专题十一 应用问题

当 ,故T( )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着 的值的最少总用水量,最少总用水量最少总用水量.
演变题通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
当这个正六棱柱容器的底面边长为2/3时，其容积最大.
4．（2006年上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．1/35
【重点 难点 热点】
问题1函数应用题
例1(2006湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: )为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为 (1≤a≤3).设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 ( ),用 质量的水第二次清洗后的清洁度是 ,其中 是该物体初次清洗后的清洁度.
设备
产品
A
B
C
D
甲
2
1
4
0
乙
2
2
0
4
【解】设计划期内生产甲x件，生产乙y件，
则 即
目标函数z=2x+3y，作直线2x+3y=t
如图所示，可见当直线2x+3y=t过A点时，它在y轴上的截距最大，从而t最大．
显然A点坐标为（4，2）．
∴当x=4，y=2时，可获得最大利润14元．
【评析】线性规划问题的求解过程，实质是数形结合的应用过程．
专题十五
【考点聚焦】
应用问题是指有实际背景或问题有实际意义的数学问题，解答数学应用题，需在理解题意的基础上，把问题转化为相应的数学问题，再根据要求求解．
解应用问题的一般步骤为：
（1）审题：理解题意，把握问题本质；
（2）建模：分析题中的数量关系，建立相应数学模型，将应用问题转化为数学问题；
（3）解模：用数学知识与方法解决转化了的数学问题；
由 ，得
，
要使对于任意正整数 ，均有 恒成立，
即
对于任意正整数 恒成立，解这个关于x的一元一次不等式，得
，
上式恒成立的条件为： ，由于关于 的函数 单调递减，所以， .
说明：本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
当且仅当 时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为
由此实际问题知， 所以tanBPC最大时，∠BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大。
专题小结
求解数学应用题的突破口在于阅读与转译．我们可以从容量大，涉及知识点多，划分好层次是审题的关键；
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有 =0.99,解得x=19.
由 得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程:
A. B. C. D.
3．（2006年陕西卷）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文 对应密文 例如，明文 对应密文 当接收方收到密文 时，则解密得到的明文为（C）
（A） （B） （C） （D）
4．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
（A） （B） （C） （D）
2．（2006年天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 20吨．
3．（2004福建）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去
一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。
一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方
法有.（以数字作答）120
三．计算题
13．某集团公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t（百万元），可增加销售额约为－t2+5t（百万元）（0≤t≤5）．
（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大?
问题4三角、几何应用题
例4．（2005天津卷）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线 上， 与水平地面的夹角为a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）
（2）领会关键词语．领会定义的内涵和外延是解决问题的关键；
（3）重视条件转译．准确的条件转译是解应用题分析联想转化的关键步骤，也是分步解应用题踩点得分原则的具体体现．注意将条件公式化、符号化，使条件和结论相互靠拢；与图形有关的应用题注意数形结合；
（4）弄清题图联系．分清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节．
（A） （B）
（C） （D）
7．（2006年四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料 和原料 分别为 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为 元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润 最大的数学模型中，约束条件为（C）
（A） （B） （C） （D）
8．（2006年北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 的机动车辆数如图所示(20，30；35，30；55，50)，图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则( C )
11．（2004浙江）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有____5______种（用数字作答）.
12．(2003江苏)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种
解：设2001年末汽车保有量为 万辆，以后各年末汽车保有量依次为 万辆， 万辆，……，每年新增汽车 万辆，则
，
所以，当 时， ，两式相减得：
（1）显然，若 ，则 ，即 ，此时
（2）若 ，则数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，所以， .
（i）若 ，则对于任意正整数 ，均有 ，所以， ，此时，
（ii）当 时， ，则对于任意正整数 ，均有 ，所以， ，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
（A） （B）
（C） （D）
二．填充题
9．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.
10．（2006天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 20吨。
（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为－x3+x2+3x（百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大?（注：收益=销售额－投入）
14．(2005上海)假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
问题3解析几何应用题
例3某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出．已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3元，问应如何安排生产计划，才能获得最大利润？
（2） ，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.
当 时， ；当 ，
（3）令 ，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
问题2数列应用题
例2．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
【临阵磨枪】
一．选择题
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（B）
A. 511个B. 512个C. 1023个D. 1024个
2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（C）
分析：本小题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力。