2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷(二十二)数学

2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（二十二）

数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷(共60分)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

I ．下列与角

94

π

的终边相同的角的表达式中正确的是 A ．()245k k Z π+∈ B ．()93604k k Z π

?+∈

C ．()360315k k Z ?-∈

D ．()54

k k Z π

π?+∈

2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，24612a a a ++=，则7S 等于 A ．20

B ．28

C ．36

D ．4

3．函数()()1sin 0f x x x π=+-在，2上是 A ．增函数

B ．减函数

C ．在()0π，上增，在()2ππ，上减

D ．在()0π，上减，在()2ππ，上增

4．已知()1

sin 34

απα+=-，且为第二象限角，则cos α等于

A ．3

-

B ．

3

C ．4

-

D ． 5．函数()3sin x x

x x

f x e e -+=+的图象大致是

6．已知函数()y f x =满足()()12f x f x +=，且()()5334f f =+，则()4f 等于 A ．一16

B ．8

C ．4

D ．2

7．已知定义域为R 的函数()f x 满足()11,4022

f f x x ??'

=+>

???，其中()()f x f x '为的导函数，则不等式()sin cos20f x x -≥的解集为 A ．2,2,33k k k Z ππππ??

-

++∈????

B ．2,2,66k k k Z ππππ??

-

++∈????

C ．22,2,33k k k Z ππππ??

++∈?

???

D ．52,2,66k k k Z ππππ??

++∈?

???

8．若不等式()

[]sin 01,16x a b x x ππ?

?

--+≤∈- ??

?

对上恒成立，则a b +等于 A ．

23

B ．

56

C ．1

D ．2

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．如果函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则以下关于函数()y f x =的判断错误的是

A ．在区间(2，4)内单调递减

B ．在区间(2，3)内单调递增

C ．3x =-是极小值点

D ．4x =是极大值点 10．关于函数()()4sin 23f x x x R π?

?

=+∈ ??

?

有下列命题，其中正确的是

A ．()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数

B ．()y f x =的表达式可改写为()4cos 26f x x π??=- ??

? C ．()y f x =的图象关于直线6

x π

=

对称

D ．()y f x =的图象关于点,06π??- ???

对称

11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是 A ．数列{}

2

n a 是等比数列 B ．若372,32a a ==，则58a =±

C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列

D ．若数列{}n a 的前n 项和1

3

1n n S r r -=+=-，则

12．已知不等式1x

e x x R ≥+?∈对恒成立．以下命题中真命题是

A ．对x R ?∈，不等式1x

e

x -≥-恒成立

B ．对()0,x ?∈+∞，不等式()ln 1x x +<恒成立 C. 对()0,x ?∈+∞，且1x ≠，不等式ln 1x x <-恒成立 D. 对()0,x ?∈+∞，且1x ≠，不等式

()ln 11ln 11

x x

x x x ++>

+-恒成立

第II 卷(共90分)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知定义在R 上的()f x 函数满足()()3f x f x +=，且()23f =，则()2021f 的值为____________.

l4．设ABC ?的内角A ，B ，C 所对边的长分别为,,a b c ．若2,3sin 5sin b c a A B +==，则最大角的余弦值为_____________．

15．已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点12,x x ，把122x x -、、三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为()f x =_____ _______________.

16．若存在直线()y h x =，对于函数()()2

ln ,2

x f x e x ax g x x =-=-，使得对任意的()()()0,,x h x f x ∈+∞≥，对任意的()(),x R g x h x ∈≥，则a 的取值范围是_________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)

在(1) m a ，(2) m S 中任选一个，补充在下面问题中，

问题：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，72849,18S a a =+=，若317S a 、、______成等比数列，求3m S .

18．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xoy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，

它的终边过点3

4,55P ??--

???

． (1)求sin 3πα??

+

??

?

的值： (2)若角β满足()5

sin 13

αβ+=

，求cos β的值．

19．(本小题满分12分)

某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm .由检验知该地下车库一氧化碳浓度()y ppm 与排气时间t(分钟)之间存

在函数关系12mt

y c ??

= ???

(,c m 为常数)．

(1)求c ，m 的值；

(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?

20．(本小题满分l2分)

已知ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，其面222

4

b c a S +-=．

(1)若6a =

，2b =，求cos B ．

(2)求()()sin sin cos cos A B B B B A +++-的最大值．

21．(本小题满分l2分)

某工厂去年l2月试产1050个高新电子产品，产品台格率为90％，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按照去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产照都在前一个月的基础是提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内?并用所学数列知识，加 以说明理由．

附表：(可能用到的数据)

22．(本小题满分12分) 已知函数()(

)2x

f x x e

a =-

(1)若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值 (2)若()1ln f x x x a ≥++，求的取值范围

数学试题参考答案

一、单项选择题：C B A D A B D B

多项选择题：9：AC 10.BD 11.AC 12.ABCD 二、填空题 13.3 14.1

2

-

15.()254f x x x =-+ 16.[)1,+∞

8.解：法一：由题意可知：

当15,,sin 0666x x ππ???

?

∈-+≥ ???????，

当151,,1,sin 0666x x ππ?????

?

∈--?+≤ ??????????

?，

故当1515,,01,,1,06666

x x a b x x a b ???

???∈---≤∈--?--≥?????????

???

，当， 即有510653

1

61026

a b a a b b a b ??--==??????+=?

???=---=????； 法二：由sin 6x ππ?

?

+

??

?

右图像可得： 显然有5106531

61026

a b a a b b a b ??

--==??????+=??

??=---=????， 15.解：函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点12,x x ， 可得121212,,x x a x x b x x +=-=>0,>0且，

122,x x -和三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，

可得()2

1224x x b =-==，

再设122,,x x -为等差数列，可得1222x x =-，

代入韦达定理可得12222,33

a a

x x ---==

， 即有

222.4533

a a

a ---==-，解得（4舍去）

，

则()254f x x x =-+.故答案为：()254f x x x =-+. 16.解：设直线y kx b =+满足题意.

（i ）由()22

1022

x x x kx b k x b -≥+-+-≥，即对任意的x R ∈都成立，得()

2

120k b ?=++≤，

所以()2

102

k b +≤-≤，

（ii ）令()()ln F x e x a k x b =-+-，

()()()e a k x e

F x a k x x

-+'=

-+=， ①若()()00,a k F x F x '+≤>，则单调递增，()()0F e e a k e b =-+->，不合题意； ②若()00e a k F x a k ?

?+> ?+??，则在，

上单调递增，在,e a k ??

+∞ ?+??

上单调递减，

所以()()max ln ln e e F x F e e b e a k b a k a k ??==--=-+-

?

++??

， 所以()()ln 0ln e a k b e a k b -+-≤+≥-，即， 由（i ）得()()

()2

2

121ln 2

k e

k e a k a k e

+++≥

≥-+，即，

令()()()()2

2

11221

,1k k e

e

k k k e

k e

e

??+++'=-+=-+?

， ()()()()2

2

2

112211

0k k e

e

k k e

e

k e e

??+++??'''=?+?> ???

，所以单调递增，

又因为)()()101x ??'

=-∞，所以在是单调递减，)

1,-+∞是单递增，

所

以())

[)min 111,x a ??==∈+∞，所以.

三、解答题：

17.解：设等差数列{}n a 的公差为,n d S 为等差数列{}n a 的前n 项和，749,S =

2818a a +=，

744528574979

218S a a a a a a ===??∴???=+==??，解得：2d =. ()4421n a a n d n ∴=+-?=-

()

21212

n n n S n +-=

=……………………………………………………………………5分

若选：（1）

317,,m S a a 成等比数列，22317933m m S a a a ∴==，即，

所以()29213361m m -==解得.………………………………………………………8分 故2

318318333489m S S ===……………………………………………………………10分 若选：（2）

317,,m S a S 成等比数列，222317933m S S a m ∴==，即，

解得11m =.………………………………………………………………………………8分 故2

333331089m S S ===………………………………………………………………10分 18.解（1）由题意知角α的终边经过点3

4,55P ??--

???

，

则1OP ==，

由三角函数的定义，可得43

sin ,cos 55

αα=-=-，……………………………………3分

所以1

143sin sin 32255πααα?

?????+

=+=?--= ? ? ?

?

?????6分 （2）因为()5

sin 13

αβ+=

， 所以()

12cos 13αβ+===±，……………………8分

又因为()βαβα=+-，

所以()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，

当()1256

cos cos 1365αββ+=

=-时，； 当()1216

cos cos 1365

αββ+=-=

时，；

综上所述，当5616

cos cos 6565

ββ=-=或………………………………………………12分 19.解（1）由题意可列方程组4816421322m

m

c c ???=? ????

????= ?????

两式相除，解昨128,

1.4c m =???=??……………6分 （2）由题意可列不等式1

4

11280.52t ??

≤

???

， 所以1

8

4

1118224t t ????

≤≥ ? ?????

，即，解得32t ≥.…………………………………………10分

故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态…………12分

20.解（1）因为三角形面积为222

1sin 24

b c a S bc A +-==，

所以222sin cos 24

b c a A A A bc π

+-=

==，解得，………………………………………3分

因为a b =

=sin sin a b

A B

=

，

所以sin sin b A

B a

=

==，

因为a b A B >>，所以，所以B 为锐角，

所以cos 6

B =

…………………………………………………………………………6分 （2）由（1）知4

A π

=

，所以

()()sin sin cos cos A B B B B A +++-

sin sin cos cos 44B B B B ππ???

?=+++- ? ????

?，

cos sin cos cos 2222

B B B B B B =

++++，

)sin cos sin cos B B B B =++，……………………………………………………9分令

sin cos 4t B B B π?

?=+=+ ??

?，

因为30,

,,4

44B B ππππ?

???∈+∈ ?

??

???

，

所以(](

sin 0,14B t π?

?

+

∈∈ ??

?

，所以……………………………………………10分

原式(222

111

3

2222

2

t t t -+=+-=+-，

当4

t B π

==

时，原式取得最大值

5

2

.………………………………………………12分 21.解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，{}{},n n a b 由题意，知

11050 1.05n n a -=?

()190%0.4%10.1040.004n b n n =-+-=-????，其中1,2,,24n =???，

则从今年1月起，各月不合产品数量是

()11050 1.050.1040.004n n n a b n -=??-

()1.051044n n =?-………………………………4分

又由：

()(]111 1.0510441 1.051044n n n n n n a b a b n n +++-=?-+-?-????

()51.0510.2 1.055

n n n

n -=?-=?

所以当6n ≤时，{}n n a b 是递增数列，

当{}6n n n a b ≥时，是递减数列，…………………………………………………………8分 且()11 1.051044105a b =?-=，…………………………………………………………9分 由表计算可知

()121212 1.0510*******.8a b =?-?≈ ()131313 1.0510441398.3100.8a b =?-?≈<

所以，当131********n n n a b a b ≤≤≤<时，…………………………………………11分 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.………………12分

22.解：（1）因为()(

)()()2221x

x f x x e

a f x x e a '=-=+-，所以

设直线()2y x y f x ==与的图像的切点为()11,x y 则()121212x x e a +-=

因为切线既在切线上又在曲线上，所以(

)21

1111

2x

y x e a

y x ??=-??=?

由上述方程解得11,01a x a =-==-故……………………………………………………4分 （2）法一：由题意得()()()221ln 11ln 1x x xe x a x xe x a x ≥+++-+≥+，即 因为()21ln 01x x

x e a x

+>-

≥+，所以 设()()222222

1ln ln 2ln 2x x

x

x x x e x F x e F x e x x x ++'=-=+=，则……………………6分 考察函数()222ln x h x x e x =+ 因为()()()()21

4100x h x xe x h x x

=++>+∞，所以在，单调递增 又()

()12

22210120h e e h e e --=

-<=>，且 所以存在01,1x e ??∈ ???

，使得()0

2200002ln 0x h x x e

x =+=，即

所以当()()()()00,,0,0,x x h x F x F x '∈<<时单调递减； 当()()()()0,0,x x h x F x F x '∈+∞>0,>时，单调递增 所以()()0

20

0min 0

1ln x x F x F x e

x +==-

由题意得，()0

22

0010x a F x x e

t t +≤=>令，则，取对数得0022ln ln x x t +=

由0

220002ln 02ln 0x x e

x t x +=+=，得

由此得002ln 2ln x x t t +=+

设函数()()()02ln ,x x x x t ???=+=则有 因为()()2ln 0x x x ?=++∞在，上单调递增

所以000ln 2x t x x ==-，即……………………………………………………………10分

所以()0

200

0000

1ln 112212x x x F x e

a x x x +-=-

=-=+≤，故， 解得1a ≤故的取值范围是(],1-∞………………………………………………………12分 法二：放缩法

先证()()111x x x e x F x e x F x e '≥+=--=-令，则 当()()(),00,x F x F x '∈-∞<时，单调递减； 当()()()0,0,x F x F x '∈+∞>时，单调递增

所以()()00,1x F x F e x ≥=≥+即……………………………………………………6分 由()(

)21ln 1ln x

f x x x x e

a x x ≥++-≥++得

因为221ln ln 1

0,1x x

x xe x x x a e x x +--->≤--=得………………………………8分 又因为

2ln 2ln 1ln 1ln 21ln 11x x x xe x x e x x x x x x x x x

+------++---=≥= 所以1a ≤…………………………………………………………………………………12分。