2021年八年级数学上册 . 证明举例()教案沪教版五四制

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沪教版(五四学制)八年级上册第十九章几何证明：1证明举例(第1课时)课件

求证：EF∥AC
分析：
A
要证明EF ∥AC,只要证明 ∠DFE=∠FDC
又已知∠DFE=∠A ，因此只要
﹖ 证明 ∠A=∠FDC ，而这由
E D
﹖ 已知条件DF∥AB得到的。
B
C
F
例２已知：如图，点D,E,F分别是AC、AB、BC 上的点，DF∥AB， ∠DFE=∠A
求证：EF∥AC
分析：
要证明EF ∥AC,只要证明 ∠A+∠AEF=1800
平行？
平行线的判定定理：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；
平行线的传递性：平行于同一条直线的两条
直线也平行；
例１已知：如图，AB∥CD， ∠B+ ∠D=180O 求证：CB∥DE
分析：要证明CB∥DE，只要证
A
． C ﹖B
明 ∠C+ ∠D=180O ，已知 ∠B+ ∠D=1800 ，因此只要证
（3）若GP、HN分别平分∠BGF、∠EHD, 探索：GP、HN具有怎样的位置关系?
必做题：练习册习题19.2（1）选做题：提高题
又已知∠DFE=∠A ，因此只要证明 ∠DFE+∠AEF=1800 ，而这由已知条件DF∥AB得到的。 B
A
﹖E ﹖D C F
例２变式练习：已知：如图，DF∥AB， EF∥AC
求证： ∠DFE=∠A
﹖A
E
D
﹖ B
C
F
练习1 已知：如图，∠1=∠B, ∠2=∠D 求证：AB∥CD
A
B
E1
F
2
C
D
练习2 已知：如图，∠C=∠1, ∠B=∠D

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.2 证明举例(5) 教案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯课题：证明举例（5）教学目标：1、继续学习几何证明过程的分析方法，进一步学习证明角相等、线段相等的常用方法。

2、初步学会添加一条辅助线来进行几何证明。

3、继续引导学生正确、规范地书写证明过程。

4、掌握几何证明的推理步骤和推理过程、以及几何证明中有关演绎推理的思想方法。

5、培养学生一题多解的灵活的解题思路，在自主学习、小组讨论和交流中提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点：重点：通过添加辅助线构造有效的基本图形，证明角度或线段相等。

难点：辅助线怎么添，添在哪里教学过程：一、问题引入：你知道的证明角度相等或线段相等的方法有哪些？其中用得较多的有哪些？二、新课：（一）问题：如图，AB=AC，DB=DC。

求证∠B=∠C，1、前面所回忆的方法在此似乎都用不上，如何解决这样的问题？①添加辅助线的必要性②如何添？添在哪里呢？为什么这样添线？③如果这样添加的话，用的是什么方法证明角度相等？这里投影出整个过程，尤其辅助线的叙述要引导学生说准确。

2、能否换一种思路添加辅助线？如何添？那样添加的话，又是利用什么解决问题？小结：为什么会产生这样不同的添线的方法？不同的方法形成不同的证明思路，C A BCA 学会比较，尽量选择更为直接、简便的方法。

（二）1、例8已知：如图 AD 与BC 相交于O ，AB=CD ，AD=BC求证： ∠A = ∠C这里学生比较容易先想到△ABO 和△CDO 全等，通过分析发现AD=BC 这个条件用不上，如何构造全等三角形？①连接BD ②连接AC 两种办法均一起书写论证过程，进行比较，选择更好的解决办法，体会好在哪里？2、例9的引入：已知，如下图，点D 、E 在BC 上，BD=EC ，AD=AE 。

则图中相等的线段还有哪些？对前面学过的例题进行复习例9 已知：如上图，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=EC学生首先想到的多数还是全等，利用全等可以怎么证明？哪些三角形能证得全等？等腰三角形的性质除了两个底角相等之外，还有什么？三线合一的用法复习：如图AB=AC ，AH ⊥BC能得到什么？证明：∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH （或AH 平分∠BAC ）（等腰三角形三线合一）回到例9，还可以如何证明？如何添加辅助线？证明：过A 作AH ⊥BC ，垂足为H∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH（等腰三角形三线合一）同理DH=EH∴BH-DH=CH-EH（等式性质）即BD=CE比较全等和利用等腰三角形三线合一的证明方法，显然后者证明更为巧妙些。

《19.2证明举例》作业设计方案-初中数学沪教版上海八年级第一学期

《证明举例》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业的目标是使学生能够：1. 理解并掌握初中数学证明的基本概念和常用方法；2. 学会从实际问题中抽象出数学问题，并能进行简单的数学证明；3. 培养严谨的逻辑思维能力和解决问题的实践能力。

二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理解证明的概念和意义，掌握证明的基本步骤和常用方法，如反证法、分析法等；2. 完成教材中提供的证明题目，包括几何图形的性质证明、代数式的恒等式证明等；3. 结合实际生活问题，提出一个需要进行数学证明的实际问题，并尝试进行证明过程的设计。

具体要求如下：（一）理解证明概念与步骤学生需明确证明的概念和意义，了解证明的基本步骤，包括提出命题、分析命题、推理证明等环节。

（二）完成证明题目学生需认真完成教材中提供的证明题目，注重理解题目的背景和解题思路，掌握解题方法。

对于有难度的题目，可查阅相关资料或请教老师。

（三）设计实际问题证明过程学生需结合实际生活问题，提出一个需要进行数学证明的实际问题，并尝试进行证明过程的设计。

问题可以是与几何、代数、概率等相关的实际问题，要求问题明确、具有可证明性。

三、作业要求1. 作业应在规定时间内独立完成，不得抄袭他人作业；2. 证明过程应清晰、严谨，逻辑性强；3. 对于有难度的题目，可适当查阅相关资料或请教老师，但必须注明来源；4. 结合实际生活问题设计的证明过程，应具有实际意义和可操作性。

四、作业评价1. 评价标准：作业的完成情况、证明过程的清晰度、逻辑性以及实际问题的设计质量等；2. 评价方式：教师批改、同学互评、自我评价相结合；3. 反馈方式：对作业中存在的问题进行点评，指出改进方向，对优秀作业进行表扬和展示。

五、作业反馈1. 教师根据学生的作业情况，进行总结和反馈，指出学生在证明过程中存在的问题和不足，提出改进建议；2. 对于优秀作业进行表扬和展示，激励学生积极参与数学学习；3. 针对学生在实际问题的设计过程中遇到的问题，提供指导和帮助，提高学生解决实际问题的能力。

八年级数学上册证明举例教案沪教版五四制教案

证明举例
教学目标：
1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路。

2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等以及两条直线垂直的简单问题。

3、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态。

教学重点：
如何进行演绎证明和简明表达。

教学难点：
证明之前进行分析的基本思路。

例题8 已知:如图，在ABD ∆中,AC ⊥BD ,垂足为点C ,AC =BC .点E 在AC 上,且CE =CD .联结BE 并延长交AD 于点F . 求证:BF ⊥AD . 证明:∵AC ⊥BD (已知), ∴︒=∠=∠90ACD ACB (垂直的定义).
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆),(),(),(已知已证已知中与在AC BC ACD BCE CD CE ，ACD BCE . ∴BCE ∆≌)..(S A S ACD ∆.
∴21∠=∠(全等三角形的对应角相等).
在ACD ∆中,︒=∠+∠+∠1802ACD D (三角形的内角和等于180°), 在BFD ∆中, ︒=∠+∠+∠1801BFD D (三角形的内角和等于180°), ∴ACD D BFD D ∠+∠+∠=∠+∠+∠21(等量代换). ∴︒=∠=∠90ACD BFD (等式性质). ∴BF ⊥AD (垂直的定义).
说明：在本题中利用了全等三角形性质与三角形内角和定理来证明两直线垂直,证法有一定的典型性,要引导学生在解题后反思,小结证明两条直线垂直的基本方法. 2．反馈练习，巩固知识课后练习1、2. 3、课堂小结
你能讲一讲，证明两条直线垂直，一般可以采用什么方法吗？。

沪教版八年级数学上册几何证明第二节证明举例(1)教案

第1讲几何证明（2）证明举例（一）【知识要点】知识点1 证明的步骤（1）判断一个命题是真命题：要经过证明.证明是一个推理过程,是一个严密而有条理的合理的推理过程,证明过程一定要步步有理有据.（2）判断一个命题是假命题：只要举出一个反例.知识点2 反证法反证法证明命题的一般步骤：（1）假设：先假设命题的结论不成立.（2）归谬：从这个假设出发,运用正确的推理方法,得出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果.（3）结论：由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.【学习目标】1.掌握证明的步骤以及理论依据;2会用反证法进行证明.【典型例题】【例1】证明：等腰三角形两底角的平分线相等.【分析】已知等腰三角形两底角的平分线,如何证明两底角的平分线相等.利用两三角形全等的方法进行证明.证明过程中每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可写在每一步后的括号里. A【解答】已知：如图1,在ABC ∆中,AB AC =,BD 是ABC ∠的平分线,CE 是ACB ∠的平分线.求证：BD CE = E D 证明：AB AC =（已知）∴ABC ACB ∠=∠（等边对等角） 111,222ABC ACB ∠=∠∠=∠（已知） B C ∴∠1=∠2（等式性质）图1在BDC ∆与CEB ∆中DCB EBC ∠=∠（已证）,BC CB =,12∠=∠（已证）∴BDC ∆≅CEB ∆ A.S.A)(∴BD CE =（全等三角形对应边相等）.1 2【例2】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.【分析】首先假设结论“A ∠、B ∠、C ∠中不能有两个叫是直角”不成立,即它的反面“A ∠、B ∠、C ∠中可以有两个叫是直角”成了,然后,从这个假设出发推理得出矛盾.【解答】已知：ABC ∆求证：A ∠、B ∠、C ∠中不能有两个叫是直角.证明：假设A ∠、B ∠、C ∠中有两个角是直角,不妨设90A B ∠=∠=︒,则9090180A B C C ∠+∠+∠=︒+︒+∠>︒.这与三角形三内角和定理矛盾,所以90A B ∠=∠=︒不成立.所以一个三角形中不能有两个角是直角.【基础训练】1．同一平面内,1l l ⊥,垂足为A ,2l l ⊥,垂足为B ,A 、B 两点不重合,那么1l 和2l 的位置关系是⎽⎽⎽⎽⎽⎽.2．已知两个角的两条对应边互相平行,并且它们的差是直角,那么这两个角分别等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽度.3．如图,直线AB 、CD 与EF 相交于点G 、H ,已知下列条件：①12∠=∠;②36∠=∠;③28∠=∠;④58180∠+∠=︒.其中能判定//AB CD 的是⎽⎽⎽⎽⎽⎽.4．如图,在ABC ∆中,AB AC =,2C A ∠=∠,BD 是ABC ∠的平分线,那么图中有⎽⎽⎽⎽⎽⎽个等腰三角形.5．如图,两个三角形全等,其中某些边的长度及某些角度已知,那么x =⎽⎽⎽⎽⎽⎽度. E AA B D 5厘米 C D 5厘米 F B C第3题图第4题图第5题图6．如图,将ABC ∆绕点B 顺时针旋转24︒得到DBE ∆,若30C ∠=︒,DE 边与BC 边交于点F ,则CFE ∠=⎽⎽⎽⎽⎽⎽度.7．等腰三角形底边的中点到一腰的距离为d ,那么到另一腰的距离为⎽⎽⎽⎽⎽⎽.8．等腰三角形的两边长分别为2和5,那么它的周长是⎽⎽⎽⎽⎽⎽.5 1 7 36 2 8 4 73︒52︒ x ︒ 73︒9．如图,已知在ABC ∆中,,BAC ACB ∠∠的平分线相交于点E ,//,//DE AB EF BC ,8AC =,那么DEF ∆的周长为⎽⎽⎽⎽⎽⎽.AEB C 第6题图第9题图 10．如图,已知AB AC =,BAC DAE ∠=∠,要使ABE ACD ∆≅∆,还需添加一耳光条件,这个条件可以是⎽⎽⎽⎽⎽⎽.11．对应如图的给定图形（不再添线）,从①AD AE =;②DB EC =;③AB AC =;④OD OE =中选取两个为已知条件,通过说理能得到B C ∠=∠,这样的两个条件可以是⎽⎽⎽⎽⎽⎽（填序号）.AE AD ED B C B C第10题图第11题图【能力提高】1．阅读下题及其证明过程： A已知如图,D 是ABC ∆中BC上一点,,EB EC ABE ACE =∠=∠,求证：BAE CAE ∠=∠. E证明：在AEB ∆和AEC ∆中EB EC =ABE ACE ∠=∠ B D CAE AE = 第1题∴AEB ∆≅AEC ∆（第一步）∴BAE CAE ∠=∠（第二步）问：上面证明过程是否正确？若正确,请写出每一步推理根据;若不正确,请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.D F O2．如图,已知点D 、A 、E 、B 在一直线上,//,,,90AC DF AC DF BE AD B ==∠=︒.求证：EF BD ⊥F CD AE B3．如图,,AB AE AC AD ==,要使EC BD =,需要添加一个什么条件？请说明理由.AB EC D第3题4．如图（1）,已知ABD ∆和ACE ∆都是等腰三角形,且顶角1∠=∠2,连接BC 、DE 交于点F ,求证：（1）1EFC ∠=∠（2）当ABD ∆绕着点A 旋转某一角度（如图(2)、(3)所示位置）时,是否仍有1EFC ∠=∠的结论成立？为什么？A A A2 E1 GC E E F BD B ()F C B 第4题图21 12 GF D C5．如图,有两张全等的直角三角形纸片(ABC ∆DEF ≅∆),将这两张三角形纸片摆成如下右图形式,使点B 、F 、C 、D 在同一直线上.（1）实说嘛AB ED ⊥的理由;（2）若PB BC =,请找出图中与此条件有关的所有全等三角形,选择一对说明你的理由、 AA C E PN BF D B F C 第5题图E D。

沪教版八年级数学上册几何证明第三节证明举例(2)教案

（3）证明举例（二）【知识要点】知识点1 添辅助线由于证明的需要,可以在原来的图形上添画一些线,即添加辅助线来完成一些几何证明.辅助线通常画成虚线.【学习目标】1.掌握证明的步骤以及理论依据;2.会将复杂的问题转化为较为熟悉的或已掌握的基本图形问题,借助添加辅助线来实现转化.【典型例题】【例1】如图1,已知ABC ∆为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,使AE BD =,连接CE 、DE .求证：CE DE =. 【分析】在应用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等时,如果图形不全,就需要运用辅助线构造出所需的全等三角形,达到证明的目的. 【解答】延长CD 到F ,使CF AE =,连接EF .ABC ∆是等边三角形∴,60AB BC B =∠=︒∴AB AE BC CF +=+（等式性质） E 即BE BF = 又60B ∠=︒∴BEF ∆为等边三角形.∴,60BE EF B F =∠=∠=︒,AE BD CF AE == B C D F ∴BD CF = 图1 ∴BD CD CF CD -=- 即BC DF =在EBC ∆和EFD ∆中 EB EF = B F ∠=∠ BC FD =∴EBC ∆≅EFD ∆S.A.S)( ∴CE DE =A【例2】如图2,已知在ABC ∆中,AD 是中线,BE 交AD 于点F ,AE EF =.求证：AC BF =.【分析】本例通过添加辅助线,把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.【解答】延长AD 到点G ,使DG AD =,连接BG .在ACD ∆和GBD ∆中AD GD =（已知）ADC GDB ∠=∠（对顶角相等） A CD BD =（已知）∴ACD GBD ∆≅∆(S.A.S) F∴,AC GB DAC G =∠=∠ B（全等三角形的对应边、对应角）相等）.AE EF =（已知）∴DAC AFE ∠=∠（等边对等角）又AFE BFG ∠=∠（对顶角相等）∴BFG G ∠=∠（等量代换） G ∴BG BF =（等角对等边）图2 ∴AC BF =（等量代换）【例3】如图3,已知ABC ∆中,AD 是BAC ∠的角平分线,2B C ∠=∠.求证：AB BD AC +=. 【分析】证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一段相等即可,或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段.【解答】延长AB 至E ,使AE AC =,连接DE .AC AE = A EAD CAD ∠=∠AD AD =∴ACD AED ∆≅∆(S.A.S)∴C E ∠=∠（全等三角形对应角相等） B D C,2ABD E BDE ABD C ∠=∠+∠∠=∠∴2ABD E ∠=∠ 图3 ∴E BDE ∠=∠∴BD BE =（等角对等边） ∴AC AB BD =+（等量代换）EED C【例4】如图4,在四边形ABCD 中,60,30,,DAB DCB AD AB ∠=∠==试证明线段CD BC AC 、、能构成直角三角形.【分析】本题的关键是要将CD BC AC 、、三条线段放到一个三角形中,然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件,因此,通过旋转60°,既保证了图形的不变性,又构造了等边三角形.【解答】如图5,由于60,,DAB AD AB ∠==因此可将ABC ∆绕A 点逆时针方向旋转 60°到ADE ∆处,且B 落在D 处, 则ABC ∆≌ADE ∆. 所以 ,EAD CAB ∠=∠,EDA B ∠=∠.DE BC =因为60,DAB ∠= 所以60.EAC ∠=所以EAC ∆为等边三角形. 所以.EC AC AE ==所以EDC ∆为线段CD BC AC 、、构成的三角形. 因为360,DAB B BCD CDA ∠+∠+∠+∠=360,,60,30,90.EDA CDA CDE EDA B DAB DCB CDE ∠+∠+∠=∠=∠∠=∠=∠=所以所以线段CD BC AC 、、能构成直角三角形.图4DCBA【基础训练】1．如图,等边ABC ∆中,,BD CE = AD 与BE 相交于点P ,那么APE ∠=度.2．如图,在ABC ∆中,34,B ∠= 104,ACB ∠=AD 平分,BAC AE ∠为BC 边上的高,则.DAE ∠=3．如图,ABC ∆中,,AB AC =,D E F BC AC AB 、、分别是、、上的点,BF CD BD CE ==且EDF A ∠∠那么等于（用的代数式表示）.4. 如图,已知,,AB AD B D =∠=∠在求证BC DC =的过程中,正确添加辅助线的方法是：联结 .5.在ABC ∆中,高AD 与高BE 相交于点H ,且,BH AC =那么ABC ∠的度数等于度数等于 .E图5CBA第1题图CD BA第2题图AE B【能力提高】1. 如图,,,BD CD B C =∠=∠求证：.AC AB =第3题图DCBA第4题图DCBA第1题图CBA2. 证明：两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.(请画出图形,将命题写成“已知”、“求证”的形式后再证明)3. 如图,在ABC ∆中,AB AC =,108A ∠=,BD 平分,ABC ∠求证：.BC AB CD =+4. 在ABC ∆中,90A ∠=,AB AC =,D 为斜边BC 的中点,点E F 、分别在AB AC 、上,且BE AF =.（1）以D 为对称中心,画出BDE ∆的中心对称图形CDG ∆; （2）联结FG ,CFG ∆是什么三角形？试说明理由; （3） EF 与FG 相等吗？试说明理由.、第3题图CBA第4题图D CBA5. 如图点O 是等边ABC ∆内一点,110,135,AOB BOC ∠=∠=问（1）以OA OB OC 、、为边能否构成一个三角形？若能,试求出该三角形各内角的度数;若不能,说明其理由;（2）如果AOB ∠的大小保持不变,那么当BOC ∠等于多少度时,以OA OB OC 、、为边的三角形是直角三角形？第5题图CBA。

八年级数学上册 19.2 证明举例(4)教案沪教版五四制

证明举例课题19.2（4）证明举例设计依据（注：只在开始新章节教学课必填）教材章节分析：学生学情分析：课型新授课教学目标能利用定义、定理、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.经历命题证明的分析过程，感受解决几何证明问题的一般方法，体会数学语言的转化功能.数学的几何推理是非常严谨的，每一步必须有理有据，因果关系严密重点运用定义、定理、公理，证明命题，掌握数学语言的转化.难点正确分析问题，把握解题的关键，会构造有效的图形解决问题.教学准备全等三角形的性质和判定，等腰三角形、直角三角形的性质，等腰三角形的判定，其他几何性质等.学生活动形式讨论，交流，总结，练习教学过程设计意图课题引入：课前练习1、已知：如图，AB=AC，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE。

求证：BO=CO。

2、已知：如图，AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上一点。

求证：BF=CF。

体现一般到特殊的转变，解决特殊问题除了可以用一般方法外，还有特殊方法.第一次三角形全等到底能为第二次全等创造什么条件，这是学生的思维盲点，需要引导他们寻找公共边、角.解决问题的关键是找出缺少的条件，它往往是两个定理之间的“过渡元素”.知识呈现：新课探索一例题1 已知：如图，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，且∠1=∠2。

求证：AD ⊥BC 。

新课探索二探索如图△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，E 是AC 上一点，延长BC 到D ，使CD=CE ，联结BE ，AD 。

则BE 与AD 在数量上有什么关系？在位置上又有什么特殊关系？课内练习1、已知：如图，OA=OB ，AC=BD ，且OA ⊥AC ，OB ⊥BD ，点M 在CD 上，∠AOM=∠BOM 。

求证：OM⊥CD。

课堂小结：利用等腰三角形的判定、性质及三线合一，使证题过程简单化。

（注重证明线与线垂直）。

课外练习册，堂堂练作业预习19.2（5）证明举例要求能添加辅助线构造图形，再利用定义、定理、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.教学后记与反思1、课堂时间消耗：教师活动分钟；学生活动分钟）2、本课时实际教学效果自评（满分10分）：分3、本课成功与不足及其改进措施：。

【沪科版】八年级数学上册《证明》教案

第2课时证明教学目标1．了解证明的含义。

2．体验、理解证明的必要性。

3．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。

教学重点、难点重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式。

难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。

教学过程一、新课引入教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图：比较线段AB和线段CD的长度。

通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性二、新课教学证明的引入（1）命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗？请说明理由分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。

教师对具体的说理过程予以详细的板书。

小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。

（2）通过例3的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求例2、证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。

分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。

证明过程的具体表述（略）小结：证明几何命题的表述格式①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程。

（3）练习：P78课内练习1、2三、例题教学P78例题4例、已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。

求证： AB∥CD （证明略）OAB CD四、练习巩固P80 练习1、2五、小结（1）证明的含义（2）真命题证明的步骤和格式（3）思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？教学后记：。

沪教版(五四学制)数学八上第19章《证明举例》复习课一等奖创新教案(表格式)

沪教版（五四学制）数学八上第19章《证明举例》复习课一等奖创新教案（表格式）_ 月_ _日星期__ 第__周课题十九章证明举例课型复习教时2教学目标1. 掌握平行线、全等三角形、等腰三角形的判定与性质证明有关线段和角相等及线段平行的简单问题。

2. 通过分解基本图形，掌握添置辅助线的方法。

3. 进一步学会演绎推理的方法和规范表达，体会理性思维的精神，发展逻辑思维能力。

重点平行线、全等三角形、等腰三角形的判定与性质的正确运用。

难点几种常见辅助线的添置。

教具准备多媒体课件教学过程教师活动学生活动一、建立知识结构：前阶段我们已经学习了证明线段平行、相等以及角相等的有关定理和基本图形，这节课我们一起来复习、梳理这些知识:1、一个三角形中证明线段和角相等常用的定理和基本图形，常添的辅助线．（等边对等角）（等角对等边）（底边上的高或中线或顶角的平分线）2、在两个三角形中证明线段和角相等，常要证明三角形全等．三角形全等的判定与基本图形：①_________②____________ （S、A、S）___(A、S、A)___③_________④_________(A、A、S)___(S、S、S)___师：联结两点得到线段，构造全等三角形3、有线段中点的条件，常添的辅助线：___ ______ 师：如果有中线，则往往将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形；当有角平分线，常添的辅助线有以下几种：4、当有角平分线，常添的辅助线有以下几种在ON上截取OA＝OB, 延长BP交ON于点A ，构造全等三角形___ 构造等腰三角形二、例题分析：例1、已知，如图BD=CE，∠1=∠2，求证：（1）AB=AC．（2）联结ED，试判断BC与ED的位置关系，并证明你的判断．分析：问1、通过对题意分析，你能看出哪些基本图形？问2、证明哪两个三角形全等？问3、能证明△BCE与△CBD全等吗？问4、BC与ED有怎样的位置关系？如何证明？（学生口述证明过程）证明：（1）∵∠1=∠2（已知），∴∠AEC=∠ADB（等角的补角相等）在△ABD与△ACE中∠AEC=∠ADB（已证）∠A=∠A（公共角）BD=CE（已知）∴△ABD≌△ACE （AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）（2）答：AB ∥ED．证明：∵△ABD≌△ACE（已证）∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）∴∠3=∠4（等边对等角）同理：∠ABC=∠ACB∵∠A+∠3+∠4=180°∠A+∠ABC +∠ACB =180°（三角形的内角和为180°）∴∠3+∠4=∠ABC +∠ACB（等式性质）∴2∠3=2∠ABC∴∠3 =∠ABC（等式性质）∴BC∥ED．（同位角相等，两直线平行）适时小结：本例中既有证明线段相等、平行又有证明角相等．既要运用三角形全等，又要运用等腰三角形的性质等定理．因而分解基本图形，选择恰当的方法非常重要．例2 已知：如图,在△ABC中, AD⊥BC于D，AD=BD，点H为AD上一点，AC=BH．求证：∠ABC=∠BCH．分析：问1：从组合图形中能看出有哪些基本图形？问2：由图1可得什么？为什么？问3：图2中的两个三角形是什么三角形？（学生口述证明过程）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠ADB=∠ADC=90 (垂直的意义)．在Rt△BDH和Rt△ADC．∴Rt△BDH和Rt△ADC（H.L）．∴DH=DC（全等三角形的对应边相等），∴∠DCH=∠1（等边对等角），∴∠DCH=45 （三角形内角和为180 ）同理：∠ABC=45 ∴∠ABC=∠BCH（等量代换）．反馈练习：1、已知，如图，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，AD=BC，CE=DF，求证AO=BO．分析：问1、由题意，你找到基本图形吗？问2、由这个基本图形你能得到什么结论？例3：已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点,且AB=5，AC=3，求AD 的取值范围．分析：问1、需要添置辅助线吗？如何添？问2、构造△BED的目的是什么？问3、AD的取值范围如何确定呢？解：设AD=x， 2 x＞2 解得：1＜x＜4 2 x＜8∴AD的取值范围是大于1且小于4．变式：已知，如图，D是BC的中点,且AB=m，AC=n，求AD的取值范围．分析：根据变式的解题方法，进行思考，得出结论．适时小结：如果有线段中点的条件，可以以中点为旋转中心，构造成中心对称的三角形；如果有中线，则往往将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形.反馈练习：已知，如图，D是BC的中点,若∠BED=∠CAD，求证:BE=AC；分析：问1、由题意，能直接证明BE=AC吗？问2、如何添置辅助线？问3、添置这个三角形的目的是什么？问4、还有其它的添置方法吗？完整的证明过程学生课后完成．例题4 已知：如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD．求证：∠A=2∠B．分析：1．条件BC=AC+AD 使我们想到把线段AD、AC转化到线段BC上，怎样转化呢？．2．“角平分线”的条件，为实现上述转化提供了条件. 怎样翻折呢？怎样添置辅助线呢？基本图形：证明：在CB上截取CE=CA,联结DE．∵CD 是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2.在△ACD与△ECD中AC=CE ∠1=∠2 CD=CD∴△ACD≌△ECD （S.A.S）∴DE=AD, ∠A=∠DEC(全等三角形的对应边，对应角相等).∵BC=CE+BE=AC+AD∴BE=AD(等式性质) ∴DE=BE,∴∠B=∠BDE(等边对等角).∵∠DEC=∠B+∠BDE=2∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和).∴∠A=2∠B．适时小结：注意到CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD．利用图形运动，沿CD将△ABD向下翻折或将△BCD 向上翻折，得到点A或点B的对称点．从而得到添置辅助线的两种常见方法：“截长法“和”补短法”，这是两种不同的添线方法，“截长”和“补短”都可以，一般用“截长法”，在以后的学习中我们可继续体会．例5：求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.分析：根据命题画出图形？（师生一起分析并画图）1）画一个等腰△ABC.2）再画出腰上的高BD.问：（1）高与底边的夹角是哪个角？（2）分析命题的题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”.问1：已知什么？问2：求证什么？已知: 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D.求证：∠A=2∠DBC问：如何找到∠A的一半？证明：作AE⊥BC，垂足为点E.∵AB=AC , AE⊥BC.∴∠BAC=2∠1(等腰三角形的三线合一).∵AE⊥BC.(已知)∴∠C+∠1=900（直角三角形的两个锐角互余）.同理∠C+∠2=900。

八年级数学上册 19.2 证明举例(2)教案沪教版五四制

证明举例课题19.2（2）证明举例设计依据（注：只在开始新章节教学课必填）教材章节分析：学生学情分析：课型新授课教学目标能利用全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.经历命题证明的分析过程，感受解决几何证明问题的一般方法，体会数学语言的转化功能.数学的几何推理是非常严谨的，每一步必须有理有据，因果关系严密.培养学生的逻辑推理能力重点灵活运用定义、定理、公理，证明命题，掌握数学语言的转化. 难点找出定理与定理的题设和结论之间的“桥梁”，数学语言的转化.教学准备全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，其他几何性质等.学生活动形式讨论，交流，总结，练习教学过程设计意图课题引入：课前练习一已知：如图，AB=AC，∠1=∠2，DE=DF。

求证：EF∥BC 本节课的开始，先以板书做回顾和提示：几何证明：1.证平行（昨知识呈现：新课探索一例题1 已知：如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，∠OBC=∠OCB。

求证：AB=DC。

新课探索二例题2 已知：如图，AB=AC，DB=DC。

求证：∠B=∠C。

课内练习1、已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D。

求证：△ABC是等腰三角形。

2、已知：如图，AB=AC，AD=AE，AB，DC相交于M，AC、BE相交于点N，∠DAB=∠EAC。

求证：∠D=∠E课内练习三3、已知：如图，E、F是线段BC上的两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF。

求证：AE=DF。

4、已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O，AB=AC，天已习内容）同位角相等，两直线平行。

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

证边（或角）相等（今天要学习内容）引导学生从要求证的结论出发分析要证明两个角相等，可用的方法——添辅助线。

一种是证明三角形全等，利用全等三角形的性质，另一种是利用等腰三角形的性∠B=∠C。

八年级数学上册 19.1 证明举例教案沪教版五四制

证明举例一、授课目的与考点分析：【知识结构框图表】证明中的分析、解题的思路证明举例几何证明中常用的证明方法添辅助线二、授课内容：【例题1】点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE 求证：BD ＝CE几何证明中常用的证明方法证两直线平行——利用平行线的性质和判定；利用平行线的判断定理及其推论来证，这是证明两直线平行最基本的方法（关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系）证两线段相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定：（1）如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等（有时可能缺少直接条件，要证两次全等）（2）有时两线段分别在两个三角形中，但这两个三角形不全等，那么可添辅助线构造全等三角形来证。

常添的辅助线有：平行线、垂线、中线、连结线段等（3）如果两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等（等角对等边）（4）证明两条线段都等于第三条线段（即以第三条线段为媒介）证两角相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定：证两直线互相垂直——利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质*5、证一线段等于另一线段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法，常常要作辅助线。

【例题2】如图所示,已知∠1=∠2,AB 平分∠DAB,试说明DC ∥AB.D CB A21AB C D E【例题3】已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC 【例题4】△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：BD=CD且AD⊥BC添辅助线由于证明的需要，可以在原来的图上添画一些线，即添加辅助线来完成一些几何证明，辅助线通常画成虚线。

三角形证明题中常见在辅助线做法：利用三角形的主要线段构造全等三角形○1中线：倍长中线法如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线。

延长AD到E，使DE＝AD，连接CE。

结论：△ABD≌△ECD，∠1＝∠E，∠B＝∠2，EC＝AB，CE∥AB。

沪教版(五四学制)八年级上册第十九章几何证明：1证明举例(第2课时)课件

F
A
E
B
D
C
3、已知：如图，AB=AD，BE=DE，C是 AE延长线上一点. 求证：∠BCA=∠DCA.
A
E
B
D
C
课堂小结：
谈谈你在这节课上学到了哪些证明线段或角相等的常用方法？
例1变式：已知：如图，AC与BD相交于点O， AB=DC ，∠ABC=∠DCB. 求证： OA=OD.
A
O
D
B
C
例2、已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
例2变式（1）：图形变换成如图，能否证明？例2变式（1）：已知：如图，AB=AC，DB=DC.
求证：∠B=∠C.
等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于60 °。
例1、已知：如图，AC与BD相交于点O，
OA=OD，∠OBC=∠OCB.
求证：AB=DC.
A
标出已知条件
O
D
两个三角形，能否
B
C
推理这两个三角形全
等来证明线段相等。
学会发掘图形中的隐含条件，如：对顶角相等、公共边、公共角等.
复习：
1、三角形的边、角的有关性质：三角形的边的性质：三角形任意两边之和大
于第三边；任意两边之差小于第三边。三角形的角的性质：内角和性质：三角形的内角和为180度。外角性质：1）三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和。 2) 三角形的一个外角大于任何一个与它不相
邻的内角。
复习： 2、全等三角形判定方法：
（S、S、S）；（S、A、S）；（A、S、A）；（A、A、S）；
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等；全等三角形对应角相等。

八年级数学上册 19.2 证明举例(1)教案沪教版五四制

证明举例
课题
19.2（1）证明举例
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填）
教材章节分析：
学生学情分析：
课型
新授课
教
学
目
标
能利用定义、定理、公理等证明命题，能说出命题的题设和结论，掌握数学语言的转化.
经历命题证明的分析过程，感受解决几何证明问题的一般方法，体会数学语言的转化功能.
数学的几何推理是非常严谨的，每一步必须有理有据，因果关系的严密性
求证：AB∥CD。
2、如图，（1）已知：AB=AC，DE∥BC。
求证：AD=AE。
课堂小结：
证明举例பைடு நூலகம்
根据“同位角相等”、“内错角相等”、“同旁内角互补”证明两条直线平行。
课外
作业
练习册，堂堂练
预习
要求
19.2（2）证明举例
能利用全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.
重点
运用定义、定理、公理，证明命题，掌握数学语言的转化.
难点
正确说出简洁命题的题设和结论，数学语言的转化.
教学
准备
三角形的性质，平行线的性质和判定，其他几何性质等
学生活动形式
讨论，交流，总结，练习
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习一
课前练习二
根据下列命题画出图形，写出“已知”、“求证”。
（1）等腰三角形两腰上的高相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直。
（1）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，D，E为垂足。求证：BD=CE。
（2）已知：如图，AB∥CD，GP、HP分别平分∠BGF，∠DHE。

《19.2证明举例》作业设计方案-初中数学沪教版上海八年级第一学期

《证明举例》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业的目标是使学生能够：1. 理解并掌握初中数学证明的基本步骤和常见类型；2. 通过具体例题的解析，掌握如何分析题目，提取关键信息，并利用数学定理、公理进行推理证明；3. 培养并提升学生的逻辑思维能力及解题能力。

二、作业内容作业内容主要包括以下几个部分：1. 知识点梳理：要求学生复习初中数学证明的基本概念，如公理、定理、推论等，并熟悉其应用场景。

2. 例题解析：选取几个典型的证明题目，详细解析其解题步骤和思路，让学生了解如何从题目中提取关键信息，如何运用数学知识进行逻辑推理。

3. 实践练习：布置几道证明题目，要求学生运用所学知识，独立完成证明过程。

题目难度适中，既包含基础题型，也包含一些变式题型，以检验学生的掌握情况。

4. 知识点拓展：介绍一些常用的数学证明方法，如反证法、归纳法等，让学生了解更多解题策略。

三、作业要求为保证作业的完成质量和效果，提出以下要求：1. 学生需认真阅读例题解析，理解并掌握证明的基本步骤和思路；2. 在完成实践练习时，要求学生独立思考，尽量自己完成证明过程，如遇困难，可适当查阅资料或请教老师；3. 作业需按时完成，字迹工整，步骤清晰，逻辑严密；4. 在知识点拓展部分，学生可自行查阅相关资料，了解更多数学证明方法。

四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 完成情况：是否按时完成作业，是否认真对待；2. 正确性：答案是否正确，证明过程是否严密；3. 思路清晰度：解题思路是否清晰，步骤是否分明；4. 创新性：是否有新的解题思路或方法。

五、作业反馈作业反馈将采取以下措施：1. 教师批改：教师将对每份作业进行认真批改，指出学生的不足之处，并给出改进建议；2. 课堂讲解：在下一课时，教师将对作业中普遍存在的问题进行讲解，帮助学生解决疑惑；3. 优秀作业展示：挑选几份优秀作业进行展示，鼓励学生互相学习，共同进步。

通过上述措施的采取，不仅可以帮助学生了解自己的不足，同时也能增强学生的自信心和学习动力。

沪教版数学八年级上册19.1《证明举例》教学设计

沪教版数学八年级上册19.1《证明举例》教学设计一. 教材分析沪教版数学八年级上册19.1《证明举例》是学生在学习了平面几何基本概念和性质之后的内容，本节通过具体的证明举例，让学生了解证明的方法和步骤，培养学生逻辑思维能力和证明能力。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握证明的基本方法，为后续学习更复杂的几何证明打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平面几何基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力。

但是，学生在证明方面还缺乏方法和技巧，证明过程往往不够规范，对证明中的逻辑推理和证明步骤还不够清晰。

因此，在教学本节内容时，需要引导学生理解证明的方法和步骤，培养学生逻辑思维能力和证明能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解证明的方法和步骤，培养学生逻辑思维能力和证明能力。

2.过程与方法：通过具体的证明举例，让学生学会如何有条理地表述证明过程，提高学生的逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习几何证明的兴趣，培养学生的耐心和细心。

四. 教学重难点1.重点：证明的方法和步骤。

2.难点：如何准确、规范地进行证明。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考；通过分析案例，让学生理解证明的方法和步骤；通过小组合作学习，让学生互相交流、讨论，提高学生的合作能力和证明能力。

六. 教学准备1.教材和教辅。

2.课件和教学素材。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的几何问题，引导学生思考证明的方法和步骤，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生分析题目，明确证明的目标。

然后，逐步展示证明的过程，让学生理解证明的方法和步骤。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生分组合作，共同完成一个较复杂的证明问题。

教师引导学生交流、讨论，确保学生能够准确、规范地进行证明。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.2 证明举例教案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯证明举例（教案）教学目标通过动手操作、观察归纳掌握“倍长中线”的辅助线添法。

教学重点倍长中线的辅助线方法。

教学难点通过动手操作、观察总结得出延长中线一倍的辅助线添法。

教学过程一、新课引入：提问1 通过前面的学习我们知道了什么是命题，那么命题由哪两部分组成？提问2 我们来看看下面这句命题的题设和结论分别是什么？“等腰三角形三线合一”提问3 我们知道这是一条定理，当然它是真命题。

如果我们把它的题设和结论互换，那么这条命题怎么叙述呢？他们还是真命题吗？提问4 我们发现条件有多余，我们能不能用更少的条件得出AB=AC呢？二、新课探究：问题1已知：△ABC中，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC。

求证：AB=AC。

问题2已知：△ABC中，AD⊥BC，BD=DC。

求证：AB=AC。

（前2个问题由全等得证）问题3例1 已知：△ABC中，∠BAD=∠CAD，BD=DC。

求证：AB=AC。

提问1：能不能通过全等来证明？现有条件足以证明全等吗？提问2：我们分析这个问题难证的原因，∠BAD和∠CAD在两个三角形中，而这两个三角形却不能通过这两个角相等来证得全等。

由此我们这样思考，改变这些元素的位置将∠BAD与∠CAD和AB、AC集中在一个三角形中呢？我们如何才能做到只改变这些量的位置不改变他们的大小呢？（图形的运动）因此我们不能把它看作是静止的图形。

我们运用图形运动改变△ABD的位置，看看新位置上的AB能否与AC相等？（学生进行操作）（学生小组讨论、操作、白板演示）证明：延长AD到E使DE=AD，连接CE在△ABD与△ECD中，BD=CD（已知）∠ADB=∠EDC（对顶角相等）AD=ED（作图）∴△ABD≌△ECD∴EC=AB，∠E=∠BAD（全等三角形对应边对应角相等）又∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠DAC（角平分线意义）∴∠E=∠DAC（等量代换）∴AC=EC（等角对等边）∴AC=AB（等量代换）小结：我们再来梳理这个问题的解题思路：这个问题最大的难点是在静止图形下已知条件比较分散。

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