高中数学综合学习与测试(一)北师大版选修1-2

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高二数学选修1-2模块综合检测题(北师大版附答案)

高二数学选修1-2模块综合检测题（北师大版附答案）模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z＝3－i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】z＝3－i在复平面内对应的点为(3，－1)，故选D.【答案】D2．对a，b∈R＋，a＋b≥2ab，大前提x＋1x≥2x•1x，小前提所以x＋1x≥2.结论以上推理过程中错误的为()A．大前提B．小前提C．结论D．无错误【解析】小前提错误，应满足x>0.【答案】B3．复数z＝－1＋2i，则z的虚部为()A．1B．－1C．2D．－2【解析】由z＝－1＋2i，得z＝－1－2i，故z的虚部是－2.【答案】D4．用火柴棒摆“金鱼”，如图1所示：图1按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2【解析】第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2. 【答案】C5．(2013•山东高考)执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为()图2A．0.2,0.2B．0.2,0.8C．0.8,0.2D．0.8,0.8【解析】由程序框图可知：当a＝－1.2时，∵a＜0，∴a＝－1.2＋1＝－0.2，a＜0，a＝－0.2＋1＝0.8，a＞0.∵0.8＜1，输出a＝0.8.当a＝1.2时，∵a≥1，∴a＝1.2－1＝0.2.∵0.2＜1，输出a＝0.2.【答案】C6．计算函数y＝－1，x>0，0，x＝0，1，x图3A．①y＝0②x＝0？③y＝1B．①y＝0②xC．①y＝－1②xD．①y＝－1②x＝0？③y＝0【解析】∵当x>0时，y＝－1，故①为y＝－1，∵当x当x＝0时，y＝0，故③为y＝0.【答案】C7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为()A.89B．0.8C．0.72D.98【解析】设A＝{种子发芽}，AB＝{种子发芽，又成活为幼苗}，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)•P(A)＝0.9×0.8＝0.72.【答案】C8．(2013•湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x ＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】由正负相关性的定义知①④一定不正确．【答案】D9．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是()图4①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③【解析】由平面内两条直线位置关系的分类填写．【答案】C10．甲、乙两人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则在A与B、A与B、A 与B、A与B中，满足相互独立的有()A．1对B．2对C．3对D．4对【解析】事件A，B为相互独立事件，同时A与B，A与B，A与B都是相互独立的．【答案】D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．(2013•湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.【解析】(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z2＝－2＋3i.【答案】－2＋3i12．在平面直角坐标系中，以点(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点(x0，y0，z0)为球心，半径为r的球面的方程为________．【答案】(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r213．(2013•商洛高二检测)已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为______________，…，推广到第n个等式为__________________．(注意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)【解析】根据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果．【答案】1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋51－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1•n2＝(－1)n＋1•(1＋2＋3＋…＋n) 14．已知等式□3×6528＝3□×8256中“□”表示的是同一个一位数字．算法框图(如图5所示)表示的就是求等式中“□”表示的数字的算法，请将算法框图补充完整．其中①处应填______，②处应填______．图5【解析】①处应填“y＝x？”，因为y＝x成立时，则输出i，否则指向②，并转入循环，因此②应具有计数功能，故应填“i＝i＋1”．【答案】y＝x？i＝i＋115．给出下面的数表序列：图6其中表n(n＝1,2,3)有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为an，例如a2＝5，a3＝17，a4＝49.则(1)a5＝________；(2)数列{an}的通项an＝________.【解析】(1)a5＝129，(2)依题意，an＝1×1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n －1，利用错位相减法可得an＝(n－1)×2n＋1.【答案】(1)129(2)(n－1)×2n＋1三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2013•临汾检测)调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：采桑不采桑合计患者人数181230健康人数57883合计2390113利用2×2列联表的独立性检验估计患桑毛虫皮炎病与采桑是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？【解】a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，∴a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113.∴χ2＝n ad－bc 2 a＋b c＋d a＋c b＋d＝113× 18×78－5×12 230×83×23×90≈39.6>6.635.∴有99%的把握认为患桑毛虫皮炎病与采桑有关系，认为两者有关系会犯错误的概率是1%.17．(本小题满分12分)某市居民2009～2013年货币收入x与购买商品支出Y的统计资料如下表所示：年份20092010201120122013货币收入x4042444750购买商品支出Y3334363941图7(1)画出散点图，试判断x与Y是否具有相关关系；(2)已知b＝0.842，a＝－0.943，请写出Y对x的回归直线方程，并估计货币收入为52(亿元)时，购买商品支出大致为多少亿元？【解】(1)由某市居民货币收入预报支出，因此选取收入为自变量x，支出为因变量Y.作散点图，从图中可看出x与Y具有相关关系．(2)Y对x的回归直线方程为y＝0.842x－0.943，货币收入为52(亿元)时，即x＝52时，y＝42.841，所以购买商品支出大致为43亿元．18．(本小题满分12分)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．【证明】假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd≥1矛盾．所以a，b，c，d中至少有一个是负数．19．(本小题满分13分)已知方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实数根，求实数m的值．【解】设方程的实根为x0，则x20－(2i－1)x0＋3m－i＝0，因为x0，m∈R，所以方程变形为(x20＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，由复数相等得x20＋x0＋3m＝0，2x0＋1＝0，解得x0＝－12，m＝112，故m＝112.20．(本小题满分13分)(2013•南昌检测)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在每一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．【解】记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A＝A3A4＋B3B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)设“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.21．(本小题满分13分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．(1)求证：tan(x＋π4)＝1＋tanx1－tanx；(2)设x∈R，a≠0，f(x)是非零函数，且函数f(x＋a)＝1＋f x 1－f x ，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．【解】(1)证明tan(x＋π4)＝tanπ4＋tanx1－tanπ4tanx＝1＋tanx1－tanx.(2)猜想：f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．∵f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝1＋f x＋a 1－f x＋a ＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x 1－f x ＝－1f x ，∴f(x＋4a)＝－1f x＋2a ＝－1－1f x ＝f(x)，∴f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．。

【创新设计】高中数学北师大版选修1-2练习：综合检测卷(含答案解析)

综合检测卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．i 是虚数单位，复数1－3i1－i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i答案 A解析 ∵1－3i 1－i ＝(1－3i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i 2＝2－i ，∴1－3i 1－i的共轭复数是2＋i. 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x －20＝12，x ＝32.3．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误答案 A解析对数函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)，当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数，故大前提错误．4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．y ＝0.4x ＋2.3 B ．y ＝2x －2.4 C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.4答案 A解析因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D. 因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.5．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76C ．123D ．199答案 C解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.6．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( ) A ．a ，b 都能被3整除 B ．a ，b 都不能被3整除 C ．a ，b 不都能被3整除 D ．a 不能被3整除答案 B解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n(ad －bc)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 C解析根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．8．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a|2＝a 2类比得到复数z 的性质|z|2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)有两个不同实数根的条件是b 2－4ac>0可以类比得到：方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C)有两个不同复数根的条件是b 2－4ac>0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论错误的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 答案 C9．执行如图所示的算法框图，若输入n ＝10，则输出S 等于( )A.511B.1011C.3655D.7255 答案 A解析执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10；执行第五次循环后，S ＝511，i ＝12，此时i ≤n 不成立，退出循环，输出S ＝511.10.已知x>0，由不等式x ＋1x≥2x·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，可以推出结论：x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 等于( )A ．2nB ．3nC ．n 2D ．n n 答案 D解析由两个不等的结构特点知， x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋a xn ≥ (n ＋1)n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a x n ＝(n ＋1)n ＋1a n n ＝n ＋1.所以a ＝n n .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为________．答案 P<Q解析要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a(a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P<Q.12．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．答案一解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0－sin θ<0，所以θ为第一象限角．13．如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______． ①0.504；②0.994；③0.496；④0.06. 答案 ②解析 A 、B 、C 三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知 P ＝1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994. 14．复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R)在复平面内的对应点位于第________象限．答案一解析由题意可得11－x 2>0，解得－1<x<1，故2－2x >0，所以复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R)在复平面内对应点位于第一象限．15．已知下列框图，若a ＝5，则输出b ＝________.答案 26解析因a ＝5，所以5>5不成立，判断框执行“否”，即b ＝52＋1＝26. 三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1.∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．17．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意的正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)18．为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如下表：0.01的前提下认为态度与工作积极性有关？解利用公式得χ2＝278×(55×52－73×98)2153×125×128×150≈13.959>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该单位教师对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的．19．某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解 (1)根据表中所列数据可得散点图如下：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：因此，x ＝255＝5，y ＝2505＝50，∑5i ＝1x 2i ＝145，∑5i ＝1y 2i ＝13 500，∑5i ＝1x i y i ＝1 380. 于是可得：b ＝∑5i ＝1x i y i －5x ·y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5；a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.因此，所求线性回归方程为：y ＝6.5x ＋17.5.(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时，y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．20．画出计算函数y ＝|2x －3|的函数值的框图．(x 由键盘输入) 解21．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33， f(－2)＋f(3)＝33. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33. 证明：f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x3(3＋3x ) ＝3＋3x 3(3＋3x )＝33.。

高二数学北师大版选修1-2模块综合测评 Word版含答案

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．为虚数单位，的共轭复数．．．．为( )．－．．．－【解析】因为＝×＋＝＝－，所以其共轭复数为，故选.【答案】．根据二分法求方程－＝的根得到的程序框图可称为( )．程序流程图．工序流程图．组织结构图．知识结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】．下列框图中，可作为流程图的是( )→→→→→→→→→【解析】流程图具有动态特征，只有答案符合．【答案】.用反证法证明命题“，∈，如果可被整除”，那么，至少有一个能被整除．则假设的内容是( )．，都能被整除．，都不能被整除．不能被整除．，有一个不能被整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“，都不能被整除”．【答案】．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )．小前提错误．大前提错误．非以上错误．推理形式错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选.【答案】．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )．第二象限．第一象限．第四象限．第三象限【解析】＝＝＝－＋，由复数的几何意义知－＋在复平面内的对应点为(－)，该点位于第二象限，故选.【答案】．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：( )．种子经过处理跟是否生病有关．种子经过处理跟是否生病无关．种子是否经过处理决定是否生病．以上都是错误的【解析】计算与可知相差很小，故选.【答案】．给出下面类比推理：①“若<，则<”类比推出“若<，则<”；②“(＋)＝＋(≠)”类比推出“＝＋(≠)”；。

高中数学期末综合测试(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学试题

单元综合测试五(期末综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C.2 D ．2 【答案】B【解析】本题考查复数的运算和复数的模． ∵z ＝1i －1＝－12－12i ，∴|z |＝(－12)2＋(－12)2＝22.故选B. 2．已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3 D. 3 【答案】A【解析】 ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2＋i)(2－i)＝4－(－1)＝5.3．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R )”，其反设正确的是( ) A ．a 、b 至少有一个不为0 B ．a 、b 至少有一个为0 C ．a 、b 全不为0 D ．a 、b 中只有一个为0 【答案】A【解析】对“全为0”的否定是“不全为0”，故选A.4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca ＝1 D ．ax ＋by ＋zc ＝1 【答案】A【解析】由类比推理可知，方程为x a ＋y b ＋zc＝1.5．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11 【答案】B【解析】本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i ＝1，S ＝0；i ＝2，S ＝2×2＋1＝5；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S <9.6．对a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误【答案】B【解析】小前提错误，应满足x >0.7．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．7 【答案】C【解析】本题考查程序框图中的循环结构．i ＝1，s ＝1→s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝2→s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝3→s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝4→输出s .8．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有1人击中目标的概率是( )A ．0.49B ．0.42C ．0.7D ．0.91 【答案】B【解析】两人都击中概率P 1＝0.49，都击不中的概率P 2＝0.09，∴恰有一人击中的概率P ＝1－0.49－0.09＝0.42.9．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )1 3 5 7 17 15 13 11 9 19 21 23 25 27 29 31A ．1 915B ．1 917C ．1 919D ．1 921 【答案】B【解析】如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，归纳可得第31行有61个奇数，且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．又因为前31行共有1＋3＋…＋61＝961个奇数，则第31行第1个数是第961个奇数即是1 921，则第3个数为1 917.10．已知x >0，y >0，2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2－2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 【答案】C【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时取等号．∴m 2－2m <8，即m 2－2m －8<0，解得－2<m <4. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R )．【答案】4－4i【解析】 i ＋2i 2＋3i 3＋4i 4＋5i 5＋6i 6＋7i 7＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝______.【答案】4【解析】本题考查程序框图的循环结构． i ＝1，A ＝2，B ＝1； i ＝2，A ＝4，B ＝2； i ＝3，A ＝8，B ＝6； i ＝4，A ＝16，B ＝18；此时A <B ，则输出i ＝4.13．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，若f (1)＝2＋3，则f (2 009)＝________.【答案】2＋ 3【解析】 ∵f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，∴f (x －2)＝1＋f (x －4)1－f (x －4).代入得f (x )＝1＋1＋f (x －4)1－f (x －4)1－1＋f (x －4)1－f (x －4)＝2－2f (x －4)＝－1f (x －4).∴f (x )＝f (x －8)，即f (x )的周期为8. ∴f (2 009)＝f (251×8＋1)＝f (1)＝2＋ 3.14．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为________．【答案】59【解析】设数1,3,6,10,15,21，…各项为a 1，a 2，a 3，…，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，即数列{a n ＋1－a n }构成首项为2，公差为1的等差数列．利用累加法得a 28＝a 1＋(2＋3＋…＋28)， a 30＝a 1＋(2＋3＋…＋28＋29＋30)， ∴a 30－a 28＝29＋30＝59.15．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中，如图，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．实数m 为何值时，复数z ＝m 2(1m ＋5＋i)＋(8m ＋15)i ＋m －6m ＋5.(1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； (4)对应点在第二象限？【解析】 z ＝m 2＋m －6m ＋5＋(m 2＋8m ＋15)i ，(1)z 为实数⇔m 2＋8m ＋15＝0且m ＋5≠0，解得m ＝－3.(2)z 为虚数⇔m 2＋8m ＋15≠0且m ＋5≠0，解得m ≠－3且m ≠－5. (3)z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5＝0m 2＋8m ＋15≠0，解得m ＝2.(4)z 对应的点在第二象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5<0m 2＋8m ＋15>0，解得m <－5或－3<m <2.17．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论．【解析】 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.18．已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；(2)求证满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．【证明】(1)∵f′(x)＝－3x2－1＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，∴y＝f(x)是定义域上的减函数．(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1，x2∈R，f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R上单调递减，∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．19．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：根据此流程图可回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？【解析】 (1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．20．已知数学、英语的成绩分别有1,2,3,4,5五个档次，某班共有60人，在每个档次的人数如下表：(1)求m ＝4，n ＝3(2)求在m ≥3的条件下，n ＝3的概率；(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值．【解析】本题为条件概率和相互独立事件的概率． (1)m ＝4，n ＝3时，共7人，故概率为P ＝760.(2)m ≥3时，总人数为35.当m ≥3，n ＝3时，总人数为8，故概率为P ＝835.(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，则P (m ＝2)·P (n ＝4)＝P (m ＝2，n ＝4)． ∴1＋b ＋6＋0＋a 60×3＋0＋1＋b ＋060＝b 60.故总人数为60，知a ＋b ＝13. ∴13×(4＋b )＝b .∴a ＝11，b ＝2.21．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解析】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结构共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)2 60×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。

高中数学综合测试北师大版选修1-2

选修系列——综合测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·银川一中第一次月考)已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题 ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题 ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题 A ．①③ B ．② C ．②③ D ．①②③[答案] A[解析] 逆命题把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A.2．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)[答案] D[解析] (1)为函数关系，(4)关系很不明显．3．(2014·广州一测)已知i 是虚数单位，则1－2i 2＋i 等于( )A ．iB ．45－i C.45－35i D ．－i[答案] D[解析] 1－2i2＋i ＝－－＋－＝2－4i －i ＋2i 222－i 2＝－5i 5＝－i ，故答案选D. 4．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4、b 5、b 7、b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 8[答案] A[解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7，选A.5．(2014·唐山二模)若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6,2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)[答案] A[解析] 因命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，故其否命题“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0恒成立”为真命题，因为二次函数图像开口向上，所以Δ＝m 2－4(2m －3)≤0，∴m ∈[2,6]．6．(2014·杭州质检)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程y ^＝0.67x ＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )A.75 C ．68 D ．81[答案] C[解析] 设表中模糊看不清的数据为m ，由表中数据得：x －＝30，y －＝m ＋3075，因为由最小二乘法求得回归方程为y ^＝0.67x ＋54.9，将x －＝30，y －＝m ＋3075代入回归直线方程，得m ＝68，故选C.7．(2013·辽宁大连24中高二期末)f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，且f (－2)＝0，则不等式f (x )·g (x )<0的解集为( )A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－2,0)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)[答案] A[解析] 令h(x)＝f(x)·g(x)，h(－x)＝f(－x)·g(－x)，∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴h(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)为奇函数，又∵h(－2)＝f(－2)·g(－2)＝0，∴h(2)＝0.又h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0在x<0时恒成立，∴函数h(x)在(－∞，0)上是减函数．又∵h(x)为奇函数，∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴不等式f(x)·g(x)<0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．8. (2014·北京西城区期末)执行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )A．3 B．6C．7 D．10[答案] D[解析] 由框图可知该循环结构框图的作用是求数列的和，到n＝4时结束循环，所以S＝0＋1＋2＋3＋4＝10.故选D.9．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是( )A．12，－15 B．5，－15C．5，－4 D．－4，－15[答案] B[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)·(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x ＝－1舍去．列表如下：10．(2013·广东深圳高二期中)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得，偶函数的导函数为奇函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )的导函数g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，故选D.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．(2014·浙江五校联考)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )是f (x )的导函数，若f ′(α)＝2f (α)，则tan2α＝__________________.[答案] －34[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(α)＝2f (α)得 cos α＋sin α＝2sin α－2cos α，故tan α＝3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－9＝－34. 12．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为________．[答案] x a ＋y b ＋z c＝1[解析] 由类比推理可知，方程为x a ＋y b ＋z c＝1.13．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________.[答案] 512[解析] 由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳，∵1＋2＋…＋7＝28，∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57，∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝512.14．(2013·武汉市部分重点中学高二期中)若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处取得极值，则a ＝________，b ＝________.[答案] －23 －16[解析] y ′＝a x＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0a2＋4b ＋1＝0，解得a ＝－23，b ＝－16.15．(2014·绍兴月考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]233[解析] 根据题意，作图如下，抛物线y 2＝2bx 的焦点F (b2，0)，双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)的焦点F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，则|F 1F |＝b 2＋c ，|F 2F |＝c －b2，故|F 1F ||F 2F |＝b2＋cc －b 2＝53，解得：c＝2b ，所以e ＝c a＝c c 2－b2＝c32c ＝233.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本题满分12分)(2013·山东临沂市重点中学高二期末)已知命题p ：方程x 22－m＋y 2m －1＝1的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，又p 或q 为真，¬q 为真，求实数m 的取值范围．[答案] m ≥3[解析] p ：⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0m －1>0，∴m >2.故p ：m >2.q ：△＝16(m －2)2－16<0，即m 2－4m ＋3<0， ∴1<m <3. 故q ：1<m <3.又∵p ∨q 为真，¬q 为真， ∴p 真q 假，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2m ≤1或m ≥3，∴m ≥3.17．(本题满分12分)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的顶点O 作两条相互垂直的弦OP 和OQ ，求证：直线PQ 恒过一个定点．[解析] 证明：设P (x 1，ax 21)，Q (x 2，ax 22)，则直线PQ 的斜率为k PQ ＝a (x 1＋x 2)， ∴其方程为y －ax 21＝a (x 1＋x 2)(x －x 1)，即y －a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0，∵OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1⇒a 2x 1·x 2＝－1. ∴y －1a＝a (x 1＋x 2)(x －0)．∴PQ 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .18．(本题满分12分)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[解析] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，∴两边均大于0. ∴只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22.只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2，只需证a 2＋1a2≥2，而这显然是成立的．∴原不等式成立．19．(本题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1的值．[答案] (1)41 (2)f (n )＝2n 2－2n ＋1 (3)32－12n[解析] (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，……由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1fn －1＝12n n －＝12(1n －1－1n)， ∴1f ＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12(1－1n )＝32－12n.20．(本题满分13分)(2013·河南安阳市第二中学期末)已知椭圆C 短轴的一个端点为(0,1)，离心率为223.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线y ＝x ＋2交椭圆于A 、B 两点，求线段AB 的长． [答案] (1)x 29＋y 2＝1 (2)635[解析] (1)由题意可设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵b ＝1，c a ＝223，∴a 2＝9，b 2＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2x 29＋y 2＝1，得10x 2＋36x ＋27＝0.∴x 1＋x 2＝－185，x 1x 2＝2710，∴|AB |＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝232425－10810＝635. ∴线段AB 的长为635.21．(本题满分12分)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0,2]时，若|f (x )|≤2恒成立，求a 的取值范围．[答案] 增区间[－∞，－13)和(1，＋∞)，减区间(－13，1)(2)[－1,0][解析] (1)对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.(2)由(1)知，f (x )在(0,1)上是递减的，在(1,2)上是递增的，所以，f (x )在[0,2]上的最小值为f (1)＝－1＋a ；由f (0)＝a ，f (2)＝2＋a ，知f (0)<f (2)，所以，f (x )在[0,2]上的最大值为f (2)＝2＋a . 因为，当x ∈[0,2]时， |f (x )|≤2⇔－2≤f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a ≥－22＋a ≤2，解得－1≤a ≤0，即a 的取值范围是[－1,0]．。

北师大版高中数学选修1-2拓展资料：回归模型的残差分析综合测试练习题

i 1
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r0.05 0.707 ，而 r r0.05 ，故 y 与 x 之间存在显著的相关关系。
（4）残差分析：
作残差图如图 2，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明
选用的模型比较合适。
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计算残差的方差得 2 0.884113 ，说明预报的精度较高。（5）计算相关指数 R 2 计算相关指数 R 2 ＝0.9855.说明该运动员的成绩的差异有 98.55％是由训练次数引起的。（6）做出预报
（2）列表计算：
次数 xi 成绩 yi xi2
y i2
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xi yi
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30
30
900 900 900
33
34
1089 1156 1122
35
37
1225 1369 1295
37
39
1369 1521 1443
39
42
1521 1764 1638
44
46
1936 2116 2024
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教师要传授知识，还要告诉学生学会生活，思维可以让他们更理性地看待人生
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回归模型的残差分析
判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用
残差分析来判断回归模型的拟合效果。下面具体分析残差分析的途径及具体例
子。
一、残差分析的两种方法
1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析
和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图
二、典例分析：
例 1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

高中数学北师大版选修1-2 模块综合检测2 含解析

选修1－2 模块综合测试(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥BC解析：这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.答案：A2．[2013·广东高考]若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A. (2,4)B. (2，－4)C. (4，－2)D. (4,2)解析：由已知条件得z＝2＋4ii＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.答案：C3．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若ac>bc，则a>bC. 若a3>b3且ab<0，则1 a > 1 bD. 若a2>b2且ab>0，则1 a < 1 b解析：对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B 错；对于C ：若a 3>b 3且ab<0，则{ a>0 b<0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若{ a<0 b<0，则D 不成立．答案：C4．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3D. 4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确．答案：B5．[2014·玉溪高中复习检测]如果执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出的数为( )A. 74B. 65C. 95D.116解析：由框图可知，输出的S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝2－16＝116.故选D.答案：D6. 已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A. 3 B. －3 C. 6D. －6解析：a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，…，故{a n }以6个项为周期循环出现，a 33＝a 3＝3.答案：A7. 已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba ≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A. ab>0B. ab<0C. a>0，b<0D. a>0，b>0解析：∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，ba <0，即ab<0.又若ab<0，则a b <0，ba <0.∴a b ＋b a ＝－[(－a b )＋(－ba )] ≤－2(－a b )·(－ba)＝－2，综上，ab<0是a b ＋ba≤－2成立的充要条件，∴a>0，b<0是a b ＋ba ≤－2成立的一个充分而不必要条件．答案：C8．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 的值( )A. 都小于2B. 至少有一个不大于2C. 至少有一个不小于2D. 都大于2解析：假设这三个数都小于2，即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1x<2，。

北师大版高中数学选修2-1综合学习与测试(一)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作综合学习与测试(一)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列语句中是命题的是（）（A ）语文和数学（B ）sin45°=1(C)x 2+2x-1 （D ）集合与元素2．下列语句中的简单命题是（）（A ）3不是有理数（B ）∆ABC 是等腰直角三角形（C ）3X+2<0 （D ）负数的平方是正数3．已知下列三个命题① 方程x 2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（）（A ）①和② （B ）①和③ （C ）②和③ （D ）只有①4．命题：“方程X 2-2=0的解是X=2±”中使用逻辑联系词的情况是（）（A ）没有使用逻辑联结词（B ）使用了逻辑联结词“且”（C ）使用了逻辑联结词“或” （D ）使用了逻辑联结词“非”5．语句3≤x 或5>x 的否定是（）（A ）53<≥x x 或（B ）53≤>x x 或（C ）53<≥x x 且（D ）53≤>x x 且6．使四边形为菱形的充分条件是（）（A ）对角线相等（B ）对角线互相垂直（C ）对角线互相平分（D ）对角线垂直平分7．若b>0,则的是b x b x >>（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件8．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（） A ．-15 B ．-5 C ．-3 D ．-110.与向量a =(1,2,3),b =(3,1,2)都垂直的向量为（）A (1,7,5)B (1,-7,5) C(-1,-7,5) D (1,-7,-6)第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是____________________________.12．命题“a,b 都是奇数，则a+b 是偶数”的逆否命题是。

高二数学北师大版选修1-2章末综合测评(一) 统计案例 Word版含答案

章末综合测评(一)统计案例(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在下列各量与量的关系中是相关关系的为( )①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．．①②③．③④．④⑤．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】．四名同学根据各自的样本数据研究变量，之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①与负相关且＝－；②与负相关且＝－＋；③与正相关且＝＋；④与正相关且＝－－.其中一定不正确的结论的序号是( )．①②．②③．③④．①④【解析】与正(或负)相关时，线性回归直线方程＝＋中，的系数>(或<)，故①④错．【答案】．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了次后还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是( )．．．．【解析】记“开关了次后还能继续使用”为事件，记“开关了次后还能继续使用”为事件，根据题意，易得()＝，()＝，则()＝，由条件概率的计算方法，可得()＝＝＝.【答案】．一位母亲记录了她儿子岁到岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型＝＋，她用这个模型预测儿子岁时的身高，则下面的叙述正确的是( ) ．她儿子岁时的身高一定是．她儿子岁时的身高一定是以上．她儿子岁时的身高在左右．她儿子岁时的身高一定是以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选．【答案】．已知一个线性回归方程为＝＋，其中的取值依次为，则＝( )．．．．【解析】∵＝(＋＋＋＋)＝，回归直线过样本点的中心(，)，∴＝×＋＝.【答案】．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件＝{两个点数互不相同}，＝{出现一个点}，则()＝( )．．．．【解析】出现点数互不相同的共有×＝种，出现一个点共有×＝种，∴()＝＝.【答案】．利用独立性检验来考虑两个分类变量和是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“和有关系”的可信度，如果>，那么就有把握认为“和有关系”的百分比为( )。

北师大版高中数学选修1-2练习模块综合检测

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若(1+i)+(2-3i)=a+b i(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4解析:(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+b i,∴a=3,b=-2,故选A.答案:A2.在一个坛子中装有5个除颜色外完全相同的玻璃球,其中有2个红色球,3个蓝色球,从坛子中任取两次,每次取一个,第一次取后不放回,若已知第一次取出的是蓝色球,则第二次也取到蓝色球的概率为()A.310 B.25C.12D.35解析:设已知第一次取出的是蓝色球为事件A,第二次也取到蓝色球为事件B.则由题意,知P(A)=35,P(AB)=3×25×4=310,所以已知第一次取出的是蓝色球,则第二次也取到蓝色球的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12.故选C.答案:C3.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i解析:∵(z-2i)(2-i)=5,=2+i.∴z-2i=52-i∴z=2+3i.故选A.答案:A4.设实数x,y满足0<xy<1,且0<x+y<1+xy,则x,y的取值范围是()A.x>1,且y>1B.0<x<1,且y>1C.0<x<1,且0<y<1D.x>1,且0<y<1解析:因为0<xy<1,0<x+y,所以x,y都为正数,且不都大于1.又x+y<1+xy,即(x-1)(y-1)>0,则0<x<1,0<y<1.答案:C5.下列是与类比推理有关的命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出:“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,D∈R,则复数a+b i=c+D i⇒a=c,b=D”类比推出:“若a,b,c,D∈Q,则a+b√2= c+d√2⇒a=c,b=D”;③“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出:“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;④“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出:“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”.其中类比结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:①②正确,③④错误,因为③④中虚数不能比较大小.答案:B6.以下是解决数学问题的思维过程的流程图:在此流程图中,①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法,②—分析法B.①—分析法,②—综合法C.①—综合法,②—反证法D.①—分析法,②—反证法解析:由分析法与综合法的特点分析可知选A.答案:A7.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A={第一次取到的是奇数},B={第二次取到的是奇数},则P(B|A)=()A.15 B.310C.25D.12解析:由题意,知P(A)=59,P(AB)=5×49×8=518,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=51859=12.答案:D8.对于a>0,b>0,a+b≥2√ab,大前提x+1x ≥2√x·1x,小前提所以x+1x≥2.结论以上推理过程中()A.大前提错误B.小前提错误C.结论错误D.无错误解析:小前提错误,小前提应满足x>0.答案:B9.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13,两人同时参加测试,有且只有一人通过的概率是()A.13 B.23C.12D.1解析:12×(1-13)+(1-12)×13=36=12.答案:C10.执行下边的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的y的值是()A.11B.13C.15D.12解析:输入x=1,∵1<2,∴x=1+1=2.∵x=2不满足“x<2”,执行“否”,∴y=3×22+1=13.答案:B11.已知x,y的取值如下表,且y与x线性相关,若回归方程为y=0.95x+a,则a=()A.3.25B.2.6C.2.2D.0解析: x=2,y=4.5,因为回归直线经过点(x,y),所以a=4.5-0.95×2=2.6.答案:B12.为加强素质教育,使学生各方面全面发展,某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计,结果如下:在对体育课的成绩与文化课的成绩进行独立性检验时,根据以上数据可得到χ2的值约为()A.1.255B.38.214C.0.003 7D.2.058解析:χ2=337×(57×43-221×16)2278×59×73×264≈1.255.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,m,n∈R,且z1=z2,则m=,n=.解析:由复数相等的充要条件,知{n2-3m-1=-3, n2-m-6=-4,解得m=2,n=±2.答案:2±214.执行下边的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为.解析:开始:i=1,S=0,第一次运算:S=0+√1+1−√1=√2−1,显然1≥3不成立,所以i=1+1=2;第二次运算:S=(√2−1)+√2+1−√2=√3−1,显然2≥3不成立,所以i=2+1=3;第三次运算:S=(√3−1)+√3+1−√3=2−1=1,因为3≥3成立,所以输出S=1.答案:115.观察下列等式:①cos 2α=2cos2α-1;②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos 10α=m cos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+n cos4α+p cos2α-1.可以推测,m-n+p=.解析:观察每一个等式中最高次幂的系数:2,8,32,128,构成一个等比数列,公比为4,故m=128×4=512.观察每一个等式中cos2α的系数:2,-8,18,-32,规律是1×2,-2×4,3×6,-4×8,故p=5×10=50.每一个式子中的系数和为1,故m-1 280+1 120+n+p-1=1,代入m和p,可求得n=-400,故m-n+p=512+400+50=962.答案:96216.已知√2+23=2√23,√3+38=3√38,√4+415=4√415,√5+524=5√524,…,√10+ab=10√ab,则推测a+b=_________________.解析:根据题意,对于第一个式子√2+23=2√23,有√2+22-1=2√22-1;对于第二个式子√3+38=3√38,有√3+332-1=3√332-1;对于第三个式子√4+415=4√415,有√4+442-1=4√442-1.分析可得,√n+nn-1=n√nn-1.若√10+ab=10√ab,则a=10,b=102-1=99.得a+b=109.答案:109三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)当实数m分别取什么值时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i:(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?(4)在复平面内对应的点在第三象限?解:z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,因为m∈R,所以z的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-15.(1)若z为实数,则m2-2m-15=0,解得m=5或m=-3,故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)若z 为虚数,则m 2-2m-15≠0, 即m ≠5,且m ≠-3,故当m ≠5,且m ≠-3,m ∈R 时,z 为虚数. (3)若z 为纯虚数,则实部为零,虚部不为零, 即{m 2+5m +6=0,m 2-2m -15≠0,解得m=-2,故当m=-2时,z 为纯虚数.(4)当实部与虚部均小于0时,复数z 在复平面内对应的点在第三象限, 即{m 2+5m +6<0,m 2-2m -15<0,解得-3<m<-2.故当-3<m<-2时,复数z 在复平面内对应的点在第三象限.18.(12分)公司出售软磁盘,购买500片或500片以上时,按4.5元计价,否则以每片5元计价,请用流程图表示按输入磁盘片数计算不同的收费金额. 分析:磁盘片数x 与收费金额y 之间的关系式为 y ={4.5x (x ≥500),5x (0<x <500).解:流程图如下:19.(12分)已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表:(1)画出散点图;(2)求线性回归方程.解:(1)散点图如下:(2)由表中数据可得x =44.50,y =7.37,∑10i=1xiyi =3 346.32,∑10i=1x i 2=20 183.设线性回归方程为y=bx+a ,则b =∑10i=1x i y i -10x y∑10i=1x i2-10x 2≈0.175,a =y −bx ≈-0.42,所以所求的线性回归方程为 y=0.175x-0.42.20.(12分)已知△ABC 的三边长为a ,b ,c ,且其中任意两边长均不相等,若1a ,1b ,1c 成等差数列.(1)比较√ba 与√cb 的大小,并证明你的结论; (2)求证:角B 不可能是钝角. (1)解大小关系为√ba <√cb .证明如下:要证√ba <√cb,只需证ba<cb,∵a,b,c>0,∴只需证b2<ac.∵1a ,1b,1c成等差数列,∴2b=1a+1c≥2√1ac,∴b2≤ac.又△ABC的任意两边长均不相等, 即a,b,c任意两数不相等,∴b2<ac成立.故所得大小关系正确,即√ba <√cb.(2)证明假设角B是钝角,则cos B<0,而cos B=a 2+c2-b22ac≥2ac-b22ac>ac-b22ac>0.这与cos B<0矛盾,故假设不成立.故角B不可能是钝角.21.(12分)已知f(x)=bx+1(ax+1)2(x≠-1a,a>0),且f(1)=log162,f(−2)=1.(1)求函数f(x)的表达式;(2)已知数列{x n}的项满足x n=[1-f(1)]·[1-f(2)]·…·[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4;(3)猜想{x n}的通项公式.解:(1)把f(1)=log162=14,f(−2)=1代入f(x)=bx+1(ax+1)2,得{ b +1(a +1)2=14,-2b +1(1-2a )2=1, 整理,得{4b +4=a 2+2a +1,-2b +1=4a 2-4a +1,结合题意解得{a =1,b =0,所以f (x )=1(x+1)2(x ≠-1).(2)x 1=1-f (1)=1−14=34, x 2=34×(1-19)=23, x 3=23×(1-116)=58, x 4=58×(1-125)=35.(3)由(2),得x 1=34,x2=23,x3=58,x4=35,…,可变形为34,46,58,610,…,从而可猜想出{x n }的通项公式为x n =n+22(n+1).22.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.。

北师大版高中数学选修1-2测试题及答案

2011年4月北师大版高中数学选修1-2 段考试题及答案一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是A ．6B ．21C ．156D ．2313．用演绎法证明函数3y x =是增函数时的小前提是 A ．增函数的定义B ．函数3y x =满足增函数的定义C ．若12x x <，则12()()f x f x <D ．若12x x >，则12()()f x f x >4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 A ．62n - B ．82n - C ．62n + D ．82n +5．（A 版）计算1i1i -+的结果是 A ．iB ．i -C ．2D ．2-（B 版）关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是 A ．椭圆B ．圆C ．抛物线D ．双曲线6．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是 A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③④…① ② ③7．求135101S =++++的流程图程序如右图所示，其中①应为 A ．101?A = B ．101?A ≤ C ．101?A > D ．101?A ≥8．在线性回归模型y bx a e =++中，下列说法正确的是A ．y bx a e =++是一次函数B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e 的产生 9．对相关系数r ，下列说法正确的是A ．||r 越大，线性相关程度越大B ．||r 越小，线性相关程度越大C ．||r 越大，线性相关程度越小，||r 越接近0，线性相关程度越大D ．||1r ≤且||r 越接近1，线性相关程度越大，||r 越接近0，线性相关程度越小 10．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒，正确顺序的序号为 A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③①11．（A 版）在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病（B 版）在独立性检验中，统计量2χ有两个临界值：3.841和6.635；当2χ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2χ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2χ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2χ=20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病12．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是 A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④13．若定义运算：()()a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，例如233⊗=，则下列等式不能成立．．．．的是 A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗C ．222()a b a b ⊗=⊗D ．()()()c a b c a c b ⋅⊗=⋅⊗⋅（0c >）14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为 A ．21nn + B ．311n n -+ C ．212n n ++ D ．22nn + 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.15．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物；河狸、狗属于哺乳动物；鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整．16．已知,x y ∈R ，若i 2i x y +=-，则x y -= ． 17．（A 版）在等比数列{}n a 中，若91a =，则有121217(17n n a a a a a a n -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅<，且)n *∈N 成立，类比上述性质，在等差数列{}n b 中，若70b =，则有．（B 版）在平面直角坐标系中，以点00(,)x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为22200()()x x y y r -+-=，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点000(,,)P x y z 为球心，半径为r 的球的方程为．18．观察下列式子：212311+=，313422+=，414533+=，515644+=，，归纳得出一般规律为．三、解答题：本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分8分）某市居民1999～2003年货币收入x 与购买商品支出Y 的统计资料如下表所示：单位：亿元（Ⅰ）画出散点图，判断x 与Y 是否具有相关关系；（Ⅱ）（A 版）已知0.842,0.943b a ==-，请写出Y 对x 的回归直线方程，并计算出1999 年和2003的随机误差效应.（B 版）已知0.842,0.943b a ==-，请写出Y 对x 的回归直线方程，并估计货币收入为52（亿元）时，购买商品支出大致为多少亿元？20．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n a S =-()n *∈N ．（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ，4a 的值并写出其通项公式；（Ⅱ）用三段论证明数列{}n a 是等比数列．21．（本小题满分10分）用反证法证明：如果12x >，那么2210x x +-≠.数学选修模块测试样题参考答案数学1-2 （人教A 版、B 版）一、选择题（每小题4分，共56分）1．D 2．D 3． B 4． D 5． B 6． D 7． B 8．C 9．D10．B11．C12．B13．C14．A二、填空题（每小题4分，共16分） 15. 如图所示.16. 3-17. （A 版）12b b ++…12n b b b +=++…13(13n b n -+<，且)n *∈N（B 版）2222000()()()x x y y z z r -+-+-= 18.11(1)(2)n n n n n+++=++ 三、解答题（解答题共28分） 19．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）由某市居民货币收入预报支出，因此选取收入为自变量x ，支出为因变量Y ．作散点图，从图中可看出x 与Y 具有相关关系． ……………………………4分（Ⅱ）（A 版）Y 对x 的回归直线方程为 0.8420.943y x =- ……………………6分1999年和2003年的随机误差效应分别为0.263和-0.157.……………………8分（Ⅱ）（B 版）Y 对x 的回归直线方程为0.8420.943y x =- ……………………………6分货币收入为52（亿元）时，即x ＝52时，42.841y =，所以购买商品支出大致为43亿元……………………………8分20．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由2n n a S =-，得11a =；212a =；314a =；418a =，猜想11()2n n a -=()n *∈N ． ……………………………5分（Ⅱ）因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；因为通项公式11()2n n a -=，又112n n a a +=；所以通项公式11()2n n a -=的数列{}n a 是等比数列．……………………………10分21．（本小题满分10分）证明：假设2210x x +-=，则1x =-容易看出112-<，下面证明112-<.要证明：112-成立，32<成立，只需证：924<成立，上式显然成立，故有112-<成立. ……………………………8分综上，112x =-<，与已知条件12x >矛盾.因此，2210x x +-≠. ……………………………10分。

北师大版高中数学选修1-2 同步练习：第1章 1 第2课时可线性化的回归分析

第一章 §1 第2课时A 级基础巩固一、选择题1．由一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )得到的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^,则下列说法不正确的是( B )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ,y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1,y 1)(x 2,y 2)…(x n ,y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线2．对于指数曲线y ＝ae bx,令u ＝lny,c ＝lna,经过非线性化回归分析之后,可以转化成的形式为( A ) A ．u ＝c ＋bx B ．u ＝b ＋cx C ．y ＝b ＋cxD ．y ＝c ＋bx[解析] 对方程y ＝ae bx 两边同时取对数,然后将u ＝lny,c ＝lna 代入,不难得出u ＝c ＋bx. 3．某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01对于表中数据,A ．y ＝2x －2 B ．y ＝(12)xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)[解析] 代入检验,当x 取相应的值时,所得y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的． 4．下列数据符合的函数模型为( D )x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y22.6933.383.63.844.084.24.3A ．y ＝2＋3xB ．y ＝2e xC ．y ＝2e 1xD ．y ＝2＋lnx[解析] 分别将x 的值代入解析式判断知满足y ＝2＋lnx. 二、填空题5．在两个变量的回归分析中,作散点图的目的是__从散点图中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合__；相关系数是度量__两个变量之间线性相关程度__的量．6．若回归直线方程中的回归系数b ＝0时,则相关系数r 的值为__0__.[解析] 若b ＝0,则∑i ＝1nx i y i －n x y ＝0,∴r ＝0.三、解答题7．某工厂今年1～4月份生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．为了估测以后每个月的产量,可用函数y ＝ae bx来模拟该产品的月产量y(万件)与月份x 的关系,求模拟函数．[解析] 设μ＝lny,c ＝lna,则μ＝c ＋bx.∑i ＝14x i ＝10,∑i ＝14μi ＝0.759 5,∑i ＝14x 2i＝30,∑i ＝14μ2i ≈0.201 2, ∑i ＝14x i μi ＝2.411,x ＝2.5,μ≈0.189 9,相关系数r ＝∑i ＝14x i μi －4xμ∑i ＝14x 2i －4(x)2∑i ＝14μ2i －4(μ)2≈2.411－4×2.5×0.189 930－4×2.52×0.201 2－4×0.189 92≈0.959 7,相关程度较强．b ＝∑i ＝14x i μi －4xμ∑i ＝14x 2i －4(x )2≈2.411－4×2.5×0.189 930－4×2.52＝0.102 4,c ＝μ－b x ≈0.189 9－0.102 4×2.5＝－0.066 1,所以μ＝－0.066 1＋0.102 4x,y ＝e－0.066 1＋0.0102 4x.B 级素养提升一、选择题1．我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：A ．y ＝ae kxB ．y ＝a ＋bxC ．y ＝ax bD ．y ＝ae bx[解析] 画出散点图,观察可用y ＝a ＋bx 刻画国内生产总值发展变化的趋势．2．设由线性相关的样本点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n ),求得的回归直线方程为y ^＝bx ＋a,定义残差e i ＝y i －y ^i ＝y i －bx i －a,i ＝1,2,…,n,残差平方和m ＝e 21＋e 22＋…＋e 2n .已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁[解析] r 越接近1,相关性越强,残差平方和m 越小,相关性越强,故选D ．二、填空题3．若一函数模型为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),则作变换t ＝__(x ＋b 2a )2 才能转为y 是t 的线性回归方程．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a ,∴令t ＝(x ＋b 2a )2,则y ＝at ＋4ac －b24a,此时y 为t 的线性回归方程．4．若x 、y 满足则可用来描述__y ＝2e __. [解析] 画出散点图,形如y ＝a·e bx,其中a≈2,b≈1. ∴y ＝2e x. 5．若x 、y 满足x 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 4 5 y2096420.940.650.510.45则可用来描述x 与y 之间关系的函数解析式为__y ＝2x.[解析] 画出散点图,观察图像形如y ＝b x ,通过计算知b≈2,∴y ＝2x .三、解答题6．如下表所示,某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震次数为N,试建立N 对x 的回归方程,并表述二者之间的关系.震级 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 地震数 28 381 20 380 14 795 10 695 7 641 5 502 3 842 2 698 震级 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6 地震数 1 919 1 356 973 746 604 435 274 206 震级 6.2 6.4 6.6 6.8 7 地震数14898574125[解析] 由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出,震级x 与大于或等于该震级的地震次数N 之间呈现出一种非线性的相关性,随着x 的减少,所考察的地震数N 近似地以指数形式增长．于是令y ＝lgN.得到的数据如下表所示．图1x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 y 4.453 4.309 4.170 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431 x 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6 y 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314 x 6.2 6.4 6.6 6.8 7 y2.1701.9911.7561.6131.398x图2从散点图2中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性,因此由最小二乘法得a≈6.704,b≈－0.741,故线性回归方程为y ＝－0.741x ＋6.704.因此,所求的回归方程为：lgN ＝－0.741x ＋6.704,故N ^＝10－0.741x ＋6.704.7．下表所示是一组试验数据：x 0.5 0.25 16 0.125 0.1 y64138205285360(1)作出散点图,并猜测y 与x 之间的关系； (2)利用所得的函数模型,预测x ＝10时y 的值．[解析] (1)散点图如图所示,从散点图可以看出y 与x 不具有线性相关关系．根据已有知识发现样本点分布在函数y ＝b x ＋a 的图像的周围,其中a,b 为待定参数．令x′＝1x ,y′＝y,由已知数据制成下表：序号i x i ′ y i ′ x′2i y′2i x′i y′i 1 2 64 4 4 096 128 2 4 138 16 19 044 552 3 6 205 36 42 025 1 230 4 8 285 64 81 225 2 280 5 10 360 100 129 600 3 600 ∑301 052220275 9907 790x ′＝6,y ′＝210.4,故∑i ＝15x ′2i－5(x ′)2＝40,∑i ＝15y ′2i －5y ′2＝54 649.2,r ＝779 0－5×6×210.440×54 649.2≈0.999 7,由于r 非常接近于1,∴x′与y′具有很强的线性关系,计算知b≈36.95,a ＝210.4－36.95×6＝－11.3, ∴y′＝－11.3＋36.95x′,∴y 对x 的回归曲线方程为y ＝36.95x －11.3.(2)当x ＝10时,y ＝36.9510－11.3＝－7.605.C 级能力提高1．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积(m 2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格． [解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝15∑5 i ＝1x i ＝109,l xx ＝∑5i ＝1 (x i －x )2＝1 570,y ＝23.2,l xy ＝∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝308. 设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2,a ^＝y －b ^x ＝1.816 6.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)据(2),当x ＝150 m 2时,销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．2．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：散点图显示出x 与y ,流通率y 决定于商品的零售额x,体现着经营规模效益,假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋bx .试根据上表数据,求出a 与b 的估计值,并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．[解析] 设u ＝1x,则y≈a＋bu,得下表数据：进而可得n ＝10,u ≈0.060 4,y ＝3.21,∑i ＝110u 2i －10u 2≈0.004 557 3, ∑i ＝110u i y i －10uy ≈0.256 35,b≈0.256 350.004 557 3≈56.25, a ＝y －b·u ≈－0.187 5,所求的回归方程为y ^＝－0.187 5＋56.25x .当x ＝30时,y ＝1.687 5,即商品零售额为30万元时,商品流通率为1.687 5%.。

【步步高】高中数学综合检测(一)北师大版选修1-2

综合检测(一)一、选择题1．在复平面内，复数z ＝12＋i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 3．已知复数z ＝3＋i －32，则|z |等于( ) A.14B.12C ．1D ．24．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28B ．32C ．33D ．275．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①6．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不等于( )A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)B ．f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋2C ．n (n ＋1)D ．n (n ＋1)f (1)7．函数f (x )在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)8．在两个基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试成绩见下表．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，试分析实验效果与教学措施是否有关( )A.有关C ．不一定D ．以上都不正确9．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i10．如果在一次试验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的线性回归方程是( )A ．y ＝x ＋1.9B ．y ＝1.04x ＋1.9C ．y ＝1.9x ＋1.04D ．y ＝1.05x －0.911．执行如图所示的算法框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )A.511 B.1011 C.3655 D.725512．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于0B ．一定等于0C ．一定小于0D ．正负都有可能二、填空题13．某工程由A 、B 、C 、D 四道工序组成，完成他们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A 、B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是________．14．如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则ff＋f f＋f f＋…＋f f＋f f＝________.15．若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列，类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等差数列，则有d n ＝________也是等差数列． 16．下列命题中，正确的是________．(填序号)①a ，b ∈R 且“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i”为纯虚数的充要条件；②当z 是非零实数时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z ≥2恒成立；③复数的模都是正实数； ④当z 是纯虚数时，z ＋1z∈R .三、解答题17．m 取何实数值时，复数z ＝2m 2－3m －2m 2－25＋(m 2＋3m －10)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？18．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)，证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .19．用分析法证明：在△ABC 中，若A ＋B ＝120°，则ab ＋c ＋ba ＋c＝1.20．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下2×2列联表：21．已知函数f (x )在R 上是增函数，a ，b ∈R .(1)求证：如果a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．答案1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．D 7．A 8．A 9．A 10．B 11．A 12．A 13．3 14．2 014 15.c 1＋c 2＋…＋c nn16．②17．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －10＝0，m 2－25≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－5或m ＝2，m ≠±5，即m ＝2，∴m ＝2时，z 是实数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －10≠0，m 2－25≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－5且m ≠2，m ≠±5，∴m ≠±5且m ≠2时，z 是虚数． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2＋3m －10≠0，m 2－25≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－12，m ≠－5且m ≠2，m ≠±5，即m ＝－12，∴m ＝－12时，z 是纯虚数．18．证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提) 又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意的正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)19．证明要证ab ＋c ＋ba ＋c ＝1，只需证a 2＋ac ＋b 2＋bcab ＋bc ＋ac ＋c 2＝1，即证a 2＋b 2－c 2＝ab ，而因为A ＋B ＝120°，所以C ＝60°.又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab . 所以原式成立． 20．解 χ2＝－244×28×36×36≈8.416>6.635，所以有99%的把握认为性别和读营养说明之间有关系． 21．(1)证明当a ＋b ≥0时，a ≥－b 且b ≥－a ，因为f (x )在R 上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．故f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． (2)解 (1)中命题的逆命题：如果f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0，此命题成立，用反证法证明如下：假设a ＋b <0，则a <－b ，从而f (a )<f (－b )．同理可得f (b )<f (－a )，即f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立，故a ＋b ≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．。

高中数学模块综合测试北师大版选修1-2

模块综合测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a 、b 、c 都是奇数 B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中或都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．答案： D2．下列说法中错误的是( )A ．如果变量x 与y 之间存在着线性相关关系，则我们根据实验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )将散布在某一条直线的附近B ．如果两个变量x 与y 之间不存在线性相关关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )不能写出一个线性方程C ．设x ，y 是具有线性相关关系的两个变量，且y 关于x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，则b 叫做回归系数D ．为使求出的线性回归方程有意义，可以求出相关系数r 来判断变量y 与x 之间是否存在线性相关关系解析：任何两个变量之间，如果知道了一个样本的数据，都可以根据最小二乘法求得一个线性方程，但对于非线性相关的两个变量，所求的线性回归方程是无意义的．答案： B3．复数z ＝1＋i 1－i ＋(1－i)2的虚部等于( )A ．1B ．0C．－1 D．i解析：z＝1＋i22＋(1－i)2＝i－2i＝－i.答案：C4．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤解析：由归纳推理、演绎推理和类比推理的性质知②④错误，①③⑤正确．答案：D5．下列结构图中表示从属关系的是( )答案：C6．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )A．②①③B．③①②C．①②③D．②③①解析：根据三段论的一般形式，可以得到大前提是②，小前提是③，结论是①.答案：D7．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%.则这种产品的一级品率为( )A ．15%B ．19%C ．20%D ．21%解析： A ＝“产品为合格品”，B ＝“产品为一级品”，P (B )＝P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%. 答案： B8．如果执行下面的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )A.54 B ．45C.65D ．56解析：该框图是计算11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6的和．答案： D9．在对某小学的学生进行的是否吃零食的调查中，得到如下表数据：吃零食不吃零食合计男学生 24 31 55 女学生 8 26 34 合计325789A ．认为男女学生与吃零食与否有关系B ．认为男女学生与吃零食与否没有关系C ．性别不同决定了吃零食与否D ．以上都是错误的解析： ∵χ2＝89×24×26－31×8232×57×55×34＝12 582 4643 410 880≈3.69＞2.706. ∴有90%的把握认为男女学生与吃零食与否有关系．答案： A10．下图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1(n ∈N *)B ．a n ＝3n (n ∈N *)C ．a n ＝3n －2n (n ∈N *)D ．a n ＝3n －1＋2n －3(n ∈N *)解析：观察发现新产生的一个三角形的周围伴随三个着色三角形的产生．答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．观察数列3、3、15、21、33，…，写出该数列的一个通项公式a n ＝________.解析： ∵a 1＝3×1，a 2＝3＝3×3，a 3＝15＝3×5，a 4＝21＝3×7， a 5＝33＝3×9.∴猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．答案：32n －1(n ∈N *)12．某天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．解析：两个闹钟至少有一个准时响有三种情况：甲准时响而乙没准时响，其概率为0.80×(1－0.90)＝0.08；乙准时响而甲没准时响，其概率是(1－0.80)×0.90＝0.18；甲、乙都准时响，其概率为0.80×0.90＝0.72，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为：0.08＋0.18＋0.72＝0.98，故填0.98.答案： 0.9813．景泰蓝是深受人们喜爱的手工艺品．现在我们把它的制作流程叙述一下：第一步制胎，第二步掐丝，第三步点蓝，第四步烧蓝，第五步打磨，第六步镀金．请你用工序流程图，描述出以上工序：________→________→________→________→________→________.解析：由题意可知，景泰蓝的制作流程为：制胎→掐丝→点蓝→烧蓝→打磨→镀金．答案：制胎掐丝点蓝烧蓝打磨镀金14．设z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝iz 1＋z 25的虚部是________．解析： z ＝i 2－i ＋1－3i 5＝i 2＋i 5＋15－35i ＝－15i ，其虚部为－15.答案：－15三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，对某地540名40岁以上的人进行了调查，结果如下：患胃病不患胃病合计生活无规律 60 260 320 生活有规律 20 200 220 合计80460540根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关系？解析：根据公式得χ2＝540×200×60－260×20280×460×220×320≈9.638＞6.635.因此，有99%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关． 16．(本小题满分12分)已知a ，b ，m 均为正实数，b <a ，求证：b a <b ＋m a ＋m.证明：因为不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，(大前提)b <a ，m >0，(小前提)所以mb <ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)mb <ma ，(小前提)所以mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m )．(结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提)b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0，(小前提)所以b a ＋m a a ＋m<a b ＋m a a ＋m，即b a <b ＋m a ＋m.(结论)17．(本小题满分12分)求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2>0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．18．(本小题满分14分)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．解析：记“第i 局甲获胜”为事件A i (i ＝3,4,5)，“第j 局乙获胜”为事件B j (j ＝3,4,5)． (1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则A ＝A 3·A 4＋B 3·B 4，由于各局比赛结果相互独立，故 P (A )＝P (A 3·A 4＋B 3·B 4)＝P (A 3·A 4)＋P (B 3·B 4)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (B 4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B ＝A 3·A 4＋B 3·A 4·A 5＋A 3·B 4·A 5，由于各局比赛结果相互独立，故P (B )＝P (A 3·A 4＋B 3·A 4·A 5＋A 3·B 4·A 5)＝P (A 3·A 4)＋P (B 3·A 4·A 5)＋P (A 3·B 4·A 5)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (A 4)P (A 5)＋P (A 3)P (B 4)P (A 5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.。

2019—2020年北师大版高中数学选修1-2《推理与证明》章末综合测评及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2 章末综合测评(三) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是( )A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】 B3．下列推理是归纳推理的是( )A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】 B4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是( ) A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.5．下面给出了四个类比推理．①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；②若数列{a n}是等差数列，b n＝1n(a1＋a2＋a3＋…＋a n)，则数列{b n}也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n＝nc1c2c3…c n，则数列{d n}也是等比数列；③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.上述四个推理中，结论正确的是( )A．①②B．②③C．①④D．②④【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b －c)，故④错误．故选B.【答案】 B7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】 D8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.【答案】 B9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有( )A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1A ．2 018×2 014B ．2 018×2 013C ．1 010×2 012D ．1 011×2 015【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 015×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A(a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B(a 3，a 4)，C(a 5，a 6)，D(a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009【解析】依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2 015＋a2 017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2 016＝12×2 016＝1 008，a2 015＋a2 016＋a2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( ) A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】甲乙丙丁甲获奖××××乙获奖√√×√丙获奖√×√×丁获奖×√××由上表可知：获奖歌手是丙．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.【答案】经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝114．观察下列等式：13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，…照此规律，第n个等式可为__________．【解析】依题意，注意到13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×1×(1＋1)2,13＋23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×2×(2＋1)2＝9,13＋23＋33＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×3×(3＋1)2＝36，…，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12n (n ＋1)2.【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12n (n ＋1)215．当n ＝1时，有(a －b)(a ＋b)＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b)(a ＋b)＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b)·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b)(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n(n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b>0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b>0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lgab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.19．(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)证明：因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.20．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：图4(1)直线PA ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC.【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA. 又因为PA 平面DEF ，DE 平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF.(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF. 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC. 因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 又DE平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n (n≥2)．(1)求a3，a4，猜想a n的表达式，并加以证明；(2)设b n＝a n·a n＋1a n＋a n＋1，求证：对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n3.【解】(1)容易求得：a3＝17，a4＝110.故可以猜想a n＝13n－2，n∈N＋.下面利用数学归纳法加以证明：①显然当n＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，结论也成立，即a k＝13k－2.那么当n＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：a k＋1＝(k－1)a kk－a k＝(k－1)×13k－2k－13k－2＝k－13k2－2k－1＝k－1(3k＋1)(k－1)＝13k＋1＝13(k＋1)－2.即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，a n＝13n－2成立．(2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n 3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3. 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xcos x －sin x ＋1(x>0). 【导学号：67720022】(1)求f(x)的单调区间；(2)记x i 为f(x)的从小到大的第i(i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <23.【解】 (1)f ′(x)＝cos x －xsin x －cos x ＝－xsin x. 令f ′(x)＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N)时，sin x>0，此时f ′(x)<0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N)时，sin x<0，此时f ′(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N)，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N)．(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f(n π)·f((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1]×[(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]<0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故 n π<x n ＋1<(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2<23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4＋1＋122＋…＋1(n －1)2<1π2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋11×2＋…＋1(n －2)(n －1)＝ 1π2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－1n －1<6π2<23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <23.。