第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(教案)
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标如下：
1.理解并掌握二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，培养数学抽象和逻辑推理素养；
2.能够运用二次函数图象的平移法则，培养直观想象和数学建模素养；
3.通过分析二次函数在实际问题中的应用，提高问题解决和数学运算素养；
-学生容易混淆对称轴与x轴的关系，需要通过具体示例进行解释；
-顶点是二次函数图象的最高点或最低点，需要通过图象和公式相结合的方式进行讲解。
（2）掌握二次函数图象的平移法则，特别是平移量与图象变化之间的关系；
-学生可能对平移量与图象变化的关系理解不深，可以通过动画演示或实际操作帮助学生理解。
（3）理解二次函数性质的推导过程，特别是最值和单调性的判断；
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质的理解存在一定的难度。尤其是在对称轴、顶点以及开口方向的概念上，部分学生容易混淆。因此，在今后的教学中，我需要更加注重对这些难点知识的讲解和引导。
在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功引起了学生的兴趣，使他们能够积极参与到课堂学习中。但在新课讲授环节，我发现理论介绍部分，学生们对一些抽象的概念理解不够深入。在今后的教学中，我可以尝试运用更多的实例和图象，帮助学生形象地理解这些概念。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛掷后落地的情况？”（如抛球、掷石头等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图象和性质的奥秘。
二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质
2
3
.若（-
13 4
，y1）（-
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图像上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_1_＞__y_2__＞__y_3__.
4.指出下列函数图像的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
y 2 x 32 向上
y 2 x 22 向上
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1 x 12 ··· －2
2
1 2
0
1 －2 －4.5 －8 ···
2
y 1 x 12
2
···
－8
－4.5
－2
1 2
0
1 －2 ···
2
y
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线
开口方向
对称轴
y 1 x 12
y 3 x 12 向下
4Байду номын сангаас
对称轴 直线x=3 直线x=2 直线x=1
顶点坐标 ( 3, 0 ) (2, 0 ) ( 1, 0)
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的 图像，分别指出两个图像之间的相互关系．
解：图像如图. 函 数 y=2(x-2)2 的 图 像 由 函数y=2x2的图像向右平 移2个单位得到.
二、二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
抛物线
y 1 x 12 ，y 1 x 12
2
2
与抛物线
y 1 x2 2
有什么关系？
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系；(重点)2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)一、情境导入一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图，球在A 处出手时离地面209m，与篮筐中心C的水平距离是7m，当球运行的水平距离是4m时，到达最大高度B处，高度为4m，设篮球运行的路线为抛物线．篮筐距地面3m.问此球能否投中？二、合作探究探究点：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象的特点关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，以下判断正确的选项是()A．图象开口向上B．图象的对称轴是直线x＝1C．图象有最低点D．图象的顶点坐标为(－1，2)解析：∵－1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点．∵二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象的顶点是(－1，2)，∴对称轴是x＝－1.应选D.方法总结：熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象的性质在二次函数y＝－112(x－2)2＋3的图象上有两点(－1，y1)，(1，y2)，那么y1－y2的值是()A．负数B．零C．正数D．不能确定解析：∵二次函数y＝－112(x－2)2＋3，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝2.∵点(－1，y1)，(1，y2)是二次函数y＝－112(x－2)2＋3的图象上两点，且－1＜1＜2，∴两点都在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，∴y1－y2的值是负数．应选A.方法总结：解决此题的关键是确定二次函数的对称轴，确定出对称轴后，在根据二次函数的增减性确定问题的答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第4题【类型三】二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象与y＝ax2的图象的关系将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为()A．y＝(x＋1)2＋1 B．y＝(x＋1)2－1C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1解析：抛物线y＝x2的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为(1，－1)，所以平移后的新图象的函数表达式为y＝(x－1)2D.方法总结：解决此题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第9题【类型四】由二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象确定a，k的取值范围二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如下列图，那么一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是()解析：根据二次函数开口向上那么a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．应选A.方法总结：此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据得出a，c的符号是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第2题【类型五】确定二次函数y＝a(x－h)2＋k的解析式关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的开口方向、对称轴．解析：根据顶点式设出解析式，再用待定系数法求二次函数的解析式，进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴．解：(1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2，把点(1，－3)代入解析式，得a＝－54，所以抛物线的解析式为y＝－54(x＋1)2＋2；(2)由(1)的函数解析式可得抛物线的开口向下，对称轴为x＝－1.方法总结：给出二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题【类型六】二次函数y＝a(x－h)2＋k 的实际应用如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)假设要搭建一个矩形“支撑架〞AD －DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B 点在地面OM上，那么这个“支撑架〞总长的最大值是多少？解析：(1)根据所建坐标系易求M、P 的坐标；(2)可设解析式为顶点式，把O点(或M点)坐标代入用待定系数法求出解析式；(3)总长由三局部组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为(m，0)，用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用二次函数性质求解．解：(1)点M的坐标为(12，0)，点P的坐标为(6，6)；(2)设抛物线解析式为y ＝a (x －6)2＋6，∵抛物线y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，0)，∴0＝a (0－6)2＋6，即a ＝－16，∴抛物线解析式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ；(3)设点A 的坐标为(m ，0)，那么点B的坐标为(12－m ，0)，点C 的坐标为(12－m ，－16m 2＋2m )，点D 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )．∴“支撑架〞总长AD ＋DC ＋CB ＝(－16m 2＋2m )＋(12－2m )＋(－16m 2＋2m )＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.∵此二次函数的图象开口向下，∴当m ＝3米时，“支撑架〞的总长有最大值为15米．方法总结：解决此题的关键是根据图形特点选取一个适宜的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．三、板书设计 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质 1．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质2．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与y＝ax 2的图象的关系3．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的应用要使课堂真正成为学生展示自我的舞台，还学生课堂学习的主体地位，教师要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，为学生提供展示自己聪明才智的时机，使课堂真正成为学生展示自我的舞台．充分利用合作交流的形式，能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用 过程与方法 学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的背景与历史意义情感态度 与价值观 认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路 【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2 教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
由“左加右 减”的原则可知，将抛物线y＝3x2＋3向左平移2个 单位所得抛物线对应的函数关系式为y＝3(x＋2)2＋3，
1 试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y 1 x2
2
得到抛物线 y 1 x 22 2 和抛物线 y 1 x 22 3 ？
9
y 1 (x 4)2 4, (x 0) 9
(1)由对称性可知x 8时, y 20 3
9
∴（8,3)不在抛物线上即球不能投中 (2) 当y=3时, 1 (x 4)2 4 3
9
解得: x1 1 , x2 7
∴（7,3)在抛物线上
∴要使（8,3)在抛物线上， 需向右平移一个单位，或者向上平移 3 29个0 单97位
增大而增大. 当x=h时,最小值为k.
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着 x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的
增大而减小. 当x=h时,最大值为k.
注意：离对称轴越近越接近最值
例2 抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、对
称轴分别是( D )
A．向下、(1，2)、直线x＝1 B．向上、(－1，2)、直线x＝－1 C．向下、(－1，2)、直线x＝－1 D．向上、(1，2)、直线x＝1
D．y＝(x－2)2－3
3 (中考·扬州)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单
位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线
对应的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2
B．y＝(x＋2)2－2
最全初三二次函数概念的图像与性质完整版.doc
龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期: 星期: 时段:学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。
课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数；2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法；3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。
学习重点图像的平移；待定系数法求解析式学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回顾1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项.2.二次函数的解析式及其对称轴（1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交点式：。
此时抛物线的对称轴为。
其中，（x1,0）（x2,0）是抛物线与X轴的交点坐标。
显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质4.二次函数的平移问题5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系：6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系二次函数的常规解法：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。
我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。
例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。
说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。
所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。
《二次函数y=a (x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质》巩固练习同步 2022人教
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3)2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－13．抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A.y=21(x+3)2－2B.y=21(x －3)2+2C.y=21(x －3)2－2D.y=21(x+3)2+24．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）A ．2)1(-=x yB ． 2)1(2--=x yC ．1)1(2++=x y D ．2)1(2-+=x y5．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大 6．（2020•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.二、填空题7. （2020•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______. 9．抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____. 10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______．12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________． 三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式． 14. 已知抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 抛物线2()y a x h k =-+；（1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象； （3）观察2()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________； （4）观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？ 15．（2020•珠海）已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-． 2.【答案】D ；【解析】通过配方即可得到结论. 3.【答案】A ； 【解析】抛物线y=21x 2向左平移3个单位得到y=21(x+3)2，再向下平移2个单位后， 所得的抛物线表达式是y=21(x+3)2－2.4.【答案】B ；【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C ；【解析】可画草图进行判断. 6.【答案】D ；【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2＜0，错误；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确， 故选D ．二、填空题 7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1； 【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x ≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，故x ≥－1.9．【答案】向下，y 轴； 10．【答案】249y x x =---；【解析】设2(2)5y a x =+-过点（1，－14）得1a =-，所以22(2)549y x x x =-+-=---.11．【答案】21027y x x =-+；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解. 12．【答案】 1； 【解析】C(2，-6)，可求932y x =-+与x 轴交于2(,0)3，与y 轴交于(0，3)，∴123123S =⨯⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线的顶点为（-1，-2），∴ 设其解析式为2(1)2y a x =+-，又图象经过点（1，10），∴1042a =-，∴3a =， ∴ 解析式为23(1)2y x =+-． 14.【答案与解析】（1）由212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是21(1)22y x =--+． ∴12a =-，1h =，2k =． （2）函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x =时，函数y 有最大值，最大值是2y =． （4）由图象知，对于一切x 的值，总有函数值2y ≤． 15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0， ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0， 解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0， 则（x ﹣4）（x+2）=0， 解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．63m C ．93m D ．183m第1题图 第2题图 第3题图 第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm 2B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm 2D.(3π+16)cm 24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸 6．（2020•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50° 二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是____ .12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______________.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为________，面积为________．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为________，图(2)中4条弧的弧长的和为________；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为________(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要________m2的毛毡．三、解答题17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4.【答案】A；【解析】OM最长是半径5；最短是OM⊥AB时，此时OM=3，故选A.5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8．【答案】C；【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P在优弧上时，∠BPC＝12∠BOC＝65°；点P在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a ； 2(222)a ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴222x x a ⨯+=，21)x a =， 即正八边形的边长为(21)a ．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α， 则12(2)180n n ααα+++=-…°，∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴2215l h r =+=，∴223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720S ππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ， ∴OF 垂直平分BC∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形． 19.【答案与解析】A BCDEO 12345A BCD EO 12解：∵公共弦AB＝120.20. 【答案与解析】(1)如选命题①．证明：在图(1)中，∵∠BON＝60°，∴∠1+∠2＝60°．∵∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，∴△BCM≌△CAN，∴ BM＝CM．如选命题②．证明：在图(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．如选命题③．证明：在图(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。
二次函数图像与性质
课堂互动讲练
t2－2t－7，t<1，
从而 g(t)＝－8，1≤t≤2， t2－4t－4，t>2.
(2)g(t)的图象如图所示． g(t)的最小值为－8.
课堂互动讲练
【规律小结】 二次函数区间最 值主要有三种类型：轴定区间定，轴 定区间动和轴动区间定．
一般来说，讨论二次函数在闭区 间上的最值，主要是看区间是落在二 次函数的哪一个单调区间上，从而应 用单调性求最值．
课堂互动讲练
(2)∵f(x)＝－21x2＋x＝－21(x－1)2＋12≤21， ∴一定有 3n≤21，即 n≤16. 6 分 而抛物线 f(x)＝－12x2＋x 的对称轴为 x＝1， ∴当 n≤16时，f(x)在[m，n]上是单调递增函 数. 8 分
课堂互动讲练
假设存在 m，n 满足要求，则有
f(m)＝3m， －12m2－2m＝0，①
(1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最 小值．
【思路点拨】 二次函数的对 称轴x＝2，分情况讨论x＝2是否在 区间[t，t＋1]内．
课堂互动讲练
【解】 (1)f(x)＝x2－4x－4 ＝(x－2)2－8. 当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增 函数， ∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时， g(t)＝f(2)＝－8； 当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t ＋1]上是减函数， ∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
(2)画出(1)中平移后的图象；
23
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关 于新抛物线对称轴的对称点为C， 试在新抛物线的对称轴上找出一 点P，使BP＋CP的值最小，并求 出点P的坐标．
24
如图，连接BC.由(1)可知平移后抛
物线对应的函数解析式为:
y＝ 1 (x－3)2，
3
易知点B的坐标为(
相同点是( A )
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
返回
14
14．(中考•丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，
所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( D )
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移1个单位长度
返回
15
题型 1 二次函数y＝a（x－h）2的图
象和性质在求解析式中应用
15．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且 过点(1，－3)．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
由题意知h＝－2，故y＝a(x＋2)2.因为此抛物线过点(1，－3)，
所以－3＝a•32.解得a＝－ 1 .
3
1
3 2
，
3 4
)，
点C的坐标为(6，3)，
25
所以此抛物线对应的函数解析式为y＝－ 3 (x＋2)2.
16
(2)画出此抛物线． (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
(2)图略．
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大；
当x＝－2时，函数有最大值．
返回
17
题型
3
二次函数y＝a（x－h）2的图象 和性质在求图形面积中应用
二次函数y=(x-h)2的图像与性质
二次函数y＝（x-h）2与y＝a（x-h）2+k的图象学习目标：1．会画二次函数y＝a（x-h）2、y＝a（x-h）2+k的图象；2．掌握二次函数y＝a（x-h）2、y＝a（x-h）2+k的性质，并要会灵活应用；重点：会画二次函数y＝a（x-h）2、y＝a（x-h）2+k的图象.难点：掌握二次函数y＝a（x-h）2、y＝a（x-h）2+k的性质。
一、课前小测1．函数y＝22x-的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x＝___________时，有最_________值是_________．2．将二次函数y＝25x-+向上平移3个单位后所得的抛物线是_____________．3．抛物线y＝4x2－1的顶点是__________，与y轴的交点坐标为__________，与x轴的交点坐标为．二、探索新知1、问题一：提出问题，创设情境画出二次函数y＝－12(x＋1)2，y＝－12(x－1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．（1）把抛物线y ＝－2x 2向左平移_____个单位，就得到抛物线y ＝－2(x ＋1)2 （2）把抛物线y ＝－2x 2向右平移_____个单位，就得到抛物线y ＝－2(x ＋1)2 （3）将抛物线y ＝－3 (x －1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线为_ ．3、问题二：应用法则 探索解题. 例1．填空： （1）把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线为 ． （2）把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线为 ． 1．填表轴的交点是 ，轴的交点为 ．3．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式___________________________． B 组： 1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．2．抛物线2()y m x n =+向左平移2个单位后，得到的函数关系式是24(4)y x =--，则m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线221y x =+向下平移2个单位后，得到的抛物线为 ． 4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．总结归纳为：一、y=a(x- h)2（a≠0）的性质左加右减：形如y=a(x- h)2（a≠0）的二次函数，它的图像的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，0），h的符号决定抛物线由y=ax2左右平移，简单的说，就是“左加右减”。
人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿一. 教材分析《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22章第1节的一部分。
这部分内容是在学生已经学习了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
通过这部分的学习，学生能够理解二次函数的图象特征，掌握二次函数的顶点式，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够自主探索二次函数的图象和性质，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学的兴趣和自信心，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征。
2.教学难点：学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，理解二次函数的图象和性质之间的关系。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习动力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的合作意识和团队精神。
4.数形结合法：通过绘制二次函数的图象，引导学生观察和分析，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质.
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
二次函数y=3(x+1)2
最小值是0..
与y=3x2的增减性类似.
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
在同一坐标系中作出下列二次函数:
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的 增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的 值随x的增大而减少？
3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
﹙x+1﹚2
－2
－4
y 1 x2 2
－6
24
y=－
1 2
﹙x-1﹚2
－4 －2 －2
y=－
1 2
﹙x+1﹚2
－4
－6
24
y=－ 21﹙x-1﹚2
可以看出，抛物线 y 1x12的开口向下，对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住
x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y 1x12
(3)函数y=3(x-1)2的图象 与y=3x2的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
y 3x2
2022人教版数学《因式分解(精品)4》配套教案(精选)
因式分解第4课时教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力． 2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重点难点1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用． 2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解． 应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知 【问题牵引】 1．分解因式：（1）－9x 2+4y 2； （2）（x+3y ）2－（x －3y ）2；（3）x 22． 【知识迁移】2．计算下列各式：（1）（m －4n ）2； （2）（m+4n ）2；（3）（a+b ）2； （4）（a －b ）2．【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．3．分解因式：（1）m 2－8mn+16n 2 （2）m 2+8mn+16n 2；（3）a 2+2ab+b 2； （4）a 2－2ab+b 2．【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案：解：（1）m 2－8mn+16n 2=（m －4n ）2； （2）m 2+8mn+16n 2=（m+4n ）2；（3）a 2+2ab+b 2=（a+b ）2； （4）a 2－2ab+b 2=（a －b ）2．【归纳公式】完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2． 二、范例学习，应用所学949【例1】把下列各式分解因式：（1）－4a 2b+12ab 2－9b 3； （2）8a －4a 2－4；（3）（x+y ）2－14（x+y ）+49； （4）+n 4． 【例2】如果x 2+axy+16y 2是完全平方，求a 的值．【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a 的值，即可求出a 3． 三、随堂练习，巩固深化 课本P119练习第1、2题． 【探研时空】1．已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．（1）x 2+y 2； （2）（x －y ）22．已知x+=－3，求x 4+的值． 四、课堂总结，发展潜能由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）； a 2±ab+b 2=（a ±b ）2．在运用公式因式分解时，要注意：（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、•次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2）•在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，•然后再运用公式分解． 五、布置作业，专题突破课本P119习题14．3第3、5、7、8题． 板书设计公式法（二）1、完全平方公式： 例： a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2练习：第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质223293m n mn 1x 41x1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线xx＝1时，y最小值＝－2.方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，x ＝－1是对称轴，有下列判断：①b －2a ＝0；②4a －2b ＋c <0；③a －b ＋c ＝－9a ；④若(－3，y 1)，(32，y 2)是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④解析：∵－b2a ＝－1，∴b ＝2a ，即b －2a ＝0，∴①正确；∵当x ＝－2时点在x 轴的上方，即4a －2b ＋c >0，②不正确；∵4a ＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－4a －2b ，∵b ＝2a ，∴a －b ＋c ＝a －b －4a －2b ＝－3a －3b ＝－9a ，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y 1)到对称轴x ＝－1的距离小于点(32，y 2)到对称轴的距离，即y 1>y 2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；抛物线的对称轴是x ＝－b2a ；当x ＝2时，二次函数的函数值为y ＝4a ＋2b ＋c ；函数的图象在x 轴上方时，y >0，函数的图象在x 轴下方时，y <0.【类型三】利用平移确定y ＝a (x －h )2＋k 的解析式将抛物线y ＝13x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A ．y ＝13(x －2)2－1B ．y ＝13(x －2)2＋1C ．y ＝13(x ＋2)2＋1D ．y ＝13(x ＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝13(x －2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的应用【类型一】y ＝a (x －h )2＋k 的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间(C 不与A 、B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为________．(用含a 的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x ＝－2，抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，∴OB ＝4，∵由抛物线的对称性知AB ＝AO ，∴四边形AOBC 的周长为AO ＋AC ＋BC ＋OB ＝△ABC 的周长＋OB ＝a ＋4.故答案是：a ＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (分钟)之间满足函数y ＝－110(x －13)2＋59.9(0≤x ≤30)，y 值越大，表示接受能力越强．(1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P到直线l的距离？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB 和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了． [生3]我们看看条件够不够．AB ADBC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性） 讨论结果展示：作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线． 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ． （2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质--教学设计
明 确
O
1
C(3，0) C 2 x3
x
目 标
【设计意图】 基于数学来源于生活， 由实际问题引入本节课的内容， 让孩子产生学习的兴趣。 （二）前后衔接、温故知新 1、抛物线 y=ax +k（a≠0）有如下性质： (1)对称轴：对称轴是 (2)顶点坐标：顶点是 . . ；当 x>0 ； 当 x>0 （二）主动思考和回忆， 然后齐声朗读所填内容
y=a(x-h) +k 的形式吗？然后说出对称轴、顶点坐标. （1） y=x +2x-3 （2） y=-x +6x+1 【设计意图】通过小结让孩子重温本节课的重点内容，查缺补漏， 达到知识升华的作用；反馈检测能够使孩子衡量自己本节课掌握的 程度如何，也让教师得到及时的反馈信息，有助于后续教学的调整 ；作业分层布置，起到因人而异，按需发展的效果。 目标检测设计： 反馈检测：设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式，并说出它的性质。 由于时间关系，在此只安排了一道检测题，设计目的是：再次强化孩子对待定系数法的掌握和对二次 函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质的掌握。
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“二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质”教学设计 授课教师：张鹏 内容和内容分析： （一）内容 1. 二次函数 y=a(x－h) ＋k（a≠0）的图象以及性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最 值） 。 2. 二次函数 y=a(x－h) ＋k（a≠0）的性质在生活中的简单应用。 （二）内容分析 本节课的内容包括二次函数 y=a(x－h) ＋k（a≠0）的图象以及性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、 增减性、最值）和性质在生活中的简单应用两部分. 对二次函数 y=a(x－h) ＋k（a≠0）的研究是以形如 y=ax ＋k（a≠0）和 y=a(x－h) （a≠0）的二次函数的研究为基础的，也为二次函数 y=ax +bx+c 的研究做 了准备。
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
二次函数y=a(x-h)的图象和性质
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求b的值；
解：把点C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2 中，得b＝－4，∴b的值是－4.
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二 次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( B )
5．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的 是( D ) A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是直线x＝3 C．其图象的顶点坐标是(0，3) D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
6．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 如果x1＜x2＜－，那么下列结论成立的是( A ) A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
类型
解：画树状图如图所示． 共有 12 种等可能的结果，其中和为奇数的结果有 8 种， ∴P(小明参加)＝182＝23， P(小亮参加)＝1－23＝13. ∵23≠13，∴这个游戏规则不公平．
类型
【2020·德阳】为了加强学生垃圾分类意识，某校对学 1
生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次 宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了 一次测试，测试结果共分为四个等级：A.优秀；B.良 好；C.及格；D.不及格．根据 调查统计结果，绘制了如下 所示的不完整的统计表．
类型
共有 9 种等可能的结果，其中“和为 3 的倍数”的有 3 种， “和为 7 的倍数”的有 3 种，∴P(小杰赢)＝39＝13，P(小玉 赢)＝39＝13.因此游戏是公平的．
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
22.1.3二次函数()2h x a y -=的图象和性质一、知识链接：1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习(一) 画出二次函数2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象归纳：（1）2)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
（2）2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。
2)1(-=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
（二）思考并回答： 2)1(+-=x y ，2)1(--=x y 的性质。
三、整理知识点x2．对于二次函数的图象，只要a 相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 四、课堂训练1．抛物线()223y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
2. 抛物线22(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
3. 抛物线221y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；4.抛物线25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．5. 抛物线24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 6．将抛物线()2123y x =--向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线()242y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________． 8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22y x =-都相同的二次函数解析式_______________． 五、目标检测1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．2．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则 m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．。
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第4课时二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
01 基础题
知识点1 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的平移
1．(成都中考)将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( ) A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3
C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－3
2．抛物线y＝－3(x＋2)2－3可以由抛物线y＝－3x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
知识点2 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
3．(郴州中考)抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是( )
A．(－1，2) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(1，2)
4．(台州中考)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( ) A．(1，0) B．(3，0)
C．(－3，0) D．(0，－4)
5．(呼伦贝尔中考)二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )
6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1____________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
7．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
抛物线开口方向对称轴顶点
y＝－4(x＋3)2＋5
y＝3(x＋1)2－2
y＝(x－5)2－7
y＝－2(x－2)2＋6
8.画出函数y＝(x－1)2－1
知识点3 利用顶点式求二次函数的表达式
9．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)．求该二次函数的表达式．
02中档题
10．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
11．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的表达式是( ) A．y＝(x＋1)2－1
B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1
D.y＝(x－1)2-1
12．(河南中考)已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．
13．已知二次函数y＝2(x－3)2－8.
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值；
(4)函数图象可由函数y＝2x2的图象经过怎样的平移得到？
14．已知二次函数的图象的顶点坐标为(－2，－3)，且图象经过点(－3，－2)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)x取什么值时，函数值y随x的增大而减小？
03 综合题
15．(齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
参考答案
1．A 2.B 3.D 4.B 5.D 6.＞ 7.略
8．略
9．∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，∴设二次函数表达式为y ＝a(x －1)2－4.把点B(3，0)代入二次函数表达式，得0＝4a －4，解得a ＝1.∴二次函数表达式为y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3.
10．A 11.C 12.y 2＜y 1＜y 3
13．(1)抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标是(3，－8)．
(2)当x ＞3时，y 随x 的增大而增大；当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．
(3)当x ＝3时，y 有最小值，最小值是－8.
(4)该函数图象可由y ＝2x 2的图象先向右平移3个单位，再向下平移8个单位得到．
14．(1)y ＝(x ＋2)2－3.
(2)略．
(3)x ＜－2.
15．(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)，
∴设抛物线表达式为y ＝a(x －1)2＋4.由于抛物线过点B(0，3)，
∴3＝a(0－1)2＋4.解得a ＝－1.
∴表达式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴于点P ，连接PB.设AE 表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，
b ＝－3.
解得⎩⎨⎧k ＝7，
b ＝－3.
∴y＝7x －3.当y ＝0时，x ＝37.
∴点P 坐标为(37，0)．。