现代设计方法基础-4平面问题有限元法

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有限元法概述

大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。（1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具。目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。

《现代设计方法》课程教学大纲

现代设计方法》课程教学大纲课程代码：020232025 课程英文名称：Advanced Design Methods 课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0 适用专业：车辆工程能源与动力工程装甲车辆工程大纲编写（修订）时间：2017.5一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标现代设计方法是汽车类专业的一门重要的专业基础课。

通过本课程的学习，使学生掌握优化设计和有限元的基本理论和方法，同时通过一些工程实例的研究，培养学生分析和解决工程问题的能力。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求通过本课程的学习，学生要对本课的基本内容有系统的理解，掌握其基本概念、理论和方法，运用这些理论分析，解决工程实际问题，并达到如下要求：1．掌握现代设计方法的基本概念、理论及发展趋势。

2．掌握优化设计理论的基本概念、建模方法、搜索方法和无约束问题、有约束问题的求解方法等内容，使学生能够用优化设计方法解决设计中的实际问题。

3．掌握有限元方法的基本理论和方法，在此基础上，能够熟练使用大型工程软件进行实际的工程设计和计算。

（三）实施说明本课程主要包括两部分内容：机械优化设计、有限元方法。

教师在授课过程中可以根据实际情况酌情安排各部分的学时，课时分配表仅供参考。

根据本专业特点，教师应结合本专业的实际问题，在教学过程中注意理论与实际结合，突出实际应用。

课程的教学目标通过讲授、课后作业和后续的实践课程三个环节来实现。

教师要注重对基本概念、基本方法和解题思路的讲解，以便学生在实际应用中能举一反三，灵活运用。

（四）对先修课的要求在学习本课程之前，必须先修完《线性代数》、《理论力学》、《材料力学》等课程。

（五）对习题课、实验环节的要求本课程的主要难点就是在较短的学时内使学生掌握机械最优化设计方法和有限单元法的基本概念、方法和具体步骤。

因此根据课程的基本概念，思想和方法应用及典型的工程问题，选择安排一定的习题，习题通过课堂练、讲相结合和课后作业完成。

4 有限元素法

2-2 几何方程
位移与应变之间的几何方程为
x
u x
， y
v y
， z
w z
xy
yx
u y
v， yz
zy
w v y z
对于平面问题，几何方程只有三个：
x
u x
， y
v y
， xy
yx
u y
v x
2-3 广义虎克定律
x 2
x
y 2
y
z
用变分法求解微分方程，首先要找到相应的泛函。
对于有些问题相应的泛函尚未找到，或者根本不存在相应的泛函。在这种情况下，就无法用变分法求解。
加权余量法（也称加权余值法）是求微分方程近似解的一种有效方法。
设有微分方程 G(x,y,y')0
假设有一个满足边界条件和具有一定连续程度
的试探函数（~y其中含有若干待定系数）使
因为只需要满足本质性边界条件，而不必考虑自然边界条件（第二、第三类边界条件自动满足），试探函数的选取是比较容易的。
试探函数阶次提高，解的精度也提高。
当网格特别细密时，相邻节点之间的变化就很小，因此单元内分布假设的实际细节变得不再重要。离散化方程的解将趋近于相应微分方程的精确解。
单元形状
理复杂区域、复杂边界条件。而对于具有规则的几何特性和均匀的材料特性
问题,差分法的程序设计比较简单,收敛性也比有限元法好。有限元法同时具有里兹法与差分法的优点，使变分问题的直接解法变成了工程计算中的现实。
FEM的特点
有限元素方法是物理量的矩阵分析方法在连续体中的有效推广。每个元素都采用有限个参数来描述它的物理特性。
a
实现极值的必要条件是函数y(x)满足一维欧拉方程

第4章平面问题的有限元法-4收敛准则

1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的面积不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元分析软件的使用要求。五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，

有限元讲义弹性力学平面问题有限单元法(四结点四边形等参元,八结点曲线四边形等参元,问题补充)分析

2.6 四结点四边形单元(The four-node quadrilateral element)前面介绍了四结点的矩形单元其位移函数:xy y x U 4321αααα+++=xy y x V8765αααα+++=为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。

但它对边界要求严格。

本节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。

对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y 轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。

可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a ）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。

正方形四个结点i,j,m,p 按反时钟顺序对应四边形的四个结点i j m p 。

正方形的 1-=η 和 1=η 二条边界，分别对应四边形的i ，j 边界和p,m 边界；ξ=-1和ξ=+1分别对应四边形的i ，p 边界和j ，m 边界。

如果用二组直线等分四边形的四个边界线段，使四边形绘成一个非正交网格，那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格（见图a, b ）。

当然, 局部坐标上的A 点与整体坐标的A 点对应。

一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换由于可以将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元，对于这种正方形单元，自然仍取形函数为： ξηαηαξαα2321+++=U ξηαηαξαα8765+++=V引入边界条件，即可得位移函数：∑=ijmpi i U N Ui ijmpi V N V ∑==写成矩阵形式：{}{}[]{}ee p i p i ed N d N N N N V U f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=000 式中形函数: ()()()ηηξξηξi i i N ++=1141, ()p m j i ,,, 按照等参元的定义,我们将坐标变换式亦取为: p p m m j j i i i ijmpi x N x N x N x N x N x +++==∑p p m m j j i i i ijmpi y N y N y N y N y N y +++==∑ ()162-- 式中形函数N 与位移函数中的完全一致。

有限元法基础ppt课件

有限单元法
一、数值模拟方法概述二、有限单元法简介三、有限单元法分析步骤四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method）其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。

现代设计方法4-1弹性力学平面问题的基本方程

些概念和方程，作为弹性力学有限单元法
的预备知识。
弹性力学—区别与联系—材料力学
1、研究的内容：基本上没有什么区别。
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，
以及由此产生的应力和变形。
2、研究的对象：有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。
y
x
某一个截面上的外法线方向是沿坐标轴的正方向，这个截面称正面，面上的应力沿正向为正，负方向为负。相反如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，截面为负面，面上的应力以沿坐标轴负向为正，正向为负。空间问题有九个应力分量：三个正应力&六个剪应力三个独立
剪应力：txy = tyx 线应变：ex
s De
e x e e y g xy
1 E D 2 1 0

1 0
0 0 1 2
[D]平面应力问题的弹性矩阵，对称与E，有关
(3)平面应变问题的物理方程
角应变：gxy
tyz = tzy tzx = txz
空间应力状态有6个独立应力分量，对应6个应变分量：
ey
ez
gyz gzx
完全弹性,各向同性物体应变与应力关系(胡克定律导出) 胡克定律：在单向应力状态下，处于弹性阶段
1 e x E s x (s y s z ) 1 e y s y (s x s z ) E 1 e z s z (s x s y ) E 1 1 1 g xy G t xy , g yz G t yz , g zx G t zx

(整理)常用现代设计10大方法

常用现代设计十大方法一）计算机辅助设计(CAD-Computer Aided Desi gn)利用计算机及其图形设备帮助设计人员进行设计工作。

简称CAD。

在工程和产品设计中，计算机可以帮助设计人员担负计算、信息存储和制图等项工作。

在设计中通常要用计算机对不同方案进行大量的计算、分析和比较，以决定最优方案；各种设计信息，不论是数字的、文字的或图形的，都能存放在计算机的内存或外存里，并能快速地检索；设计人员通常用草图开始设计，将草图变为工作图的繁重工作可以交给计算机完成；由计算机自动产生的设计结果，可以快速作出图形显示出来，使设计人员及时对设计作出判断和修改；利用计算机可以进行与图形的编辑、放大、缩小、平移和旋转等有关的图形数据加工工作。

CAD能够减轻设计人员的劳动，缩短设计周期和提高设计质量。

发展概况20世纪50年代在美国诞生第一台计算机绘图系统，开始出现具有简单绘图输出功能的被动式的计算机辅助设计技术。

60年代初期出现了CAD的曲面片技术，中期推出商品化的计算机绘图设备。

70年代，完整的CAD系统开始形成，后期出现了能产生逼真图形的光栅扫描显示器，推出了手动游标、图形输入板等多种形式的图形输入设备，促进了CAD技术的发展。

80 年代，随着强有力的超大规模集成电路制成的微处理器和存储器件的出现，工程工作站问世，cad技术在中小型企业逐步普及。

80 年代中期以来，C AD技术向标准化、集成化、智能化方向发展。

一些标准的图形接口软件和图形功能相继推出，为CAD 技术的推广、软件的移植和数据共享起了重要的促进作用；系统构造由过去的单一功能变成综合功能，出现了计算机辅助设计与辅助制造联成一体的计算机集成制造系统；固化技术、网络技术、多处理机和并行处理技术在CAD中的应用，极大地提高了C AD系统的性能；人工智能和专家系统技术引入CAD，出现了智能CAD技术，使CAD系统的问题求解能力大为增强，设计过程更趋自动化。

第四章有限元单元法

¾ ADINA
★ FLUENT
¾ ANSYS
★ SAP
(3) 有限单元法的未来
应用需求：技术革新、设计理论、制造方法
基础产业：汽车、船舶、冶金、飞机高新产业：航天、微电系统、纳米器
件：
(3) 有限单元法的未来待发展的方面
1) 新的材料本构模型和单元型式
2) 结构在复杂环境条件下的全寿命过程响应分析
人类认识自然的得力助手
力学或工程领域求解问题的两大法宝：解析法和离散法
4.1.1 有限单元法的基本概念
解析法：
它从研究连续体中无限小的微分体入手，得出描述连续体性质的微分方程。然后根据边界条件、初始条件可解得一个通解。这个解可给出连续体内任一点上所求参数的值。核心是微分方程。微分方程的建立过程是近似的，而微分方程的求解过程是精确的。
E
• 长度分别为l1、l2 • 桁架的铰链处受到外力 X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3
• 在1点和3点固定铰支求解内力
铰接桁架
求解过程：
(1). 将结构划分成典型单元的集合——离散化(节点力、节点位移)
－－求解过程：
(2).分析每个单元上节点力和节点位移之间的关系 ――单元特性分析
轧机牌坊（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
出钢机部件分析（三维壳体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
万向接轴叉头（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
轧钢机刚度（三维实体问题，多体接触）
稳静态结构问题实例
沧州铁狮子（三维不规则实体，弹性）
稳静态结构问题实例
轧制过程仿真（三维实体，弹塑性、接触）
.500E+09
10000

有限元分析第4章平面问题有限单元法1

1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element）节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v

N

e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j

(am
bmx

cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y

1 2A
[(ai

bi x

ci
y)ui

(a j

bj x

cj
y)u j

(am

bm x

cm
y)um ]
v x,
y

1 2A
[(ai

bi x

ci
y)vi

(a j

插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym

第4章平面问题的有限元法-1离散化

e

T i

T j

T T m
u
i
vi
T
uj
vj
um
vm

T
(4-7)
其中的子矩阵
i ui
vi
（i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用。从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。（4-1） f N e
(c)
由(c)式左边的三个方程可以求得
1
1 uj 2 um ui xi xj xm 1 y j ,2 1 uj 2 ym 1 um yi 1 ui 1 y j , 1 1 xj 2 ym 1 xm yi 1 xi ui uj um

有限元法介绍

有限元法介绍周宇 2012330300302 12机制（1）班理论研究、科学实验以及计算分析是人们进行科学研究和解决实际工程问题的重要手段，随着计算机技术及数值分析方法的发展，以有限元方法为代表的数值计算技术得到越来越广泛的应用。

有限元法是一种高效能、常用的数值计算方法。

科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。

有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。

一、基本思想有限元方法是一种求解复杂对象方程的方法，基本思想来源于“化整为零”、“化弧为直”的直观思路，将实体的对象分割成不同大小、种类、小区域称为有限元。

根据不同领域的需求推导出每一个元素的作用力方程，组合整个系统的元素并构成系统方程组，最后将方程组求解。

由有限元的发展，该法具有下列的特色：1、整个系统散为有限个元素；2、利用能量最低原理与泛函数值定理（见附录）转换成一组线性联立方程；3、处理过程简明；4、整个区域左离散处理，需庞大的资料输出空间与计算机内存，解题耗时；5、线性、非线性均适用；6、无限区域的问题较难仿真。

二、基本概念1、有限元法是把分析的连续体假想地分割成有限个单元所组合成的组合体；2、这些单元仅在顶角处相互联接，这些联接点称为结点。

离散化的组合体和真实的弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。

但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠——单元之间只能通过结点来传递内力。

通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的载荷称为结点载荷。

当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，称为结点位移。

在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。

并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理（见附录）或其他方法，建立结点里与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。

有限元平面问题三角形实例

有限元平面问题三角形实例有限元法是一种常用的计算方法，可以用来解决各种工程问题。

其中，有限元平面问题是有限元法的一种应用，常用于分析三角形结构。

在有限元平面问题中，我们通常会将结构划分成许多小的单元，每个单元由节点和单元刚度矩阵组成。

而三角形结构则是有限元平面问题中常用的一种单元形状。

三角形结构的特点是简单而且易于处理，因此广泛应用于各种领域，如土木工程、机械工程、航空航天等。

下面我们就以一个实际的例子来说明如何应用有限元平面问题分析三角形结构。

假设我们要分析一个三角形钢板在受力作用下的变形情况。

首先，我们需要将钢板划分为许多小的三角形单元。

每个单元由三个节点组成，节点之间通过边连接。

在有限元分析中，我们需要对每个单元进行网格划分，并确定节点的坐标和边的长度。

然后，通过求解节点的位移和应力分布，可以得到钢板在受力作用下的变形情况。

具体来说，我们可以通过求解线性方程组来得到节点的位移。

而节点的应力则可以通过应变-位移关系来计算。

通过这种方式，我们可以得到钢板在受力作用下各个节点的位移和应力分布情况。

有限元平面问题的分析结果可以帮助我们了解结构的强度和刚度情况，为设计和优化提供依据。

例如，在钢板的设计中，我们可以通过有限元分析来确定合适的材料和尺寸，以满足结构的强度和刚度要求。

除了钢板，有限元平面问题还可以应用于其他类型的三角形结构。

例如，在土木工程中，我们可以使用有限元分析来分析三角形桥梁或者三角形支撑结构的变形和应力分布情况。

有限元平面问题是一种常用的分析方法，可以应用于各种三角形结构的分析。

通过对节点的位移和应力分布的求解，我们可以得到结构在受力作用下的变形情况。

这对于工程设计和优化至关重要，可以帮助我们提高结构的强度和刚度，确保其安全可靠。

有限元法_精品文档

这种方法要求能建立微分方程，并能给出边界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。
梯子的有限元模型不到100个方程；在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。
22
4）有限元分析有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。

现代设计方法4-3 三角形三节点平面单元

[m(x,y)][L]10
x 0
y 0
0 1
0 x
0y21c0i
0 ai
cj 0
0 aj
cm 0
0 am
0
bi
0 ci
0 bj 0 cj
0 bm 0 cm
N i( 0 x ,y )N i( 0 x ,y )N j( 0 x ,y )N j( 0 x ,y )N m ( 0 x ,y )N m ( 0 x ,y )
N i(x,y)2 1 (a ib ixciy)1b x
1
y
N j(x,y)2 (aj b jx cjy) 1 a
N m (x ,y ) 2 1 (a m b m x c m y ) 1 b x a y
精品课件
[N ] 1b x 0
0 1x
1y 0 a
0 1y
(1xy) ba 0
0
1
1 A
ui uj
xi xj
yi yj
1
2
1 A
1
ui uj
yi yj
1
3
1 A
1
xi xj
ui uj
um xm ym
1 um ym
1 xm um
(b)
1 xi yi A 1 xj yj
其中，
1 x y精品课件
m
m
对v同理可列出a4、a5、a6的方程：
vi = a4+a5 xi+a6 yi
ci bi
(i, j, m)
2.3 由单元节点位移求单元的应力
物理方程
{s }=[D]{e}
而
{e }=[B]{d}e
{s } = [D][B]{d }e

第4章平面问题的有限元法-3刚度矩阵

二、整体刚度矩阵
讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析
。假设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元按前述方法进行分析计算，便可得到N组形如（4-25）
式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹性体的平衡关系式。
1
i
j
m
n
1

外力在虚位移上所做的虚功
V

F1
* 1

F2
* 2

F3
* 3

* T
F
单位体积内的虚应变能

x
* x

y

* y

z
* z

xy

* xy

yz

* yz

zx
* zx

*
T

整个物体的的虚应变能
U * T dxdydz

e

ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移
相同的位移模式。
故有
f N e
(c)
参照（4-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为
br cs

1
2
cr bs
cr cs

1
2
brb s

( r = i、j、m；s = i、j、m ) (4-28)

有限单元法

36
37
•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
42
43
44
4.2 有限单元法的分析步骤
40
但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的列表输出。
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平面应力
平面应变
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第4章平面问题的有限元法-2形函数

(h)
利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分利用形函数的这一性质可以证明，别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。
y m
例如，对图4-3所示的单元 ijm 和ijn ，具有公共边ij。由(4-23)式可知，在ij边上
o
i j n
图4-3
N i ( x , y) + N j ( x , y) + N m ( x , y) 1 ai + bi x + ci y + a j + b j x + c j y + a m + bm x + cm y 2∆ 1 = (ai + a m + am ) + bi + b j + bm x + ci + c j + cm y 2∆ =1 =
(
)
1 b j cm − bm c j = ( x − xi ) 2∆ cm
(h)
故有
从上式计算的过程？
x − xi N j ( x, y) = x j − xi
(g)
另外，由（4-22）可以求得
x − xi N i ( x, y) = 1 − N j − N m = 1 − x j − xi
[
]
{σ } = [D]{ε }
平面应力问题
µ
1− µ
µ
1 0
0 0 1− µ 2
µ
1− µ 1
0 0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。