非线性分析作业讲义
激光实验-非线性光学讲义
固体激光倍频与和频一、实验目的：1、了解激光倍频的原理和意义；2、了解角度匹配的原理及调节方法；3、掌握KTP晶体（KTiOPO4磷酸氧钛钾）的匹配类型及匹配角度；4、了解KTP晶体匹配角的计算方法；5、掌握倍频效率的测量方法及倍频效率随注入能量的变化规律。
二、实验原理：1.非线性光学基础光与物质相互作用的全过程，可分为光作用于物质．引起物质极化形成极化场以及极化场作为新的辐射源向外辐射光波的两个分过程．原子是由原子核和核外电子构成，当频率为ω的光入射介质后，引起介质中原子的极化，即负电中心相对正电中心发生位移r形成电偶极矩其中e是负电中心的电量,我们定义单位体积内原子偶极矩的总和为极化强度矢量P，N是单位体积内的原子数．极化强度矢量和入射场的关系式为：其中χ（1），χ（2），χ（3）…分别称为线性极化率．二级非线性极化率．三级非线性极化率…．并且χ（1）》χ（2）》χ（3）在一般情况下．每增加一次极化，χ值减小七八个数量级．由于入射光是变化的．其振幅为以极化强度也是变化的．根据电磁理论．变化的极化场可作为辐射源产生电磁波——新的光波．在入射光的电场比较小时(比原子内的场强还小)，χ（2），χ（3），等极小，P与E成线性关系为：P=χ（1）E。
新的光波与入射光具有相同的频率．这就是通常的线性光学现象．但当入射光的电场较强时．不仅有线性现象．而且非线性现象也不同程度地表现出来．新的光波中不仅含有入射的基波频率．还有二次谐坡．三次谐波等频率产生，形成能量转栘．频率变换．这就是只有在高强度的激光出现以后，非线性光学才得到迅速发展的原因．2．二级非线性光学效应虽然许多介质都可产生非线性效应，但具有中心结构的某些晶体和各向同性介质(如气体)，由于{10-3}式中的偶级项为零,只含有奇级项(最低为三级)，因此要观测二级非线性效应只能在具有非中心对称的一些晶体中进行，如KDP(或KD*P)、LiNO3晶体等。
《非线性电力系统分析讲义》_甘德强
非线性电力系统分析与控制讲义甘德强从本质上讲，电力系统是一个大规模的动态系统。
给北美经济带来数百亿美元损失的2003夏季美加大停电就是一个复杂的动态过程。
因此，无论是在上个世纪的管制时代，还是在现在的市场运行时代，电力系统稳定都是电力系统工程师们最关心的主题之一。
例如，小干扰稳定，暂态稳定性，电压稳定性，中长期稳定性和频率稳定等等动态问题都是电力系统运行和规划必需考虑的。
这些问题的数学模型和分析方法也是电力系统自动化专业研究生应当适当了解或者掌握的。
除小干扰稳定外，上述稳定性问题都具有非线性的动力学特征。
电力系统稳定性分析的传统课程和教材重视稳定性分析的建模和数值分析方法，而较少涉及稳定性问题的非线性动力学基本特征。
本课程旨在向学生介绍这方面的知识，为研究生进一步深入研究电力系统稳定性问题奠定基础。
经过本课程学习，学生应当能够理解相关电力系统稳定性分析文献，并运用基本的非线性系统理论分析电力系统稳定性问题。
讲义为大学电力系统专业研究生使用。
课程要求学生完成课外练习，阅读相关文献，编写期末综述报告，并通过期末考试。
预修课程包括线性代数，高等数学，电力系统稳定性分析的基础课程（如马大强著，或者王锡凡－方万良－杜正春著）和现代控制理论（如豹著）。
课程还根据研究课题的需要，灵活的修订教学容比如补充介绍广义系统分析，奇异摄动理论或者混杂系统等容，以便保持与学科发展同步，为科研创造有利条件。
在编选讲义的过程中，我们主要使用了下列参考文献：1.H. K. Khalil, Nonlinear Systems, second edition, 19962.S. Sastry, Nonlinear Systems, Springer-Verlag, New York, 19993.M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Second Edition, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,NJ, USA, 1993目录一．概论 (3)1．1 平面线性系统 (3)1．2 非线性系统 (5)参考文献 (7)二．常微分方程基本定理 (7)2．1 数学基础 (7)2．2 解的存在唯一性 (10)2．3 解对初值的连续性 (13)参考文献 (13)三．稳定性理论 (13)3．1 自治系统平衡点稳定性 (14)3．2 自治系统中心流形 (21)3．3 自治系统稳定域 (22)3．4 自治系统全局稳定性和有界性 (24)3．5 非自治系统稳定性 (25)练习 (26)四．微分－代数方程 (27)五．暂态稳定分析和预防控制 (27)6．1 数学模型 (27)6．2 仿真法 (28)6．3 直接法 (28)6．4 暂态稳定预防控制 (28)参考文献 (28)符号说明 (29)研究生课程教学大纲 (29)一．概论1．1 平面线性系统考虑下述天然“解耦”的平面系统：11222x x x x =-=，或者采用矩阵形式：11221002x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统的解为：11222()(0)()(0)ttx t x e x t x e -==，或者采用矩阵形式：11222()(0)0()(0)0tt x t x e x t x e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 注意解曲线满足关系：11222(0)(0)x x x x = 12,x x 组成了所谓相平面，上述关系可以采用相图表示，如下图。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
线性和非线性有限元分析
Strain-rate dependence of tensile response of cortical bone. (Adapted from J. H. McElhaney, J. Appl. Physiology, 21(1966) 1231.)
为何线性有限元
• 线性元是对自然界非线性问题的小范围和小规 模逼近 • 线性材料是人为假设的 • 人类在构造建筑和机械结构时假设它们不会在 人造环境和人为的载荷条件下产生大的物理量 变 • 线性有限元可以解决大部分民用建筑结构和民 用机械结构问题 • 非线性问题可以用多个线性问题的解来逼近
ZIENKIEWICZ &CHANG popularize the method with the practicing engineering community (有限元在工程界广泛推广） IRONS &RAZZAQUE frontal solution technique successful implementation of finite elements (成功应用单元前沿刚度矩阵方程解法） isoparametric elements , modern finite element methods （参数元，从长现代有限元） theory of distributions, generalized functions, weak solutions of pde’s （广义函数，偏微分方程弱解） the decade of the mathematics of finite elements (数学家的十年）
几何非线性：
• • • Large deformation （线性和非线性材料大变形） Contact Non linearity（线性材料接触和非线性材料接触） Nonlinear Buckling （线性和非线性材料屈曲）
ANSYS-1-非线性分析概述
第一章钢筋混凝土结构非线性分析概述1.1 钢筋混凝土结构的特性1.钢筋混凝土结构由两种材料组成，两者的抗拉强度差异较大，在正常使用阶段，结构或构件就处在非线性工作阶段，用弹性分析方法分析的结构内力和变形无法反映结构的真实受力状况；2.混凝土的拉、压应力-应变关系具有较强的非线性特征；3.钢筋与混凝土间的黏结关系非常复杂，特别是在反复荷载作用下，钢筋与混凝土间会产生相对滑移，用弹性理论分析的结果不能反映实际情况；4.混凝土的变形与时间有关：徐变、收缩；5.应力-应变关系莸软化段：混凝土达到强度峰值后有应力下降段；6.产生裂缝以后成为各向异形体。
混凝土结构在荷载作用下的受力-变形过程十分复杂，是一个变化的非线性过程。
1.2 混凝土结构分析的目的和主要内容《混凝土结构设计规范》（GB50010-2002）中新增的主要内容：(1)混凝土的本构关系和多轴强度：给出了单轴受压、受拉非线性应力-应变（本构）关系，混凝土二轴强度包络图、三轴抗压强度图和三轴应力状态破坏准则；（2）结构分析：规范概括了用于混凝土结构分析的5类方法，列入了结构非线性分析方法。
一、结构分析的基本目的：计算在各类荷载作用下的结构效应——内力、位移、应力、应变根据设计的结构方案确定合理的计算简图，选择不利荷载组合，计算结构内力，以便进行截面配筋计算和采取构造措施。
二、结构分析的主要内容：（1）确定结构计算简图：考虑以下因素：(a)能代表实际结构的体形和尺寸；(b)边界条件和连接方式能反映结构的实际受力状态，并有可靠的构造措施；(c)材料性能符合结构的实际情况；(d)荷载的大小、位置及组合应与结构的实际受力吻合；(e)应考虑施工偏差、初始应力及变形位移状况对计算简图进行适当修正；(f)根据结构受力特点，可对计算简图作适当简化，但应有理论或试验依据，或有可靠的工程经验；(g)结构分析结果应满足工程设计的精度要求。
（2）结构作用效应分析：根据结构施工和使用阶段的多种工况，分别进行结构分析，确定最不利荷载效应组合。
SAS讲义 第三十四课非线性回归分析
第三十四课 非线性回归分析现实世界中严格的线性模型并不多见，它们或多或少都带有某种程度的近似；在不少情况下，非线性模型可能更加符合实际。
由于人们在传统上常把“非线性”视为畏途，非线性回归的应用在国内还不够普及。
事实上，在计算机与统计软件十分发达的令天，非线性回归的基本统计分析已经与线性回归一样切实可行。
在常见的软件包中（诸如SAS 、SPSS 等等），人们已经可以像线性回归一样，方便的对非线性回归进行统计分析。
因此，在国内回归分析方法的应用中，已经到了“更上一层楼”，线性回归与非线性回归同时并重的时候。
对变量间非线性相关问题的曲线拟合，处理的方法主要有：● 首先决定非线性模型的函数类型，对于其中可线性化问题则通过变量变换将其线性化，从而归结为前面的多元线性回归问题来解决。
● 若实际问题的曲线类型不易确定时，由于任意曲线皆可由多项式来逼近，故常可用多项式回归来拟合曲线。
● 若变量间非线性关系式已知（多数未知），且难以用变量变换法将其线性化，则进行数值迭代的非线性回归分析。
一、 可变换成线性的非线性回归在实际问题中一些非线性回归模型可通过变量变换的方法化为线性回归问题。
例如，对非线性回归模型()t i t i t i t ix b ix a y εα+++=∑=210sin cos(34.1)即可作变换t t t t t t t t x x x x x x x x 2sin ,2cos ,sin ,cos 4321====将其化为多元线性回归模型。
一般地，若非线性模型的表达式为()()()t m m t t t x g b x g b x g b b y ++++= 22110(34.2)则可作变量变换()()()t m m t t t t t x g x x g x x g x ===*2*21*1,,, (34.3)将其化为线性回归模型的表达式，从而用前面线性模型的方法来解决，其中(34.3)中的x t 也可为自变量构成的向量。
非线性规划作业
非线性规划作业非线性规划是数学领域中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的意义。
本文将从非线性规划的基本概念、应用领域、解决方法、优化算法和实例分析等五个方面进行详细介绍。
一、基本概念1.1 非线性规划的定义：非线性规划是在目标函数或约束条件中至少包含一个非线性函数的优化问题。
1.2 非线性规划的特点：与线性规划相比，非线性规划具有更为复杂的数学结构和求解困难度。
1.3 非线性规划的分类：根据目标函数和约束条件的性质，非线性规划可分为凸优化和非凸优化两类。
二、应用领域2.1 工程优化：非线性规划在工程领域中广泛应用，如结构设计、电力系统优化、交通规划等。
2.2 金融领域：在金融领域中，非线性规划被用于投资组合优化、风险管理等方面。
2.3 生产调度：生产调度中的资源分配、作业排序等问题也可以通过非线性规划进行求解。
三、解决方法3.1 数值方法：常用的非线性规划求解方法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
3.2 优化算法：遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等优化算法也可以用于非线性规划问题的求解。
3.3 全局优化：针对非凸优化问题，全局优化方法可以帮助找到全局最优解而不是局部最优解。
四、优化算法4.1 遗传算法：通过模拟生物进化过程，遗传算法能够在解空间中搜索最优解。
4.2 粒子群算法：模拟鸟群觅食的行为，粒子群算法通过个体之间的信息交流来寻找最优解。
4.3 模拟退火算法：模拟金属退火过程，模拟退火算法通过控制温度来逐步接近最优解。
五、实例分析5.1 生产调度问题：假设一家工厂需要安排不同作业的生产顺序和资源分配，可以通过非线性规划来优化生产效率。
5.2 投资组合优化：一位投资者需要在不同资产中分配资金以达到最大收益，非线性规划可以帮助优化投资组合。
5.3 电力系统优化：电力系统中存在多个发电机和负荷之间的优化问题，非线性规划可以帮助实现电力系统的最优调度。
综上所述，非线性规划在现代科学技术和实际生产中具有重要意义，通过合理选择求解方法和优化算法，可以有效解决复杂的优化问题，提高系统效率和资源利用率。
ANSYS讲义非线性分析
t1
t2
时间 t
XJTU
自动时间步(续)
• 自动时间步算法是 非线性求解控制 中包含的多种算法的一种。
（在以后的非线性求解控制中有进一步的讨论。） • 基于前一步的求解历史与问题的本质，自动时间步算法或者增加
或者减小子步的时间步大小。
XJTU
5) 输出文件的信息
在非线性求解过程中，输出窗口显示许多关于收敛的信息。输出 窗口包括：
子步
时间 ”相关联。
“时间
两个载荷步的求解 ”
XJTU
在非线性求解中的 “ 时间 ”
• 每个载荷步与子步都与 “ 时间 ”相关联。 子步 也叫时间步。
• 在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“ 时间 ”代表真实 的时间。
• 对于率无关的静态分析，“ 时间 ” 表示加载次序。在静态分析中， “ 时间 ” 可设置为任何适当的值。
最终结果偏离平衡。
u 位移
XJTU
1) Newton-Raphson 法
ANSYS 使用Newton-Raphson平衡迭代法 克服了增量
求解的问题。 在每个载荷增量步结束时，平衡迭代驱 使解回到平衡状态。
载荷
F
4 3 2
1
u 位移
一个载荷增量中全 Newton-Raphson 迭代 求解。（四个迭代步如 图所示）
XJTU
非线性分析的应用(续)
宽翼悬臂梁的侧边扭转失 稳
一个由于几何非线性造 成的结构稳定性问题
XJTU
非线性分析的应用(续)
橡胶底密封 一个包含几何非线 性（大应变与大变 形），材料非线性 （橡胶），及状态 非线性（接触的例 子。
XJTU
非线性分析的应用(续)
光学非线性测量试验讲义
光学非线性实验讲义一实验目的1、了解光学非线性测量仪的基本原理2、学习使用非线性测量仪测定物质的非线性光谱，知道简单的谱线分析方法。
二实验仪器XGX-1型光学非线性测量仪三仪器的用途在信息技术高速发展的时代，用光子作为载体的研究日益受到重视，以非线性效应为特征的光电材料的研究和开发就应运而生。
我们熟悉，光和物质相互作用会产生光的吸收、反射、散射和发光等现象，其效应一般和光的强度无关，只和入射光的波长有关。
但当高强度的激光问世以后，光与物质的相互作用出现了过去无法看到的许多光学现象，如吸收系数、折射率及传输光频率都与作用光的强度有关，这种与作用光强度相关的现象就是光学非线性效应。
光学非线性效应又会引起一系列新的光学现象产生，如饱和吸收、反饱和吸收、双光子吸收、光学自聚焦、光学限制、光学共轭等现象。
具有上述性质的物质就是非线性光学材料，它在光学通信、光子计算机和动态成像等高新技术中都有广泛应用。
XGX-1型光学非线性测量，主要采用激光Z扫描技术，同时考虑饱和光谱测量方法，光限制测量方法及其光模式传输测量等技术，综合考虑设计而成，光路简单（采用单光束），测量灵敏度高，可同时测量样品的非线性折射率和非线性吸收系数激光斑信息和光学限制效应等。
该仪器采用多种光信号测量探测器（光电倍增管、桂光电池、CCD 等），可用脉冲激光、连续激光等作为光源，光电信号即可用仪器本身电箱测量，还可以外接积分器和锁相放大器等，实现机算机自动控制和测试，并配有多种附件，适用于液体、固体样品的测量。
四系统工作原理和结构3.1工作原理光与物质作用产生非线性的物理机制有：（1）引起介质内部电子云分布产生畸变而引起极化强度的改变，（2）光克尔效应引起分子的重新取向使折射率产生变化，（3）带电质点发生位移引起介质内密度的起伏，（4）光吸收产生升温引起折射率变化。
以上过程产生的非线性折射率是具有不同的响应时间的，在不同的情况下它们的贡献不同，这取决于入射激光作用的时间。
运筹学-非线性规划(四)(名校讲义)
1．外点法（又称惩罚法）
其思路是在目标函数中增加一项使之变为无约束问题，同时 对破坏约束项需付出高昂代价，该法的起始点在可行域外， 一旦进入可行域内便得到最优解。
§1 多维有约束寻优方法 （9）
①思路 设原问题为min：f[X] 约束：XS S是En中一个约束子集，即X的可行域为S，
则将其变成无约束问题： min：f[X]+ p(X)
p(x) =1 =10 =100
=100
b
=10
=1
图4-19
x
a
§1 多维有约束寻优方法 （11）
②求解过程
令{k }（k=1，2，…，）是一无穷序列，且k≥0，k＋1 >k，定义函数q(，X)=f(X)+Xk，若原问题有解，则当k→∞，
§1 多维有约束寻优方法 （2）
一、库恩-塔克（简称库塔）条件
1．可行方向和起作用约束 ①可行方向：
设X(0)是可行点，即X(0) R，若对于某一方向D，存在一 个数 0>0,使对于任意 （0≤≤0 ）均有下式成立：X(0) +DR，则称方向D是点X(0)处的可行方向。 ②下降方向：对于f(X)的台劳级数展开，若▽f[X(0)]T· D<0, 则称D方向为f[X]的下降方向。
第二十四讲 非线性规划（四）
§1 多维有约束寻优方法
§1 多维有约束寻优方法 （1）
非线性规划的一般形式
min f(X) hi(X)=0 i=1，2，…，m (1)
gi(X)≥0 j=1，2，…，l
下面，先阐述非线性规划的重要理论成果——库恩-塔克 条件(Kuhn-Tucker),然后介绍比较重要的几种有约束的寻 优方法。
0 1 2 x1
ANSYS-1-非线性分析概述
第一章钢筋混凝土结构非线性分析概述1.1 钢筋混凝土结构的特性1.钢筋混凝土结构由两种材料组成，两者的抗拉强度差异较大，在正常使用阶段，结构或构件就处在非线性工作阶段，用弹性分析方法分析的结构内力和变形无法反映结构的真实受力状况；2.混凝土的拉、压应力-应变关系具有较强的非线性特征；3.钢筋与混凝土间的黏结关系非常复杂，特别是在反复荷载作用下，钢筋与混凝土间会产生相对滑移，用弹性理论分析的结果不能反映实际情况；4.混凝土的变形与时间有关：徐变、收缩；5.应力-应变关系莸软化段：混凝土达到强度峰值后有应力下降段；6.产生裂缝以后成为各向异形体。
混凝土结构在荷载作用下的受力-变形过程十分复杂，是一个变化的非线性过程。
1.2 混凝土结构分析的目的和主要内容《混凝土结构设计规范》（GB50010-2002）中新增的主要内容：(1)混凝土的本构关系和多轴强度：给出了单轴受压、受拉非线性应力-应变（本构）关系，混凝土二轴强度包络图、三轴抗压强度图和三轴应力状态破坏准则；（2）结构分析：规范概括了用于混凝土结构分析的5类方法，列入了结构非线性分析方法。
一、结构分析的基本目的：计算在各类荷载作用下的结构效应——内力、位移、应力、应变根据设计的结构方案确定合理的计算简图，选择不利荷载组合，计算结构内力，以便进行截面配筋计算和采取构造措施。
二、结构分析的主要内容：（1）确定结构计算简图：考虑以下因素：(a)能代表实际结构的体形和尺寸；(b)边界条件和连接方式能反映结构的实际受力状态，并有可靠的构造措施；(c)材料性能符合结构的实际情况；(d)荷载的大小、位置及组合应与结构的实际受力吻合；(e)应考虑施工偏差、初始应力及变形位移状况对计算简图进行适当修正；(f)根据结构受力特点，可对计算简图作适当简化，但应有理论或试验依据，或有可靠的工程经验；(g)结构分析结果应满足工程设计的精度要求。
（2）结构作用效应分析：根据结构施工和使用阶段的多种工况，分别进行结构分析，确定最不利荷载效应组合。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
非线性多重网格反演的一般框2重点讲义资料
非线性多重网格反演的一般框架主要分为五个部分1.介绍2．多重网格反演框架反问题、多重网格的反演算法、固定网格反演、多重网格收敛的反演。
稳定泛函。
3. 光扩散层析成像中的应用4．数值结果。
提出了评价模型所需的分辨率、多重网格性能评价。
摘要多种新的成像方式，如光扩散层析成像，要求正问题，采用求解三维偏微分方程反演。
这些应用程序，图像重建是特别困难的。
因为提出的问题是非线性和评价计算昂贵的。
在本文中，我们提出了非线性多重网格反演是适用于各种各样的反问题的一般性框架。
多重网格反演算法结果的递归多重网格技术的优化问题的求解逆问题中的应用。
该方法通过动态调整目标泛函在不同的尺度，他们是一致的，并最终减少，细尺度函数值。
在这种方式中，多重网格反演算法有效地计算解决所需的精细尺度反演问题。
重要的是，新的算法可以大大减少计算，因为在正向和反问题更粗的离散化在较低的分解。
这个方法被广泛应用，贝叶斯光扩散层析，广义高斯马尔科夫随机场图像先验模型。
展示了非常大的计算节省潜力。
数值数据也表明了鲁棒收敛一系列的初始条件为非凸优化问题。
随机场图像的先验模型显示了非常大的计算节省的潜力。
数值数据也表明了一系列的非凸优化的初始条件的鲁棒收敛problem.问题。
关键词：多重网格算法、反问题、光扩散层析成像、多尺度一．介绍一大类图像处理的问题，如模糊，高分辨率的渲染，图像恢复，图像分割，与断层运动分析，逆问题的解决，通常，这些反问题的数值解法是计算能力的要求，特别是当问题必须制定在三维上。
最近，一些新的成像方式，如光扩散层析成像（ODT）和电阻抗断层成像（EIT），备受关注，例如光扩散层析成像在安全上有很大的潜力，非侵入性的医疗诊断方法与化学特异。
然而，这些反问题有关联的新模式，目前有大量的困难挑战，首先，正演模型取决偏微分方程（PDE）描述的解决，这是计算能力的要求。
第二，未知的图像决定于偏微分方程的系数，从而正演模型是高度非线性的，即使本身是线性偏微分方程。
非线性规划方案山大刁在筠运筹学讲义
非线性规划方案山大刁在筠运筹学讲义那天，阳光透过窗户洒在我的书桌上，我翻看着山大刁在筠教授的运筹学讲义，非线性规划这一章节引起了我的兴趣。
思绪如泉水般涌出，我决定以意识流的方式，写下这篇非线性规划方案。
一、问题的提出非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它研究的是在一组约束条件下，如何找到使目标函数取得最优解的问题。
这类问题在实际应用中广泛存在，如生产计划、资源分配、投资决策等。
山大刁在筠教授的讲义中，以一个具体的生产问题为例，引导我们深入探讨非线性规划的方法。
二、方案的构建1.确定目标函数我们要明确目标函数。
在生产问题中，我们通常追求的是最大化利润或最小化成本。
以最大化利润为例，我们可以将目标函数表示为：maxf(x)=p1x1+p2x2++pnxn其中，x1,x2,,xn分别表示各种产品的产量，p1,p2,,pn表示相应产品的单位利润。
2.构建约束条件我们要构建约束条件。
约束条件通常包括资源约束、技术约束、市场约束等。
以资源约束为例，我们可以将其表示为：a11x1+a12x2++a1nxn≤b1a21x1+a22x2++a2nxn≤b2am1x1+am2x2++amnxn≤bm其中，a11,a12,,amn表示各种资源消耗系数，b1,b2,,bm表示各种资源的总量。
3.确定求解方法构建好目标函数和约束条件后，我们需要选择合适的求解方法。
非线性规划问题的求解方法有很多，如拉格朗日乘子法、KKT条件、序列二次规划法等。
在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的方法。
三、方案的实施1.确定初始解在实际操作中，我们通常需要先确定一个初始解。
这个初始解可以是任意一个满足约束条件的解。
我们可以通过观察目标函数和约束条件的图形，或者使用启发式算法来找到一个合适的初始解。
2.迭代求解3.分析结果求解完成后，我们需要对结果进行分析。
我们要检查最优解是否满足所有约束条件。
如果满足，那么我们可以将最优解应用于实际问题中。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换定义（或直接假设）及d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
非线性动力学讲义02(绪论2)-1-岳宝增
工程中的非线性动力学问题千差万别，然而解决 的途径往往具有共同性。其共同的前提是建立系统的 数学模型。建立系统数学模型的方法可分为两类。一 类是理论建模，从已知的原理、定律和定理出发，通 过机理分析发现工程问题的内在动力学规律，推导出 相关参数的解析关系。另一类是实验建模，直接从工 程系统运行和试验数据辨识出所涉及参数的关系。在 工程系统的数学模型的基础上，可以对系统进行分析、 仿真、优化和控制。非线性动力学作为一门力学的分 支学科，重点讨论系统模型的分析，但对系统的实验 建模也略有涉及。
动力学系统又可分为有限维和无穷维两类。 有限维系统(finite-dimensional system)的 状态可以用有限个参数表示。例如，由彼此分 离的有限个质量元件、弹簧和阻尼器构成的有 限自由度力学系统。无穷维系统(infinitedimensional system)的状态必须用无穷多个 参数表示。例如，由弦、杆、梁、板、壳等具 有分布质量的可变形元件构成的无穷多自由度 力学系统。相应地,状态变化的规律既可能表 示为常微分方程或偏微分方程。
四.非线性动力学的内容、方法和意义
对非线性现象的研究需要多个学科的交叉。纯粹 和应用数学理论如动态系统理论、奇异性理论、摄 动理论等，理论和实验力学概念和方法如工程现象 的力学建模、应用力学规律解释动力学行为、固体 和流体系统实验研究等，以及电子计算机的数值和 符号运算，均为分析非线性问题的重要工具。在多 学科交叉的基础上，形成了非线性动力学这一新的 分支学科。
P
ml
d 2
dt2
Fmg sin来自mx x, 0动力学系统还可分为连续时间和离散时间两类。 连续时间系统(continuous-tims system)的时间是 连续变化的，即时间在实数轴或其中某个区间上取 值。离散时间系统(discrete-time system)的时间 是不连续变化的，即时间在整数集合或其中某个子 集上取值。为在不会引起混淆时可分别简称为连续 系统(continuous system)和离散系统(discrete system)。相应地,状态变化的规律既可能表示为连 续形式的微分方程或微分积分方程,也可能用关于状 态变量的离散方程(差分方程)表示。
非线性动力学讲义02(绪论2)-2-岳宝增
庞加莱针对天体力学提出的微分方程，研究它们的定 性性质。他系统发展了研究微分方程的周期解和渐近 解的方法。对微分方程所确定的曲线在奇点邻近的性 质进行了分类，并创造了一套判定这类分类的方法。 其中计算庞加莱截面法、分叉解的确定、至今仍是研 究非线性系统的重要方法。 庞加莱将从力学提出的微分方程加以数学提高，提出 了动力系统的概念。它概括了凡是知道当前状态，并 给了到下一时刻的演化规律的系统都可以称为动力系 统。动力系统是对自然界与社会现象变化的最一般的 描述。至今，非线性动力系统已经成为数学、力学、
(continuous dependence of solutions with respect to parameters)等等。所有这些都成为了现代微分方程和 动力系统理论中的基本概念。 第三点，也许是最重要的一点，是庞加莱通过研究所谓的渐 进 解 (asymptotic solutions) ， 同 宿 轨 道 (homoclinic orbits) 和异宿轨道(hetroclinic orbits)，发现即使在简单 的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程 的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎 是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。 事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动 力 系 统 中 是 常 见 的 ， 他 们 把 它 叫 做 稳 定 流 形 (stable manifold)和不稳定流形(unstable manifold)正态相交
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ限制条件
v<<c
c=2.997925×108m/s ——光速
相对论
h
h=6.626×10-34J s Planck 常数
E×t ~ h
工程有限元方法接触非线性讲义PPT(30页)
反向，使得解的过程不稳定
4 接触问题的有限元方程
• 4.1 接触界面的离散处理
– 接触块
接触块(或线)：单元上处于接触面上的面(或边)
二维问题的主被动接触线
– 接触点对
罚函数法
惩罚因子
z* x, y. 2x2 2xy y2 18x 6y x y2
z* 4x 2 y 18 2 x y 0
x
z* 2x 2 y 6 2 x y 0
y
x 12 ; y 12 15 / 11/
y 12
3 接触问题的求解方案
原问题中不包含 接触约束条件的
3. 利用接触面上和上述等式约束所对应的动力学或运动学的不等式 约束条件作为校核条件对解的结果进行检查 ➢ 若不违反接触条件，则完成本步求解并转入下一增量步 ➢ 否则转入1再次进行搜寻和迭代求解，直到每一点的解都满足 校核条件
3 接触问题的求解方案
• 3.2 接触面的定解条件和校核条件
接触状态
定解条件
有限元方法与
• 接触非线性概述 • 接触界面条件 • 接触问题的求解方案 • 接触问题的有限元方程 • 有限元方程的求解方法
1 接触非线性概述
接触非线性的来源：由随时间发生变化的接触状态引起，主要 包括
(1) 接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅事先未知，且都随时 间发生变化，需要在求解过程中确定
2 接触界面条件
• 2.3 切向接触条件
– (1) 无摩擦模型
若两个物体的接触面是绝对光滑的，或 者相互间的摩擦可以忽略，则采用无摩 擦模型
第十三课 非线性材料应用问题——【有限元分析 精品讲义】
工程中任何一个模型的分析都是以上流程的综合，每个过程不是靠简单的同 类型分析模型复制可以完成的，每个模型都有属于自己独特的设置方案组合，所以有 限元分析其实具有一个非常强的特性：不可复制性。简单来说练习案例复制到实际问 题解决基本不具有可行性。
边界条件加载
2参数MR模型
对称约束
合金钢
一个奇怪的边界条件！
接触设置
两对接触对设置，摩擦系数均设为0.1 可以将摩擦系数设置为0，看看会出现什么情况？
问题三：超弹性材料
材料的不可压缩性，即泊松比接近0.5 应力应变曲线恒定 加载和卸载过程的曲线完全重合 不存在塑性屈服点
Ogden模型参数设置
计算结果的读取分散在各个课程当中工程中任何一个模型的分析都是以上流程的综合每个过程不是靠简单的同类型分析模型复制可以完成的每个模型都有属于自己独特的设置方案组合所以有限元分析其实具有一个非常强的特性
目录 1. 材料非线性 2. 非线性综合问题 3. 超弹性材料
问题一：材料非线性
分析实例：弹簧压缩 问题描述：考察弹簧分别承受20N、50N、80N载荷后再将力撤除，考察弹 簧变形情况。 材 料：合金钢来自尽量了解各系 数的物理意义
Mooney-Rivlin参数设置
Mooney-Rivlin是 目前最主流的橡 胶本构模型！
橡胶材料曲线输入
曲线输入和参数 修改能否同时进行？
深刻理解材料本 构的运行原理！
曲线拟合其实是一种非常常见的方法，这里我只简单和大家介绍下拟合的思想， 因为现在很多强大的数学工具都是可以直接得出方程系数，所以和有限元的数学 理论一样，从应用的角度来说工程师不需要了解太多。
非线性规划山大刁在筠运筹学讲义
第四章 非线性规划教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。
教学难点：约束最优化问题的最优性条件。
教学课时：24学时主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。
第一节 基本概念教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。
教学难点：无。
教学课时：2学时主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。
1、非线性规划问题举例 例1 曲线最优拟合问题 已知某物体的温度ϕ与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：312c t c c t e φ=++ （*）其中1c ，2c ，3c 是待定参数。
现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，i=1，2，…,n 。
试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。
∑=++-n1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ 基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i α:,...,1),(;,...,1),();(==, 如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min 约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，其中，q n p nR R h R Rg αα:,:，那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f Xx ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。
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学院：材料科学与工程学院专业：材料工程姓名：飞学号：1125作业：找出几个所在专业研究领域的重要而且有研究价值的非线性问题及其模型，要求写出相应的模型方程及其所涉及的变量参数涵义，并列举出研究该模型的主要研究现状。
（不少于3种）举例1：材料力学领域的非线性问题非线性本构和非线性本构复合材料1.1 研究非线性本构模型的意义从力学的角度来看，C/SiC复合材料属于准脆性的各向异性材料。
以碳纤维、热解碳界面和SiC基体三种典型组分构成的C/SiC复合材料为例，相对于脆性的单质陶瓷，该材料具有较好的韧性。
主要原因是在机械载荷作用下，材料内部存在如前所述的基体开裂、界面脱粘和滑移、纤维断裂和拔出等多种能量耗散机制。
虽然这些细观损伤模式有别于金属的屈服机理，但是材料表现出类似的弹塑性-损伤力学行为。
图1-1为C/SiC复合材料在沿轴向拉伸加卸载条件下的典型应力-应变曲线，从图中可看出：材料的线弹性极限较低，通常为20MPa左右；当应力水平超过弹性极限之后，材料的弹性模量（E0）开始减小，同时产生类似于不可回复的残余应变，卸载-重加载过程中应力-应变曲线形成迟滞环，且迟滞环的宽度随卸载点应力的增大而不断增大。
该材料的剪切应力-应变关系也有类似的特征。
由此易知，在对C/SiC复合材料的应力-应变关系进行分析描述时，传统的线弹性本构模型已经不再胜任；而如果仅在线弹性范围内使用该材料，则不能充分发挥出材料的力学性能，安全裕度过大，与航空航天器追求减重的目标不符。
因此需要充分了解该材料的非线性力学行为，特别是其内部的损伤机理与特性，并为其建立合适的非线性本构模型。
图1-1 C/SiC复合材料的典型拉伸加/卸载应力-应变曲线建立非线性本构模型的一个重要作用是辅助C/SiC复合材料的结构优化设计。
如前所述，目前C/SiC复合材料已经开始逐步在航空航天器结构上使用，轻质、可重复使用等特性有助于提高飞行器的性能，并降低寿命周期内的使用和维护成本，但是这类材料仍然存在造价高的缺点。
例如，德国DLR为X-38 V201飞行器提供的全C/SiC复合材料襟翼的尺寸约为1.4m×1.6m，重68公斤，造价高达2千万美元。
这是由材料制备工艺的特点决定的。
以较为成熟的等温CVI 工艺为例，该工艺具有能够制备出高纯度的基体、可用于一定厚度构件的近尺寸成型等诸多优点，但是为防止沉积的基体太快地封堵预制体孔隙通道，需要在相对缓慢的沉积速率下进行，因此材料的制备周期长，通常需要几周或数百小时的时间，而且化学反应过程中生成的HCl等副产物对设备有腐蚀作用，导致制备成本偏高，限制了材料的推广应用。
因此，为C/SiC复合材料建立合适的本构模型，在结构设计阶段将本构模型与商业有限元软件结合，准确计算和结构在不同受载条件下的应力状态并预测其承载能力，有助于结构的优化设计，同时省去或减少大量的试件制备和测试过程，从而降低热结构的研发成本。
国内已经对C/SiC 的损伤机理和本构模型开展了一些研究工作。
潘文革等人对二维和三维编织C/SiC复合材料在单轴拉伸载荷下的损伤演化进行了试验研究，通过分析声发射事件数和相对能量等参数，发现两种材料的拉伸损伤过程大致分为初始损伤阶段、过渡阶段、损伤加速和快速断裂阶段；杨成鹏等人对二维编织C/SiC复合材料单轴拉伸非线性力学行为进行了试验研究，通过循环加卸载试验方法，获得了材料的残余应变和卸载模量随拉伸应力的变化关系，并建立了基于剪滞理论的细观损伤力学模型；陶永强等人将二维编织结构简化成正交铺层和纤维束波动部分的组合，采用了Curtin和Ahn提出的基体随机开裂、纤维随机断裂的统计分布理论以及体积平均方法，预测了二维编织C/SiC复合材料的应力-应变关系。
此外，宋迎东和李龙彪等人采用细观力学方法，对单向C/SiC复合材料的拉伸应力-应变关系，包括卸载-重加载过程中的迟滞行为进行了系统的理论研究。
细观模型的主要缺点在于，当考虑剪切、拉剪或压剪等复杂应力状态对细观损伤发展的影响时，模型将变得非常复杂，目前大部分的相关文献中均只针对简单应力状态下材料的力学行为进行了试验分析或理论建模。
此外，刘明爽等人研究了二维C/SiC复合材料在动态压缩载荷下的力学性质，发现材料的动态压缩应力-应变关系是非线性的，动态压缩强度和弹性模量随应变率增大而升高，压缩强度服从韦布尔分布，并依此建立了一个一维的考虑损伤和应变率的宏观本构模型。
尽管如此，国内在C/SiC复合材料的本构模型研究领域的文献仍然较少，目前尚无完善的宏观损伤（或非线性）本构模型。
国外在此领域的研究现状将在下节中详细介绍。
Kumar在文献中指出：CMCs在工业领域的广泛使用仍然面临许多挑战，一方面目前仍然缺乏对多轴应力状态、构件几何形状、环境、温度及温度梯度和加工缺陷等因素对CMCs的损伤和失效机理的影响的认识；另一方面在复杂CMCs 结构设计中，仍然缺少强健、有效的分析预测工具。
本文将以CVI 工艺制备的二维平纹编织（以下简称二维）C/SiC 复合材料为研究对象，首先将对该材料在简单和复杂应力状态下的力学行为进行试验分析，以进一步了解并掌握材料的非线性应变-应变关系和损伤特性；然后为该材料建立非线性的宏观本构模型，并力求将理论模型与有限元软件结合，以实现其工程应用。
1.2 非线性本构模型应力-应变的研究进展参考Lynch 等人的试验方法，在标距段的沿试件轴向和编织物方向粘贴两个[0°/90°]应变花SG1 和SG2，以同时测量轴向应力σx作用下x-y整体坐标系下的正应变（εx和εy）和材料局部坐标系下的正应变（ε1和ε2）。
平面应力状态下，应变分量之间满足以下坐标转换公式：式中：m =cosθ ，n =sinθ ，θ为偏轴角度；γxy和γ12为两个不同坐标系下的工程剪应变。
从上式可求解出γ12和γxy的表达式：在两组应变花测得正应变εx、εy、ε1和ε2后，工程剪应变可由以上两式计算得到。
类似地，整体和材料坐标系下的应力分量σx, σy, τxy和σ1, σ2, τ12之间有如下关系：在轴向拉伸或压缩状态下（σx≠ 0，σy = 0，τxy = 0），如不考虑试验机夹持端的横向约束引起的局部应力非均匀分布，可从上式求得材料局部坐标系下的面内应力状态：从上式可知，除0°正轴向试件外，三组偏轴试件在轴向拉伸和压缩应力作用下均处于比例加载的平面应力状态，如图1-2所示。
其中，15°偏轴试件中材料主方向上应力分量的比值|σ1| : |σ2|: |τ12| ≈ 3.73: 0.27: 1，30°偏轴试件的比值为|σ1| : |σ2|: |τ12| ≈ 1.73: 0.58: 1，45°偏轴试件的比值为|σ1| : |σ2|: |τ12| ≈ 1: 1: 1。
可以看出：随偏轴角度θ（θ∈[0°, 45°]）增大，剪应力分量与法向应力分量之和的比值（|τ12|/|σ1+σ2|）增大，且σ2/σ1也增大。
(a) 偏轴拉伸 (b) 偏轴压缩图1-2偏轴拉伸和压缩加载条件下材料主方向上的应力状态示意图为获取材料的应力-应变关系曲线，以及不同应力水平下的非弹性应变和损伤信息，采用了载荷幅值逐渐增大的加载-卸载-重加载试验方法（以下简称加卸载试验方法）。
除0°正轴向试件的压缩试验外（该试验条件下应力-应变曲线通常近似为线弹性），对正轴向和三组偏轴向直条形试件进行了拉伸和压缩加卸载试验；另外，还对0°、30°和45°试件进行了拉伸-压缩循环加卸载试验，以了解材料在压缩应力作用下可能存在的损伤钝化力学行为。
上述拉伸和压缩试验均在液压伺服试验机上完成。
0°正轴向试件的压缩试验选择量程为50k N的液压伺服试验机（Model 8801, Instron Ltd., England），其余试验均选择量程为10k N的液压伺服试验机（Model 8871, Instron Ltd., England），以提高载荷测量精度。
试验中，轴向拉、压载荷通过试验机的载荷传感器实时测得，同时采用静态应变采集系统（DH3815N，东华公司，中国江苏）以2Hz频率同步采集试件的应变。
最后处理数据得到在不同加载状态下试件轴向以及材料主方向上的宏观应力-应变曲线（σx-εx/εy，σ1-ε1，σ2-ε2，τ12-γ12）。
通过简单加载试验，依次获得了0°正轴向试件的拉伸、压缩和剪切应力-应变曲线，典型曲线如图1-3所示。
从图1-3a中拉伸应力-应变曲线的形态分析可知，材料表现出显著的非线性和韧性断裂力学行为。
材料在初始承载阶段保持线弹性，超过约为20MPa的拉伸应力（该应力值通常称之为基体开裂应力或比例极限）后，加卸载曲线显示材料的切线模量和卸载模量不断减小，卸载后可观测到类似于金属塑性应变的非弹性应变，且卸载-重加载过程中形成迟滞环；随拉伸或剪切应力增大，迟滞环的宽度和卸载后的非弹性应变数值逐渐增大。
由此可知，刚度退化和非弹性应变累积是材料的拉伸应力-应变曲线产生非线性的直接原因。
另外，从图中对比可知，单调加载曲线对加卸载曲线近似形成包络，表明卸载、重加载至原卸载点应力的过程中并未产生明显的新的损伤。
图中两组曲线的强度差异主要与试验数据的分散性较大有关。
(a) 拉伸(b) 压缩(c) 剪切图1-3 三种简单加载状态下的典型单调加载和加卸载应力-应变曲线在简单压缩加载条件下，二维C/SiC复合材料表现出准脆性材料的力学行为。
与非线性拉伸应力-应变关系曲线截然不同，图1-3b显示材料的压缩应力-应变关系在失效前近似保持为线弹性，且一般情况下压缩强度要高于拉伸强度，反映出材料的力学行为具有显著的单边特征。
从图1-3c中可以看出，面内剪切应力-应变曲线表现出与图1-3a中曲线类似的非线性特征。
不同剪应力水平下的加卸载曲线显示，随加载峰值应力增大，材料的剪切卸载模量逐渐减小，非弹性应变则逐渐增大，这是单调剪切加载时应力-应变曲线表现出非线性的原因。
材料的剪切断裂应变数值较大，表现出良好的韧性断裂特征。
为表征材料的损伤状态，根据图1-3中拉伸和剪切加卸载应力-应变曲线的形态，并忽略卸载和重加载过程中迟滞效应的影响，以卸载模量相对初始模量的折减程度作为材料损伤状态的度量（如图1-4所示），其中卸载模量取卸载点和迟滞环曲线与坐标轴交点连线的斜率。
在材料的局部坐标系下，定义一组标量型损伤变量d i (i = 1, 2, 6)：式中：E1、E2和G12均为工程弹性模量，上标0和d分别表示初始和损伤状态。
同时，将应变分量ε1,2和γ12分解为弹性应变和非弹性应变之和：式中：上标e和p分别代表应变的弹性和非弹性部分。