股定理的验证及应用

即 c2＝4×12ab＋(b－a)2，整理得 c2＝a2＋b2， ∴直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和．
Байду номын сангаас
2．做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为 a , b ，斜边为 c ，再做 3 个边长分别为 a , b, c 的正方形，把它们按图 1，图 2 所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理： a2＋b2＝c2.
4．★公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是 125，小
1 正方形的面积是 25，则(sin α－cos α)2＝ 5 .
5．(2020·绍兴)如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为 2，剪四块
这样的直角三角形纸片，把它们按图②放入一个边长为 3 的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图②中阴影部分面积为_4_ 5 __.
6．(2021·兴庆区校级一模)把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图 2、图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为 1212..
证明：由图 1 可知大正方形的边长为：a＋b，则面积为(a＋b)2，图 2 中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为 a 的正方形，边长为 b 的正方形，还有两个长为 b ，宽为 a 的长方形，根据面积相等得：(a＋b)2＝a2＋b2＋4×12ab，由图 1 可得(a＋b)2＝c2＋4×12ab. 所以 a2＋b2＝c2.
微专题(二) 勾股定理的验证及应用
(宁夏：2020T16，2019T16)
1．公元 3 世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》中，利用下列弦图证明了勾股定理．即用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形 ABCD，中间留出一个小正方形空格．请你利用这个弦图证明勾股定理．

第四章,三角形复习(2)

北师大2013版第四章三角形复习与小结2

中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》期末综合复习训练2(附答案)

2022-2023学年北师大版数学七年级下册+第四章+三角形++期末复习题(2)

最新人教版中考数学考点复习第四章三角形重点拓展(二)常考的四大相似模型与证明方法

第四章 三角形知识点

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)

重庆市中考数学一轮复习(课件)4.第2节 三角形及其性质

中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 等腰三角形与直角三角 第2课时 直角三角形

中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第二节 一般三角形及其性质

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第2节三角形及其性质

中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “角平分线”之五大模型