高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数优化训练苏教版必修1

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高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.3对数函数的概念及基本性质课堂导学案苏教

3.2.3 对数函数的概念及基本性质课堂导学三点剖析一、对数函数的图象和性质【例 1】利用对数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)log π,log e;22(2)log 0.3,log 0.04.1 1 24解析：(1)函数 y=log x 在(0,+∞)上是增函数，而π>e>0,∴ log π>log e.222(2)log 0.04=1log 0.04 1 421 2log1=12log 0.04=log 0.2.1 1 422又因为函数 y=log x 在(0,+∞)上为减函数，12∴log 0.3<log 0.2,即 log 0.3<1 1 1log 0.04.1 2224温馨提示先把不同底数化为相同底数，再利用函数单调性比较大小是比较对数值大小的基本方法. 二、a>1或 0<a<1时，对数函数的不同性质【例 2】求函数 y= 1 log (x a )a(a>0且 a ≠1)的定义域.思路分析：先由被开方数是非负数建立不等式，由于不等式中含有字母参数，再根据对数的性质对字母参数进行分类讨论.解析：由 1-log a (x+a)≥0,得 log a (x+a)≤1.当 a>1时，0<x+a ≤a, ∴-a<x ≤0.当 0<a<1时，x+a ≥a, ∴x ≥0.综上，当 a>1时，函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1时，函数的定义域为［0,+∞).温馨提示对于对数函数问题，底数中含字母参数都必须进行分类讨论.三、对数函数的单调性和单调区间的求法【例3】求函数y=log2(x2-x-6)的单调区间.解析：令u=x2-x-6,则y=log2u.∵y=log2u为u的增函数，∴当u为x的增函数时，y为x的增函数;当u为x的减函数时，y为x的减函数.由x2-x-6>0,得x<-2或x>3.借助于二次函数图象可知：当x∈(-∞,-2)时，u是x的减函数;1当x∈(3,+∞)时，u是x的增函数.所以，原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).温馨提示(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对数函数的单调性，当底数是字母时，必须分底数大于1和底数大于0且小于1这两种情况进行讨论；(3)对于复合函数的单调性，必须考虑u=g(x)与y=f(u)的单调性，从而得出y=f［g(x)］的单调性；(4)判断函数的增减性，或者求函数的单调区间，一般都可借助函数图象求解.各个击破类题演练 1比较下列各组数中两个值的大小.（1）log23.4,log28.5;(2)log a5.1,log a5.9(a>0,a≠1).解析：(1)对数函数y=log2x,因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4<log28.5;(2)当a>1时，函数y=log a x在（0,+∞）上是增函数，于是log a5.1<log a5.9;当0<a<1时，函数y=log a x在(0,+∞)上是减函数，于是log a5.1>log a5.9.变式提升 1比较下列两个值的大小：（lgm）1.9,(lgm)2.1(m>1).解析：若1>lgm>0,即1<m<10时，y=(lgm)x在R上是减函数，∴(lgm)1.9>(lgm)2.1.若lgm=1，即m=10时，（lgm）1.9=(lgm)2.1.若lgm>1，即m>10时，y=(lgm)x在R上是增函数，∴（lgm）1.9<(lgm)2.1.类题演练 21x1x已知f(x)=log a求f(x)的定义域；(a>0,且a≠1).11解析：由对数函数定义知xx>0,∴-1<x<1,∴f(x)的定义域为（-1，1）.变式提升 212e x, (2006山东高考文，2)设f（x）=log(x231)xx22.则f(f(2))的值为（）A.0B.1C.2D.3 解析：∵f(2)=log3(22-1)=log33=1,∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.故选C.答案：C类题演练 3求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.解析：先求函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<- 12,或x>3.令u=2x2-5x-3,y=log0.1u.2由于u=2(x- 54)2-618,可得u=2x2-5x-3(x<-12或x>3)的递增区间为（3，+∞）,从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.变式提升 3求函数y=log(3+2x-x2)的单调区间和值域.12解析：由3+2x-x2>0解得函数y=log(3+2x-x2)的定义域是-1<x<3.12设u=3+2x-x2(-1<x<3),当-1<x1<x2≤1时，u1<u2,从而log u1>log u2,即y1>y2,故函数y=1122log(3+2x-x2)在区间（-1，1）上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上是单调递增.12函数u=3+2x-x2(-1<x<3)的值域是（0，4），故函数y=log(3+2x-x2)的值域是y≥log1122 4,即y≥-2.3。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1

3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则：对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前. 典题导考绿色通道指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数自主训练苏教版必修1

对数自主广场我夯基我达标)5log 211(22+值为( ) A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25 思路解析:考察对数式运算法那么.原式=5222)52(log )5log 1(22==+.应选B.答案:B2.以下各式中成立是( )a x 2=2log aa |xy|=log a |x|+log a |y|a 3＞log aa yx =log a x-log a y 思路解析:用对数运算法那么解决问题.A 、D 错误在于不能保证真数为正，C 错误在于a 值不定.选B.答案:B3.f(x 5)=lgx ，那么f(2)等于( ) 32 C.lg 321 D.51lg2 思路解析:令x 5=t ，那么x=5t =51t .∴f(t)=lg 51t =51lgt.∴f(2)=51lg2. 答案:D4.设x 、y 为非零实数，a>0且a ≠1，那么以下各式中不一定成立个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x ·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x|A.1B.2 C思路解析:①②③不一定成立，④一定成立.答案:C5.设集合A={x|x 2-1＞0}，B={x|log 2x ＞0}，那么A ∩B 等于( )A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x ＜-1或x ＞1}思路解析:该题考察集合表示及解不等式.可以先分别求出集合A 、B 中所列不等式解集，然后再在数轴上求它们交集.答案:A6.假设函数f(x)(x>0)满足f(yx )=f(x)-f(y)，f(9)=8，那么f(3)等于( ) A.2 B.-2 C思路解析:∵f(3)=f(39)=f(9)-f(3)，∴f(3)=21f(9)=4. 答案:D7.以下四个命题中，真命题是( )23=lg9a M+N=b ，那么M+N=a b2M+log 3N=log 2N+log 3M ，那么M=N思路解析:解答此题关键是熟练掌握对数概念及对数运算有关性质.将选项中提供答案一一与相关对数运算性质相对照，不难得出应选D.答案:D黑色陷阱：错选A 或B 或C.主要问题是对函数运算性质不清，在对数运算性质中，与A 类似一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C中log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M =log 3NM ，所以M=N. 8.函数f(x)=log a (a>0且a ≠1)，f(2)=3，那么f(-2)值为________________.思路解析:∵f(-x)=log a =-log a =-f(x),∴函数为奇函数.∴f(-2)=-f(2)=-3.答案:-39.求以下各式值:(1)设log b x-log b y=a ，那么log b 5x 3-log b 5y 3=___________________.(2)设log a (x+y)=3，log a x=1，那么log a y=_____________________. (3)|91|log 33=_________________.思路解析:利用对数性质.解答:(1)∵log b x-log b y=a ,∴log b (yx )=a. ∴log b 5x 3-log b 5y 3=log b 3355y x =log b (y x )3=3log b (y x )=3a. (2)∵log a (x+y)=3, ∴3a=x+y. 又log a x=1,∴x=a.∴y=3a-a ，从而log a y=log a (3a -a). (3)|3log 2||3|log |91|log 3233333-==-=32=9.10.求以下各式中x ： (1)54log x=-21； (2)log x 5=23；(3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.思路解析:根据式中未知数位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进展计算. 解答:(1)原式转化为=x ，所以x=25. 〔2〕原式转化为23x =5，所以x=325.〔3〕由对数性质得解得x=8.11.lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg 45.思路解析:解此题关键是设法将45常用对数分解为2、3常用对数代入计算.解答: lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+21-21lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.我综合我开展12.(1)3a =2,用a 表示log 34-log 36；(2)log 32=a,3b =5,，用a 、b 表示log 330.解答: 〔1〕∵3a =2，∴a=log 32.∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. 〔2〕∵3b =5，∴b=log 35.又∵log 32=a ，∴log 330=21log 3(2×3×5)=21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 我创新我超越13.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震强度.假设设N 为地震时所散发出来相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比拟8.2级和8.5级地震相对能量程度. 解答:1和N 2，由题意得因此lgN 2-lgN 1=0.3，即lg 12N N =0.3，∴12N N =10≈2. 因此，8.5级地震相对能量程度约为8.2级地震相对能量程度2倍.。

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题及解析

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题（满分：150分；考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是（）A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．在区间),0(+∞上不是增函数的是 ( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y 4．式子82log 9log 3的值为 ( ) A .23 B .32C .2D .3 5．已知0ab >，下面四个等式中：①lg()lg lg ab a b =+； ②lg lg lg a a b b=-；③b ab a lg )lg(212= ；④1lg()log 10ab ab =．其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是（） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 7．已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解集是（）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{4} 8．图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =， l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（）A. 0<a <b <1<d<cB. 0<b<a <1<c<dC. 0<d<c<1<a<bD. 0<c<d <1<a<b9．函数y= | lg （x-1）| 的图象是（）xyOy=log a xy=log x y=log c x y=log d x110．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x )=；⑤f (x )=1x ．其中满意条件f 12()2x x + ＞12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（.每小题5分，共20分） 11．函数21()log (2)f x x =-的定义域是．12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________．14．关于函数21()lg (0,R)||x f x x x x +=≠∈有下列命题：①函数()y f x =的图象关于y 轴对称；②在区间(,0)-∞上，函数()y f x =是减函数；③函数()y f x =的最小值为lg 2；④在区间(1,)+∞上，函数()y f x =是增函数．其中正确命题序号为_______________．三、解答题（6小题，共80分）15．（本小题满分12分）4160.250321648200549-+---）（）（）16．（本小题满分12分）设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，求满意()f x =41的x 的值．C17．（本小题满分14分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．（本小题满分14分）若0≤x ≤2，求函数y=523421+⨯--x x 的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈20．（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数.（1）求b 的值；（2）推断函数()f x 的单调性；（3）若对随意的R t ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题参考答案及解析一、选择题1．D 解析：由a 2=16且a ＞0得a =42．C 解析：原式a ab ba9990653121612132-=-=-=-+-+3．C 解析：依据反比例函数的性质4．A 解析：因log 89=22232log 32log 3log 23=，故原式=23 5．B 解析：ab ＞0，故a 、b 同号；当a 、b 同小于0时，①②不成立；当ab =1时，④不成立，故只有③对。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对

第2课时对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么：指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前．【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________．解析：由等式得(x －2y )2＝xy ，从而(x －y )(x －4y )＝0，因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一有关对数式的混合运算【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答．解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ，因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )，即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2，从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________．解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数，所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第1课时对数函数的概念、图象与性质学业分

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3.2。

2 第1课时对数函数的概念、图象与性质(建议用时:45分钟）［学业达标]一、填空题1．已知对数函数f (x）的图象过点（8，－3），则f （22)＝________.【答案】－错误!2．函数f (x)＝错误!＋lg (3x＋1）的定义域为________．【解析】由题知错误!⇒－错误!〈x〈1。

【答案】错误!3．已知函数f （x）＝错误!则f 错误!＝________。

【解析】 f 错误!＝f 错误!＝f （－3）＝错误!－3＝8。

【答案】84．函数f (x）＝log错误!（2x＋1）的单调减区间是________．【解析】∵y＝log 12u单调递减，u＝2x＋1单调递增,∴在定义域上，f (x）单调递减，故减区间为2x＋1〉0,∴x>－1 2。

【答案】错误!5．函数y＝x＋a与y＝log a x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的________．（填序号）【解析】由y＝x＋a的斜率为1，排除③，①②中直线在y轴上截距大于1,但①中y＝log a x的图象反映a〈1，排除①，④中对数底a〉1,但截距a〈1矛盾．【答案】②6．函数f (x）＝log a（2x＋1）＋2（a>0且a≠1）必过定点________．【解析】令错误!得错误!即f (x）必过定点（0,2）．【答案】(0,2)7．设a＝log3 6，b＝log5 10，c＝log7 14，则a，b,c的大小关系是________.【解析】a＝log3 6＝log3 2＋1，b＝log5 10＝log5 2＋1，c＝log7 14＝log7 2＋1，∵log3 2〉log5 2〉log7 2，∴a>b>c.【答案】a>b>c8．设函数f (x）＝log2x的反函数为y＝g(x），且g(a)＝错误!，则a＝________.【解析】g(x)是f (x）＝log2x的反函数，∴g（x）＝2x，∴g（a）＝2a＝错误!,∴a＝－2.【答案】－2二、解答题9．求下列函数的定义域：(1）f （x）＝lg （x－2）＋错误!；(2)f (x）＝log（x＋1）（16－4x）．【解】(1）由题知错误!⇒x>2且x≠3，故f (x）的定义域为｛x|x〉2且x≠3}．（2)由题知错误!⇒－1<x<4且x≠0,故f （x)的定义域为{x|－1〈x<4且x≠0}．10．比较下列各组数的大小：（1）log0。

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3. 2.2对数函数名师导航知识梳理1.对数函数的定义函数__________ （a>0且aHl）叫做对数函数;它是指数函数y=a x（a>0且aHl）的反函数对数函数y=log a x（a>0且a#l）的定义域为__________ ,值域为___________ •2.对数函数的图象由于对数函数y=logax与指数函数y二a*互为反函数，所以y二log“x的图象与y二『的图象关于直线对称.因此，我们只要画岀和y二分的图象关于y二x对称的曲线，就可以得到y=log；,x 的图象，然后根据图象特征得岀对数函数的性质.a>l0<a<l图象儿X=11； J=Iog fl x(o>l)儿x-\11V\；(L0)0/(1，0) X1111 7=log tf x(0<a< 1)iia>l0<a<l性质①定义域：（0, +8）②值域:R③图象过定点（1,0）④在（0, +8）上是增函数④在（0, +8）上是减函数疑难突破怎样把对数函数与指数函数联系起来研究?答：对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数•应该让学生注意到：（1）这两种函数都要求底数a>0,且a^l；对数函数的定义域为（0, +8）,结合图彖看，对数函数在y轴左侧没有图彖，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0. 这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.⑵通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a>l或0<aVl时，对数函数与指数函数的单调性是一致的（即在区间（0, +8）上同时为增函数，或者同吋为减函数）. 对数函数的图象都经过点（1, 0）,这与性质logal=0«a°= 1是分不开的.（3）既然对数函数y=logax与指数两数y二诊互为反函数，那么它们的图象关于直线y=x对称. 于是通过对a分情况讨论（约定不同的取值范围），再结合函数y二log2X, y二log〕x的图象来2揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事.（4）指数函数与对数函数可以对比如下：名称指数函数对数函数一般形式 y=a x (a>0, aHl) y=logaX (a>0, aHl)定义域 (_oo +oo) (0, +8)值域(0, +8) (―oo, +oo)当a>l 时,当a>l 时,> 1,x > 0,> 0,X > 1,X a 二 < =1,x = 0, 10g a X <=0,X = 1,函数值变< hx < 0.<0, X < 1.化情况当0<a 〈l 时，当0<a<l 时，< 1,x > 0[<0,X > 1X a v =1,x = 01 OgaX v =0,X = 1> 1,x < 0>0,X < 1名称指数函数对数函数当a>l 时,『是增函数; 当a>l 时,log a x 是增函数；半则1土当时，a 51是减函数当0<a<l 时,log a x 是减函数图象 y :p x 的图象与y=log"X 的图象关于直线y=x 对称问题探究问题为什么在定义对数函数y=log ；.x 时要规定a>0且aHl?探究思路：因为对数函数与指数函数互为反函数，因此要根据互为反函数的两个函数的图象关于直线y 二x 对称的关系，它们的定义域与值域正好交换，它们的对应法则是互逆的这些特征我们已理解指数函数中a >0且sHl,所以对数函数y=log“x 中也必须a>0且1.典题精讲例1下图是对数函数y=log u x 当底数a 的值分别取丄时所对应的图象，则3 5 10相应于C], G, Ca, C.I 的8的值依次是（）1(/ 5思路解析因为底数3大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且4越大，图象就越靠近X 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小, 图象就越靠近x 轴. 答案:A 例2比较大小：(1) logo.2?和 logo.29; (2) log 35 和 log&5； (3) (lgm)1-9和(lgm)“ (m>l) ； (4) logss 和 lg4. 思路解析(1) logo.27和logo.29可看作是函数y=10go.2X 当x=7和x=9时对应的两函数值，[tl"，扌1 103 10 5y=lOg0.2X 在(0, +8)上单调递减,得log(>.27>10go.29.(2)考察函数y=logaX底数a>l的底数变化规律，函数y=log：｛x (x> 1)的图象在函数y=log6x (x >1)的上方,故Iog35>loge5.⑶把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>l 即m>10,则(lgm)x在R 上单调递增,故(lgm)1,9< (lgm)21.若0<lgm<l 即1 <m< 10,则(lgm)%在R 上单调递减,故(lgm) L9> (lgm)21.若lgm二1 即m=10, M (lgm) L9=(lgm)21.(4)因为底数8、10均大于1,且10>8,所以Iog85>lg5>lg4,即Iog85>lg4.解答：(1) logo. 27> logo. 29；(2)log35>log65；(3)m>10 时，(lgm)1,9< (1 gm)21, m=10 时，lgm二1, (lgm)L9=(lgm)21, l<m<10 时，(lgm)19 > (lgm)21； (4) Iogs5>lg4.例3己知函数y=lg(Vx2+l-x),求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.思路解析注意到jF+1+x二—,即有lg(7X2+1-X) =-lg(7x2 + l +x),V +1 —兀从而f (-X)=lg (厶2+1+x) =-lg ( JF+1-X)=-f (x),可知英为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究(0, +8)上的单调性. 解：由题意W+i-x>0,解得xeR,即定义域为R.又f (-X)=lg [ J(-X)2 + 1 - (一X)] =lg ( J兀2 + 1 +x) =lg ----- =lg ( A/X2 + 1 -X)_--lg ( Vx2 + 1 -x) =-f (x) , /.y=lg ( J兀2 + 1 -x)是奇函数.任取Xi、X2W (0, +°°)且Xi<X2,贝I」Jxj + ] < + 1 亠J%/ + 1 +Xi< Jxj +1 +x2 => / ' ------- > / 、" ----------- ,J兀]2 + 1 + x, Qx?' +1 +X2即有A：+1 -X 1>+ ] -X2>0,lg( Jx； + ] _X1)>]g ( JX?' + 1 -X2),即f(X1)>f(X2)成立.・・.f (x)在(0, +8)上为减函数.又f(X)是定义在R上的奇函数，故f(X)在(-8, 0)上也为减函数.例4作!II下列函数的图象：(l)y=| log4x|-l； (2)y=log1 |x+l |.3思路解析(l)y=|logjx—l的图象可以看成由y二logix的图象经过变换而得到：将函数y=log.；x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去，得到y二|logix|的图象，再将y= | log-ix I的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到T y=|log4x|-l的图象.思路解析(2)y二log| |x+l|的图象可以看成由y= log, x的图彖经过变换而得到：将函数3 3y=lo gl x的图象作出右边部分关于y轴的对称图象，即得到函数y二log】|x|的图象，再将3 3所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=lo gl|x+l|的图象.3答案:函数(1)的图象作法如图①一③所示.函数(2)的图象作法如图④一⑥所示.例5 设aHO,对于函数f (x)=log3(ax2-x+a),(1)若xGR,求实数a的取值范围;(2)若f(x)eR,求实数a的取值范围.思路解析f(x)的定义域是R,等价于ax2-x+a>0对一切实数都成立，而f(x)的值域为R, 等价于其真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数值，(1)与(2)虽只有一字之差，但结果却大不相同.解答：(l)f(x)的定义域为R,则ax2-x+a>0对一切实数x恒成立，其等价条件是仏>0, 1 9解得a>-.[A =1-4672 <0. 2⑵f(x)的值域为R,则真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数，其等价条件是[a. > 0, 1. 解得0<aW —・[△ = 1-4/ no, 2知识导学1.对数函数的图象作对数函数的图象一般有两种方法：一是描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象;二是通过观察它和指数函数图象之I'可的关系，并利用它们之间的关系作图.2.应用对数函数性质比较大小比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，可利用对数函数的性质比较; 当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较•比较两个对数式的大小，底相同时，可利用对数性质进行比较•不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.3.图象平移图象平移在教材中是通过例题引出的，并由这个特殊的例子得出了一般结论：一般地, 当a>0时,将y=log2x的图象向左平移a个单位长度便得到了函数y=log2(x+a)的图象;当a>0时，将函数y二log2X的图象向右平移a个单位长度便可得到函数y=log2(x-a)的图彖.4.反函数的图象和性质对数函数y=logax(a>0且aHl)与指数函数y=a(a>0且a^l)互为反函数，这两个函数的图象关于直线y二x对称.疑难导析1.对数函数的概念由于指数函数尸『在定义域「8, +<-)上是单调函数，所以它存在反函数.我们把指数函数y=a x(a>0, aHl)的反函数称为对数函数，并记y=log a x(a>0, aH 1)・因为指数函数y二a*的定义域为(-8, +8),值域为(0, +8),所以对数函数y=log；1x的定义域为(0, +8),值域为(-8, +OO).2.对数函数的图象与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图象对称于直线尸x.据此即可以画出对数函数的图象，并推知它的性质.利用函数的单调性可进行对数大小的比较.比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.问题导思充分体会互为反函数的两个函数之I'可的关系.典题导考绿色通道rh对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a的相互关系，应根据对数函数图彖与底数间的变化规律来处理•在指数函数y二『川，底数a越接近1,相应的图象就越接近直线尸1,对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线尸x对称的，直线y=l关于直线y二x的对称直线是x=l,所以我们有结论：对数函数y=lo gi.x,底数a越接近1,其图象就越接近直线x二1.典题变式函数f(x) = |log2x|的图象是()答案:A绿色通道两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的人小，一般采用的方法有：⑴直接法：由函数的单调性直接作答；(2)作差法:把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；(3) 作商法:若两数同号，把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1來确定；(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较；(5)媒介法:选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.典题变式若log a2<log b2<0,则a、b满足的关系是( )A.l<a<bB. l<b<aC. 0<a<b<lD. 0<b<a<l答案:D绿色通道研究函数的性质一定得先考虑定义域，在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.典题变式r 4- A己知函数f(X)二log.乂工(a>l 且b>0).x-b⑴求f (x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性.x +方> °解：⑴由< x-b >'解得x<-b或x>b.x-b ^0,函数f (x)的定义域为(-8, -b) U (b, +8).(2)由于f (~X)=10ga(—)=10ga (—~ )=10g;<( % + ) *=-] O g a ( % + ) =~f(X),-x-b x + b x-b x-b・・・f(x)为奇函数.绿色通道画函数图象是研究函数变化规律的重要手段.画函数图象通常有两种方法：列表法和变换法.变换法有如下几种：平移变换：y=f(x+a)，将y二f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移个单位而得到; y=f (x) +a,将y=f (x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移| a|个单位而得到.翻折变换：y二|f(x)|,将y二f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变；y=f (Ix|),它是一个偶函数，xMO时图象与y=f (x)的图象完全一样;当xWO 时，其图象与x$0时的图彖关于y轴对称.对称变换：y=~f (x),它的图象与函数y=f (x)的图象关于x轴对称；y二f(-x),它的图象与y=f (x)的图象关于y 轴对称；y=-f(-x),它的图象与y=f (x)的图象关于原点成中心对称.伸缩变换：尸f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩3>1)或伸长(0<a VI)到原來的。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对

3.2.2 对数函数自主广场我夯基我达标1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )思路解析：首先把y=a -x 化为y=(a 1)x ， ∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=(a1)x ，即y=a -x 的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的. 答案:A2.y=21log (x 2-3x+2)的递增区间是( )A.(-∞，1)B.(2，+∞)C.(-∞，23)D.(23，+∞)思路解析：首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.答案:A3.已知函数f(x)=lg(x 2-3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G ，那么( ) A.G F B.G=F C.F ⊆G D.F∩G=∅ 思路解析：F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G F.答案:A4.已知函数f(x)=log 2(x 2-ax+3a)在［2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.（-∞，4）B.（-4，4]C.（-∞，-4）∪［2，+∞)D.［-4，4)思路解析:解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数. 令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a .由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=.22,0324)2(a a a u 解得-4<a≤4. 答案:B5.若定义在(-1，0)上的函数f(x)=log 2a(x+1)满足f(x)>0，则a 的取值范围是( )A.(0,21)B.(0,21]C.(21,+∞) D.(0,+∞) 思路解析：本题考查对数函数的基本性质.当x ∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.由此解得0<a<21. 答案:A6.函数y=lg 11-x 的图象大致是( )思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点(2，0)，(1011，1).②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为(1，+∞)，在定义域上函数为减函数.答案:A7.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.42 B.22 C.41 D.21 思路解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a ，2a ］上的最大值与最小值. f(x)=log a x(0<a<1)在(0，+∞)上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f(x)max =f(a)=1，f(x)min =f(2a)=log a 2a.根据题意，3log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32.故由32-a =2得a=232-=42. 答案:A我综合我发展8.log a32<1，则a 的取值范围是____________. 思路解析：当a>1时，log a 32<1=log a a.∴a>32.又a>1，∴a>1. 当0<a<1时，log a 32<log a a.∴a<32.又0<a<1，∴0<a<32. 答案:(0，32)∪(1，+∞) 9.函数y=log a (x-2)+1(a ＞0且a ≠1)恒过定点______________.思路解析：若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a ≠1，都有y=1.答案:(3，1)10.函数f(x)=log (a-1)x 是减函数，则a 的取值范围是____________.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a.由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2.答案:1＜a ＜211.已知f(x)=log a xx -+11(a>0且a ≠1). (1)求函数的定义域；(2)讨论函数的单调性；(3)求使f(x)>0的x 的取值范围.思路解析:注意对数函数的底和真数的制约条件以及底的取值范围对单调性的影响. 解答:(1)由xx -+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为(-1,1).(2)对任意-1<x 1<x 2<1,)1)(1()(2111121212211x x x x x x x x ---=-+--+<0，∴22111111x x x x -+<-+. 当a>1时，log a 1111x x -+<log a 2211x x -+，即f(x 1)<f(x 2)；当0<a<1时，log a 1111x x -+>log a 2211x x -+，即f(x 1)>f(x 2). ∴当a>1时，f(x)为(-1，1)上的增函数；当0<a<1时，f(x)为(-1，1)上的减函数.(3)log axx -+11>0=log a 1. 当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=x x -12>0. ∴2x(x-1)<0.∴0<x<1.当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+.111,011xx x x 解得-1<x<0.∴当a>1时，f(x)>0的解为(0，1)；当0<a<1时，f(x)>0的解为(-1，0).12.已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，试比较f(x)与g(x)的大小.思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法.解答:f(x)和g(x)的定义域都是(0，1)∪(1，+∞).f(x)-g(x)=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x43x. (1)当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＞0，即0＜x ＜1时，f(x)＞g(x).(2)当x ＞1时，若43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞34时，f(x)＞g(x)；若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=34时，f(x)=g(x)；若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜34时，f(x)＜g(x).综上所述，当x ∈(0，1)∪(34，+∞)时，f(x)＞g(x)；当x=34时，f(x)=g(x)；当x ∈(1，34)时，f(x)＜g(x).我创新我超越13.已知f(x)=lg(a x -b x )(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x 轴?思路解析：(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.解答:(1)由a x -b x >0，得(b a)x >1=(b a)0. ∵b a>1，∴x>0.∴函数的定义域为(0，+∞).(2)先证明f(x)是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1x a >2x a ，1x b <2x b .∴1x a -1x b >2x a -2x b .∴lg(1x a -1x b )>lg(2x a -2x b ).∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0，+∞)上为增函数.假设y=f(x)上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f(x)是增函数矛盾.∴y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴.14.已知非零常数x 、y 、z ，满足2x =3y =6z ，求证：zy x 111=+. 思路解析：考查转化的思想方法，指、对式的转化.可以先求出x 、y 、z ，然后由左边推证出右边.证法一：设2x =3y =6z =k ，则x=log 2k ，y=log 3k ，z=log 6k. ∴k k y x 32log 1log 111+=+=log k 2+log k 3=log k 6=zk 1log 16=. 证法二：由2x =3y =6z ，有2x =6z ，3y =6z .∴x=log 26z =zlog 26，y=log 36z =zlog 36. ∴z z z y x 16log 16log 11132=+=+(log 62+log 63)=z 1log 66=z1. 15.求函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x)的值域. 思路解析：求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.解答:f(x)的定义域为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+.0,01,011x p x x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧>->->+.0,01,01x p x x ∴⎩⎨⎧<>.,1p x x ∵函数定义域不能是空集，∴p ＞1，定义域为(1，p).而x ∈(1，p)时，f(x)=log 2(x+1)(p-x)=log 2［-x 2+(p-1)x+p ］=log 2［-(x-21-p )2+(21+p )2］. (1)当0＜21-p ≤1，即1＜p ≤3时，0＜(x+1)(p-x)＜2(p-1). ∴f(x)的值域为(-∞，log 22(p-1)).(2)当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜(x+1)(p-x)≤(21+p )2. ∴函数f(x)的值域为(-∞，2log 2(p+1)-2］.。

高中数学第三章指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质 3.2.1 指数扩充素材北师大

高中数学第三章指数函数和对数函数3.2 指数扩充及其运算性质3.2.1 指数扩充素材北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.2 指数扩充及其运算性质3.2.1 指数扩充素材北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2。

1 指数扩充简单的指数方程1。

指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程.2.类型与解法:例1.解方程:2142x x -= ⇒ 13x =-。

例2。

解方程462160x x -⋅-=⇒3x =.要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C 的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 含量的衰变经过5570年（14C 的半衰期），它的残余量只有原始量的一半.若14C 的原始量为a ，则经过x 年后的残余量'a 与a 之间满足'kx a a e -=⋅.测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C 的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）.解由'kx a a e -=⋅，得'kx a e a-=。

两边取对数，得'ln a kx a =- . ① 又知14C 得半衰期试5570年，即5570x =时，'12a a =，所以 1ln 55702k =-则 557012k e -⋅=⇒1lnln 2255705570k =-= 又'5570ln 5570ln 0.7672132ln 2ln 2a a x ⨯=-=-≈ 由此可知马王堆古墓约是2100多年的遗址.小结类型与方法：1. 化为同底的幂：()0,1a a a a αβ=>≠的指数方程⇔αβ=；2. 换元法：()()()()()22000f x f x A a B a C At Bt C t ++=⇒++=>注意()f x a 0>对最后根的取舍.3. 取对数法：()f x a b =()()log 0,1a f x b a a ⇒=>≠。

高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数32对数函数二(共3页)

对数函数(du ì sh ù h án sh ù)〔二〕一、填空题1．函数y ＝log 32x －1的定义域为________．2．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能是______．(填序号)3．log a 12<1，那么a 的取值范围是________． 4．函数y ＝log 2(x 2－1)的单调增区间为________．5．函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，那么k 的取值范围是________．6．假设函数f (x )＝(3－a )x 与g (x )＝log a x 的增减性一样，那么实数a 的取值范围是________．7．不等式(4x ＋2x ＋1)＞0的解集为_____________________________________．8．假设函数y ＝log a |x －2|(a >0，且a ≠1)在区间(1,2)上是单调增函数，那么f (x )在区间(2，＋∞)上的单调性为________．9．定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调减函数，假设f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1x ，那么x 的取值范围为___________．10．函数f (x )＝lg(x ＋1)，那么不等式0<f (1－2x )－f (x )<1的解集为________________．二、解答题11．函数(hánshù)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －a 是奇函数，务实数a 的值．12．设函数f (x )＝log 2(a x －b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,3]时，求f (x )的最大值．13．f (x )＝12log (x 2－ax －a )．(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)假设f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上为单调增函数，务实数a 的取值范围．三、探究与拓展14．0<a <1,0<b <1，假设<1，那么x 的取值范围为________．15．如下图，过函数f (x )＝log c x (c >1)的图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (a,0)，N (b,0) (b >a >1)，线段BN 与函数g (x )＝log m x (m >c >1)的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．(1)当a ＝2，b ＝4，c ＝3时，务实(wù shí)数m 的值；(2)当b ＝a 2时，求m b －2c a的最小值； (3)h (x )＝a x ，φ(x )＝b x，假设x 1，x 2为区间(a ，b )内任意两个变量，且x 1<x 2，求证：h [f (x 2)]<φ[f (x 1)]．内容总结。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数32对数函数321对数自我小测苏教版1.

3.2.1 对数自我小测1．如果lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于________． 2．下列结论中，正确的序号是________． ①lg2·lg3＝lg5；②lg 23＝lg9；③51log 2152=；④若log a M ＋N ＝b ，则M ＋N ＝a b(a ＞0且a ≠1)；⑤若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N .3．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n (a ＞0且a ≠1)则a 2m －n＝________；(2)若a ＞0，2349a =，则23log a =________； (3)若5lg x＝25，则x ＝________.4．已知lg(log 2x )＝0，7312log [log (log )]0y =，则log x y ＝________.5．已知log 7log 56m m a =，log n 8＝b log n 56(m 、n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝________，17a=________.6．(1)已知11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，则11a b-=________. (2)若2a＝5b＝10，则11a b+=________. 7．求下列各式的值：(1)2log 525＋log 264－2 011log π1； (2)log 155·log 1545＋(log 153)2；(3)375111log log log 258149⋅⋅； (4)lg 20lg0.717()2⨯；(5)2lg5lg8000lg0.06lg6⋅++-； (6)28393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)+++．8．2010年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)参考答案1.21a bb a++- 解析：∵lg2＝a ，lg3＝b ，∴lg12lg3lg 4lg32lg 22.lg15lg3lg5lg31lg 21a bb a+++===++-+- 2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当log a (M ＋N )＝b 时，有M ＋N ＝a b，∴④错；由log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，得log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M M N N =，上式只有当1M N=，即M ＝N 时成立，∴⑤正确． 3．(1)43(2)3 (3)100 解析：(1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3. ∴()22224.33m mm nn na a aa a -==== (2)法一：∵a ＞0，2349a =，∴42log .93a =∴222log .33a=，即21log .33a =，∴231log 3.2log 3aa ==法二：∵a ＞0，22342.93a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴22322332log log 23a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴232log 23a = ∴23log 3a =(3)∵5lg x ＝25＝52.∴lg x ＝2，x ＝102＝100.4．－3 解析：∵lg(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1，∴x ＝2，又∵7312log log log 0y ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴312log log 1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12log 3y =，∴31128y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴3221log log log 238x y -===-.5．1 56 解析：由换底公式得56log 7log 7log 56m m a ==.56log 8log 8log 56n n b ==，∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1. ∵log 567＝a ，∴71log 56a=. ∴7log 5617756a==. 6．(1)1 (2)1 解析：(1)法一：用指数解：由已知得111.21000a=.10.01121000b =，两式相除得：1111.2100010000.0112a b-==，∴111a b-=. 法二：用对数解．由题意，得a ×lg11.2＝3，b ×lg0.011 2＝3，∴()111lg11.2lg 0.011213a b -=-=. 法三：综合法解．∵11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，∴a ＝log 11.21 000，b ＝log 0.011 21 000.∴100010001000100011.20.0112111111.2log 11.2log 0.0112log log 10001log 1000log 10000.0112a b -=-=-=== (2)法一：由2a＝5b＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510， ∴251111lg 2lg5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 法二：对已知条件的各边取常用对数，得a lg2＝b lg5＝1，∴1lg 2a =，1lg 5b=， ∴11lg 2lg 5lg101a b+=+==. 7．解：(1)原式＝2log 552＋log 226－2011×0＝4＋6－0＝10.(2)原式＝log 155(1＋log 153)＋(log 153)2＝log 155＋log 153(log 155＋log 153)＝log 155＋log 153＝log 1515＝1.[或原式＝(1－log 153)(1＋log 153)＋(log 153)2＝1－(log 153)2＋(log 153)2＝1](3)原式111lglg lg2lg 54lg 32lg 7258149lg 3lg 7lg 5lg 3lg 7lg 5---=⋅⋅=⋅⋅＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16.(4)设lg0.7lg20172x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则1lg lg 20lg 7lg 0.7lg 2x =⋅+⋅＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴x ＝14，即lg0.7lg2017142⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.(5)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg 22－2＝3(1－lg 22)＋3lg 22－2＝3－2＝1.(6)原式2233323235915log 3log 32log 2log 2log 2log 3log 232322⎛⎫⎛⎫=+++=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 8．解：设经过x 年后国民生产总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为a (1＋8%)，经过2年，总产值为a (1＋8%)2，……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x.由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即()lg 20.30109lg1.080.0334x =≈≈年．方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴ ()1.08lg 2log 29lg1.08x ==≈年．答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍．百尺竿头解：(1)∵18b＝5，∴log 185＝b ，又∵log 189＝a ，∴log 182＝1－log 189＝1－a . ∴18181836181818log 45log 5log 9log 45log 36log 18log 2112a b a ba a+++====++--. 2)∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4，∴222log 4log 30a a -+=， ∴(log 2a －1)(log 2a －3)＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3，∴a ＝2或a ＝8. ①当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f (x )＝x 8＋3也是偶函数． ∴f (x )是偶函数．②当a ＝2时，原式23lg 27lg 643lg36lg 2log 27log 6418lg 2lg3lg 2lg3=⋅=⨯=⨯=；当a ＝8时，原式83lg 27lg 643lg36lg8log 27log 646lg8lg3lg8lg3=⋅=⨯=⨯=. ③∵g (x )＝2x或g (x )＝8x，且2与8都大于1，∴g (x )＝a x在R 上是单调增函数．。

高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.2-3.2.1对数课件苏教版必修1

念
指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b 中，a，b，N 三者间的关系实质如下表所示(a>0 且 a≠1)：
项目指数式对数式
式子 ab＝N logaN＝b
a 底数底数
b 指数对数
N 幂真数
意义
a的b次幂等于N
以a为底N 的对数等于b
题型一指数式与对数式的互化
[例 1] 将下列指数式化为对数式或将对数式化为指数式：
(1)53＝125; (2)log216＝4； (3)log 3x＝6; (4)14－3＝64. 分析：根据对数的定义：aN＝b⇒logab＝N(a>0 且 a≠1)．
第3章指数函数、对数函数和幂函数
1．如果 ab＝N(a＞0，a≠1)，那么称 b 是以 a 为底 N 的对数．记作 x＝logaN，其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数．
(1)以 10 为底的对数称为常用对数，并把常用对数 log10N 简记为 lg N.
(2)以无理数 e＝2.718 28…为底的对数，称为自然对数，并把自然对数 logeN 简记为 ln N.

2021年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数优化训练苏教版必修

2021年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数优化训练苏教版必修5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.求下列幂函数的定义域:y=x3，y=，y=，y=x -2，y=，y=x0.思路解析：幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x的集合.解：y=x3定义域是R；y=的定义域是R；y=的定义域是［0,+∞］；y=x-2=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)；y===的定义域是(0,+∞)；y=x0的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).2.比较下列各题中两个值的大小：（1），；（2）,.思路解析：对于第（1）题，当n>0时，幂函数y=x n有下列性质：在第一象限内，函数值y 随x的增大而增大.对于第（2）题，当n<0时，幂函数y=x n有下列性质：在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小.解：（1），是幂函数y=的两个函数值，考察函数y=.在(0,+∞)上，y随x值的增大而增大.∵1.5<1.7，∴<.（2）函数y=，在第一象限内y随x的增大而减小.∵2.2>1.8，∴<.3.已知函数f(x)＝(a-1)·，当a＝___________时，f(x)为正比例函数；当a＝___________时，f(x)为反比例函数；当a＝___________时，f(x)为二次函数；当a＝___________时，f(x)为幂函数.思路解析：当f(x)为正比例函数时，即a=-2；当f(x)为反比例函数时，即a=0或a=-1；当f(x)为二次函数时，即a=；当f(x)为幂函数时，a-1=1，即a=2.答案：-2 0或-1 210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.函数y=的图象是( )思路解析：函数y=的定义域为(0,+∞)，且过（0，0）、（1，1）点.答案：C2.下列函数在（-∞,0）上为减函数的是( )A.y=B.y=x2C.y=x3D.y=x-2思路解析：由幂函数的性质可知，y=x2在（-∞,0）上为减函数.答案：B3.图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n取±2,±四个值，则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为( )A.-2,- ,,2B.2, ,-,-2C.-,-2,2,D.2, ,-2,-思路解析：由图，C1、C2表示的幂函数在（0，+∞）上都是增函数，C3、C4表示的幂函数在（0，+∞）上都是减函数，故应排除A、C.又当x=4时,x2=16, =2,且16>2.答案：B4.比较下列各组中两个值的大小:(1)0.61.3与0.71.3; (2)与; (3)0.18-0.3与0.15-0.3.解：（1）∵0.61.3与0.71.3可看作幂函数y=x1.3在0.6与0.7处的函数值，且1.3＞0，0.6＜0.7,∴由幂函数单调性知0.61.3<0.71.3.（2）∵与可看作幂函数y=在3.5与5.3处的函数值，且-＜0，3.5＜5.3,∴由幂函数单调性知>.（3）∵0.18-0.3与0.15-0.3可看作幂函数y=x-0.3在0.18与0.15处的函数值，且-0.3<0，0.18＞0.15,∴由幂函数单调性知0.18-0.3<0.15-0.3.5.讨论函数y=的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.解：函数y=是幂函数.要使y==有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R.∵x∈R，∴x2≥0.∴y≥0.即值域为[0,+∞).又f（-x）===f（x），∴函数y=是偶函数.∵n=＞0，∴幂函数y=在[0,+∞)上单调递增.由于幂函数y=是偶函数，∴幂函数y=在（-∞，0）上单调递减.（5）其图象如图所示.快乐时光代词语法课上,约翰的思想开了小差.突然老师问道:“约翰,你能说出两个代词吗?”约翰站起来,摇摇头说:“谁?我!”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列函数中不是幂函数的是( )A.y=B.y=x3C.y=2xD.y=x-1思路解析：根据幂函数的定义：形如y=x α的函数称为幂函数，可知C 不是幂函数. 答案：C2.下列命题正确的是( )A.当α=0时，函数y=x α的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点C.若幂函数y=x α的图象关于原点对称，则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限思路解析：当α=0时，函数y=x α定义域为{x|x≠0,x∈R}，其图象为两条射线，故A 不正确；当α<0时，函数y=x α的图象不过（0，0）点，故B 不正确；幂函数y=x -1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C 不正确；幂函数的图象都不在第四象限，故D 正确. 答案：D3.下列函数中，定义域为(0，＋∞)的函数为( )A.y ＝B.y ＝C.y ＝D.y ＝x 3思路解析：先把指数式化为根式，再求定义域. 答案：B4.T 1＝(,T 2=(,T 3=(，则下列关系式正确的是( )A.T 1＜T 2＜T 3B.T 3＜T 1＜T 2C.T 2＜T 3＜T 1D.T 2＜T 1＜T 3思路解析：幂函数y=在第一象限内为增函数，故T 2＜T 1;又指数函数y=()x在(0,+∞)上为减函数，故T 1＜T 3.综上，T 2＜T 1＜T 3. 答案：D5.已知>，求x 的取值范围.思路解析：借助幂函数的图象，可使问题简捷易解.解：y=的图象在第一、二象限,y=的图象在第一、三象限. ∵0<<1，0< <1，由图象区域的分布可知其特征图象所示.∴当x∈(-∞,0)时，>恒成立.当图象在第一象限时，若x∈(0,1)，y=的图象在y=图象的下方，则<. 若x∈(1,+∞)，y=的图象在y=图象的上方，满足>. ∴所求x 的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞). 6.若(a ＋1＜(3-2a ，试求a 的取值范围. 思路解析：根据幂函数的性质求解.解：有三种可能情况：⎪⎩⎪⎨⎧->+<-<+⎩⎨⎧>-<+⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+.231,023,01023,01231,023,01a a a a a a a a a a 或或解得a∈(-∞，-1)∪(，).7.幂函数y=f(x)的图象过点(4, )，求f(8)的值.思路解析：求幂函数的解析式一般可采用待定系数法.要想求得f(8)的值，必须要先求得幂函数的解析式.解：设f(x)=x a，则 =4a，a=-.∴f(x)=，f(8)==.8.求满足的字母a的取值范围.思路解析：根据已知条件可知，分别为对应幂函数y=，y=.要想求满足条件a的范围.只要判断出x为何值时曲线y=在曲线y=上方即可.解：在同一坐标系中，分别作出y1=，y2=的图象，由图象可知要使y1>y2，只需x>1.∴当a>1时不等式>恒成立.9.如图，幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式.思路解析：由于图象关于y轴对称，所以此函数为偶函数且与x轴、y轴无交点，所以是双曲线型.解：由题意，得m2-2m-3<0，∴-1<m<3.∵m∈Z，∴m=0,1或2.∵幂函数的图象关于y轴对称，∴m2-2m-3为偶数.∵当m=0或2时，m2-2m-3为-3,当m=1时，m2-2m-3为偶数-4,∴y=x-4.10.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)(t∈Z)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t的值. 思路分析:关于幂函数y=x n(n∈Q,n≠0)的奇偶性问题,设 (|p|、|q|互质),当q为偶数时,p 必为奇数.y=x n是非奇非偶函数;当q是奇数时,y=x n的奇偶性与p的奇偶性对应.解:∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1.∴t=-1,1或0.当t=0时f(x)=是奇函数;当t=-1时f(x)= 是偶函数;当t=1时f(x)=是偶函数;且,都大于0,在(0,+∞)上为增函数.故t=1且f(x)= 或t=-1且f(x)=.。

高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数第2课时对数的运

第2课时对数的运算性质及换底公式1.了解对数的换底公式．2.理解对数的运算性质．3.掌握用对数的运算性质进行化简与证明．[学生用书P49]1．如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式一般地，称log a N ＝log c Nlog c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，N >0)为对数的换底公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为这两个正数的对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log （－2）blog （－2）a.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12 C ．1 D ．2答案：A3．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea＝________．答案：(1)12(2)0.84.log 29log 23＝________．答案：2对数的运算性质及应用[学生用书P49]计算下列各式：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.【解】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.(1)对于同底的对数的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(逆用运算性质)； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(正用运算性质)．(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．1.计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解：(1)法一：原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1] ＝lg (5×2×1012×102) ＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3＝－1.法二：原式＝2log 32－()5log 32－2＋3log 32－3 ＝2－3＝－1.换底公式的应用[学生用书P50](1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)； (2)已知log 189＝a ，18b＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解】 (1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.(2)法一：因为18b＝5，所以log 185＝b ，又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a.法二：因为log 189＝a ，18b＝5，所以lg 9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.法三：因为log 189＝a ，所以18a＝9. 又因为18b＝5，所以45＝5×9＝18b·18a＝18a ＋b.令log 3645＝x ，则36x＝45＝18a ＋b，即36x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫183·183x＝18a ＋b.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1829x＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a.(1)具有换底功能的另两个结论：①log a c ·log c a ＝1，②log an b n＝log a b .(a ＞0且a ≠1，b ＞0，c ＞0且c ≠1)(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至找到它们之间的联系．(3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题必须熟练掌握所学性质和法则，并学会运用整体思想．2.(1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________．(2)计算：log22＋log 279＝________．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56.(2)原式＝log 22log 2212＋log 332log 333＝112＋23＝2＋23＝83.答案：(1)56 (2)83对数的综合应用[学生用书P50]若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．【解】原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b 求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．3.(1)方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．(2)已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值．解：(1)原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0，故方程的解是x ＝2.故填x ＝2. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2.1．对对数的运算性质的理解(1)利用对数的运算性质可以把求正数的乘、除、乘方的对数的运算转化为这些正数的对数的加、减、乘运算，反之亦然．但两个正数的和或差的对数没有运算性质．(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． (3)能用语言准确叙述对数的运算性质log a (M ·N )＝log a M ＋log a N →积的对数等于对数的和． log a M N＝log a M －log a N →商的对数等于对数的差．log a M n＝n log a M (n ∈R )→真数的n 次幂的对数等于对数的n 倍． 2．关于换底公式的两点说明(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．(2)利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2a b的值． [解] 因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a －b )(a －4b )＝0，所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2a b＝log 24＝2.(1)错因：易忽视真数大于0的限制，导致出现增解． (2)防范：将对数化简、变形，不能忘记真数大于0的限制．1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3D ．12 解析：选C.原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析：选A.log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2. 3．(1)log 52·log 79log 513·log 734＝________．(2)log 2()3＋5－ 3－5＝________．解析：(1)原式＝log 132·log 349＝12lg 2－lg 3·2lg 323lg 2＝－32.(2)原式＝12log 2(3＋5－ 3－5)2＝12log 2[]（3＋5）＋（3－5）－2（3＋5）（3－5）＝12log 2(6－4) ＝12log 22＝12. 答案：(1)－32 (2)124．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz ); (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z； (4)lg x y 2z .解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ；(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ；(3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z ；(4)lgx y 2z＝lg x －lg(y 2z ) ＝12lg x －2lg y －lg z . [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D.lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg125＝lg1 000＝3. 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12B ．9C ．18D ．27解析：选B.由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝log 416＝log 442＝2，所以lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9，选B.3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 解析：选D.因为lg x ＝m ，lg y ＝n ，所以lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D.4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B ．a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－aD ．a ＋2b1－a解析：选C.log 512＝lg 12lg 5＝lg （22×3）lg （10÷2）＝lg 22＋lg 3lg 10－lg 2＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .故选C.5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A.因为2x＝3，所以x ＝log 23. 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．已知m >0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100.所以x ＝0. 答案：07．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.答案：x ＝58．已知2m ＝3n＝36，则1m ＋1n＝________．解析：m ＝log 236，n ＝log 336，所以1m ＝log 362，1n ＝log 363，所以1m ＋1n ＝log 366＝12.答案：129．计算下列各式：(1)lg 8＋log 39＋lg 125＋log 319；(2)[log 2(log 216)](2log 36－log 34)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 8＋lg 125＋log 39＋log 319＝lg(8×125)＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫9×19＝lg 1 000＋log 31＝3＋0＝3. (2)原式＝(log 24)(log 336－log 34)＝2log 3364＝2log 39＝4.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 460lg 153－210×2－11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1 ＝－1－12＝－32.10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2. 经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)．即log 43－x 3＋x＝log 41－x 2x ＋1. 整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0. 当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0.[B 能力提升]1.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 答案：1252.计算log 8(log 242)的值为________．解析：log 8(log 242)＝log 814＝－2log 82＝－23. 答案：－233．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________．解析：原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132，整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0，即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0；解得log b a ＝2或log b a ＝16，所以b 2＝a 或b 16＝a ，即b ＝a 或b ＝a 6.答案： b ＝a 或b ＝a 64．(选做题)已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝10(32R ＋11.4)．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010，即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数函数(2)学案苏教版必修1

第2课时对数函数的图象与性质通过对数函数的图象及其变换，观察发现对数函数的性质，提高识图能力.x定义域R 定义域(0，＋∞) 值域(0，＋∞) 值域R过定点(0,1) 过定点(1,0)图象．答案：y ＝log 3x 【做一做2】将对数函数y ＝log 2x 的图象向右平移1个单位长度后可得函数__________的图象．答案：y ＝log 2(x －1)不同底数的图象之间的变化趋势是怎样的？剖析：由于对数函数y ＝log a x 的图象与直线y ＝1交于点(a,1)(如图1所示)，所以对数函数y ＝log a x 的图象在x 轴上方，从左到右对应的底数由小到大依次递增；由于对数函数y ＝log a x 的图象与直线y ＝－1交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1(如图2所示)，所以对数函数y ＝log a x 的图象在x 轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减．图1 图2题型一对数函数的图象及变换【例1】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：作复合函数的图象问题，可先考虑它的基本函数的图象，然后作适当的变换完成．先作y ＝log 2x 的图象―——―→向左平移1个单位y ＝log 2(x ＋1)―————————―→当－1<x <0时，图象关于x 轴对称，当x >0时，图象不变y ＝|log 2(x ＋1)|―————————―→向上平移2个单位y ＝|log 2(x ＋1)|＋2.如图所示．反思：利用函数图象的三大基本变换平移变换、对称变换、伸缩变换是作复合函数图象的基本途径．本题使用了平移和对称两种方法，在平移中要注意“上、下”和“左、右”与x ，y 的关系；对称变换要注意与x 轴和y 轴的关系．题型二对数函数的性质【例2】已知函数f (x )＝lg |x |. (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)画出函数f (x )的图象的草图； (3)求函数f (x )的单调递减区间．分析：(1)确定函数的定义域，判断f (x )和f (－x )的关系；(2)函数f (x )的图象关于y 轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图象观察出单调递增区间，再用定义证明．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |＞0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x 的图象合起来得函数f (x )的图象，如下图所示．(3)方法一：由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2，∵x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2， ∴|x 1|＞|x 2|＞0.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞1.∴lg ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)．方法二：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．设y ＝lg u ，u ＝|x |.当函数f (x )是减函数时，由于函数y ＝lg u 是增函数，则函数u ＝|x |是减函数．又函数u ＝|x |的单调递减区间是(－∞，0)，∴函数f (x )＝lg|x |的单调递减区间是(－∞，0)．反思：根据定义来判断函数的奇偶性和单调性，是解答题的基本方法．【例3】已知函数f (x )＝lg(x 2＋1－x )． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性．分析：利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断．解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称．f (－x )＝lg[－x 2＋1－(－x )]＝lg(x 2＋1＋x )＝lg 1x 2＋1－x＝lg(x 2＋1－x )－1＝－lg(x 2＋1－x )＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )．所以函数f (x )＝lg(x 2＋1－x )是奇函数．(2)函数的定义域为R ，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg x 21＋1－x 1x 22＋1－x 2，下面分段讨论：①当x 1＜x 2＜0时，则－x 1＞－x 2＞0，x 21＞x 22，所以x 21＋1－x 1＞x 22＋1－x 2，即x 21＋1－x 1x 22＋1－x 2＞1，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，此时函数在R 上为减函数．②当0＜x 1＜x 2时，则x 22＋1＋x 2＞x 21＋1＋x 1，又f (x 1)－f (x 2)＝lg x 21＋1－x 1x 22＋1－x 2＝lg x 22＋1＋x 2x 21＋1＋x 1＞0，所以此时函数在R 上为减函数． ③当x 1＜0＜x 2，且f (0)＝0时，由①②可知f (x 1)＞0＞f (x 2)．所以函数f (x )＝lg(x 2＋1－x )是定义域R 上的减函数．反思：研究函数奇偶性和单调性，都首先必须考虑函数的定义域．1函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数12log ()y f x 的图象大致是__________．解析：从已知函数的图象可得所求函数过点(1,0)，且当x∈(0,1)时，函数为增函数，当x∈(1,2)时，函数为减函数．答案：③2函数y＝ln 1|x＋1|的大致图象为__________．解析：因为定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，所以①③错误．又当x∈(－∞，－1)时，函数为增函数，当x∈(－1，＋∞)时，函数为减函数，所以②错误．答案：④3已知函数y＝log a(x＋b)的图象如图所示，则a＝__________，b＝__________.解析：从图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2＝log a b ，0＝log a b －2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝3.答案： 3 34求证：函数12log (21)y x ＝－在其定义域上是单调减函数．证明：由2x －1＞0得定义域为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，任取x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，且x 1＜x 2，此时12111222log (21)log (21)y y x x －＝－－－＝112221log 21x x --.因0＜2x 1－1＜2x 2－1，所以0＜2x 1－12x 2－1＜1.所以y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.所以原函数在定义域上单调递减．5若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －4a ，x <1，log a x ，x ≥1在R 上为增函数，求a 的取值范围．解：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－a －4a <log a 1，解得1＜a ＜3，即a 的取值范围是(1,3)．。

高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数第1课时对数

第1课时对数函数的概念、图象及性质1.了解对数函数的概念．2.会画对数函数的图象，记住对数函数的性质．3．掌握对数函数图象和性质的应用．[学生用书P52]1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数的定义域是(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x(a>0且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域{x|x>0}值域R单调性增函数减函数共点性图象过点(1，0)，即log a1＝0函数值x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称趋势a值越大图象越靠近x，y轴a值越小图象越靠近x，y轴x趋于零，y趋于－∞；x趋于＋∞，y趋于＋∞x趋于零，y趋于＋∞；x趋于＋∞，y趋于－∞3.y＝a x称为y＝log a x的反函数，反之，y＝log a x也称为y＝a x的反函数，一般地，如果函数y ＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都不是对数函数．( )(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(3)当0＜a ＜1时，若x ＞1，则y ＝log a x 的函数值都大于零．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．函数y ＝log 4.3x 的值域是________．答案：R3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________．答案：34．函数f (x )＝log 5(1－x )的定义域是________．答案：{x |x <1}与对数函数有关的定义域问题[学生用书P52]求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x； (2)y ＝log (2x －1)3x －2. 【解】 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1.所以－1＜x ＜1.所以函数的定义域为(－1，1)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，2x －1≠1，3x －2＞0，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞).若将例题(2)函数改为“y ＝log3x －2(2x －1)”，则其定义域应为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，3x －2＞0，3x －2≠1，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (2)求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)； ②化简并解出自变量的取值范围； ③确定函数的定义域．1.求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg （x ＋1）－3；(2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，x ＋1＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1，所以x ＞－1，且x ≠999，所以函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1. 当a ＞1时，有4x －3≥1，x ≥1 . 当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1.综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 对数函数的图象和性质[学生用书P53](1)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值可为35，110，3，43，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数a 的值依次为________．(2)若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b ，c 的值分别为________，________.【解析】 (1)由底数对对数函数图象的影响，可知C 4的底数<C 3的底数<C 2的底数<C 1的底数．故相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次是3，43，35，110.(2)因为函数的图象恒过定点(3，2)，所以将(3，2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c ，得2＝log a (3＋b )＋c .又当a >0，a ≠1时，log a 1＝0恒成立，所以log a (3＋b )＝0，所以b ＝－2，c ＝2. 【答案】 (1)3，43，35，110(2)－2 2(1)对数函数的性质可以结合图象去理解记忆．(2)对数函数图象的画法有两种：一是描点法；二是通过图象变换画出．2.已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B.法一：若0＜a ＜1，则函数y ＝a x的图象下降且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象上升且过点(－1，0)，以上图象均不符合．若a ＞1，则函数y ＝a x的图象上升且过点(0，1)，而函数y ＝log a (－x )的图象下降且过点(－1，0)，只有B 中图象符合．法二：首先指数函数y ＝a x的图象只可能在x 轴上方，函数y ＝log a (－x )的图象只可能在y 轴左方，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图象符合．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接确定选B.利用对数函数的单调性比较大小[学生用书P53]比较下面各组数中两个值的大小． (1)log 33.4，log 38.5； (2)log 0.21.8，log 0.22.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0且a ≠1)．【解】 (1)考察对数函数y ＝log 3x ，因为它的底数3＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log 33.4＜log 38.5.(2)考察对数函数y ＝log 0.2x ，因为它的底数0.2＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log 0.21.8＞log 0.22.7.(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件并未明确指出底数a 与1哪个大，因此要对底数a 进行讨论：当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，于是log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，于是log a 5.1＞log a 5.9.(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底对数，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小的关系解决或利用换底公式化为同底，再进行比较．(4)若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．3.比较下列各组数的大小：(1)log 0.20.4，log 0.20.3，log 0.23； (2)log 123，log 133，log 143；(3)log 23，log 45，log 76.解：(1)因为函数y ＝log 0.2x 是区间(0，＋∞)上的单调减函数，且0.3<0.4<3，所以log 0.20.3>log 0.20.4>log 0.23.(2)因为函数f (x )＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，又0<14<13<12<1，所以log 314<log 313<log 312<0，即1log 143<1log 133<1log 123<0，所以log 123<log 133<log 143. (3)log 23＝log 49>log 45>1，而log 76<log 77＝1，故log 76<log 45<log 23.1．关于对数函数概念的两点说明(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．2．a 对对数函数的图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象对应位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为________．[解析] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x －1>0，解得x >2.[答案] (2，＋∞)(1)解答本题只注意被开方数大于零，而忽视真数大于零．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．1．下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ； ④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有③、④，其他的均不符合．2．函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：选C.要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1，且x ≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.3．函数y ＝2x的反函数为________．解析：由对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)和y ＝a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数知y ＝2x的反函数为y ＝log 2x .答案：y ＝log 2x4．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，x ＋2＞0，解得x ＞－2，所以函数的定义域为{x |x ＞－2}．[学生用书P112(单独成册)])[A 基础达标]1．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝( ) A ．－1 B ．5 C ．－1或5D ．1解析：选B.由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.2．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1，故a ＞c ＞b .3．函数y ＝lg(x －1)＋lg(x －2)的定义域为M ，函数y ＝lg(x 2－3x ＋2)的定义域为N ，则( ) A ．MN B ．N MC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选A.y ＝lg(x 2－3x ＋2) ＝lg[(x －1)(x －2)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x －2<0，即x >2或x <1.所以N ＝{x |x >2或x <1}．又M ＝{x |x >2}．所以MN .4．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是{x |x >3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A.函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .6．下列四个数：0.2－0.1，log 1.20.3，log 0.20.3，log 0.20.5，由小到大的顺序为________．解析：因为0.2－0.1>1，log 1.20.3<0，0<log 0.20.5<log 0.20.3<log 0.20.2＝1，所以log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.1. 答案：log 1.20.3<log 0.20.5<log 0.20.3<0.2－0.17．已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b的图象上，则b ＝________．解析：当x ＋3＝1，即x ＝－2时，对任意的a >0，且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.答案：－18．已知log a 3>log b 3>0，则a ，b 的大小关系是________．解析：因为log a 3>log b 3>0，所以a >1，b >1. 由换底公式有1log 3a >1log 3b >0，所以log 3b >log 3a >0. 所以b >a . 答案：b >a9．求下列函数的定义域：①y ＝log 3(3x )；②y ＝log 34x －5； ③y ＝1log 12x ；④y ＝ log 2（2x ＋6）.解：①由3x >0，得x >0，所以函数y ＝log 3(3x )的定义域为(0，＋∞)． ②由4x －5>0，得x >54，所以函数y ＝log 34x －5的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞. ③由x >0及log 12x ≠0得x >0且x ≠1，所以函数y ＝1log 12x的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．④log 2(2x ＋6)≥0，得2x ＋6≥1，即x ≥－52，所以函数y ＝log 2（2x ＋6）的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞.10．解不等式：log a (2x －5)>log a (x －1)．解：当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.所以原不等式的解集为{x |x >4}．当0<a <1时，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <4.[B 能力提升]1.已知函数f (x )＝lg|x |，设a ＝f (－3)，b ＝f (2)，则a 与b 的大小关系是________．解析：f (x )＝lg|x |定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函数．a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f (2)，因为f (3)>f (2)，所以a >b .答案：a >b2.已知f (x )＝|lg x |，若1c>a >b >1，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是________．解析：先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x |的图象，如图．由图可知，f (x )＝|lg x |在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c＞f (a )＞f (b )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．所以f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：f (c )＞f (a )＞f (b )3.已知函数f (x )＝log (2a －1)(2x ＋1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上满足f (x )>0，试求实数a 的取值范围．解：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，2x ＋1>4>1.因为log(2a －1)(2x ＋1)>0＝log (2a －1)1，所以2a －1>1，即2a >2，解得a >1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．4.(选做题)已知函数f (x )＝log 21＋x 1－x. (1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值．解：(1)证明：左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2 ＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2. 右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边．(2)因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12，所以f (b )＝log 21＋b 1－b ＝－12，利用(1)可知：f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ，所以f (a )－12＝1，解得f (a )＝32.。

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