离散数学三四章检测题答案

天津理工大学中环信息学院《离散数学》第三、四章检测题得分统计表：题号 总分 一 二 三 四请将填空题答案填入下面相应位置1. ；2. ；3. ；4. ；5. , ；6. , ；7. , , , , , ；8. ；9. , , , , 。

请将选择题答案填入下表相应位置1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分一、填空题（每空2分，共40分）1．若集合A 的基数为n ，则()A P A ⨯= 。

2nn ⨯２．设A =｛｛Φ，｛Φ｝｝｝，则A ×(())P P Φ= 。

其中()P A 表示集合A 的幂集．{,{}},{,{}{,}},{}ΦΦΦΦΦΦ3．设{{,{,}}}A a b c =，则()P A = 。

其中()P A 表示集合A 的幂集．,{{,{}{},}}a b c Φ4．设A ={1，2，3}，A 上的二元关系R ={1,1,1,2,1,3,3,3}〈〉〈〉〈〉〈〉，则关系R 具有 性。

反对称，传递。

5．设R 是集合A 上的二元关系，则()S R = ，()t R = 。

1R R - ；1ii R∞=6．设R 是集合A 上的具有自反性、对称性、反对称性和传递性的二元关系，则R = ，R 的关系矩阵是 。

（A I ，100010001⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭或单位矩阵） 7． 在偏序集,A ≤中，其中A ={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是A 中的整除关系，则集合B ={2,3,4,6}的极大元是 4,6 ，极小元是 2,3 ，最大元是 无 ，最小元是 无 ，上确界是 12 ，下确界是 1 。

8．设{,{}},{0,1A B φφ==, 所有从A 到B 的双射函数是1f ={,0,{},1}φφ, 2f ={,1,{},0}φφ。

9．设f 是A 到B 的函数，如果对2121,,x x A x x ≠∈∀，都有)()(21x f x f ≠，则称f 为 ，如果B f ran =)(，则称f 为 ；若f ，则称f 为双射。

当f 为双射时，1-f是B 到A 的函数，且1-ff = ，f f1-= 。

（单射，满射；既是单射又是满射； B I ； A I ）二、单项选择题（每小题2分，共20分）1．设1R 和2R 是集合A 上的任意两个关系，则下列命题为真的是（ ）．(1)(1)．若1R 和2R 是自反的，则1R 2R 也是自反的； (2)．若1R 和2R 是非自反的，则1R 2R 也是非自反的； (3)．若1R 和2R 是对称的，则1R 2R 也是对称的； (4)．若1R 和2R 是传递的，则1R 2R 也是传递的．２．集合A 上的关系R 为一个偏序关系，当且仅当R 具有（ ）。

(2) (1)．自反性、对称性和传递性； (2)．自反性、反对称性和传递性； (3)．反自反性、对称性和传递性； (4)．反自反性、反对称性和传递 ３．集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有（ ）。

(1) (1)．自反性、对称性和传递性； (2)．自反性、反对称性和传递性； (3)．反自反性、对称性和传递性； (4)．反自反性、反对称性和传递性４．集合A 上的等价关系R ，其等价类的集合｛[]A a a R ∈｝称为（ ）．(3)(1)．A 与R 的并集，记为A ∪R ； (2)．A 与R 的交集，记为A ∩R ；(3)．A 与R 的商集，记为A ／R ； (4)．A 与R 的差集，记为A －R ．５．设集合{0,1,2,3}A =，R ={<0,0>,<0,2>,<1,2>,<1,3>,<2,0>,<2,1>,<3,3,>}是A 上的二元关系，则R 的关系矩阵R M 是( )。

（2）（1）．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1100100000110101（2）.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001111000101（3）. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111101001011000（4）. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101100011000111６．设{1,2,3,4,5,6},{,,,,}A B a b c d e ==，以下哪一个关系是从A 到B 的满射 ( 2 )。

(1)．{1,,2,,3,,4,,5,}R a b c d e =； (2)．{1,,2,3,,4,,5,,6,}R e dc b a e =；(3)．{1,,2,,3,,4,,5,,6,}R a b c a b c = ； (4)．{1,,2,,3,,4,,5,,1,}R a b c d e b = ．7．设{,,}A a b c =，集合A 上的等价关系R 所确定的A 的划分的是{{a },{ b , c }} ，则R =( 1 )（1）． {< a , a >,<b , b >,<c , b >,<b , c >,<c , c >} （2）．{< a ,b >,<b , a >,<c , b >,<b , c >} （3）．{< a ,b >,<b , a >,<c , b >} （4）．{< a , a >,< a ,b >,<b , a >,<c , b >,<b , c >,<c , c >} 8．设Z 为整数集，f ：Z →Z ，()(mod3)f i i =，则f 是（ ）．（3）(1)．是入射不是满射； (2)．是满射不是入射；(3)．既非入射也非满射； (4)．是双射． 9．设,,f g h 是集合A 上的任意函数，下列哪个命题是真命题（ ）．（3）(1)． f g g f = ； (2)．f f f = ； (3)．()()f g h f g h = ； (4)．f g h = ． 10．设{1,2,3},{,}A B a b ==，下列二元关系R 为A 到B 的函数的是( 1 )(1)．{1,,2,,3,}R a a a = ； (2)．{1,,2,}R a b =；(3)．{1,,1,,2,,3,}R a b a a = ； (4)．{1,,1,,2,,3,}R a b a b = ．三、简答题（共30分）1．（6分）设A ={1,2,3,5,6,10,15,30} ， “／” 为集合A 上的整除关系。

〈A ，／〉是否为偏序集? 若是，画出其哈斯图；解：〈A ，／〉是偏序集。

其哈斯图为：2．（12分）对下图所给的偏序集 ,A ，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并将结果填入表中。

子 集 上 界 下 界 上 确 界 下 确 界 {,,}a b c {,,}c d eA子 集上 界下 界上 确 界 下 确 界{,,}a b cadad{,,}c d e,a c 无 c 无 Aa无a无3．（6分）设 A ={1,2,3,4,5,6}，集合A 上的关系R ={〈1,3〉,〈1,5〉,〈2,5〉,〈4,4〉,〈4,5〉,〈5,4〉,〈6,3〉,〈6,6〉}。

（1）画出R 的关系图，并求它的关系矩阵； （2）求(),()r R S R 及 ()t R 。

解：（1）R 的关系图为R 的关系矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100100001000011000000000010000010100R M （2分）（2）(){1,1,2,2,3,3,5,5}r R R = ， （1分）(){3,1,5,1,5,2,3,6}S R R= （1分） (){1,4,2,4,5,5}t R R = （2分）4．设Z 是整数集，R 是Z 上的模3同余关系，即{,,,(mod3)}R x y x y Z x y =∈≡，试根据等价关系R 决定Z 的一个划分 。

答案：由R 决定的Z 的划分为：[][][]}2,1,0{R R R ， 其中：[][][]},8,5,2,1,4,7,{2},7,4,1,2,5,8,{1},9,6,3,0,3,6,9,{0 ---=---=---=R R R四．证明题（共10分）１．设,,,b a R b a <∈ 定义]1,0[],[:→b a f 为 ab ax x f --=)(，证明：f 是双射，并求出其逆映射。

证：1）先证明f 是入射（2分）对任意的[]),()(,,,2121x f x f b a x x =∈若则有ab ax a b a x --=--21，从而有21x x =，故f 是入射。

2) 再证明f 是满射（2分）对任意的[][],)(,,)(,1,0y x f b a a y a b x y =∈+-=∈使得都存在从而f 是满射。

综合（1）、（2）知f 是双射。

],[]1,0[:1b a f →-为 a x a b x f+-=-)()(1，对任意[]1,0∈x 。

（1分） njj。