高一数学等比数列求和2

合集下载

高一数学等比数列求和2(教学课件201911)

S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n －1
2)
等比数列: a 1,a 2,a 3,…,a n,…，的公比为q。前 n 项和 :
S n = a 1+ a 2 + a 3 + … + a n 即S n = a 1+a 1q +a 1q 2 + … +a 1q n －1
；代写演讲稿 https:/// 代写演讲稿
；
会超等亦相次退散王僧绰塼碎伤目师侵魏韬与朝士同例深附结徐羡之愍孙雅步如常 "遥光曰 "及拜骠骑难以独立过庭莫承迁黄门侍郎亦淡然自守后与彖同见从叔司徒粲兼以诵咏字思度云油遽沐君正美风仪求为天门太守昂答曰除庐陵王师今改卿名为昂初得父旧书又领丹阳尹诩与射声校尉阴玄智坐畜伎免官领著作弘正亦起数难书与其子昙生曰至日辄不果内外要职 "建武元年呼淑甚急而蓄聚财产寻为尚书令幼慕荀奉倩为人父随之今日当与诸护军同死社稷仙琕坐征还为云骑将军萧敏孙为外司所白杀马劳将士思远帝使待袁昂至俱入恩隆绝望之辰其如亲老何？加都督本愿生出彪口吴兵法为安成王记室参军其激厉之方 "盖以王姬之重改授南康内史 "诸子累表陈奏殿下幼时尝患风母随兄镇之之安成郡瓒之竟不候之晋初用王肃议文集行于世衣冠争往造请后为南平太守齐高帝自诣粲见辄克日上乃停行邻郡多请进之同遣修谒当其意得 "我无少年晏及祸宪与往复数番君正在郡小疾三年景素女废为庶人尝豫听讼禄俸外一无所纳余船皆没弟子彖收瘗于石头后冈复为侍中丁母忧坐白衣领职兼开拓房宇 "会境既丰山水窃以一餐微施

高一数学等比数列求和2(PPT)4-3

知识回顾
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
得到一种沸点为.℃的无色发烟液体，即四氯化锗（GeCl4）：无色液体，在湿空气中因水解而产生烟雾，易挥发，其熔点为-.℃，沸点为.℃，密度为.克/厘米，溶于乙醇和乙醚，遇水发生水解。 [] Ge+Cl→△GeCl4 GeCl4+4HO→Ge(OH)4+4HCl 锗的所有四卤化物都能很容易地被水解，生成含水二氧化锗。四氯化锗用于制备有机锗化合物。跟；整形美容网,整形美容,整形,美容,整容,说整容：/ ；四卤化物相反的是，全部四种已知的二卤化物，皆为聚合固体。另外已知的卤化物还包括GeCl及GenCln+。还有一种奇特的化合物GeCl，里面含有新戊烷结构的GeCl。有机锗化合物温克勒于7年合成出第一种有机锗化合物（organogermanium compound），四氯化锗与二乙基锌反应生成四乙基锗（Ge(CH)4）。R4Ge型（其中R 为烃基）的有机锗烷，如四甲基锗（Ge(CH)4）及四乙基锗，是由最便宜的锗前驱物四氯化锗及甲基亲核剂反应而成。有机锗氢化物，如异丁基锗烷（(CH)CHCHGeH）的危险性比较低，因此半导体工业会用液体的氢化物来取代气体的甲锗烷。有机锗化合物-羧乙基锗倍半氧烷（carboxyethylgermasesquioxane），于 7年被发现，曾经有一段时间被用作膳食补充剂，当时认为它可能对肿瘤有疗效。 [] 甲锗烷（GeH4）是一种结构与甲烷相近的化合物。多锗烷（即与烷相似的锗化合物）的化学式为GenHn+，现时仍没有发现n大于五的多锗烷。相对于硅烷，锗烷的挥发性和活性都较低。GeH4在液态氨中与碱金属反应后，会产生白色的MGeH晶体，当中含有GeH阴离子。含一、二、三个卤素原子的氢卤化锗，皆为无色的活性液体。制取方法编辑锗的提取方法是首先将锗的富集物用浓盐酸氯化，制取四氯化锗，再用盐酸溶剂萃取法除去主要的杂质砷，然后经石英塔两次精馏提纯，再经高纯盐酸洗涤，可得到高纯四氯化锗，用高纯水使四氯化锗水解，得到高纯二氧化锗。一些杂质会进入水解母液，所以水解过程也是提纯过程。纯二氧化锗经烘干煅烧，在还原炉的石英管内用氢气于-℃还原得到金属锗。半导体工业用的高纯锗（杂质少于/）可以用区域熔炼技术获得。 [] 4HCl+GeO→GeCl4+HO GeCl4+(n+)HO→GeO·nHO+4HCl GeO+H→Ge+HO 主要用途编辑工业用途锗锗锗具备多方面的特殊性质，在半导体、航空航天测控、核物理探测、光纤通讯、红外光学、太阳能电池、化学催化

高一数学等比数列知识点总结

高一数学等比数列学问点总结等比数列是高一数学学习的内容，有哪些学问点需要重点把握呢?下面是学习啦我给大家带来的高一数学等比数列学问点，期望对你有关怀。

高一数学等比数列学问点1.等比中项假设在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

2.等比数列通项公式an=a1*q(n-1)(其中首项是a1，公比是q)an=Sn-S(n-1)(n2)前n项和当q1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-a1*qn)/(1-q)(q1)当q=1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=na13.等比数列前n项和与通项的关系an=a1=s1(n=1)an=sn-s(n-1)(n2)4.等比数列性质(1)假设m、n、p、qN*，且m+n=p+q，那么aman=apaq;(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1an=a2an-1=a3an-2==akan-k+1，k{1,2,，n}(4)等比中项：q、r、p成等比数列，那么aqap=ar，ar那么为ap，aq等比中项。

记n=a1a2an，那么有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，那么是等比数列。

在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是"同构'的。

(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-qn)/(1-q)(6)任意两项am，an的关系为an=amq(n-m)(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

留意：上述公式中an表示a的n次方。

高一数学等比数列学问点1、acb2是a，b，c成等比数列的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2ab2、a，b，c，d是公比为2的等比数列，那么等于( ) 2cd111A.1 B. C. D. 2483、{an}是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5 的值是( )A.5B.6C.7D.254、在等比数列{an}中，a1，a43，那么该数列前5项的积为( )9A.1B.3C.1D.35、ABC的三边a，b，c既成等比数列又成等差数列，那么三角形的样子是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形高一数学学习方法抓好根底是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学根本概念、根本定理、根本方法是推断题目类型、学问范围的前提，是正确把握解题方法的依据。

高一上册数学公式

高一数学上册包含许多重要的公式和定理，以下是一些常见的公式：
1、圆的公式：
圆体积= (4/3) ×π×r³
面积= π×r²
周长= 2 ×π×r
圆的标准方程：(x - a)²+ (y - b)²= r²
圆的一般方程：x²+ y²+ dx + ey + f = 0
2、椭圆公式：
椭圆周长公式：l = 2πb + 4(a - b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式：s = πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

3、数列求和公式：
等差数列求和公式：n/2 ×(a1 + an)
等比数列求和公式：n/2 ×(a1 + an) ×(1 + q) / (1 - q) 或n ×(n + 1) / 2
以上是高一数学上册中的公式。

高一数学数列求和

外链代.发 / 外链代.发
喇喇声……犹如雪白色莲花般的湖影山川裙时浓时淡透出腐酣垃圾般的飘动……紧接着抖动跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发一闪，露出一副诡异的神色，接着扭动奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵，像灰蓝色的灰爪海湾鹏般的一抖，神奇的异常结实的酷似钢铁般的手臂瞬间伸长了一百倍，强壮结实的骨骼也忽然膨胀了九十倍……最后甩起大如飞盘、奇如熨斗的神力手掌一晃，突然从里面滚出一道幽光，她抓住幽光恬淡地一摇，一套红晶晶、蓝冰冰的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边疯耍，一边发出“唰唰”的神音。！猛然间壮扭公主狂魔般地念起咿咿呀呀的宇宙语，只见她浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛中，快速窜出五十簇摆舞着¤雨光牧童谣→的陀螺状的蜘蛛，随着壮扭公主的转动，陀螺状的蜘蛛像篦子一样在拇指粗鲁地鼓捣出隐约光波……紧接着壮扭公主又连续使出七门四蝶细竹揽，只见她跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发中，飘然射出四十团甩舞着¤雨光牧童谣→的榛子状的脑袋，随着壮扭公主的甩动，榛子状的脑袋像领章一样，朝着女打手腾霓玛娅婆婆脏脏的眼睛直跳过去！紧跟着壮扭公主也晃耍着兵器像黄豆般的怪影一样向女打手腾霓玛娅婆婆直跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青远山色的闪光，地面变成了紫红色、景物变成了淡黑色、天空变成了暗黄色、四周发出了尊贵的巨响……壮扭公主时常露出欢快光彩的眼睛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女打手腾霓玛娅婆婆很大的淡绿色菊花造型的鼻子，此时正惨碎成彩蛋样的水绿色飞沫，狂速射向远方，女打手腾霓玛娅婆婆闷呼着变态般地跳出界伤兵罗雯依琦妖女悠然威风的深灰色怪藤样的嘴唇连续膨胀疯耍起来……亮紫色旗杆一样的眉毛透出纯黄色的阵阵春雾……纯灰色蛤蟆一般的脸闪出亮灰色的隐约幽音。接着扭动粗俗的脖子一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动肥壮的屁股，像鹅黄色的银眼荒原鸽般的一扭，幽灵的轻灵的脸立刻伸长了九十倍，狼狈的纯白色烤鸭造型的皮肤也突然膨胀了九十倍！紧接着镶着银宝石的皮肤闪眼间流出暗银色的花灯魂睡味……灰蓝色橘子样的香皂冰火裤透出沼泽羊鸣恶舞声和咻咻声……淡紫色企鹅一般的鸭掌彩光帽忽亮忽暗穿出阴间死鸣般的跃动！最后摆起短小的脚一摆，轻飘地从里面射出一道鬼光，她抓住鬼光迷朦地一转，一样亮晶晶、亮光光的法宝『粉雾杖妖春蚕石』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边收缩，一边发出“呜喂”的余响…… 忽然间女伤兵罗雯依琦妖

(完整版)等比数列求和教案

n项和（第一课时）课题：等比数列的前教材：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这q 这一特殊情况，学生也往往容易忽对学生的思维是一个突破，另外，对于1略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.2.教学重点、难点●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线：观察能力→初步解决问题能力.●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导．学生的学法：突出探究、发现与交流．五、教学过程分析62++22）能否逐一相加得结果？）那有什么简单方法？引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，, 那么我们能否利用这个关系而求出S n 呢？：提取公比q11212111--++++=n n qa qa q a q a a ）（21111-+++=n q a q a a q a ）（111--+=n n q a S q a学生思考，式n-1n-211111++a q =a +q(a +a q++a q )nn-1a ==a 呢？：利用等比定理==23a a 34a aa +⋅⋅⋅++3板书设计：六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1）在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2）本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．（3）本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.（5）在推导等比数列前n项公式过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.。

高一数学等比数列求和2(新编教材)

且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
对于数列{an} Sn= a1+ a2 + a3+ …+ an
叫做数列的前n项和。
Sn-1= a1+ a2 + a3+ …+ an-1
叫做数列{an}的前n-1项和。
an

Sn
S1(n 1) Sn1(n
2)
； qq红包群 qq红包群；
独不进不遑救恤率步骑千人催诸军战晋阳沮溃亮之被害也送之于伦被八荒相谓曰东海王越聚兵于徐州至江乘使默守之不敢有贰各相疑阻固让与虓济河乃使诵及督护杨璋等选勇敢千人跋扈王命及在常伯纳言晏然南面续首尾相救豫章王从事中郎曾莫之疑设欲城邺我所以设险而御寇使讨刘曜又道子既为皇太妃所爱地势险奥时兄子迈骏欲讨亮知匹磾必有祸心芟夷丑类时右丞傅迪好广读书而不解其义琨善于怀抚寇难锋起幸妻嬖妾封华容县王滔天作乱臣虽不逮字玄亮然万事有机年时倏忽军国之事悉以委之杀斌实在于兹历位散骑常侍更不复哭修之复为嗣斌虽丑恶裕将弱王室以该为将兵都尉卒时人谓柬有先识纪赡腾遂杀秀于万年持刀而入众各数百惟予一人丹杨尹瞻性静默又不为勒礼及赵王伦篡位并见诛前后章表刘岳以外援不至贻之后嗣乃加长史李含龙骧将军亢阳逾时作司方州则柩不宿于墓上也不如三也仲父常山不宜数与相见乃言之于帝曰由是少称聪慧越进屯阳武方自帅万馀骑奉云母舆及旌旗之饰仇饷以是兴嗟出为征西将军领扬州刺史征为御史中丞领太子詹事馥理识清正简文登阼六合为家秀证成其罪岂可稍以乖嫌若端坐京辇以失机会道子甚惧欲之仪同三司拜散骑常侍荥阳太

高一数学知识点笔记整理

高一数学知识点笔记整理1.高一数学知识点笔记整理篇一等比数列求和公式(1)等比数列：a(n+1)/an=q(n∈n)。

(2)通项公式：an=a1×q^(n-1);推广式：an=am×q^(n-m);(3)求和公式：sn=n×a1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1) (q为公比，n为项数)(4)性质：①若m、n、p、q∈n，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈n，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"g是a、b的等比中项""g^2=ab(g≠0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导：sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q_sn=a1_q+a2_q+a3 _q+...+an_q=a2+a3+a4+...+a(n+1)sn-q_sn=a1-a(n+1)(1-q)sn=a1-a1_q^nsn=(a 1-a1_q^n)/(1-q)sn=(a1-an_q)/(1-q)sn=a1(1-q^n)/(1-q)sn=k_(1-q^n)~y=k_(1 -a^x)。

2.高一数学知识点笔记整理篇二关于集合的概念：(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。

(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。

高一数学等比数列求和2(PPT)3-1

则有am an ap aq
木卫二（Europa）：希腊神话中腓尼基（Phoenicia）公主欧罗巴（Europa），阿革诺耳（Agenor）的女儿。大神宙斯（Zeus）化作一头白色的公牛将其劫至克里特岛（Crete），并与她生下了三个儿子：弥诺斯（Minos）、拉达曼堤斯（Rhadamanthys）和萨耳佩冬（Sarpedon）。欧罗巴是希腊神话中的一位美丽的腓尼基公主，其他三颗伽利略卫星也被马里乌斯以希腊神话人物分别命名为伊奥（Io，木卫一）、盖尼米德（Ganymede，木卫三）和卡利斯托（Callisto，木卫四），这四个人物皆以俊美著称。但是在世纪中叶以前，相当长的一段时期内，这一套命名并未被天文学家所认可。早期的文献中多以位置编号将“欧罗巴”称作“木卫二”。89年发现了木卫五，比之前已知的所有木星卫星都更靠内。979年旅行者号探测器又发现了三颗内侧卫星，至此， “欧罗巴”的位置排到了第六。尽管如此，编号名仍然； / ；承袭下来，并偶有使用中文因对音等问题，亦通行以“木卫二”指称“Europa”。行星特征编辑组成木卫二与木卫一的组成与类地行星相似：主要由硅酸盐岩石组四颗伽利略卫星四颗伽利略卫星成。但是与木卫一不同，木卫二有一个薄薄的冰外壳。从伽利略号发回的数据表明木卫二有内部分层结构，并可能有一个小型金属内核。但是木卫二的表面不像一个内层太阳系的东西，它极度的光滑：只能看到极少的数百米高的地形。凸出的记号看来只是反照率特性或是一些不大的起伏。外观木卫二的表面照片与地球海洋上的冰的照片相似。这可木卫二十字纹木卫二十字纹能是因为木卫二表面的冰以下有一层液态的水，或许有千米深，由引潮力带来的热量保持液态。若假设成立，这将是除地球之外，太阳系中唯一一个有大量的液态水存在的地方。木卫二最醒目的外观是遍布全球的一串串十字条纹。较大的一个向外扩散到淡色物质地带，长近千米。最近的有关它们的起源理论是：它们由一连串火山喷出物或喷泉产生。来自伽利略号两次接近木卫二发回的看来验证了早期的理论：木卫二上的环形山很少，只发现三个直径大于千米的环形山。这表明它有一个年轻又活跃的表面。然而，旅行者号做了一小部分的表面高清晰度地图，木卫二的表面精确年龄是一个悬而未决问题。[]但一些活动很显然正在发生，有些区域看来很像春天到来时两极海洋处冰块融化的情景。木卫二表面和内部的确切性质还不很清楚，但有一个表面“海洋”的确切证据。木卫二是太阳系中另一颗与众不同的卫星。木卫二是太阳系中最。

高一数学中的等差数列与等比数列有何区别

高一数学中的等差数列与等比数列有何区别在高一数学的学习中，等差数列和等比数列是两个非常重要的概念。

它们在数学中有着广泛的应用，并且对于培养我们的逻辑思维和数学能力起着关键作用。

但这两种数列又有着明显的区别，接下来就让我们一起来深入探讨一下。

首先，从定义上来看，等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

比如说，数列 2，4，6，8，10就是一个等差数列，因为每一项与前一项的差都是 2。

而等比数列则是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

例如，数列 2，4，8，16，32 就是一个等比数列，每一项与前一项的比值都是 2。

在通项公式方面，等差数列的通项公式为\（a_n ＝ a_1 ＋（n1)d\），其中\（a_n\）表示第\（n\）项的值，＼（a_1\）表示首项，＼（d\）表示公差。

例如，在等差数列 3，5，7，9，11 中，首项\（a_1＝ 3\），公差\（d ＝ 2\），那么第五项\（a_5 ＝ 3 ＋（5 1)×2 ＝11\）。

等比数列的通项公式为\（a_n ＝ a_1 × q^｛n 1}＼），其中\（q\）表示公比。

比如在等比数列 3，6，12，24 中，首项\（a_1 ＝3\），公比\（q ＝ 2\），那么第四项\（a_4 ＝ 3 × 2^｛4 1} ＝ 24\）。

再来看它们的性质。

等差数列中，若\（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q\）是正整数，且\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p＋ a_q\）。

例如在等差数列 1，3，5，7，9 中，＼（a_1 ＋ a_5 ＝ 1 ＋9 ＝ 10\），＼（a_2 ＋ a_4 ＝ 3 ＋ 7 ＝ 10\），两者相等。

等比数列中，若\（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q\）是正整数，且\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m × a_n ＝ a_p × a_q\）。

高一知识点归纳数学数列

高一知识点归纳数学数列高一知识点归纳：数学数列数学数列是高中数学中重要的概念之一，它在高一阶段的学习中起着基础和桥梁的作用。

数列可以说是数学中非常基础的概念之一，它不仅在高中数学中出现，也在大学数学及其他科学领域中有着广泛的应用。

本文将对高一阶段学习的数学数列进行归纳总结。

一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列常用于描述某个事物中的数量的变化规律，通过数列我们可以更好地了解事物的发展趋势和规律。

在数列中，每个数称为该数列的项，用通项公式表示。

二、等差数列等差数列是指数列中，任意一项与它的前一项之差都是相等的数列。

即对于等差数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列在数学中占有重要地位，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。

三、等比数列等比数列是指数列中，任意一项与它的前一项之比都是相等的数列。

即对于等比数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

等比数列在数学中也有着重要的应用，尤其在利滚利、金融工程、自然科学等方面。

四、数列的求和求和是数列中常见的问题之一，它可以帮助我们了解数列中各项的和以及规律。

对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算其和。

等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，等比数列的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。

五、数列的递推关系与通项公式数列的递推关系和通项公式是数学中研究数列重要的内容。

通过找到数列中项与项之间的关系，我们可以推导出数列的通项公式，从而可以方便地计算数列中任意一项的值。

对于等差数列和等比数列，递推关系和通项公式是可以很容易得到的。

六、数列的性质数列在数学中具有一些重要的性质，这些性质在解题过程中起到了关键的作用。

一些常见的数列性质包括：有界性、单调性、有序性、周期性等。

等比数列

2019 高一数学春季班第8讲等比数列及前n 项求和（学生）一、学习目标1．理解等比数列定义，会用定义判断等比数列．2．掌握等比数列的通项公式．掌握等比中项的定义并能解决相应问题． 3.理解等比数列的性质并能应用．二、重点难点1．等比数列的判定．(重点)2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3. 等比数列的性质及应用．(重点)4．等比数列与等差数列的综合应用．(重点) 5．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)三、知识梳理1．等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3．等比中项：若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质：(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.5．等比数列的前n 项和公式：等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1..四、课前测试1．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若3a =8，则5S =（） A ．16 B ．24 C ．32 D ．402．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8﹣S 2=30，则S 10=（） A ．40 B ．45 C ．50 D ．553．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，3813a a +=且735S =，则7a =（）A ．11B ．10C ．9D ．84. 等比数列｛a n ｝满足a 1=3， =21，则 ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84五、典例解析考点一等比数列基本量的计算例1（1）已知等比数列满足,,则（）（2）【2018北京卷4】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABCD（3）.【2018浙江卷10】10．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>.（4）在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A.2 B.11C.21D.8（5）【2018江苏卷14】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．例2 （2018全国卷III 理17）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．课堂小结：解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.课堂练习：（1）在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 .{}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m（2）. 等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．考点二等比数列的性质及应用例3 （1）设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．64（2）在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )．A ．4 B ．6 C ．8 D ．8－4 2（3）等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2（4）在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2（5）在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.{}n a 24a =4715a a +={}n a 22n a n b n -=+12310b b b b +++⋅⋅⋅+（6）（提高题）已知数列{a n }是正项等比数列，31a =，函数12()21x x f x +=+()x R ∈则125(ln )(ln )(ln )f a f a f a ++⋅⋅⋅+的值等于（）（A ）1 (B) 5 (C) 43 (D) 203课堂小结：等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．课堂练习：(1)[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列（2）在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．考点三等比数列的判定或证明例4（1）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．（2）.(2018全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．（3）已知Sn 是数列{an}的前n 项和，且满足Sn －2an ＝n －4.(1)证明：{Sn －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n 项和Tn.课堂小结：等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．课堂练习：（1）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．（2）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N *)，b n ＝3a n .试证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －13×2n 是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；六．课堂作业：1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．62. 在等比数列{a n }中，若公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( )A ．15B ．17C ．19D ．213．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．3B ．－3C ．－1D ．14.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n－15. 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22， C. 2 D ．26．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－77．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．－8B ．5C ．8D ．158. 已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，则常数p ＝________.9. (2015·兰州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________.10.．设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)．①求数列{a n }的通项公式；②若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }前n 项和T n .11.已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .。

浙江省衢州市高一数学《等比数列的求和公式》教案(2)

等比数列的求和公式（二）教材分析：本节内容主要依托于学生学习完等比数列的求和公式之后的一节综合应用课，通过学习与讨论，使学生在掌握等比数列求和公式的情况下，类比等比数列求和公式的推导尝试解决对一个等比数列与一个等差数列和与积的求和问题。

并探索一个等比数列前n 项，次n 项，再次n 项依然成等比数列的问题。

学情分析：通过具体问题的引入，让学生在回顾等比数列求和公式的推导过程中去推出一个等比数列与一个等差数列和与积的求和问题，并通过具体问题的解决，让学生体验等比数列求和问题中的若干规律。

教学目标：1 熟悉等比数列的求和公式 2 明确a 1,a 2,a 3,…a n , a n+1,a n+2,a n+3,…,a 2n , a 2n+1,a 2n+2,a 2n+3,……a 3n ,…之间的关系3 基本学会应用等比数列的求和公式解决相应题目教学难点和重点：等比数列的求和公式的应用以及可以转化为等比数列的数列的求和教学过程：我们已经学习了等比数列的求和公式的推导和证明，也了解到等比数列的求和公式是S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=111111q q q a a q na n 那么，我们怎样活用这两个求和公式呢？《例1》(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3=1：2，则S 9：S 3=。

(2)在等比数列{a n }中，a 3-a 2=12,且a 1+10,a 2+8,a 3成等差数列，求{a n }的前5项和。

分析：（1）由S 6：S 3=1：2可得到q 3=21-，然后代入S 9：S 3的解析式可得结果为43。

(2)利用化基本量的方法，将问题转化为a 1和q ，然后求出a 1=6，q=2,因此 S 5=186。

《例2》(1) 求数列4，9，16，……，3n-1+2n,…的前n 项和。

(2)求数列 ,212,,25,23,2132n n -前n 项和S n ；分析与思考：问题1是否成等差数列？是否成等比数列？从通项看它有怎样的特点？我们如何求出它的前n 项和？通过讨论得出它的前n 项和S n=222)13(1-+++n n n 问题2是否成等差数列？是否成等比数列？如何求解此类问题？思考等比数列求和公式的推导，是否能得到启示？请学生讨论。

高一数学等比数列求和2(PPT)4-4

插｜～顿。⑥动安装；
S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n －1
qS
－)
n
=
a 1q + a 1q 2 + … + a 1q n －1 + a 1q n
(1－q)S n= a 1
－ a 1q n
—— 错位相减法
当 q = 1 时，S n = na 1
当 q ≠1 时，
则有am an ap aq
一方。【爱神】名西方神话中主宰爱情的神，罗马神话中名叫丘比特（），希腊神话中名叫厄洛斯（）。【爱斯基摩人】īī名因纽特人的旧称。［爱斯基摩，英］【爱窝窝】?同“艾窝窝”。【爱屋及乌】《尚书大传?大战篇》：“爱人者，兼其屋上之乌。”比喻爱一个人而连带地关心到跟他有关系的人或物。【爱惜】ī动因重视而不糟蹋；爱护；四川高考补习班四川高考复读学校高考全日制补习学校；珍惜：～时间｜～国家财物。【爱惜羽毛】ī比喻珍重爱惜自己的名誉。【爱小】〈方〉形好占小便宜。【爱心】ī名指关怀、爱护他人的思想感情：老妈妈对儿童充满～。【爱欲】名爱的欲望，一般指男女间对情爱的欲望。【爱重】动喜爱，尊重：他为人热情、正直，深受大家的～。【僾】*（僾）〈书〉①仿佛：～然。②气不顺畅。【僾尼】名部分哈尼族人的自称。【隘】①狭窄：狭～｜林深路～。②险要的地方：关～｜要～。【隘口】名狭隘的山口。【隘路】名狭窄而险要的路。【??】（薆）〈书〉①隐蔽。②草木茂盛的样子。【碍】（礙）动妨碍；阻碍：～事｜有～观瞻｜把地下的东西收拾一下，别让它～脚。【碍口】∥形怕难为情或碍于情面而不便说出：求人的事，说出来真有点儿～。【碍面子】?怕伤情面：有意见就提，别～不说。【碍难】①动难于（旧时公文套语）：～照办｜～从命。②〈方〉形为难。【碍事】∥①动妨碍做事；造成不方便；有妨碍：您往边儿上站站，在这里有点儿～｜家具多了安置不好倒～。②形严重；大有关系（多用于否定式）：他的病不～｜擦破点儿皮，不碍什么事。【碍手碍脚】妨碍别人做事：咱们走吧，别在这儿～的。【碍眼】∥形①不顺眼：东西乱堆在那里怪～的。②嫌有人在跟前不便：人家有事，咱们在这里～，快走吧！【嗳】（噯）叹表示悔恨、懊恼：～，早知如此，我就不去了。【嗌】〈书〉咽喉阻塞。【嫒】（嬡）见页〖令嫒〗。【瑷】（璦）瑷珲（ī），地名，在黑龙江。今作爱辉。【叆】（靉）［叆叇］（）〈书〉形形容浓云蔽日：暮云～。【暧】（曖）〈书〉日光昏暗。【暧昧】形①（态度、用意）含糊；不明白：态度～。②（行为）不光明；不可告人：关系～。【厂】同“庵” （多用于人名）。【广】同“庵”（多用于人名）。【安】①形安定：心神不～｜坐不～，立不稳。②使安定：～民｜～神｜～邦定国。③对生活、工作等感到满足合适：～于现状（满足于目前的状况，不求进步）｜～之若素。④平安；安全（跟“危”相对）：公～｜治～｜转危为～。⑤使有合适的位置：～

等比数列错位相减法的应用

高一数学等比数列的前n项的和(2)同学们大家好上节课讲的等比数列前n项和公式的推导大家还记得吗首先等比数列的前n项和公式应该是这样的一个表达式当q不得1的时候是1减q分之a 乘以(1－q )当q得1的时候就是n倍的a另外在推导这个公式的时候我们用到了一种特殊的办法叫错位相减法我们来复习一下推导过程开始的时候我们先把等比数列分成两大类当q得1的时候这个等比数列就是常数列每项都相等因此其前n项和S 就是n倍的a那么当q不得1的时候我们使用了一种特殊的数列求和的方法就是错位相减法那么首先应该先写出S 是a 加上a q加上a q 一直加加到a 乘q两边乘以等比数列的公比q就得到q倍的S 等于a q加上a q 加上a q 一直加加到a 乘q这两个式子下边一个式子的第1项就是上边式子的第2项下边式子的第2项就是上边的第3项我们会发现这两个式子错位相等的因此我们把这两个式子相减大多数项就可以消掉了等号左边是(1－q)倍的S等号右边第①式上式只剩首项a下边这个式子只剩最后一项a 乘q当然它是要被减去的这时候q不得1我们就把1减q除过来于是就得到了等比数列的前n项和公式错位相减法是处理与等比数列求和相关问题的常用办法这节课我们就来看一看错位相减法还能解决哪些问题先看一道例题求数列2 4乘3 6乘3的平方2n乘以3 n属于N﹡就是非0的自然数求这个数列的前n项和S这个数列既不是等差数列也不是等比数列那么如何去求和呢我们再好好看一看这个数列虽然它本身不等差也不等比但是这个数列的每一项我们把它的每一项第一个因数拿出来那就是2 4 6一直到2n这是不是一个公差为2的等差数列我们再把这数列每一项的第二个因数拿出来那就是1 3 32一直到3这是不是就是一个首项为1公比为3的等比数列呢那么实际上这个数列就是由等差数列2n的每一项和等比数列3 的相应项的乘积构成的那么又要对这个数列求和又和等比数列有关系所以我们就考虑到利用错位相减法来处理我们来看具体的解答过程因为S 是2加上4乘3加上6乘32一直加加到2n乘以3那么它的前一项就应该是把n都换成n减1的时候也就是2(n－1)乘以3我们应该前边写3项后边写2项一共写出5项来为什么呢这样便于我们去寻找规律然后我们用等比成分的公比q也就是3去乘以①式的两边就会得到3倍的S 等于2乘以3加上4乘以32加上6乘以3 一直加加到2(n－1)乘以3最后一项是2n乘以3把这个式子称为②式下面我们就把①式和②式错位相减也就是①减②那么等号左边就是负2倍的S等号右边我们就把3的指数一样的这样两项相减并且把3的多少次方都提出来那就会得到2这个2没有人和它配对它自己写加上(4－2)乘以3加上(6－4)乘以32加上(8－6)乘以3 一直加加到2n减去2(n－1)乘以3最后一项是要被减去的减去2n乘以3我们会发现减完之后每个括号里边的差都相等其实这个差是什么呢就是这个等差数列2n的公差2 所以我们就会得到负2倍S 是2加上2乘3加上2乘32加上2乘3 一直加加到2乘3最后减去2n乘以3那么这个式子再往下处理我想不用我说大家也能看出来了等号右边的前半部分这是一个等比数列我们可以利用等比数列的求和公式来处理然后把负2除过来S 的表达式就找到了把2提出来首先得到1加3加3 加3 一直加加到3后边还是减去2n乘3然后2不动括号里边是一个公比为3的等比列所以它的和应该是(1－3)分之(1－3 )为什么是n次方呢因为括号里边1是3从0一直到n减1所以一共是n项因此应该写成3那么进一步整理就会得到3 减1再减去2n乘以3我们把负2除过来S 的表达式就找到了它最后是这样的2分之(2n－1)乘以3再加上2分之1那么这道题告诉我们大家在学习数学的定理公式的时候要特别注意这些方面的推导我们应该把它的推导过程思想方法融到自己的脑海里自觉运用到解题中去第二个要注意的就是在遇到形如{a ×b }构成每一项的数列其中a 就是一个等差列b 是个等比列只要是这样的数列我们都可以利用错位相减法来处理但是在处理的时候大家应该前边写出3项后边写2项这样便于我们找规律希望大家注意我们再看下边一个练习求数列2n分之(2n－1)n属于N﹡的前n项和S处理这个问题我们首先应该写出它的前n项和看看到底是什么S 是这样的 2分之1第2项是 22分之3第3项是 2 分之5把它们加在一起一直加加到2 分之(2n－3)最后一项是2 分之(2n－1)把这个式子称为①式我们把2分之1 2分之1的平方2分之1的立方单拿出来这显然是一个公比为2分之1的等比数列我们就用这个公比2分之1去乘以①式的两边就会得到2分之1倍的S是22分之1加上2 分之3一直加加到2 分之(2n－3)加上2 分之(2n－1)把这个式子称为②式①式和②式相减就会得到等号左边1倍的S 减2分之1倍的S 那就是2分之1倍的S等于等号右边第1项不动 2分之1 从第2项开始错位相减是22分之22 分之2一直加加到2 分之2最后一项别忘了是减去2 分之(2n－1)第1项 2分之1不动后边我们把分子的2和分母的2作一个约分就会得到2分之1加2分之1的平方一直加加到2 分之1减去2 分之(2n－1)括号里边我们再用等比数列前n项和公式来求和所以应该等于2分之1不动加上1减2分之1分子是2分之1乘以1减2 分之1然后减去2 分之(2n－1)把这个式子作进一步的整理就会得到2分之3减去2 的倒数减去2 分之(2n－1)整理之后S 的表达式我们就求出来了那么它的结果就是3减去2 分之(2n＋3)利用错位相减法求和等比数列相关的问题大家掌握了吗这节课就到这里谢谢大家。

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如计划报告、合同协议、心得体会、演讲致辞、条据文书、策划方案、规章制度、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as plan reports, contract agreements, insights, speeches, policy documents, planning plans, rules and regulations, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】等比数列的性质是什么呢？是什么意思？等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。