2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷(二十二)数学
2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷(十三)数学
2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（十三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I ．下列与角94π的终边相同的角的表达式中正确的是 A ．()245k k Z π+∈ B ．()93604k k Z π⋅+∈C ．()360315k k Z ⋅-∈D ．()54k k Z ππ⋅+∈2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，24612a a a ++=，则7S 等于 A ．20B ．28C ．36D ．43．函数()()1sin 0f x x x π=+-在，2上是 A ．增函数B ．减函数C ．在()0π，上增，在()2ππ，上减D ．在()0π，上减，在()2ππ，上增4．已知()1sin 34απα+=-，且为第二象限角，则cos α等于 A ．223-B ．223C ．24-D ．15-5．函数()3sin x xx xf x e e -+=+的图象大致是6．已知函数()y f x =满足()()12f x f x +=，且()()5334f f =+，则()4f 等于 A ．一16B ．8C ．4D ．27．已知定义域为R 的函数()f x 满足()11,4022f f x x ⎛⎫'=+>⎪⎝⎭，其中()()f x f x '为的导函数，则不等式()sin cos20f x x -≥的解集为 A ．2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8．若不等式()[]sin 01,16x a b x x ππ⎛⎫--+≤∈- ⎪⎝⎭对上恒成立，则a b +等于 A ．23B ．56C ．1D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．如果函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则以下关于函数()y f x =的判断错误的是A ．在区间(2，4)内单调递减B ．在区间(2，3)内单调递增C ．3x =-是极小值点D ．4x =是极大值点10．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中正确的是A ．()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =的表达式可改写为()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()y f x =的图象关于直线6x π=对称D ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是 A ．数列{}2n a 是等比数列 B ．若372,32a a ==，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 项和131n n S r r -=+=-，则12．已知不等式1xe x x R ≥+∀∈对恒成立．以下命题中真命题是 A ．对x R ∀∈，不等式1xex -≥-恒成立B ．对()0,x ∀∈+∞，不等式()ln 1x x +<恒成立 C. 对()0,x ∀∈+∞，且1x ≠，不等式ln 1x x <-恒成立 D. 对()0,x ∀∈+∞，且1x ≠，不等式()ln 11ln 11x xx x x ++>+-恒成立第II 卷(共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知定义在R 上的()f x 函数满足()()3f x f x +=，且()23f =，则()2021f 的值为____________.l4．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为,,a b c ．若2,3sin 5sin b c a A B +==，则最大角的余弦值为_____________．15．已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点12,x x ，把122x x -、、三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为()f x =_____ _______________.16．若存在直线()y h x =，对于函数()()2ln ,2x f x e x ax g x x =-=-，使得对任意的()()()0,,x h x f x ∈+∞≥，对任意的()(),x R g x h x ∈≥，则a 的取值范围是_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)在(1) m a ，(2) m S 中任选一个，补充在下面问题中，问题：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，72849,18S a a =+=，若317S a 、、______成等比数列，求3m S .18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭． (1)求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值： (2)若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值．19．(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm .由检验知该地下车库一氧化碳浓度()y ppm 与排气时间t(分钟)之间存在函数关系12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,c m 为常数)．(1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?20．(本小题满分l2分)已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，其面2224b c a S +-=．(1)若6a =，2b =，求cos B ．(2)求()()sin sin cos cos A B B B B A +++-的最大值．21．(本小题满分l2分)某工厂去年l2月试产1050个高新电子产品，产品台格率为90％，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按照去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产照都在前一个月的基础是提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内?并用所学数列知识，加 以说明理由．附表：(可能用到的数据)22．(本小题满分12分) 已知函数()()2xf x x e a =-(1)若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值 (2)若()1ln f x x x a ≥++，求的取值范围数学试题参考答案一、单项选择题：C B A D A B D B多项选择题：9：AC 10.BD 11.AC 12.ABCD 二、填空题 13.3 14.12-15.()254f x x x =-+ 16.[)1,+∞8.解：法一：由题意可知：当15,,sin 0666x x ππ⎡⎤⎛⎫∈-+≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当151,,1,sin 0666x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈--⋃+≤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，故当1515,,01,,1,06666x x a b x x a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈---≤∈--⋃--≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当， 即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭右图像可得： 显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩， 15.解：函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点12,x x ， 可得121212,,x x a x x b x x +=-=>0,>0且，122,x x -和三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，可得()21224x x b =-==，再设122,,x x -为等差数列，可得1222x x =-， 代入韦达定理可得12222,33a ax x ---==，即有222.4533a aa ---==-，解得（4舍去）， 则()254f x x x =-+.故答案为：()254f x x x =-+. 16.解：设直线y kx b =+满足题意.（i ）由()221022x x x kx b k x b -≥+-+-≥，即对任意的x R ∈都成立，得()2120k b ∆=++≤，所以()2102k b +≤-≤，（ii ）令()()ln F x e x a k x b =-+-，()()()e a k x eF x a k x x-+'=-+=， ①若()()00,a k F x F x '+≤>，则单调递增，()()0F e e a k e b =-+->，不合题意； ②若()00e a k F x a k ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，则在，上单调递增，在,e a k ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减，所以()()max ln ln e e F x F e e b e a k b a k a k ⎛⎫==--=-+-⎪++⎝⎭， 所以()()ln 0ln e a k b e a k b -+-≤+≥-，即，由（i ）得()()()22121ln 2k e k e a k a k e +++≥≥-+，即， 令()()()()2211221,1k k eek k k ek eeϕϕ+++'=-+=-+⋅， ()()()()2221122110k k eek k ee k e eϕϕ+++⎛⎫'''=⋅+⋅> ⎪⎝⎭，所以单调递增，又因为)()()101x ϕϕ'=-∞，所以在是单调递减，)1,+∞是单递增，所以())[)min 111,x a ϕϕ==∈+∞，所以.三、解答题：17.解：设等差数列{}n a 的公差为,n d S 为等差数列{}n a 的前n 项和，749,S =2818a a +=，744528574979218S a a a a a a ===⎧⎧∴⇒⎨⎨=+==⎩⎩，解得：2d =. ()4421n a a n d n ∴=+-⨯=- ()21212n n n S n +-==……………………………………………………………………5分若选：（1）317,,m S a a 成等比数列，22317933m m S a a a ∴==，即，所以()29213361m m -==解得.………………………………………………………8分故2318318333489m S S ===……………………………………………………………10分若选：（2）317,,m S a S 成等比数列，222317933m S S a m ∴==，即，解得11m =.………………………………………………………………………………8分故2333331089m S S ===………………………………………………………………10分18.解（1）由题意知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭，则1OP ==，由三角函数的定义，可得43sin ,cos 55αα=-=-，……………………………………3分所以1143sin sin 32255πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……6分 （2）因为()5sin 13αβ+=， 所以()12cos 13αβ+===±，……………………8分又因为()βαβα=+-，所以()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，当()1256cos cos 1365αββ+==-时，； 当()1216cos cos 1365αββ+=-=时，；综上所述，当5616cos cos 6565ββ=-=或………………………………………………12分 19.解（1）由题意可列方程组4816421322mmc c ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩两式相除，解昨128,1.4c m =⎧⎪⎨=⎪⎩……………6分 （2）由题意可列不等式1411280.52t ⎛⎫≤⎪⎝⎭， 所以1841118224t t ⎛⎫⎛⎫≤≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，解得32t ≥.…………………………………………10分故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态…………12分20.解（1）因为三角形面积为2221sin 24b c a S bc A +-==，所以222sin cos 24b c a A A A bc π+-===，解得，………………………………………3分因为a b ==sin sin a bA B=，所以sin sin b AB a===，因为a b A B >>，所以，所以B 为锐角，所以cos 6B =…………………………………………………………………………6分 （2）由（1）知4A π=，所以()()sin sin cos cos A B B B B A +++-sin sin cos cos 44B B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 2222B B B B B B =++++，)sin cos sin cos B B B B ++，……………………………………………………9分令sin cos 4t B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为30,,,444B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以(](sin 0,14B t π⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭，所以……………………………………………10分原式(222111322222t t t -+=-=+-，当4t B π==时，原式取得最大值52.………………………………………………12分 21.解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，{}{},n n a b 由题意，知11050 1.05n n a -=⨯()190%0.4%10.1040.004n b n n =-+-=-⎡⎤⎣⎦，其中1,2,,24n =⋅⋅⋅，则从今年1月起，各月不合产品数量是()11050 1.050.1040.004n n n a b n -=⨯⨯-()1.051044n n =⨯-………………………………4分又由：()(]111 1.0510441 1.051044n n n n n n a b a b n n +++-=⨯-+-⨯-⎡⎤⎣⎦()51.0510.2 1.055n n nn -=⨯-=⨯所以当6n ≤时，{}n n a b 是递增数列，当{}6n n n a b ≥时，是递减数列，…………………………………………………………8分 且()11 1.051044105a b =⨯-=，…………………………………………………………9分 由表计算可知()121212 1.0510*******.8a b =⨯-⨯≈ ()131313 1.0510441398.3100.8a b =⨯-⨯≈<所以，当131********n n n a b a b ≤≤≤<时，…………………………………………11分 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.………………12分22.解：（1）因为()()()()2221x x f x x e a f x x e a '=-=+-，所以设直线()2y x y f x ==与的图像的切点为()11,x y则()121212x x e a +-=因为切线既在切线上又在曲线上，所以()2111112x y x e ay x ⎧⎪=-⎨⎪=⎩由上述方程解得11,01a x a =-==-故……………………………………………………4分（2）法一：由题意得()()()221ln 11ln 1x x xe x a x xe x a x ≥+++-+≥+，即 因为()21ln 01x x x e a x +>-≥+，所以 设()()2222221ln ln 2ln 2x x x x x x e x F x e F x e x x x ++'=-=+=，则……………………6分 考察函数()222ln x h x x e x =+因为()()()()214100x h x xe x h x x =++>+∞，所以在，单调递增 又()()1222210120h e e h e e--=-<=>，且 所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02200002ln 0x h x x e x =+=，即所以当()()()()00,,0,0,x x h x F x F x '∈<<时单调递减；当()()()()0,0,x x h x F x F x '∈+∞>0,>时，单调递增所以()()0200min 01ln x x F x F x e x +==- 由题意得，()0220010x a F x x et t +≤=>令，则，取对数得0022ln ln x x t += 由0220002ln 02ln 0x x e x t x +=+=，得由此得002ln 2ln x x t t +=+设函数()()()02ln ,x x x x t ϕϕϕ=+=则有因为()()2ln 0x x x ϕ=++∞在，上单调递增所以000ln 2x t x x ==-，即……………………………………………………………10分所以()020000001ln 112212x x x F x e a x x x +-=-=-=+≤，故， 解得1a ≤故的取值范围是(],1-∞………………………………………………………12分 法二：放缩法先证()()111x x x e x F x e x F x e '≥+=--=-令，则当()()(),00,x F x F x '∈-∞<时，单调递减；当()()()0,0,x F x F x '∈+∞>时，单调递增所以()()00,1x F x F e x ≥=≥+即……………………………………………………6分 由()()21ln 1ln x f x x x x ea x x ≥++-≥++得 因为221ln ln 10,1x x x xe x x x a e x x+--->≤--=得………………………………8分 又因为2ln 2ln 1ln 1ln 21ln 11x x x xe x x e x x x x x x x x x+------++---=≥= 所以1a ≤…………………………………………………………………………………12分。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二)文科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =+-<，集合{|1}B x x =>，则()RA B ⋂=（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(1,2)D ．(2,)+∞2.已知复数sin2019cos2019z i =︒+︒，则复平面表示z 的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(3,2)a =，(4,6)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．512π D ．2π4.《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的直观想象素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数据分析素养C．乙的数学建模素养与数学运算素养一样D．乙的六大素养整体水平低于甲5.如图：本次考试成绩查询二维码是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．4 B．5 C．8 D．96.已知圆22:(2)16M x y+-=，过点(23,2)P作圆M的弦AB，则弦长AB的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．37.已知数列{}n a的通项公式2812na n n=-+-，前n项和为nS，若n m>，则n mS S-的最大值是（）A .5 B．10 C．15 D．208.函数221,0()log,0x xf xx x-⎧-≤=⎨>⎩，满足()1f x<的x的取值范围（）A．(1,2)-B．(1,)-+∞C ．{|0x x >或2}x <-D ．{|2x x >或1}x <-9.若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且21cos sin 4αα-=，则tan α的值等于（ ）A ．33-B ．33C ．3D ．3- 10.设,A B 是椭圆22:14x y C k+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足120BPB ∠=︒，则k 的取值范围是（ ）A ．(0,1][16,)⋃+∞B ．10,[8,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．10,[16,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(0,1][8,)⋃+∞11.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()f x f x '<，则不等式4(1)(23)x e f x e f x ⋅+<⋅-的解集是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(4,)+∞D ．(,4)-∞12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．17]二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13.已知数列{}n a 为等差数列，652a a -=，1121a =，若169k S =，则k =______.14.已知向量a 、b 满足||22a =，且b 与b a -的夹角等于4π，则||b 的最大值为______. 15.已知函数()cos2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.16.已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1y x k=交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下： （1）根据以上提供的信息，完成22⨯列联表，并完善等高条形图；选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 260 总计6001000（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8416.6357.87910.82818.已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，2414a a +=且21a -，31a +，47a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列16n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .19.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，3b =，(2)cos cos 0c a B b C -+=.（1）求角B 的大小； （2）求a c +的取值范围.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，7PA PD ==，Q F 、分别为AD AB 、的中点，PFAC ⊥.（1）求证：面POF ⊥面ABCD ； （2）求三棱锥B PCF -的体积. 21.已知函数()(ln )xf x a x x xe =+-.（1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()0f x <在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，求函数()f x 的极大值.22.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线，切点为,A B .（1）求证：直线AB 过焦点F ；（2）若||8PA =，||6PB =，求||PF 的值.高三文科数学参考答案一、选择题（共12小题）1.A 【解析】解：{|32}A x x =-<<，{|3RA x x =-或2}x ，(){|2}[2,)RA x x ==+∞.故选：A.2.C 【解析】解：由sin2019sin2190︒=︒<，cos2019cos2190︒=︒<，故选：C.3.D 【解析】解：0a b ⋅=；a b ∴⊥；a ∴与b 的夹角为2π.故选：D. 4.C 【解析】解：对于A 选项，甲的直观想象素养为4分，乙的直观想象素养为5分，即甲的直观想象素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数据分析素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的数学建模素养为4分数学运算素养为4分，故选项C 正确， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 错误，故选：C.5.B 【解析】解：由题意在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，则其中落入黑色部分的有1210个点，由随机模拟试验可得12102178S S =黑正，又9S =正，即5S ≈黑，故选：B.6.A 【解析】解：圆心坐标为(0,2)过最短弦AB在的直线斜率为x =，则min ||4AB =.故选：A.7.B 【解析】解：根据题意，数列{}n a 的通项公式是2812n a n n =-+-，其前n 项和是n S ，有12n m n n m S S a a a ++-=++⋯+， 即当12n n m a a a ++++⋯+最大时，n m S S -取得最大值；若28120n a n n =-+-，且n N +∈，解可得：26n ≤≤，即当26n 时，n a 的值为正.即当6n =，2m =时，623456343010S S a a a a -=+++=+++=， 此时n m S S -取得最大值10.故选：B. 8.A 【解析】解：当0x ≤时，()1f x <即211x--<，1222x -<=，1x ∴-<，10x -<≤，当0x >时，()1f x <即2log 1x<，02x <<，综上，12x -<<，故选：A. 9.A 【解析】解：由21cos sin 4αα-=，得()241sin 4sin 10αα---=，即24sin4sin 30αα+-=，解得1sin 2α=或3sin 2α=-（舍）.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，56πα∴=，5tan tan 6πα∴==.故选：A. 10.A 【解析】解：分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况： ①04k <<时，C 上存在点P 满足120APB ∠=︒，假设M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠≥︒，60AMO ∠≥︒，1cos cos602AMO ∠=≤︒=，解得01k <≤. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，4k >，同理可得16k ≥，k ∴的取值范围是(0,1][16,)⋃+∞，故选A.1l.D 【解析】解：不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-等价为123(1)(23)x x f x f x e e +-+-<， 构造函数()()x f x r x e =，则()()()xf x f x r x e'-'=，又有已知()()f x f x '<， ()0r x '∴<，即()r x 在R 上是减函数，由于123(1)(23)x x f x f x e e+-+-<，可得123x x +>-，解得4x <，即不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-的解集是(,4)-∞，故选：D.12.A 【解析】解：取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，则平面CMN平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1C P平面CMN ，P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足1AN NA =，221max11345C P C E C F∴===+=，5EF=，2221min125(22)17C P PO C E EO==-=-=.∴线段1C P长度的取值范围是[17,5].故选：A.二、填空题（共4小题）13.13 【解析】解：设等差数列{}n a的公差为d，则根据652a a-=，1121a=得：121021da d=⎧⎨+=⎩；2d∴=，11a=；又169kS=；(1)169k k k∴+-=；解得13k=.故答案为：13.14.4 【解析】解：向量a、b满足||2a=，且b与b a-的夹角等于4π，如图在OAB△中，令OA a=，OB b=，可得4OBAπ∠=可得点B在半径为R的圆上，2224sinRA==，2R=.则||b的最大值为24R=15.14【解析】解：2()cos2sin2sin sin1f x x x x x=+=-++令sin x t=，则[1,1]t∈-故2()21f x t t=-++，[1,1]t∈-故14t=时，即11sin4x=时，()f x取得最大值，1t=-时，即2sin1x=-时，()f x取得最小值.()121cos4x x∴+=.16.2 【解析】解：联立A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩同理Bam x b ka =- 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩2A B N x x x ∴+=故221am am mk b ka b ka k -+=+--整理解之得：221b a =故2212b e a=+=17.【解析】解：（1）根据题意填写列联表如下，选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 420 320 740 数学成绩不优秀 180 80 260 总计6004001000完善等高条形图，如图所示；（2）计算222()1000(42080180320)12.474 3.841()()()()600400740260n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关. 18.【解析】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由2414a a +=，得3214a =，37a ∴=. 由21a -，31a +，47a +成等比数列，得()()()2324117a a a +=-+，即2(71)(6)(14)d d +=-⋅+，解得2d =或10d =-.又数列{}n a 是单调递增的等差数列故0d >，10d ∴=-（舍去）数列{}n a 的通项公式为2(2)21n a a n d n =+-⋅=+. （2）166113(21)(23)2123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭111111112333557212332323n n S n n n n ⎛⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-= ⎪++++⎝⎭⎝. 19.【解析】解：（1）根据题意，(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅-⋅= 变形可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅=⋅+2sin cos sin()A B B C ∴⋅=+在ABC △中，sin()sin B C A +=2sin cos sin A B A ∴⋅=，即1cos 2B =， 则3B π=；（2）根据题意，由（1）可得3B π=，sin 2B =，又由正弦定理2sin b R B ==，22R ∴=2sin 2sin a R A A ==，2sin 2sin c R C C ==；232(sin sin )2sin sin 2sin 326a c A C C C C C C ππ⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=+=+⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦又由203C π<<，则5666C πππ<+<， 则有1sin 126C π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 23a c <+.20.【解析】解：（1）连接BD ，如图所示； 由四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，又O F 、分别为AD AB 、的中点，所以OF BD ，所以AC OF ⊥；又PF AC ⊥，OF F F =，所以AC ⊥平面POF ；又AC ⊂平面ABCD ，所以平面POF ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，AC ⊥平面POF ，AC PO ∴⊥；又PO AD ⊥，AD AC A ⋂=，PO ⊥平面BCF ，223PO PA AO =-=在菱形ABCD 中，F 为AB 的中点，60DAB ∠=︒，所以2BF =，120FBC ∠=︒，4BC =，所以FBC △的面积为124sin120232FBC S =⨯⨯⨯︒=△； 所以三棱锥B PCF -的体积为 11233233FBC B PCF P BCF V V S PO --==⋅⋅=⨯=△三棱锥三棱锥. 21.【解析】解：（1）当0a =时，()x f x xe =-，()(1)x f x x e '=-+，(1)f e ∴=-，(1)2f e '=-∴切线方程为2(1)y e e x +=-⋅- 即20ex y e +-=（2）由()(1)1()1(1)(1)x x x a xe f x a x e x x x +-⎛⎫'=+-+=≥ ⎪⎝⎭ （1）a e ≥时，(1)0f a e =-≥，与()0f x <在[1,)+∞上恒成立矛盾，故a c ≥不符合题意.（2）当a e <时，由于1x ≥时，x xe e ≥故0xa xe -<，()0f x '<，()f x ∴在[1,)+∞递减，故max ()(1)0f x f a e ==-<故()0f x <在[1,)+∞上恒成立 a e ∴<符合题意综上可得：实数a 的取值范围是(,)e -∞【注】其他方法酌情给分（3）函数的定义域为(0,)+∞当1a =时，()ln x f x x x xe =+-，()(1)11()1(1)x x x xe f x x e x x +-'=+-+= 令()1x g x xe =-，()(1)0x g x x e '=-+<，则()g x 在(0,)+∞递减.又1102g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，(1)10g e =-<，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得0010x x e -=，即()00f x '= 故当()0|0,x x ∈，()0g x >即()0f x '>，()f x ∴在()00,x 递增. 当()0,x x ∈+∞，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x +∞递减. ()00000()ln x f x f x x x x e ∴==+-极大值又001x x e =，00ln 0x x +=，故0000()ln 1x f x x x x e =+-=-极大值22.【解析】解：设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,P a -设直线()111:PA y y k x x -=- 联立()11124y y k x x y x -=-⎧⎨=⎩消x 得：211114440y y y x k k -+-= 由0∆=得2111110k y k x -+=又2114y x =，故2211111104k y k y -+=故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为：()1112y y x x y -=-即1122yy x x =+ 同理22PB k y =直线PB 的方程为：2222yy x x =+. 又P 在直线PA PB 、上 11222222ay x ay x =-+⎧∴⎨=-+⎩ 故()11,A x y 、()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+.令0y =，得1x =∴直线AB 过焦点F .（2）由（1）知联立2224ay x y x=-+⎧⎨=⎩消x 得：2240y ay --= 故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=- 故直线PA 与直线PB 垂直，从而22||10AB PA PB =+= 又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()2212124y y x x ∴-=-，12121242AB y y k x x y y a -∴===-+ 又0112PF a a k -==---，1PF AB k k ∴⋅=-故PF AB ⊥ 6824||105PF ⨯∴==。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(二十二)英语试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（二十二）英语★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第一部分：听力第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What will the man do next?A.Turn off the TV.B.Study with the woman.C.Watch a movie.2.How old is the woman now?A.20 years old.B.45 years old.C.65 years old.3.What is small for the woman?A.The T-shirt.B.The hat.C.The skirt.4.What does the man mean?A.The film is terrible.B.The film can be seen online.C.The film is worth the money.5.Where does the conversation most probably take place?A.At home.B.At a hospital.C.At a drug store.第二节听下面5段对话或独白。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(六)理科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、单项选择（每题5分，共计60分） 1.已知集合{|,A x x Z =∈且32Z x ⎫∈⎬-⎭，则集合A 中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据整数与整除的方法枚举即可. 【详解】因为32Z x∈-,故23,1,1,3x -=--,即5,3,1,1x =-共四种情况.故集合A 中元素个数为4.故选：D【点睛】本题主要考查了利用整除求解集合中元素的个数问题.属于基础题. 2.设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l”是“lm 且ln ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l ”，则“lm 且l n ”，反之若“l m且ln ”，当m//n 时，推不出“l ”，∴ “l”是“lm 且ln ”的充分不必要条件，选A ．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4512a a +=，则8S 等于（ ） A. 18 B. 36C. 48D. 72【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与求和公式求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,故()()1884584482a a S a a +==+=. 故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的等和性与求和公式,属于基础题. 4.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 22=14y x -B. 22=14x y -C. 22=14y x -D.22=14x y -【答案】C 【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5.若平面向量b 与向量(2,1)a =平行，且25b =，则b =（ ） A. (4,2) B. (4,2)--C. (4,2)或(4,2)--D. (6,3)-【答案】C 【解析】 【分析】求得a 后根据平行向量满足b a λ=求解即可.【详解】由题221a =+=又25b =且平面向量b 与向量a 平行.故2b a =±,即(4,2)b =或(4,2)--. 故选：C【点睛】本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.6.设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ）A. 9-B. 12C. 12-D. 9【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案.【详解】作出不等式对应可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A.23B.35C.12D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m ，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数n ＝55A ＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1424C A ＝48， ∴这个五位数是偶数的概率p ＝m 4821205n ==． 故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题. 8.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A. 1sin2y x = B. 1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】将函数y=sin(x －3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －3π)，再向左平移3π个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3π）－3π)=y=sin(12x －6π)，故选C9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 2B.52C. 22+D. 231+【答案】C 【解析】 【分析】由三视图确定该几何体的直观图，利用三角形面积公式、正方形面积公式得出该几何体表面积．【详解】由题意该几何体的直观图是一个四棱锥构成，如下图所示，则该几何体的表面积为DBC 、DCC 、DB C 、DBB 、正方形BCC B ''的面积之和，即该几何体表面积为1121111221=2222故选C.【点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.10.四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为（ ） A. 3 B. 2C. 1D.12【答案】C 【解析】 【分析】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE,可得O 为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，可得PA 的值. 【详解】解：连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得211822R PC PA ==+324198322PA ππ⋅+=， 解得PA=1, 故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.11.设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若121290,2,3PF F F PF c S ︒∠===△，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）A.2πB.4π C.3π D.6π【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线焦点三角形的面积公式求得b ,再根据2c =求得a ,进而求得渐近线的斜率与夹角即可.【详解】由双曲线焦点三角形的面积公式有212123tan2PF F b S F PF ==∠△得23b =故2221a c b =-=.故渐近线的斜率b k a=±=.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为3π与23π.故双曲线的两条渐近线的夹角为3π. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的焦点三角形面积公式与渐近线的倾斜角与斜率的关系.属于基础题. 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有'()()?tan f x f x x >成立.则有（ ）()()43f ππ>()2cos1(1)6f π>⋅C. 2()()46f ππ<()()63f ππ<【答案】D 【解析】 【分析】 ：先构造()()'·tan y fx f x x =-的原函数()y f x cosx =，由此题意，得出原函数()f x cosx 单增函数，由此判断函数值的大小． 【详解】：先构造()()'·tan y f x f x x =-的原函数，因为x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cosx >，那么在不等式的两边同时乘以cosx不等号不变，()()()()()'cosx cosx '0f x f x tanx f x f x sinx f x cosx ⎡⎤-=-=>⎣⎦'（），所以原函数()()g x f x cosx =单增函数，由此()g g g 1g 643πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 3g 626f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2g 424f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1g 323f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()g 111f cos =，所以 21g g 243242343f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 错 ()()()3g g 11132cos11666f cos f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒<⇒<⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以B 错32g g 266462446f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 错 故选D ．【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.【答案】sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当6x π=时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，111261,34A T πππ-===，所以2ω=，当6x π=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6f x x π=+.点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.14.设S n 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-,则63S S =________. 【答案】12【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式求得3q ，再运用等比数列的前n 项和公式，表示()3631S S q=+，可得值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则36312a q a ==-,又()()()()61363331111111a q S a q qSq q q-+=--==+-，所以363111122S q S =+=-=, 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前n 和公式，注意在运用公式时应用整体代入法，属于基础题.15.抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为______.【答案】 【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M 纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M 到坐标原点的距离即可. 【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=，可得OM ==故答案为．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2b Ac a =-． （1）求B ；（2）若c =cos 10A =，求ABC 的面积． 【答案】（1）4π；（2）2 【解析】分析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理的推论可把cos b A c = 边化成角得sin cos sin B A C A =，用诱导公式变形为sin cos sin()B A A B A =+，再用两角和的正弦公式变形化简可得cos sin 02B A A -=，化简可得cos 2B =，进而求得4B π=．（2）由(1)的结论4B π=和条件10c A ==，要求三角形的面积，应先求一条边．所以应由正弦定理求一条边．先由cos A =，(0,)2A π∈ ，求得sin 10A === ．再由sin sin()C AB =+和两角和的正弦公式求得4sin sin()sin cos cos sin =+=1021025C A B A B A B =+=+．再由正弦定理可得sin 254sin 5c Bb C===．进而用三角形的面积公式可得11sin 5222ABC S bc A ∆==⨯⨯=．详解：(1)在ABC ∆中，因为cos 2b A c =-，所以sin cos sin B A C A =-．所以sin cos sin()2B A A B A =+-，化简可得cos sin 02B A A -= ． 因为sin 0A ≠，所以cos 2B = ． 因为(0,)2B π∈ ，所以4B π=．（2）因为cos A =，(0,)2A π∈ ，所以sin10A===．因为4Bπ=所以4 sin sin()sin cos cos sin=5C A B A B A B=+=+在ABC∆中，由正弦定理可得sin254sin5c BbC===．所以11sin522210ABCS bc A∆==⨯⨯=ABC∆的面积为2.点睛：（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积；（2）知ABC∆的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；18.已知数列{}n a的前n项和为n S，(1)n nS na n n=+-（其中2n≥），且5a是2a和6a的等比中项.（1）证明：数列{}n a是等差数列并求其通项公式；（2）设11nn nba a+=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析，132na n=-；（2）nT=12122nn-.【解析】【分析】(1)根据通项n a与前n项和n S的关系求出关于n a的递推公式,再根据5a是2a和6a的等比中项利用基本量法求解首项即可.(2)根据(1)中可得132na n=-,再根据裂项相消求和即可.【详解】（1）由(1)n nS na n n=+-得11(1)(1)n nS n a n n++=+++,所以11(1)2n n n nS S n a na n++-=+-+,又11n n nS S a++-=所以12n n na na n +=+,故12n n a a +-=-.故数列{}n a 是公差为2-的等差数列,且5a 是2a 和6a 的等比中项,即2526a a a =,得()()()21118210a a a -=--,解得111a =,所以132n a n =-. （2）由题得111112132112n n n b a a n n +⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭, 121111111211997132112n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11121111212122nn n⎛⎫=--= ⎪--⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了根据通项与前n 项和的关系证明等差数列的方法,同时也考查了等比中项的运用与裂项相消的求和方法.属于中档题.19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30， PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）17- 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴AC BD⊥∵PB PD=，OB OD=,∴BD OP⊥,又∵OP AC O⋂=,∴BD PAC⊥面又BD ABCD⊂面,∴PAC ABCD⊥面面.（2）∵PAC ABCD⊥面面，过点P做PE AC⊥,垂足为E∴ABCDPE⊥面∵PA与底面ABCD所成的角为030，∴030PAC∠=,又PA PC⊥，设2PC=,则23,3,3,4,22AP PE AE AC AD=====如图所示，以A为坐标原点，,AB AD为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz-()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P⎛⎝设面PBC法向量为()1,,n x y z=，()220,22,0,,322BC CP⎛==--⎝11n BCn CP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴2202230x y z⎧=+=，1,0,6z y x===令则()16,0,1n=同理PCD面法向量()20,6,1n=，1212121cos,7n nn nn n⋅==∴求二面角B PC D--的余弦值17-【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．20.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数y与仰卧起坐个数x之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50xxyxx≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算a值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率；②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.【答案】（1）0.03a=；（2）见解析【解析】【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得a；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）0.010.010.05)101,0.03a a+++⨯=∴=（（2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：ξ0 60 80 100p0.1 0.30.5 0.1①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=（6分） ②(0)0.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，(60)P δ=0.30.10.30.10.10.30.333+⨯+⨯⨯=，(100)10.0010.3330.5550.111P δ==---=，分布列如下：数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）以AB 为直径的圆过定点(0,0).【解析】 【分析】(1)根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线l 与圆222:3M x y +=相切得出,k m 的关系式,代入证明0OA OB ⋅=即可. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率2e =,所以2c a =,即a =.因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点,所以a =所以1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为y kx m =+.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()222214220k x kmx m +++-=, 所以设()()1122,,,A x y B x y ,则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 所以221212232221m k OA OB x x y y k --⋅=+=+.①因为直线l 和圆M 相切,所以圆心到直线l的距离3d ==, 整理,得()22213m k =+,② 将②代入①,得0OA OB ⋅=,显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知,以AB 为直径的圆过定点(0,0).【点睛】本题主要考查了抛物线与椭圆基本量求解以及联立直线与椭圆方程利用韦达定理与向量的数量积证明圆过定点的问题等.属于难题. 22.：已知二次函数2()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间与极值．【答案】（1）2()23f x x x =--（2）见解析 【解析】【详解】解：（1）由2()3f x ax bx =+-，可得()2f x ax b =+'．由题设可得(1)0,{(0) 2.f f ''==-即20,{ 2.a b b +==-解得1a =，2b =-． 所以2()23f x x x =--．（2）由题意得32()()42g x xf x x x x x =+=-+，。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(二十)数学(理)试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（二十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{|3}B x x =≥，则R A C B =（ ）A. [1,)+∞B. [1,3)C. (,5]-∞D. (3,5]【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，然后求出R AC B =即可.【详解】由已知可得{}{}265015A x x x x x =-+≤=≤≤，{}3B x x =≥， 则R AC B =(,5]-∞故选：C【点睛】本题考查了集合的运算以及二次不等式的求解，是一道基础题. 2.已知,m n R ∈，i 是虚数单位，若()(1)m i i ni -+=，则||m ni -=（ ）A.B. 2C.D. 1【答案】A 【解析】 【分析】()(1)m i i -+整理为a bi +的形式，根据复数相等的充要条件求出m 、n ，代入||m ni -求模即可. 【详解】()(1)(1)(1)m i i m m i ni -+=++-=，10112m m m n n +==-⎧⎧∴⇒⎨⎨-==-⎩⎩，||12m ni i ∴-=-+==故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题.3.数列{}n a 中，首项12a =，且点()1,n n a a +在直线2x y -=上，则数列{}n a 的前n 项和 n S 等于（ ） A. 31n - B. 23n n -+ C. 31n + D. 23n n -【答案】B 【解析】 【分析】点的坐标代入直线方程可得12n n a a +-=-，推出数列{}n a 为等差数列，求出首项与公差代入等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】因为点()1,n n a a +在直线2x y -=上，所以11=22n n n n a a a a ++-⇒-=-，又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，2-为公差的等差数列，则*42()n a n n N =-∈，所以数列{}n a 的前n 项和2(2234)2n n n S n n =-+-+=.故选：B【点睛】本题考查由递推公式证明数列为等差数列、等差数列的前n 项和，属于基础题.4.已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线y kx =与该椭圆交于A 、B 两点，分别过A 、B向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于（ ） A. 32±B.23C. 12±D. 2±【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程求出x 即交点的横坐标，根据题意可得交点的横坐标为c ±，由离心率可得2,a c b ==，三式联立即可求出k .【详解】联立2222222222(1)y kxb a k x a b x y ab ⎧⎪⇒+=⎨⎪⎩=+=，则x =c =①，12c e a ==，2,a c b ∴===， 代入①可得42222123342c c k c c k =⇒=±+. 故选：A【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，属于基础题. 5.已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.34π 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直可得(2)0a a b ⋅-=，结合数量积的定义表达式可求出2cos ,2aa b a b=，又||2||a b =，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小.【详解】解：因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,222aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解.本题的关键是由垂直求出数量积为0.6.“众志成城，抗击疫情，一方有难，八方支援”，在此次抗击疫情过程中，各省市都派出援鄂医疗队. 假设汕头市选派6名主任医生，3名护士，组成三个医疗小组分配到湖北甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括2名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 300种 C. 540种 D. 3240种【答案】C 【解析】 【分析】先求把6名医生平均分成3组的方法，再求将3组医生与3名护士进行全排列组成医疗小组的方法，最后求把3个医疗小组分到3个地方的方法，最后求积即可. 【详解】解：分三步进行：（1）将6名医生分成3组，有2226423315C C C A ⋅⋅=种方法， （2）将分好的三组与三名女护士进行全排列，组成三个医疗小组有336A =种方法， （3）将分好的三个医疗小组进行全排列，对应于甲、乙、丙三地有336A =种方法，则不同的分配方案有1566540⨯⨯=种方法， 故选：C.【点睛】本题考查排列、组合的应用，重点考查分组分配问题，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7.已知a R ∈，则“ 2a =-”是“424a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式各项系数和为0”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】令1x =，即可求出424a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭展开式各项系数和，进而可以求出此时2a =±，然后利用充分条件、必要条件及充要条件的判断知识即可求解【详解】令1x =，即可求出424a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式各项系数和，因为该展开式的各项系数之和为0，即有24(4)0a -=，得2a =±，则有“ 2a =-”是“424a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式各项系数和为0”的充分性条件成立，但是，当424a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式各项系数之和为0时，2a =±，必要性条件不成立.故选：B【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识，考查考生的分析问题的能力和计算能力，难度较易.8.已知函数()sin ln ||f x x x x =+，则()y f x =的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果 【详解】()sin ln ||f x x x x =+是偶函数，排除B,D(2)0ln 20f ππ=+>，排除A故选：C【点睛】已知函数解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 9.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，点G 为正方形ABCD 的中心，点E 为11A D 的中点，点F 为AE 的中点，则（ ）A. C 、E 、F 、G 四点共面，且CF EG =.B. C 、E 、F 、G 四点共面，且CF EG ≠.C. C 、E 、F 、G 四点不共面，且CF EG =.D. C 、E 、F 、G 四点不共面，且CF EG ≠. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC ，EC ，由三角形的中位线定理知，//FG EC ，从而可求出C 、E 、F 、G 四点共面. 以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立坐标系，求出(3E ,()1,1,0G ,()0,2,0C ，3322F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而可求出7CF =2EG =，进而可选出正确答案.【详解】解：如图，连接AC ，则G 在AC 上且AG GC =；连接EC . 因为,AF FE AG GC ==，所以由三角形的中位线定理可知，//FG EC ，所以C 、E 、F 、G 四点共面.以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴如图建立坐标系，则()2,0,0A ,(3E ,()1,1,0G ,()0,2,0C ，33,0,22F ⎛ ⎝⎭， 所以222332722CF ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2220132EG CF =++=≠，故选: B .【点睛】本题考查了点是否共面的判定，考查了空间中线段长度的求解.本题的关键是证明//FG EC .证明几点共面时，常用的思路是证明线段平行或者相交.10.梅赛德斯—奔驰（Mercedes – Benz ）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化. 已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，150ABC ︒∠=，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.332πB.334πC.6392πD.394π【答案】D 【解析】 【分析】先由正弦定理及三角形面积公式求出阴影部分面积，再结合几何概型中的面积型求概率即可. 【详解】解:由图可知: 60AOB ︒∠=,105ABO ︒∠=,15BAO ︒∠=, 不妨设4AO =,在AOB 中,由正弦定理可得sin sin AO BOABO BAO=∠∠,则48BO⨯==-则阴影部分的面积为13sin362AO BO BOA⨯⨯⨯⨯∠=,=,故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理及三角形面积公式，重点考查了几何概型中的面积型，属中档题.11.已知函数2()2cos1(0)212xf xωπω⎛⎫=-+>⎪⎝⎭的最小正周期为π，若,[2,2]m nππ∈-，且()()9f m f n⋅=，则m n-的最大值为（）A. 2πB.52πC. 3πD.72π【答案】C【解析】【分析】利用降幂公式进行化简根据最小正周期可得2ω=，根据余弦函数的有界性可得()f x的值域为[]1,3，将题意可转化为m与n是方程cos216xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭的根，解出方程根据x的范围得出maxx和minx，进而可得结果.【详解】由已知可得()1cos1cos266f x x xππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵()f x的最小正周期为π，∴2ππω=，即2ω=，∴()cos226f x xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∵1cos216xπω⎛⎫-≤-+≤⎪⎝⎭，∴()f x的值域为[]1,3，故若()()9f m f n⋅=，则()()3f m f n==，∴m与n是方程()3f x=，即cos216xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭的根，所以22,6x k k Zππ-=∈，解得,12x k k Z ππ=+∈，[]2,2x ππ∈-，∴max min 1323,1212x x ππ==-， ∴m n -的最大值为132331212πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故选：C.【点睛】本题主要考查了通过降幂公式化简三角函数式以及三角函数的有界性，将题意转化为关于余弦函数的方程是解题的关键，属于中档题.12.若函数2()(2)x x f x ae a e x =+--，0a >，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围为（ ） A. (0,1) B. (0,1] C. 1(,]e eD. 1[,]e e【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性可知函数()f x 有两个零点等价于(ln )0f a -<，解这个关于a 的不等式即可.【详解】解：由题意得，'()(1)(21)x xf x ae e =-+，0a >，可得函数()f x 的单调性如下：当ln x a <-时，'()0f x >，()f x 单调递减，当ln x a >-时，'()0f x <，()f x 单调递增，可知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)∈+∞a 时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③(0,1)a ∈时，由于11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<， 又422(2)(2)2220f aea e e ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-上有一个零点，令()xg x e x =-，则'()1xg x e =-，当0x >时，'()0g x >，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)1g x g >=，即1(0)x e x x ->>.设整数n 满足31ln(1)ln ln 0n a a a >->=->，则3ln(1)31na e e a->>-∴3()(2)[(1)2]0n n nnf n e ae a n e a a n e n a=+-->-+-->->，故()f x 在(ln ,)a -+∞内有一个零点. 综上所述，a 的取值范围是(0,1) 答案选：A【点睛】本题考查函数零点问题，研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化，已知函数()f x 有两个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数；第二种方法是直接对含参函数进行研究.第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件20,1,70,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则yx 的最大值是__________． 【答案】6 【解析】如图，作出不等式组20,1,70,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，yx 可以理解为过可行域中一点(),x y 与原点()0,0的直线的斜率，点(),x y 在点()B 1,6处时yx取得最大值6. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作渐近线的一条垂线，若该垂线恰好与以1F 为圆心，1OF 为半径的圆相切，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】设过2F 作渐近线的一条垂线为l ：()y k x c =-，根据该垂线恰好与以1F 为圆心，1OF 为半径的圆相切，根据点到直线距离公式可得22a b ，由221c b e a a==+，即可求得答案.【详解】双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F可得：()1,0F c -，()2,0F c过2F 作渐近线的一条垂线，不妨设与by x a=垂直 设过2F 作渐近线的一条垂线为l ：()y k x c =- 根据题意画出图象，根据图象可得k 存在 由两条两条直线垂直可得：1bak ⋅=- 故a k b =- ∴()ay x c b=--又1F 为圆心，1OF 为半径的圆∴()222x c y c ++=根据()ay x c b=--与()222x c y c ++=相切 ()21ab a bc c c -⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭--=+整理可得：2213a b =，即223b a =双曲线的离心率为2c e a ==故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法，方法一：求出,a c ，代入公式ce a=；方法二：只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 15.已知数列{}n a 满足112a =，1n n n a a +-=，则n a n 的最小值为_________.【答案】12. 【解析】 【分析】结合累加法可求出()11,22n n n a n N *-=+∈，进而可得11222n a n n n =+-，结合基本不等式可求出其最小值.【详解】解：因1n n n a a +-=，则当2,n n N *≥∈时，2132112 (1)n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=-⎩ ，将1n -个式子相加得，()()()()1121123...11,2,22n n n n n a a n n n n N *----=++++-=-+=≥∈，所以()()1111,2,222n n n n n a a n n N *--=+=+≥∈，当1n =时，()11111222⨯-+=， 所以()11,22n n n a n N *-=+∈，则()1111222221122na n nn n n n ==+-≥-=-+， 当且仅当122n n=，即1n =时等号成立，即n a n 的最小值为12.故答案为:12. 【点睛】本题考查了应用累加法求通项公式，考查了等差数列的前n 项和，考查了基本不等式.本题的关键是求出通项公式.求数列的通项公式时，常用的方法有：累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.16.已知三校锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CP 的中点，且3cos 4DFE ∠=，则球O 的表面积为_________. 【答案】283π【解析】 【分析】根据已知条件，作图建立直角坐标系，利用3cos 4DFE ∠=求出PA ，然后根据垂面模型构建出直角三角形求出外接球的半径R ，然后即可求解【详解】如图，根据题意，以A 为原点，CB 为x 轴方向，AE 为y 轴方向，AP 为z 轴方向，建立空间直角坐标系，设2PA a =，由2AB BC AC ===，可得(0,0,0)A ，3,0)B ，(3,0)C -，(0,0,2)P a ，因为D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CP 的中点，得13(2D ，3)E ，13()2F a -，可得 1DE =，21DF a =+21EF a =+2223cos 42DF EF DE DFE DF EF +-∠==⋅⋅2222122a a +-=+，解得1a =， 解得2PA =，根据外接圆垂面模型的应用，可找到如图的球心O 和ABC ∆的外接圆圆心H ，且必有1=12OH PA =，且HC 为ABC ∆的外接圆的半径，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，且122sin 603HC ︒=⋅=，设外接球半径OC R =，则在Rt OHC ∆中，根据勾股定理，得222247133R OC OH HC ==+=+=，则可求得273R =，则球O 的表面积为22843R ππ=答案：283π【点睛】本题考查空间直角坐标系的运用，以及锥体垂面模型的应用，属于中档题三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721-题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 2B Cb a B +=. （1）求角A 的大小；（2）D 是边BC 上一点，且2BD DC =，2AD =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）23A π=；（2. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将所给等式化简为cos sin 2B CA +=，再利用三角函数诱导公式及二倍角公式再次化简可得1cos22A =，由2A 的范围即可求得角A ；（2）根据题意以AB 、AC 作为基底表示出向量AD ，等式两边同时平方再利用基本不等式即可求得18bc ≤，代入三角形面积公式12sin 23π=ABC S bc 即可求得面积的最大值.【详解】（1）因为cossin 2B Cb a B +=，由正弦定理可得sin cos sin sin 2B C B A B +=， 又sin 0B ≠，所以cos sin 2B CA +=，因为ABC π++=， 所以coscos sin 222B C A Aπ+-==，则sin sin 2sin cos 222A A A A ==， 又sin 02A≠，所以1cos 22A =，因为(0)22A π∈，，所以2233A A ππ=⇒=；（2）根据题意可得2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以222212144()33999AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+，即2222136=4()424222c bc b c b bc bc +-+≥⋅-=，所以18bc ≤，当且仅当3,6b c == 等号成立所以121393sin 1823222ABC S bc π=≤⨯⨯=△，ABC 面积的最大值为93.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式、利用基本不等式求面积的最大值、向量在几何中的应用，涉及三角函数诱导公式及二倍角公式，属于中档题.18.如图，在直角ABC 中，90ACB ∠=，2AC =，3BC =，P 、G 分别是AB 、BC 上一点，且满足CP 平分ACB ∠，2CG GB =，以CP 为折痕将ACP △折起，使点A 到达点D 的位置，且平面DCP ⊥平面BCP .（1）证明：CP DG ⊥；（2）求二面角B CD P --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】 【分析】（1）在直角ABC 中，连接AG 交PC 于点E ，利用等腰三角形三线合一的性质可得出AG PC ⊥，则在三棱锥D BCP -中，可得出PC DE ⊥，PC EG ⊥，可推导出PC ⊥平面DEG ，进而可得出CP DG ⊥； （2）推导出DE ⊥平面BCP ，然后以点E 为坐标原点，EG 、EP 、ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，计算出平面BCD 的一个法向量，利用空间向量法可计算出二面角B CD P --的余弦值，进而可求得其正弦值.【详解】（1）在直角ABC 中，连接AG 交PC 于点E ，如下图所示：2AC =，3BC =，G BC ∈且2CG BG =，223CG BC AC ∴===， CP 平分ACB ∠，CP AG ∴⊥，则有AE CP ⊥，EG CP ⊥，在三棱锥D BCP -中，DE CP ⊥，EG CP ⊥，DE EG E =，CP ∴⊥平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，CP DG ∴⊥；（2）由（1）知，在三棱锥D BCP -中，DE CP ⊥， 平面DCP ⊥平面BCP ，平面DCP平面BCP CP =，DE ⊂平面DCP ，DE ∴⊥平面BCP ，EG CP ⊥，EG ∴、EP 、ED 两两垂直，以点E 为坐标原点，EG 、EP 、ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则322B ⎫⎪⎪⎝⎭、()0,2,0C -、(2D ，322CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0,CD =，设平面BCD的一个法向量为(),,m x y z =，由00m CB m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得022x y ⎧+=⎪⎨+=，可得x y z y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，则1x =-，1z =-，可得()1,1,1m =--.易知平面DCP 的一个法向量为()1,0,0n =，所以，cos ,3m nm n m n⋅<>===⨯⋅，设二面角B CD P --的平面角为θ，则6sin θ==因此，二面角B CD P --. 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,1F ，()(),1N t t R -∈，已知MFN △是以FN 为底边，且边MN 平行于y 轴的等腰三角形. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l 交x 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线//PB y 轴，点P 关于点B 的对称点为点Q ，试判断点A 、Q 、O 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）()240x y y =≠；（2）A 、Q 、O 三点共线，理由见解析.【解析】 【分析】（1）设动点(),M x y ，由//MN y 轴可得1MN y =+，由题意可得出MN MF =，由此可得出关于x 、y 的等式，化简可得出轨迹C 的方程，由点M 为坐标原点时，M 、F 、N 三点共线可得出0y ≠，由此可得出轨迹C 的方程；（2）可知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，由0∆=得出2m k =-，求出A 、Q 的坐标，利用直线AO 、OQ 的斜率相等可得出A 、Q 、O 三点共线.【详解】（1）设动点(),M x y ，因为//MN y 轴，所以MN 与直线1y =-垂直，则1MN y =+，MFN 是以FN 为底边的等腰直角三角形，故MN MF =，1y =+，即()()22211+-=+x y y ，化简得24x y =.因为当点M 为坐标原点时，M 、F 、N 三点共线，无法构成三角形， 因此，动点M 的轨迹C 的方程为()240x y y =≠；（2）A 、Q 、O 三点共线，理由如下：因为直线l 与曲线C 相切，所以直线l 的斜率必存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+，由24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，消y 得2440x kx m --=，216160k m ∆=+=，得2m k =-. 所以，直线l 的方程为2y kx k =-，令0y =，得x k =，则点(),0P k ，2,4k B k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，故2,2k Q k ⎛⎫⎪⎝⎭，又由22440x kx k -+=，得2x k =，则点()22,A k k，222AO k kk k ==，222OQk k k k ==，AO OQ k k ∴=，因此，A 、Q 、O 三点共线.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了三点共线的证明，涉及斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.20.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征()MERS 和严重急性呼吸综合征()SARS 等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒()19COVID -是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性. 根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为()01p p <<，现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案: 方案一：逐个化验；方案二：四个样本混在一起化验； 方案三: 平均分成两组化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若14p =，求2个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率； （2）若14p =，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、 三中哪个最“优”?（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围.【答案】（1）716；（2）方案二最“优”，理由见解析；（3）0,12⎛- ⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）可求得2个疑似病例均为阴性的概率，再利用对立事件的概率公式可求得事件“2个疑似病例样本混合化验结果为阳性”的概率；（2）分别计算出方案一、二、三中将该4例疑似病例样本进行化验所需次数的数学期望，比较三种方案中检测次数的期望值大小，可得出最“优”方案；（3）求出方案二的数学期望，可得出关于p 的不等式，进而可求得实数p 的取值范围.【详解】（1）由题意可知，2个疑似病例均为阴性的概率为2191416⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此，该混合样本呈阳性的概率为9711616-=； （2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，()4181114256P X ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，()8117551256256P X ==-=， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，方案二的期望为()811752391525625664E X =⨯+⨯=； 方案三：由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1，概率为916；若呈阳性则检测次数为3，概率为716. 设方案三的检测次数为随机变量Y ，则Y 的可能取值为2、4、6，()2981216256P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()129712641616256P Y C ==⋅⋅=，()2749616256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，方案三的期望为()8112649152462562562564E Y =⨯+⨯+⨯=. 比较可得()()4E X E Y <<，故选择方案二最“优”；（3）方案二：记检测次数为X ，则随机变量X 的可能取值为1、5，()()411P X p ==-，()()4511P X p ==--，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X的数学期望为()()()()4441511541E X p p p ⎡⎤=-+⨯--=--⎣⎦，由于“方案二”比“方案一”更“优”，则()()45414E X p =--<， 可得()4114p ->，即()2112p ->，解得012p <<-， 故当012p <<-时，方案二比方案一更“优”. 【点睛】本题考查事件概率的计算，同时也考查了利用数学期望进行决策，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数2()(3)(2)x f x x e a x =-+-，a R ∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，证明：124x x +<.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意对函数求导，根据22e a <-、22e a =-、202e a -<<和0a ≥分类讨论，找到()0f x '>、()0f x '<的解集，即可得解； （2）由题意转化条件得2(3)(2)xx e a x --=-有两个不等实根，通过构造函数、求导可得0a >，设122x x <<，结合函数()f x 的单调性可将原不等式转化为()()2240x f f x -->，通过构造函数、求导可证明()()2240x f f x -->，即可得证.【详解】（1）由题意得()()(3)2))2(2(2x x x f x x e a x e e a x '=-+-++=-，x ∈R ，（i ）当0a ≥时，20x e a +≥，令()0f x '=得2x =，当(),2x ∈-∞时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增；（i i ）当0a <时，令()0f x '=得12x =，()2ln 2x a =-，①当()ln 22a -=即22e a =-时，当x ∈R 时，均有()0f x '≥， ∴()f x 在R 上单调递增；②当()ln 22a -<即202e a -<<时， 当()()(),ln 22,x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当()()ln 2,2x a ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在()(),ln 2a -∞-和()2,+∞上单调递增，在()()ln 2,2a -上单调递减；③当()ln 22a ->即22e a <-时， 当()()(),2ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当()()2,ln 2x a ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在(),2-∞和()()ln 2,a -+∞上单调递增，在()()2,ln 2a -上单调递减. 综上所述，当22e a <-时，()f x 在(),2-∞和()()ln 2,a -+∞上单调递增，在()()2,ln 2a -上单调递减；当22e a =-时，()f x 在R 上单调递增；当202e a -<<时，()f x 在()(),ln 2a -∞-和()2,+∞上单调递增，在()()ln 2,2a -上单调递减；当0a ≥时，()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增；（2）当2x =时，20(2)f e =-≠，∴2x =不是()f x 的零点，当2x ≠时，由()0f x =得2(3)(2)xx e a x --=-， 令()()2(3),2(2)xx e h x x x -=≠-， 则()()2234(2)(2)(2)(3)(222)1)3(xx xe x e x x x x x e h x x ---⋅-'=⎡⎤-+⎣⎦=---⋅， 易知()2310x x e ⎡⎤-+>⎣⎦， 当(),2x ∈-∞时，3(02)x -<，()0h x '<， ∴()h x 在(),2-∞上单调递减，且当(),2x ∈-∞时，()0h x <；当()2,x ∈+∞时，3(02)x ->，()0h x '>， ∴()h x 在()2,+∞上单调递增，且()30h =；根据函数()h x 的以上性质，画出()y h x =的图象，如图所示：由图可知，1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点⇔直线y a =-与()y h x =的图象有两个交点⇔0a -<即0a >，不妨设：122x x <<，要证124x x +<，即要证1242x x <-<，由（1）知，当0a >时，()f x 在(),2-∞上单调递减，∴即要证()()124x f f x >-，又()()120f x f x ==，∴即要证()()224x f f x >-，即要证()()2240x f f x -->，令()()()()4,2,0x f x g x f x a >-=>-，则()()()()()442(2)2(22)x x x x g x x e x e x e e a a --'++-=-+-=-， 当()2,x ∈+∞时，20x ->，24x x e e e ->>即40x x e e -->，∴()0g x '>，()g x 在()2,+∞上单调递增，∴()()220g x g >=，∴()()2240x f f x -->，∴原不等式成立.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，解题的关键是对于条件的转化与新函数的构造，属于难题.（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所作的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 60ρθρθ+-=，曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数） （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，设点P 为C 上的一点，求PAB △的面积的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）32【解析】【分析】（1）利用cos ,sin x y ραρα==将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，由22cos sin 1αα+=可将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求出A 、B 的坐标，设(2cos ,3sin )P αα，求出点P 到直线l 的距离d ，代入12S AB d =⋅⋅利用辅助角公式及三角函数的有界性可求得面积的最小值. 【详解】（1）直线l 的直角坐标方程为260x y +-=；因为22cos sin 1αα+=，所以曲线C 的普通方程为22149x y +=； （2）对直线l ，令0y =可得3x =，则(3,0)A ；令0x =可得6y =，则(0,6)B ，设(2cos ,3sin )P αα，点P 到直线l 的距离d == 其中34cos ,sin 55ϕϕ==，PAB △的面积35sin()611222S AB d αϕ⨯+-=⋅⋅=⨯=， 当sin()=1αϕ+时，PAB △的面积取得最小值32. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的相互转化，利用参数方程及三角函数的有界性解决三角形面积的最值问题，涉及辅助角公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知：221a b +=，其中,a b ∈R .（1）求证：||1|1|a b ab -≤-； （2）若0ab >，求()33()a b a b++的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】 (1) 所证不等式等价于1a b ab -≤-，两边平方后分解因式即可得到证明；（2）将所求式子展开然后33ab a b +对利用基本不等式从而可求得最值.【详解】（1）所证不等式等价于1a b ab -≤-，即()()221a b ab -≤-，也就是()()22110a b --≤，∵221a b +=，∴21a ≤，21b ≤∴()()22110a b --≤，故原不等式成立.（2）()()334334a b a b a ab a b b +⋅+=+++ ()244221a b a b ≥+=+=当且仅当2a b ==或2a b ==-时， ()()33a b a b +⋅+取到最小值1.【点睛】本题考查不等式的证明方法，考查比较法的应用，考查利用基本不等式求最值问题,属于中档题.。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二十)文科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.已知集合223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，，则A 中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据223x y ≤＋知这个是一个圆,再根据x N y Z ∈∈，找到圆内满足条件的点即可.【详解】解：223{()|}A x y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，,223x y ≤＋表示平面内圆心为(0,0),半径r =,又因为x N y Z ∈∈，,依题意画图,可得集合A 中元素的个数为6．故选：D【点睛】本题考查集合元素的个数,要知道集合是一个点集. 2.若a,b∈R，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】根据不等式的性质， 由a ＞b ＞0可推出a 2＞b 2；但，由a 2＞b 2无法推出a ＞b ＞0，如a=-2,b=1， 即a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充分不必要条件， 故选A. 3.设121iz i i-=++（i 是虚数单位），则z =（ ） A. 0 B.12C. 12【答案】C 【解析】 【分析】先进行复数的商的运算,再进行加法运算,最后用求模公式求解.【详解】解：复数()()()21122111i iz i i i i i --=+=+++- 2222ii i i i -=+=-+=1z ==故选:C【点睛】本题考查复数的模的求法,考查计算能力. 4.在平面直角坐标系中，向量(1,2)a =，(2,1)a b -=，(,)cx y ，若()2a b c +，()a cb +⊥，则x y +＝（ ） A.12B.32C. 32-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量b 的坐标表示,再求出2a b +,a c +的坐标表示,再根据向量平行、垂直运算性质进行运算求出,x y 即可.【详解】解：(1,2)a =,(2,1)a b -=,(,)cx y()(1,1)b a a b ∴=--=-2(1,5)a b ∴+=,(1,2)a c x y +=++又因为()2a bc +,()a cb +⊥,则50(1)(1)(2)10x y x y -=⎧⎨+⨯-++⨯=⎩解得：1454x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩153442x y ∴+=--=-故选：C【点睛】本题考查向量平行、垂直的坐标运算,属于基础题.5.已知数列{}n a 满足： *11(2)n n n a a a n n N +≥∈－＝－，， 1212a a ＝，＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =（ ）A. 3B. 4.C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－，列举出3a 到7a ,得出数列{}n a 的周期为6,所以可以求出2019S . 【详解】解：1212a a ＝，＝,*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－，根据递推公式有：321211a a a =-=＝－432121a a a =-=-＝－ 543112a a a =--=-＝－ 6542(1)1a a a =---=-＝－ 7651(2)1a a a =---=＝－所以数列{}n a 的周期为6.2019123456123336()S a a a a a a a a a =++++++++336(121121)1214=⨯++---+++=故20194S =. 故选：B【点睛】本题考查数列递推公式的应用以及周期数列的前n 项和. 6.为了得到函数2sin(2)3y x π=-的图像,可以将函数2sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，令，解得， 由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；故答案为A.考点：函数图像平移法则的应用. 7.函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【详解】将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D;将x=π代入到函数解析式中求出函数值为3负数，可排除B ，故选A ． 8.已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],0-∞ B. 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. []1,0-【答案】B 【解析】【分析】由题意函数对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 可以分离出函数中的参数,转化为 ()212xa x ≤+,只需()2min21xa x ⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎣⎦+即可,所以转化为导数的极值来解题. 【详解】解：函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤, 即为()221a x x +≤ 可化为()212x a x ≤+令()22()1xg x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++==当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减.因此()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=所以min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数的取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围. 9.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 10.已知函数()f x x =，若对x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. ()2,1-B. []2,1-C. []1,1-D.(][),21,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得,x R ∀∈都有()()1f x f x +-的图象在y kx =的上方,将题目转化为函数图象来解决.【详解】解：因为()f x x =,x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥, 则可x R ∀∈都有()()1f x f x +-图象在y kx =的上方.()()11x f x x f x +-=+-()()21,011,0121,1x xf x f x xx x-+<⎧⎪+-=≤<⎨⎪-≥⎩依题意画图要使()()1f x f x+-的图象恒在y kx=的上方,则斜率1OAk k≤=,或者2k≥-,实数k的取值范围是[]2,1-.故选：B【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题,可转化为转化为一个图像恒在另一个图像的上方而转为为斜率问题来求解,这类题型考查学生数形结合能力.11.已知函数()()121,11,1x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩，如果对任意的n∈N*，定义()()()11n nf x f f x+=，那么()20202019f=（）A. 0B. 1C. 2D. 2020 【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的性质,先代入()12019f,然后得出数值之后代入()22019f,得出规律,则可求出()20202019f.【详解】解：()()121,11,1x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩,()()()11n nf x f f x+=()12019201912018f∴=-=()22019(2018)2017f f == ()32019(2017)2016f f ==()20172019(3)2f f == ()20182019(2)1f f ==()2019(1)20192(11)0f f ==-= ()2020(0)20192(10)2f f ==-=故选：C【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质和函数值的规律.12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0]2，上是增函数，则 A. (25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x -=-，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=， 所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()()()()()251,800,113f f f f f f -=-==. 由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x -=-，得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]02，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在区间[]22-，上是增函数，所以()()()101f f f -<<，即()()()258011f f f -<<. 【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．二、填空题（每小题5分，共20分） 13.若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______.【答案】 【解析】试题分析：根据同角三角函数的关系算出35sin α==﹣，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；4cos ,5α=-α是第三象限的角，35sin α∴==﹣，34sin()()()44455sin coscos sinπππααα+=+=-+-=. 考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系14.220{100x y x y y --≤-+≥≤，则32z x y =+的最大值为________．【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域,如图：（阴影部分ABC ∆）由32z x y =+得3122y x z =-+, 平移直线3122y x z =-+经过点C 时, 直线3122y x z =-+的截距最大, 此时z 最大. 由2200x y y --=⎧⎨=⎩,解得20x y ==⎧⎨⎩,即(2,0)C将C 的坐标带入目标函数32z x y =+, 得32206z =⨯+⨯=, 即32z x y =+的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.15.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 【答案】2 【解析】求函数f(x)＝3x －7＋lnx 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e ＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2．16.已知命题0:p x R ∃∈，使0sinx ；命题q x R ∀∈：，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题p q ∧“”是真命题；②命题“”()p q ∧⌝是假命题；③命题“(”)p q ∨﹁是真命题；④命题()”)(“p q ∨﹁﹁是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断命题p 和命题q 的真假,再判断p ⌝,q ⌝的真假,最后根据真值表可得出结论.【详解】解： 01sinx =>,所以p 是假命题. 又22310412x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭+=+> ,所以q 是真命题.p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,故根据真值表可得②③正确.故答案为：②③【点睛】本题考查含简单逻辑连接词的命题的真假性的判断问题. 步骤为：①判断p 和q 的真假,②根据真值表判断复合命题的真假. 三、解答题（17小题10分，18--22小题每小题12分，共70分）17.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是首项为2且单调递增的等比数列，其前n 项和为n T ，2312b b +=，3412b a a =-，()81111112b S T =+. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设()153n n c a =+，2log n n p b =，求数列11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n G ． 【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1n nG n =+ 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,将条件带入通项公式,解方程即可求出.（2）将{}n a 、{}n b 的通项公式代入()153n n c a =+、2log n n p b =中,得到11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的通项公式为11111n n c p n n⨯=⨯+,用裂项相消求和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为()1q q >,由已知得2312b b ＋＝,得211()2b q q ＋＝,而12b =,所以260q q +-= 又因为()1q >,解得2q,所以2n n b =由3412b a a =-,可得138d a -=, 由()81111112b S T =+,可得1516a d += 解得11,3a d ==,由此可得32n a n =-所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,数列{}n b 的通项公式为2nn b =（2）由（1）得1n c n =+,n p n =,所以11111111n n c p n n n n ⨯=⨯=-++ 所以111111111122334111n n G n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查求等差等比数列的通项公式,设首项和公差、公比,代入已知条件中即可求解.还考查用裂项相消求数列前n 项和,需要熟记公式,灵活求解.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2sin sin sin sin 2Ba C A C A +=. (1)求角B ；(2)若6a c +=，ABC ∆的面积S =求b .【答案】（1）3B π=；（2）b =【解析】 【分析】(1)根据正弦定理的边化角公式和三角形内角和等于π,将已知条件化简为：2sin sin sin sin sin 2BA CBC A =,约分之后再用降幂公式即可求出B 的值. （2）由三角形面积公式可求得ac ,带入余弦定理即可求得b .【详解】（1）因为A B C π++=,0,,A B C π<<, 由已知()2sin sin 23sin sin 2Ba C A C c A += 和正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得： 2sin sin sin 23sin sin sin 2BA CBC A =,又因为sin ,sin ,sin 02BA C ≠,所以2sin 23sin 2B B =,22sin cos 23sin 222B B B =3sincos 22B B =,3tan 2B =,3B π= （2）由面积公式13sin 232S ac B ac ===得8ac =, 由余弦定理()22222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=,得23b =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知四面体ABCD 中AB ⊥面BCD ，BC DC ⊥， BE AD ⊥垂足为E ，E ，F 为,AD CD 中点，2AB BD ==,1CD =（1）求证： AC面BEF ；（2）求点B 到面ACD 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）2217【解析】 【分析】（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.（2）求点到面的距离用等体积法,由A BCD B ACD V V --=,分别算出∆BCD S 、ACD S ∆,建立体积等式关系即可求B 到面ACD 的距离． 【详解】、（1）因为BE AD ⊥,AB BD =所以E 为AD 中点,又因为F 是CD 中点,所以AC EF , 而AC ⊄面BEF ,EF ⊂面BEF ,所以AC 面BEF .（2）由已知得BC =,AD =AC =, 所以三角形ACD为直角三角形其面积ACD S ∆=三角形BCD的面积BCD S ∆=设点B 到面ACD 的距离为h ,因为A BCD B ACD V V --=, 即11233BCD ACD S S h ∆∆⨯=⨯解得7h =, 所以点B 到面ACD的距离为7. 【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即a b a a b ααα⎫⎪∉⇒⎬⎪∈⎭.（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh 求出点到平面的距离h . 20.某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，其中A 组学生每天学习数学时间不足1个小时，B 组学生每天学习数学时间达到一个小时。
衡水名校联盟2021年高考押题预测卷-数学(试卷)
…
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
此
卷
只
装
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………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
C． y = ± 3 x 4
D． y 4 x 3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知 x, y R ，且 x y 0 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 1 1 0 xy
B． sinx siny 0
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．函数 f x a sin x 2a R 在点 0, f 0 处的切线方程为 y x 2 ，则 a ________．
14．写出一个图象关于直线 x 1 对称的奇函数 f (x) ________．
15．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的 数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用， 英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满 足 m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是 1.00，“天 津四”的星等是 1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍．（结果精确到 0.01．当|x|较小时， 10x≈1+2.3x+2.7x2）
2021届河北衡中同卷新高考原创预测试卷(二十二)数学
2021届河北衡中同卷新高考原创预测试卷（二十二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1.已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，B＝{m，2}，若A⊆B，则m＝（）A ．5B ．3C ．2D ．12.设复数()1z bi b R =+∈且234z i =-+，则z 的虚部为（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-3..已知8.0log 3=a ，8.03=b ，1.23.0=c ，则（ ）A ．c ab a <<B ．c a ab <<C ．c b ac <<D ．b ac c << 4.如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A ．1BC BA 2-+B ．1BC BA 2--C ．1BC BA 2-D ．1BC BA 2+5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A. 56B. 66C. 77D. 786．已知0sin cos =+αα，则=+αααcos sin 2cos 2（ ）A.2B.21C. 21-D. 21±7.函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈）8．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有成立，且()22f e =，则不等式()2xxf x e >的解集是（ ）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法不正确的是（ ）A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高 C 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降10．由函数()f x sinx =的图象得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）.A ．先将()f x sinx =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移个12π单位长度 B ．先将()f x sinx =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 C ．先将()f x sinx =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）D ．先将()f x sinx =的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，关于函数()()()||g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ） A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在（1，2）上单调递增C ．()g x 在[2016，2020]上恰有三个零点D ．()g x 的最大值为2 12.已知函数f(x)＝e |x|sinx ，下列说法正确的是（ ）A.f(x)是周期为2π的奇函数B.f(x)在(－4π，34π)上为增函数C.f(x)在(－10π，10π)内有21个极值点D.f(x)≥ax 在[0，4π]上恒成立的充要条件是a ≤1三、填空题（每题5分，满分20分。
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷(二)理科数学
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 3．平面向量与的夹角为060，=(1,0),||=1，则|+2|= A ．3B ．7C ．3D ．74．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 A 3 B ．2C 6D ．35．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则1232020a a a a +++⋯+=A ．0B ．1C ．﹣1D ．26．华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为 A ．114B ．314C ．13D ．177．运行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为2时， 输出的S 的值为20-，则判断框中可以填 A ．k <3？ B ．k <4？C ．k <5？D ．k <6？8．在相距2km 的A 、B 两点处测量目标C ， 若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是A ．6kmB ．km )32(+C ．km 32D ．3km9．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*， 若32b =-,1012b =,则8a = A ．11B ．8C ． 3D ．010．设()f x 是奇函数且满足)()1(x f x f -=+，当01x ≤≤时，)1(5)(x x x f -=，则=-)6.2020(f A ．2521 B ．107 C ．58- D ．56-11．已知F 1，F 2是椭圆C 1：1422=+y x 与双曲线C 2的公共焦点，A 是C 1，C 2在第二象限的公共点．若21AF AF ⊥，则C 2的离心率为 A ．54 B ．26C.3 D ．212．已知函数()f x 是定义在[100,100]-的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-.当[0,2]x ∈ 时，()(2)x f x x e =-，若方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）(7题图)A ．15,2e e⎛⎫--- ⎪⎝⎭ B ．15,2e e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ C ．(,2)-∞- D ．1,2e e⎛⎫--- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为 .14．已知曲线x y e -=，则曲线上的点到直线10x y ++=的最短距离是_________.15．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，前n 项和为n S ，且4532,,4a a a 成等差数列， 若11=a ，则=4S _________.16．已知三棱锥A-BCD 中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD ，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此三棱锥外接球的表面积为_____________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷(二十二)理科数学
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷（二十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2430A x x x =-+<,B={}230x x ->,则AB = （ ）（A ）33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭2、下列命题中为假命题的是（ ）A .00,lg 0x R x ∃∈=B .000,sin cos 3x R x x ∃∈+=C .2,12x R x x ∀∈+≥D .,20x x R ∀∈>3．已知角()02παα≤<终边上一点的坐标为7π7πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α=（ ）．A ．5π6B ．7π6C ．4π3D ．5π34. 设()f x 是定义在[]2,3b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则()()13f x f -≥的解集为（ ）A ． []3,3-B ． []2,4-C ． []1,5-D ． []0,6 5.把函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移6π个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（ ）A ．0x =B ．2x π=C. 6x π=D ．12x π=-6.已知函数()2)3f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=（ ） A. 0 B. 3- C. 3 D. 6 7.设1cos 2sin 2()sin()4sin()2x xf x a x x ππ++=+++的最大值为3，则常数a =（ ）A.1B.1或5-C. 2-或4D.8.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，若函数(1)y f x =+的图像关于点(1,0)-对称，且(1)3f =，则(2015)f =（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. 3- 9．已知A 是函数()sin(2018)cos(2018)63f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2018πB ．1009πC ．21009π D ．4036π10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(00)2A πωϕ＞，＞，＜，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（ ）A ． 要得到函数()f x 的图象，只需将2y x =的图象向右平移6π个单位 B ． 函数()f x 的图象关于直线512x π=对称C ． 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为 -2 D ． 函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 11．已知43sin()sin 35παα++=-，且02πα-<<，则2cos()3πα+=( ) A ．45-B ． 45C ． 35-D ． 3512.已知0a >，命题:p 函数2()lg(23)f x ax x =++的值域为R ，命题:q 函数()ag x x x=+在区间(1,)+∞内单调递增．若p q ⌝∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =（ ）B.2C.52【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z ，再利用复数模的求法,即可得到z 的值. 【详解】()312i i 2211i z ⎛⎫=+- ⎪=+⎝⎭，||z ==故选：B.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，复数模的求法，主要考查的是学生的计算能力，是基础题.2.已知集合{|0A x x =≤或}2x ≥，{}|12B x x =-≤≤，则（ ） A. A BB. B AC. AB =∅ D. AB R =【答案】D 【解析】 【分析】根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】集合,A B 并无包含关系,故A,B 均错误.又{|10A B x x =-≤≤,或}2x =故C 错误.A B R =正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3.执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,,a b n 的值，当272a =，16b =时，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4 .【详解】第一次循环， 3462a =⨯=，4b =，2n =，此时a b >. 第二次循环3692a =⨯=，8b =，3n =，此时a b >. 第三次循环327922a =⨯=，2816b =⨯=，4n =，此时a b <，因此4n =. 故选：C .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的,,a b n 的值是解题的关键，属于基本知识的考查，是基础题.4.已知向量(2,),(,2)λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)-a a b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先算出2a b -，再利用向量平行的坐标运算得出λ的值，即可判断. 【详解】2(22,4)a b λλ-=--，(2)a a b -‖，28(22)0λλλ∴---=， 228λ∴=，2λ∴=±.因此“2λ=”是“//(2)-a a b ”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断，涉及向量平行的坐标运算，属基础题. 5.若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =（ ） A. 32- B. 2-C. 1D. 32【答案】D 【解析】 【分析】取2x =，即可得到0a . 【详解】5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-∴取2x =，032a ∴=.故选：D .【点睛】本题考查二项式定理及通项公式的运用，“赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，是基础题.6.若实数,a b 满足201,a b a <<<<且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为（ ） A. m p n >>B. p n m >>C. n p m >>D.p m n >>【解析】 【分析】已知201a b a <<<<，所以根据对数函数的性质可知()0,∞+上为单调递减函数，得出1log 2a b << 接下来利用作差法比较,,m n p 大小，由此可以判断答案.【详解】201a b a <<<<，22log log log 1a a a a b a =>>=，()()2log log log log 10a a a a n m b b b b -=-=->， n m ∴>， 2log a p b =，()2log 2log a a n p b b -=-log (log 2)0a a b b =-<，p n ∴>，因此p n m >>. 故选：B.【点睛】本题主要考查的是对数的大小比较，掌握对数函数的性质是解题的关键，是基础题. 7.若2cos21sin2x x =+，则tan x =（ ） A. 1- B.13C. 1-或13D. 1-或13或3 【答案】C 【解析】 分析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21sin2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =. 故选：C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型.8.若,x y 满足约束条件31,933,x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩则z x y =+的最小值为（ ）A. 1B. 3-C. 5-D. 6-【答案】C 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值，z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】画出不等式组所表示的可行域如上图（阴影部分）， 由z x y =+，得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图像可知当直线y x z =-+经过B 时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小，由139x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ，解得23x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,3B --，将()2,3B --代入目标函数z x y =+得5z =-， 因此z x y =+的最小值为5-. 故选：C .【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题.9.把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则（ ） A. ()2g x x = B. ()32g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C. ()1521g x x π⎛⎫+ ⎪6⎝⎭D. ()1328g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由已知中函数()sin cos f x x x =+，根据辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法则，即可得到函数()g x .【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到： 2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()222g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：A .【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像的平移和伸缩变换，考查学生对函数的理解，同时考查辅助角公式、诱导公式的应用，是基础题.10.已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论.【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ， (0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ，①(2,0,2)DE =，(2,0,2)BF =-，4040DE BF ∴⋅=-++=，DE BF ∴⊥，DE BF ∴⊥，①是正确的.②(2,2,0)EF =-，(1,0,1)CH =， 设EF 与CH 所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅，[0,]θπ∈60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--，(2,2,0)DB =，(0,2,2)DF =，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-，//EC n ， EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-，由图像易得：(1,1,0)m =是平面 ACEFF 的一个法量，设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin cos ,BF m θ∴= 12||||BF m BF m ⋅==⋅， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确. 故选：B .【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．11.已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF 夹角的取值范围为2π,π3，则E 的离心率取值范围是（ ）A.B. ⎤⎦C. []3,5D. []7,9【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及122AF AF =，可得出12,AF AF ，在12AF F △中由余弦定理以及向量12,AF AF 夹角的取值范围可得到关于离心率的不等式，即可得到E 的离心率取值范围.【详解】由双曲线定义得：122AF AF a -=，2||2AF AF =，22AF a ∴=， 14AF a ∴=，在12AF F △中由余弦定理得：22212121212cos 2AF AF F F F AF AF AF +-∠=⨯⨯2224164224a a c a a +-=⨯⨯ 22254a c a-=， 由题意得：122,3F AF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦， 121cos 1,2F AF ⎡⎤∴∠∈--⎢⎥⎣⎦，22251142a c a -∴-≤-， 2511442e ∴---， 279e ≤≤，e ∴∈.故选：B .【点睛】本题主要考查是正弦函数图像，将函数化简是关键，考查学生对图像变换的理解和应用，是基础题.12.已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=（ ）A.D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出函数()(),f x g x 在,A B 点的切线方程，再根据题意可得出4118x a x =-，构造函数4()8x h x x =-，求出()h x 的最小值即可求出1x ，从而得到12x x +.【详解】2()2,f x x ax =+∴ ()22f x x a '=+， ∴()1122f x x a '=+，又()21112f x x ax =+，过A 点切线方程为：()21122y x a x x =+-，①又1()g x x=-，∴21()g x x'=，即()2221g x x '=，又()221g x x =-， 因此过B 点的切线方程为：22212y x x x =-，② 由题意知①②都为直线AB ,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， 令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x 单调递增，x ∴=时，()min h x ，1x ∴，则2212x x==12x x ∴+=故选：A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13.函数,0,()1,0,xx x f x e x <⎧=⎨-≥⎩则()(2)1f f +-=____． 【答案】22e - 【解析】 【分析】将2,1-分别代入分段函数，即可求得. 【详解】20>,()221f e ∴=-,由10-<，()11f -=-，()2(2)12f f e ∴+-=-.故答案为：22e -.【点睛】本题考查的是分段函数求值的应用，采用直接代入法求函数值，是基础题.14.设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为____．【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，可判断3d 最大，即可求出p 的值. 【详解】根据抛物线的几何性质可得12323,1,23222p p p d d d =+=+=+，由题意可得0p >， 因此可判断3d 最大，故33322p d =+=，解得3p =. 故答案为：3.【点睛】本题考查抛物线的知识，掌握抛物线的定义和性质是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力.15.已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S =____． 【答案】83【解析】 【分析】由数列的递推公式及152a =，依次计算出数列的前5项，可得数列{}n a 是周期为4的数列，则()21123415S a a a a a =++++,即可求得.【详解】由()122n n a a +-=，得122n na a +=-，又152a =， 得21242a a ==--，322123a a ==-，432625a a ==-，5142522a a a ===-， 数列{}n a 是周期为4的数列，()21123415165855423523S a a a a a ⎛⎫=++++=-+++= ⎪⎝⎭.故答案为：83.【点睛】本题主要考查的是利用递推关系求数列的和，考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力，是中档题.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】 (1). 2686π【解析】 【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是13312S ⎛=⨯= ⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，23613⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为1362312=， 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是26； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，所以2136663R R ⎛⎫=⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以球的体积334468633V R ππ===⎝⎭. 故答案为：2686π【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，1,AC BC == （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）14； （2）4. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sin B ，再利用同角三角函数基本关系式可求出cos B ；(2)根据题意知ACD ∆为等腰三角形，再利用余弦定理得出ACD ∆为等边三角形可得60A =︒，从而求出ABC ∆的面积．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =，解得sin B ，又030B ︒<<︒，所以cos B =（2）设AD CD x ==，则2BD x =． 在ABC ∆中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，①在等腰ACD ∆中，有112cos 2ACA AD x ==，② 联立①②，解得1x =或1x =-（舍去）． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．解法二：（1）同解法一．（2）设AD x =，则,2,CD x BD x == 因为ADC BDC ∠=π-∠， 所以cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-，所以21x =，解得1x =或1x =-（舍去）． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题. 18.等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足12112nn nc c c b a a a ++++=,求数列{}n c 的前2020项的和． 【答案】（1）2n a n =，2nn b =； （2）2022201928⨯+.【解析】 【分析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ====又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅， 又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩. 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③， 则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ，所以20222020201924T =⨯+，所以2020S =202220204201928T +=⨯+.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30． 【答案】（1）见解析； （2）点F 为BC 中点. 【解析】 【分析】(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面PCD 的法向量，利用数量积求出法向量间夹角，进而得到二面角的余弦值。
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷(二十二)理科数学
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷（二十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{|0,}M x x x =>∈R ，{||1|2,}N x x x =-∈Z ，则MN =A ．{|02,}x x x <∈RB ．{|02,}x x x <∈ZC ．{1,2,1,2}--D ．{1,2,3}2．已知复数z 满足()112z i i +=+(i 是虚数单位)，则复数z 的模z =A ．5 B ．102C ．10 D ．5 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．64B ．72C ．80D ．1124．在数列中，，，若，则 A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数()()22g x f x x =-是奇函数，且()12f =，则()1f -=A ．32-B ．1-C ．32D ．746．如图所示，在ABC ∆中，2BD CD =，若AB a =，AC b =，则AD =A ．2133a b + B ．2133a b - C ．1233a b +D ．22a b 33-7．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师。
年河北省衡水中学高考数学押题卷(理科)(金卷二)(解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学押题卷〔理科〕〔金卷二〕一．选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中．只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合M={x|y=lg〔x2﹣8x〕}，N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，那么{1，3，5，7}=〔〕A．∁R〔M∩N〕B．〔∁R M〕∩N C．〔∁R M〕∩〔∁R N〕D．M∩〔∁R N〕2．假设复数z满足〔+2i﹣3〕〔4+3i〕=3﹣4i，那么|z|=〔〕A． B． C．3D．23．将函数f〔x〕=3sin2x﹣cos2x的象向左平移个单位，所得的象其中的一条对称轴方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=4．等差数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项和，假设S n=an2+4n+a﹣4〔a∈R〕，记数列{}的前n项和为T n，那么T10=〔〕A．B．C．D．5．执行如下的程序框，假设输出的s=86，那么判断框内的正整数n的所有可能的值为〔〕A．7 B．6，7 C．6，7，8 D．8，96．夹角为的两个向量，，，向量满足〔〕•〔〕=0，那么||的取值范围为〔〕A．[1，]B．[0，2]C．[1，]D．[0，2]7．假设实数x、y满足不等式组，且z=ax+y仅在点P〔﹣，〕处获得最小值，那么a的取值范围为〔〕A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤08．双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左焦点为F1，P为左支上一点，|PF1|=a，P0与P关于原点对称，且=0．那么双曲线的渐近线方程为〔〕A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x9．设函数f〔x〕=，其中对∀x1，x2∈〔﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g〔x1〕+x2g〔x2〕＞x1g〔x2〕+x2g〔x1〕成立，且g〔0〕=1，假设不等式f〔x﹣a〕≤1〔a∈R〕的解集为D，且2e∈D〔e为自然对数的底数〕，那么a的最小值为〔〕A．0 B．1 C．e D．2e10．某几何体的三视如下，且该几何体的体积为，那么正视中x的值为〔〕A．B．2C．D．11．正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且对于任意的正整数n≥2 +=1，设数列{b n}满足b n=a sin，其前4n项和为T4n，那么满足T4n≤﹣36的最小正整数n的值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．假设二次函数f〔x〕=x2+1的象与曲线C：g〔x〕=ae x+1〔a＞0〕存在公共切线，那么实数a的取值范围为〔〕A．〔0，] B．〔0，] C．[，+∞〕D．[，+∞〕二．填空题：本大题共4小题．每题5分．13．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=3，a n+1=2S n〔n≥1〕，那么S n=_______．14．α∈〔0，〕，假设cos〔α+〕=，那么tan〔2α+〕=_______．15．点A、F分别是椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕的上顶点和左焦点，假设AF与圆O：x2+y2=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，那么椭圆C的标准方程为_______．16．将三项式〔x2+x+1〕n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：〔x2+x+1〕0=1〔x2+x+1〕1=x2+x+1〔x2+x+1〕2=x4+2x3+3x2+2x+1〔x2+x+1〕3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如下的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数〔缺乏3数的，缺少的数计为0〕之和，第k行共有2k+1个数．假设在〔1+ax〕〔x2+x+1〕5的展开式中，x7项的系数为75，那么实数a的值为_______．三．解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．〔1〕假设△BCD 的面积为，求线段CD的长；〔2〕假设DE=，求角A的值．18．如，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．〔I〕求证：AB⊥B1C；〔Ⅱ〕假设AB=B1C=2，BC=，求二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值．19．2021 年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2021年1月1日起正式施行．某地方案生育部门为了理解当地家庭对“全面二胎〞的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进展问卷调查．统计如表：居民编号2 8问35771107710247789577556 2 8 0 6 0 2 8 0 4 0 8 8 0 4 57 38 5 卷得分〔注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高〕〔Ⅰ〕列出该地得分为100分的居民编号；〔Ⅱ〕该地区方案生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶，试通过茎叶中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎〞的赞同程度〔不要求算出详细数值，给出结论即可〕；〔Ⅲ〕将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度〞．当地方案生育部门想更进一步理解城市居民“持赞同态度〞居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．〔i〕求每次抽取1人，抽到“持赞同态度〞居民的概率；〔ii〕假设设被抽到的4人“持赞同态度〞的人数为ξ．每次抽取结果互相独立，求ξ的分布列、期望E〔ξ〕及其方差D〔ξ〕．20．点M是抛物线C1：y2=2px〔p＞0〕的准线与x轴的交点，点P是抛物线C1上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C2，〔x一1〕2+y2=1，且|MC2|=3|OM|为坐标原点．〔I〕求抛物线C1的标准方程；〔Ⅱ〕求△APB面积的最小值．21．函数f〔x〕=x3﹣x2+ax+2，g〔x〕=lnx﹣bx，且曲线y=f〔x〕在点〔0，2〕处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕假设m、n是函数g〔x〕的两个不同零点，求证：f〔mn〕＞f〔e2〕〔其中e为自然对数的底数〕．[选修4-1：几何证明选讲]22．如，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC 和AD相交于点F．〔I〕求证：AB•FC=AC•FB；〔Ⅱ〕假设D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数，φ∈[0，]〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心C的极坐标为〔2，〕，半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．〔I〕求圆C的极坐标方程；〔Ⅱ〕求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．〔I〕当a=1时，解不等式f〔x〕≤2；〔Ⅱ〕当a=3时，假设f〔x〕≥m恒成立，务实数m的取值范围．2021年河北省衡水中学高考数学押题卷〔理科〕〔金卷二〕参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中．只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合M={x|y=lg〔x2﹣8x〕}，N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，那么{1，3，5，7}=〔〕A．∁R〔M∩N〕B．〔∁R M〕∩N C．〔∁R M〕∩〔∁R N〕D．M∩〔∁R N〕【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合M，根据N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，和{1，3，5，7}可得答案．【解答】解：∵x2﹣8x＞0，解得x＜0或x＞8，∴M=〔﹣∞，0〕∪〔8，+∞〕，∴∁R M=[0，8]，∵N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，∴〔∁R M〕∩N={1，3，5，7}．应选：B．2．假设复数z满足〔+2i﹣3〕〔4+3i〕=3﹣4i，那么|z|=〔〕A． B． C．3D．2【考点】复数求模．【分析】把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算求得，再由求得答案．【解答】解：由〔+2i﹣3〕〔4+3i〕=3﹣4i，得=，∴．应选：C．3．将函数f〔x〕=3sin2x﹣cos2x的象向左平移个单位，所得的象其中的一条对称轴方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的象变换．【分析】利用两角差的正弦函数公式可求f〔x〕=2sin〔2x﹣〕，根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的象变换规可得g〔x〕=2sin〔2x+〕，利用正弦函数的对称性即可得解．【解答】解：f〔x〕=sin2x﹣cos2x=2sin〔2x﹣〕，将函数的象向左平移个单位得到函数g〔x〕=2sin[2〔x+〕﹣]=2sin〔2x+〕，由2x+=kπ+，k∈Z，可得所得的象的对称轴方程为：x=+，k∈Z，当k=0时，可知函数g〔x〕象关于直线x=对称．应选：B．4．等差数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项和，假设S n=an2+4n+a﹣4〔a∈R〕，记数列{}的前n项和为T n，那么T10=〔〕A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由等差数列{a n}的前n项和的性质及其S n=an2+4n+a﹣4，可得a﹣4=0，a=4．于是S n=4n2+4n.=．利用“裂项求和〞方法即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和的性质及其S n=an2+4n+a﹣4，可得a﹣4=0，解得a=4．∴S n=4n2+4n．∴=．∴T10=+…+==．应选：D．5．执行如下的程序框，假设输出的s=86，那么判断框内的正整数n的所有可能的值为〔〕A．7 B．6，7 C．6，7，8 D．8，9【考点】程序框．【分析】由中的程序框可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得s=1，k=0执行循环体，s=2，k=2不满足条件2＞n，执行循环体，s=6，k=4不满足条件4＞n，执行循环体，s=22，k=6不满足条件6＞n，执行循环体，s=86，k=8此时，应该满足条件8＞n，执行循环体，退出循环，输出s的值为86，所以，判断框内n的值满足条件：6≤n＜8，那么判断框内的正整数n的所有可能的值为6，7．应选：B．6．夹角为的两个向量，，，向量满足〔〕•〔〕=0，那么||的取值范围为〔〕A．[1，]B．[0，2]C．[1，]D．[0，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=2，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值，进而得到所求范围．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==2，〔﹣〕•〔﹣〕=2+•﹣•〔+〕=||2﹣||•|+|cos＜+，＞=0，即为||=2cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是2．那么||的取值范围为[0，2]．应选：B．7．假设实数x、y满足不等式组，且z=ax+y仅在点P〔﹣，〕处获得最小值，那么a的取值范围为〔〕A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤0【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化z=ax+y为y=﹣ax+z，从而可得﹣a＜﹣1，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，z=ax+y可化为y=﹣ax+z，∵z=ax+y仅在点P〔﹣，〕处获得最小值，∴﹣a＜﹣1，∴a＞1，应选：B．8．双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左焦点为F1，P为左支上一点，|PF1|=a，P0与P关于原点对称，且=0．那么双曲线的渐近线方程为〔〕A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的边角关系进展求解即可．【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，那么由对称性知，|P0F2|=|PF1|=a，那么|P0F1|﹣|P0F2|=2a，即|P0F1|=3a，∵=0，∴P0F1⊥PF1，即P0F1⊥P0F2，那么4c2=〔3a〕2+a2=10a2=4〔a2+b2〕即3a2=4b2，那么，即=，即双曲线的渐近线方程为y=x，应选：C．9．设函数f〔x〕=，其中对∀x1，x2∈〔﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g〔x1〕+x2g〔x2〕＞x1g〔x2〕+x2g〔x1〕成立，且g〔0〕=1，假设不等式f〔x﹣a〕≤1〔a∈R〕的解集为D，且2e∈D〔e为自然对数的底数〕，那么a的最小值为〔〕A．0 B．1 C．e D．2e【考点】函数的象．【分析】根据函数的单调性的定义可得g〔x〕在〔﹣∞，0]内单调递增，根据题意作出函数f〔x〕的简，利用树形结合的思想即可求出．【解答】解：对∀x1，x2∈〔﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g〔x1〕+x2g〔x2〕＞x1g〔x2〕+x2g 〔x1〕，∴[g〔x2〕﹣g〔x1〕]〔x2﹣x1〕＞0，∴g〔x〕在〔﹣∞，0]内单调递增，根据题意作出函数f〔x〕的简，如所述，令f〔x〕≤1，由f〔x〕的象可知x≤e，假设f〔x﹣a〕≤1，那么x≤e+a，∴D=〔﹣∞，e+a]，又2e∈D，∴2e≤a+e，∴a≥e，那么a的最小值是e，应选：C．10．某几何体的三视如下，且该几何体的体积为，那么正视中x的值为〔〕A．B．2C．D．【考点】由三视求面积、体积．【分析】由三视知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一局部，画出直观求出几何体的棱，结合几何体的体积和柱体的体积公式列出方程，求出x即可．【解答】解：根据三视知几何体是：直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一局部，直观如下：其中AB=x，且BC=2，长方体底面的宽是，∵该几何体的体积为，∴=，解得x=，应选：D．11．正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且对于任意的正整数n≥2 +=1，设数列{b n}满足b n=a sin，其前4n项和为T4n，那么满足T4n≤﹣36的最小正整数n的值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数列递推式．【分析】先由递推公式得到数列{a n}是以2为首项吗，以1为公差的等差数列，再求出b n，分别计算前4项和，5﹣8项和，9﹣12项和，找到规得到T4n递减，当n=2时，满足，问题得以．【解答】解：由题意可得，当n=2时+=1，∴=1，即a 22﹣a 2﹣6=0，解得a 2=3或a 2=﹣2〔舍去〕， 当n ≥2+=1，∴2〔S n +1〕+S n ﹣1•a n =a n 〔S n +1〕， ∴2〔S n +1〕+〔S n ﹣a n 〕a n =a n 〔S n +1〕， ∴2S n +2=a n 2+a n ，当n ≥3时，2S n ﹣1+2=a n ﹣12+a n ﹣1， 两式相减得2a n =a n 2+a n ﹣a n ﹣12﹣a n ﹣1， ∴a n +a n ﹣1=a n 2﹣a n ﹣12， ∵正项数列{a n }， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，〔n ≥3〕，∵a 2﹣a 1=1，∴数列{a n }是以2为首项吗，以1为公差的等差数列， ∴a n =2+〔n ﹣1〕=n +1， ∴b n =〔n +1〕2sin ，∴当n=1时，sin=1，n=2时，sin π=0，n=3时，sin=﹣1，n=4时，sin2π=0，∴b 1+b 2+b 3+b 4=4+0﹣16+0=﹣12， b 5+b 6+b 7+b 8=36+0﹣64+0=﹣28， b 9+b 10+b 11+b 12=102+0﹣122+0=﹣44， …b 4n ﹣3+b 4n ﹣2+b 4n ﹣1+b n =〔4n ﹣2〕2﹣〔4n 〕2=﹣2〔8n ﹣2〕=4﹣16n ＜0， ∴T 4n 递减，当n=2时，满足， 应选：B12．假设二次函数f 〔x 〕=x 2+1的象与曲线C ：g 〔x 〕=ae x +1〔a ＞0〕存在公共切线，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A ．〔0，] B ．〔0，] C ．[，+∞〕 D ．[，+∞〕【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】设公切线与f 〔x 〕、g 〔x 〕的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，别离出a 后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a 的取值范围． 【解答】解：设公切线与f 〔x 〕=x 2+1的象切于点〔x 1，〕，与曲线C ：g 〔x 〕=ae x +1切于点〔x 2，〕，∴2x 1===，化简可得，2x1=，得x1=0或2x2=x1+2，∵2x1=，且a＞0，∴x1＞0，那么2x2=x1+2＞2，即x2＞1，由2x1=得a==，设h〔x〕=〔x＞1〕，那么h′〔x〕=，∴h〔x〕在〔1，2〕上递增，在〔2，+∞〕上递减，∴h〔x〕max=h〔2〕=，∴实数a的取值范围为〔0，]，应选：A．二．填空题：本大题共4小题．每题5分．13．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=3，a n+1=2S n〔n≥1〕，那么S n=3n．【考点】数列递推式．【分析】由a n+1=2S n〔n≥1〕，可得S n+1﹣S n=2S n，即S n+1=3S n利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=2S n〔n≥1〕，∴S n+1﹣S n=2S n，即S n+1=3S n，∴数列{S n}是等比数列，首项为S1=3，公比为q=3，∴S n=3•3n﹣1=3n．故答案为：3n．14．α∈〔0，〕，假设cos〔α+〕=，那么tan〔2α+〕=．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由同角三角函数关系得sin〔α+〕=，由二倍角公式得tan[2〔α+〕]=，由两角差的正切公式得结果．【解答】解：∵cos〔α+〕=，α∈〔0，〕，∵cos2〔α+〕+sin2〔α+〕=1，α+∈〔，〕∴sin〔α+〕=，∴tan〔α+〕=，∴tan[2〔α+〕]==，∴tan〔2α+〕=tan〔2α+﹣〕=tan[2〔α+〕﹣]=．15．点A、F分别是椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕的上顶点和左焦点，假设AF与圆O：x2+y2=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，那么椭圆C的标准方程为=1．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】如下，设|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT，可得：|OT|2=|TF||AT|，解得m．又|OT|=2，可得b2=2+m2．c2=9m2﹣b2=12．可得a2=b2+c2，即可得出．【解答】解：如下，设|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT，可得：|OT|2=|TF||AT|，∴4=2m2，解得m=．又|OT|=2，∴b2=2+22=6．c2=9m2﹣b2=12．∴a2=b2+c2=18．∴椭圆C的标准方程为=1．故答案为：=1．16．将三项式〔x2+x+1〕n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：〔x2+x+1〕0=1〔x2+x+1〕1=x2+x+1〔x2+x+1〕2=x4+2x3+3x2+2x+1〔x2+x+1〕3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如下的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数〔缺乏3数的，缺少的数计为0〕之和，第k行共有2k+1个数．假设在〔1+ax〕〔x2+x+1〕5的展开式中，x7项的系数为75，那么实数a的值为1．【考点】归纳推理．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以〔1+ax〕〔x2+x+1〕5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，即可求出实数a的值．【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以〔1+ax〕〔x2+x+1〕5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，所以a=1．故答案为：1．三．解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．〔1〕假设△BCD的面积为，求线段CD的长；〔2〕假设DE=，求角A的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】〔1〕先根据三角形的内角A，B，C成等差数列，求出B的度数，再根据三角的面积公式求出BD，再根据余弦定理即可求出，〔2〕根据垂直平分线的性质得到AC=2AE=，再根据正弦定理，即可求出答案．【解答】解：〔1〕三角形的内角A，B，C成等差数列，那么有2B=A+C．又A+B+C=180°，∴B=60°，∵△BCD的面积为，a=2∴BD•BC•sin60°=，∴BD=，由余弦定理，CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=，∴CD=，〔2〕∵线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点，DE=，∴AE=，∴AC=2AE=2×=，由正弦定理可得=，即=，∴cosA=，∵0＜A＜180°，∴A=45°18．如，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．〔I〕求证：AB⊥B1C；〔Ⅱ〕假设AB=B1C=2，BC=，求二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】〔1〕取AB中点，连接OC，OB1，证明AB⊥平面OCB1，即可证明．AB⊥B1C；〔2〕建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角的余弦值，然后求正弦值即可．【解答】解：〔1〕∵四边形AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．∴△ABB1是等边三角形，取AB中点，连接OC，OB1，那么AB⊥OB1，∵CA=CB，∴AB⊥OC，∵OC∩OB1=O，OB1，OC⊂平面OB1C，∴AB⊥平面OCB1，∴AB⊥B1C；〔2〕∵△ABB1是等边三角形，AB=2，∴OB1=，∵在△ABC中，AB=2，BC=AC=，O为AB的中点，∴OC=1，∵B1C=2，0B1=，∴OB12+OC2=B1C2，∴OB1⊥OC，∵OB1⊥AB，∴OB1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OB，OC，OB1的方向为x，y，z轴的正向，建立如下的坐标系，可得A〔﹣1，0，0〕，B1〔0，0，〕，B〔1，0，0〕，C〔0，1，0〕，那么=+=+=〔﹣1，1，〕，那么C〔﹣1，1，〕，=〔1，0，〕，=〔0，1，〕，那么平面BAB1的一个法向量为=〔0，1，0〕，设=〔x，y，z〕为平面AB1C1的法向量，那么：•=x +z=0 •=y +z=0，令z=﹣1，那么x=y=，可得=〔，，﹣1〕，故cos ＜，＞==，那么sin ＜，＞==，即二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值是．19．2021 年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2021年1月1日起正式施行．某地方案生育部门为了理解当地家庭对“全面二胎〞的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进展问卷调查．统计如表：居民编号2 8问卷得分3652787161072781024478788945577735855〔注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高〕〔Ⅰ〕列出该地得分为100分的居民编号；〔Ⅱ〕该地区方案生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶，试通过茎叶中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎〞的赞同程度〔不要求算出详细数值，给出结论即可〕；〔Ⅲ〕将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度〞．当地方案生育部门想更进一步理解城市居民“持赞同态度〞居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．〔i〕求每次抽取1人，抽到“持赞同态度〞居民的概率；〔ii〕假设设被抽到的4人“持赞同态度〞的人数为ξ．每次抽取结果互相独立，求ξ的分布列、期望E〔ξ〕及其方差D〔ξ〕．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算根本领件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】〔Ⅰ〕数列{a n}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{a n}为等差数列，即可求出答案；〔Ⅱ〕根据茎叶和平均数中位数即可判断农村居民“全面二胎〞的赞同程度要高于城市居民；〔Ⅲ〕〔i〕城市居民“持赞同态度〞的居民有12人，即可求出答案，〔ii〕由题意知ξ～B〔4，〕，故ξ的分步列如下表，根据数学期望和方差的计算公式计算即可．【解答】解：〔Ⅰ〕记数列{a n}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{a n}为等差数列，公差d=10，且a3=28，得到为100分的居民编号分别对应为a6，a9，那么a6=a3+3d=58，a9=a3+6d=88，所以得分为100分的居民编号分别为58，88，〔Ⅱ〕通过茎叶可以看出，该地区农村居民问卷得分的平均值明显高于城市居民问卷得分的平均值，农村居民问卷得分的中位数为〔94+96〕=95，城市居民问卷得分的中位数为〔72+73〕=72.5，农村居民问卷得分的中位数明显高于城市居民问卷得分的中位数，所以农村居民“全面二胎〞的赞同程度要高于城市居民；〔Ⅲ〕〔i〕城市居民“持赞同态度〞的居民有12人，每次抽到“持赞同态度〞居民的概率为=，〔ii〕由题意知ξ～B〔4，〕，故ξ的分步列如下表，ξ0 1 2 3 4PE〔ξ〕=4×=所以D〔ξ〕=np〔1﹣p〕=4××=20．点M是抛物线C1：y2=2px〔p＞0〕的准线与x轴的交点，点P是抛物线C1上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C2，〔x一1〕2+y2=1，且|MC2|=3|OM|为坐标原点．〔I〕求抛物线C1的标准方程；〔Ⅱ〕求△APB面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】〔I〕求出M〔﹣，0〕，可得=，即可求抛物线C1的标准方程；〔Ⅱ〕设P〔x0，y0〕，A〔0，b〕，B〔0，c〕，求得直线PA的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PAB的面积，结合根本不等式，即可得到最小值．【解答】解：〔I〕由题意，C2〔1，0〕，∵|MC2|=3|OM|，∴M〔﹣，0〕，∴=，∴p=1，∴抛物线C1的标准方程是y2=2x；〔Ⅱ〕设P〔x0，y0〕，A〔0，b〕，B〔0，c〕，直线PA的方程为：〔y0﹣b〕x﹣x0y+x0b=0，又圆心〔1，0〕到PA的间隔为1，即=1，整理得：〔x0﹣2〕b2+2y0b﹣x0=0，同理可得：〔x0﹣2〕c2+2y0c﹣x0=0，所以，可知b，c是方程〔x0﹣2〕x2+2y0x﹣x0=0的两根，所以b+c=，bc=，依题意bc＜0，即x0＞2，那么〔c﹣b〕2=，因为y02=2x0，所以：|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|•|x0|=〔x0﹣2〕++4≥8当x0=4时上式获得等号，所以△PAB面积最小值为8．21．函数f〔x〕=x3﹣x2+ax+2，g〔x〕=lnx﹣bx，且曲线y=f〔x〕在点〔0，2〕处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕假设m、n是函数g〔x〕的两个不同零点，求证：f〔mn〕＞f〔e2〕〔其中e为自然对数的底数〕．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的断定定理．【分析】〔Ⅰ〕求出f〔x〕的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式可得a=3：〔Ⅱ〕求出f〔x〕的导数，可得f〔x〕在R上递增，要证f〔mn〕＞f〔e2〕，只需证mn＞e2，m、n是函数g〔x〕的两个不同零点，可得lnm=bm，lnn=bn，相加减，可得ln〔mn〕=ln•=ln•，设m＞n＞0，令t=＞1，那么h〔t〕=lnt•，只需证得当t＞1时，h〔t〕＞2．设φ〔t〕=lnt+﹣2，求得导数，判断单调性，即可得证．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=x3﹣x2+ax+2的导数为f′〔x〕=x2﹣2x+a，可得曲线y=f〔x〕在点〔0，2〕处的切线斜率为k=a，由两点的斜率可得=a，解得a=3；〔Ⅱ〕证明：f〔x〕=x3﹣x2+x+2的导数为f′〔x〕=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2≥0，即有f〔x〕在R上递增，要证f〔mn〕＞f〔e2〕，只需证mn＞e2，m、n是函数g〔x〕的两个不同零点，可得lnm=bm，lnn=bn，相减可得lnm﹣lnn=b〔m﹣n〕，相加可得lnm+lnn=b〔m+n〕，可得b==，即有ln〔mn〕=ln•=ln•，设m＞n＞0，令t=＞1，那么h〔t〕=lnt•，下证当t＞1时，h〔t〕＞2．即当t＞1时，lnt•＞2，即lnt＞=2〔1﹣〕，只需证t＞1时，lnt+﹣2＞0，设φ〔t〕=lnt+﹣2，那么φ′〔t〕=﹣=＞0，即φ〔t〕在〔1，+∞〕递增，可得φ〔t〕＞φ〔1〕=0，即ln〔mn〕＞2，故f〔mn〕＞f〔e2〕．[选修4-1：几何证明选讲]22．如，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC 和AD相交于点F．〔I〕求证：AB•FC=AC•FB；〔Ⅱ〕假设D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与断定．【分析】〔I〕连接CD，证明：△CFD∽△ACD，得到，即可证明AB•FC=AC•FB；〔Ⅱ〕证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB，即可求∠BAC．【解答】〔I〕证明：连接CD，∵直线ED与圆相切于点D，∴∠EDC=∠EAD，∵ED∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠EAD=∠DCB，∴∠CAD=∠DCF，∵∠CDF=∠ADC，∴△CFD∽△ACD，∴，∴AB•FC=AC•FB；〔Ⅱ〕解：∵D、E、C、F四点共圆，∴∠CFA=∠CED，∵ED∥BC，∴∠ACF=∠CED，∴∠ACF=∠CFA．由〔I〕可知∠EAD=∠DCB，∠DCB=∠DAB，∴∠EAD=∠DAB，设∠EAD=∠DAB=x，那么∠ABC=∠CAB=2x，∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x，∴x=∴∠BAC=2x=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数，φ∈[0，]〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心C的极坐标为〔2，〕，半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．〔I〕求圆C的极坐标方程；〔Ⅱ〕求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔I〕由圆C的圆心C的极坐标为〔2，〕，即，半径为2，可得圆的标准方程为：=4，展开利用互化公式即可化为极坐标方程．〔II〕把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，利用根与系数的关系可得：|MN|=|t1﹣t2|=，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：〔I〕由圆C的圆心C的极坐标为〔2，〕，即，半径为2，可得圆的标准方程为：=4，展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2sinθ=4cos．〔II〕把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，∴t1+t2=﹣2cosφ，t1t2=﹣3．∴|MN|=|t1﹣t2|==2，∵φ∈[0，]，∴cosφ∈，cos2φ∈．∴|MN|∈．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．〔I〕当a=1时，解不等式f〔x〕≤2；〔Ⅱ〕当a=3时，假设f〔x〕≥m恒成立，务实数m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】〔Ⅰ〕a=1时，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；〔Ⅱ〕a=3时，通过讨论x的范围，求出f〔x〕的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：〔Ⅰ〕a=1时，f〔x〕=2|x﹣1|+|x﹣2|=，x≤1时，4﹣3x≤2，解得：≤x≤1，1＜x＜2时，x≤2，∴1＜x＜2，x≥2时，3x﹣4≤2，∴x=2，综上，不等式的解集是{x|≤x≤2}；〔Ⅱ〕a=3时，f〔x〕=，x≤1时，6﹣3x≥3，∴f〔x〕≥3，1＜x≤2时，2≤4﹣x＜3，∴2≤f〔x〕＜3，2＜x≤3时，2＜f〔x〕≤3，x＞3时，3x﹣6＞3，∴f〔x〕＞3，综上，x=2时，f〔x〕的最小值是2，假设f〔x〕≥m恒成立，那么m≤2，故实数m的范围是〔﹣∞，2]．2021年9月8日。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(二十二)历史试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（二十二）历史试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷1.在先秦的地名来历中，因方国、部族对口有地名的沿袭而出现过“异地同名”的现象。
如西周懿王曾一度都于犬丘（今甘肃天水境内），后来的卫国和宋国均有地名犬丘。
秦先祖非子居地远在陇西，却也把其居住地命名为火丘。
这些史实表明，探寻“异地同名”现象有助于了解A. 自然环境的演变B. 朝代更迭的状况C. 疆土扩展的情形D. 移民迁徙的过程【答案】D【解析】【详解】据“方国、部族对口有地名的沿袭”可知，根据“异地同名”能够探寻方国、部族的迁移和沿袭，故D项符合题意；地名的变化并不一定能够了解自然环境演变、朝代更迭和疆土的扩展，排除ABC项。
河北衡水金卷2021-2022学年高三下学期联合考试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 2．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．323．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．31+C ．5D ．51-4．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦5．设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．)+∞C ．)+∞D ．2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭6．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π48．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆9．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12- B 1 C ．1D ．3210．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．13-B ．13C ．65-D ．6511．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届河北衡中同卷新高三原创预测试卷(二十二)理科数学
2021届河北衡中同卷新高三原创预测试卷（二十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230|A x x x =-<，{}|22xB x =<，则A B =( )A. {|1}<x xB. {|13}x x <<C. {|3}x x <D. {|01}x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合A ，根据指数函数单调性求出集合B ，取并集即可得出答案.【详解】∵集合{}{}2|30{|03},|22{|1}xA x x x x xB x x x =-<=<<=<=<{|3}A B x x ∴⋃=<.故选：C.【点睛】本题考查集合并集的运算，以及一元二次不等式的解法和指数函数单调性，属于基础题.2.已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A. 1,2⎛ ⎝⎭B. 12⎛- ⎝⎭C. 21⎫-⎪⎪⎝⎭或21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，()2=1-3a b -，设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案.【详解】因为(1,0)a =，(1,3)b =，则()22,0a =，所以()2=1-3a b -，， 设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，则221y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b-共线的单位向量为1,2⎛⎝⎭或12⎛-⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.3.已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin α=，则sin 2α=( )A.45B.35C.35D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，即可求出1m =-，得出(3,1)P -，得出sin α和cos α，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】根据题意，sin α==，解得1m =-， 所以(3,1)OP =-，所以sin αα==， 所以3sin 22sin cos 5ααα==-. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力. 4.已知函数2(0x y aa -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A. 1,2m n ==- B. 1,2m n =-= C. 1,2m n == D. 1,2m n =-=-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n .【详解】根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mnx n-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题. 5.下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A. sin y x =π. B. |1|y x =- C. cos y x π= D. e e xxy -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e ex xy -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C.【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.6.已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A.65D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点， 可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，01x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min 65||5PQ ==. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.7.已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω=求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π， 所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1Tππωπ===， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.8.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）B.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE=( )B. 2C.2D. 【答案】B 【解析】【分析】由题，可求出1,AD CD ==2AB DC =，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=，利用向量三角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合题给AE xAB y AD =+，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =.【详解】由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，可求得1,AD CD ==2AB DC =·∵点E 在线段BC 上， 设(01)BE BC λλ= ， 则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又因为AE xAB y AD =+ 所以1,2x y λλ=-=，所以2211111(1)1(1)22222xy λλλλ⎛⎫⎡⎤=-=---=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当1λ=时，等号成立. 所以1||||22AE AB AD =+=. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.10.已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c .【详解】因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为31382412422<=<=<，所以a b <，又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C .【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想. 11.已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( ) A. 2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D. 2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围.【详解】已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，则2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 2536ππϕ∴+=，6πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍， 则sin 26y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以当[0,2]x π时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，5466πππωπ∴+<，29352424ω∴<. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.12.若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A. 932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C. 932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.【详解】设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，因为2()34g x x x '=-， 所以()0g x '=，0x ∴=或43x =， 因为403x << 时，()0g x '<， 43x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩， 3232ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩， 所以9322ln 2ln 5a <. 故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知函数ln ,1()3,1x x x f x x >⎧=⎨⎩，若()1f a ，则a 的取值范围是__ 【答案】[0,1][,)e ⋃+∞【解析】【分析】根据分段函数的性质，即可求出a 的取值范围.【详解】当1a >时， ln 1a ，e a ∴，当1a 时，31a ，所以01a ，故a 的取值范围是[0,1][,)e ⋃+∞.故答案为：[0,1][,)e ⋃+∞.【点睛】本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.14.若tan 2α=，则cos 24sin 24παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭____. 【答案】17【解析】【分析】由tan 2α=， 得出4tan 23α=-，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为tan 2α=， 所以4tan 23α=-，所以4cos21cos2cos sin2sin1tan2143444tan217sin2cos cos2sin 1sin24434πππααααπππαααα⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭====-⎛⎫----⎪⎝⎭.故答案为：17.【点睛】本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.15.如图，已知扇形AOB的半径为1，面积为3π，则OA AB⋅=_____.【答案】32-【解析】【分析】根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角AOB∠，再根据等腰三角形性质求出||3AB=利用向量的数量积公式求出OA AB⋅.【详解】设角AOBθ∠=，则21132πθ=⨯，θ∴23π=，所以在等腰三角形OAB∆中，||3AB=则313cos1502OA AB︒⋅==-.故答案为：32-.【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别边,,a b c，且22a b c=，设角C的角平分线交AB于点D，则cos C的值最小时，BDAD=___.【解析】【分析】根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出cos 4C ≥，再利用正弦定理，即可得出BD AD.【详解】因为2a c =，则2a c +=， 由余弦定理得：222222221()324cos 228a b a a b c a b C ab ab ab +-+-+-===≥==时取等号， 又因为sin sin BD a BCD CDB =∠∠，sin sin AD b ACD CDA=∠∠，所以BD a AD b ===.【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.17.已知O 为坐标原点，单位圆与角x 终边的交点为P ，过P 作平行于y 轴的直线l ，设l 与3π终边所在直线的交点为Q ，()f x OP OQ =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）π；（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）根据题意，求得(cos ,sin )OP x x =，(cos )OQ x x =，因而得出2()cos cos f x OP OQ x x x =⋅=+，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数()f x ，最后利用2T ωπ=，求出()f x 的最小正周期；（2）由（1）得1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用整体代入求出函数的值域.【详解】（1） 因为(cos ,sin )OP x x = ， (cos )OQ x x =，所以2()cos cos f x OP OQ x x x =⋅=，1cos 21()2sin 22226x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）因为,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以7132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.18.已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，当(1,)x ∈+∞时，有()0f x >，且(2)1f =.（1）求不等式(4)(1)2f t f t --<的解集；（2）对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22sin 52(62)44f x x a f a ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）53a -. 【解析】【分析】（1）利用定义法求出函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，由()()()f xy f x f y =+和(2)1f =，求出(4)f ，求出(4)[4(1)]f t f t <-，运用单调性求出不等式的解集；（2）由于22sin 52(62)44f x x a f a ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立，由（1）得出()y f x =在(0,)+∞上单调递增，22sin 526244620x x a a a ππ⎧⎛⎫⎛⎫+---+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪->⎩恒成立，设2()2sin 5244g x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用三角恒等变换化简()g x ，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）设120x x >>， ()()()()()1111222222220x x x f x f x f x f x f f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⋅-=+-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，又因为()()()f xy f x f y =+和(2)1f =，则(4)(22)(2)(2)2f f f f =⨯=+=，所以(4)(1)2(1)(4)[4(1)]f t f t f t f f t <-+=-+=-得401044(1)t t t t >⎧⎪->⎨⎪<-⎩解得0112t t t ⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪<⎩，即102t <<， 故t 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由于22sin 52(62)44f x x a f a ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立，⇔22sin 526244620x x a a a ππ⎧⎛⎫⎛⎫+---+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪->⎩恒成立，设2()2sin 5244g x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2()2sin 5244g x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2cos sin 5+2222x x x a π⎫⎛⎫=-+-+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭32sin cos 2(cos sin )5x x x x a =+-+-，令cos sin 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ∈， 所以22()252(1)51h t t t a t a =--+=--+在区间上单调递增，所以min ()51h t a =-+，根据条件，只要5162620a a a -+-⎧⎨->⎩， 所以53a -. 【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.19.在ABC 中， 角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ， 其中a c <，222cos()sin cos b c a B C bc C C+--+= . （1）求角C 的值；（2）若45c =，a =，D 为AC 边上的任意一点，求2AD BD +的最小值.【答案】（1）4π；（2）9+. 【解析】【分析】（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；（2）在ABC ∆中， 由余弦定理得63b AC ==，在BCD ∆中结合正弦定理求出27sin BD θ=，从而得出CD ，即可得出2y AD BD =+的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出2AD BD +的最小值.【详解】（1） 222cos()sin cos b c a B C bc C C+--+=， cos 2cos sin cos A A C C∴=， 由题知，a c <，则A C ∠<∠，则cos 0A ≠ 2sin cos 1C C ∴=，sin 21C ∴=，4C π∴=；（2）在ABC ∆中， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，63b AC ∴==，设3,4BDC A πθθ∠=<<， 其中3sin 5A =.在BCD 中，sin sin 4BDBC πθ=，sin 4BDπ∴=27sin BD θ∴=，()27(sin cos )45sin sin CD θθθθθ︒+=+=， 所以27(sin cos )2272cos 263362727sin sin sin y AD BD θθθθθθ+⨯-=+=-+=-+⨯， 2cos 2cos sin 0sin t θθθθ--==--， 所以t 的几何意义为(0,2),(sin ,cos )θθ两点连线斜率的相反数， 数形结合可得2cos 30sin t θθ-=--，故2AD BD +的最小值为9+.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.20.已知函数()y f x =与x y e =的图象关于直线y x =对称. （e 为自然对数的底数）（1）若()y f x =的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过点(1),e --，求0x 的值；（2）若不等式21()(1)12f x ax a x ---恒成立，求正整数a 的最小值. 【答案】（1）e ；（2）2.【解析】【分析】（1）根据反函数的性质，得出()ln f x x =，再利用导数的几何意义，求出曲线ln y x =在点A 处的切线为)0001(y y x x x -=-，构造函数()ln H x x x =，利用导数求出单调性，即可得出0x 的值；（2）设21()ln (1)12g x x ax a x =-+-+，求导()1(1)a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-，求出()g x 的单调性，从而得出最大值为11ln 2g a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合恒成立的性质，得出正整数a 的最小值. 【详解】（1）根据题意，()y f x =与x y e =的图象关于直线y x =对称，所以函数()f x 的图象与x y e =互为反函数，则()ln f x x =,，设点()00,A x y ，00ln y x =，又1y x '=， 当0x x =时，01y x '=， 曲线ln y x =在点A 处的切线为)0001(y y x x x -=-， 即00ln 1x y x x -=-，代入点(1),e --， 得001ln 1e x x ---=-，即00ln e x x =， 构造函数()ln H x x x =，当(0,1)x ∈时，()0H x <，当(1,)x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()0,()H x H x '>单调递增， 而()H e e =， 故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =.（2）由于不等式21()(1)12f x ax a x ---恒成立， 可设21()ln (1)12g x x ax a x =-+-+， 所以2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，令()0g x '=，得1x a=. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在x ∈1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数. 故函数()g x 的最大值为111ln 2g a a a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 2111(1)1ln 2a a a a a ⎛⎫+-⨯+=- ⎪⎝⎭. 令1()ln 2h a a a =-， 因为1(1)02h =>，1(2)4h = ln 20-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数. 所以当2a 时，()0h a <. 所以正整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题，涉及到单调性、构造函数法等，考查函数思想和计算能力.21.某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路12,l l ，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道MN ，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路12,l l 和山区边界的直线型公路l ， 以12,l l 所在的直线分别为x 轴，y 轴， 建立平面直角坐标系xOy ， 如图所示， 山区边界曲线为100:(0)C y x x=>，设公路l 与曲线C 相切于点P ，P 的横坐标为t .（1）当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度；（2）当公路l 的长度最短时，设公路l 交x 轴，y 轴分别为A ，B 两点，并测得四边形ABMN中，3BAN π∠=，23MBA π∠=，102AN =153BM =求应开凿的隧道MN 的长度.【答案】（1）当10t =时，公路l 的长度最短为202（2）551. 【解析】 【分析】（1）设切点P 的坐标为100,(0)t t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义求出切线l 的方程为2100100()y x t t t -=--，根据两点间距离得出22400004,0AB t t t=+>，构造函数2240000()4,0g t t t t=+>，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；（2）在ABN ∆中，由余弦定理得出106BN =sin sin BN ANBAN ABN=∠∠，求出6ABN π∠=，最后根据勾股定理即可求出MN 的长度.【详解】（1）由题可知，设点P 的坐标为100,(0)t t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 又2100(0)y x x '=->， 则直线l 的方程为2100100()y x t t t-=--，由此得直线l 与坐标轴交点为：200(2,0),0,A tB t ⎛⎫⎪⎝⎭，则0AB t =>，故()0f t t =>， 设2240000()4,0g t t t t =+>，则3240000()8g t t t '⨯=-. 令()0g t '=，解得t =10.当(0,10)t ∈时，()0,()'<g t g t 是减函数； 当(10,)t ∈+∞时，()0,()'>g t g t 是增函数.所以当10t =时，函数()g t 有极小值，也是最小值， 所以min ()800g t =，此时min ()f t =故当10t =时，公路l的长度最短，最短长度为. （2） 在ABN ∆中，AN =3BAN π∠=,所以2222cos BN AB AN AB AN BAN =+-⋅∠，所以BN =， 根据正弦定理sin sin BN AN BAN ABN =∠∠sin sin3ABN π∴=∠，1sin 2ABN ∴∠=，6ABN π∴∠=，又23MBA π∠=，所以2MBN MBA ABN π∠=∠-∠=.在MBN △中，BM =BN = 由勾股定理可得222MN BM BN =+，即222MN =+，解得，MN =（千米）.【点睛】本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.22.已知函数2()ln f x ax a x =--，[0,)a ∃∈+∞,使得对任意两个不等的正实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x -<-恒成立.（1）求()f x 的解析式； （2）若方程1()2f x m x=+有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 【答案】（1）()ln f x x =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求导得2121()2(0)ax f x ax x x x'-=-=>，分类讨论()f x 的单调性，结合题意，得出()f x 的解析式；（2）由12,x x 为方程1()2f x m x =+的两个实根，得出111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=，两式相减，分别算出1x 和2x ，利用换元法令12x t x =和构造函数1()2ln ,01h t t t t t=--<<，根据导数研究单调性，求出()(1)0h t h <=，即可证出结论.【详解】（1）根据题意，()f x 对任意两个不等的正实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x -<-恒成立.则()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为2121()2(0)ax f x ax x x x'-=-=>，当0a =时，()0,()f x f x '<(0,)+∞内单调递减.，当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，综上，0a =，所以()ln f x x =-. （2）由12,x x 为方程1()2f x m x=+的两个实根， 得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=， 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=， 因此122112112211,2ln 2lnx x x x x x x x x x --==，令12x t x =，由12x x <，得01t <<， 则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=， 构造函数1()2ln ,01h t t t t t=--<<.则22212(1)()10t h t t t t -'=+-=>，所以函数()h t 在(0,1)上单调递增， 故()(1)0h t h <=，即12ln 0t t t--<， 可知112ln t t t->，故121x x +>，命题得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.。
河北省衡水市衡水中学2021届高三数学试题模拟合辑含详解
（Ⅰ）当 t 0 时，求 f x 的弹性区间 D； （Ⅱ）若 f x 1 在（Ⅰ）中的区间 D 上恒成立，求实数 t 的取值范围.
5
数学参考答案 _210210
一、选择题
1.B【解析】因为 A {x∣0 x 2}, B {x∣0 x 4} ， C {0, 2, 4, 6,} ，所以 A B {x∣0 x 4} ，所以
B. g(x) 的最小正周期为
C.点
8
,
0
是
g(x)
图象的一个对称中心
D. g(x) 的最大值为 5
12. 已 知 函 数
f
(x)
sin(
x
)
0,|
|
2
在区间
2
,
2 3
上至少存在两个不同的
x1, x2
满足
f
x1
f
x2 1 ，且
f
x
在区间
3
,
12
上具有单调性，点
6
的答案是 S1, S3 , S2 成等差数列. 如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.
4
22.（12 分）
定义可导函数 y f x 在 x 处的弹性函数为 f (x) x ，其中 f (x) 为 f (x) 的导数.在区间 D 上，若函数
f (x)
f x 的弹性函数值大于 1，则称 f x 在区间 D 上具有弹性，相应的区间 D 也称作 f x 的弹性区间. （1）若 r(x) ex x 1 ，求 r x 的弹性函数及弹性函数的零点；
1 2
x
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2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（二十二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I ．下列与角94π的终边相同的角的表达式中正确的是 A ．()245k k Z π+∈ B ．()93604k k Z π⋅+∈C ．()360315k k Z ⋅-∈D ．()54k k Z ππ⋅+∈2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，24612a a a ++=，则7S 等于 A ．20B ．28C ．36D ．43．函数()()1sin 0f x x x π=+-在，2上是 A ．增函数B ．减函数C ．在()0π，上增，在()2ππ，上减D ．在()0π，上减，在()2ππ，上增4．已知()1sin 34απα+=-，且为第二象限角，则cos α等于A ．3-B ．3C ．4-D ． 5．函数()3sin x xx xf x e e -+=+的图象大致是6．已知函数()y f x =满足()()12f x f x +=，且()()5334f f =+，则()4f 等于 A ．一16B ．8C ．4D ．27．已知定义域为R 的函数()f x 满足()11,4022f f x x ⎛⎫'=+>⎪⎝⎭，其中()()f x f x '为的导函数，则不等式()sin cos20f x x -≥的解集为 A ．2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8．若不等式()[]sin 01,16x a b x x ππ⎛⎫--+≤∈- ⎪⎝⎭对上恒成立，则a b +等于 A ．23B ．56C ．1D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．如果函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则以下关于函数()y f x =的判断错误的是A ．在区间(2，4)内单调递减B ．在区间(2，3)内单调递增C ．3x =-是极小值点D ．4x =是极大值点 10．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中正确的是A ．()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =的表达式可改写为()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()y f x =的图象关于直线6x π=对称D ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是 A ．数列{}2n a 是等比数列 B ．若372,32a a ==，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 项和131n n S r r -=+=-，则12．已知不等式1xe x x R ≥+∀∈对恒成立．以下命题中真命题是A ．对x R ∀∈，不等式1xex -≥-恒成立B ．对()0,x ∀∈+∞，不等式()ln 1x x +<恒成立 C. 对()0,x ∀∈+∞，且1x ≠，不等式ln 1x x <-恒成立 D. 对()0,x ∀∈+∞，且1x ≠，不等式()ln 11ln 11x xx x x ++>+-恒成立第II 卷(共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知定义在R 上的()f x 函数满足()()3f x f x +=，且()23f =，则()2021f 的值为____________.l4．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为,,a b c ．若2,3sin 5sin b c a A B +==，则最大角的余弦值为_____________．15．已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点12,x x ，把122x x -、、三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为()f x =_____ _______________.16．若存在直线()y h x =，对于函数()()2ln ,2x f x e x ax g x x =-=-，使得对任意的()()()0,,x h x f x ∈+∞≥，对任意的()(),x R g x h x ∈≥，则a 的取值范围是_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)在(1) m a ，(2) m S 中任选一个，补充在下面问题中，问题：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，72849,18S a a =+=，若317S a 、、______成等比数列，求3m S .18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭． (1)求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值： (2)若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值．19．(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm .由检验知该地下车库一氧化碳浓度()y ppm 与排气时间t(分钟)之间存在函数关系12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,c m 为常数)．(1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?20．(本小题满分l2分)已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，其面2224b c a S +-=．(1)若6a =，2b =，求cos B ．(2)求()()sin sin cos cos A B B B B A +++-的最大值．21．(本小题满分l2分)某工厂去年l2月试产1050个高新电子产品，产品台格率为90％，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按照去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产照都在前一个月的基础是提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内?并用所学数列知识，加 以说明理由．附表：(可能用到的数据)22．(本小题满分12分) 已知函数()()2xf x x ea =-(1)若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值 (2)若()1ln f x x x a ≥++，求的取值范围数学试题参考答案一、单项选择题：C B A D A B D B多项选择题：9：AC 10.BD 11.AC 12.ABCD 二、填空题 13.3 14.12-15.()254f x x x =-+ 16.[)1,+∞8.解：法一：由题意可知：当15,,sin 0666x x ππ⎡⎤⎛⎫∈-+≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当151,,1,sin 0666x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈--⋃+≤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，故当1515,,01,,1,06666x x a b x x a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈---≤∈--⋃--≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当， 即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭右图像可得： 显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩， 15.解：函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点12,x x ， 可得121212,,x x a x x b x x +=-=>0,>0且，122,x x -和三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，可得()21224x x b =-==，再设122,,x x -为等差数列，可得1222x x =-，代入韦达定理可得12222,33a ax x ---==， 即有222.4533a aa ---==-，解得（4舍去），则()254f x x x =-+.故答案为：()254f x x x =-+. 16.解：设直线y kx b =+满足题意.（i ）由()221022x x x kx b k x b -≥+-+-≥，即对任意的x R ∈都成立，得()2120k b ∆=++≤，所以()2102k b +≤-≤，（ii ）令()()ln F x e x a k x b =-+-，()()()e a k x eF x a k x x-+'=-+=， ①若()()00,a k F x F x '+≤>，则单调递增，()()0F e e a k e b =-+->，不合题意； ②若()00e a k F x a k ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，则在，上单调递增，在,e a k ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减，所以()()max ln ln e e F x F e e b e a k b a k a k ⎛⎫==--=-+-⎪++⎝⎭， 所以()()ln 0ln e a k b e a k b -+-≤+≥-，即， 由（i ）得()()()22121ln 2k ek e a k a k e+++≥≥-+，即，令()()()()2211221,1k k eek k k ek eeϕϕ+++'=-+=-+⋅， ()()()()2221122110k k eek k eek e eϕϕ+++⎛⎫'''=⋅+⋅> ⎪⎝⎭，所以单调递增，又因为)()()101x ϕϕ'=-∞，所以在是单调递减，)1,-+∞是单递增，所以())[)min 111,x a ϕϕ==∈+∞，所以.三、解答题：17.解：设等差数列{}n a 的公差为,n d S 为等差数列{}n a 的前n 项和，749,S =2818a a +=，744528574979218S a a a a a a ===⎧⎧∴⇒⎨⎨=+==⎩⎩，解得：2d =. ()4421n a a n d n ∴=+-⨯=-()21212n n n S n +-==……………………………………………………………………5分若选：（1）317,,m S a a 成等比数列，22317933m m S a a a ∴==，即，所以()29213361m m -==解得.………………………………………………………8分 故2318318333489m S S ===……………………………………………………………10分 若选：（2）317,,m S a S 成等比数列，222317933m S S a m ∴==，即，解得11m =.………………………………………………………………………………8分 故2333331089m S S ===………………………………………………………………10分 18.解（1）由题意知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭，则1OP ==，由三角函数的定义，可得43sin ,cos 55αα=-=-，……………………………………3分所以1143sin sin 32255πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6分 （2）因为()5sin 13αβ+=， 所以()12cos 13αβ+===±，……………………8分又因为()βαβα=+-，所以()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，当()1256cos cos 1365αββ+==-时，； 当()1216cos cos 1365αββ+=-=时，；综上所述，当5616cos cos 6565ββ=-=或………………………………………………12分 19.解（1）由题意可列方程组4816421322mmc c ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩两式相除，解昨128,1.4c m =⎧⎪⎨=⎪⎩……………6分 （2）由题意可列不等式1411280.52t ⎛⎫≤⎪⎝⎭， 所以1841118224t t ⎛⎫⎛⎫≤≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，解得32t ≥.…………………………………………10分故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态…………12分20.解（1）因为三角形面积为2221sin 24b c a S bc A +-==，所以222sin cos 24b c a A A A bc π+-===，解得，………………………………………3分因为a b ==sin sin a bA B=，所以sin sin b AB a===，因为a b A B >>，所以，所以B 为锐角，所以cos 6B =…………………………………………………………………………6分 （2）由（1）知4A π=，所以()()sin sin cos cos A B B B B A +++-sin sin cos cos 44B B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin cos cos 2222B B B B B B =++++，)sin cos sin cos B B B B =++，……………………………………………………9分令sin cos 4t B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为30,,,444B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以(](sin 0,14B t π⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭，所以……………………………………………10分原式(222111322222t t t -+=+-=+-，当4t B π==时，原式取得最大值52.………………………………………………12分 21.解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，{}{},n n a b 由题意，知11050 1.05n n a -=⨯()190%0.4%10.1040.004n b n n =-+-=-⎡⎤⎣⎦，其中1,2,,24n =⋅⋅⋅，则从今年1月起，各月不合产品数量是()11050 1.050.1040.004n n n a b n -=⨯⨯-()1.051044n n =⨯-………………………………4分又由：()(]111 1.0510441 1.051044n n n n n n a b a b n n +++-=⨯-+-⨯-⎡⎤⎣⎦()51.0510.2 1.055n n nn -=⨯-=⨯所以当6n ≤时，{}n n a b 是递增数列，当{}6n n n a b ≥时，是递减数列，…………………………………………………………8分 且()11 1.051044105a b =⨯-=，…………………………………………………………9分 由表计算可知()121212 1.0510*******.8a b =⨯-⨯≈ ()131313 1.0510441398.3100.8a b =⨯-⨯≈<所以，当131********n n n a b a b ≤≤≤<时，…………………………………………11分 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.………………12分22.解：（1）因为()()()()2221x x f x x e a f x x e a '=-=+-，所以设直线()2y x y f x ==与的图像的切点为()11,x y则()121212x x e a +-=因为切线既在切线上又在曲线上，所以()2111112x y x e ay x ⎧⎪=-⎨⎪=⎩由上述方程解得11,01a x a =-==-故……………………………………………………4分（2）法一：由题意得()()()221ln 11ln 1x x xe x a x xe x a x ≥+++-+≥+，即 因为()21ln 01x x x e a x +>-≥+，所以 设()()2222221ln ln 2ln 2x x x x x x e x F x e F x e x x x ++'=-=+=，则……………………6分 考察函数()222ln x h x x e x =+因为()()()()214100x h x xe x h x x =++>+∞，所以在，单调递增 又()()1222210120h e e h e e--=-<=>，且 所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02200002ln 0x h x x e x =+=，即所以当()()()()00,,0,0,x x h x F x F x '∈<<时单调递减；当()()()()0,0,x x h x F x F x '∈+∞>0,>时，单调递增所以()()0200min 01ln x x F x F x e x +==- 由题意得，()0220010x a F x x e t t +≤=>令，则，取对数得0022ln ln x x t +=由0220002ln 02ln 0x x e x t x +=+=，得由此得002ln 2ln x x t t +=+设函数()()()02ln ,x x x x t ϕϕϕ=+=则有因为()()2ln 0x x x ϕ=++∞在，上单调递增所以000ln 2x t x x ==-，即……………………………………………………………10分所以()020000001ln 112212x x x F x e a x x x +-=-=-=+≤，故， 解得1a ≤故的取值范围是(],1-∞………………………………………………………12分 法二：放缩法先证()()111x x x e x F x e x F x e '≥+=--=-令，则当()()(),00,x F x F x '∈-∞<时，单调递减；当()()()0,0,x F x F x '∈+∞>时，单调递增所以()()00,1x F x F e x ≥=≥+即……………………………………………………6分 由()()21ln 1ln x f x x x x ea x x ≥++-≥++得 因为221ln ln 10,1x x x xe x x x a e x x+--->≤--=得………………………………8分 又因为2ln 2ln 1ln 1ln 21ln 11x x x xe x x e x x x x x x x x x+------++---=≥= 所以1a ≤…………………………………………………………………………………12分。